第 5 次课 2学时
本次课教学重点：
建立数学模型
本次课教学难点：
建立数学模型
本次课教学内容：
第四章线性规划在工商管理中的应用
第一节人力资源分配的问题
例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：
班次时间所需人数
1 6：00 ——10：00 60
2 10：00 ——14：00 70
3 14：00 ——18：00 60
4 18：00 ——22：00 50
5 22：00 ——2：00 20
6 2：00 ——6：00 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设x i( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5≥28
x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15
x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24
x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25
x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19
x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31
x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？
时间所需售货员人数
星期日28
星期一15
星期二24
星期三25
星期四19
星期五31
星期六28
解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥15
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥24
x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥25
x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥19
x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥31
x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥28
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0
第二节生产计划的问题
例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲乙丙资源限制铸造工时(小时/件) 5 10 7 8000
机加工工时(小时/件) 6 4 8 12000
装配工时(小时/件) 3 2 2 10000
自产铸件成本(元/件) 3 5 4
外协铸件成本(元/件) 5 6 --
机加工成本(元/件) 2 1 3
装配成本(元/件) 3 2 2
产品售价(元/件) 23 18 16
解：设x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
求x i 的利润：利润= 售价- 各成本之和
产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15
产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13
产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10 产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9 产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7
可得到 x i （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。
通过以上分析,可建立如下的数学模型:
目标函数： Max 15x 1 + 10x 2 + 7x 3 + 13x 4 + 9x 5 约束条件： 5x 1 + 10x 2 + 7x 3 ≤ 8000
6x 1 + 4x 2 + 8x 3 + 6x 4 + 4x 5 ≤ 12000 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 2x 5 ≤ 10000 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ≥ 0
例4．永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A 、B 两 道工序加工。设有两种规格的设备A 1、A 2能完成 A 工序；有三种规格的设备B 1、B 2、B 3能完成 B 工序。Ⅰ可在A 、B 的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A 设备上加工，但对B 工序，只能在B 1设备上加工；Ⅲ只能在A 2与B 2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？
解：设 x ijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型:
s.t. 5x 111 + 10x 211 ≤ 6000 （ 设备 A 1 ） 7x 112 + 9x 212 + 12x 312 ≤ 10000 （ 设备 A 2 ） 6x 121 + 8x 221 ≤ 4000 （ 设备 B 1 ） 4x 122 + 11x 322 ≤ 7000 （ 设备 B 2 ） 7x 123 ≤ 4000 （ 设备 B 3 ）
x 111+ x 112- x 121- x 122- x 123 = 0 (Ⅰ产品在A 、B 工序加工的数量相等）
x 211+ x 212- x 221 = 0 （Ⅱ产品在A 、B 工序加工的数量相等） x 312 - x 322 = 0 （Ⅲ产品在A 、B 工序加工的数量相等） x ijk ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：
利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 -（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。 这样得到目标函数：
产品单件工时 设备 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 设备的 有效台时 满负荷时的设备费用 A 1 5 10 6000 300 A 2 7 9 12 10000 321 B 1 6 8 4000 250 B 2 4 11 7000 783
B 3 7 4000 200 原料（元/件） 0.25 0.35 0.50 售价（元/件） 1.25 2.00 2.80
