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专题3 三角函数在实际中的应用自我诊断1.某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度.已知小亮站着测量,眼睛与地面的距离(AB）是1．7米,看旗杆顶部E的仰角为30°;小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（ＣＤ）是0.７米，看旗杆顶部E的仰角为４５°.两人相距５米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．(１）求小敏到旗杆的距离DＦ.(结果保留根号)(2)求旗杆EF的高度．(结果保留整数，参考数据：≈１.４,≈1．7)自我诊断2．如图所示，某古代文物被探明埋于地下的Ａ处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘,他们被允许从B处或C处挖掘,从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°,从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°,且BC=２0m,若考古人员最终从B处挖掘,求挖掘的最短距离．(参考数据:sin56°=０．83，taｎ５６°≈1．48,≈1.73，结果保留整数）跟踪训练11.年4 月20 日，四川雅安发生里氏7.０级地震，救援队救援时,利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A、B 相距4米，探测线与地面的夹角分别为３０°和60°,如图所示,试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1 米，参考数据≈1.4１, ≈１．73）2.一电线杆ＰQ立在山坡上,从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°,向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为6０°和３0°,（1）求∠BPQ的度数;（２）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m)3．如图,为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离,飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点Ａ的俯角为60°,然后沿着平行于ＡB的方向水平飞行了50０米，在点Ｄ测得端点B的俯角为４5°,已知岛屿两端A、B的距离54１．91米，求飞机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41)４.如图,某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，Ｂ，Ｃ在同一条直线上,小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°,观测旗杆底部B的仰角为42°已知点Ｄ到地面的距离DＥ为1．56m，EC=21m,求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位).参考数据：ｔan４７°≈1.07，ｔan42°≈0.90．5．如图，为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在Ａ、C之间选择一点B(Ａ、Ｂ、C三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且ＡB间的距离为40ｍ．(1）求点B到AＤ的距离;（２)求塔高CD（结果用根号表示).6．如图,一楼房ＡB后有一假山，其斜坡CD坡比为1：，山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离ＢC=6米,与亭子距离CE=２0米,小丽从楼房顶测得点E的俯角为45°．(1）求点E距水平面BC的高度；（２）求楼房AＢ的高．（结果精确到0.1米,参考数据≈1.41４，≈１.73２)7．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°. 已知原传送带ＡB长为4米.（１)求新传送带ＡC的长度.（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP 是否需要挪走,并说明理由.参考数据：.８．如图,小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口5６海里的A处,货船从港口Ｐ出发，沿北偏东４５°方向匀速驶离港口P,４小时后货船在小岛的正东方向.求货船的航行速度．（精确到０.1海里/时，参考数据:≈1．41,≈1.73)自我诊断答案考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:(１）过点Ａ作AM⊥EＦ于点M,过点C作ＣN⊥EＦ于点Ｎ.设CＮ＝x,分别表示出EM、ＡM的长度，然后在Ｒt△AEM中,根据ｔaｎ∠EAM=，代入求解即可;（2）根据(１)求得的结果，可得ＥF=DＦ+ＣD，代入求解．解：（1）过点A作AM⊥EF于点Ｍ,过点Ｃ作CN⊥ＥF于点N,设ＣＮ=ｘ，在Rt△ECＮ中，∵∠ECN=45°，∴EN=CN=x,∴EM=ｘ+0.7﹣1.７＝ｘ﹣１，∵ＢD=5，∴AM=BF=5＋x，在Rt△AEM中,∵∠ＥAM=3０°∴=，∴x﹣１=（ｘ+5),解得：ｘ=4＋3，即DＦ=(4＋3）(米)；（2）由（1）得:EＦ=x+0．7=4++0.7≈4+3×1.７＋0.7≈9.８≈10(米)．答:旗杆的高度约为10米.点评:本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．考点:解直角三角形的应用．分析:作AＤ⊥BC交CB延长线于点Ｄ，线段AD即为文物在地面下的深度．设AD=x．通过解直角△ABＤ求得BＤ=;通过解直角△ACＤ求得ＣD=x，由此列出关于x 的方程，通过方程求得AD的长度.最后通过解直角三角形AＢD来求AB的长度即可. 解:作AＤ⊥BC交CB延长线于点D，线段AD即为文物在地面下的深度.根据题意得∠CAD=30°，∠ＡＢＤ＝56°．设AＤ=x.在直角△ＡBD中,∵∠ABＤ=56°,∴BD=＝．在直角△ACD中，∵∠ACB=3０°,∴CD=AD=x,∴x=＋20.解得x≈18.９７，∴AB＝≈≈23．答：从B处挖掘的最短距离为2３米.点评:此题考查了解直角三角形的应用,主要是正切、余弦概念及运算,关键把实际问题转化为数学问题加以计算．跟踪训练答案1.考点：解直角三角形的应用．分析：过点 Ｃ 作 CD ⊥AB 交 ＡB 于点 D ，则∠CAD=30°,∠ＣBD=６0°，在 Rt △ＢD Ｃ 中,CD=B Ｄ， 在 R ｔ△ADC 中，ＡＤ=ＣD ,然后根据 ＡB=AD ﹣BD=4,即可得到ＣＤ 的方程，解方程即可.解：如图，过点 C 作 ＣD ⊥ＡB 交 A B 于点 D ． ∵探测线与地面的夹角为 30°和 60°, ∴∠CAD=30°，∠CBD ＝60°, 在 R t △B ＤC 中,tan ６0°＝，∴B Ｄ==，在 R t △ＡD Ｃ 中,tan ３0°=， ∴AD==，∵AB=ＡD ﹣ＢD=4, ∴C Ｄ=２ ≈3.5（米）∴． 答：生命所在点 Ｃ 的深度大约为 3．5 米.点评:本题考查了解直角三角形的应用,难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形,解直角 三角形,也考查了把实际问题转化为数学问题的能力．2.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:(1）作ＰQ ⊥A Ｂ交AB 的延长线于H,根据三角形的外角的性质计算；(2）设PQ ＝ｘｍ,根据正、余弦的定义表示出QH 、B Ｈ,根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．解：(1)作P Ｑ⊥AB 交A Ｂ的延长线于H, 由题意得,∠QBH=30°,∠ＰBH=６0°， ∴∠B ＱH=60°,∠PB Ｑ=3０°， ∴∠BP Ｑ=∠B ＱH ﹣∠ＰBQ ＝3０°； (2）设PQ=xm,∵∠ＢPQ=∠PBQ,∴BQ=ＰQ ＝xm,4333=-CD CD∵∠QBＨ=30°，∴QＨ=ＢＱ=ｘ,ＢＨ=x,∵∠A=4５°，∴6+x=x x,解得x=2＋6≈9．答:该电线杆ＰQ的高度约为9ｍ.点评:本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.3.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:过点Ａ作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F,设高度为x米，在Rt△AEC中可得CE==，在Ｒｔ△BFD中有DF=＝x,根据AB=EF=CD+DF﹣CＥ列出方程，解方程可求得x的值.解:过点Ａ作AＥ⊥CD于点E,过点Ｂ作ＢF⊥CＤ于点F，设高度为x米∵AＢ∥CD,∴∠AEF=∠EFB=∠ＡBF＝９0°，∴四边形AＢＦE为矩形.∴AB＝EF,ＡＥ=ＢＦ．由题意可知：AE＝BＦ＝ｘ米,CＤ＝50０米．在Rｔ△AEC中,∠C=60°,∴CE=＝(米）.在Rt△BＦD中，∠BDF=45°,∴DF＝=x(米）．∴AB＝EＦ=CＤ+DF﹣CE,即500＋ｘ﹣ｘ=５4１.9１解得:x＝９９答:飞机行飞行的高度是99米．点评:此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．4．考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度，进而求得BC的高度.解:根据题意得DE=1.56，EＣ=２1,∠ACE＝９０°,∠DEC ＝90°.过点D作DＦ⊥AC于点Ｆ．则∠DFＣ=９0°∠AＤF＝4７°，∠BDF=42°.∵四边形DECF是矩形．∴ＤF=ＥC=2１,ＦＣ=DE=1．56,在直角△DFA中，ｔａn∠ADF=,∴AF=ＤF•ｔan47°≈21×１.07=22．４7(m).在直角△DFＢ中,ｔan∠BDＦ=,∴ＢF=DF•tan４２°≈2１×0.９0＝18.90（m),则AB＝AＦ﹣BF=2２．47﹣18.90＝3．５7≈3.６（m）．BC=BF+FC=1８．９0+１.56=20.46≈20.５（ｍ）．答:旗杆ＡB的高度约是3.６m，建筑物BC的高度约是20．５米.点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用,解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形,再根据三角函数求解．5.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:（1)过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡD于点Ｅ，然后根据AＢ＝40m,∠A=30°,可求得点B到AD的距离；（２)先求出∠ＥBD的度数，然后求出AD的长度，然后根据∠A=３０°即可求出CD的高度.解：(１）过点B作BＥ⊥AD于点E,∵AB=40m,∠Ａ＝30°，∴BE＝AB=20m,ＡＥ=＝20ｍ,即点B到AD的距离为２0m;（2)在Ｒt△ABE中，∵∠A＝30°，∴∠ＡBE=６0°,∵∠DBＣ＝75°，∴∠ＥBＤ=180°﹣60°﹣75°=45°，∴DE=ＥＢ=20m，则AD＝AE＋EB=20+20＝２0(＋1）(ｍ）,在Rt△ADＣ中,∠A=3０°，∴DC==（10+１０）ｍ.答：塔高CD为(10+10)m．点评：本题考查了解直角三角形的应用,难度适中,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．6.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:(1）过点E作EＦ⊥ＢC于点F.在Rt△CEF中，求出CF=EF，然后根据勾股定理解答；(2)过点E作EH⊥AＢ于点H．在Rt△ＡHE中，∠HAE=45°，结合（1）中结论得到ＣF 的值,再根据AＢ=AＨ+BH，求出AＢ的值.解:（1）过点E作EF⊥BＣ于点F.在Rｔ△CＥF中，CE＝20,，∴ＥＦ2+(EF)2＝2０2，∵EF＞０,∴EF=10．答：点E距水平面BＣ的高度为10米．（2)过点E作EH⊥AB于点H．则HＥ＝BF,BH＝EF.在Rt△ＡHE中,∠HＡＥ＝45°，∴ＡＨ＝HＥ，由(1)得ＣＦ=EF＝1０（米）又∵ＢＣ＝6米，∴ＨＥ=6+10米,∴AＢ=ＡH+ＢH=6+10+１0=１6+10≈３3．3(米)．答：楼房AB的高约是3３.3米．7.考点：解直角三角形的应用－坡度坡角问题.分析:（1）在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边,进而在Rt△ACD 中，求出ＡC的长.（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出ＢＣ、PC的长．然后判断PC的值是否大于２米即可.解：（１)如图,在Rt△AＢＤ中,AＤ＝ABsｉｎ45°=4×=4.在Ｒt△ＡＣD中,∵∠AＣD＝３０°∴AC＝2ＡD＝８.即新传送带ＡC的长度约为8米；(2)结论:货物MNQＰ不用挪走．解:在Ｒt△AＢD中，ＢD＝ABcos45°=4×＝4.在Rｔ△ACD中,ＣＤ=ＡCcos30°=2.∴CB=CD﹣BD=2﹣４≈0.9.∵PC=PＢ﹣CB≈4﹣0.9=3.１>2,∴货物MNQP不应挪走.点评:考查了坡度坡脚问题，应用问题尽管题型千变万化,但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时,先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．8．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析:由已知可得AB⊥PQ,∠QAP=６0°,∠A=3０°，ＡP=５６海里,要求货船的航行速度，即是求ＰＢ的长,可先在直角三角形APＱ中利用三角函数求出ＰQ,然后利用三角函数求出PB即可.解：设货船速度为ｘ海里／时，4小时后货船在点B处，作PＱ⊥AB于点Q.由题意ＡＰ=56海里，PB=４x海里,在直角三角形AＰQ中,∠AＰQ＝6０°，所以PQ=２8.在直角三角形PQB中，∠BPQ=45°，所以，ＰQ=PB×cos４5°=2x.所以，2x＝28，解得：ｘ=7≈9.9.答:货船的航行速度约为9.９海里/时. --。
