1.已知地球质量为M ，自转周期为T ，引力常量为G ，将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体．科考队员在南极发现一小块陨石，用弹簧秤称量时示数为 F.将其带回赤道地面再次称量，则弹簧秤示数应为( )
A ．F R GMT )14(322-π
B ．F GMT R )41(232π-
C ．F GMT R )14(232-π
D ．F R
GMT )41(322
π- 2.西昌卫星发射中心的火箭发射架上，有一待发射的卫星，它随地球自转的加速度为1a ；发射升空后在近地轨道上做匀速圆周运动，加速度为2a ；实施变轨后，使其在同步卫星轨道上做匀速圆周运动，加速度为3a 。则1a 、2a 、3a 的大小关系是 。
3.某球形行星“一昼夜”时间为T 6h =，在该行星上用弹簧秤称同一物体的重量，发现在其“赤道”上的读数比在其“南极”处小9％；若设想该行星自转速度加快，在其“赤道”上的物体会自动“漂浮”起来，这时该行星的自转周期为多大?
4.组成星球的物质是靠引力吸引在一起的,这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率,星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T ．则最小自转周期T 的下列表达式中正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G 。将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0.
1. 若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值 的表达式，并就h=1.0%R 的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
2. 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值
的表达式。
参考答案
1.【答案】B
【解析】：在南极处，万有引力和重力相等，有：2R Mm G F =，
在赤道处，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，有：R T m F R Mm G 22'22??
? ??=-π，联立两式解得弹簧秤示数F GMT
R R T m F F )41(423
222'ππ-=-=故B 正确，A 、C 、D 错误．故选：B ．
2.【答案】 【解析】根据，可得，可知，同步卫星和地球具有相
3232 万有引力定律应用的12种典型案例 万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。 下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例： 【案例1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确
3333 【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。 【案例2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大哪颗卫星的线速度大若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少 解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律 由开普勒第三定律T 2 ∝r 3 知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 22==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v = ，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r = ，v = ω= 2T = ⑴所有运动学量量都是r 的函数。我们应该建立函数的思想。 ⑵运动学量v 、a 、ω、f 随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。 ⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于85min 。 ⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。 【案例3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上
万有引力真的就提供向心力吗 浙江东阳巍山高中陈晓涛 【摘要】物理学科的教学，讲究的是科学性、严谨性、条理性。因此，有些表面上看起来相近的事物，其本质却是大相径庭。而在日常的教学中有些规律我们自认为给学生以讲的原理明确，条理清淅，但在学生理解时却总是表现的似是而非，模棱两可，这时就要求老师给他们指出一条迷雾中的光明之路。 【关键词】万有引力向心力圆周运动反思 通过对《万有引力定律习题课--万有引力真的就提供向心力吗》的教学过程反思，下面是我对此刻的一点体会。 前面已经学习了万有引力定律，教材研究了天体的运动，卫星的运动。对于这些运动，都近似认为是匀速圆周运动，而由于地球本身也在自转，地球上的物体也随地球一起字转，也同样在做匀速圆周运动。研究匀速圆周运动，着眼点一般是向心力由谁提供，由向心力产生的向心加速度如何随物体的位置的改变而改变的规律等方面。在此，由于情况类型较多，有多有相似之处，所以学生分析起来往往感到困难，容易混淆，也容易出错。 有这么二种情况： 一、在空中绕地球做圆周运动的物体。 其实相当于人造卫星，其向心力 F 向当然由万有引力 F 万 来提供，而 且F 万全部用来提供F 向 ，即F 万 = F 向， 可推出 GMm/r2= ma 向 则 a 向 =GM/r2=GM/(R+h) 2 其 G 中是一个常数， M 是地球质量也是常数， r 可写为 (R+h) ， R 是地球半径，可得出
结论：a 随高度的变化而变化，且是高度越大 a 越小。 这里提示学生：我们在前面已经知道了还有什么物理量随着高度增加而减小的啊？大家思考然后有人回答：重力加速度g，表扬刚才回答的同学。提示：那在空中物体的重力加速度g和它的向心加速度a有没有什么关系呢？大家都思考中。看大家思考的时候提示问：在空中的物体受到重力了吗？学生就又开始思考了。有的认为有，有的认为没有；认为空中物体有重力的同学说空中的物体没有重力哪里有重力加速度呢，认为没有的同学说：如果有重力，那物体不就掉下来了吗？但是我们并没有看见卫星掉下来啊。我说大家思考和分析的都很好啊，但是肯定只有一种观点正确。下面我们一起来看分析看看，于是我提示：重力产生的原因是什么呀？大多数同学回答：由于地球的吸引而产生的？我就接着问？那地球对物体的万有引力和它的重力是一回事情吗？都说不是，但是也不清楚具体的原因。我就再次提示：从受力角度在想一想，有人恍然大悟了：原来在空中万有引力和重力是一回事情啊！我说回答的非常好，有思考，千万不要认为既受到了万有引力，又受到了重力。请大家牢牢记住一句话：重力是由于地球的吸引而产生的。好好想想这句话。 下面回头来看看，既然在空中饶地球做圆周运动的物体所受到的万有引力和重力是相等的，那不就有 F 万=G= F 向 也就是 GMm/r2= mg’=ma 向 则g’=a 向 =GM/r2=GM/(R+h) 2 要注意：老师这里用的是g’而不是g，有什么含义没有？大家思考，有同学说既然用g撇来表示了，肯定和地球表面的重力加速度以示区别了。让该同学坐下，并表扬了他，并说现在我们知道了g随着高度增加而减小，而且是按照物体到地心距离的平方关系来减小的。呆会我们还会进一步研究g’和g的关系。 回头看刚才某位同学的观点说：如果空中物体有重力，那物体不就掉下来了吗？但是我们并没有看见卫星掉下来啊。其实这位同学思考的真的很好，也带出了可能很多同学的疑问，只是该同学可能思考的更多些，也敢于把自己的疑问表达出来，我们其实应该都向这位同学学习。下面我们看这位同学的这句话，我们
万有引力与重力的关系 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
万有引力与重力的关系 关于万有引力和重力的差别与联系，在高中的教学中是一个难点，在学完万有引力之后，学生很容易混淆万有引力，和重力两个概念，再加上中学物理中常有F 引= mg 的近似处理，学生更是容易把万有引力理解为重力，那么他们到底什么关系呢？ 1、地表上的万有引力和重力 在早期，人们认为地球是一个惯性系，于是，相对地球静止的物体便处于平衡状态。如果这个物体是用绳子悬挂着，它只可能受两个力，那就是重力G 和绳子张力T ，如图1所示。基于简单的平衡关系，有G = T 。若在绳子中间接一个测力计，重力的大小就通过测T 的大小间接测量出来了，而重力的方向就是绳子收缩的反方向。至于重力的性质，人们初步意识到它是“由于地球的吸引而产生的”。 后来，人们认识到地球存在自转，是一个非惯性系，地表上（除两极外）所有“静止”的物体事实上都处在匀速圆周运动的状态中，因此，都存在向心加速度。但是，当我们仍然考查用绳子悬挂“静止”的物体时，它毕竟还是只会受到两个力的作用。两个力中，绳子张力T 的性质是不会变的（大小和方向不会变），而两个力不再平衡，那么，另一个力（重力G ）的分析就值得反省了。 牛顿发现万有引力之后，这个问题迎刃而解。现在，人们已经能够对地表上“静止”的悬挂物进行正确的受力分析——它受到绳子张力T 和万有引力F 的作用，T 和F 的合力ΣF 即物体做圆周运动的向心力，(如图2所示)。由图可知，由于F 指向地心O 而ΣF 指向物体做圆周运动的圆心O ′，故T 并不沿地球半径方向。 严格地说，有了这个分析后，物体的“重力”就不存在了。但是，由于人们一直是在地球上研究问题的，已经习惯了地球是惯性系的这种错觉。在这种错觉下，物体仍“平衡”，为了维护这种“平衡”，必须找到一个T ．的平衡力．．．．——这就是．．我们习惯认识中的重．力． 。(由图2)不难看出，它的方向不会沿地球半径指向地心（赤道和两极的物体除外）。 把T 矢量反向、成为G 矢量后，和F 矢量、ΣF 矢量构成图3 。在(图3的)新平行四边形中，F 处在“合力”位置。因此，也常常这样说：重力是万有引力的一个分力（另一个分力是物体做圆周运动的向心力）。至此，重力的性质就完全清楚了。 2、为什么万有引力近似的等于重力 重力概念的保留，纯粹是为了屈从人们的错误习惯吗？不完全是这样。因为，定量的计算表明，在地表，重力G 和万有引力F 的差别并不会很大
【1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律：r T 4m r Mm G 2 22π=……①得：23 2G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2 R Mm G mg =得：G g R M 2= 可见B 正确 【2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？ 解析：由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 2 2==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v =，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2 M a G r =，v = ω= 2T π = 【3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。
万有引力定律·典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值； GM R GM r g 22αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求 的值．α g 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力 G Mm r mg G Mm r m 2 2α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2 π 【例】月球质量是地球质量的 ，月球半径是地球半径的，在21811 38. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力
加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月 地地地 ＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表 面需用时间为＝＝×＝． 月月g 1.75m /s S gt t 4s 2 2 12 2214 175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量分布均匀，大小分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为： [ ] A ．Gm 1m 2/r 2 B ．Gm 1m 2/r 12 C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2 D ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2＋r)2
课题牛顿运动定律和万有引力定律 教学目标本章讲述牛顿运动定律，进一步研究了物体运动状态变化的原因，揭示出运动和力之间的本质关系及万有引力定律及其应用。 重难点 透视宇宙速度、人造地球卫星，万有引力定律的应用。B 考点质点间的万有引力表达式：F万=G 知识点剖析 序号知识点预估时间掌握情况 1牛顿第二定律30 2圆周运动30 3质点间的万有引力表达式：F万=G30 4圆周运动中的向心力：F向=ma向=m=mRω230 5 教学内容 一、考试要求 1.牛顿第一定律、惯性 B 2.牛顿第二定律、质量 B 3.牛顿第三定律 B 4.牛顿定律的应用 B 5.超重和失重 A 6.圆周运动 B 说明：1.处理物体在粗糙面上的问题，只限于静止或已知运动方向的情况。 2.不要求用牛顿定律列方程处理两个或两个以上物体的运动问题。 3.有关向心力的计算，只限于向心力是由一条直线的力合成的情况。 4.不要求推导a=v2/R 二、知识结构
其中牛顿第一定律说明物体的运动并不需要外力来维持，确定了力的含义即 力是改变物体运动状态的原因，并给出了惯性的概念，牛顿第三定律说明物体间 力的作用是相互的，即力总是成对出现的并且同时增减，同时消失。而牛顿第二 定律反映了力与物体运动状态改变的具体关系。圆周运动和天体运动的动力学特 征可以用牛顿定律的关系式来反映，这里的加速度为向心加速度。 三、知识点、能力点提示 1.牛顿第一定律，提出了惯性的概念，力的定义。 2.牛顿第二定律，包含了力和质量的量度定义。 (1)表达式：a∝∑F／m (2)分量式：∑F x=ma x，∑F y=ma y (3)牛顿第二定律的瞬时性、矢量性 (4)力的独力作用原理：F1＝ma1，F2＝ma2，… 3.牛顿第三定律，阐明物体间相互作用的关系。 4.失重和超重.视重大于重力G=mg叫超重；小于重力叫失重。 5.圆周运动中的向心力：F向=ma向=m=mRω2 6.万有引力定律及其应用 (1)质点间的万有引力表达式：F万=G (2)人造卫星计算公式：=mrω2=mR 第一宇宙速度v=，R为地球半径。 讲解较细，理解的较好，但课下需多做题熟悉公式 课堂 总结 课后作业教材解析习题，熟悉课本 课堂反馈： ○ 非常满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 字： 校长签字： ___________ 日期
1.已知地球质量为M ，自转周期为T ，引力常量为G ，将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体．科考队员在南极发现一小块陨石，用弹簧秤称量时示数为 F.将其带回赤道地面再次称量，则弹簧秤示数应为( ) A ．F R GMT )14(322-π B ．F GMT R )41(232π- C ．F GMT R )14(232-π D ．F R GMT )41(322 π- 2.西昌卫星发射中心的火箭发射架上，有一待发射的卫星，它随地球自转的加速度为1a ；发射升空后在近地轨道上做匀速圆周运动，加速度为2a ；实施变轨后，使其在同步卫星轨道上做匀速圆周运动，加速度为3a 。则1a 、2a 、3a 的大小关系是 。 3.某球形行星“一昼夜”时间为T 6h =，在该行星上用弹簧秤称同一物体的重量，发现在其“赤道”上的读数比在其“南极”处小9％；若设想该行星自转速度加快，在其“赤道”上的物体会自动“漂浮”起来，这时该行星的自转周期为多大? 4.组成星球的物质是靠引力吸引在一起的,这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率,星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T ．则最小自转周期T 的下列表达式中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．
5.万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G 。将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0. 1. 若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值 的表达式，并就h=1.0%R 的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； 2. 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值 的表达式。 参考答案 1.【答案】B 【解析】：在南极处，万有引力和重力相等，有：2R Mm G F =， 在赤道处，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，有：R T m F R Mm G 22'22?? ? ??=-π，联立两式解得弹簧秤示数F GMT R R T m F F )41(423 222'ππ-=-=故B 正确，A 、C 、D 错误．故选：B ． 2.【答案】 【解析】根据，可得，可知，同步卫星和地球具有相
高考物理万有引力定律的应用技巧和方法完整版及练习题含解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求： （1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R m -(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l 在最高点：2 22mv F mg l += ① 在最低点：2 11mv F mg l -= ② 由机械能守恒定律，得 221211222 mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1 2 6F F g m -= （2） 2 GMm mg R = 2GMm R =2 mv R 两式联立得：12()6F F R m -
（3）在星球表面：2 GMm mg R = ④ 星球密度：M V ρ= ⑤ 由④⑤，解得12 8F F GmR ρπ-= 点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度． 2．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1 ）2 ，16（2）速度之比为2 【解析】 【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解； 解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2 Mm G mg R = a 卫星 2 224a GMm m R R T π= 解得2a T =b 卫星2 2 24·4(4)b GMm m R R T π= 解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， a 卫星2 2a mv GMm R R =
万有引力定律 典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值；GM R GM r g 2 2αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求的值．αg 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力G Mm r mg G Mm r m 22α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2π
【例】月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的，在2181138. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月地地地＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表面需用时间为＝＝×＝．月月g 1.75m /s S gt t 4s 2212 2214175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量
1．天体运动的分析方法 2．中心天体质量和密度的估算 (1)已知天体表面的重力加速度g和天体半径R G Mm R2＝mg? ? ? ?天体质量：M＝gR2G 天体密度：ρ＝ 3g 4πGR (2)已知卫星绕天体做圆周运动的周期T和轨道半径r ?? ? ??①G Mm r2＝m 4π2 T2r?M＝ 4π2r3 GT2 ②ρ＝ M 4 3 πR3 ＝ 3πr3 GT2R3 ③卫星在天体表面附近飞行时，r＝R，则ρ＝ 3π GT2 1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知() A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析：由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误． 答案：C 2．(2016·郑州二检)据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空
后，先在近地轨道上以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v ′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g ′和g ，下列结论正确的是( ) A ．g ′∶g ＝4∶1 B ．g ′∶g ＝10∶7 C ．v ′∶v ＝ 528 D ．v ′∶v ＝ 514 解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由G Mm R 2＝mg ，M ＝ρ43 πR 3 ，解两式得g ＝4 3G πρR ，所以g ′∶g ＝5∶14，A 、B 项错；探测器在天体表面飞行时，万有引力 充当向心力，由G Mm R 2＝m v 2R ，M ＝ρ4 3πR 3，解两式得v ＝2R G πρ 3 ，所以v ′∶v ＝528 ，C 项正确，D 项错． 答案：C 3.嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量G ，月球绕地球做圆周运动的半径r 1、周期T 1，“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道(见图)半径r 2、周期T 2，不计其他天体的影响，则根据题目条件可以( ) A ．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量 B ．求出地球与月球之间的万有引力 C ．求出地球的密度 D.r 13T 12＝r 23T 2 2 解析：绕地球转动的月球受力为GMM ′r 12＝M ′r 14π2 T 1 2得T 1＝ 4π2r 13 GM ＝4π2r 13 Gρ43πr 3.由于不知道地球半径r ，无法求出地球密度，C 错误；对“嫦娥三号”而言，GM ′m r 22 ＝mr 24π2 T 2 2，T 2＝4π2r 23 GM ′ ，已知“嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M ′，但是所
万有引力定律与天体运动 知识点总结与典例 【知识点梳理】 知识点一 开普勒行星运动定律的应用 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 a 3 T 2＝k ， k 是一个与行星无关的常量 知识点二 万有引力定律的理解及应用 1．内容 (1)自然界中任何两个物体都相互吸引。 (2)引力的方向在它们的连线上。 (3)引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。 2．表达式 F ＝ G m 1m 2 r 2，其中G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由卡文迪许扭秤实验测定。 3．适用条件 (1)两个质点之间的相互作用。 (2)对质量分布均匀的球体，r 为两球心间的距离。 知识点三、宇宙速度 1．三个宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v 1＝7.9 km/s ，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 (脱离速度) v 2＝11.2 km/s ，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 (逃逸速度) v 3＝16.7 km/s ，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
2．第一宇宙速度的理解：人造卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度。 3．第一宇宙速度的计算方法 (1)由G Mm R 2＝m v 2 R 得v ＝ GM R . (2)由mg ＝m v 2 R 得v ＝gR . 知识点四、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。 (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。 2．相对论时空观 (1)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。 (2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。 【考点分类 深度解析】 考点一 开普勒运动定律的应用 【例1】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心 B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 【答案】C 【解析】木星绕太阳运行的轨道为椭圆轨道，故太阳应位于其椭圆轨道的一个焦点上，A 错误；由于火星和木星在不同的轨道上，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B 错误；由开普勒第三定律可知，同一中心天体R 3火T 2火＝R 3木T 2木＝k ，即T 2火T 2木＝R 3火 R 3木，C 正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们在近地点时的速度不等，且开普勒第二定律是指，对同一行星而言，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，D 错误。 【变式1】17世纪，英国天文学家哈雷跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定的时间飞临地球，后来哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星围绕太阳公转的轨道是一个非常扁的椭圆，如图所示。从公元前240年起，哈雷彗星每次回归，中国均有记录。它最近一次回归的时间是1986年。从公元前240年至今，我国关于哈雷彗星回归记录的次数，最合理的是( )
“万有引力定律”的典型例题 例5 【例1】假如一个作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则 [ ] A．根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 D．根据上述选答B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将 【分析】人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动时，由地球对它的引力作向心力，即 卫星运动的线速度
当卫星的轨道半径增大为原来的2倍时，由于角速度会发生变化， 错，D正确． 同理，当卫星的轨道半径增大为原来的2倍时，由于线速度的变化，卫星所需的向心力不是减为原来的1/2，而是减小到原来的1/4．B错，C正确． 【答】C、D． 【说明】物体作匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、向心力和轨道半径间有一定的牵制关系．例如，只有当ω不变时，线速度才与半径成正比；同样，当线速度不变时，同一物体的向心力才与半径成反比．使用中不能脱离条件． 研究卫星的运动时，最根本的是抓住引力等于向心力这一关系． 【例2】估算天体的质量 【解】把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据 得 因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．
【例3】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2） 【分析】要计算月球的平均密度，首先应求出质量M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的． 【解】根据牛顿第二定律有 从上式中消去飞行器质量m后可解得 根据密度公式有 【例4】如图1所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中， 连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？ 【分析】把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．
万有引力定律（二） 一、万有引力理论的成就 1．已知下面的哪些数据，可以计算出地球的质量M(G 已知)（ ） A ．地球绕太阳运行的周期及地球到太阳中心的距离 B ．月球绕地球运行的周期及月球到地球中心的距离 C ．人造地球卫星在地面附近绕行时的速度和运动周期 D ．地球同步卫星离地面的高度 2．2003年中国用“神舟”五号飞船将宇航员杨利伟送上太空，中国成为继俄罗斯、美国之后第三个掌握航天技术的国家.设宇航员测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T ，离地面的高度为H ，地球半径为R ，则根据T 、H 、R 和万有引力常量G ，宇航员不能计算出（ ） A ．地球的质量 B ．地球的平均密度 C ．飞船所需向心力 D ．飞船的线速度大小 3.若已知某行星绕太阳公转的半径为r ,公转周期为T ,万有引力常量为G ,则由此可求出( ) (A )某行星的质量 (B )太阳的质量 (C )某行星的密度 (D )太阳的密度 4.地球半径为R ，距离地心高为h 处有一颗同步卫星，另有一半径为3R 的星球，距该星球球心为3h 处也有一颗同步卫星，它的周期为72h ，则该星球的平均密度与地球的平均密度的比值为( ) A ．1∶9 B ．1∶3 C ．9∶1 D ．3∶1 5、天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍.已知某一近地卫星绕地球运行的周期约为 1.4小时,引力常量G=6.67×10-11 N ·m 2/kg 2,由此估算该行星的平均密度为( ) A.1.8×103 kg/m 3 B.5.6×103 kg/m 3 C.1.1×104 kg/m 3 D.2.9×104 kg/m 3 6.为了探测X 星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r 1的圆轨道上运动，周期为T 1，总质量为m 1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r 2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m 2则（ ） A. X 星球的质量为211 24GT r M π= B. X 星球表面的重力加速度为21124T r g X π= C. 登陆舱在1r 与2r 轨道上运动是的速度大小之比为1 22121r m r m v v = D. 登陆舱在半径为2r 轨道上做圆周运动的周期为313212r r T T = 7、已知地球自转周期为T ，地球半径为R ，引力常量为G ，地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，则地球同步卫星的速度大小为_________；地球的质量为_______． 8、近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T ，已知火星的半径为R ，则火星表面的重力加速度为___________，火星的质量为_________。（万有引力常量为G ） 9、2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多可地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS 导航系统的依赖，GPS 由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗星的同步卫星和GPS 导航的轨道半径分别为1R 和2R ，向心加速度分别为1a 和2a ，则12:R R =_____。12:a a =_____（可用根式表示）
第五讲 万有引力定律重点归纳讲练 知识梳理 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： k T a =23 。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T a =2 3 ，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T R =2 3 ，R ——轨道半径。 2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2 成反比。 （2） 公式：2 21r m m G F =，G 叫万有引力常量，2211 /10 67.6kg m N G ??=-。 （3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22 ω-=； ②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2 ；故纬度越大，重力加速度越大。 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2 2 R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处： 22)()(h R GM g mg h R Mm G h h +=?=+，所以g h R R g h 2 2 ) (+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法：2 3 2224)2(GT r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3 23 33,34R GT r V M R V πρρπ=?== ，当r=R 时，2 3GT πρ= 2．g 、R 法：G g R M mg R Mm G 22 = ?=，再根据GR g V M R V πρρπ43,3 43=?== 3．v 、r 法：G rv M r v m r Mm G 2 22 =?=
第二讲 万有引力定律 万有引力定律与天体问题是物理学的重要内容，是高考年年必考的内容之一。突破学习难点，形成解决问题能力的关键就是要建立天体作匀速圆周运动的理想模型。通过模型所遵循的规律去熟悉各个物理量之间的联系，进而又会加深对天体问题的理解，同时也就将繁多的公式做了归纳总结。 （一）开普勒定律 第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等 第三定律：行星轨道半长轴的立方与其周期的平方成正比，即k T r =23 ，k 是与行星无关的 常量 当我们把行星的运动简化为圆运动时，根据万有引力提供向心力可知： 向万F F = r T m r GMm 22 2 4π= 2 234πGM T r k =? K 为一常量，只与中心星体有关。 巧用开普勒定律解题 根据开普勒第三定律 ，卫星绕中心星体有: 2 3 T r ∝ 。两颗卫星绕同一中心星体时，两星体的关系: 这样可以通过一颗已知星求解未知星的各个参量。 想一想：你能估算月地距离吗？
如果不用万有引力定律，用开普勒第三定律，可以先找到一颗已知星。知道绕地行星的半径和周期，就可求的月地距离。 （二）万有引力定律 1.定律的表述：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。 公式：2 r Mm G F =其中G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2 (万有引力恒量） 2.适用条件： （1）适用于可视为质点的两物体间的引力计算 （2）适用于两质量均匀分布的球体间的引力计算 （三） 万有引力定律在天体问题中的应用 注意两个基本情景 地面上随地球自转的物体的运动情景。请注意：轨迹圆的圆心和半径 物体受万有引力和地面的支持力，两力的合力提供向心力。方向指向地轴的一点。 空中绕地球运动的卫星的运动情景 卫星直接由万有引力提供向心力。 1.明确几个加速度 (1).物体随地球自转的加速度 2a r r ω=∝ （?为纬度角） （式中r 为物体到地轴的距离）
浅谈“万有引力与重力”的关系 王习成 【摘要】 关于万有引力和重力的区别与联系，是学生学习的一个难点。当学生在学完万有引力之后，很容易混淆万有引力和重力两个概念，再加上中学物理中常有F 引= mg 的近似处理，学生更是容易把万有引力理解为重力。 【关键词】 重力 万有引力 一、万有引力定律 1. 内容： 自然界中任何两个物体间都存在着相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。 2. 公式：221r m m G F = 引力常量：G=6.67×10—11 N ·m 2/kg 2 r ：质点(球心)间的距离 3. 条件: 质点或均质球体 4. 理解: 普遍性、相互性、宏观性 二、万有引力和重力的区别与联系 1. 万有引力：物体受地球的引力：2R Mm G F = 方向：指向地心。 2. 重力：由于地球的吸引而使物体受到的力，叫做重力。 方向： 竖直向下，指垂直于当地的水平面 （重力与万有引力是同一性质的力。） 重力是由于地球对物体的吸引力而产生的，但重力又不等于万有引力。这是由于地球转动因素的结果。如果地球不是转动的，那么物体所受的重力就等于地球对它的万有引力。另一方面，由于万有引力大小还与物体的距离有关，因此，物体位于地球表面不同高度，物体所受的重力也要发生变化。 （一）地表上的万有引力和重力 由于地球自转，静止在地球上的物体也跟着绕地轴作圆周运动，这个作圆周运动的向心力就由万有引力的一个分力来提供。因此，在地球表面上的物体所受的万有引力可以分解成物体所受的重力和随地球自转做圆周运动的向心力。在早期，人们认为地球是一个惯性系，于是，相对地球静止的物体便处于平衡状态。如果这个物体是用绳子悬挂着，它只可能受两个力，那就是重力W 和绳子张力T ，如图1所示。基于简单的平衡关系，有W = T 。若在绳子中间接一个测力计，重力的大小就通过测T 的大小间接测量出来了，而重力的方向就是绳子收缩的反方向。至于重力的性质，人们初步意识到它是“由于地球的吸引而产生的”。 后来，人们认识到地球存在自转，是一个非惯性系，地表上（除两极外）所有“静止”的物体事实上都处在匀速圆周运动的状态中，因此，都存在向心加速度。但是，当我们仍然考查用绳子悬挂“静止”的物体时，它毕竟还是只会受到两个力的作用。两个力中，绳子张力T 的性质是不会变的（大小和方向不会变），而两个力不再平衡，那么，另一个力（重力W ）的分析就值得反省了。 牛顿发现万有引力之后，这个问题迎刃而解。现在，人们已经能够对地表上“静止”的悬挂物进行正确的受力分析——它受到绳子张力T 和万有引力F 的作用，T 和F 的合力ΣF 即物体做圆周运动的向心力，如图2所示。由图可知，由于F 指向地心O 而ΣF 指向物体做圆周运动的圆心O ′，故T 并不沿地球半径方向。