第讲简便计算四——裂项相消法

裂差相消法
裂差相消法是数列求和的一种方法，它主要适用于某些特定的数列，特别是那些可以分解为两个部分，且这两个部分在一定条件下可以相互抵消的数列。

这种方法在数学中被称为“裂项相消法”，它利用了数列中项与项之间的差分关系来简化求和过程。

裂差相消法的核心思想是将数列中的每一项分解为两个部分，使得这两个部分在求和时可以相互抵消，从而简化求和过程。

这种方法通常适用于等差数列或等比数列的求和问题。

例如，对于等差数列的求和，可以使用裂差相消法将每一项分解为两个连续项的差，然后这些差在求和时会相互抵消，只剩下首项和末项：
对于等差数列{a,a+d,a+2d,...,a+(n-1)d}，其中a是首项，d是公差，裂差相消法的求和过程可以表示为：S=(a+(a+d))+(a+2d+(a+3d))+...+(a+(n-1)d+a+n d)
将每一对括号中的项相加，得到：
S=2a+2d+2a+4d+...+2a+2(n-1)d
可以看出，除了首项和末项之外，中间的所有项都会相互抵消，因此求和结果为：
S=2a+2(a+nd)+2d(1+2+...+(n-1))
其中，2d(1+2+...+(n-1))是等差数列求和公式的结果，即n(n-1)d/2。

因此，最终求和结果为：
S=2a+2(a+nd)+n(n-1)d/2
裂差相消法在求解某些特定类型的数列求和问题时非常有效，它可以将复杂的求和问题简化为简单的计算。

在实际应用中，需要根据数列的具体特点来选择合适的裂差相消方法。

可下载 可修改 优质文档第 1 页 共 10 页 裂项相消法讲义1、利用裂项相消法求和应注意：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩几项，后面对称地也剩几项,且前面所剩项的符号与后边刚好相反，例如数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)2(1n n 的求和。

(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111n n a a ，1a n a n ＋2＝12d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+211n n a a 2. 裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列a n 的通项公式，达到求解目的．归纳起来常见的命题角度有：(1)形如)11(1)(1kn n k k n n +-=+型。

如1n n ＋1＝1n －1n ＋1； (2)形如a n ＝()n k n k kn n -+=++11型； (3)形如a n ＝12n －12n ＋1＝)121121(21+--n n 型； (4)形如a n ＝n ＋1n 2n ＋22型．(5)形如a n ＝4n 4n －14n ＋1－1＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1411411n n 型； (6)n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n －1－1n ·2n. 角度1 形如a n ＝1n n ＋k型; 【例1】 在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N *恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由．[解析] (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16，∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.。

裂项相消法公式大全
裂项相消法是一种数学方法，用于解决等差数列、等比数列以及无理数列的求和问题。

该方法的基本思想是将等差数列、等比数列以及无理数列的每一项分别裂项，然后将裂项相消，从而得到等差数列、等比数列以及无理数列的和。

以下是裂项相消法的一些公式:
1. 等差数列求和公式:
Sn = n * (a1 + an) / 2
其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。

2. 等比数列求和公式:
Sn = (n/2) * (a1 * an) / (an + a1)
其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。

3. 无理数列求和公式:
对于无理数列，可以将每一项裂项，然后相消。

例如，对于无理数列π*(n+1)/n，可以将π*(n+1)/n 裂项为π/n 和 (n+1)*π/n，然后将两项相消。

4. 等差数列裂项公式:
a[n+1] - a[n] = (n+1-n)*a1
其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

5. 等比数列裂项公式:
a[n+1]/a[n] = (a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n])
其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

6. 无理数列裂项公式:
π*(n+1)/n - π/n = (n+1-n)*π
其中，π*(n+1)/n 是数列的第 n+1 项，π/n 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

以上是裂项相消法的一些公式，可以根据实际需要选择合适的公式进行求解。

初一数学裂项相消法
裂项相消法是初一数学中常用的一种方法，它可以帮助我们简化计算，提高计算效率。

具体来说，裂项相消法就是将一个式子中的一些相邻的项相减，使得式子的结构更加简单，从而便于计算。

举个例子，假设我们需要计算以下式子的值：
1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11
这个式子看起来比较复杂，但是我们可以利用裂项相消法来简化它。

具体来说，我们可以将式子中相邻的项相减，得到：
(1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + (1/7 - 1/9) + (1/9 - 1/11) 这样，我们就得到了一个新的式子，它的结构更加简单，从而更容易计算。

接下来，我们只需要依次计算每一项的值，然后将它们相加即可得到原式的值。

总之，裂项相消法是初一数学中常用的一种方法，它可以帮助我们简化计算，提高计算效率。

在实际运用中，我们可以根据需要灵活运用这种方法，从而更好地解决数学问题。

- 1 -。

第5讲 简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。

二：列项相消公式（1）111(n 1)1n n n =-++ （2）()11k n n k n n k =-++ （3）1111()(n )n k n n k k=-⨯++ （4）()()()()()1111121122n n n n n n n ⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ （5）11a b a b a b+=+⨯ （6）22a b b a a b a b+=+⨯ 三：数列（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。

(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。

依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二 项、、、、、、第n 项（末项）。

（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。

四：等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

而这个常数叫做等差数列的公差。

（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2（3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）三：经典例题例1、111111112233445566778++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式111(n 1)1n n n =-++）例2、1111111 261220304256 ++++++例3、111111111 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 612203042567290110例4、111111 133557799111113 +++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯例5、11111315356399++++例6、111111+3+5+7+9315356399144771*********⨯⨯⨯⨯⨯例8、22222 +++++ 1335572001200320032005⨯⨯⨯⨯⨯例9、3579111315-+-+-+261220304256例10、354963779110561220304256-+-+-（例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个数相加的和。

数列求和裂项相消法数列求和裂项相消法是一种利用数列中相邻项之差的特殊性质，通过对数列元素进行分解和化简，最终得到数列的和的公式的方法。

具体步骤如下：1. 找出数列中相邻项的差，通过将相邻项进行相减，得到一个新的数列。

2. 对新数列进行合并。

如果新数列中对应的项之间存在相消的情况，可以将它们合并为一个式子。

3. 将合并后的式子进行分解，找出一些特定的公式或规律。

4. 将分解后的公式和规律代入到原数列的求和公式中，得到数列的和的公式。

下面以一个简单的例子来说明这种方法：例子：求数列1+3+5+7+9+...+99的和。

分析：这个数列中相邻项的差为2，所以我们可以将它分解为：1 + (3-2) + (5-2*2) + (7-3*2) + (9-4*2) + ... + (99-49*2)在对每一项进行合并时，可以发现有些项之间存在相消的情况，比如：3-2和2*1可以相消；7-3*2和2*2可以相消；11-4*2和2*3可以相消；... ...因此，我们可以将这些相消的项合并起来，得到下面的式子：1 + 2(1-2) + 2(2-3) + 2(3-4) + ... + 2(49-50)接下来，我们可以将每一项进行拆分，得到如下的式子：1 + 2(-1) + 2(-1) + 2(-1) + ... + 2(-1)或者简写为：1 -2 + 2 - 2 + 2 - ... + 2 - 2这是一个等差数列，公差为-2，首项为1，共有50项。

因此，它的和可以通过等差数列求和公式来计算：S = (a1 + an) * n / 2其中，a1是首项，an是最后一项，n是项数。

将这些值代入到求和公式中，得到：S = (1 - 99) * 50 / 2 = -2450因此，数列1+3+5+7+9+...+99的和为-2450。

总之，数列求和裂项相消法是一种快速求解数列和的方法，尤其适用于一些具有相邻项之差规律的数列。

知识点裂项相消法1.基本原理：裂项相消法的基本思想是将有理函数分解成若干个部分分式的和，其中每个部分分式的分母是一次因式的幂。

具体而言，对于一个有理函数P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是多项式，且Q(x)可分解为一些一次因式的乘积。

假设Q(x)可分解为Q(x)=(x-a)^n(x-b)^m...(x-z)^p，则有理函数P(x)/Q(x)可以分解成以下形式的部分分式相加的形式：P(x)/Q(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)^2+...+An/(x-a)^n+B1/(x-b)+B2/(x-b)^2+...+Bm/(x-b)^m+...+Z1/(x-z)+Z2/(x-z)^2+...+Zp/(x-z)^p.其中，A1,A2,...,An,B1,B2,...,Bm,...,Z1,Z2,...,Zp是待定常数。

2.应用：裂项相消法主要用于求解有理函数的积分和微分。

在求解积分时，通过将有理函数分解成部分分式，可以将原来的复杂积分问题转化为一系列简单的积分。

同样地，在求解微分方程时，将有理函数分解成部分分式相加的形式可以简化微分方程的求解过程。

3.求解过程：下面我们通过一个例子来演示裂项相消法的求解过程。

假设我们要求解积分∫(x^2+4)/(x+1)(x+2)dx。

首先，我们需要将被积函数(x^2+4)/(x+1)(x+2)分解为若干个部分分式相加的形式。

首先，我们将(x^2+4)除以(x+1)(x+2)得到一个商函数和一个余数：(x^2+4)/(x+1)(x+2)=x-1+6/(x+1)(x+2).然后，我们将6/(x+1)(x+2)继续分解为部分分式的和：6/(x+1)(x+2)=A/(x+1)+B/(x+2).通过通分得到：将A(x+2)+B(x+1)展开，得到：由于等式两边的系数必须相等，所以有：A+B=0,解这个方程组可以得到：A=2,因此，我们有：6/(x+1)(x+2)=2/(x+1)-2/(x+2).综合上述结果，我们可以得到：∫(x^2+4)/(x+1)(x+2)dx=∫(x-1+2/(x+1)-2/(x+2))dx=∫(x-1)dx+∫2/(x+1)dx-∫2/(x+2)dx=x^2/2-x+2ln，x+1，-2ln，x+2，+C.其中，C是常数。

裂项相消法求和裂项相消法是一种求和的方法，它通过将一系列相邻或相对数之间的差值相消，得到最终的和。

这种方法在高中数学中常常被用到，可以简化复杂的求和过程，使得计算更加简便和高效。

裂项相消法的基本思想是利用数列中的对称性，找出相邻项之间的差值，并通过相消的方式将它们消去。

这样一来，原来复杂的数列求和问题就变得相对简单起来。

举个例子来说明裂项相消法的使用。

假设我们要求和的数列是1-2+3-4+5-6+...+99-100。

一般情况下，我们可以使用等差数列求和公式来计算，但这里我们尝试使用裂项相消法来解决。

我们可以观察到数列中的对称性。

每两个相邻的数之间的差值都是1，所以我们可以分别将这些差值相加，即(1-2)+(3-4)+(5-6)+...+(99-100)。

接下来，我们可以发现每一对差值之和都是-1。

所以这个数列的和就等于差值的个数乘以-1，即有50个差值，所以和为50*(-1)=-50。

通过这个简单的例子，我们可以看出裂项相消法的优势。

它可以将原本复杂的数列求和问题转化为一系列简单的差值相加，从而得到最终的和。

而且，这种方法通常比直接使用求和公式更容易理解和计算。

除了对称性外，裂项相消法还可以利用数列中的其他特点来简化求和过程。

比如，如果数列中存在重复的项，我们可以将它们相加后再相消。

又或者，如果数列中存在周期性的规律，我们可以根据规律性质来简化求和。

这些都是裂项相消法的应用技巧，可以根据具体情况进行灵活运用。

裂项相消法是一种简化数列求和问题的方法。

它通过利用数列中的对称性和其他特点，将原本复杂的求和过程转化为简单的差值相加，从而得到最终的和。

在解决一些特定的数列求和问题时，裂项相消法可以帮助我们更加高效地计算，提高求解的准确性和速度。

所以，在数学学习中，掌握和运用裂项相消法是非常重要的。

第5讲 简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。

二：列项相消公式（1）111(n 1)1n n n =-++ （2）()11k n n k n n k =-++ （3）1111()(n )n k n n k k=-⨯++ （4）()()()()()1111121122n n n n n n n ⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ （5）11a b a b a b+=+⨯ （6）22a b b a a b a b+=+⨯ 三：数列（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。

(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。

依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二 项、、、、、、第n 项（末项）。

（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。

四：等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

而这个常数叫做等差数列的公差。

（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2（3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）三：经典例题例1、111111112233445566778++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式111(n 1)1n n n =-++）例2、1111111 261220304256 ++++++例3、111111111 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 612203042567290110例4、111111 133557799111113 +++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯例5、11111315356399++++例6、111111+3+5+7+9315356399144771*********⨯⨯⨯⨯⨯例8、22222 +++++ 1335572001200320032005⨯⨯⨯⨯⨯例9、3579111315-+-+-+261220304256例10、354963779110561220304256-+-+-（例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个数相加的和。