第五讲 双曲线的几何性质

双曲线的几何性质： （1）范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心（2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为a 2, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线12222=-by a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b y a x ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔（5）．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e（6）．共渐近线的双曲线系如果双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（7）．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．（8）．双曲线的准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=； 对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:= （9）.双曲线的焦半径（了解）定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF（21,F F 分别是左、右焦点） 焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF（21,F F 分别是下、上焦点） （10）．双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： )(221x x e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-=当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=（11）．双曲线的重要结论：（1）双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距)2bpc =。

2.61双曲线的性质2.61双曲线的性质【学习目标】1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题. 【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质 双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x a a x a x a即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a.对称性对于双曲线标准方程22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。

实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

②双曲线的焦点总在实轴上。

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。

②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a =>。

双曲线的几何性质教案教案标题：双曲线的几何性质教案目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质。

2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。

3. 能够应用所学知识解决与双曲线相关的几何问题。

教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习椭圆和抛物线的几何性质，引出双曲线的概念。

2. 引导学生思考双曲线与椭圆、抛物线的异同之处。

知识讲解：3. 介绍双曲线的定义，以及与椭圆和抛物线的区别。

4. 解释双曲线的标准方程，并讲解如何根据方程确定双曲线的形状和位置。

性质探究：5. 讲解双曲线的焦点和准线的定义，以及它们与双曲线方程中的参数的关系。

6. 引导学生通过计算实例，理解焦点和准线对双曲线形状的影响。

应用实践：7. 引导学生通过实例，探究双曲线的渐近线的性质和方程。

8. 给学生一些实际问题，要求他们应用所学知识解决问题，如：给定双曲线的焦点和准线，求双曲线的方程。

巩固练习：9. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。

总结回顾：10. 总结双曲线的几何性质，强调重点和难点。

11. 鼓励学生提问和解答疑惑。

教学辅助：- 演示板或投影仪，用于展示双曲线的图形和方程。

- 教科书或教学PPT，用于讲解和示范。

- 计算器，用于计算实例。

教学评估：- 在课堂上观察学生的参与度和理解情况。

- 布置作业，检查学生对双曲线几何性质的掌握程度。

- 进行小组或个人演示，让学生展示他们对双曲线的理解和应用能力。

教案扩展：- 引导学生进一步探究双曲线的其他性质，如离心率、直线的切线等。

- 引导学生应用双曲线的性质解决更复杂的几何问题，如求解交点、证明性质等。

注意事项：- 确保讲解清晰，语言简明扼要，避免过于抽象或复杂的表达。

- 鼓励学生思考和提问，激发他们的兴趣和参与度。

- 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和步骤。

《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 理解双曲线的定义及其标准方程。

2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。

3. 能够运用双曲线的几何性质解决实际问题。

二、教学内容1. 双曲线的定义及标准方程引导学生回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义及标准方程。

强调双曲线的关键要素：中心、焦点、实轴、虚轴、顶点等。

2. 双曲线的焦点解释双曲线的焦点概念，引导学生理解焦点与实轴的关系。

引导学生通过实例验证双曲线的焦点性质。

3. 双曲线的准线介绍准线的概念，引导学生理解准线与虚轴的关系。

引导学生通过实例验证双曲线的准线性质。

4. 双曲线的渐近线解释双曲线的渐近线概念，引导学生理解渐近线与双曲线的关系。

引导学生通过实例验证双曲线的渐近线性质。

5. 双曲线的对称性引导学生理解双曲线的对称性，包括轴对称和中心对称。

引导学生通过实例验证双曲线的对称性。

三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现双曲线的几何性质。

2. 利用图形软件或板书，直观展示双曲线的几何性质，帮助学生理解。

3. 提供丰富的实例，引导学生通过实践验证双曲线的几何性质。

四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对双曲线几何性质的理解。

2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。

3. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对双曲线几何性质的掌握。

五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示双曲线的几何性质。

2. 图形软件：利用图形软件或板书，展示双曲线的几何性质。

3. 练习题及答案：提供相关的练习题及答案，方便学生自测。

教学反思：本节课通过问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。

通过实例验证，使学生更好地理解双曲线的焦点、准线、渐近线等性质。

利用图形软件或板书进行直观展示，帮助学生形成直观的双曲线几何性质的认识。

在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。

《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及几何性质，能够运用双曲线的性质解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现双曲线的几何性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，感受数学在实际生活中的应用。

二、教学重点1. 双曲线的定义及标准方程。

2. 双曲线的几何性质：焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等。

三、教学难点1. 双曲线几何性质的理解和应用。

2. 双曲线方程的求解。

四、教学准备1. 教师准备：双曲线的教学课件、教案、例题及练习题。

2. 学生准备：预习双曲线相关知识，准备课堂讨论。

五、教学过程1. 导入新课：通过复习椭圆的知识，引出双曲线的学习，激发学生的兴趣。

2. 讲解双曲线的定义及标准方程：引导学生了解双曲线的定义，讲解双曲线的标准方程及求解方法。

3. 分析双曲线的几何性质：引导学生观察双曲线的图形，分析双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等几何性质。

4. 例题讲解：挑选具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用双曲线的几何性质解决问题。

5. 课堂练习：为学生提供一些有关双曲线的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。

6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线的几何性质及其在实际问题中的应用。

7. 布置作业：布置一些有关双曲线的练习题，让学生课后巩固所学知识。

8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

六、教学评价1. 学生对双曲线的定义、标准方程及几何性质的掌握程度。

2. 学生运用双曲线性质解决问题的能力。

3. 学生对数学学习的兴趣和积极性。

七、教学建议1. 注重双曲线几何性质的讲解，让学生充分理解并掌握。

2. 多举例子，让学生在实际问题中感受双曲线的应用。

3. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。

(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才干解决双曲线中的弦、最值等问题．1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明． ) 2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．(解决办法：先引导学生观察以原点为中心， 2a、2b 长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线． )3．疑点：双曲线的渐近线的证明．(解决办法：通过详细讲解． )提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．2．双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在 x 轴上的双曲线的标下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质 1~3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启示、订正并板书)．<见下页>(三)问题之中导出渐近线(性质 4)在学习椭圆时，以原点为中心， 2a、2b 为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心， 2a、2b 为邻边作一矩形(板书图形)，那末双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图 2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．接着再提出问题：当 a、b 为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部份可写成：当 x 逐渐增大时， |MN|逐渐减小， x 无限增大， |MN|接近于零， |MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部份从射线 ON 的下方逐渐接近于射线 ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y 轴上的双曲线方程是由焦点在 x 轴上的双曲线方程，将x、y 字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将 x、y 字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)顺其自然介绍离心率(性质 5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，教师指出：焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(五)练习与例题1．求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．由此可知，实半轴长 a=4，虚半轴长 b=3．焦点坐标是(0，-5)， (0，5)．本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．这就是双曲线的标准方程．由此例不难归纳出双曲线的第二定义．(六)双曲线的第二定义1．定义(由学生归纳给出)平面内点 M 与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数 e=叫做双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率．2．说明(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．五、布置作业1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率 e 和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是 10，虚轴长是 8，焦点在 x 轴上；(2)焦距是 10，虚轴长是 8，焦点在 y 轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．作业答案：距离为 7六、板书设计。

《双曲线的几何性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其标准方程。

2. 掌握双曲线的基本几何性质，包括渐近线方程、离心率、焦距等。

3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。

二、教学内容：1. 双曲线的定义与标准方程2. 双曲线的渐近线方程3. 双曲线的离心率4. 双曲线的焦距5. 双曲线与其他几何图形的关系三、教学重点与难点：1. 重点：双曲线的定义、标准方程及其几何性质。

2. 难点：双曲线渐近线方程的推导，离心率、焦距的计算。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。

2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解双曲线的特点。

3. 注重个体差异，鼓励学生提问和发表见解。

五、教学过程：1. 导入：回顾椭圆的几何性质，引导学生思考双曲线的定义及其与椭圆的区别。

2. 新课：讲解双曲线的定义与标准方程，引导学生理解双曲线的图形特点。

3. 探究：让学生自主探究双曲线的渐近线方程，教师给予指导。

4. 讲解：讲解双曲线的离心率和焦距的计算方法，结合实际例子进行演示。

5. 应用：布置练习题，让学生运用双曲线的几何性质解决实际问题。

6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。

7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。

2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。

3. 练习题解答：评估学生在练习题中的表现，了解其对双曲线几何性质的掌握程度。

4. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高其分析和解决问题的能力。

七、教学资源：1. 教案、PPT课件2. 数学教材3. 练习题及答案4. 几何画图软件（可选）八、教学进度安排：1. 第一课时：双曲线的定义与标准方程2. 第二课时：双曲线的渐近线方程3. 第三课时：双曲线的离心率4. 第四课时：双曲线的焦距5. 第五课时：双曲线与其他几何图形的关系九、教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。

双曲线的几何性质
双曲线是二次曲线的一种，其几何性质如下：
1. 双曲线有两个分支，分布在两侧于中心对称的轴线上。

轴线与曲线没有交点。

2. 双曲线的两个分支无限延伸，没有端点。

两个分支之间的距离称为双曲线的焦距，记作2c。

3. 双曲线具有对称性质，即关于x轴、y轴及原点对称。

4. 双曲线的两个分支与其对称轴之间的距离称为双曲线的半轴长，记作a。

半轴长的大小决定了双曲线的形状。

5. 双曲线具有渐近线性质，即两个分支无限接近于直线，称为双曲线的渐近线。

渐近线的方程为y = ±(a/c)x。

6. 双曲线与椭圆和抛物线不同，它没有顶点或焦点。

7. 双曲线的离心率（eccentricity）为大于1的实数，其值决定了曲线的形状。

离心率越大，曲线越扁平。

8. 双曲线的方程一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为实数，且满足
B^2 - 4AC < 0，且A和C异号。

这些性质描述了双曲线的形状、对称性、渐近线以及与其他曲线的区别。

双曲线在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。

双曲线的性质【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x a ax a x a即或≥≥∴≥≤- 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a.对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。

实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

②双曲线的焦点总在实轴上。

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。

②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>。

由c 2=a 2+b 2，可得b a ===b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。

所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。

③等轴双曲线a b =，所以离心率2=e 。

双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a bx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。

2．3.2 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．知识点一 双曲线的范围、对称性思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？答案 (1)有限制，因为x 2a2≥1，即x 2≥a 2，所以x ≥a 或x ≤－a .(2)关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．梳理 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)，y ∈R .双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈R ，y ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)． (2)双曲线的对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为原点． 知识点二 双曲线的顶点思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？ (2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？答案 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点．(2)是，只有两个顶点．双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上．梳理 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(－a,0)，(a,0)；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(0，－a )，(0，a )． 知识点三 渐近线与离心率(1)渐近线：直线y ＝±b a x 叫做双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线．(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ca叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1)．(3)双曲线的几何性质见下表：标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)类型一由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、半实轴长、半虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．解将4x2－y2＝4变形为x2－y24＝1，即x212－y222＝1.∴a＝1，b＝2，c＝ 5.因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)；半实轴长是a＝1，半虚轴长是b＝2；离心率e ＝c a ＝51＝5；渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，草图如图所示．反思与感悟 根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，半实轴长a ＝4，半虚轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程 例2 求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)；(3)过点(3,92)，离心率e ＝103. 解 (1)方法一 椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程x 216＋y 225＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1， 解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)方法一 双曲线x 216－y 24＝1的焦点为F 1(－25，0)，F 2(25，0)．设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧18a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.方法二 由双曲线方程x 216－y 24＝1知焦点在x 轴上，设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍)， 故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.(3)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k . 于是，设所求双曲线方程为 x 29k －y 2k ＝1，①或y 29k －x 2k＝1，②把(3,92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾，无解； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.反思与感悟 1.已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏．2．若已知双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，求双曲线方程时，为避免讨论，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再根据其他条件确定λ的值．跟踪训练2 已知圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆C ：x 250＋y 225＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解 椭圆C ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则G 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.∵圆M 的圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4. ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.类型三 直线与双曲线的位置关系例3 已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k 的取值范围； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0.①(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＜0，解得k ＞52或k ＜－52， 则k 的取值范围为k ＞52或k ＜－52. (2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解． 当1－k 2＝0，即k ＝±1时，①式方程只有一解；当1－k 2≠0时，应满足Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＝0， 解得k ＝±52，故k 的值为±1或±52.反思与感悟 (1)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论．(2)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定．(3)弦长公式：直线y ＝kx ＋b 与双曲线相交所得的弦长与椭圆的相同：d ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|. 跟踪训练3 已知双曲线方程为3x 2－y 2＝3. (1)求以定点A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)以定点B (1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设所求直线方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx －2k ＋1，将它代入3x 2－y 2＝3， 得(3－k 2)x 2－2k (1－2k )x －4k 2＋4k －4＝0，① 设双曲线与直线交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝2k (1－2k )3－k 2，因为A (2,1)为弦PQ 的中点， 所以x 1＋x 2＝4，即2k (1－2k )3－k 2＝4，解得k ＝6，此时方程①为33x 2－132x ＋124＝0， 且Δ>0，所以方程①有两实数根，即直线与双曲线相交于两点，从而所求直线方程为6x －y －11＝0. (2)方法一 不存在．理由如下： 设所求直线方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx －k ＋1，将它代入3x 2－y 2＝3中， 得(3－k 2)x 2－2k (1－k )x －k 2＋2k －4＝0，② 设直线与双曲线相交于M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k (1－k )3－k 2.若B (1,1)为弦MN 的中点，则x 3＋x 4＝2， 即2k (1－k )3－k 2＝2，解得k ＝3， 此时方程②为6x 2－12x ＋7＝0，且Δ＝－24<0， 所以方程②无实数根， 即直线与双曲线不相交，从而可知以B (1,1)为中点的弦不存在． 方法二 不存在．理由如下： 假设这样的直线l 存在，设弦的两端点分别为Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)， 则有x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3， 两式相减得(3x 21－3x 22)－(y 21－y 22)＝0，所以3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 所以3(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0.若直线Q 1Q 2⊥x 轴，则线段Q 1Q 2中点不可能是点B (1,1)， 所以直线Q 1Q 2的斜率存在， 于是斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3.所以直线Q 1Q 2的方程为y －1＝3(x －1)， 即y ＝3x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，3x 2－y 2＝3，得3x 2－(3x －2)2＝3， 即6x 2－12x ＋7＝0，故Δ＝144－4×6×7<0， 这就是说，直线l 与双曲线没有公共点， 因此这样的直线不存在.1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 C解析 双曲线标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.2．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－a x ，∴3－a ＝32，解得 a ＝－4.3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.3414B.324C.32D.43 答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，e ＝c a ＝32.4．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 答案 D解析 ∵等轴双曲线的焦点为(－6,0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18.∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1. 5．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________．答案 (±7，0)解析 由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ， 得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上．6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±22x解析 由条件知2b ＝2,2c ＝23， ∴b ＝1，c ＝3，a 2＝c 2－b 2＝2， 即a ＝2，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1，因此其渐近线方程为y ＝±22x .(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在直线x ＝－a 与x ＝a 之间无图形，当|x |无限增大时，|y |也无限增大，故曲线是无限延展的．(2)双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点．(3)等轴双曲线的统一方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，它表示焦点在x 轴上的双曲线，当λ<0时，它表示焦点在y 轴上的双曲线．其渐近线方程为y ＝±x ，且它们互相垂直． (4)双曲线方程确定，其渐近线唯一确定；渐近线确定，其对应的双曲线不唯一确定． (5)依据双曲线的有关性质求解方程时，常用的技巧如下：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若λ<0，则表示焦点在y 轴上的双曲线．②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相等离心率的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ>0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a 2<λ<b 2)．④已知渐近线方程为y ＝±ba x ，双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．一、选择题1．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1 答案 A解析 由双曲线渐近线方程的求法知，双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.2．若双曲线x 2a2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53答案 D解析 由条件知y ＝－b a x 过点(3，－4)，∴3ba ＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.3．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 4．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－2 答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意．5．如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作倾斜角为30°的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x答案 C解析 设F 1(－c,0)，M (0，y 0)，因为M 为PF 1中点，且PF 1倾斜角为30°，则P ⎝⎛⎭⎫c ，233c ，将其代入双曲线方程得c 2a 2－43c 2b2＝1，又有c 2＝a 2＋b 2，整理得3⎝⎛⎭⎫b a 4－4⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，解得⎝⎛⎭⎫b a 2＝2或⎝⎛⎭⎫b a 2＝－23(舍去)． 故所求渐近线方程为y ＝±2x .6.设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( ) A.103 B.52 C. 5 D.343答案 D解析 设F (c,0)，则过双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )， 而渐近线方程是y ＝±bax ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x 得B (ac a －b ，－bc a －b )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝b a x 得A (ac a ＋b ，bc a ＋b)，AB →＝(2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2)，AF →＝(bc a ＋b ，－bc a ＋b )，由AB →＝－3AF →，得(2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2)＝－3(bc a ＋b ，－bc a ＋b )， 则2abc a 2－b 2＝－3·bca ＋b， 即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ， 则e ＝c a ＝343，故选D.二、填空题7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案 x 24－y 2＝1解析 由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.8．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6. 9．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________. 答案3解析 由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3.10．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 答案 2＋ 3解析 把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b2 ＝1，得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3bc －2a .由题意，得3b c －2a ＝ba.∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝2＋ 3.三、解答题11．根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52；(3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．解 (1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝2，∴c 2a2＝2，即a 2＝b 2.①又双曲线过P (3，－5)，∴9a 2－5b 2＝1，②由①②得a 2＝b 2＝4， 故双曲线方程为x 24－y 24＝1.若双曲线的焦点在y 轴上， 设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，同理有a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知半焦距为9－4＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x 29－y 216＝14，即双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.12．已知双曲线x 2－y 22＝1，过P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P是线段AB 的中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由． 解 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，即(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)2·y 1－y 2x 1－x 2＝0，又过P (1,1)，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 所以k AB ＝2，所以l 方程为y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－4×2×3＜0，故直线l 与双曲线没有交点，即直线l 不存在． 13．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长．(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0.设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×289＝2143. (2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2，即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)．2．3.2 双曲线的简单几何性质(学生版)学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．知识点一 双曲线的范围、对称性思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？答案 (1)有限制，因为x 2a2≥1，即x 2≥a 2，所以x ≥a 或x ≤－a .(2)关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．梳理 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)，y ∈R .双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈R ，y ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)． (2)双曲线的对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为原点． 知识点二 双曲线的顶点思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？ (2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？答案 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点．(2)是，只有两个顶点．双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上．梳理 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(－a,0)，(a,0)；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(0，－a )，(0，a )． 知识点三 渐近线与离心率(1)渐近线：直线y ＝±b a x 叫做双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线．(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ca叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1)．(3)双曲线的几何性质见下表：标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)类型一由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、半实轴长、半虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．反思与感悟根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关．跟踪训练1求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆y225＋x216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)；(3)过点(3,92)，离心率e＝10 3.反思与感悟 1.已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏．2．若已知双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，求双曲线方程时，为避免讨论，则可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再根据其他条件确定λ的值．跟踪训练2已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：x250＋y225＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．类型三直线与双曲线的位置关系例3已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；(2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的取值范围．反思与感悟(1)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论．(2)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定．(3)弦长公式：直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长与椭圆的相同：d＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.跟踪训练3已知双曲线方程为3x2－y2＝3. (1)求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由．1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．2 D ．13．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( ) A.3414 B.324 C.32 D.434．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( )A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 5．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 6．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．(1)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)在直线x ＝－a 与x ＝a 之间无图形，当|x |无限增大时，|y |也无限增大，故曲线是无限延展的．(2)双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点．(3)等轴双曲线的统一方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，它表示焦点在x 轴上的双曲线，当λ<0时，它表示焦点在y 轴上的双曲线．其渐近线方程为y ＝±x ，且它们互相垂直．(4)双曲线方程确定，其渐近线唯一确定；渐近线确定，其对应的双曲线不唯一确定．(5)依据双曲线的有关性质求解方程时，常用的技巧如下：①与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若λ<0，则表示焦点在y 轴上的双曲线．②与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相等离心率的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ>0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a 2<λ<b 2)．④已知渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．一、选择题1．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53 3．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－25．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作倾斜角为30°的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x6.设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( )A.103B.52C. 5D.343二、填空题7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________． 8．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．9．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________. 10．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．三、解答题11．根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52； (3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．12．已知双曲线x 2－y 22＝1，过P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由．13．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)． (1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长． (2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．。