专题16多边形的内角和及平行四边形(知识点串讲)(原卷版)

专题16 多边形的内角和及平行四边形知识框架重难突破一、多边形的内角和及平行四边形1、多边形（1）多边形的概念：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.（2）多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2 条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．（3）多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.备注：1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.2、平面图形的镶嵌（1）镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．（2）平面图形的镶嵌1）一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；2）两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；3）三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.备注：能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.3、三角形中位线定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.4、平行四边形的定义、性质与判定（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）平行四边形的性质：1）平行四边形的对边平行且相等；2）平行四边形的对角相等，邻角互补；3)平行四边形的对角线互相平分；4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．（3）平行四边形的判定：1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．备注：在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线:1）对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；2）对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；3）对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系.5：平行线间的距离（1）两条平行线间的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.备注：1）距离是指垂线段的长度，是正值.2）平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.3）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.（2）平行四边形的面积：平行四边形的面积=底×高(等底等高的平行四边形面积相等).例1．（2018·四川省初二期末）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ （A．9B．8C．7D．6【答案】A【解析】详解：.答:这个正多边形的边数是9. 故选A.练习1．（2018·额尔古纳市三河中学初二期末）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】解：设这个多边形的边数为n，则有（n-2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B．例2．（2018·安徽省初二期末）一个三角形，剪去一个角后所得的多边形内角和的度数是（）A．180°B．360°C．540°D．180°或360°【答案】D【解析】剪去一个角，若边数不变，则内角和=∴3-2∴•180°=180°∴若边数增加1，则内角和=∴4-2∴•180°=360°∴所以，所得多边形内角和的度数可能是180°∴360°∴故选D∴（2016·安徽省合肥38中初二期末）一个多边形切去一个角后（形成的另一个多边形的内角和为1080°（练习1．求原多边形的边数（【答案】7∴8或9∴【解析】根据题意有(n∴2)·180°∴1 080°.解得n∴8.因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1∴所以原多边形的边数可能为7∴8或9.例3．（2019·马鞍山秀山实验学校初二期末）只用下列图形不．能．进行平面镶嵌的是（）A．全等的三角形B．全等的四边形C．全等的正五边形D．全等的正六边形【答案】C【解析】解：A项，三角形的内角和是180°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B项，四边形的内角和是360°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C项，正五边形的一个内角的度数为180－360÷5=108，不是360的约数，不能镶嵌平面，符合题意；D项，正六边形的一个内角的度数是180－360÷6=120，是360的约数，能镶嵌平面，不符合题意；故选C.练习1．（2014·贵州省初一期末）一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形【答案】B【解析】∵正三角形、正四边形、正六边形的内角分别为60°、90°、120°，又∵360°-60°-90°-120°=90°， ∴另一个为正四边形， 故选B ．例4．（2019·安徽省初二期末）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ） A ．邻角互补 B ．对角互补 C ．对边相等 D ．对角线互相平分【答案】B【解析】平行四边形的对角相等、邻角互补、对边相等、对角线互相平分．故选B∴练习1．（2018·安徽省初二期末）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCDB ．AB ＝BCC ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．∠DAB +∠BCD ＝180°【答案】D 【解析】解:四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，//AB CD ∴，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则 AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）； 平行四边形ABCD 中，ABC ACD S S ∆∆=，即⨯=⨯BC AE CD AF ，BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确； AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等），故C 正确； 如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确． 故选：D ．例5．（2018·柯坦中学初二期末）在平行四边形ABCD 中，已知5AB =，3BC =，则它的周长为( ) A ．8 B ．10C ．14D ．16【答案】D【解析】解∴∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD=5∴AD=BC=3∴∴平行四边形ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=5+3+5+3=16 故选D ．练习1.（2018·河南省初二期末）如图，▱ABCD 中，AB（4（BC（6（AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是( )A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形∴∴DC ∴AB ∴4∴AD ∴BC ∴6∴ ∴AC 的垂直平分线交AD 于点E ∴∴AE ∴CE ∴∴∴CDE 的周长＝DE +CE +DC ∴DE +AE +DC ∴AD +DC ∴6+4∴10∴ 故选C∴例6．（2019·安徽省初二期末）如图，在▱ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝7，EF ＝3，则BC 的长为( )A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】详解∴∵四边形ABCD 是平行四边形∴∴AB =CD =7∴BC =AD ∴AD ∥BC ∴∵BF 平分∠ABC 交AD 于F ∴CE 平分∠BCD 交AD 于E ∴∴∠ABF =∠CBF =∠AFB ∴∠BCE =∠DCE =∠CED ∴∴AB =AF =7∴DC =DE =7∴∴EF =AF +DE ∴AD =7+7∴AD =3∴∴AD =11∴∴BC =11∴ 故选C∴练习1．（2019·安徽省初二期末）如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将ABE △向上翻折，点A 正好落在CD 上的F 处，若FDE 的周长为8，FCB 的周长为22，则FC 的长为__________．【答案】7. 【解析】解：由折叠可得，EF=AE ，BF=AB ． ∵△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22， ∴DF+AD=8，FC+CB+AB=22， ∴平行四边形ABCD 的周长=8+22=30， ∴AB+BC=BF+BC=15，又∵△FCB 的周长=FC+CB+BF=22， ∴CF=22-15=7， 故答案为：7.例7．（2019·安徽省初二期末）如图，点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD AB >，,E F 是AB 边上的点，且12EF AB =；,G H 是BC 边上的点，且13GH BC =，若12,S S 分别表示EOF ∆和GOH ∆的面积，则12:S S =__________．【答案】3：2 【解析】解：∵112AOBS EF SAB，213BOCS GH S BC ， ∴S 1＝12S △AOB ，S 2＝13S △BOC ．∵点O 是▱ABCD 的对角线交点， ∴S △AOB ＝S △BOC ＝14S ▱ABCD ， ∴S 1：S 2＝12：13＝3：2， 故答案为：3：2．练习1．（2020·安徽省初三一模）如图,E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点,AF 与DE 相交于点P,BF 与CE 相交于点Q,若215APD S cm ∆=，225BQC S cm ∆=，则阴影部分的面积为__________2cm ．【答案】40【解析】如图，连接EF∵△ADF与△DEF同底等高，∴SADF =SDEF即SADF −S DPF=SDEF−S DPF，即S APD=S EPF=15cm2，同理可得S BQC=S EFQ=25cm2，∴阴影部分的面积为S EPF+S EFQ=15+25=40cm2.故答案为40.例8．（2019·苏州市吴中区光福中学初二期末）如图，请在下列四个论断中选出两个作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)．①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.已知：在四边形ABCD中，____________．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】已知：①③（或①④或②④或③④），证明见解析．【解析】试题解析：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．解法一：已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∥A=∥C，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∥AD∥BC，∥∥A+∥B=180°，∥C+∥D=180°．∥∥A=∥C，∥∥B=∥D．∥四边形ABCD是平行四边形．解法二：已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，④∥B+∥C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∥∥B+∥C=180°，∥AB∥CD，又∥AD∥BC，∥四边形ABCD是平行四边形；解法三：已知：在四边形ABCD中，②AB=CD，④∥B+∥C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∥∥B+∥C=180°，∥AB∥CD，又∥AB=CD，∥四边形ABCD是平行四边形；解法四：已知：在四边形ABCD中，③∥A=∥C，④∥B+∥C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∥∥B+∥C=180°，∥AB∥CD，∥∥A+∥D=180°，又∥∥A=∥C，∥∥B=∥D，∥四边形ABCD是平行四边形．29．（2018·安徽省初二期末）如图，在（ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．【答案】证明见解析.【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 是BD 的中点．又∵点E 是边CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，∴OE∥BC，且OE=12BC ． 又∵CF=12BC ，∴OE=CF ． 又∵点F 在BC 的延长线上，∴OE∥CF，∴四边形OCFE 是平行四边形．例9．（2018·安徽省初二单元测试）如图，四边形ABCD 中，AD∥BC ，AE∥AD 交BD 于点E ，CF∥BC 交BD 于点F ，且AE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】见解析.【解析】【分析】证明：∵AD//BC∴∠ADE=∠CBF∵AE⊥AD，CF⊥BC.∴∠DAE=∠BCF=90°在△ADE 和△CBF 中∵∠DAE=∠BCF,∠ADE=∠CBF,AE=CF.∴△ADE≌△CBF(AAS)∴AD=BC∵AD//BC∴四边形ABCD 是平行四边形.练习1．（2019·安徽省初二期末）如图，矩形ABCD 中，E F ，分别是AD BC ，的中点，CE AF ，分别交BD 于G H ，两点．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）EG FH＝．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=12AD，CF=12BC，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，∵AB∥CD，∴∠EDG=∠FBH，在△DEG和△BFH中DGE BHFEDG FBH DE BF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEG≌△BFH（AAS），∴EG=FH．。

多边形与平行四边形知识点总结
多边形与平行四边形
一、多边形
1.多边形的定义：平面内由若干条线段首尾相接而成的封闭图形。

2.多边形的对角线：n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。

3.多边形的内角和和外角和：n边形的内角和公式为(n-2)×180°，外角和为360°。

4.正多边形：各边相等，各角也相等的多边形。

二、平行四边形的性质
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。

2.平行四边形的性质：
边：两组对边分别平行且相等。

角：对角相等，邻角互补。

对角线：互相平分。

对称性：中心对称但不是轴对称。

3.平行四边形解题模型：
利用平行四边形相邻两边之和等于周长的一半。

利用平行四边形中有相等的边、角和平行关系，结合三角形全等来解题。

过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长。

三、平行四边形的判定
注意：平行四边形的解题方法有很多种，需要根据具体情况进行选择。

四边形，多边形的内角和重点：多边形的内角和定理和外角和定理难点：多边形内角和定理的证明；多边形内角和定理和外角和定理的灵活运用1、知识讲解1. 多边形（包括四边形）的定义：在同一平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

这里所说的多边形都是凸多边形，即该多边形完全处在其任何一边所在直线的同侧。

反之就称为凹多边形。

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2. 多边形（包括四边形）的对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

n边形共有条对角线。

连结多边形的对角线是一种常见的辅助线3. 多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）·180°。

定理证明的基本思路是要把问题转化为三角形的内角和问题。

4. 多边形外角和定理：n边形的外角和为360°。

5. n边形的内角中最多有3个是锐角2、例题分析例1已知：四边形的四个内角度数为1：2：3：4，求各内角的度数。

解：设四个内角的度数分别为x，2x，3x，4x，根据题意得：x+2 x+3x+4 x=360°解得：x=36，∴2x=72，3x=108，4x=144答：四边形各内角度数分别为36°，72°，108°，144°例2如图：四边形ABCD中，∠B=90°，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，求∠BAD的度数。

解：连结AC∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1∴设AB=BC=2K，CD=3K，DA=K∵∠B=90°，AB=BC=2K∴AC2=AB2+BC2=8K2（勾股定理）∠BAC=∠BCA=45°（等边对等角）∵AC2+AD2=9K2，CD2=9K2∴AC2+AD2=CD2∴∠CAD=90°（勾股定理的逆定理）∴∠CAD=90°∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°例3一个多边形的内角和是720°，求这个多边形的边数。

多边形内角和总结知识点总结多边形内角和知识点总结在数学的广阔天地中，多边形内角和是一个重要且基础的概念。

它不仅在几何学习中频繁出现，还在解决实际问题中发挥着关键作用。

接下来，让我们一起深入探索多边形内角和的相关知识。

一、多边形的定义多边形是由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形。

常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等等。

二、多边形内角和的公式多边形内角和的公式为：＄（n 2)×180°＄，其中$n$为多边形的边数。

这个公式的推导其实很有趣。

我们以三角形为例，三角形的内角和是 180°。

当我们增加一条边，变成四边形时，可以通过连接其中一个顶点和不相邻的顶点，将四边形分成两个三角形，所以四边形的内角和就是 2×180°＝ 360°。

以此类推，每增加一条边，就多了一个三角形，内角和也就增加 180°。

三、不同边数多边形内角和的计算1、三角形三角形是最基本的多边形，它的内角和是 180°。

2、四边形四边形可以分为矩形、平行四边形、梯形等。

根据内角和公式，＄（4 2)×180°＝ 360°＄。

3、五边形五边形的内角和为$（5 2)×180°＝ 540°＄。

4、六边形六边形的内角和是$（6 2)×180°＝ 720°＄。

四、多边形内角和的性质1、多边形的内角和随着边数的增加而增加。

2、任意多边形的外角和都为360°。

这是一个很重要且固定的数值，与多边形的边数无关。

3、多边形的内角中，最多只能有三个锐角。

因为如果锐角过多，内角和就会小于$（n 2)×180°＄。

五、应用实例1、已知一个多边形的内角和为 1080°，求它的边数。

我们可以设这个多边形的边数为$n$，则根据内角和公式可得：＄（n 2)×180°＝ 1080°＄＄n 2 ＝ 6$＄n ＝ 8$所以这个多边形是八边形。

(完整版)多边形及其内角和知识点多边形是几何学中常见的一个概念，是由若干个线段组成的一个闭合图形。

根据边的数量，我们可以把多边形分为三类：三角形、四边形和多边形。

三角形是由三条线段组成的闭合图形，是最简单的多边形。

三角形有三个内角和，三个内角和等于180度。

这个定理叫做“三角形内角和定理”。

我们不难想象，如果将三角形沿任意一边割开，得到的两个部分必定可以重新组合成一个平行四边形。

接下来我们来谈谈四边形。

四边形是由四条线段组成的闭合图形，它的内角和是360度。

其中，平行四边形的对边相等，且对角线相交，交点把平行四边形分为两个全等的三角形。

这个定理叫做“平行四边形对角线定理”。

接下来是多边形。

多边形是由三条以上的线段构成的闭合图形，多边形的边和角数可能非常多，我们不方便用公式直接表达其内角和。

不过，由于任何多边形都可以分割成若干个三角形，我们可以通过三角形的内角和定理来计算多边形的内角和。

例如，对于一个五边形，我们可以通过将其分割成三角形，计算出五边形的内角和是540度。

五边形有多种类型，例如正五边形的五个内角都是108度，而五边形中的最大内角则可以达到刚刚好不到180度的夹角。

如果我们将五边形表示为ABCDE，其中C是它的最大内角（得到这个五边形非常简单，只需要将任意二十面体四面体化即可），那么我们容易得到公式：∠ACE= ∠ABC + ∠ACB同时，也有一些其他的多边形内角和求解公式，例如正六边形的内角和公式是720度，不过由于时间和空间的关系，我们不在此一一列举。

在实际问题中，多边形的内角和定理可以用于许多计算问题。

例如，在地理问题中，我们需要计算地球表面的一个多边形的面积时，首先需要计算其内角和，并应用面积公式求解。

在数学竞赛中，也常常会出现一些需要计算多边形的内角和的问题，因此，在学习数学的过程中，理解多边形的内角和定理对很多学生来说是非常重要的。

此外，多边形还有一些其他的重要性质和定理，例如多边形的对称性、多边形划分的方法、多边形面积的计算公式等等，这些知识点也非常重要，有助于我们更好地理解和应用多边形的相关知识。

《多边形的内角和与外角和》知识清单一、多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

如果一个多边形有 n 条边，那么就称这个多边形为 n 边形。

比如，三角形就是有 3 条边的多边形，四边形就是有 4 条边的多边形，以此类推。

二、多边形的内角和1、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。

这是一个基本且重要的定理，可以通过多种方法来证明，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，可以形成一个平角，也就是 180°。

2、四边形的内角和四边形可以分成两个三角形，因为三角形内角和是 180°，所以四边形的内角和是 360°。

3、 n 边形的内角和从 n 边形的一个顶点出发，可以引出（n 3）条对角线，将 n 边形分成（n 2）个三角形。

所以 n 边形的内角和为（n 2）×180°。

例如：五边形的内角和＝（5 2）×180°＝ 540°六边形的内角和＝（6 2）×180°＝ 720°三、多边形的外角和1、外角的定义多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。

2、外角和的定义在每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。

3、多边形外角和的性质任意多边形的外角和都为 360°。

不管是三角形、四边形还是 n 边形，它们的外角和始终是 360°。

例如，三角形的三个外角和为 360°，四边形的四个外角和也是 360°。

四、内角和与外角和的应用1、已知内角和求边数如果已知一个多边形的内角和，可以通过内角和公式（n 2）×180°来求出边数 n。

例如，一个多边形的内角和为1080°，则有（n 2）×180°＝1080°，解得 n ＝ 8，所以这个多边形是八边形。

2、已知边数求内角和如果已知多边形的边数 n，可以直接使用公式（n 2）×180°求出内角和。

四边形
一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四
边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线. 二 定理：中心对称的有关定理
※1．关于中心对称的两个图形是全等形.
※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于
这一点对称. 三 公式：
1．S 菱形 =2
1
ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高） 3．S 梯形 =2
1
（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 四 常识：
※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2
)3n (n -. 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”. 3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.
平行四边形矩形
菱形正
方
形
※5．梯形中常见的辅助线：
※。

11.3 多边形和多边形内角和教学目标1．掌握多边形的定义及其有关概念，理解正多边形及其相关概念．(重点)2．理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线．(难点)3．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式．(重点)教学过程一、情境导入问题：请观察图片，在图中能找出哪些多边形？长方形、正方形、平行四边形等都是四边形，还有边数很多的图形，它们在日常生活、工农业生产中都有应用。

二、知识梳理导学一：多边形的概念和性质1．请仿照三角形的定义给多边形定义三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段相接所组成的封闭图形叫做三角形多边形的定义：由不在同一条直线上的条线段相接所组成的封闭图形叫做多边形2．请仿照三角形的有关概念写出多边形的有关概念结论1：多边形段组成的角叫做它的内角．多边形的边与它的的组成的角叫做多边形的外角。

3．多边形的对角线探究小结：连接多边形的两个顶点的，叫做多边形的对角线【探究】从四边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，四边形共有条对角线从五边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，五边形共有条对角线从六边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，六边形共有条对角线结论2：以此类推：从n边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，n边形共有条对角线4．正多边形的性质【探究】图是正多边形的一些例子，请利用直尺、量角器等度量工具寻找正多边形的特征．小结：都相等，都相等的多边形叫做正多边形。

导学二：多边形的内角和和外角和【探究1】下列多边形的内角和结论3：多边形的内角和= （非常重要！）【探究1】根据下图，探究多边形的外角和请尝试写出推导过程：结论：多边形的内角和= （重要！）三、考点题型探究点一：多边形的概念【类型一】多边形及其概念例题1：下列图形不是凸多边形的是( )【类型二】确定多边形的边数例题2：若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( ) A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17探究点二：多边形的对角线【类型一】确定多边形的对角线的条数例题3：从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从n边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n边形共有________条对角线．【类型二】根据对角线条数确定多边形的边数例题4：从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A．6 B．7 C．8 D．9【类型三】根据分成三角形的个数，确定多边形的边数例题5：连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( ) A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形探究点三：正多边形的有关概念例题6：下列图形中，是正多边形的是( )A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形探究点四：多边形的内角和【类型一】利用内角和求边数例题7：一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【类型二】求多边形的内角和例题8：一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能【类型三】复杂图形中的角度计算例题9：如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450°B．540°C．630°D．720°【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数例题10：一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？探究点五：多边形的外角和【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数例题11：正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( ) A．八边形B．九边形C．十边形D．十一边形【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用例题12：一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( ) A．五边形B．四边形C．三角形D．不能确定三、巩固练习题组一：多边形内角和的运用1．一个多边形的边数增加2 条，则它的内角和增加（）．A．180° B．90° C．360° D．540°2．如果一个正多边形的一个内角等于150°，则这个多边形的边数是（）．A．12 B．9 C．8 D．73．一个n边形除了一个内角之外，其余各内角之和是780°，则这个多边形的边数n的值是多少？题组二：多边形外角和的运用1．在△ABC 中，与∠A，∠B，∠C 相邻的外角度数比是5：4：3，则△ABC 的最大内角是．2．四边形的四个外角度数之比1：2：3：4，则相应各内角度数之比为．3．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°．（1）求多边形的边数．（2）此多边形必有一内角为多少度？。

考点16 多边形与平行四边形一、多边形1．多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．2．多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3．正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴.学科_网（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.2．平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4．平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．三、平行四边形的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．考向一多边形多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．典例1 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】Bn-⋅=，解得：n=7，【解析】设这个多边形是n边形，根据题意得：()2180900则这个多边形是七边形.故选B．典例2 如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】多边形外角和为360°，此多边形外角个数为：360°÷60°=6，所以此多边形是六边形.故选C．【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到.1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是A．17 B．16 C．15 D．16或15或172．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形考向二平行四边形的性质平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．典例3 在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是A．3∶4∶3∶4 B．5∶2∶2∶5C．2∶3∶4∶5 D．3∶3∶4∶4【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为A．4，4，8，8 B．5，5，7，7C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，9考向三平行四边形的判定平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面．典例4在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是A．对角线互相平分B．一组对边平行且相等C．两组对边分别平行D．一组对边平行，另一组对边相等【答案】D4．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形1．下面四个图形中，是多边形的是2．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是A．7 B．10 C．35 D．703．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加A．180°B．360°C．(n–2)·180°D．n180°4．七边形的外角和等于A．180ºB．360ºC．540ºD．720º5．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，则∠B=A．100°B．120°C．135°D．150°6．如图所示，在ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．7．如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=_________cm．8．一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是__________和_________．9．在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8cm，BC=6cm．△AOB的周长是18cm，则△AOD的周长是__________．10．用平行四边形纸条沿对边AB、CD上的点E、F所在的直线折成V字形图案，已知图中∠1=62°，则∠2的度数是________11．如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．学-科-网12．如图，在ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF ⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．1．（2018•宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为A．6 B．7C．8 D．92．（2018•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是A．4 B．5C．6 D．73．（2017•眉山）如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为A．14 B．13C．12 D．104．（2018•安徽）在ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是A．BE=DF B．AE=CFC．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF5．（2018•绥化）下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是A．AD∥BC，AB∥CD B．AB∥CD，AB=CDC．AD∥BC，AB=DC D．AB=DC，AD=BC6．（2018•呼和浩特）顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC=AD，③∠A=∠C，④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有A．5种B．4种C．3种D．1种7．（2018•东营）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是A．AD=BC B．CD=BFC．∠A=∠C D．∠F=∠CDF8．（2018•玉林）在四边形ABCD中：①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有A．3种B．4种C．5种D．6种9．（2018•宜宾）在ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定10．（2018•泸州）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则ABCD 的周长为A．20 B．16C．12 D．811．（2018•眉山）如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2018•海南）五边形内角和的度数是__________．13．（2018•宿迁）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__________．14．（2018•陇南）若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是__________．15．（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD ∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是__________．16．（2018•赤峰）如图，P是ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是__________cm2．学)科网17．（2018•常州）如图，在▱ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=__________．18．（2018•兰州）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB=3，BC=6，BF=32，求AB的长．19．（2018•巴中）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．20．（2018•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．21．（2018•孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．22．（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．2．【答案】B【解析】180−108=72，多边形的边数是：360÷72=5.则这个多边形是五边形．故选B ． 3．【答案】B【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边长为7，较短的一边长为5．故选B ． 4．【答案】A【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.故选A ．1．【答案】D【解析】根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形,得：D 是多边形．故选D ． 2．【答案】C【解析】∵一个正n 边形的每个内角为144°，∴144n =180×（n –2），解得：n =10， 这个正n 边形的所有对角线的条数是：(3)10722n n -⨯==35，故选C ． 3．【答案】D【解析】∵n 边形的内角和是（n –2）•180°，∴2n 边形的内角和是（2n –2）•180°，∴将n 边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n –2）•180°–（n –2）•180°= n 180°，故选D ． 4．【答案】B【解析】因为多边形的外角和是360°，故选B ．考点冲关变式训练5．【答案】B【解析】根据平行四边形的性质邻角互补来解答．∠A 的平分线交DC 于E ，若∠DEA =30°，所以∠A 的度数应为60°．∠A 与∠B 互补，所以∠B =120°．故选B ． 6．【答案】4 【解析】∵在ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 的中点，∴DF =CF =AE =EB ，AB ∥CD ，∴四边形AEFD ，CFEB ，DFBE 是平行四边形，再加上ABCD 本身，共有4个平行四边形．故答案为4． 7．【答案】73【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，18cm ,2BC AD OA OC AC ∴====， AC BC ⊥，90,ACB ∴∠=︒22221086,AC AB BC =-=-= 3,OC ∴=22228373.OB BC OC ∴=+=+=故答案为:73．8．【答案】58°；122° 【解析】如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形， 180A C A B ∴∠=∠∠+∠=︒，， 116A C ∠+∠=︒，5818058122A B ∴∠=︒∠=︒-︒=︒，；故答案为：58°；122°． 9．【答案】16cm 【解析】如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，6cm OA OC OB OD AD BC ∴====，，，AOB △的周长是18cm ，AB =8cm ，18cm AB OA OB ∴++=， 10cm OA OB ∴+=，AOD ∴的周长10616cm OA OD AD OA OB AD =++=++=+=； 故答案为：16cm ．12．【解析】10535D DAF ∠=︒∠=︒，，18040DFA D DAF ∴∠=︒-∠-∠=︒（三角形内角和定理）．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD （平行四边形对边平行且相等）．40DFA FAB ∴∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）； 2DFA BAE ∠=∠（已知）， 2FAB BAE ∴∠=∠（等量代换）．即2FAE BAE BAE ∠+∠=∠．FAE BAE ∴∠=∠；240FAE ∴∠=︒，20FAE ∴∠=︒；（2）在AF 上截取AG AB =，连接EG CG ，． FAE BAE AE AE ∠=∠=，， ∴AEG △≌AEB △，EG BE B AGE∴=∠=∠，；又∵E为BC中点，CE BE∴=．EG EC EGC ECG∴=∴∠=∠，；∵AB∥CD，180B BCD∴∠+∠=︒．又180AGE EGF AGE B∠+∠=︒∠=∠，，BCF EGF∴∠=∠；又EGC ECG∠=∠，FGC FCG FG FC∴∠=∠∴=，；又AG AB AB CD==，，AF AG GF AB FC CD CF∴=+=+=+．（2）∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF22224223AB AF-=-=∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，D ECFDAF EAF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=12AE•BF=12×4×．14．【解析】（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF，∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，∵AF=BC，AE=BA，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．1．【答案】D【解析】正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．故选D．2．【答案】C【解析】∵多边形的内角和公式为（n–2）•180°，∴（n–2）×180°=720°，解得n=6，∴这个多边形的边数是6．故选C．3．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC，∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，在△AEO和△CFO中，OAE OCF OA OCAOE COF∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF=1.5，AE=CF，则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12．故选C．4．【答案】B【解析】如图，连接AC与BD相交于O，在ABCD中，OA=OC，OB=OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；A、若BE=DF，则OB–BE=OD–DF，即OE=OF，故本选项不符合题意；B、若AE=CF，则无法判断OE=OE，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE=OF，故本选项不符合题意；D、∠BAE=∠DCF能够利用“角边角”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选B．5．【答案】C【解析】A、由AD∥BC，AB∥CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；B、由AB∥CD，AB=CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；C、由AD∥BC，AB=DC不能判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意；D、由AB=DC，AD=BC可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；故选C．6．【答案】C【解析】当①③时，四边形ABCD为平行四边形；当①④时，四边形ABCD为平行四边形；当③④时，四边形ABCD为平行四边形；故选C．7．【答案】D【解析】∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，∴CD=BF，∵BF=AB，∴CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形．故选D．8．【答案】B【解析】根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、②④、①③、③④．故选B．9．【答案】B【解析】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠EAD=12∠BAD，∠ADE=12∠ADC，∴∠EAD+∠ADE=12（∠BAD+∠ADC）=90°，∴∠E=90°，∴△ADE是直角三角形，故选B．10．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=12BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选B．11．【答案】D【解析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△CFG（ASA），∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．12．【答案】540°【解析】五边形的内角和的度数为：180°×（5–2）=180°×3=540°．故答案为：540°．13．【答案】八【解析】设多边形的边数为n，根据题意，得（n–2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是八．故答案为：八．14．【答案】8【解析】根据n边形的内角和公式，得（n–2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故答案为：8． 15．【答案】2≤a +2b ≤5【解析】过P 作PH ⊥OY 交于点H ，∵PD ∥OY ，PE ∥OX ，∴四边形EODP 是平行四边形，∠HEP =∠XOY =60°，∴EP =OD =a ， Rt △HEP 中，∠EPH =30°，∴EH =12EP =12a ， ∴a +2b =2（12a +b ）=2（EH +EO ）=2OH ， 当P 在AC 边上时，H 与C 重合，此时OH 的最小值=OC =12OA =1，即a +2b 的最小值是2； 当P 在点B 时，OH 的最大值是：1+32=52，即（a +2b ）的最大值是5， ∴2≤a +2b ≤5．故答案为：2≤a +2b ≤5.16．【答案】2【解析】∵ABCD 的面积为16cm 2，∴S △PBC =12S ▱ABCD =8， ∵E 、F 分别是PB 、PC 的中点，∴EF ∥BC ，且EF =12BC ，∴△PEF ∽△PBC ，∴PEF PBC S S △△=（EF BC ）2，即8PEF S △=14， ∴S △PEF =2，故答案为：2． 17．【答案】40°【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C =70°，∵DC =DB ，∴∠C =∠DBC =70°，∴∠CDB =180°–70°–70°=40°，故答案为40°．18．【解析】（1）∵E 是AC 的中点，∴AE =CE ，∵AB ∥CD ，∴∠AFE =∠CDE ，在△AEF 和△CED 中，AFE CDE AEF CED AE CE ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=CD，又AB∥CD，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）∵AB∥CD，∴△GBF∽△GCD，∴GBGC=BFCD，即336=32CD，解得：CD=92，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD=92，∴AB=AF+BF=92+32=6．20．【解析】（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC，BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC=25–AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25–AB）2+52，解得AB=13cm．21．【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，B DEF BC EFACB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．22．【解析】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，AE=12A B．∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形．学_科网（2）在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=12AB=3，AC∴S平行四边形BCFD=3×考点17 特殊的平行四边形一、矩形的性质与判定1．矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）2．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．二、菱形的性质与判定1．菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．2．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形．三、正方形的性质与判定1．正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；学科+网（4）对角线相等且互相垂直、平分．四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．五、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例1 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是A．AB=CD，AC=BD B．OA=OC，OB=ODC．AC⊥BD，AC=BD D．AB∥CD，AD=BC【答案】B【名师点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形．此类题属于中考常考题型．典例2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6 cm，则AB的长是A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3 cm，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3 cm，故选C．【名师点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．1．能判断四边形是矩形的条件是A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直2．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是A．18°B．36°C．45°D．72°考向二菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例3菱形具有而平行四边形不具有的性质是A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组邻边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）【答案】BO=DO（答案不唯一）【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．学科-网3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．考向三正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例5如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE=BC，则∠BEC的度数是A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°【答案】C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD=45°，∵BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=12×（180°−45°）=67.5°．故选C．典例6下列命题正确的是A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】A【名师点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的判定，此题难度不大．5．如图，已知正方形ABCD的边长为53，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为A．5B．25C．5 D．106．如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分考向四中点四边形1．中点四边形一定是平行四边形；2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．典例7如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误，故选D．7．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形8．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是A．S1=3S2B．2S1=3S2C．S1=2S2D．3S1=4S21．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=A．5 B．4 C．3.5 D．32．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是A．18°B．36°C．45°D．72°3．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为A．158B．154C．152D．154．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm5．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是A．30 B．24 C．18 D．66．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则∠AEB=____________.8．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是________．9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．10．如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；学!科网（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．11．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线CA平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积．1．（2018·台州）下列命题正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．（2018·淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A．20 B．24 C．40 D．483．（2018·烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为A．7 B．6 C．5 D．44．（2018·内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为A．31°B．28°C．62°D．56°5．（2018·宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．146．（2018·牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A．6 B．5 C．4 D．37．（2018·贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB 上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是A．6 B．33C．26D．4.58．（2018·湘潭）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形。

专题11.7多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】多边形及其相关概念1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.2.多边形的相关概念（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.特别提醒：①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；②把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线.【知识点二】正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等.【知识点三】凸多边形与凹多边形如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形.我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.【知识点四】多边形内角和定理n 边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n 边形每个内角的度数是（n−2）×180°.【知识点五】多边形外角和定理1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】由多边形内角和公式求度数【例1】（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x 的值(1)(2)【答案】(1)80；(2)110【分析】本题主要考查了多边形内角和定理：（1）根据四边形内角和为360度列出方程求解即可；（2）根据五边形内角和为()18052︒⨯-列出方程求解即可．（1）解：由题意得，1802509060360x x -+-++=，解得80x =；（2）解：由题意得，()20109018052x x x x +++-++=⨯-，解得110x =．【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（）A ．增加180︒B ．为360︒C ．不变D ．减少【答案】A【分析】本题主要考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式()2180n -⋅︒（n 为多边形的边数）成为解题的关键.根据多边形的内角和公式()2180n -⋅︒（n 为多边形的边数），然后进行判断解答.解：设多边形的边数为n ，则原多边形的内角和为()2180n -⋅︒，边数增加1后的多边形的内角和为()12180n +-⋅︒，∴()()121802180180n n +-⋅︒--⋅︒=︒，∴其内角和的度数增加180︒．故选A ．【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是度．【答案】900【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．解：七边形的内角和()()218072180900n =-⨯︒=-⨯︒=︒，故答案为：900．【题型2】由多边形内角和公式求边数【例2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下面是正多边形M 和N 的对话：求M 和N 的边数．【答案】M 和N 的边数分别是4和6【分析】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的关键．根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可；解：设M 的边数为2n ，N 的边数为3n ，由题意得：()()18022180321080n n ︒⨯-+︒⨯-=︒解得：2n =，24n ∴=，36n =，∴M 和N 的边数分别是4和6．【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期末）如果一个正多边形每个内角都为140︒，那么该正多边形的边数是（）A ．六B ．七C ．八D ．九【答案】D【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．解：∵正多边形的一个内角是140︒，∴它的外角是：18014040︒-︒=︒，360409︒÷︒=．即这个正多边形是九边形．故选：D ．【变式2】一个正多边形的内角和是1440︒，则这个多边形的边数．【答案】10【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式列式求解即可．解：设这个多边形的边数是n ，则(2)1801440n -⋅︒=︒，解得10n =．故答案为：10．【题型3】由多边形内角和与外角和度数求边数【例3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．【答案】这个多边形的边数为12．【分析】设这个多边形的边数为n ，根据题意得出方程()()2180360102180n -⨯︒-︒=-⨯︒，求出方程的解即可．解：设这个多边形的边数为n ，根据题意得：()()2180360102180n -⨯︒-︒=-⨯︒，解得：12n =．答：这个多边形的边数为12．【变式】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若n 边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n 是（）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及多边形的外角和；利用多边形的外角和是360度，一个n 边形的内角和等于它外角和的3倍，则内角和是3360⨯︒，而n 边形的内角和是()2180n -︒，则可得到方程，解方程即可．解：根据题意列方程，得：()21803360n -︒=⨯︒，解得：8n =，故选：C ．【题型4】由多边形内、外角和公式求角度【例4】（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的32倍，求这个正多边形一个内角的度数．【答案】108︒【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设此多边形的边数为n ，根据题意得出()321803602n -⨯︒=⨯︒，求出n 的值即可．解：∵该正多边形的内角和等于外角和的32倍，∴设此多边形的边数为n ，则有：()321803602n -⨯︒=⨯︒，解得：5n =，∴内角的度数为()521801085-⨯︒=︒．【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，ABE ∠是四边形ABCD 的外角，且ABE D ∠=∠，110C ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．110︒B ．50︒C ．70︒D ．35︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关键．根据AB CD ，得出70ABC ∠=︒，再求出110D ∠=︒，根据四边形的内角和定理解答即可．解：∥ AB CD ，110C ∠=︒，180ABC C ∴∠+∠=︒，70ABC ∴∠=︒，ABE ∠ 是四边形ABCD 的外角，110ABE ∴∠=︒，ABE D ∠=∠ ，110D ∴∠=︒，3603607011011070A ABC C B ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-=︒．故选：C【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在五边形ABCDE 中，,1,2,3AB ED ∠∠∠∥分别是,,ABC BCD CDE ∠∠∠的外角，则123∠+∠+∠的度数为．【答案】180︒/180度【分析】此题主要考查了多边形的内角和，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和，平行线的性质是解决问题的关键．先根据多边形的内角和定理求出540A E ABC BCD CDE ∠+∠+∠+∠+∠=︒，再根据AB ED ∥得180A E ∠+∠=︒，进而得360ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒，然后根据邻补角的定义的1180ABC ∠=︒-∠，2180BCD ∠=︒-∠，3180CDE ∠=︒-∠，由此可得123∠+∠+∠的度数．解：∵五边形的内角和为：()52180540-⨯︒=︒，∴540A E ABC BCD CDE ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∵AB ED ∥，∴180A E ∠+∠=︒，∴360ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒，∵1180ABC ∠=︒-∠，2180BCD ∠=︒-∠，3180CDE ∠=︒-∠，∴()123540180ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒．故答案为：180︒．【题型5】由多边形对角线数量求角度或对角线条数【例5】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】【规律发现】（1）七边形的对角线条数为______．（2）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形的对角线条数可表示为522⨯，…，n 边形的对角线条数可表示为______．(3)【规律应用】若一个多边形的内角和为1620︒，求这个多边形的边数和对角线的条数．【答案】(1)14；(2)()32n n -(3)这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．【分析】此题考查多边形对角线计算公式，多边形内角和公式，图形类规律探究，（1）根据各图形分别求出对角线条数，由规律即可得到答案；（2）利用（1）的计算结果即可得到规律；（3）设多边形的边数为n ，则列方程为()21801620n -⨯︒=︒，解得9n =，再根据（2）求出对角线．（1）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形对角线条数可表示为522⨯，六边形对角线条数可表示为632⨯，七边形对角线条数可表示为74142⨯=，故答案为：14；（2）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形对角线条数可表示为522⨯，…n 边形的对角线条数可表示为()32n n -，故答案为：()32n n -；（3）设多边形的边数为n ，则()21801620n -⨯︒=︒，解得11n =，对角线为()11113442⨯-=（条），∴这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则它的一个内角为（）A ．1080︒B ．720︒C ．140︒D ．135︒【答案】C【分析】此题主要考查了多边形的对角线，多边形内角和公式及正多边形的内角，根据n 边形从一个顶点出发可引出()3n -条对角线，求得多边形的边数，结合多边形内角和公式及正多边形的内角求解是解决问题的关键．解：设正多边形边数为n ，由题意得：36n -=，可得9n =，则内角和：()180921260︒⨯-=︒，∴它的一个内角度数为：12609140︒÷=︒，故选：C ．【变式2】（2024·陕西咸阳·三模）已知某正多边形的每个外角均为72︒，则该正多边形的对角线共有条．【答案】5【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数36072=︒÷︒，进而求得多边形的对角线条数．本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．解：这个正多边形的边数：360725︒÷︒=，则对角线的条数是：15(53)52⨯⨯-=．故答案为：5．【题型6】由多边形截角问题【例6】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程．如图（1），我们知道四边形的内角和为()42180360-⨯= ，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？如图（2），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为()52180540-⨯= ．上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是540︒或180︒或360︒．【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案．上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下：如图（1）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是180︒；如图（2）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是360︒．所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是540︒或180︒或360︒．【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．【变式1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（）A ．360︒B ．540︒C ．360︒或540︒D ．360︒或540︒或720︒【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据n 边形内角和公式()2180n -︒得出多边形的内角和，即可解题．解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是4或5或6，其中四边形内角和为360︒，五边形内角和为()52180540-⨯︒=︒，六边形内角和为()62180720-⨯︒=︒，∴得到的多边形的内角和是360︒或540︒或720︒，故选：D ．【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是2022︒，则少算的这个内角的度数为．【答案】138︒/138度【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n （3n ≥，且n 为整数），根据多边形内角和定理列出不等式()21802022n -⋅︒≥︒，进而求出14n =，再计算出该多边形内角和即可得到答案．解：设多边形的边数是n （3n ≥，且n 为整数），依题意得()21802022n -⋅︒≥︒，解得71330n ≥．∵少算一个内角，且该内角小于180︒，∴14n =．∴多边形的内角和是()1421802160-⨯︒=︒，∴少算的这个内角的度数为21602022138︒-︒=︒，故答案为：138︒．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n 边形的内角和为(2)180n -⋅︒”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE 的内角和为540°．【分析】如下图，连接AD ，AC ，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可．解：连接AD ，AC ，∴五边形ABCDE 的内角和等于AED ∆，ADC ∆，ABC ∆的内角和的和，∴五边形ABCDE 的内角和1803540=︒⨯=︒．【点拨】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键．【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080︒的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（）A ．36︒B ．40︒C ．45︒D ．60︒【答案】C【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为n ，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和360︒除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．解：设这个正多边形的边数为n ，则()21801080n -⨯︒=︒，∴8n =，∴这个正多边形的每个外角为360845︒÷=︒，故选：C ．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有n 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的n 个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形ABCD 的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点P 与A ，B ，C ，D 也构成爱尔特希点集，则APB ∠=．【答案】36︒或72︒【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知,,,A B C D 为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点P 为正五边形的中心和顶点两种情况讨论．解：依题意，当P 为正五边形的中心点时即满足题意，360725APB ︒∴∠==︒．当P 为正五边形的顶点时即满足题意，∴()1180108362APB ∠=︒-︒=︒故答案为：36︒或72︒．【例2】一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）A ．2022B ．2023C ．2024D ．2025【答案】C 【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加360︒．于是，剪过k 次后，可得()1k +个多边形，这些多边形的内角和为()1360k +⨯︒．因为这()1k +个多边形中有45个48边形，可求它们的内角和，其余多边形有()14544k k +-=-（个），而这些多边形的内角和不少于()44180k -⨯︒．可得不等式()()1360454618044180k k +⨯︒≥⨯⨯︒+-⨯︒，解不等式即可求得答案．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加360︒．于是，设剪过k 次后，可得()1k +个多边形，这些多边形的内角和为()1360k +⨯︒．因为这()1k +个多边形中有45个48边形，它们的内角和()454821804546180⨯-⨯︒=⨯⨯︒，其余多边形有()14544k k +-=-（个），而这些多边形的内角和不少()44180k -⨯︒．所以()()1360454618044180k k +⨯︒≥⨯⨯︒+-⨯︒，解得：2024k ≥．故至少要剪的刀数是2024刀．故选C ．【点拨】此题考查了多边形的内角和的应用，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360︒．。