专题16多边形的内角和及平行四边形(知识点串讲)(解析版)

多边形及内角和知识点汇总多边形是由三个或三个以上的直线段围成的闭合曲线，是几何学中的基本图形之一、多边形的内角和是指多边形的所有内角之和。

1.多边形的定义和分类：-多边形是由三个或三个以上的直线段组成的，首尾相接形成的封闭曲线。

-多边形可根据边的个数进行分类，例如三角形、四边形、五边形等。

2.多边形的性质：-多边形的内角数目等于其边数减2乘以180度，即n个边的多边形的内角和为(2n-4)×180度。

-多边形的外角数目等于360度，即n个边的多边形的外角和为360度。

-多边形的对角线数目等于n(n-3)/2，其中n为多边形的边数。

3.三角形的内角和：-三角形的内角和恒为180度。

-三角形的任意两个内角之和大于第三个内角。

4.四边形的内角和：-任意四边形的内角和恒为360度。

-正方形、矩形、菱形等特殊四边形的内角和有特定的规律。

5.多边形内角和的求解方法：-当已知多边形的边数n时，可以使用公式(2n-4)×180度来计算内角和。

-当已知多边形的一个内角大小时，可以使用内角和等于180度来计算其他内角的大小。

6.多边形内角和的应用：-在计算几何题目中，内角和是解题的基础，可以帮助求解多边形的各个内角的大小。

-内角和也可以用于判断给定的角度是否构成多边形。

7.多边形内角和的证明：-多边形的内角和可以通过数学归纳法进行证明。

-可以将多边形划分为若干个三角形，然后利用三角形的内角和等于180度的性质进行推导证明。

总结：多边形及内角和是几何学中的基础概念和知识点。

通过理解多边形的定义和分类，了解多边形的性质和特点，我们可以计算多边形的内角和，并应用于解决几何问题。

多边形内角和的证明可以通过数学归纳法进行推导。

掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用多边形的性质。

专题16 多边形的内角和及平行四边形知识框架重难突破一、多边形的内角和及平行四边形1、多边形（1）多边形的概念：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.（2）多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2 条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．（3）多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.备注：1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.2、平面图形的镶嵌（1）镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．（2）平面图形的镶嵌1）一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；2）两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；3）三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.备注：能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.3、三角形中位线定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.4、平行四边形的定义、性质与判定（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）平行四边形的性质：1）平行四边形的对边平行且相等；2）平行四边形的对角相等，邻角互补；3)平行四边形的对角线互相平分；4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．（3）平行四边形的判定：1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．备注：在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线:1）对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；2）对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；3）对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系.5：平行线间的距离（1）两条平行线间的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.备注：1）距离是指垂线段的长度，是正值.2）平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.3）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.（2）平行四边形的面积：平行四边形的面积=底×高(等底等高的平行四边形面积相等).例1．（2018·四川省初二期末）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ （A．9B．8C．7D．6练习1．（2018·额尔古纳市三河中学初二期末）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9例2．（2018·安徽省初二期末）一个三角形，剪去一个角后所得的多边形内角和的度数是（）A．180°B．360°C．540°D．180°或360°（2016·安徽省合肥38中初二期末）一个多边形切去一个角后（形成的另一个多边形的内角和为1080°（练习1．求原多边形的边数（例3．（2019·马鞍山秀山实验学校初二期末）只用下列图形不．能．进行平面镶嵌的是（）A．全等的三角形B．全等的四边形C ．全等的正五边形D ．全等的正六边形练习1．（2014·贵州省初一期末）一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（ ）A ．正三角形B ．正四边形C ．正五边形D ．正六边形例4．（2019·安徽省初二期末）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）A ．邻角互补B ．对角互补C ．对边相等D ．对角线互相平分练习1．（2018·安徽省初二期末）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCDB ．AB ＝BC C ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．∠DAB +∠BCD ＝180°例5．（2018·柯坦中学初二期末）在平行四边形ABCD 中，已知5AB =，3BC =，则它的周长为( ) A ．8 B ．10 C ．14 D ．16练习1.（2018·河南省初二期末）如图，▱ABCD 中，AB（4（BC（6（AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE的周长是( )A ．6B ．8C ．10D ．12例6．（2019·安徽省初二期末）如图，在▱ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝7，EF ＝3，则BC 的长为( )A ．9B ．10C ．11D ．12练习1．（2019·安徽省初二期末）如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将ABE △向上翻折，点A 正好落在CD 上的F 处，若FDE 的周长为8，FCB 的周长为22，则FC 的长为__________．例7．（2019·安徽省初二期末）如图，点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD AB >，,E F 是AB 边上的点，且12EF AB =；,G H 是BC 边上的点，且13GH BC =，若12,S S 分别表示EOF ∆和GOH ∆的面积，则12:S S =__________．练习1．（2020·安徽省初三一模）如图,E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点,AF 与DE 相交于点P,BF 与CE 相交于点Q,若215APD S cm ∆=，225BQC S cm ∆=，则阴影部分的面积为__________2cm ．例8．（2019·苏州市吴中区光福中学初二期末）如图，请在下列四个论断中选出两个作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)．①AD ∥BC ；②AB ＝CD ；③∠A ＝∠C ；④∠B ＋∠C ＝180°.已知：在四边形ABCD中，____________．求证：四边形ABCD是平行四边形．29．（2018·安徽省初二期末）如图，在（ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．例9．（2018·安徽省初二单元测试）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE∥AD交BD于点E，CF∥BC交BD于点F，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．练习1．（2019·安徽省初二期末）如图，矩形ABCD 中，E F ，分别是AD BC ，的中点，CE AF ，分别交BD 于G H ，两点．求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形；（2）EG FH ＝．。

四边形，多边形的内角和重点：多边形的内角和定理和外角和定理难点：多边形内角和定理的证明；多边形内角和定理和外角和定理的灵活运用1、知识讲解1. 多边形（包括四边形）的定义：在同一平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

这里所说的多边形都是凸多边形，即该多边形完全处在其任何一边所在直线的同侧。

反之就称为凹多边形。

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2. 多边形（包括四边形）的对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

n边形共有条对角线。

连结多边形的对角线是一种常见的辅助线3. 多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）·180°。

定理证明的基本思路是要把问题转化为三角形的内角和问题。

4. 多边形外角和定理：n边形的外角和为360°。

5. n边形的内角中最多有3个是锐角2、例题分析例1已知：四边形的四个内角度数为1：2：3：4，求各内角的度数。

解：设四个内角的度数分别为x，2x，3x，4x，根据题意得：x+2 x+3x+4 x=360°解得：x=36，∴2x=72，3x=108，4x=144答：四边形各内角度数分别为36°，72°，108°，144°例2如图：四边形ABCD中，∠B=90°，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，求∠BAD的度数。

解：连结AC∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1∴设AB=BC=2K，CD=3K，DA=K∵∠B=90°，AB=BC=2K∴AC2=AB2+BC2=8K2（勾股定理）∠BAC=∠BCA=45°（等边对等角）∵AC2+AD2=9K2，CD2=9K2∴AC2+AD2=CD2∴∠CAD=90°（勾股定理的逆定理）∴∠CAD=90°∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°例3一个多边形的内角和是720°，求这个多边形的边数。

多边形及其内角和知识点多边形是由若干条线段组成的闭合图形，每个线段都被称为多边形的边，相邻的两条边之间的夹角被称为内角。

多边形的内角和是指多边形内部所有内角的总和。

在数学中，多边形是一个非常重要且常见的图形，它具有丰富的性质和应用。

对于任何多边形，我们可以通过计算其内角和来深入了解它的性质。

首先，让我们考虑最简单的多边形，三角形。

三角形是由三条线段组成的多边形，它的内角和总是等于180度。

我们可以通过简单的几何推理证明这一点。

假设三角形的三个内角分别为A、B和C。

我们可以将三角形划分为两个小三角形，其中一个小三角形的两个内角分别为A和B，另一个小三角形的两个内角分别为A和C。

根据角的加法定理，我们可以得出结论：A+B+C=A+A+C=180度。

对于四边形，我们可以将其分为两个三角形，因此其内角和总是等于360度。

对于五边形，我们可以将其分为三个三角形，所以其内角和总是等于540度。

同样地，我们可以通过将六边形分为四个三角形，七边形分为五个三角形以及依此类推，推导出任何多边形的内角和。

另外，对于n边形（n>2），我们可以使用以下公式来计算其内角和：(n-2)×180度。

这个公式可以通过将n边形分解为(n-2)个三角形，然后利用三角形内角和等于180度的性质来得到。

在实际应用中，计算多边形的内角和可以帮助我们研究多边形的性质。

例如，通过计算一个多边形的内角和，我们可以确定该多边形是凸多边形还是凹多边形。

如果内角和等于(n-2)×180度，那么这个多边形是凸多边形；如果内角和小于(n-2)×180度，那么这个多边形是凹多边形。

此外，内角和还可以帮助我们计算多边形的外角和。

多边形的外角是指多边形的每个内角的补角。

换句话说，外角等于360度减去内角。

因此，我们可以通过计算内角和来得到外角和，并进一步研究多边形的性质。

总结起来，多边形及其内角和是数学中的重要概念。

通过计算多边形的内角和，我们可以揭示多边形的性质，如凸凹性质，并可以进一步计算多边形的外角和。

(完整版)多边形及其内角和知识点多边形是几何学中常见的一个概念，是由若干个线段组成的一个闭合图形。

根据边的数量，我们可以把多边形分为三类：三角形、四边形和多边形。

三角形是由三条线段组成的闭合图形，是最简单的多边形。

三角形有三个内角和，三个内角和等于180度。

这个定理叫做“三角形内角和定理”。

我们不难想象，如果将三角形沿任意一边割开，得到的两个部分必定可以重新组合成一个平行四边形。

接下来我们来谈谈四边形。

四边形是由四条线段组成的闭合图形，它的内角和是360度。

其中，平行四边形的对边相等，且对角线相交，交点把平行四边形分为两个全等的三角形。

这个定理叫做“平行四边形对角线定理”。

接下来是多边形。

多边形是由三条以上的线段构成的闭合图形，多边形的边和角数可能非常多，我们不方便用公式直接表达其内角和。

不过，由于任何多边形都可以分割成若干个三角形，我们可以通过三角形的内角和定理来计算多边形的内角和。

例如，对于一个五边形，我们可以通过将其分割成三角形，计算出五边形的内角和是540度。

五边形有多种类型，例如正五边形的五个内角都是108度，而五边形中的最大内角则可以达到刚刚好不到180度的夹角。

如果我们将五边形表示为ABCDE，其中C是它的最大内角（得到这个五边形非常简单，只需要将任意二十面体四面体化即可），那么我们容易得到公式：∠ACE= ∠ABC + ∠ACB同时，也有一些其他的多边形内角和求解公式，例如正六边形的内角和公式是720度，不过由于时间和空间的关系，我们不在此一一列举。

在实际问题中，多边形的内角和定理可以用于许多计算问题。

例如，在地理问题中，我们需要计算地球表面的一个多边形的面积时，首先需要计算其内角和，并应用面积公式求解。

在数学竞赛中，也常常会出现一些需要计算多边形的内角和的问题，因此，在学习数学的过程中，理解多边形的内角和定理对很多学生来说是非常重要的。

此外，多边形还有一些其他的重要性质和定理，例如多边形的对称性、多边形划分的方法、多边形面积的计算公式等等，这些知识点也非常重要，有助于我们更好地理解和应用多边形的相关知识。

多边形与平行四边形一、多边形1．多边形的相关概念1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．2．多边形的内角和、外角和1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3．正多边形1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．3）正n边形有n条对称轴.4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义：.2．平行四边形的性质1）边：两组对边分别平行且相等．2）角：对角相等，邻角互补．3）对角线：互相平分．4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4．平行四边形中的几个解题模型1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. 4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．三、平行四边形的判定1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．四、三角形的中位线1）定义：三角形两边中点的连线叫中位线。

知识点多边形的内角和与外角性质知识点：多边形的内角和与外角性质多边形是几何学中的基本概念之一，它由若干条直线段首尾相连而成，形成一个封闭的图形。

根据边的个数，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等等。

在多边形中，我们关注的一个重要性质就是多边形的内角和与外角性质。

一、多边形的内角和性质多边形的内角和是指多边形中所有内角的度数之和。

对于n边形，其内角和可以通过以下公式计算：内角和 = (n-2) × 180°以三角形为例，三角形是由三条边组成的多边形。

根据内角和性质，三角形的内角和恒为180°。

即三角形的三个内角的度数之和始终等于180°。

对于四边形，四边形是由四条边组成的多边形。

根据内角和性质，四边形的内角和恒为360°。

即四边形的四个内角的度数之和始终等于360°。

同样地，我们可以推广到多边形的情况。

对于任意n边形，其内角和恒为(n-2) × 180°。

多边形的每个内角的度数之和始终等于(n-2) ×180°。

二、多边形的外角性质多边形的外角是指由多边形的一条边和其相邻的一条边所组成的角。

相邻边是指连接同一个顶点的两条边。

对于n边形，每个外角的度数可以通过以下公式计算：每个外角的度数 = 360° / n以正多边形为例，正多边形是指边长和内角都相等的多边形。

对于正n边形，每个内角的度数为(180° × (n-2)) / n，每个外角的度数为360°/ n。

可以发现，正多边形的每个内角和每个外角的度数之和均为180°。

三、内角和与外角的关系多边形的内角和与外角有着特殊的关系。

对于任意n边形，其内角和与外角和之间存在以下关系：内角和 + 外角和 = 360°这个关系可以通过推导得到。

由于多边形的每个外角的度数为360°/ n，n个外角的度数之和为360°。

《多边形的内角和与外角和》知识清单一、多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

如果一个多边形有 n 条边，那么就称这个多边形为 n 边形。

比如，三角形就是有 3 条边的多边形，四边形就是有 4 条边的多边形，以此类推。

二、多边形的内角和1、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。

这是一个基本且重要的定理，可以通过多种方法来证明，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，可以形成一个平角，也就是 180°。

2、四边形的内角和四边形可以分成两个三角形，因为三角形内角和是 180°，所以四边形的内角和是 360°。

3、 n 边形的内角和从 n 边形的一个顶点出发，可以引出（n 3）条对角线，将 n 边形分成（n 2）个三角形。

所以 n 边形的内角和为（n 2）×180°。

例如：五边形的内角和＝（5 2）×180°＝ 540°六边形的内角和＝（6 2）×180°＝ 720°三、多边形的外角和1、外角的定义多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。

2、外角和的定义在每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。

3、多边形外角和的性质任意多边形的外角和都为 360°。

不管是三角形、四边形还是 n 边形，它们的外角和始终是 360°。

例如，三角形的三个外角和为 360°，四边形的四个外角和也是 360°。

四、内角和与外角和的应用1、已知内角和求边数如果已知一个多边形的内角和，可以通过内角和公式（n 2）×180°来求出边数 n。

例如，一个多边形的内角和为1080°，则有（n 2）×180°＝1080°，解得 n ＝ 8，所以这个多边形是八边形。

2、已知边数求内角和如果已知多边形的边数 n，可以直接使用公式（n 2）×180°求出内角和。

多边形的内角和与平行四边形的性质1．多边形及其内角和与外角和(1) 多边形的概念①定义 :在同一平面内不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的几何图形叫多边形．②多边形的边:所相连的线段叫做多边形的边．③多边形的角:①内角 ------- 多边形相邻两边所组成的角叫多边形内角；②多边形的外角延长线组成的角叫做多边形的外角.④多边形的对角线:多边形不相邻的两个点的连线组成的线段叫做多边形的对角线．------ 多边形的一边与相邻边n 边形从一个顶点可以引条对角线(2) 多边形的内角和与外角和①多边形的内角和:多边形的内角和为②多边形外角和:多边形的外角和为(3) 正多边形 :.把n 边形分成．．个三角形.n 边形对角线条数为.①正多边形 :各边相等 ,每个内角相等的多边形叫做正多边形．②正 n 边形的每个内角度数为，每个外角的度数为．2．平行四边形(1)平行四边的概念①定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．②平行四边形对边、邻边、对角、邻角、对角线等概念．③平行四边形的表示(2)性质：①边：对边；对边．②角：对角；邻角；四个角之和．推论：夹在两条平行线间的平行线段．③对角线：平行四边形的对角线．(3)两条平行线的距离(1)平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离；平行线间的距离处处．(2)平行四边形的高：在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．(3)平行四边形的面积：等于它的底和高的积，即S ABCD＝a·h．（其中a可以是平行四边形的任何一边，h 必须是 a 边与其对边的距离，即对应的高）．3．平面镶嵌(1)用地板铺地 ,用瓷砖贴墙 .都要求砖与砖严丝合缝 ,不应空隙 ,把地面或墙面全部覆盖 ,从数学角度看 ,这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌 )的问题．(2) 平面镶嵌的条件①用同一种正多边形镶嵌平面的条件是: 当正多边形的一个内角的正整数倍是只有正三角形,正方形 ,正六边形能镶嵌成一个平面图形．②用两种边长相等的正多边形镶嵌平面的条件是设两钟正多边形的内角分别为整数解时，这两种正多边形可以覆盖平面．正三角形和正方形或正三角形和正六边形或正三角形和正六边形能覆盖平面．③在一般的多边形中,只有三角形和四边形可以覆盖平面．方法与技能【例 1】 (1)已知一个多边形的每个内角都相等,且一个内角等于它相邻外角的360 时 .这种正多边形可以覆盖平面α，β，当 mα+nβ=360中的 mn 有正9 倍.求这个多边形的边数..(2)一个多边形有 14 条对角线 ,求它的内角和与边数(3)已知一个多边形的每一个外角都等于72°,求这个多边形的内角和 .(4) 小明在进行多边形内角和计算时,求得的内角和为1125 °,当发现错了之后个少加的内角是多少度?他求的是几边形的内角和?,重新检查 ,发现是少加了一个内角,问这【例 2】如图，在□ABCD 中， AD=2AB,M是AD的中点，CE ⊥ AB 于 E ，如果∠ CEM=40°，求∠ DME 的度数。

多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础．1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180n-⋅︒．7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．9、多边形的外角和等于360°．多边形及平行四边形的性质内容分析知识结构模块一：多边形知识精讲2 / 21【例1】 （1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线；（2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多 边形共有__________条对角线． 【答案】（1）2；（2）20．【解析】（1）多边形的一个顶点可以画()3n -条对角线，所以是5-3=2条．（2）由题意知，一个多边形可以切割成()2n -个三角形，则()2n -=6，由多边形的对角线条数公式()32n n -，可知这个多边形共有()883202⨯-=条对角线．【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式．【例2】 四边形的内角和为（ ）A ．90°B ．180°C ．360°D ．720° 【答案】C【解析】四边形可以分割成两个三角形，所以内角和是360°．也可以通过多边形内角和 定理来计算：()1802n -． 【总结】考察多边形的内角和定理．【例3】 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】多边形内角和定理是：()1802n -，所以720°=()1802n -，解得6n =． 【总结】考察多边形的内角和定理的应用．例题解析【例4】 如果一个四边形的四个内角的度数之比为1:2:3:4，那么这个四边形的最大内角的度数是__________． 【答案】144°．【解析】四边形的内角和为360°，由题意可设四个内角度数分别为,2,3,4x x x x ，列方 程234360x x x x +++=，解得：36x =，所以最大内角4144x =． 【总结】考查多边形的内角和定理的应用．【例5】 已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求这个多边形的边数与每个内角的度数． 【答案】边数是18，每个内角的度数为160°．【解析】因为多边形的外角都是360°，所以这个多边形的内角和为360°×8=2880°，又因为多边形的内角和公式是()1802n -，所以()1802n -=2880°，解得：18n =． 因为每个内角都相等，所以每个内角度数为2880°÷18=160°. 【总结】考察多边形内角和外角的应用．【例6】 一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，这个内角是多少度? 这个多边形有几条边? 【答案】18【解析】设有n 条边，则内角和为()1802n -．因为多边形每个内角度数都大于0°小于180°．所以()275018022750180n -+，解此不等式地17.2718.27n ，n 为边数只能取正整数，所以18n =． 【总结】考察多边形内角和的应用．4 / 21【例7】 某人从点A 出发，沿直线前进100米后向左转30°，在沿着直线前进100米，又 向左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了多少米． 【答案】1200米．【解析】由题意知A 回到出发点时，所走轨迹是一个正多边形，由多边形的外交和是360°， 所以360°÷30°=12次，所以共走了12个100米，一共走了12×100=1200米． 【总结】考察多边形外角和的应用．【例8】 在四边形ABCD 中，∠A =80°，∠B 和∠C 的外角分别为105°和32°，求∠D 的度数． 【答案】57°【解析】多边形外角和为360°，由题意知∠A 的外角为180°-80°=100°，所以∠D 的 外角为360°-100°-105°-32°=123°，对应的∠D=180°-123°=57°． 【总结】考察多边形外角和的应用．【例9】 设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为（ ）A 、 40°B 、90°C 、120°D 、130° 【答案】D【解析】设有n 条边，则内角和为()1802n -．因为多边形每个内角度数都大于0°小于180°．所以()257018022570180n <-<+，解此不等式地16.2717.27n ，n 为边数只能取正整数，所以17n =,所以这个内角为()()1802-2570180172-2570130n -=⨯-=． 【总结】考察多边形内角和的应用．【例10】 一个凸n 边形的内角中，恰好有4个钝角，则n 的最大值是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 【答案】C【解析】因为多边形的内角和是180°的倍数，所以内角中有4个钝角，就会有()4n -个直角或者锐角，可知内角和一定小于4×180°+()490n -⨯， 即()1802n -< 4×180°+()490n -⨯，解得：8n <，最大值是7． 【总结】考察多边形内角和的应用．【例11】 已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数． 【答案】11，60°．【解析】多边形的内角和为()1802n -，则这个外角为()18021560n --，由于每一个外角都大于0°且小于180°，所以()018021560180n <--<，解得10.711.7n <<， 所以11n =，这个外角的度数为()()18021560180112156060n --=⨯--=． 【总结】考察多边形内外角和的应用．【例12】 已知凸n 边形12n A A A ⋅⋅⋅（n ＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且123285A A A ∠+∠+∠=︒，那么n =__________．【答案】10【解析】多边形的内角和为()1802n -，其余共()3n -个内角和为()1802-285n -，可知()18022850n -->是15°的倍数也是()3n -的倍数， ()()18022851803105105718015123333n n n n n n ----⎛⎫==-=- ⎪----⎝⎭， 可知31n -=或者37n -=，又n ＞4，所以10n =． 【总结】考察多边形内外角和的应用．模块二：平行四边形的概念及性质6 / 211、 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“”表示，如：ABCD ． 2、平行四边形性质定理①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． 简述为：平行四边形的对边相等．②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． 简述为：平行四边形的对角相等．③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分． 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分．④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． ⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．【例13】 在平行四边形ABCD 中，若∠A 的度数比∠B 大20°，则∠B 的度数为__________，∠C 的度数为__________．【答案】80°，100°．【解析】因为是平行四边形，所以180A B ∠+∠=，又-20A B ∠∠=，解得80100B A ∠=∠=；．因为平行四边形的对角相等，所以100C ∠=． 【总结】考察平行四边形的内角和及内角的性质．知识精讲例题解析【例14】 在ABCD 中，E 在BC 上，AB =BE ，∠AEB =70°，求平行四边形ABCD 各内角的度数．【答案】40140B D BAD BCD ∠=∠=∠=∠=；．【解析】由题知，在∆BAE 中，70BEA BAE ∠=∠=，所以40B D ∠==∠， 18040140BAD BCD ∠=∠=-=．【总结】考察平行四边形的内角度数相关知识点．【例15】 如果ABCD 的周长是50cm ，AB 比BC 短3cm ，那么CD 、DA 分别是多少． 【答案】1411DA cm CD cm ==，．【解析】平行四边形的对边平行且相等，所以50225AB BC cm +=÷=，又-3BC AB cm =， 解得1411.BC cm AB cm ==，又因为,AB CD BC AD ==,所以14,11DA cm CD cm ==． 【总结】考察平行四边形的边的相关知识点．【例16】 如图，在△ABC 中，AB =AC =8，D 是底边BC 上一点，DE //AC ，DF //AB ，求四边形AEDF 的周长． 【答案】16【解析】由题意知DE //AC ，所以C EDB ∠=∠,又因为C B ∠=∠ 所以B EDB ∠=∠，得EB=ED ．同理可得FD=FC ，所以四边形AEDF 的周长=AE +ED +DF+AF =AE +EB +CF +AF =AB +AC =8+8=16．【总结】考察平行四边形的边的平行性质的应用．【例17】 如图，已知平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，且AE =2，DE =1，则平行四边形ABCD 的周长等于__________．【答案】10【解析】由题知ABE CBE ∠=∠．因为AD//BC ，所以AEB CBE ∠=∠，得ABE AEB ∠=∠，即AE =AB =2． 因为AD=AE+ED =2+1=3，所以平行四边形ABCD 的周长等于=2×（AB +AD ）=2×（2+3）=10． 【总结】考察平行四边形的综合应用．AB CDEABCDEF8 / 21【例18】 如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知△BOC 的周长比△AOB 的周长多8cm ，求ABCD 各边的长． 【答案】AB =CD =11cm ，BC =AD =19cm ． 【解析】由题知8BOC AOB C C ∆∆-=，且OA =OC ，即BO +OC +BC -(BO +OA +AB )=BC -AB =8，又因为2×(AB +BC )=60，所以得BC +AB =30，BC -AB =8， 所以AB =CD =11cm ，BC =AD =19cm ． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【例19】 平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为________．【难度】★★ 【答案】20或22．【解析】如图由题意可分两种情况：1、AE=3，ED =4，由题知ABE CBE ∠=∠．因为AD//BC ，所以AEB CBE ∠=∠，得ABE AEB ∠=∠， 即AE =AB=3，因为AD=AE+ED =3+4=7，所以这个平行四边形的周长为2×(AB +AD )=2×(3+7)=20； 2、AE =4，ED =3，同理可求这个平行四边形的周长为22； 故该平行四边形的周长为20或22．【总结】考察平行四边形的性质及等腰三角形的综合应用．ABCDOABCD E【例20】 如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 、AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，若∠ B =50°， 求∠F AE 的度数． 【答案】50゜．【解析】因为平行四边形的对角相等，所以50B D ∠=∠=．因为平形四边形的邻角互补，所以18050130BAD ∠=-=．在直角三角形BAE 中，40BAE ∠=，同理40DAF ∠=， 所以130404050FAE ∠=--=．【总结】考察平行四边形的性质及直角三角形的性质的综合应用．【例21】 平面直角坐标系中，ABCD 的对角线交点在坐标原点，若A 点的坐标为(4，3)，B 点的坐标为(-2，2)，求点C 、D 的坐标及ABCD 的周长．【答案】C （-4，-3）；D （2，-2）；229237+．【解析】因为平行四边形的对角线相互平分，所以可知C 点的坐标为（-4，-3），D 点的坐标为（2，-2）．由两点间的距离公式可得()()22423237AB =++-=，()()22242329CB =-+++=，所以ABCD 的周长=2×(3729+)=237229+．【总结】考察平行四边形的性质的在平面直角坐标系中的运用．【例22】 在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD 的边AB //x 轴，B 、D 均在y 轴上，又知道A 、D 在直线y =2x -1上，且B 点坐标(0，1)，求A 、C 、D 的坐标及ABCDS． 【答案】A (1 ，1)；C (-1 ，-1)；D (0 ，-1)；ABCDS =2．【解析】由题意知A 的纵坐标与B 相同，把y =1代入y =2x -1中,可得A 的横坐标为1，所以A 的坐标为A (1 ，1)，D 为y =2x -1与y 轴的交点， 所以D 为（0，-1）．因为AB //CD 且AB =CD ， 所以C 的坐标为（-1，-1）．从而可求CD=1，BD=2，且BD ⊥CD ，所以ABCDS=122CD BD ⨯=⨯=．【总结】考察平行四边形的性质在平面直角坐标系中的应用． 【例23】 如图，已知ABCD 的面积为24，求阴影部分的面积．【答案】12．【解析】因为平行四边形是中心对称图形，可知每一个小阴A BCDEFABCDO xy10 / 21影三角形都有一个小空白三角形与之完全重合． 所以阴影部分的面积是24．【总结】考察平行四边形的中心对称性的运用．【例24】 已知在ABCD 中，M 是AD 的中点，AD =2AB ，求∠BMC 的度数． 【答案】90°．【解析】由题知AM=AB=CD=MD ，设2ABC D ∠=∠=Φ．则可得ABM MBC AMB ∠=∠=∠=Φ，在三角形DMC 中，DM=DC ，2D ∠=Φ， 可得90DMC ∠=-Φ，所以()180-1809090BMC AMB DMC ∠=∠-∠=-Φ--Φ=． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【例25】 如图所示，平行四边形ABCD 中，G 、H 是对角线BD 上两点，DG =BH ，DF =BE ． 求证：∠GEH =∠GFH ．【解析】在DFG ∆与BHE ∆中，因为DG =BH ，DF =BE ，CDB DBA ∠=∠，所以DFG ∆≅BHE ∆，所以GF=EH ，DGF BHE ∠=∠．从而FGH GHE ∠=∠，所以GF//EH ． 又因为GF=EH ，所以四边形GEHF 为平行四边形，从而∠GEH=∠GFH ． 【总结】考察平行四边形的性质的应用．A BCDE F GH【例26】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BM =MC =DC ． 求证：∠EMC =3∠BEM ．【解析】延长EM 交DC 于F 点，易证()BEM CMF AAS ∆≅∆，则MF=ME ，即M 为EF 中点． 设BEM ϕ∠=，则F BEM ϕ∠=∠=，在直角∆FED 中，ME=MF=MD ，得CDM F ϕ∠=∠=， 所以2EMD F MDC ϕ∠=∠+∠=，又因为CM=CD ， 所以MDC CMD ϕ∠=∠=，综上，233EMC CMD EMD BEM ϕϕϕ∠=∠+∠=+==∠． 【总结】考察平行四边形的性质及角的和差的综合应用．【例27】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，直线FH 与AB 、CD 相交，过点A 、D 、C 、 B 向直线FH 作垂线，垂足分别为点G 、F 、E 、H ，求证：AG DF CE BH -=-．【解析】过A 点做AM ⊥DF ，易证四边形AMFG 为矩形，则AG=MF ，所以AG -DF=MF -DF=-DM ． 同理过C 点做CN ⊥BH ，可证CE=HN ， CE -BH=HN -BH=-BN ．因为BH//AG ，所以GAB HBA ∠=∠， 可知90HBA BAM GAB BAM ∠+∠=∠+∠=， 又180DAB ABC ∠+∠=，所以()1809090DAM HBC DAB ABC MAB HBA ∠+∠=∠+∠-∠+∠=-=． 可得90DAM HBC ∠+∠=，从而得DAM BCN ∠=∠(同角的余角相等)． 在∆ADM 和∆CNB 中，AD=BC ，90AMD CNB ∠=∠=︒，又DAM BCN ∠=∠得()AMD CNB AAS ∆≅∆，可得DM=BN ，从而-DM=-BN ， 再得CE -BH=AG -DF ．【总结】考察平行四边形的性质的应用．ABCDEMABCDEF G H12 / 21【例28】 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD = 60°，AE 平分∠BAD 交CD 于E ，BF平分∠ABC 交CD 于F ，又AE 与BF 交于O ，已知OB =OE =1．试求平行四边形ABCD 的面积．【答案】1+3．【解析】因为AE 、BF 分别平分BAD ∠和ABC ∠，又BAD ∠+ABC ∠=180°，所以AOB ∠=90°． 在直角∆AOB 中，∠BAO=12∠BAD = 30°，OB =1，得OA =3．连接BE ，可求得∆BAE 的面积=()1113131222AE OB +⨯⨯=⨯+⨯=，所以平行四边形ABCD 的面积=2×BAE S ∆=13+． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【例29】 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F ．（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），求∠BDG 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45°．【解析】（1）因为AE 平分∠BAD ，所以∠BAE=∠BEA ．又因为AB//CD ，所以∠F =∠BAE =∠BEA=∠CEF ,从而得CE=CF ；（2）连接BG 、CG ．由（1）可知CE=CF ,且BE=BA=DC 又∠ECF=90°． 因为G 是EF 的中点，CG=EG,∠F=∠FEC=45°，从而∠GCD=∠GEB =135°． 综上，可得()BEG DCG SAS ∆≅∆，可得GB=GD ，∠DGC=∠BGE ， 所以90°=∠BGD=∠DGA+∠BGE=∠DGA+∠DGC ， 从而知∆GBD 是等腰直角三角形，所以∠BDG=45°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．ABCD EF O【习题1】 如果一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，这个多边形共有多少条对角线?【答案】27【解析】由题意知共有360°÷（180°-140°）=9条边，根据多边形的对角线条数公式()()39932722n n -⨯-==条．【总结】考察多边形的基本知识的应用．【习题2】 两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是_________和_________．【答案】5，7【解析】设这两个凸多边形的边数分别为x 条和y 条，可列方程x +y =12，192)3(2)3(=-+-y y x x ，解得：12125577x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩． 所以这两个多边形的边数分别是5和7． 【总结】考察多边形的基础知识的应用．【习题3】 若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】8【解析】由题可知该多边形的内角和为360°×3=1080°()1802n =-，解得8n =． 【总结】考察多边形的内外角和的应用．随堂检测14 / 21【习题4】 如图， ABCD 中，AF ∶FC ＝1∶2，S △ADF ＝6cm 2，则ABCDS 的值为________．【答案】36cm 2．【解析】∆AFD 与∆CFD 同高，所以面积比等于底之比 AF :FC =1:2，所以22612DFC S cm ∆=⨯=， 则261218DAC S cm ∆=+=，所以2=218=36ABCDScm ⨯．【总结】考察平行四边边形的性质的应用．【习题5】 如图，ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则ABCD 的面积为________．【答案】3【解析】因为360-D DFB DEB EBF ∠=∠-∠-∠=360°-90°-90°-60°=120°，所以180********A D ∠=-∠=-=，又60A C ∠=∠=，在直角∆BEC 中， 60C ∠=，EC =2，可得BC=4，BE =3AD=BC =4，所以AF=AD -DF =4-1=3． 在在直角∆AFB 中，60A ∠=，AF =3，可得AB =6． 综上平行四边形的面积为623123⨯ 【总结】考察平行四边形的性质的应用．【习题6】 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________．【答案】2a ．【解析】由平行四边形的性质可知OA=OC ，又MO=MO ，MOA MOC ∠=∠，所以∆MOA ≅∆MOC ，所以MA=MC ．所以∆CMD 的周长=a =CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD ， 所以平行四边形的周长=()2AD 2CD a +=．【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的性质的应用．20︒20︒20︒M【习题7】 在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD 的边AB //y 轴，B 、D 均在x 轴上，又知道A 、D 在直线y =2x +1上，且B 点 坐标(1，0)，求A 、C 、D 的坐标及ABCDS和ABCDC．【答案】A (1，3)；C (12-，-3)；D (12-，0)；ABCD S=92； ABCDC=635+．【解析】由题可知A 的横坐标为1，代入y =2x +1可得A 的纵坐标为3，所以A (1，3)．因为D 为y =2x +1与x 轴的交点，所以可得D (12-，0)．因为ABCD 为平行四边形，CD=AB =3，所以C (12-，3)．所以ABCD S =193122AB BD ⎛⎫⨯=⨯+= ⎪⎝⎭，2222333522AD AB BD ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则ABCD C=()322356352AB AD ⎛⎫+=⨯+=+⎪⎝⎭． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【习题8】 如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？【答案】180米【解析】多边形的外角和为360°，每个外角为20°，可知共有360°÷20°=18条边，多边形的周长为18×10=180米． 【总结】考察多边形的外角的应用．【习题9】 如图，已知M 是 ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，且DE =2BE ，则图中阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．512【答案】C【解析】设∆BEM 的面积为x ，因为DE=2BE ，所以∆DEM 的面积为2x ．在梯形MBCD 中，2DEM CBE S S x ∆∆==，同理可知24DCE BCE S S x ∆∆==．AB CDO xy16 / 21GDBCA FE则162DCB BCE DCE S S S x ∆∆∆=+==平行四边形ABCD 的面积，可知平行四边形的面积是 12x ，阴影部分的面积是224x x x +=，所以阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为41123x x =，选C ． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用．【习题10】 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________． 【答案】92cm ．【解析】∆BEF 和∆AEF 的面积之比等于BF:AF =2:1，所以2221AEF BEF S S ∆∆=÷=÷=2cm ． ∆BEA 和∆BEC 的面积之比等于AE:EC=2:1，所以2(21)2 1.5BEC BEA S S ∆∆=÷=+÷=， 从而得21.53 4.5ABC EBC ABE S S S cm ∆∆∆=+=+=， 从而得平行四边形的面积=222 4.59ABC S cm ∆=⨯=． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用．【习题11】 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（ ） A ．60°B ． 65°C ．70°D ．75°【答案】B【解析】作DE 的中点M ，连结AM设∠ADB =Φ=∠DBC ,则∠ABD =75°-Φ，取DE 中点M ，连接AM ．可知∠DAF =∠AFC =90°．在直角三角形ADE 中，MA =12DE =AB ，所以∠AEB =∠ABD =75°-Φ，又因为∠AEB =∠ADM +∠DAM =Φ+Φ=2Φ, 所以2Φ=75°-Φ，解得：Φ=25°，所以∠AED =90°-∠ADM =90°-25°=65°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【习题12】 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE与DF 交于点G ，求证：∠BGC ＝∠DGC ． 【答案】见解析【解析】作CM ⊥BE 、CN ⊥DF ，垂足分别为M 、N 连接CF 、CE ．DABC E由题意知CFD CBE S S ∆∆==12平行四边形的面积， 即1122BE CM DF CN ⨯⨯=⨯⨯，因为BE=DF ，所以CM=CN ， 在∠DGB 中，CM=CN ，可知CG 是∠DGB 的角平分线，即∠BGC ＝∠DGC ． 【总结】考察平行四边的性质与角平分线性质的综合应用．【习题13】 如图，在凸五边形ABCDE 中，已知AB ∥CE ，BC ∥AD ，BE ∥CD ，DE ∥AC ，求证：AE ∥BD ． 【答案】见解析【解析】因为BC//AD ，所以ABD ACD S S ∆∆=．因为AC//DE ，所以ACD ACE S S ∆∆=．因为AB//CE ，所以ACE BCE S S ∆∆=． 因为CD//BE ，所以BCE BDE S S ∆∆=，所以ABD EBD S S ∆∆=，所以AE//BD ． 【总结】考察同底等高的两个三角形面积相等的综合运用．【作业1】 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】由题知这个多边形的内角为180°×（2n -）=360°×5，12n =． 【总结】考察多边形的基础知识．课后作业18 / 21α110°106°78°【作业2】 如果一个凸多边形的每一个内角都等于120°，那么这个多边形共有多少条对角线？ 【答案】9条．【解析】由题意知共有360°÷（180°-120°）=6条边，根据多边形的对角线条数公式()()3663922n n -⨯-==条．【总结】考察多边形的基础知识．【作业3】 如右图中的α∠的度数为__________． 【答案】106°【解析】由题知()10678180110360α∠+++-=．α∠=106°． 【总结】考察多边形的内角的应用．【作业4】 如图，ABFE 和CDEF 是完全相同的两个平行四边形，图中和△AOE 面积相同的三角形（△AOE 除外）有________个． 【答案】5【解析】由平行四边形的性质知AOE COF AOF COE DOE BOF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===== 【总结】考察平行四边形的面积综合应用．【作业5】 已知某平行四边形的周长为80mm ，它被两条对角线分成四个三角形，其中相 邻两个三角形的周长差为12mm ，求这个平行四边形一组邻边的长． 【答案】26mm ，14mm ．【解析】由题知8BOC AOB C C ∆∆-=，且OA =OC ，即BO +OC +BC -(BO +OA +AB )=BC -AB =12mm ．又因为2×(AB+BC)=80mm ，所以得BC+AB =40mm ，BC -AB=12mm ， 所以AB =CD =26mm ，BC =AD =14mm ．【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的综合应用．【作业6】 如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AC =a +b ，BD =a +c ， AB =m ，求m 的取值范围．【答案】22b c b cm a -+<<+． A B CD E F OABCDO【解析】过C 作DB 的平行线交AB 的延长线于G ，可知四边形CDBG 为平行四边形． 可知CD =AB =BG ，BD=CG ，在∆ACG 中，AC+CG>AG=2AB ， AC -CG<AG=2AB即2a b a c m +++>，()-2a b a c m ++<，得22b c b cm a -+<<+． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用【作业7】 若凸多边形的n 个内角与某个外角之和为1350°，求n 的值 ． 【答案】9【解析】设这个外角为Φ(0180<Φ<)，由题知()135018021710-180n n Φ=--=， 则01710-180180n <<，得8.59.5n <<，所以n =9． 【总结】考察多边形内外角的综合应用．【作业8】 已知：AB ∥EF ∥GH ，BE =GC ．求证：AB =EF +GH ． 【答案】见解析.【解析】过B 点做BO//AF ,交FE 的延长线于O ． 可知四边形ABOF 为平行四边形，所以AB=FO ， ∠ABO=∠FEG=∠HGC=∠BEO ，∠A=∠GHC=∠O ．在∆BEO 和∆GHC 中，∠BEO=∠HGC ，BE=GC ，∠GHC=∠O ， 所以∆BEO ≅∆GHC ，则EO=HG ，所以AB=FO=FE+EO=FE+GH ． 【总结】考察平行四边形的性质与全等的综合应用．ABCF EH G20 / 21【作业9】 已知：CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高，AE 平分∠BAC 交CD 于E ，EF ∥AB ， 交BC 于点F ．求证：CE =BF ． 【答案】见解析.【解析】分别过E 、F 做EM ⊥CA 、FN ⊥AB ，垂足分别为M 、N ．因为AE 平分∠BAC ，所以ED =EM ．因为EF //AB ，所以ED =FN ，所以EM =FN ． 在直角△ABC 中，CD ⊥AB ，∠CAB +∠ACD =∠CAB +∠B =90゜．所以∠ACD =∠B ． 在∆CEM 和∆BFN 中，EM =FN ，∠ACD =∠B ，∠CME =∠BNF =90゜ 所以∆CEM ≅∆BFN ，从而得CE =BF ． 【总结】考察平行四边形的性质与全等的综合应用．【作业10】 如图所示，平行四边形ABCD 中，EF ∥BD ，EF 分别交AB 、AD 的延长线 于E 、F ，交BC 、CD 于G 、H ．求证：EG =FH ． 【答案】见解析.【解析】因为EF ∥BD ，DC ∥BA ，所以DH =BE ，∠DHF =∠E ，∠EGB =∠F 所以∆DHF ≅∆BGE ，所以EG =FH ． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【作业11】 如图所示，平行四边形ABCD 中，P 为△BAD 内一点，若2PAB S =△，5PCB S =△， 求PBD S △的值． 【答案】3【解析】由题知1S S 2PAD PBC ∆∆+=平行四边形的面积=ABD APD ABP PBD S S S S ∆∆∆∆=++ 可得：S PBC ∆=ABP PBD S S ∆∆+，可得523PBD CBP ABP S S S ∆∆∆=-=-=． 【总结】考察平行四边形的面积的综合应用．A BCDEFABCDEFGHA B CDP【作业12】 如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在CD 边上， EF ∥BD ．求证：ABE ADF S S =△△．【答案】见解析【解析】由CD //AB ，AD //BC ，EF //BD ，得：A ADF BDF BDE B E S S S S ∆∆∆∆===． 【总结】考察平行四边形的面积的综合应用．A BC D E F。

多边形及其内角和知识点多边形是由线段组成的闭合图形，它拥有多个边和多个顶点。

多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。

首先，我们需要了解多边形的基本概念和性质。

1.多边形的定义：多边形是由一系列线段组成的闭合图形。

每条线段称为多边形的一条边，相邻两个边的交点称为多边形的一个顶点。

多边形至少有三条边和三个顶点。

2.多边形的性质：-每个顶点至少有两个邻接的边；-每个边至少有一个邻接的顶点；-每条边的两个端点都是相邻的顶点。

接下来，我们来探讨多边形的内角和的计算方法。

假设一个n边形的内角和为S。

从一个顶点出发，画一条射线，与相邻的两个边相交。

这样，一个n边形就被分成了n个三角形。

由三角形的内角和的性质可知，每个三角形的内角和为180°。

因此，n个三角形的内角和为n×180°。

但是我们需要注意的是，从同一个顶点出发的n个射线会有重叠的部分，即每个内角都重叠了两次。

因此，我们需要减去这些重叠的部分。

由于每个内角重叠了两次，重叠的部分的度数等于(n-2)×180°。

因此，最终的计算公式为：S=n×180°-(n-2)×180°简化后可得到：S=(n-2)×180°通过这个公式，我们可以方便地计算多边形的内角和。

举例来说，如果一个五边形的内角和是多少呢？根据公式S=(5-2)×180°=3×180°=540°所以，五边形的内角和为540°。

通过上面的例子，我们可以看出多边形的内角和的计算方法。

除了计算多边形内角和的方法，我们还可以根据多边形的性质来推导一些结论。

比如：1.任意n边形的内角和等于(n-2)×180°，这个结论适用于所有的多边形，无论是凸多边形还是凹多边形。

2.任意n边形的外角和等于360°。

外角是顶点的补角，即一个内角与相邻的外角之和等于180°。

多边形及其内角和知识点总结一、知识点1、多边形的定义：由在同一平面内，不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2、多边形的分类：根据边数的不同，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形、六边形等等。

3、多边形的内角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点相连所形成的角称为该多边形的内角。

4、多边形的内角和公式：n边形的内角和为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。

5、多边形的外角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点之间的夹角称为该多边形的外角。

6、多边形的外角和公式：多边形的外角和为360°，与多边形的边数无关。

7、勾股定理：在直角三角形中，勾股定理指出两个直角边的平方和等于斜边的平方。

二、重难点精析1、多边形的定义和分类是基础知识，需要理解并掌握不同类型多边形的特点。

2、多边形的内角和公式是重点，需要牢记并能够熟练运用该公式进行计算。

同时，也需要理解该公式的推导过程。

3、多边形的外角和公式是重点，需要理解并掌握该公式的应用。

同时，也需要掌握通过多边形的内角和公式和外角和公式之间的联系，进行计算和推导。

4、勾股定理是重点，需要理解并掌握其应用，特别是在解决与直角三角形相关的问题时。

5、对于一些复杂的多边形问题，需要掌握分解和组合的思想，将复杂的多边形分解为简单的三角形或四边形，从而解决问题。

6、在解决与角度制相关的问题时，需要注意角度制的计算方法和单位转换。

7、在解决与对称性相关的问题时，需要结合多边形的定义和性质进行思考和分析。

总之，对于八年级数学中的多边形及其内角和知识点，学生需要牢固掌握基础知识，理解公式的推导过程，熟练运用公式进行计算和推导，同时还需要灵活运用各种解题技巧和方法，才能够真正掌握该部分知识点的核心内容。

多边形与内角和知识点汇总多边形是由多个线段相连而成的图形。

它由若干条边和若干个顶点组成。

多边形是几何学中一个重要的研究对象，它有很多重要的性质和特点。

其中之一就是内角和。

内角和是指多边形内部的所有角度之和。

对于n边形来说，它的内角和可以用公式(n-2)x180°来表示。

从这个公式可以看出，对于三角形来说，它的内角和是180°，对于四边形来说，它的内角和是360°，对于五边形来说，它的内角和是540°，以此类推。

这个公式的背后其实有一个重要的几何思想，就是在平面上的几何图形中，内角和总是一个常数。

这个常数是由图形的边数决定的。

通过计算内角和，我们可以判断一个图形是否是多边形，以及它的边数是多少。

内角和的概念在几何学中具有重要的应用。

例如，在计算多边形的面积时，我们常常会利用内角和的概念。

通过将多边形分割成若干个三角形，然后计算每个三角形的面积，最后将它们加起来，就可以得到整个多边形的面积。

此外，在解决几何问题时，内角和的概念也经常被用到。

通过计算多边形的内角和，我们可以判断一个图形的形状，进而解决与图形相关的问题。

例如，通过计算内角和，我们可以判断一个多边形是否是正多边形，或者是否是凸多边形。

对于正多边形来说，它的内角和可以进一步简化。

正多边形是指所有边相等，所有角度相等的多边形。

在正n边形中，每个内角都是360°/n。

所以，正多边形的内角和等于正n边形的内角乘以边数，也就是(n-2)×180°。

这个公式是非常有用的，可以简化我们对正多边形的计算。

多边形内角和知识点1. 多边形内角和那可是很关键的知识呢呀！就说三角形吧，内角和就是180 度，这就像一个稳定的小团体，三个角紧紧相依。

比如我们常见的直角三角形，一个直角 90 度，那另外两个锐角加起来不就是 90 度嘛！2. 哎呀呀，四边形的内角和是 360 度哟！你想想看，把四边形分成两个三角形，不就清楚啦。

就好比一间房子有四个角，它们的和就是 360 度啊。

像长方形，四个角都是直角，加起来就是 360 度呢！3. 多边形内角和会随着边数增加而变化呢，神奇吧！五边形的内角和是540 度呀。

这就好像是一个更复杂的团队，角度的组合更多啦。

比如五边形的地砖，那里面的角度组合起来就是 540 度哦！4. 你知道吗，多边形内角和的规律超有趣呀！六边形内角和是 720 度呢。

这就如同一个更大型的图案，蕴含着更多的秘密。

像蜂巢的形状，不就是六边形嘛，它们的内角和就有 720 度呀！5. 多边形内角和还能让我们解决很多问题呢！七边形内角和是 900 度哟。

就像是一个难解的谜题，等我们去探索。

好比一个奇特的七边形徽章，它的内角和就是 900 度呢。

6. 哇塞，八边形内角和有 1080 度呢！是不是很惊讶呀！这就像一个超级复杂的结构，需要我们仔细研究。

比如一个八边形的花坛，里面的角度加起来就是 1080 度呀。

7. 多边形内角和真的好神奇呀，九边形内角和是 1260 度呢！就像一个神秘的图案等待我们解开。

像一些特别的九边形装饰，内角和就是1260 度。

8. 多边形内角和可是数学里的宝贝呀！十边形内角和是 1440 度哦！这就如同一个宏伟的计划，充满了未知与挑战。

像一个华丽的十边形图案，那其中的内角和真是让人惊叹！总之，多边形内角和是非常有意思且重要的知识呀！。

多边形内角和总结知识点总结在几何学中，多边形内角和是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决许多与图形相关的问题。

接下来，让我们一起深入探究多边形内角和的相关知识。

首先，我们要明确什么是多边形。

多边形是由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形。

常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等等。

对于三角形来说，其内角和是180 度。

这是一个基本且重要的结论，我们可以通过多种方法来证明。

比如，我们可以将三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现正好形成一个平角，也就是 180 度。

那么，四边形的内角和是多少呢？我们可以将四边形分割成两个三角形。

因为一个三角形的内角和是 180 度，所以两个三角形的内角和就是 360 度，即四边形的内角和为 360 度。

按照同样的思路，五边形可以分割成三个三角形，其内角和就是180×3 ＝ 540 度。

六边形可以分割成四个三角形，内角和就是 180×4＝ 720 度。

由此，我们可以总结出一个规律：n 边形的内角和等于（n 2）×180 度（n 为大于等于 3 的整数）。

这个公式的推导其实很好理解。

从 n 边形的一个顶点出发，可以引出（n 3）条对角线，将 n 边形分割成（n 2）个三角形，所以内角和就是（n 2）×180 度。

知道了多边形内角和的公式，我们就可以解决很多实际问题。

比如，已知一个多边形的内角和是 1080 度，我们可以通过公式（n 2）×180＝ 1080，求出 n ＝ 8，即这个多边形是八边形。

多边形内角和的知识在数学和实际生活中都有广泛的应用。

在数学中，它是解决几何问题的重要工具；在实际生活中，比如建筑设计、图案绘制等方面，都需要用到多边形内角和的知识来保证图形的准确性和稳定性。

另外，我们还需要注意一些特殊的多边形。

比如正多边形，正多边形是指各边相等，各内角也相等的多边形。

对于正 n 边形，每个内角的度数为（n 2）×180÷n 度。

小学数学知识归纳多边形的内角和与外角性质多边形是数学中一个重要的概念，指的是由多个线段组成的封闭图形。

在小学数学中，我们常常研究多边形的内角和与外角性质。

在本文中，我们将对多边形的内角和外角进行归纳总结。

一、多边形的内角和性质多边形的内角和是指多边形内部所有内角的和。

下面我们就不同类型的多边形进行内角和的归纳总结。

1. 三角形的内角和性质三角形是最简单的多边形，它有三个内角。

根据数学定理，三角形的内角和等于180度。

这是因为，三角形可以被看作是平面上的三个点所确定的图形，其中每个角占据了1/3的空间，因此三角形的内角和为180度。

2. 四边形的内角和性质四边形是指具有四条边的多边形。

常见的四边形有矩形、正方形、梯形等。

不同类型的四边形内角和存在一定的规律。

- 矩形：矩形有四个内角，其中每个角都是90度。

因此，矩形的内角和为360度。

- 正方形：正方形也有四个内角，每个角也都是90度。

因此，正方形的内角和也为360度。

- 梯形：梯形的内角和等于180度。

但需要注意的是，梯形的两边并不平行，因此无法像三角形、矩形和正方形那样简单地计算内角和。

3. 多边形的内角和公式对于n边形，我们可以使用以下公式计算其内角和：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式适用于所有的多边形，包括三角形、四边形以及更多边的多边形。

二、多边形的外角性质多边形的外角是指由多边形的一条边与其相邻的两条边所围成的角。

而多边形的外角和是指多边形内部所有外角的和。

下面我们将对多边形的外角性质进行归纳总结。

1. 多边形的外角和公式与内角和类似，多边形的外角和也存在一个公式可供计算。

外角和 = 360度这个公式适用于所有的多边形，不论边数多少，均满足外角和等于360度的性质。

2. 内角与外角的关系内角和与外角和之间有一定的关系。

我们可以发现，一个内角与相邻的一个外角相加等于180度。

这是因为，内角与外角之间相当于两个互补角。

初中多边形内角知识点归纳总结### 初中多边形内角知识点归纳总结#### 一、多边形的定义多边形是由若干条线段依次首尾相接所围成的封闭图形。

根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。

#### 二、多边形的内角多边形的内角是指多边形内部，由相邻两边所形成的角。

#### 三、内角和定理1. 三角形内角和：三角形的内角和为180°。

2. 四边形内角和：四边形的内角和为360°。

3. n边形内角和：对于任意n边形，其内角和为\((n-2) \times 180°\)。

#### 四、内角和定理的应用- 判断多边形类型：通过内角和可以判断多边形的边数。

- 计算缺失角度：如果已知多边形的某些内角，可以利用内角和计算出其他角度。

#### 五、多边形的外角多边形的外角是指多边形的一边与相邻边的延长线所形成的角。

#### 六、外角和定理- 外角和：任意多边形的外角和为360°。

#### 七、外角与内角的关系- 相邻内外角互补：多边形的内角与相邻的外角和为180°。

#### 八、多边形的对角线- 对角线定义：连接多边形不相邻顶点的线段称为对角线。

- 对角线数量：n边形有\(\frac{n(n-3)}{2}\)条对角线。

#### 九、正多边形- 定义：所有边长相等，所有内角相等的多边形称为正多边形。

- 正多边形内角：正n边形的每个内角为\(\frac{(n-2) \times 180°}{n}\)。

#### 十、多边形的分类1. 凸多边形：所有内角均小于180°。

2. 凹多边形：至少有一个内角大于180°。

#### 十一、多边形的面积计算- 三角形面积：\(\frac{1}{2} \times \text{底} \times\text{高}\)。

- 四边形面积：根据具体形状，如梯形、矩形等，使用相应的面积公式。

#### 十二、多边形的周长- 周长定义：多边形所有边长的总和。

多边形内角和总结知识点总结多边形内角和知识点总结在数学的广阔天地中，多边形内角和是一个重要且基础的概念。

它不仅在几何学习中频繁出现，还在解决实际问题中发挥着关键作用。

接下来，让我们一起深入探索多边形内角和的相关知识。

一、多边形的定义多边形是由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形。

常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等等。

二、多边形内角和的公式多边形内角和的公式为：＄（n 2)×180°＄，其中$n$为多边形的边数。

这个公式的推导其实很有趣。

我们以三角形为例，三角形的内角和是 180°。

当我们增加一条边，变成四边形时，可以通过连接其中一个顶点和不相邻的顶点，将四边形分成两个三角形，所以四边形的内角和就是 2×180°＝ 360°。

以此类推，每增加一条边，就多了一个三角形，内角和也就增加 180°。

三、不同边数多边形内角和的计算1、三角形三角形是最基本的多边形，它的内角和是 180°。

2、四边形四边形可以分为矩形、平行四边形、梯形等。

根据内角和公式，＄（4 2)×180°＝ 360°＄。

3、五边形五边形的内角和为$（5 2)×180°＝ 540°＄。

4、六边形六边形的内角和是$（6 2)×180°＝ 720°＄。

四、多边形内角和的性质1、多边形的内角和随着边数的增加而增加。

2、任意多边形的外角和都为360°。

这是一个很重要且固定的数值，与多边形的边数无关。

3、多边形的内角中，最多只能有三个锐角。

因为如果锐角过多，内角和就会小于$（n 2)×180°＄。

五、应用实例1、已知一个多边形的内角和为 1080°，求它的边数。

我们可以设这个多边形的边数为$n$，则根据内角和公式可得：＄（n 2)×180°＝ 1080°＄＄n 2 ＝ 6$＄n ＝ 8$所以这个多边形是八边形。