1.1 不等关系 (2)

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3.1.1不等关系和3.1.2不等关系与不等式(一)课件ppt

a a－ b a (2)当 a＝b 时，＝1，a－b＝0，∴ ＝1， b b
∴aabb＝abba.(8 分) a (3)当 a＜b 时，0＜＜1，a－b＜0， b
a a－b ∴ ＞1，∴aabb＞abba.(11 分) b
综上可知，当 a＞0，b＞0 时，aabb≥abba.(12 分)
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自学导引
1．关于a≥b或a≤b的含义 (1)a＞b或a＜b，表示严格的不等式．大于或等于b 或者a (2)不等式“a≥b”读作“_____________”．其含义是指“_____ ＞b，或者a＝b ______________”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有
一个正确，则a≥b正确． a小于或等于b (3)不等式“a≤b”读作“______________”．其含义是指“或者 a不大于b a＜b，或者a＝b”，等价于“__________”，即a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
解 1)(x
2
(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－
1 2 3 －x＋1)＝(x－1)x－＋ 2 4
12 3 ∵x＜1，∴x－1＜0，又x－＋＞0. 2 4 1 2 3 ∴(x－1)[x－＋ ]＜0，∴x3－1＜2x2－2x. 2 4
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【题后反思】 (1)作商比较法的应用条件，利用作商比较法的前提是两个数需同号，一般情况下，比较两个正数间的大小关系多用作商法． (2)作商法的基本步骤： ①作商；②变形；③判断与1的大小；④得出结论．
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【训练3】若m＞0，比较mm与2m的大小．

&1.1.1不等式的基本性质

&1.1.1不等式的性质 &1.1.1不等式的性质
一、实数的有序性
0 Ｘ
• 1.实数在数轴上的性质: 1.实数在数轴上的性质实数在数轴上的性质: • 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数研究不等式的出发点是实数的大小关系。轴上的点与实数1 对应，轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
a > b, c < 0 ⇒ ac < bc. a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd.
单向性
5.乘方 : a > b > 0 ⇒ a n > b n (n ∈ Z, 且n ≥ 2 )
6.开方 : a > b > 0 ⇒ n a > n b (n ∈ Z, 且n ≥ 2)
同向相加相乘
二、不等式的基本性质
1、对称性：a > b ⇔ b < a
2、传递性：a > b, b > c ⇒ a > c
双向性
3、加（减）：a > b ⇒ a + c > b + c;
(加法法则)a > b, c > d ⇒ a + c > b + d; 4、乘(除 )：a > b, c > 0 ⇒ ac > bc;
Ａ a a<b
Ｂ b x
Ｂ b a>b
Ａ a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 a,b是两个实数, 是两个实数 A,B,那么当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B 那么, ,a<b;当点 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右边时,a>b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么a 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么aa,b的大小关系基本事实 a>b,那么是正数;如果a=b,那么a 等于零;如果a<b,那么a a=b,那么 a<b,那么 b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b是负数;反过来也对. 负数;反过来也对.

高二济南数学课本目录

高二济南数学课本目录必修五第一章数列1.数列1.1数列的概念1.2数列的函数特性2.等差数列2.1等差数列2.2等差数列的前n项和3.等比数列3.1等比数列3.2等比数列的前n项和4.数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形1.正弦定理与余弦定理1.1正弦定理1.2余弦定理2.三角形中的几何计算3.解三角形的实际应用举例第三章不等式1.不等关系1.1不等关系1.2不等关系与不等式2.一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用3.基本不等式3.1基本不等式3.2基本不等式与最大（小）值4.简单线性规划4.1二元一次不等式（组）与平面区域4.2简单线性规划4.3简单线性规划的应用选修2-1第一章常用逻辑用语1.命题2.充分条件与必要条件2.1充分条件2.2必要条件2.3充要条件3.全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题3.3全称命题与特称命题的否定4.逻辑连结词“且”“或”“非”4.1逻辑连结词“且”4.2逻辑连结词“或”4.3逻辑连结词“非”第二章空间向量与立体几何1.从平面向量到空间向量2.空间向量的运算3.向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理3.3空间向量运算的坐标表示4.用向量讨论垂直与平行5.夹角的计算5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角5.3直线与平面的夹角6.距离的计算第三章圆锥曲线与方程1.椭圆1.1椭圆及其标准方程1.2椭圆的简单性质2.抛物线2.1抛物线及其标准方程2.2抛物线的简单性质3.双曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质4.曲线与方程4.1 曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证1.归纳与类比1.1归纳推理1.2类比推理2.综合法与分析法2.1综合法2.2分析法3.反证法4.数学归纳法第二章变化率与导数1.变化的快慢与变化率2.导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义3.计算导数4.导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则5.简单复合函数的求导法则第三章导数的应用1.函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性1.2函数的极值2.导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义2.2最大值、最小值问题第四章定积分1.定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分2.微积分基本定理3.定积分的简单应用3.1平面图形的面3.2简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入1.数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念2.复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法。

1.1.1不等式的基本性质课件人教新课标4

堂双
主
基
导学
所以xx－2yx2＋x＋1y＞0.
达标
所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.
课
堂
互动探究
课时作业
菜单
不等式的基本性质
新课标 ·数学选修4-5
判断下列命题是否正确，并说明理由．
课
当
前自
(1)若a>b，则ac2>bc2；
堂双
主
基
导学
(2)若ca2>cb2，则a>b；
自主
A．3a>2a
B．a2<2a
双基
导
达
学
1
C.a<a
标
D．3－2a>1－2a
课
堂互
【答案】 D
动
探
究
课时作业
菜单
新课标 ·数学选修4-5
2．已知m，n∈R，则m1 ＞1n成立的一个充要条件是
课前
A．m＞0＞n
自
主导
C．m＜n＜0
学
B．n＞m＞0 D．mn(m－n)＜0
()
当堂双基达标
课
堂方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答
互动
探此类问题的基础．
究
课时作业
菜单
新课标 ·数学选修4-5
课前自
已知－6<a<8,2<b<3，分别求a－b，ab的取值范围．
当堂双
主
基
导
达
学
【解】 ∵－6<a<8,2<b<3.
标
∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6，

数学资源与评价答案

20．（1）＞（2）＝（3）＞（4）＞（5）＞； ≥2ab（当a＝b时取等号）．
聚沙成塔：甲同学说的意思是：如果每5人一组玩一个篮球，那么玩球的人数少于50人，有些同学就没有球玩．
乙同学说的意思是：如果每6人一组玩一个篮球，那么就会有一个组玩篮球的人数不足6人．
丙同学说的意思是：如果每6人一组玩一个篮球，除了一个球以外，剩下的每6人玩一个球，还有几个（不足6人）玩另外一个篮球．
∴7.5＜x＜12，∴x可取8，9，10，11．
又∵2x=60－3y=3（20－y） ∴2x应是3的倍数
∴x只能取9，y = = 14
答：白球有9个，红球有14个．
1．4一元一次不等式（1）
1．B；2．C；3．D；4．B；5．B；6．D；7．A；8．A；9．x＝0，－1，－2，－3，－4 ；10．x＜－3；11．R＞3；12．－6；13．2；14．2≤a＜3； 15．x≥ ．
1．2 不等式的基本性质
1．C； 2．D； 3．B； 4．A； 5．C； 6．A； 7．C； 8．D； 9．（1）＜（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜；10．（1）＜（2）＞（3）＞（4）＜；11．a＜0； 12．（4）；
13．0，1，2，3，4，5； 14．＜； 15．＜2 ＜0； 16．＞．
16．第④步错误，应该改成无论x取何值，该不等式总是成立的，所以x取一切数．
17．（1）得x≥1；（2）x＞5；（3）x≤1；（4）x＜ 3；
18．（1）解不等式，得
所以当时，的值是非负数．
（2）解不等式，得
所以当时，代数式的值不大于1
19．p＞－6． 20．－11．
如果下月初出售，可获利y2元，则y2＝25%x－8000＝0.25x－8000

1.1-2实数大小的比较、不等式的性质

＝b.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若ab>1，则 a>b. (2)∀x∈R，x2>2x. (3)若 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则 a>0，c<0.
解析
() () ()
教材整理 2 不等式的性质
阅读教材 P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题．性质 1 对称性 a＞b⇔b＜a
设m＝1x＋1y，n＝x＋4 y，试比较＝x＋xyy－x＋4 y＝x＋xyyx2＋－y4xy＝xyx－x＋yy2，
m与n的大小．
∵x，y均为正数，
∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，
(x－y)2≥0，
∴m－n≥0，即m≥n.
2.判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a＞b，则 ac2＞bc2；(2)若ca2＞cb2，则 a＞b； (3)若 a＞b，ab≠0，则1a＜1b；(4)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd.
实数大小的比较【例 1】 (1)比较（3x-2）（x+1）与（2x+5）（x-1）的大小； (2)若 a＞0，b＞0 试比较 abba 与 aabb 的大小．
[精彩点拨] (1)只需考查两者差同 0 的大小关系； (2)注意到 2m＞0，可求商比较大小，但要注意到用不等式的性质．
比较大小的常用方法及步骤 1．求差法：a≥b⇔a－b≥0，a≤b⇔a－b≤0. 一般步骤是：作差→变形→判号→定论．变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．
推论 2 如果 a＞b＞0，那么 a2＞b2
推论 3 如果 a＞b＞0，那么 an_＞_bn(n 为正整数) 推论 4 如果 a＞b＞0，那么 a1n＞__b1n(n 为正整数)

3.1.2不等关系与不等式(二)课件ppt(北师大版必修五)

所以 f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．又因为 1≤a－b≤2，所以 3≤3(a－b)≤6 因为 2≤a＋b≤4. 所以 5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.即 5≤f(－2)≤10. 法二设xy＝＝aa＋－bb，，即 a＝x＋2 y，b＝y－2 x.
所以f(－2)＝4a－2b＝2(x＋y)－(y－x)＝3x＋y，而1≤x＝a－b≤2,2≤y＝a＋b≤4，所以5≤f(－2)≤10.
本题把所求的问题用已知不等式表示，然后利用同向不等式的性质加以解决，解决此类问题常用的方法是方程组思想与待定系数法．
课前探究学习
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[正解] 法一 (待定系数法)：设 f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以－m＋m＋n＝n＝4，－2，解得mn＝＝13.，
答案 3
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题型二利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 (1)已知 a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc； (2)已知 a＞1，m＞n＞0，求证：am＋a1m＞an＋a1n. [思路探索] (1)对不等式进行变形，利用不等式的性质证明；(2)将不等式两边相减，转化为比较与0的大小问题．
课堂讲练互动
想一想：若a＞b＞0，当n＜0时，an＞bn成立吗？
提示不成立，如当 a＝3，b＝2，若 n＝－1，则 3－1＝ 13＜2－1＝12，所以原式不成立．
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名师点睛
1．对不等式性质的理解 (1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用． (2)性质4中①当c＞0时，得同向不等式．②当c＜0时，得异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc. (3)性质5是同向不等式相加得同向不等式并无相减式． (4)性质6是均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．

不等式与不等式组

不等式与不等式组引言：不等式是数学中一种重要的表达式，它可以描述数值之间的大小关系。

而不等式组则是多个不等式的集合，通过不等式组可以更准确地描述多个数值之间的关系。

本文将介绍不等式的基本概念、解不等式的方法以及解不等式组的方法，并通过实例进行详细说明。

一、不等式的基本概念1.1 不等式的定义不等式是数学中一种比较两个数值大小关系的表达式。

常见的不等式符号包括大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

1.2 不等式的性质不等式有以下基本性质：（1）任意数与自身的不等关系是等式关系，即a = a；（2）如果a > b，那么b < a；（3）如果a > b，且b > c，则a > c（传递性质）；（4）两个不等式可以通过加法、减法、乘法和除法进行运算，运算的结果仍然是不等式。

二、解不等式的方法解不等式的方法主要有图解法、试值法和换元法。

下面将对这三种方法进行详细介绍。

2.1 图解法图解法是通过将不等式转化为图形进行分析和求解的方法。

以一元不等式为例，画出数轴并标出关键点，再根据不等式的符号来判断解的范围，从而得到不等式的解集。

2.2 试值法试值法是通过选择一些特定的数值，代入不等式进行验证，找出满足不等式的数值范围，进而得到不等式的解集。

2.3 换元法换元法是通过引入新的变量，将原不等式转化为一个更简单的形式进行求解。

常用的换元方法有代换法、平方取非负法等。

三、解不等式组的方法不等式组是由多个不等式组成的集合，解不等式组需要判断每一个不等式的解集并进行求交集的操作。

下面介绍两种解不等式组的方法。

3.1 图解法图解法也适用于解不等式组。

以二元不等式组为例，将每个不等式转化为平面直角坐标系上的图形，并找出所有满足条件的交集区域，便得到了整个不等式组的解集。

3.2 代入法代入法是通过将不等式组的某个解代入原不等式组进行验证，从而找出满足全部不等式的解集。

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质

探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作

不等关系说课稿

不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。

在数学的学习过程中，深入理解不等关系对于解决问题和推理判断都具有重要意义。

本文将从不等关系的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。

一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于四种情况。

用符号表示时，大于用 ">"，小于用 "<"，大于等于用"≥"，小于等于用"≤"。

1.2 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。

这个性质在解决问题时非常实用，可以简化推理过程。

1.3 不等关系的对称性不等关系不具有对称性，即a>b不一定意味着b<a。

这是因为不等关系是基于数的大小进行比较，而不是数的本身。

二、不等关系的性质2.1 不等关系的反身性不等关系具有反身性，即对于任意的数a，都有a≥a或者a≤a。

2.2 不等关系的传递闭包不等关系的传递闭包是指将不等关系中的传递性扩展到所有可能的数对上。

通过传递闭包，我们可以得到更多的不等关系。

2.3 不等关系的等价关系不等关系可以看做是等价关系的一种特殊情况。

等价关系具有自反性、对称性和传递性，而不等关系只具有自反性和传递性。

三、不等关系的应用3.1 不等关系在数学推理中的应用不等关系在数学推理中起到了重要的作用，可以匡助我们解决各种问题。

例如，在证明不等式时，我们可以利用不等关系的传递性和性质来进行推导。

3.2 不等关系在实际问题中的应用不等关系在实际问题中也有广泛的应用。

例如，在经济学中，不等关系可以描述不同商品的价格大小关系；在物理学中，不等关系可以描述物体的大小和分量关系等。

3.3 不等关系在计算机科学中的应用不等关系在计算机科学中也有重要的应用。

例如，在排序算法中，我们可以利用不等关系对元素进行比较和排序；在数据库查询中，不等关系可以用于筛选满足特定条件的数据。

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作业：（1）课本p5.习题1.1 （1, 2）（2）预习课本p7～9,做一做，例题，随堂练习.
B A
CB
A D
CD
AB
解：设这棵树生长x年其树围才能超过 2.4m，根据题意得：
5＋3x＞240
例题某பைடு நூலகம்票5元/张，一次性购满30张，每
张4元。27人去游览，团长这正准备买27张票，小明却提议买30张，这岂不是“浪费” 吗？
想一想：团体至少多少人时，多买票反而合算呢？
解： 4×30=120（元） 5×27=135（元）
§1.1.不等关系
“数学是科学之王”——高斯（数学王子）
学习目标：
1.举例说明现实生活中的不等式的意义. 2.能结合生活实例列出不等式
自学指导
1、不大于，不小于，至少，非负数，不超过分别表示什么？ 2、周长相等，圆和正方形谁的面积大？你能说明吗？ 3、举例说明什么是不等式？
警告！为了你的生命安全，燃
放时请及时转移至5米之外。
此例中有不等关系： “大于5”
生产日期：2010.02.15 保质期： 6个月
此例中有不等关系： “不大于6”
看一看
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量对比来工作的．
此例中也含不等关系。
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，并且根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们用到了生活实践当中．
此例中也含不等关系。
由此可见，“不相等”处处可见。从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
不等式的定义及表示方法：
一般地，
用符号 “＜” （或 “≤”）， “＞” （或 “≥”）连接的式子叫做不等式。
用适当的符号表示下列语句： “不大于”≤ ——， “不小于”≥ ——， “至少” ≥ ——， “非负数”≥0——， “不超过”≤ ——。
想一想(如下图)：用两根长度均为lcm的
绳子，分别围成一个正
方形和圆。
1.如果要使正方形的面积不大于25cm2, 那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
l2
≤ 25
16
2.如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？
l2
4 ≥ 100
3.当 l = 8时，正方形与圆
的面积哪个大？l = 12呢？
设团体至x人. 则5x≥30×4 ∴x≥24
答：不浪费.团体至少24人时，多买票反而合算。
随堂练习用适当的符号表示下列关系：
（1）a是非负数； ( a≥o )
（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a,b都长；
( c＞a, c＞b )
（3）x与17的和比它的5倍小；( X+17＜5x )
（4）从2，4，6，8，10中任取两个数就组成一组
∵ 82 4 16
cm 2
82 5.1 cm 2
4
4.你能得到什么猜想？改变 l 的取值再试一试。
l2
＞
l2
∴ 圆的面积大
4 16
做一做（P4）
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5cm的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm。这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关系式）
数，写出其中两数之和不大于10的所有数组。
( 2，4）（2，6 ) （4，6）（2，8）
（5）（课本p 5～6. 3, 4 ）
（6）写出A,B,C之间的大小关系：
（A，B，C表示重量）（用符号“＞”表示）
B
A A ＞B
A
C ＞A
C
小结：（1）不等式的定义及表示方法；（2）会用适当的符号表示不等关系；