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二次函数与一元二次方程之间关系的教学设计
作者：王云杰
来源：《读写算》2018年第15期 龙源期刊网 龙源期刊网
摘 要;本文主要对二次函数与一元二次方程之间的关系进行了详细的分析与论证，使学生感受函数是刻画现实世界数量关系的有效模型，增加对二次函数的感性认识，让同学们领会解函数题时的乐趣，深刻理解二者的必要性，进一步感受数学在生活中的广泛应用。
关键词;一元二次方程;二次函数;关系
中图分类号：B032.1 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）15-0217-01
关于一元二次方程？，因为，，的数值不定，方程的根有三种情况，可能有两个不等的实数根，可能有两个相等的实数根，可能没有实数根。上述内容是能够通过函数图像和轴交点的有关问题来解答，它们与各项系数与常数项的数值有关。本文通过总结二者之间的关系进行教学设计，对于以后的教学和学习提供帮助。
对于一方程;;;;;;;;;;;;（ ;;;）的根就是二次函数;;;;;;;;;;;（;;;;）图像与;;轴的交点。
①Δ时，方程有两个不等的实数根 ;;;;，则说明抛物线与�轴的交点坐标为（ ，0），（ ;，0）;
②Δ时，方程有两个相等的实数根，抛物线与轴只有一个交点，就是函数图像的顶点，坐标为（ ;;，0）;
③Δ时，方程没有实数根，二次函数与轴没有交点。
二次函数（）
① ;;;;，二数;;;;;;;;;;;;图像开口向上，当顶点的纵坐标 ;;;;;;时，抛物线与;;轴必定有交点;
②;;;;;，二次函数 ;;;;;;;;;;;图像开口向下，当顶点的纵坐标 ;;;;;;时，抛物线与轴肯定有交点;
一、教材学情分析
二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，从教材编排上看，二次函数所占比例较大，是初中阶段所学函数内容的重点，这将是学生在学习了几种初等函数之后对函数有关内容的进一步理解和学习。
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二次函数与一元二次方程
1、抛物线222yxkx与x轴交点的个数为
2、已知二次函数277ykxx与x轴有交点，则k的取值范围
3．已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为 ．
4、二次函数263ykxx的图像与x轴有交点，则k的取值范围是
A、3k B 、3k且 0k C、3k D、3k且0k
5、已知函数2yaxbxc的图象如图（7）所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
6．根据下表中的二次函数2yaxbxc的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（ ）．
x … 1 0 1 2 …
y … 1 74 2 74 …
A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点
7、已知二次函数cbxaxy2的y与x的部分对应值如下表：
x … 1 0 1 3 …
y … 3 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴、 C．当x＝4时，y＞0 D．方程02cbxax的正根在3与4之间
8.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3
③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大。
正确的说法有_____________。(把正确的答案的序号都填在横线上) 图（7） x y
0
3 y
x O 1 3
（第3题） 2
9．抛物线cbxxy2的部分图象如图所示，若y>0，则x 的取值范围是
1 二次函数与一元二次方程
【知识梳理】
（一）二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：
(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)即：一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac＞0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2ba，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，122bxxa240bac
(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac＜0.
（二）二次函数关系式的确定
⑴设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
⑵设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0).
若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：
⑶设交点式（或两点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
若已知条件是图象与x轴的两个交点及另一点，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.
【考点剖析】
考点一 二次函数与方程
例1.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（ ）
A． 无解 B．x=1 C．x=-4 D．x=-1或x=4
例2.已知抛物线y=x2﹣4x+m﹣1．
二次函数与一元二次方程、不等式洋葱数学
二次函数是数学中的一种函数形式，它的一般形式可以表示为f(x)
= ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。在二次函数中，x是自变量，f(x)是因变量。
一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式可以表示为ax^2 + bx + c = 0。在解一元二次方程时，我们可以使用求根公式或配方法来求得方程的解。
不等式是数学中另一个重要的概念，它描述了两个数或两个表达式之间的大小关系。在不等式中，我们通常使用大于、小于、大于等于、小于等于等符号来表示不同的大小关系。
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二次函数和一元二次方程有着密切的关系。事实上，一元二次方程的解就是二次函数的零点。当我们求解一元二次方程时，实际上是在求解相应的二次函数在x轴上的交点。通过求解一元二次方程，我们可以确定二次函数的图像与x轴的交点的横坐标。
在解一元二次方程时，我们可以使用求根公式来求解。对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个解可以分别表示为x = (-b + √(b^2 - 4ac))/(2a)和x = (-b - √(b^2 - 4ac))/(2a)。这两个解可以帮助我们确定二次函数的零点。
除了求解一元二次方程，我们还可以利用二次函数的性质来解决一些实际问题。例如，我们可以利用二次函数的顶点来确定函数的最值。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的顶点的横坐标可以表示为x = -b/(2a)，纵坐标可以表示为f(-b/(2a))。通过求解顶点，我们可以确定二次函数的最值以及最值对应的自变量的取值。
二次函数还有许多其他的性质和应用。例如，二次函数的图像可以是抛物线，它的开口方向和抛物线的位置与二次函数的系数有关。当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。通过分析二次函数的图像，我们可以研究函数的增减性、奇偶性、对称性等性质。
