二次函数与一元二次方程的关系

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二次函数与一元二次方程

1、抛物线222yxkx与x轴交点的个数为

2、已知二次函数277ykxx与x轴有交点，则k的取值范围

3．已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为 ．

4、二次函数263ykxx的图像与x轴有交点，则k的取值范围是

A、3k B 、3k且 0k C、3k D、3k且0k

5、已知函数2yaxbxc的图象如图（7）所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（ ）

A．无实数根 B．有两个相等实数根

C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根

6．根据下表中的二次函数2yaxbxc的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（ ）．

x … 1 0 1 2 …

y … 1 74 2 74 …

A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点

7、已知二次函数cbxaxy2的y与x的部分对应值如下表：

x … 1 0 1 3 …

y … 3 1 3 1 …

则下列判断中正确的是（ ）

A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴、 C．当x＝4时，y＞0 D．方程02cbxax的正根在3与4之间

8.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：

①ac＜0； ②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3

③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大。

正确的说法有_____________。(把正确的答案的序号都填在横线上) 图（7） x y

0

3 y

x O 1 3

（第3题） 2

9．抛物线cbxxy2的部分图象如图所示，若y>0，则x 的取值范围是

教学设计初稿及课件

作业题目：

您在“个人研修计划”已经选定了一节课，作为本次研修的教学实践内容。请您针对这一节课，完成教学设计方案初稿和教学课件初稿，将这一节课的初步成果作为培训成果资源包初稿提交。培训成果资源包初稿包括一份这堂课的“聚焦教学重难点的信息化教学设计”初稿和一份与之对应的教学课件初稿。

作业要求：

1.该教学设计初稿和课件应体现信息技术在学科教学中的应用；

2.教学设计请参照模板要求填写；教学课件需保证能正常播放查看；

3.所有作品必须原创，做真实的自己，如出现雷同，视为无效；

4.教学设计和课件作为培训成果资源包，请以附件形式统一提交。（注：由于资源包上传需要一定时间，请确保其上传成功后，再点击“提交”按钮）；

5. 请至少查看一位同伴提交的“培训成果资源包”初稿，在其作品的下方给出您的合理评价和建议。您的同伴会综合考虑这些评价和建议，后期对自己的作品进行进一步修订。

温馨提醒：此项不作为考核内容，旨在与同伴分享交流培训成果。

附件：教学设计模板

教学设计模板

聚焦教学重难点的信息化教学设计

课题名称：二次函数与一元二次方程

姓名： 何立军 工作单位： 会宁县韩家集乡初级中学

学科年级： 九年级数学 教材版本： 北师大版

一、教学内容分析

本课的具体学习任务：进一步体会二次函数与一元二次方程之间的联系；通过观察二次函数图象与x轴的交点，估计对应的一元二次方程的根的取值，进一步培养学生运用“数形结合”的思想解决问题的能力;由于学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，学生在知识准备上，他们已经有了较充分的准备。本节课就是对上节课从实践方面对二次函数与一元二次方程关系进行一次体验。教师在课堂上只需要通过新课前的热身练习题，由易到难的设问，让学生回顾上节课的学习内容，再通过挑战性的语言，让学生对本节新课充满期待和探索的欲望。在想一想、填一填、议一议、试一试等活动中，让他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的理论学习最终要落实到实践应用上。

二次函数与一元二次方程的联系

二次函数和一元二次方程是高中数学中的重要概念，它们之间存在着密切的联系。本文将从几何关系和代数关系两个方面来探讨二次函数与一元二次方程之间的联系。

一、几何关系

1. 二次函数的几何意义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。它的图像是一条开口向上或向下的抛物线。对称轴为x = -b/2a，顶点的纵坐标为c - b^2/4a。抛物线在对称轴上下方呈现关于对称轴对称的特点。

2. 一元二次方程的几何意义：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。它表示抛物线与x轴的交点位置，也就是方程的解。如果方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x轴有两个交点；如果方程有一个实数根，则抛物线与x轴有一个切点；如果方程没有实数根，则抛物线与x轴没有交点。

3. 二次函数与一元二次方程的联系：二次函数的图像与一元二次方程的解之间存在着密切的联系。通过解一元二次方程可以确定二次函数的图像与x轴的交点位置，而通过分析二次函数的图像可以得到一元二次方程的解的情况。二次函数与一元二次方程的解是一一对应的关系。

二、代数关系 1. 二次函数的表达式与一元二次方程：已知二次函数f(x) = ax^2 +

bx + c，将其与y = f(x)进行等价转化，可以得到一元二次方程ax^2 +

bx + c = y。这意味着，我们可以通过二次函数的表达式来推导出一元二次方程。反过来，已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，将其与y = 0进行等价转化，可以得到二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。这意味着，我们可以通过一元二次方程来确定二次函数的表达式。

2. 二次函数的性质与一元二次方程的解：二次函数的性质可以帮助我们判断一元二次方程的解的情况。比如，当二次函数开口向上且顶点在x轴上方时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数开口向下且顶点在x轴下方时，一元二次方程无实数根；当二次函数开口向上且顶点在x轴上时，一元二次方程有一个实数根。

课题 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

教学

目标 知识目标 理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系，能利用二次函数图像求对应一元二次不等式的解集.

能力目标 培养学生的识图、绘图、用图能力，体会数形结合思想.

情感目标 培养学生的勇于探索的精神，体验事物普遍联系的辩证观.

教学

重点 正确理解三个二次之间的关系. 教学

难点 探索三个二次之间关系的过程.

教法

学法 讲授法、讨论法.

课后

反馈

教学环节及内容 设计思路

一、知识回顾

一般地，我们把含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的整式不等式叫做一元二次不等式．

其一般形式为

20axbxc或20axbxc

其中,,abc为实数，且0a.

能使一元二次不等式成立的未知数x值的集合叫作一元二次不等式的解集．

二、探索新知

1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

观察二次函数223yxx的图像(如图).

复习一元二次不等式的定义，教师提问，学生回忆口答.

当1x或3x时，函数图像在x轴上方，0y；

当1x或3x时，函数图像在x轴上，0y；

当13x时，函数的图像都在x轴下方，0y.

(1)方程2230xx的解是二次函数223yxx的图像与x轴交点的横坐标，即11x，23x.

(2)不等式2230xx的解集是二次函数223yxx的图像位于x轴上方部分的点的横坐标x值的范围，即,13,.

(3)不等式2230xx的解集是二次函数223yxx的图像位于x轴下方部分的点的横坐标x值的范围，即1,3.

一般地，当0a时，函数2yaxbxc，方程20axbxc，不等式20axbxc，20axbxc之间的关系如表所示.