二次函数与一元二次方程的关系

1

二次函数与一元二次方程

1、抛物线222yxkx与x轴交点的个数为

2、已知二次函数277ykxx与x轴有交点，则k的取值范围

3．已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为 ．

4、二次函数263ykxx的图像与x轴有交点，则k的取值范围是

A、3k B 、3k且 0k C、3k D、3k且0k

5、已知函数2yaxbxc的图象如图（7）所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（ ）

A．无实数根 B．有两个相等实数根

C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根

6．根据下表中的二次函数2yaxbxc的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（ ）．

x … 1 0 1 2 …

y … 1 74 2 74 …

A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点

7、已知二次函数cbxaxy2的y与x的部分对应值如下表：

x … 1 0 1 3 …

y … 3 1 3 1 …

则下列判断中正确的是（ ）

A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴、 C．当x＝4时，y＞0 D．方程02cbxax的正根在3与4之间

8.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：

①ac＜0； ②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3

③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大。

正确的说法有_____________。(把正确的答案的序号都填在横线上) 图（7） x y

0

3 y

x O 1 3

（第3题） 2

9．抛物线cbxxy2的部分图象如图所示，若y>0，则x 的取值范围是

教学设计初稿及课件

作业题目：

您在“个人研修计划”已经选定了一节课，作为本次研修的教学实践内容。请您针对这一节课，完成教学设计方案初稿和教学课件初稿，将这一节课的初步成果作为培训成果资源包初稿提交。培训成果资源包初稿包括一份这堂课的“聚焦教学重难点的信息化教学设计”初稿和一份与之对应的教学课件初稿。

作业要求：

1.该教学设计初稿和课件应体现信息技术在学科教学中的应用；

2.教学设计请参照模板要求填写；教学课件需保证能正常播放查看；

3.所有作品必须原创，做真实的自己，如出现雷同，视为无效；

4.教学设计和课件作为培训成果资源包，请以附件形式统一提交。（注：由于资源包上传需要一定时间，请确保其上传成功后，再点击“提交”按钮）；

5. 请至少查看一位同伴提交的“培训成果资源包”初稿，在其作品的下方给出您的合理评价和建议。您的同伴会综合考虑这些评价和建议，后期对自己的作品进行进一步修订。

温馨提醒：此项不作为考核内容，旨在与同伴分享交流培训成果。

附件：教学设计模板

教学设计模板

聚焦教学重难点的信息化教学设计

课题名称：二次函数与一元二次方程

姓名： 何立军 工作单位： 会宁县韩家集乡初级中学

学科年级： 九年级数学 教材版本： 北师大版

一、教学内容分析

本课的具体学习任务：进一步体会二次函数与一元二次方程之间的联系；通过观察二次函数图象与x轴的交点，估计对应的一元二次方程的根的取值，进一步培养学生运用“数形结合”的思想解决问题的能力;由于学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，学生在知识准备上，他们已经有了较充分的准备。本节课就是对上节课从实践方面对二次函数与一元二次方程关系进行一次体验。教师在课堂上只需要通过新课前的热身练习题，由易到难的设问，让学生回顾上节课的学习内容，再通过挑战性的语言，让学生对本节新课充满期待和探索的欲望。在想一想、填一填、议一议、试一试等活动中，让他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的理论学习最终要落实到实践应用上。

课题 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

教学

目标 知识目标 理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系，能利用二次函数图像求对应一元二次不等式的解集.

能力目标 培养学生的识图、绘图、用图能力，体会数形结合思想.

情感目标 培养学生的勇于探索的精神，体验事物普遍联系的辩证观.

教学

重点 正确理解三个二次之间的关系. 教学

难点 探索三个二次之间关系的过程.

教法

学法 讲授法、讨论法.

课后

反馈

教学环节及内容 设计思路

一、知识回顾

一般地，我们把含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的整式不等式叫做一元二次不等式．

其一般形式为

20axbxc或20axbxc

其中,,abc为实数，且0a.

能使一元二次不等式成立的未知数x值的集合叫作一元二次不等式的解集．

二、探索新知

1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

观察二次函数223yxx的图像(如图).

复习一元二次不等式的定义，教师提问，学生回忆口答.

当1x或3x时，函数图像在x轴上方，0y；

当1x或3x时，函数图像在x轴上，0y；

当13x时，函数的图像都在x轴下方，0y.

(1)方程2230xx的解是二次函数223yxx的图像与x轴交点的横坐标，即11x，23x.

(2)不等式2230xx的解集是二次函数223yxx的图像位于x轴上方部分的点的横坐标x值的范围，即,13,.

(3)不等式2230xx的解集是二次函数223yxx的图像位于x轴下方部分的点的横坐标x值的范围，即1,3.

一般地，当0a时，函数2yaxbxc，方程20axbxc，不等式20axbxc，20axbxc之间的关系如表所示.

。嘞　解题技巧与方法　二次函数与一元二次方程的关系　◎雷应华（重庆市南川区兴隆镇中心小学校４０８４００）　在初中．二次函数是一个重要内容，同时又是学生非常　难以理解的内容．二次函数与相应的一元二次方程的关系更　是重中之重．　中考要求学生理解二次函数与一元二次方程之间的关　系；会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛　物线与轴的交点情况：会利用韦达定理解决有关二次函数的　问题．　１．二次函数解析式的几种形式？　（１）一般式：ｙ＝　＋ｂｘ＋ｃ（。，ｂ，ｃ为常数，口≠０）．　（２）顶点式：ｙ＝ａ（ｘ—ｈ）　＋ｋ（ｏ，ｈ，ｋ为常数，口≠０）．　（３）两根式：Ｙ＝０（　—　１）（　—　），其中　ｌ，　２是抛物线与　轴的交点的横坐标．即一元二次方程僦　＋ｂｘ　４－ｃ＝０的两个　根．０≠０．　２．二次函数（以下称函数）ｙ＝　＋ｂｘ＋ｃ，当Ｙ＝０时，二　次函数为关于　的一元二次方程（以下称方程），即　＋ｂｘ＋　ｃ＝０此时，函数图像与　轴有无交点即方程有无实数根．函　数与　轴交点的横坐标即为方程的根．因此对于一元二次方　程适用的判别式△对二次函数仍然适用．当△△＞０时，抛物　线与　轴有两个不同的交点：当△△＝０时。抛物线与　轴有　一个的交点：当△△＜０时。抛物线与　轴无交点．　例１已知抛物线Ｙ＝　一（ｍ２＋８）ｘ＋２（ｍ　＋６）．　（１）求证：不论ｍ为任何实数，抛物线与　轴有两个不同　的交点，且这两个点都在　轴的正半轴上；　（２）设抛物线与Ｙ轴交于点Ａ，与　轴交于　、Ｃ两点，当　△ＡＢＣ的面积为　４８平方单位时．求ｍ的值．　（３）在（２）的条件下，以ＢＣ为直径作ｏ　，问ｏ　是否经　过抛物线的顶点Ｐ？　解析　（１）△＝（ｍ　＋４）　＞０，由　１　４－　２＝ｍ　４－８＞０，　ｌ　２＝　２（ｍ　＋６）＞０可得证．　（２）ｌＢＯ＝ｌｘ１一　＝Ｘ／（　ｌ＋　２）　一４ｘ１　２＝、／（ｍ　＋８）２－８（ｍ　＋６）　＝ｍ　＋４，１０　ｌ＝２（ｍ　４－６）．　又’．’Ｓ　舾＝４８，　＇　．‘．　・（ｍ。４－４）・２（ｍ　４－６）＝４８．　解得ｍ２＝２或ｍ　＝一１２（舍去）．　．・．ｍ＝±、／　．　（３）ｙ＝　一１０ｘ４－１６，顶点（５，一９），ＩＢＣＩ＝６．　‘．‘Ｉ一９１＞６　．ｏＭ不经过抛物线的顶点Ｐ　评注二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，　善于促成二次函数问题与二次方程问　题的相互转化，是解相关问题的常用　技巧．　例２如图，抛物线Ｙ＝　一（口＋　６）　＋　，其中口、６、ｃ分别是△Ａ曰ｃ的　数学学习与研究２０１５．１０　，　｜　Ⅳ　Ｄ　，√Ｑ　／　问题图　●　・　・　ＬＡ、　曰、　Ｃ的对边．　（１）求证：该抛物线与　轴必有两　个交点：　（２）设有直线Ｙ＝　一ｂｃ与抛物线　交于点Ｅ、Ｆ，与Ｙ轴交于点Ｍ，抛物线与Ｙ轴交于点Ｎ，若抛　物线的对称轴为　＝Ⅱ．ＡＭＮＥ与△ＭⅣ　的面积之比为５：１．　求证：△ＡＢＣ是等边三角形：　（３）当．ｓ　＝、／３时，设抛物线与轴交于点Ｐ、Ｑ，问是否　存在过Ｐ、Ｑ两点且与Ｙ轴相切的圆？若存在这样的圆。求出　圆心的坐标；若不存在。请说明理由．　解析（１）Ａ＝（。４－ｂ）　一Ｃ　＝　（ｎ＋ｂ＋ｃ）（Ⅱ４－ｂ—ｃ）　‘．’０４－ｂ　４－ｃ＞０，０＋ｂ—ｃ＞０，　．‘．△＞０．　（２）由丁ａ＋ｂ＝。得ｎ＝６．　●　，　｜　Ⅳ　０　Ｑ　，　问题图　由ｙ＝ｘ２－（ａ４－６）　ｃ２，得：　一３　Ｃ２＋∞：。　Ｙ——　…　设Ｅ（ｘ１，Ｙ１），Ｆ（ｘ２，Ｙ２），　么：　１＋　２＝３ａ，　１　２＝了Ｃｚ＋ｏｃ．　由Ｊｓ　：Ｊｓ　＝５：１得：ＩｘｌＩ＝５Ｉｘ２１．　．‘．　ｌ＝５ｘ２或　１：一５ｘ２．　由　１・　２＞０知　ｌ＝一５ｘ２应舍去．　由　解　＝手．　【　１＝）　、　．・．５（手）　＝字＋∞，即５５２—４∞－ｃ２＝０．　．‘．ｏ＝ｃ或５ｎ４－ｃ＝０（舍去），　．’．ａ＝ｂ＝ｃ．　．・．△ＡＢＣ是等边三角形．　（３）．ｓ　＝　，即　＝　，　ｑ－　．‘．口＝２或ｏ＝一２（舍去）．　．‘．０＝ｂ＝Ｃ＝２．此时抛物线Ｙ＝　一４ｘ＋１的对称轴是　＝　２，与　轴的两交点坐标为Ｐ（２一、／　，Ｏ），Ｑ（２＋、／丁，Ｏ）．　设过Ｐ、Ｑ两点的圆与Ｙ轴的切点坐标为（０，￡），由切割线　定理有：ｆ　＝ＯＰ・ＯＱ．　．’．　＝±１．　故所求圆的圆心坐标为（２，一１）或（２，１）．　评注本题（１）（２）问与函数图像无关，而第（３）问需要用　前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果．同时，如果　后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出　来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一　种策略．