中考数学专题复习教案圆

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- .可修编- 圆综合复习

教学目标】

1、回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并能用自己的方式进行梳理，使所学知识系统化

2、进一步丰富对圆及相关结论的认识，并能有条理地、清晰地阐明自己的观点

3、通过复习课的教学，感受归纳的思想方法，养成反思的习惯

【重点难点】

圆的有关概念和性质的应用

【课堂活动】

一、圆的有关概念和性质

二知识点详解

（一）、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 -

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（二）、点与圆的位置关系

1、点在圆内 dr 点C在圆内；

2、点在圆上 dr 点B在圆上；

3、点在圆外 dr 点A在圆外；

（三）、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 dr 无交点；

2、直线与圆相切 dr 有一个交点；

3、直线与圆相交 dr 有两个交点；

drd=rrd

（四）、圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点 dRr；

外切（图2） 有一个交点 dRr；

相交（图3） 有两个交点 RrdRr；

内切（图4） 有一个交点 dRr；

内含（图5） 无交点 dRr；

图1rRd图3rRd

rddCBAO图2rRd图4rRd图5rRd -

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（五）、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②ABCD③CEDE④ 弧BC弧BD⑤ 弧AC弧AD

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD

∴弧AC弧BD

（六）、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧BD

（七）、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴2AOBACB

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； OEDCBAOCDABFEDCBAOCBAODCBAO -

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- .可修编- 即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角

∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵90C

∴90C∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或90C

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

（八）、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴180CBAD180BD

DAEC

（九）、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵MNOA且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 CBAOCBAOEDCBANMAO

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- .可修编- BAC三例题讲析

例1 如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，•根据垂径定理，有R2=d2+（2a）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C

例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( )

A、60° B、45° C、30° D、15°

解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A

例3如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，

则∠BOC=（ ）

A．130° B．100° C．50° D．65°

解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A

例4 如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）．

A．5 cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B

例6、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，󰀂∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

BACEDPONMFBACEDPNMF

(1) (2)

解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相

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- .可修编- BACDO等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．

解：（1）AB=CD

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F

∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF

连结OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°

∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF

∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD

例7．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

解题思路：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，•只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

解：BD=CD

理由是：如图24－30，连接AD

∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC

又∵AC=AB∴BD=CD

例8．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=󰀂∠A．

（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，•因为C点已在圆上．

由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10

解：（1）CD与⊙O相切

理由：①C点在⊙O上（已知）

②∵AB是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° -

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- .可修编-

DACBE ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A