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《系统辨识》第10讲要点第5章 线性动态模型参数辨识－最小二乘法引言：最小二乘法的缺陷：（1）噪声问题，（2）数据饱和问题（适应算法） 下面的一些算法就是为了解决上面两个问题而引入的。
5.10.3 遗忘因子法遗忘因子算法通过对数据加遗忘因子的办法来降低老数据的信息量，为补充新数据的信息创造条件。
取准则函数为2])()([)(θμθτ∑=--=L1k k L k k z J h其中μ称遗忘因子，取值为01<<μ．极小化这个准则函数，可得到参数辨识算法：**1**FF )(ˆL L L L z H H H ττθ-=式中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==----μβββββττττ221*21*)()2()1()](,),2(),1([L L z z z L L L L L L h h h H z 这种参数辨识方法称作遗忘因子法，记作FF(Forgetting Factor algorithm)。
如果遗忘因子μ=1，算法退化成普通最小二乘法。
与推导加权最小二乘递推算法一样，同样可以推导出遗忘因子算法的递推计算形式[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+--=--+-=-)1()]()([1)()()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k k k k z k k k P h K P h P h h P K h K τττθθθI μμ式中遗忘因子μ可按下面的原则取值： ① 若要求T c 步后数据衰减至36%,则μ=-11T c； ② μ取作时变因子μμμμ()()()k k =-+-0011，其中μμ00990095==.,().。
遗忘因子μ的取值大小对算法的性能会产生直接的影响。
μ值增加时，算法的跟踪能力下降，但算法的鲁棒性增强；μ值减少时，算法的跟踪能力增强，但算法的鲁棒性下降，对噪声更显得敏感。
遗忘因子法和加权最小二乘算法主要的差别：① 加权方式不同．加权最小二乘法各时刻权重是不相关的，也不随时间变化；遗忘因子法各时刻权重是有关联的，满足ΛΛ()()k k =-11μ关系，各时刻权重的大小随时间变化，当前时刻的权重总为1。
结构模态参数识别的随机子空间法
常军;张启伟;孙利民
【期刊名称】《苏州科技学院学报（工程技术版）》
【年(卷),期】2006(019)003
【摘要】参数识别是结构健康监测领域研究中的重点.随机子空间法是近些年发展起来的一种线性系统辩识方法,可以有效地从环境激励的结构响应中获取模态参数.在随机子空间识别方法中,确定系统的阶数是该方法中的关键工作.稳定图方法是一种比较新颖的确定系统阶次的方法.但该方法容易识别出虚假模态.针对这种情况对稳定图方法进行了改进,避免了虚假模态的出现,进而提高了随机子空间方法的识别精度.最后对此方法在一钢管混凝土拱桥上进行了验证,试验结果表明,该方法具有良好的识别效果.
【总页数】6页(P9-14)
【作者】常军;张启伟;孙利民
【作者单位】苏州科技学院,管理科学与工程系,江苏,苏州,215011;同济大学,土木工程防灾国家重点实验室,上海,200092;同济大学,土木工程防灾国家重点实验室,上海,200092;同济大学,土木工程防灾国家重点实验室,上海,200092
【正文语种】中文
【中图分类】U441
【相关文献】
1.一种改进的识别结构模态参数的随机子空间法 [J], 李团结;刘伟萌;唐雅琼;高利强
2.随机子空间法在海上风电结构模态参数识别中的应用 [J], 喻旭明;罗金平;齐聪山;刘福顺
3.基于锤击激励的随机子空间法模态参数识别 [J], 王立宪;狄生奎
4.基于随机子空间法的城市桥梁模态参数识别研究与程序开发 [J], 李晓玲;韩超
5.基于随机子空间法的风机模态参数识别 [J], 黄竹也;苗亚超;赵艳;杨柳
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子空间辨识方法在Hammerstein-Wiener系统中的应用一、Hammerstein-Wiener系统简介Hammerstein-Wiener系统是一种将线性系统和非线性系统结合起来的模型，通常由一个线性动态子系统和一个静态非线性子系统组成。
其基本结构如下所示：y(t) = G(u(t)) + e(t)y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，G为非线性静态函数，e(t)为系统的噪声。
Hammerstein-Wiener模型通常用于描述具有非线性特性的系统，例如电机、水泵、风力发电机等。
由于其能够较好地描述实际系统的非线性特性，因此在工业控制和自动化领域得到了广泛的应用。
二、子空间辨识方法简介子空间辨识方法是一种基于矩阵计算的现代辨识技术，它利用输入输出数据的矩阵表示进行系统辨识。
该方法主要通过SVD（奇异值分解）和TLS（总体最小二乘）等技术，将系统的输入输出数据转化为子空间中的特征向量和特征值，从而实现系统的参数辨识。
相对于传统的参数辨识方法，子空间辨识方法具有较强的鲁棒性和快速的计算速度，因此在非线性系统的建模和控制中具有一定的优势。
三、子空间辨识方法在Hammerstein-Wiener系统中的应用1. 建模子空间辨识方法在Hammerstein-Wiener系统的建模中具有一定的优势。
由于Hammerstein-Wiener系统通常包含线性动态子系统和非线性静态子系统两部分，其建模具有一定的难度。
传统的参数辨识方法往往需要对系统进行线性化处理，以便进行参数辨识。
而子空间辨识方法能够直接对非线性系统进行建模，无需线性化处理，因此在描述系统非线性特性方面具有一定的优势。
子空间辨识方法还能够将系统的输入输出数据转化为子空间中的特征向量和特征值，从而实现对系统的参数辨识，避免了对系统进行复杂的数学推导和参数估计。
结论子空间辨识方法在Hammerstein-Wiener系统中具有一定的优势和应用前景，但也面临一些挑战。
1.子空间辨识方法直接利用输入输出数据估计得到系统状态空间模型。
2.
3.子空间辨识的目标：
给定一个未知的单入单出或多入多出系统，假定系统的输入测量值为u ，输出测量值为y 在系统可能存在输入、输出、状态噪声的情况下，估计出系统的状态空间模型。
4.
5.几何工具：正交投影，斜向投影。
无噪声子空间辨识方法：
确定性系统。
推出：
设：
可以得到：
其中Y是可知的，需要消除U，最简单的方法是子空间正交投影法，数学表达式是：
故有：
将上面得到的，右乘，得，这样就消除了U。
只要求得，系统状态空间矩阵A和C就可以利用广义可观测矩阵计算得到。
因为X未知，需要对做一个近似变换。
的估计为。
将进行SVD分解，
令，故有：
这样就可以得到系统矩阵A和C。
下面确定系统矩阵Ｂ和Ｄ以及初始状态ｘ（０）。
将输出方程写成以下形式：
，
此时假设为两输入两输出系统：
因此ｙ（０）的Ｂ，Ｄ，ｘ（０）部分可以由下式表示：
将式用比例矩阵表示，为：。
模态参数辨识方法
一、基于离散时间数据的方法：
1.自相关法：基于自相关函数的方法，通过自相关函数的峰值位置估计模态参数。
2.频率法：通过频率域上的峰值提取方法，估计模态参数。
3.时域法：通过观察结构的动态响应曲线，提取相关的信息计算模态参数。
二、基于连续时间数据的方法：
1.基于有限元模型的方法：通过有限元模型与观测数据拟合，利用最小二乘法估计模态参数。
2.系统辨识方法：利用系统辨识理论，将结构动力学模型视为线性时不变系统，通过观测数据建立结构的状态空间模型，再通过参数辨识算法估计模态参数。
3.压缩感知方法：利用稀疏表示理论，将结构动力学模型表示为稀疏信号，通过压缩感知算法估计模态参数。
在实际应用中，以上方法可以相互结合以提高模态参数辨识的准确性和可靠性。
此外，值得一提的是，模态参数辨识方法的选择也需要根据具体的实验条件和数据特点进行合理的选择。
总之，模态参数辨识方法是结构动力学领域中常用的方法，可以通过使用合适的辨识方法和合理的实验设计，从实验数据中准确地获取结构的模态参数，为结构动力学分析和结构设计提供有力支持。
结构模态参数识别的随机子空间法随机子空间法是一种用于结构模态参数识别的有效方法。
结构模态参数识别是指通过分析结构的振动响应数据，确定结构的固有频率、阻尼比和模态形态等参数，以揭示结构的动力特性和健康状况。
在实际工程中，准确的结构模态参数识别对于结构的安全评估、健康监测和结构优化设计等方面具有重要意义。
随机子空间法是一种基于结构的振动响应数据的子空间分析方法。
它通过将结构的振动响应数据矩阵进行奇异值分解，提取其中的主要特征向量，进而得到结构的模态参数。
与传统的频域法相比，随机子空间法具有以下优势：首先，它不需要事先假设结构的模态数量，能够自动识别结构的模态数量；其次，它可以在较短的时间内完成模态参数识别，适用于长周期结构的分析；此外，随机子空间法对于信号中的噪声和干扰具有较好的抗干扰能力。
随机子空间法的基本步骤如下：1. 收集结构的振动响应数据，包括加速度或位移信号；2. 构建振动响应数据矩阵，将采集到的振动响应数据按照时间序列排列；3. 对振动响应数据矩阵进行奇异值分解，得到奇异值和奇异向量；4. 根据奇异值的大小选择主要特征向量，确定结构的模态数量；5. 根据选择的主要特征向量重构结构的振动响应数据矩阵；6. 对重构的振动响应数据矩阵进行模态参数识别，包括计算固有频率、阻尼比和模态形态等参数。
为了提高随机子空间法的识别精度和稳定性，还可以采取以下措施：1. 在数据采集过程中，应该选择合适的采样频率和采样点数，以充分反映结构的振动特性；2. 在进行奇异值分解时，可以采用截断奇异值的方法，去除奇异值中的噪声和干扰；3. 在选择主要特征向量时，可以采用奇异值比值法或百分比能量法，以确定结构的模态数量；4. 在模态参数识别过程中，可以采用最小二乘法或最大似然法，对模态参数进行估计，提高参数的准确性和稳定性。
随机子空间法在结构模态参数识别中得到了广泛应用。
例如，在桥梁结构的健康监测中，可以通过振动响应数据的采集和分析，实时监测桥梁的振动特性和结构健康状况，及时发现结构的异常变化和损伤；在建筑结构的优化设计中，可以通过对不同结构方案进行振动模态参数识别，评估结构的动力特性，为结构优化设计提供参考。
子空间辨识方法在Hammerstein-Wiener系统中的应用引言Hammerstein-Wiener系统是一种常见的非线性动态系统模型，其包含了线性动态系统和非线性静态系统两个部分。
在实际应用中，往往需要对这样的系统进行辨识和建模，以便进行控制和预测。
子空间辨识方法是一种通过对数据进行降维处理来获取系统模型的方法，其在Hammerstein-Wiener系统中的应用具有重要意义。
本文将介绍子空间辨识方法的基本原理，以及在Hammerstein-Wiener系统中的具体应用，为相关领域的研究者提供参考。
一、子空间辨识方法的基本原理子空间辨识方法是一种基于数据的系统辨识方法，其主要思想是通过对数据进行降维处理，将系统模型的参数估计问题转化为对子空间的估计问题。
该方法的核心技术是奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD），通过对数据矩阵进行SVD分解，可以获得数据的主成分和子空间信息，从而实现对系统模型的参数估计和辨识。
子空间辨识方法的基本步骤如下：1. 构建观测数据矩阵：将系统的输入输出数据按照一定的采样间隔进行采集，构建出观测数据矩阵Y。
2. 奇异值分解（SVD）：对观测数据矩阵Y进行奇异值分解，得到Y=UΣV^T，U和V分别为左奇异向量矩阵和右奇异向量矩阵，Σ为奇异值矩阵。
3. 子空间选取：选择奇异值矩阵Σ中的前r个奇异值以及对应的左右奇异向量，构成子空间矩阵Ur和Vr。
4. 系统模型估计：通过对子空间矩阵Ur和Vr进行模型参数估计，可以获得系统的模型结构和参数。
子空间辨识方法的优点在于可以利用数据自身的信息进行系统辨识，无需对系统进行过多的假设和先验知识，具有较好的普适性和可靠性。
其在Hammerstein-Wiener系统的辨识中具有重要的应用价值。
1. 线性动态部分辨识Hammerstein-Wiener系统的线性动态部分通常由传递函数模型或状态空间模型表示，需要对其进行参数估计。
基于模态参数提取的随机子空间辨识算法改进李玉刚;叶庆卫;周宇;方宁【摘要】随机子空间辨识(SSI)算法在大型结构的振动检测、损伤识别中有着重要的作用。
引入稀疏优化取代最小二乘法来获得尽可能稀疏的状态矩阵，引入K-means算法从众多模态参数中选出真实模态，以避免虚假模态的产生。
实验结果表明，所构建的稀疏改进 SSI 算法能准确提取模态参数，对工程应用具有较大的参考价值。
%SSI algorithm played an important role in the large structure vibration detection and damage identification.Sparse optimization solution was introduced to replace the least square method that was used to get sparser state matrix.K-means algorithm was introduced to elect real modal pa-rameters from many modal parameters so as to eliminate the false modals effectively.The experimen-tal results show that optimization solution of SSI algorithm may accurately extract modal parameters. The work herein has reference values in engineering applications.【期刊名称】《中国机械工程》【年(卷),期】2017(028)001【总页数】6页(P69-74)【关键词】随机子空间辨识算法;稀疏优化;最小二乘法:模态参数:K-means算法【作者】李玉刚;叶庆卫;周宇;方宁【作者单位】宁波大学信息科学与工程学院，宁波，315211;宁波大学信息科学与工程学院，宁波，315211;宁波大学信息科学与工程学院，宁波，315211;宁波大学信息科学与工程学院，宁波，315211【正文语种】中文【中图分类】TP391.4利用结构的动态响应识别结构损伤是近年来发展起来的结构损伤诊断新方法，而参数识别是结构健康监测领域中的重点。
子空间方法1. 简介子空间方法是一种常用于高维数据处理和特征提取的数学方法。
它通过将原始数据映射到低维子空间中，从而实现对数据的降维和分析。
子空间方法在模式识别、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。
2. 基本原理在介绍子空间方法之前，我们先来了解一下什么是子空间。
在线性代数中，子空间是指向量空间中的一个子集，它满足以下两个条件：首先，它包含零向量；其次，它对加法和数乘运算封闭。
对于一个具有n个特征的样本集合，可以将其表示为一个n维向量空间中的点云。
而这个点云所在的子集就是该样本集合所对应的子空间。
而子空间方法则是通过寻找最佳的投影方式将原始数据映射到低维子空间中。
这样做有两个主要目的：一方面可以减少数据维度从而降低计算复杂度；另一方面可以去除冗余信息并突出重要特征。
3. 常用的子空间方法3.1 主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）主成分分析是最常用的子空间方法之一。
它通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得在新的坐标系下数据的方差最大化。
这样做可以保留原始数据中最重要的信息。
具体来说，在PCA中，我们首先计算原始数据的协方差矩阵，然后对该矩阵进行特征值分解。
特征值对应的特征向量即为新坐标系的基向量，而特征值则表示对应特征向量所代表的方向上数据的方差大小。
我们可以选择前k个最大的特征值及其对应的特征向量作为投影矩阵，将原始数据映射到k维子空间中。
3.2 线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）线性判别分析也是一种常用的子空间方法。
与PCA不同，LDA不仅考虑了数据之间的相关性，还考虑了类别之间的差异性。
在LDA中，我们首先计算类内散度矩阵和类间散度矩阵。
类内散度矩阵反映了同一类别内部样本之间的差异程度，而类间散度矩阵则反映了不同类别之间的差异程度。
然后，我们对类内散度矩阵进行特征值分解，得到特征向量。
模态Lanczos子空间法是一种用于求解线性定常系统特征值和特征向量的数值方法。
这种方法基于Lanczos算法，该算法用于求解实对称正定矩阵的特征向量。
在模态分析中，模态Lanczos子空间法被广泛应用于识别系统的模态。
首先，我们需要了解模态的概念。
在机械工程中，模态分析是用于描述结构振动特性的方法。
这些模态是结构固有的振动模式，反映了结构的动态特性。
通过模态分析，我们可以了解结构的振动行为，并用于设计、分析和优化结构。
模态Lanczos子空间法的应用过程如下：1. 初始化：选择一个合适的初始猜测向量，通常是一个随机向量或由系统响应数据得到的一个初始猜测。
2. 迭代：使用Lanczos算法从当前向量开始，通过一系列矩阵乘积得到一系列向量。
这些向量构成了一个子空间，称为“模态子空间”。
3. 更新：在每次迭代中，根据当前的模态子空间，通过某种方式（如特征分解）得到一个新的向量，并将其作为当前向量的更新。
这个过程一直持续到满足某种停止条件（如达到预设的迭代次数或收敛到预设的精度）。
4. 特征值和特征向量的求解：通过模态子空间法得到的向量就是系统的模态特征向量。
同时，这些向量的模长给出了相应的特征值（即模态频率），从而可以确定系统的模态特性。
这种方法的主要优点是它能够直接得到系统的模态特征向量和频率，而不需要进行复杂的数值积分或拟合。
此外，由于这种方法是基于Lanczos算法的，因此它的计算复杂度相对较低，适用于大规模系统的模态分析。
然而，模态Lanczos子空间法也有其局限性。
首先，它依赖于一个合适的初始猜测向量，如果初始猜测不准确，可能会导致算法陷入局部最优解。
其次，对于某些系统，可能存在多个模态频率接近的情况，这可能导致特征值的精度问题。
最后，这种方法需要大量的计算资源，特别是对于大规模系统，可能需要使用更高效的算法或并行计算技术来加速计算过程。
总之，模态Lanczos子空间法是一种有效的求解线性定常系统特征值和特征向量的方法，适用于大规模系统的模态分析。
s ⎡=-⎣C()()()()()()()()()11exp exp 1k tc c c k tk t t k t k t d τττ+∆∆+∆=∆∆++∆-⎰x A x A B u 0()()() T T T k kkk t =∆=x x q q&表示由采样开始时刻位移和速度向量组成的状态向量1k +x 表示k +1时刻的状态()1k t ττ'=+∆-令()τu 在一个采样间隔内是常数假设1k k k+=+x Ax Bu ()exp c t =∆A A离散随机状态空间模型kw 1k +x kx kv ky A∆C1i Ti -=R CA G协方差驱动随机子空间识别方法建立的核心表达式。
）协方差驱动随机子空间法（3）随机状态空间模型(t)和对应协方差序列输出信号y150060070080090010002x 10-3时间 (s))channel5 channel6 channel7 channel10 channel11 channel12 channel17 channel19 channel21 channel23 channel26 channel27 channel296.2 随机子空间法2）数据驱动随机子空间法由系统状态空间出发，直接利用实测数据进行分析，无需进行协方差计算。
基于协方差的SSI方法基于数据驱动的SSI方法系统阶次n+1系统阶次n f n+1,ξn+1,Φn+1f n, ξn, Φn|f n+1‐f n|<f的评判标准是否不稳定是否不稳定|Φn+1‐Φn|<Φ的评判标准是否不稳定|ξn+1‐ξn|<ξ的评判标准完全稳定。
线性系统模态参数识别的递推子空间辨识方法俞林宏;刘庆华【摘要】为了解决系统模型的在线辨识,一种用于线性时变系统辨识的递推子空间辨识方法,能够实现对系统状态空间模型的在线递推估计.通过应用阵列信号处理中的传播函数方法,代替了子空间辨识中的奇异值分解,得到一种基于传播函数方法的递推子空间算法.该算法避免了奇异值分解计算量大的缺点,可以有效地降低计算量.最后通过Ansys建立线性系统模型,仿真结果表明,该方法能够降低计算量并且能准确地辨识出线性系统的模态参数.【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》【年(卷),期】2010(030)006【总页数】4页(P553-556)【关键词】递推估计;子空间方法;传播函数方法;模态参数识别【作者】俞林宏;刘庆华【作者单位】桂林电子科技大学,信息与通信学院,广西,桂林,541004;桂林电子科技大学,信息与通信学院,广西,桂林,541004【正文语种】中文【中图分类】TP273子空间辨识算法是20世纪90年代提出的一种新的状态空间模型辨识方法。
子空间辨识算法对系统的先验知识需求较少,只需获得系统的输入输出数据即可辨识出系统矩阵[A,B,C,D],如N4SID(Van Overschee,DeMoor,1994),MOESP(Verhaegen,Dewilde,1992)。
这些算法在辨识中使用了正交(QR)分解,奇异值(SVD)分解等线性代数工具,在数值计算中具有一定的鲁棒性,并且适用于多变量系统。
因此在辨识和控制领域得到了广泛地关注[1]。
但是在矩阵维数比较大时,SVD分解的计算量非常大,用计算机分解效率很低。
因此传统的子空间辨识方法只能用于离线辨识,对于时变系统并不适用[2-3]。
针对以上问题,提出了一种基于传播函数方法(PM)的递推子空间辨识算法。
该算法将阵列信号处理中的传播函数方法应用到子空间辨识中,把能观矩阵分解成2个子矩阵,应用线性算子和递推最小二乘准则,通过递推估计传播函数,对能观矩阵进行更新。
代替子空间辨识中的SVD分解,从而降低了辨识过程中计算量[4-5]。
将该方法应用于铝板模型参数的辨识,实验仿真结果表明,该方法具有较高的辨识精度和较小的计算量,并能很好地估计出模型的参数。
1 子空间方法简介线性时不变系统的状态空间模型可表示为其中,u(t)∈Rl和y(t)∈Rm分别为采样时刻t的输入和输出测量值。
x(t)∈Rn为时刻t的状态矢量,系统矩阵A∈Rn×n,B∈Rn×l,C∈Rm×n,D∈Rm×l。
递推子空间辨识在每一新的时刻获得一组输入、输出数据ui(t),yi(t)。
ui(t),yi(t)定义为由状态空间模型式(1)、(2)、(3)的递归迭代可以得到预测输出:其中,Γi为广义能观矩阵:Hi为Toep litz矩阵:将Y i行子空间投影到U i行子空间的正交补子空间:其中,U i(t)为H ankel矩阵:矩阵Y i(t)也可以类似定义。
状态序列X(t)定义为:对Y i(t)进行奇异值分解[6],得到其中:Ss对应信号空间的奇异值,Sn对应噪声空间的奇异值。
Γi的估计为U sSs 1/2,矩阵分别表示由Γi的后i-1个子块和前i-1个子块组成。
对矩阵A进行特征值分解得到:其中:Λ=diag(λ1λ2…λn),Φ=diag(φ1φ2…φn)。
λn、φn分别是矩阵的特征值和特征向量。
根据模态分析理论,系统的各阶固有频率ωr可以表示如下[7]:和表示λr的实部和虚部。
2 递推子空间辨识算法递推子空间辨识算法实现主要分为3个步骤:在线更新观测向量,广义能观矩阵的更新,递推估计系统矩阵。
2.1 观测向量的更新在新的时刻t+1获得输入输出序列{ui(t+1),yi(t+1)},为了实现广义能观矩阵Γi的更新,需要更新观测向量zi。
由式(4)定义观测向量zi(t)为这里用QR因子来实现对zi更新。
对数据矩阵进行如下QR分解:在时刻t+1,获得新的输入输出数据ui(t+1),yi(t+1),QR分解可以更新为通过一系列Givens旋转,消去ui(t+1),R部分变为:(t+1)是通过修改yi(t+1)得到,并把ui和R11,R21的信息包含进来,zi的估计只用到了R11和R21因子,(t)=±zi(t)。
[5]G=G1G2…Gi为一系列Givens变换阵。
2.2 递推估计广义能观矩阵假设矩阵A、C能观。
系统的阶数n已知,广义能观矩阵Γi列满秩,Γi可分块写成以下形式:Γi1∈Rn×n,n行线性独立。
Γi2可以用Γi1的线性组合来表示,Γi2=PTΓi1,PT称为传播函数,Γi重新写成以下形式:因此,能观矩阵Γi的估计可以由获得,进一步只需要估计传播函数PT即可。
噪声为零的情况下,观测向量表示为:其中,zi1对应zi的前n行,zi2对应zi剩余的i-n行。
容易证明,zi2=PT zi1,PT的估计可以根据最小二乘准则:PT的最优估计为=Rzi2zi1。
按递推最小二乘算法对PT进行估计,公式如下:其中:L(t):=,K(t)为第t步增益矩阵,β为遗忘因子。
2.3 递推估计系统矩阵估计出广义能观矩阵Γi=[In P]T后,用最小二乘算法实现对系统矩阵的递推估计。
矩阵C可以从广义能观矩阵Γi提取:C=Γi(1:m,:),m表示输出的个数。
矩阵A可以从下列方程求得:A=Γ†iΓi[6]。
因此,矩阵A可以通过递推最小二乘求解,递推算法如下:定义Γi⊥为Γi的正交补,即=0。
式(4)两边左乘()T有注意到Hi关于B和D是线性的。
因此,B和D是上述方程的最小二乘解。
在每一步只要将(T用当前时刻的最新估计值代替,就可以用递推最小二乘估计B和D,递推公式与式(17)类似。
在N4SID方法中,每步计算奇异值分解的复杂度为O(n3)[7],而基于传播函数的递推子空间辨识方法的复杂度仅为O(nli)[5]。
其中,n为系统的阶数,l为输入的个数。
在实际应用中li＜n2,故传播函数递推子空间方法可以有效地降低奇异值分解的计算量。
3 仿真分析通过A nsys有限元分析软件建立线性系统模型[8],如图1所示。
平板模型的材料为铝合金,密度2 780 kg/m3,泊松比0.1,长0.23m,宽0.2 m,厚度为0.001 m。
用0～300 Hz的白噪声做为激励,采样频率为2 000 Hz,得到系统的响应数据。
分别采用本文中所提出的基于传播函数的递推子空间方法,N 4SID方法对线性系统进行辨识,并把辨识结果与A nsys软件计算的结果进行比较。
各方法所用的参数选择如下:其中,系统的阶数选择为n=10,Hankel矩阵的维数为60×800,遗忘因子β=0.995。
图1 Ansys模型图2是时域波形辨识结果的比较。
从图中可以看出,N4SID方法和PM方法均能够准确地辨识出系统模型。
但是N4SID方法需要用到SVD分解,计算量大,用M atlab单次辨识花费的时间为3.703 s。
图2 时域波形辨识结果的比较而传播函数方法进行1 500次递推辨识花费的时间为723.703 s,单次辨识的时间仅为0.482 5 s。
图3是本文的PM方法和N4SID方法频域辨识结果的比较。
从图3可见,两种方法均可准确地辨识出线性系统模型的模态参数。
但是PM方法在不损失辨识精度的前提下,具有更小的计算量。
表1列出了PM方法,N 4SID方法和用Ansys计算出的前三阶模态参数进行比较,从表1可见,PM方法和N4SID方法都可以准确地辨识出系统的模态参数。
图3 频域辨识结果的比较表1 辨识的固有频率比较固有频率阶数Ansys N 4SID方法PM方法1 97.599 2 96.845 9 96.844 8 2 217.371 209.469 5 209.464 3 3 267.806 253.502 5 253.469 24 结束语将阵列信号处理中的传播函数方法引入到子空间辨识中,提出了一种递推子空间辨识算法,应用该方法来辨识线性系统的模态参数。
与N4SID方法相比,该方法把阵列信号处理中的传播函数方法(PM)引入到子空间辨识中,避免了传统子空间辨识中的奇异值(SVD)分解,有效地降低了计算量,并具有较高的辨识精度。
仿真实验表明该算法能够有效地降低计算量,精确地辨识出系统的模态参数。
参考文献:[1] 杨华.基于子空间方法的系统辨识及预测控制设计[D].上海:上海交通大学,2007.[2] 俞丽彬,彭振赟.一类广义中心(反)对称矩阵奇异值分解及其算法[J].桂林电子科技大学学报,2010,30(4):343-346.[3] 杨华,李少远.一种新的基于遗忘因子的递推子空间辨识算法[J].控制理论与应用,2009,26(1):69-72.[4] M UNIER J,DELISLE G Y.Spatial analysis using new p roperties of the cross spectralmatrix[J].IEEE Transactions on SignalProcessing,1991,39(3):746-749.[5] MERCERE G,LECUCHE S,LOVERA M.Recursive subspace identification based on instrumental variable unconstrained quadratic optimization[J].In ternational Journal of Adaptive Control and SignalProcessing,2004,18(9):771-797.[6] OVERSCHEEPV,MOOR BD.Subspace Identification for linear system s:Theory,Implemen tation,Applications[M].Dord rech t:K luwer Academ ic Publishers,1996:37-42.[7] 庞世伟,于开平等.用于线性时变系统辨识的固定长度平移窗投影估计递推子空间方法[J].机械工程学报,2005,41(10):117-122.[8] 龚曙光,谢桂兰.ANSYS操作命令与参数化编程[M].北京:机械工业出版社,2004.。
