2013届人教A版理科数学课时试题及解析(65)复数的基本概念与运算

数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。

若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。

(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。

(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。

2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。

(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。

3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。

②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。

③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。

④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。

(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。

2013年全国各省市理科数学—复数1、2013全国理T2．()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 2、2013新课标I 理T2.若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54-（C ）4 （D ）543、2013新课标Ⅱ理T2.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1 4、2013辽宁理T1.复数的11Z i =-模为 （A ）12（B）2 （C（D ）25、2013山东理T1.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i6、2013北京理T2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 7、2013四川理T2.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D8、2013浙江理T1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-19、2013福建理T1.已知复数的共轭复数i 21z +=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、2013广东理T3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,211、2013安徽理T1.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z =（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i - 12、2013陕西理T6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z = (C) 若||||21z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||||z z =, 则2122z z =13、2013湖南理T1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14、2013湖北理T1.在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 15、2013重庆理T11.已知复数512iz i=+（i 是虚数单位），则_________z = 16、2013天津理T9. 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi= . 17、2013上海理T2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 18、2013江苏T2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．参考答案：1—5、A D A B D 6—10、D B B D C 11—14、A D B D15、12i + 17、2- 18、5。

人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。

2．理解复数相等的充要条件。

3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

5. 会进行复数乘法和除法运算。

【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。

要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。

分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。

） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。

作 (五十七 )A [第 57摆列、合][： 35 分分：80分]基身1． a∈N*，且 a<20 ， (27－ a)(28－ a)⋯ (34－ a)等于 ()827－ a78A ． A 27－aB ．A 34－a C． A 34－a D． A34－a2．从 20 名男同学， 10 名女同学中任 3 名参加体能，到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不一样法的种数()A．1 260B．4 060C．1 140D．2 8003．某位有 7 个在一同的位，有 3 不一样型的需停放，假如要求节余的 4 个位在一同，不一样的停放方法的种数()A．16B． 18 C． 24 D ．324．一天有文、数学、英、物理、化学、生物、体育七，体育不在第一上，数学不在第六、七上，天表的不一样排法种数()7525A．A7－A5B．A4A5C．A 51A 61A 55D． A 66＋ A 41A 51A 55能力提高5．用 1、2、3、4、 5、6 成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、 5 有且只有两个相，不一样的排法种数()A．18 B．108C． 216D． 4326．从 10 名大学生中 3 个人担当村助理，甲、乙起码有 1 人入，而丙没有入的不一样法的种数()A．85B． 56 C． 49 D ．287．用 0到910个数字，能够成没有重复数字的三位偶数的个数()A ． 324 B． 328C． 360D． 6488．研究性学小有 4 名同学要在同一天上、下午到室做A，B， C，D， E 五个操作，每个同学上、下午各做一个，且不重复，若上午不可以做 D ，下午不可以做 E ，不一样的安排方式共有()A．144 种B．192 种C．216 种D．264 种9． 2010 年上海世博会某国将展出 5 件作品，此中不一样法作品 2 件、不一样画作品 2 件、志性建筑 1 件，在展台大将 5 件作品排成一排，要求 2 件法作品必相， 2 件画作品不可以相，国展出5件作品不一样的方案有________种(用数字作答) ．10．从 5 名男医生、 4 名女医生中 3 名医生成一个医小分，要求男、女医生都有，不一样的方案共有 ________种 (数字回答 )．11．由 0,1,2，⋯， 9 十个数字成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的等于 8 的个数 ________个．12． (13 分)有六名同学按以下方法和要求分，各有不一样的分方法多少种？(1)分红三个，各人数分1、 2、 3；(2)分红三个去参加三不一样的，各人数分1、 2、 3；(3)分红三个，各人数分2、 2、 2；(4)分红三个去参加三不一样的，各人数分2、 2、 2；(5)分红四个，各人数分1,1,2,2；(6)分红四个去参加四不一样的活，各人数分1、 1、 2、 2.难点打破13． (12分 )从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出10 名作“夺冠之路”的励志报告．(1)若每个大项中起码选派两人，则名额分派有几种状况？(2)若将 10 名冠军分派到11 个院校中的9 个院校作报告，每个院校起码一名冠军，则有多少种不一样的分派方法？作 (五十七 )A【基身】1． D[ 分析 ] A 348－a＝ (27－ a)(28－ a)⋯ (34－a)．2．D[分析 ]基本领件数是C303，此中不切合要求的基本领件个数是C203＋ C103，故所求的种数 C3－ (C3＋ C3＝ 2 800.3020103 的全摆列，即 4× A 33＝ 24.3． C[分析 ]四个位在一同有四种可能，再乘以4．D[分析]若数学在第一，有排法 A 66种；若数学不在第一，数学排法有 A11A5115 4，体育排法有 A5，其他排法有5，依据乘法原理此的排法是 A 4A 5A5.依据加法原理，的排法种数 A 66＋A 41A51 A 55.【能力提高】C32A 22种方法；第二步，将5． D[分析 ]第一步，先将1、3、 5 分红两，共2、4、6排成一排，共 A 33种方法；第三步：将两奇数插入三个偶数形成的四个空位，共 A 42种方法．由乘法原理，共有 C32A 22A 33A 42＝ 3× 2× 6× 12＝ 432 种排法．6． C[分析 ]方法1：由条件可分两：一是甲、乙两人只有一个入，法有C21·C72＝ 42；另一是甲、乙都入，法有C22·C71＝ 7.因此共有 42＋7＝ 49 种法．故C.方法 2：甲、乙均不入的有C3种，数是 C3，故甲、乙起码一人入的方法数是C3－C73＝799 84－ 35＝ 49.A 92＝ 9× 8＝ 72 个； 0 不排在个位，有 A 41·A81·A 81＝7．B[分析]当 0 排在个位，有4× 8× 8＝ 256 个．由分数原理，得切合意的偶数共有72＋ 256＝ 328 个．故 B.8．D[分析 ]依据意得，上午要做的是A，B，C，E，下午要做的是 A，B，C，D ，且上午做了A，B，C 的同学下午不再做同样的．先安排上午，从 4 位同学中任一人做 E ，其他三人分做A， B， C ，有 C41·A 33＝ 24 种安排方式．再安排下午，分两：①上午就 E 的同学下午 D ，另三位同学A， B，C 位摆列，有 2 种方法，不一样的安排方式有N1＝ 1× 2＝ 2 种；②上午 E 的同学下午A，B，C 之一，此外三位从剩下的两和 D 一共三中，但必与上午的目开，有 3种方法，不一样的安排方式有N2＝C31·3＝ 9 种．于是，不一样的安排方式共有N＝ 24× (2＋9) ＝ 264 种．故 D.9．24[分析 ]把需要相的两个元素看做一个整体，而后与不相的元素外的元素行摆列，在隔出的空位上安排需要不相的元素.2 件法作做看作一个整体，方法数是 A 22＝2，把个整体与志性建筑作品摆列，有A22种摆列方法，此中分开了三个空位，在此中插入 2 件画作品，有方法数 A 32＝ 6.依据乘法原理，共有方法数2×2× 6＝ 24(种) ．10．70[分析 ] 分 1 名男医生 2 名女医生、 2 名男医生 1 名女医生两种状况，或许用接法．直接法： C51C42＋C52C41＝ 70.接法： C93－ C53－ C43＝ 70.2211．210[分析 ] 假如个位数和百位数是0,8，方法数是 A2A 8＝ 112；假如个位数和百位数是 1,9，因为首位不可以排 0，方法数是 A 22C71C71＝ 98.故数是 112＋ 98＝ 210.12． [解答123] (1) 即 C6C5C3＝ 60.(2)即 C61C52 C33A 33＝ 60× 6＝ 360.222C6C4C2＝15.(3)即3A 3222(4)即 C6C4 C2＝ 90.1122C6C5C4C2(5)即 A 22·A22＝ 45.1122(6)C 6C5C4C2＝ 180.【点打破】13． [解答 ] (1) 名分派只与人数相关，与不一样的人没关．每大中派两人，节余两个名，C41＝ 4 种，当节余两人出自同一大，名分派状况有当节余两人出自不一样大，名分派状况有C2＝ 6 种．4∴有 C14＋ C24＝10 种．929(2)从 11 个院校中选9 个，再从 10 个冠军中任取 2 个组合，再进行摆列，有 C11C10A 9＝898 128 000.。

课时作业 (四 ) [第 4 讲 函数及其表示 ][时间： 45 分钟 分值： 100 分]基础热身1．以下各组函数中表示同样函数的是( )552A ． y ＝ x 与 y ＝ xx － 1x ＋3C ．y ＝与 y ＝ x ＋ 31D ． y ＝ x 与 y ＝ x 02．已知 f ：x →sinx 是会合 A(A? [0,2π]) 到会合 B ＝0，1的一个映照，则会合A 中的元2素最多有 ( )A ．4个B ．5 个C ．6 个D ．7 个2111x3．已知 f(x)＝ 1＋x 2，那么 f(1) ＋f(2)＋ f 2 ＋ f(3) ＋f 3 ＋ f(4) ＋ f 4＝()7 9 A ． 3 B.2 C ．4 D. 24． 某学校展开研究性学习活动，一组同学获取了下边的一组实验数据：x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，此中最靠近的一个是 ()A ． y ＝ 2x － 2B ． y ＝1 x2 C ．y ＝ log 2x D ．y ＝ 12(x 2－1)能力提高15． 函数 y ＝log 2 3x －2 的定义域是 ()A ． [1，＋∞ )2，＋∞B. 32 2 C. 3，1 D.3， 126． 函数 f( x)＝ 2x － 2的值域是 ()A ． (－∞，－ 1)B ． (－ 1,0)∪ (0，＋∞ )C ．( －1，＋∞ )D ． (－∞，－ 1)∪ (0，＋∞ )x 2＋ 2x － 1， x ≥ 0， 7． 已知函数 f(x)＝ 则对随意 x 1，x 2∈ R ，若 0<|x 1|<|x 2|，以下不等x 2－ 2x － 1， x<0 ， 式恒建立的是 ( )A ． f(x 1)－ f(x 2)>0B ． f( x 1)－ f(x 2 )<0C ．f(x 1)＋ f(x 2)<0D ． f( x 1)＋ f(x 2 )>08． 定义在实数集上的函数 f(x)，假如存在函数 g(x)＝ Ax ＋ B(A ，B 为常数 )，使得 f( x)≥ g(x)对于一确实数 x 都建立，那么称 g(x)为函数 f( x)的一个承托函数．给出以下命题：①对给定的函数 f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R 的函数 f(x)不存在承托函数；x12的一个承托函数．④ g(x)＝ x 为函数 f( x)＝ x2( )此中，正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ． 39．图 K4 － 1 中的图象所表示的函数的分析式为( )图 K4－13A ． y ＝ 2|x － 1|(0≤ x ≤2)B ．y ＝ 332 － |x －1|(0≤x ≤ 2)2C ．y ＝ 3－ |x －1|(0≤x ≤2)2D ． y ＝ 1－ |x －1|(0≤x ≤ 2)10．已知 f2＋ 1＝ lgx ，则 f(x)＝ ________. x－ log 3 x ＋ 1 x>6 ，8，11． 设 f(x)＝ 3x －6－ 1 x ≤ 6 知足 f(n)＝－ ， 9则 f(n ＋ 4)＝ ________.12． 设 f(x)的定义域为 D ，若 f(x)知足下边两个条件，则称 f(x)为闭函数．① f(x)在 D 内是单一函数；②存在 [a ，b]? D ，使 f(x)在 [a ， b]上的值域为 [ a ，b]．假如 f(x)＝ 2x ＋1＋ k 为闭函数，那么 k 的取值范围是 ________．13．已知函数 f(x)＝ x 2， g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f[g(x)] ＝4x 2－ 20x ＋ 25，则函数 g(x)＝ ________.14．(10 分 )已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－ 2，且 f(x)最小值是－ 1，函数 g(x)与 f(x)的图象对于原点对称．(1) 求 f(x)和 g(x)的分析式；(2) 若 h(x)＝f(x)－ λg (x)在区间 [ － 1,1]上是增函数，务实数 λ的取值范围．15． (13 分)解答以下问题：(1)若 f(x ＋ 1)＝2x 2＋1，求 f(x)；(2)若 2f( x)－ f(－ x)＝ x ＋ 1，求 f(x)；x(3)若函数 f(x)＝， f(2)＝ 1，且方程 f(x)＝ x 有独一解，求 f(x)．ax ＋ b难点打破16． (12 分 )设 f( x)＝ax2＋ bx，则能否存在实数a，使得起码有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域同样？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明原因．课时作业 ( 四)【基础热身】1． D [ 分析 ] 对于 A ，两函数的对应法例不一样； 对于 B ，两函数的定义域不一样； 对于 C ，两函数的定义域不一样； 对于 D ，两函数的定义域都为{ x|x ∈ R ， x ≠ 0} ，对应法例都可化为 y ＝ 1(x ≠ 0)．2． B [ 分析 ] 当 sinx ＝ 0 时， x ＝ 0， π， 2π；1 π 5π 当 sinx ＝ 2时， x ＝ 6， 6 .所以，会合 A 中的元素最多有5 个．x 21 ＝ 1 3． B [分析 ] 2可得 f x 2， 由 f(x) ＝1＋ x1＋ x 1 1所以 f(x)＋ f x＝ 1，又∵ f(1) ＝ 2，f(2) ＋ f 1＝1，2f(3) ＋ f 1 ＝1， f(4)＋ f 1＝ 1，3 4∴ f(1) ＋ f(2)＋ f 1 ＋ f(3) ＋f 1 ＋ f(4) ＋ f 1 ＝7.2 3 4 21 x是单一递减的，也不4．D [分析 ] 直线是平均的，应选项 A 不是；指数函数 y ＝ 2 切合要求；对数函数 y ＝ log 2x 的增加是迟缓的，也不切合要求；将表中数据代当选项D 中， 基本切合要求．【能力提高】115．D [分析 ]由题知 log 2(3x － 2)≥ 0＝log 21，又知对数函数的真数大于零，所以0<3x－ 2≤ 1，解得 2<x ≤ 1.31 x －1－ 1>－ 1，联合反比率函数的图象可知f(x)∈ (－∞，－ 1)∪ (0， 6． D [分析 ] f x ＝ 2＋∞ )，应选 D. x 2＋ 2x －1， x ≥ 0，7．B[ 分析 ] f(x)＝ 为偶函数，在区间 (0，＋∞ )上单一递加，所以x 2 －2x － 1， x<0，f(x 1)－f(x 2)<0.8． C [分析 ] ①正确，②错误；③正确；④错误． 9． B [分析 ] 从图象上看出 x ＝0 时 y ＝ 0，代入各个选项就能够清除 A 、 C ，x ＝ 1 时 y＝ 3，代当选项， D 就能够清除． 222＋ 1＝ t(t ＞ 1)，则 x ＝ 2 ，10． lg x － 1(x ＞1)[ 分析 ] 令 x t － 1∴ f(t)＝ lg 2，即 f(x)＝ lg 2(x ＞ 1)．t － 1x － 111．－ 2 [分析 ]因为 x>6 时函数的值域为 (－∞，－ log 37)，－ 8不在 (－∞，－ log 37)内，9n －68所以 n ≤ 6，由 3－1＝－ ，解得 n ＝ 4，所以 f(n ＋ 4)＝ f(8)＝－ 2.1 92x ＋ 1＋ k 为 － 1，＋∞ 上的增函数，又[分析 ] f(x)＝ f(x)在 [a ， b]12．－ 1<k ≤－ 2 2上的值域为 [a ，b]，∴ f a ＝ a ，2x ＋ 1＝即 f(x)＝ x 在 －1，＋∞ 上有两个不等实根，即f b ＝ b ， 2x －k 在 － 1，＋∞ 上有两个不等实根．21，＋∞方法一：问题可化为 y ＝ 2x ＋ 1和 y ＝x － k 的图象在－ 上有两个不一样交点． 对2于临界直线 m ，应有－ k ≥ 1，即 k ≤－ 1 .对于临界直线n ， y ′＝ ( 2x ＋ 1)′＝1 ，令2 22x ＋ 11＝1，得切点 P 横坐标为 0，∴ P(0,1)．2x ＋ 1∴直线 n ： y ＝ x ＋1，令 x ＝ 0，得 y ＝ 1，1∴－ k ＜ 1，即 k>－1.综上，－ 1< k ≤－.方法二：化简方程2x ＋1＝ x － k ，得 x 2－ (2k ＋ 2)x ＋ k 2－ 1＝ 0.g －1≥ 0，2令 g(x) ＝ x 2－ (2k＋ 2)x ＋ k 2－ 1 ， 则 由 根 的 分 布 可 得1 ， 即k ＋ 1>－2>0，1 2≥0，k ＋ 2 k>－ 3， 2 k>－ 1，解得 k>－1.又 2x ＋ 1＝ x －k ，∴ x ≥ k ，∴ k ≤－112.综上，－ 1<k ≤－ .213． 2x － 5 [分析 ] 由 g(x)为一次函数，设 g(x)＝ax ＋ b(a>0)． 因为 f[g(x)] ＝ 4x 2 － 20x ＋ 25， 所以 (ax ＋ b)2＝ 4x 2－ 20x ＋ 25，2 222即 a x ＋ 2abx ＋ b ＝ 4x － 20x ＋ 25，解得 a ＝ 2， b ＝－ 5，故 g(x)＝ 2x － 5.214． [解答 ] (1) 依题意，设 f(x)＝ ax(x ＋ 2)＝ ax ＋ 2ax(a>0)．∴ f(－ 1)＝－ 1，即 a － 2a ＝－ 1，得 a ＝ 1.∴ f(x)＝x 2＋ 2x.由函数 g(x)的图象与 f(x)的图象对于原点对称，∴ g(x)＝－ f(－ x)＝－ x 2＋ 2x.(2)由 (1) 得 h( x)＝x 2 ＋ 2x － λ(－ x 2＋ 2x)＝ (λ＋ 1)x 2＋ 2(1－λ)x. ①当 λ＝－ 1 时， h(x)＝4x 知足在区间 [ － 1,1] 上是增函数；②当 λ<－ 1 时， h( x)图象的对称轴是 x ＝ λ－ 1，λ＋ 1 λ－ 1则≥ 1，又 λ<－ 1，解得 λ<－1；λ－ 1③当 λ>－ 1 时，同理则需 ≤－ 1，又 λ>－ 1，解得－ 1< λ≤ 0.综上，知足条件的实数 λ的取值范围是 (－∞， 0] ．15． [解答 ] (1) 令 t ＝ x ＋ 1，则 x ＝ t － 1，22所以 f(t)＝ 2(t － 1) ＋ 1＝ 2t － 4t ＋ 3.(2)因为 2f(x)－ f(－ x)＝ x ＋ 1， 用－ x 去替代等式中的 x ， 得 2f(－ x)－ f(x)＝－ x ＋ 1，2f x － f － x ＝ x ＋ 1， 即有2f － x －f x ＝－ x ＋ 1，解方程组消去f(－ x)，得 f(x)＝ x3＋ 1.2＝1，即 2a ＋ b ＝ 2.(3)由 f(2)＝ 1 得 2a ＋ bx11－ b由 f(x) ＝x 得 ax ＋ b ＝x ，变形得 xax ＋ b － 1 ＝ 0，解此方程得： x ＝ 0 或 x ＝ a .又因为方程有独一解，所以 1－ b＝ 0，解得 b ＝ 1， a代入 2a ＋ b ＝ 2 得 a ＝ 1，2所以所求分析式为f(x)＝ 2x.x ＋ 2【难点打破】16． [解答 ] 要使分析式 f(x)＝ ax 2 ＋bx 存心义， 则 ax 2＋ bx ＝x(ax ＋ b)≥ 0.当 a>0 时，函数的定义域为 －∞，－b∪ [0，＋∞ )，因为函数的值域为非负数，所以a a>0 不切合题意；当 a ＝0 时， f(x)＝ bx ，此时函数的定义域为 [0，＋∞ )，函数的值域也为 [0 ，＋∞ )，切合题意；bb222 b当 a<0 时，函数的定义域为0，－ a ，又 f(x)＝ax ＋ bx ＝a x ＋2a－ 4a ，∵ 0<－ b <－ b ，∴当 x ＝－ b时，函数 f(x)有最大值－ b 2，由题意有－b 2＝ －b2，2aa2a4a4aa即 a 2＝－ 4a ，解得 a ＝－ 4.综上，存在切合题意的实数 a ， a 的值为 0 或－ 4.。

课时作业 (一 ) [第 1 讲会合及其运算][时间：45 分钟分值： 100 分]基础热身1．已知会合M＝{0,1,2,3,4} ，N＝ {1,3,5} ， P＝M∩ N，则 P 的子集共有 ( A．2个B．4 个C．6 个D．8 个2．已知全集是实数集R ，M＝{ x|x≤1}，N＝{1,2,3,4}，则(?R M)∩N等于(A ． {4}B ．{3,4}C．{2,3,4}D． {1,2,3,4}3．已知会合A＝ { y|y＝ lgx，x>1} ，B＝{ x|0<|x|≤ 2，x∈Z } ，则以下结论正确的选项是A ． A∩ B＝ { －2，－ 1}B． A∪ B＝ { x|x<0}C．A∪ B＝ { x|x≥ 0}D． A∩ B＝ {1,2}))()4．对于平面上的点集上的凸集，给出平面上Ω，假如连结Ω 中随意两点的线段必然包括于4 个点集的图形如图 K1 － 1(暗影地区及其界限Ω，则称Ω为平面)，此中为凸集的是()图 K1－1A ．①③B．②③C．③④ D ．①④能力提高5．已知会合M＝ { － 4，－ 3，－ 2，－ 1，0,1,4} ，N＝ { － 3，－ 2，－ 1,0,1,2,3} ，且 M，N 都是全集I 的子集，则图K1 － 2 中暗影部分表示的会合为()图 K1－2A ． { － 1，－ 2，－ 3}B ． {0,1,2,3}C．{2,3}D． {0 ，－ 1，－ 2，－ 3}6．若全集 U＝ {1,2,3,4,5,6} ， M＝ {2,3} ，N＝{1,4} ，则会合 {5,6} 等于 ()A．M∪ N B． M∩ NC．( ?U M)∪ (?U N) D ． (?U M)∩( ?U N)7．已知会合A＝ { x|－2≤ x≤ 7} ，B＝ { x|m＋1<x<2m－ 1} 且 B≠ ?，若 A∪ B＝ A，则 m 的取值范围是 ()A ．－ 3≤ m≤ 4B ．－ 3<m<4C．2< m<4D． 2<m≤ 48．设全集 U ＝ {( x，y)|x∈R，y∈R} ，A＝ {( x，y)|2x－ y＋ m>0} ，B＝ {( x，y)|x＋ y－ n≤0} ，那么点 P(2,3)∈A∩ (?U B)的充要条件是 ()A ． m>－1 且 n<5B ．m<－ 1 且 n<5C．m>－1 且 n>5 D ．m<－ 1 且 n>512，则A∩B＝() 9．设会合 A＝{ x|y＝ ln(x－ 3)} ， B＝ xy＝－ 4＋5x－ xA ． ?B． (3,4)C ．( －2,1)D ． (4，＋∞ )10．设会合 A ＝ { －1,1,3} ，B ＝ { a ＋ 2，a 2＋ 4} ，A ∩ B ＝ {3} ，则实数 a 的值为 ________． 11．若全集 U ＝ {0,1,2,4,16} ，会合 A ＝ {0,2 ，a} ，?U A ＝ {1 ， a 2} ，则 a 的值为 ________． 12．设数集 M ＝ x m ≤ x ≤ m ＋3，N ＝ x n － 1≤ x ≤ n ，且 M 、N 都是会合 { x|0≤x ≤ 1}4 3的子集，假如把 b － a 叫做会合 { x|a ≤ x ≤ b} 的“长度”，那么会合 M ∩N 的“长度”的最小值是 ________．13．已知会合 A ＝ { x|1≤log 2x ≤ 2} ， B ＝ [a ， b] ，若 A? B ，则实数 a － b 的取值范围是________．已知会合 A ＝ { x||x － 1|<2} ， B ＝ { x|x 2＋ ax － 6<0} ， C ＝ { x|x 2－ 2x －15<0} ． 14． (10 分) (1)若 A ∪ B ＝ B ，求 a 的取值范围；(2)能否存在 a 的值使得 A ∪ B ＝ B ∩C ？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明原因．2－ 1 的定义域为会合A ，函数 g(x)＝1－ a 2－ 2ax － x 2的15．(13 分 )设函数 f(x)＝ lg x ＋ 1定义域为会合 B.(1)求证：函数 f(x)的图象对于原点成中心对称；(2)a ≥ 2 是 A ∩ B ＝?的什么条件 (充足不用要条件、必需不充足条件、充要条件、既不充足也不用要条件 )？并证明你的结论．难点打破16． (12 分)会合 A ＝{ x|－ 2≤ x ≤5} ， B ＝ { x|m ＋ 1≤ x ≤ 2m － 1} ． (1)若 B? A ，务实数 m 的取值范围；(2)当 x ∈ Z 时，求 A 的非空真子集的个数；(3)当 x ∈ R 时，若 A ∩ B ＝ ?，务实数 m 的取值范围．作业手册课时作业 ( 一)【基础热身】1． B [ 分析 ] 由于 M＝ {0,1,2,3,4} ， N＝ {1,3,5} ，因此 P＝ M∩ N＝ {1,3} ，因此会合 P 的子集共有 ?， {1} ， {3} ， {1,3}4 个．2． C[ 分析 ] 由于 ?R M＝ { x|x>1} ，因此 (?R M)∩ N＝ {2,3,4} ．3． D[ 分析 ] A＝ { y|y>0} ， B＝ { － 1，－ 2,1,2} ，故 A∩ B＝{1,2} ．4． B[ 分析 ] 只有②③两个图形内随意两点所连线段仍在图形内．【能力提高】5． C [ 分析 ] 依据补集和交集的运算，把N 中属于 M 的元素去掉即可．6． D[ 分析 ] 方法一：∵ M∪ N＝ {1,2,3,4} ，∴(?U M)∩ (?U N)＝ ?U(M∪ N)＝ {5,6} ．应选 D.方法二：∵ ?U M＝ {1,4,5,6} ，?U N＝ {2,3,5,6} ，∴(?U M)∩ (?U N)＝ {5,6} ．应选 D.7． D [分析 ] ∵A∪ B＝ A，∴ B? A，又 B≠ ?，m＋ 1≥－ 2，∴ 2m－ 1≤ 7，解得 2＜ m≤ 4.m＋1<2m－ 1，8． A [ 分析 ] ∵P∈ A，∴ m>－ 1，又 ?U B＝{( x， y)|x＋ y－ n>0} ，∵ P∈ (?U B)，∴ n<5 ，应选 A.9． B [ 分析 ] 会合 A， B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．22，即得会合 A＝ (3，＋∞ ) ，会合 B 中的 x 知足－ 4＋ 5x－x >0，即 x － 5x＋4<0即会合 B＝ (1,4)，故 A∩ B＝ (3,4) ．应选 B.10． 1[ 分析 ] ∵ A＝{ － 1,1,3} ，B＝ { a＋ 2， a2＋ 4} ， A∩ B＝ {3} ，∴ a＋ 2＝ 3＝3，又∵ a2＋ 4＝ 3 不切合题意，无解．∴ a＝ 1，经查验，切合题意．11． 4[分析 ] a 只可能等于 4.1<x<4 ，或 a2＋ 413112.12[ 分析 ] 由题意，知会合M 的“长度”是4，会合 N 的“长度”是3，由会合 M、N 是 { x|0≤ x≤ 1} 的子集，知当且仅当M∪ N＝ { x|0≤x≤ 1} 时，会合 M∩N 的“长度”最小，311最小值是4＋3－ 1＝12.13．(－∞，－ 2][ 分析 ] 会合 A 是不等式 1≤ log2x≤ 2 的解集，求出这个会合，依据集合之间的关系得a，b知足的条件，即可求出 a－ b 的取值范围．由题意，会合A＝ [2,4] ，因为 A? B，故 a≤ 2， b≥ 4，故 a－ b≤ 2－ 4＝－ 2，即 a－b 的取值范围是(－∞，－ 2]．14． [解答 ] A＝ { x|－ 1< x<3} ， C＝ { x|－ 3<x<5} ．f － 1 ＝－ 1 2－ a－ 6≤0，(1)由A∪B＝B知，A? B，令f(x)＝x2＋ax－6，则f 3＝32＋3a－6≤0，解得－ 5≤ a≤－ 1，即 a 的取值范围是 [－ 5，－ 1]．(2)假定存在 a 的值使得A∪ B＝ B∩C，由 A∪ B＝ B∩C? B 知 A? B，由 A∪B＝B∩ C? C 知 B? C，于是 A? B? C，由 (1)知若 A? B，则 a∈ [－ 5，－ 1]，当 B? C 时，由＝a2＋24>0，知B不行能是空集，f － 3 ＝－ 3 2－3a－ 6≥ 0，f 5 ＝52＋5a－ 6≥0，于是－3<－a<5，2解得 a∈ －19， 1 ，519综合 a∈ [－ 5，－ 1]知存在 a∈ －5，－ 1 知足条件．15． [解答 ] (1) 证明： A＝ x2－1>0，x＋ 1由2－1>0?x－ 1x＋1<0 ? (x＋ 1)(x－ 1)<0，x＋ 1∴－ 1<x<1，∴ A＝ (－ 1,1)，故 f(x)的定义域对于原点对称．1－ x 1＋ x 1－ x 又 f(x) ＝lg x＋1，则 f(－ x)＝ lg－x＋1＝ lg x＋1－1＝－ lg1－x＝－ f(x)，x＋1∴ f(x)是奇函数．即函数 f(x)的图象对于原点成中心对称．(2)B＝ { x|x2＋2ax－ 1＋ a2≤0} ，得－ 1－ a≤ x≤ 1－ a，即 B＝ [ － 1－ a,1－a]．若 A∩ B＝ ?，则只要要－ 1－ a≥1 或许 1－ a≤－ 1，解得 a≤－ 2 或许 a≥ 2，故 A∩ B＝ ?等价于 a≤－ 2 或许 a≥ 2，而 { a|a≥a|a≤－ 2 或 a≥ 2} ．因此， a≥ 2 是 A∩ B＝?的充足不用要条件．【难点打破】16． [解答 ] (1) ①当 m＋ 1>2m－1，即 m<2 时， B＝ ?知足 B? A.②当 m＋ 1≤2m－1，即 m≥ 2 时，要使 B? A 建立，m＋ 1≥－ 2，需可得 2≤m≤3.2m－ 1≤5，综上， m 的取值范围是m≤3.(2)当 x∈Z时， A＝ { － 2，－ 1,0,1,2,3,4,5} ，8(3)由于 x∈R，且 A＝ { x|－ 2≤ x≤ 5} ， B＝{ x|m＋ 1≤ x≤2m－ 1} ，又 A∩ B＝ ?，则①若 B＝ ?，即 m＋ 1>2m－ 1，得 m<2，知足条件．②若 B≠ ?，则要知足的条件是m＋ 1≤ 2m－ 1，m＋1≤ 2m－ 1，或m＋ 1>52m－ 1<－ 2，解得 m>4.综上， m 的取值范围是m<2 或 m>4.。

复数的概念及四则运算[基础巩固]1．复数(1＋i)2(2＋3i)＝( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.答案 D2．复数(1＋2i )23－4i＝( ) A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析 (1＋2i )23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1. 答案 A3．(多选题)(2021·东莞高一期末)已知复数z (z ≠0)，z －是z 的共轭复数，则下列结论正确的是( )A ．若z ＝z －，则z ∈RB ．若|z |＝1，则z ·z －＝1C ．若z z －∈R ，则z ∈RD ．若z 2＋z 2＝0，则z ＝0 解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入计算，根据复数的定义判断，也可举反例说明． 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z ＝z －，即a ＋b i ＝a －b i ，所以b ＝－b ＝0，z ＝a ∈R ，A 正确；若|z |＝1，则a 2＋b 2＝1，所以z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝1，B 正确；若z ＝2i ，则z z －＝2i －2i ＝－1∈R ，C 错误； 若z ＝1＋i ，则z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0，D 错误．故选A ，B. 答案 AB4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3.答案 －35．已知2－3i z＝－i ，则复数z ＝________. 解析 因为2－3i z＝－i ， 所以z ＝2－3i －i＝(2－3i)i ＝3＋2i. 答案 3＋2i6．计算(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i. 解析 (1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i＝－1－3i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i ＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋i (3－2i )3－2i＝i 6＋i ＝－1＋i.[能力提升]7．(2022·全国乙卷)已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2解析 由题设，z ＝1－2i ，z ＝1＋2i ，所以a ＋b ＋1＋(2a －2)i ＝0，故a ＝1，b ＝－2，选择A ．答案 A8．(多选题)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为复数，z －是z 的共轭复数，则下列命题一定正确的是( )A ．z ·z －＝|z |2B ．若1z∈R ，则z ∈R C ．若z 2为纯虚数，则a ＝b ≠0D ．若|z －i|＝1，则|z |的最大值为2解析 根据共轭复数的定义、复数的运算、复数的定义和复数模的三角不等式计算求解后判断各选项．对于A ，z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2，所以A 正确；对于B ，1z ＝1a ＋b i ＝a －b i (a ＋b i )(a －b i )＝a a 2＋b 2－b a 2＋b 2i ， 因为1z∈R ，所以b ＝0，从而z ∈R ，所以B 正确； 对于C ，z 2＝(a ＋b i)2＝()a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，2ab ≠0，即a ＝±b ≠0，所以C 错误；对于D ，由复数模的三角不等式可得|z |＝|(z －i)＋i|≤|z －i|＋|i|＝2，所以D 正确．故选A ，B ，D.答案 ABD9．写出一个虚数z ，使z 2的实部为0，则z ＝________.解析 设复数z ＝a ＋b i ，()b ≠0，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，使z 2的实部为0，得a ＝±b ，即可得解．设复数z ＝a ＋b i ，()b ≠0，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，因为z 2的实部为0，所以a 2－b 2＝0，即a ＝±b ，所以答案可为1－i 或1＋i.答案 1－i 或1＋i(答案不唯一，凡符合a ＋a i 或a －a i(a ∈R 且a ≠0)形式的均正确)10．已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2.解析 因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2)，解得a ＝－2或a ＝－4，对应得b ＝－1或b ＝2，所以所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.[探索创新]11．复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析 z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i) ＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限，∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

数学课程复数的运算练习题及答案一、绪论在数学课程中，复数的运算是一个重要的内容。

复数是由实数和虚数组成的数学对象，广泛应用于代数、物理学和工程学等领域。

掌握复数的运算规则和技巧对于提高数学解题能力和扩展数学思维具有重要意义。

本文将为大家提供一系列复数的运算练习题及答案，以帮助读者更好地理解和应用复数。

二、复数的定义与基本运算1. 复数的定义复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，bi 是虚数部分，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。

2. 复数的共轭复数 a + bi 的共轭定义为 a - bi。

共轭复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数。

3. 复数的加法与减法对于复数 a + bi 和 c + di，其加法为 (a + c) + (b + d)i，减法为 (a - c) + (b - d)i。

4. 复数的乘法对于复数 a + bi 和 c + di，其乘法为 (ac - bd) + (ad + bc)i。

5. 复数的除法对于复数 a + bi 和 c + di，其除法为 (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc - ad)/(c^2 + d^2)i。

三、复数运算练习题及答案1. 计算下列复数的和与差：a) (4 + 3i) + (1 - 2i)解：(4 + 1) + (3 - 2)i = 5 + ib) (2 + 5i) - (3 - 4i)解：(2 - 3) + (5 + 4)i = -1 + 9i2. 计算下列复数的乘积与商：a) (2 + i)(3 - 2i)解：(2*3 - 1*(-2)) + (2*(-2) + 3*1)i = 8 - ib) (4 + 5i)/(2 - i)解：((4*2 + 5*1)/(2^2 + 1^2)) + ((5*2 - 4*1)/(2^2 + 1^2))i = (13/5) + (6/5)i3. 计算下列复数的共轭：a) (3 + 4i)解：3 - 4ib) (-2 - 6i)解：-2 + 6i4. 求下列复数的模和幅角：a) 2 + 4i解：模为√(2^2 + 4^2) = √20，幅角为 arctan(4/2) = arctan 2b) -3 - 5i解：模为√((-3)^2 + (-5)^2) = √34，幅角为 arctan((-5)/(-3)) =arctan(5/3)五、总结本文针对数学课程中复数的运算练习题及答案进行了介绍，并给出了相应的解答。

作 (六十七 )[第 67数学明 ][ ： 45分分： 100分 ]基身1．在用反法明命“已知a、b、c∈ (0,2) ，求 a(2－ b)、b(2－ c)、c(2－ a)不行能都大于 1” ，反假正确的选项是()A ．假 a(2－b) 、b(2－ c)、 c(2－ a)都小于 1B．假 a(2－ b)、 b(2－ c)、 c(2－ a)都大于 1C．假 a(2－ b)、 b(2－ c)、 c(2－ a)都不大于 1D．以上都不1，△ ABC 的形状是 ()2．在△ ABC 中，已知 sinA＋ cosA＝2A ．角三角形B．直角三角形C．角三角形D．不可以确立a＋1， b＋1， c＋13． a， b， c 均正数，那么()b c aA ．都不大于 2B．都不小于 2C．起码有一个不大于2D．起码有一个不小于24．已知 a，b 是不相等的正数， x＝a＋b，y＝a＋b，x，y的大小关系是________．2能力提高5．一个点从 A 出挨次沿中段抵达B、C、 D、 E、F、 G、 H、 I、 J 各点，最后又回到 A(如 K67 － 1 所示 )，此中： AB⊥ BC，AB∥ CD∥ EF∥ HG∥ IJ，BC∥ DE ∥ FG ∥HI ∥ JA.欲知此点所走行程，起码需要量n 条段的度，n＝ ()K67－1A．2 B．3 C．4 D． 56．已知ab＝ ad－ bc，46＋ 1214 ＋⋯＋2 004 2 006＝()c d8101618 2 008 2 010A．－ 2 008 B ．2 008C．2 010 D ．－ 2 0107．△ ABC 的三内角 A、B、C 的分a、b、c，且 a、b、c 成等比数列， cosA、cosB、 cosC 成等差数列，△ABC ()A ．等三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形ax－ 58．已知对于 x 的不等式x2－a<0 的解集 M，且 3∈ M,5?M ，数 a 的取范()55∪ (9,25]A.1，∪ (9,25)B. 1，33C. 1， 5 ∪ [9,25)D. 1，5∪ [9,25]3 3 9．若 a ， b ， c 是不全相等的正数， 出以下判断： ① (a － b)2＋ (b － c)2＋ (c － a)2≠ 0；② a>b 与 a<b 及 a ＝ b 中起码有一个建立；③ a ≠ c ， b ≠ c ， a ≠ b 不可以同 建立．此中判断正确的个数是 ()A ．0B ．1C ．2D ． 3 10． 察下表： 1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 78 9 10⋯⋯2第________行的各数之和等于 2 009 .11．如 K67－2 所示，由若干个点 成形如三角形的 形，每条(包含两个端点 )有 n(n>1， n ∈ N )个点，每个 形 的点数a n ，9 ＋ 9 ＋9＋⋯＋9 ＝a 2a 3 a 3a 4 a 4a 5a 2 010a 2 011________.K67－212． 若直 ax ＋ 2by － 2＝ 0(a>0，b>0)始 均分 x 2＋ y 2－ 4x － 2y －8＝ 0 的周 ， 1a＋ 2的最小 ________． b13． 假如函数 f(x)在区 D 上是凸函数，那么 于区 D 内的随意 x 1， x 2，⋯， x n ，都有f x 1 ＋ f x 2 ＋⋯＋ f x n≤ f x 1＋ x 2＋⋯＋ x n .若 y ＝ sinx 在区 (0， π)上是凸函数，那么在 n n△ABC 中， sinA ＋sinB ＋ sinC 的最大 是 ________．114． (10 分)已知 a ， b ，c ∈ (0,1)．求 ： (1－ a)b ， (1－ b)c ， (1－ c)a 不可以同 大于 4.15. (13 分) 比 n n ＋1 与 (n ＋ 1)n (n ∈ N *) 的大小．当 n ＝1 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n＝2 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n ＝3 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n ＝4 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )．猜想一个一般性 ，并加以 明．难点打破*131222 16． (12 分 )数列 { a n}( n∈N )中， a1＝ 0， a n＋1是函数 f n( x)＝ x － (3a n＋ n)x ＋ 3n a n x 的32极小值点，求通项a n.作 (六十七 )【基 身】1． B[ 分析 ] “不行能都大于1”的否认是“都大于 1”，故 B.1212．C[分析 ] 由 sinA ＋cosA ＝ 2，得，(sinA ＋ cosA) ＝ 1＋ 2sinAcosA ＝4，∴ sinAcosA<0.π∵ A ∈ (0， π)，∴ sinA>0，cosA<0，∴ A ∈ ， π.故 C.21＋b ＋ 1＋ c ＋1≥ 6，故 D.3． D [ 分析 ] 因 a ＋ bc a4． x<y[ 分析 ] x 2－ y 2＝a ＋b ＋ 2ab－ (a ＋ b)2－ a ＋ b － 2 ab － a － b 2.∵ a ，b 是不相等的正数， ∴ a ≠ b ，∴ (a － b)2>0，＝ 2 ＝2－ a － b2∴<0，∴ x 2<y 2.又∵ x>0， y>0，∴ x<y. 2 【能力提高】 5． B[分析 ] 只要 量 AB ， BC ， GH 3 条 段的 ．4 612 142 004 2 0066．A [分析 ] ∵ 8 10 ＝－ 8， 16 18＝－8，⋯，2 008 2 010＝－ 8，区 [4,2010] 中共有 1 004 个偶数，若每四个偶数 一 ，共有 251 ，∴ 46 ＋12 14 ＋⋯＋ 2 004 2 006＝ ( － 8)＋ (－ 8)＋⋯＋ (－ 8＝－ 8× 2518 1016 182 0082 010251个＝－ 2 008，故 A.7． A[分析 ] ∵cosA ， cosB ，cosC 成等差数列，A ＋C A － C ∴ 2cosB ＝ cosA ＋cosC ＝ 2cos 2 cos 2B A －C ＝ 2sin 2cos 2 ，2∴ cos(A － C)＝ 2cos2A －C－ 1＝2cos B－ 1.①22Bsin 2∵ a ， b ， c 成等比数列，∴ b 2＝ ac ，∴ sin 2B ＝ sinAsinC ，2∴ 2sin B ＝ cos(A －C)＋ cosB ，∴ cos(A － C)＝ 2sin 2B － cosB ，② 将①代入②整理得：(2cosB － 1)(cosB －3)(cosB ＋ 1)＝ 0.∵ 0<B<π，∴ cosB ＝ 1，2π∴ B ＝ ，∴ cos(A － C)＝ 1，3∵－ π<A － C<π，∴ A ＝ C ，∴ A ＝B ＝ C ＝ π3，进而△ ABC 等 三角形，故 A.3a － 53∈M ， 9－ a<0，a>9或a<5， ? a ∈ 1，58．B [分析 ] (1) 当 a ≠ 25 ，??335?M5a －5≥ 01≤ a<2525－ a∪(9,25) ．25x － 51， 3∈M 且 5?(2)当 a ＝ 25 ，不等式2<0 ，解之得M ＝ (－∞，－ 5)∪， 5 x － 25 5M ，∴ a ＝ 25 知足条件，综上可得 a ∈5∪ (9,25] ．1， 39． C [ 分析 ] ①②正确；③中 a ≠ c ， b ≠ c ， a ≠ b 可能同时建立，如 a ＝1， b ＝ 2， c ＝3.选 C.n 行的各数之和为 (2n － 1)2,2n － 1＝ 2 009，n ＝ 1 005.10．1 005 [ 分析 ] 由题意概括出第 11.2 009[ 分析 ] a n ＝ 3(n － 1)， a n a n ＋1 ＝9n( n － 1)，裂项乞降即可．2 0101＋ 2＝ (a ＋b) 1＋ 212．3＋ 22 [ 分析 ] 由题知直线经过圆心 (2,1) ，则有 a ＋ b ＝ 1，所以 aba b＝ 3＋ba ＋2ab ≥ 3＋ 2 2.3 3A ＋B ＋ Cπ 3313. 2[ 分析 ] sinA ＋ sinB ＋ sinC ≤ 3sin3＝ 3sin 3＝ 2.14． [解答 ] 证明：假定三式同时大于1，4 即 (1－ a)b>1， (1－ b)c>1， (1－ c)a>1，4 4 4三式同向相乘，得 (1－ a)a(1－ b)b(1－ c)c>641.① 又 (1－ a)a ≤ 1－ a ＋ a 2＝1，241 1(1－ b)b ≤，(1－ c)c ≤ .4 4所以 (1－ a)a(1－b) b(1 －c)c ≤ 1，64与①式矛盾，即假定不建立，故结论正确． 15．[解答 ] < < > >结论：当 n ≥ 3 时， n n ＋1 n *>(n ＋1) (n ∈ N )恒建立．证明：①当 n ＝3 时， 34＝ 81>64＝ 43 建立；②假定当 n ＝ k(k ≥ 3)时建立，即 k ＋1k建立，即 k >( k ＋ 1) k ＋1 kk ＋ 1 k >1，则当 n ＝ k ＋ 1 时，k ＋ 2 k ＋ 1 kk ＋1 ∵ k ＋ 1 ＋ ＋1 ＝ kk >1， k ＋ 1＝ (k ＋ 1) · k 1>(k ＋ 1) · k k ＋ 2 k ＋ 2 k ＋ 1 k ＋ 1∴ (k ＋ 1)k ＋ 2>(k ＋ 2)k ＋1，即当 n ＝ k ＋ 1 时也建立．∴当 n ≥ 3 时， n n ＋1>(n ＋ 1)n (n ∈ N *) 恒建立． 【难点打破】16． [思路 ] 先求导，再分类议论求出a n＋1的关系式，最后运用“概括 ——猜想—— 证明”的思想求通项 a n .2 22 2[解答 ] 易知 f ′ n (x)＝ x － (3a n ＋ n )x ＋ 3n a n ＝ (x － 3a n )(x － n )，令 f ′ n (x)＝ 0，得 x ＝ 3a n 或 x ＝n 2 ，2(1)若 3a n <n ，当 x<3a n 时， f ′ n (x)>0 ，f n (x)单一递加；当 3a n <x<n 2 时， f ′ n (x)<0， f n (x)单一递减；当 x>n 2 时， f ′ n ( x)>0 ，f n (x)单一递加，故 f n (x)在 x ＝n 2 时，获得极小值．(2)若 3a n >n 2，仿 (1)可得， f n (x)在 x ＝ 3a n 时获得极小值． (3)若 3a n ＝ n 2， f ′ n (x)≥0， f n (x)无极值． 因 a 1＝ 0，则 3a 1<12，由 (1)知， a 2＝12＝ 1. 因 3a 2＝ 3<22，由 (1)知 a 3＝ 22＝ 4，因 3a 3＝ 12>32，由 (2)知 a 4＝ 3a 3＝ 3× 4，因 3a 4＝ 36>42，由 (2)知 a 5＝ 3a 4＝ 32× 4，由此猜想：当 n≥ 3 时， a n＝4× 3n － 3 .下边用数学概括法证明：当n≥ 3 时， 3a n>n2.事实上，当n＝3 时，由前面的议论知结论建立．假定当 n＝k(k≥ 3)时， 3a k>k2建立，则由 (2)知 a k＋1＝3a k>k2，进而 3a k＋1－(k＋1)2>3k2－(k＋ 1)2＝ 2k(k－ 2)＋2k－ 1>0 ，所以 3a k＋1 >(k＋1) 2.故当 n≥ 3 时， a n＝4× 3n－3，于是由 (2)知，当 n≥ 3 时， a n＋1＝ 3a n，而 a3＝ 4，n－ 3所以 a n＝4× 3，0 n＝1 ，综上所述， a n＝ 1 n＝ 2 ，4× 3n－3 n≥ 3 .。

专题七 复数的概念及运算 知识精讲一 知识结构图二.学法指导1.判断复数概念方面的命题真假的注意点(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系； (2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同； (3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假． 2. 复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0，④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.3.利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． 4.复数与向量的对应和转化对应：复数z 与向量OZ →是一一对应关系． 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．5.．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 6．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形． 7.两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．8.两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．三.知识点贯通知识点1 复数的概念复数的概念：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }，叫做复数集．例题1. 给出下列说法：①复数2＋3i 的虚部是3i ；②形如a ＋b i(b ∈R )的数一定是虚数；③若a ∈R ，a ≠0，则(a ＋3)i 是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】复数2＋3i 的虚部是3，①错；形如a ＋b i(b ∈R )的数不一定是虚数，②错；只有当a ∈R ，a ＋3≠0时，(a ＋3)i 是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误 知识点二 复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0，④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.例题2：实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【解析】 (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．知识点三 复数相等的充要条件复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .例题3 . (1)若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于 ．(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，求实数m 的值． (1)【答案】－3【解析】∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1<0，∴m ＝－3.](2)【解析】设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0，即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0，所以a ＝－12且⎝⎛⎭⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112. 知识点四 复数与复平面内的点、向量的一一对应复数的几何意义例题4．在复平面内，点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋4i ，－3i,2，O 为复平面的坐标原点． (1)求向量OA →＋OB →和AC →对应的复数；(2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数．【解析】 (1)由已知得OA →，OB →，OC →所对应的复数分别为1＋4i ，－3i,2，则OA →＝(1,4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(2,0)， 因此OA →＋OB →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(1，－4)， 故OA →＋OB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为1－4i.(2)法一：由已知得点A ，B ，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC 的中点为⎝⎛⎭⎫32，2，由平行四边形的性质知BD 的中点也是⎝⎛⎭⎫32，2，若设D (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧0＋x 02＝32，－3＋y2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝7，故D (3,7)．所以D 对应的复数为3＋7i.法二：由已知得OA →＝(1,4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(2,0)，所以BA →＝(1,7)，BC →＝(2,3)， 由平行四边形的性质得BD →＝BA →＋BC →＝(3,10)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3,7)，于是D (3,7)．所以D 对应的复数为3＋7i. 知识点五 复数的模及其应用复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，例题5.(1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1 B.2 C. 3D ．2(2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . (1)【答案】B【解析】因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B.] (2)【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.知识点六 复数加法与减法的运算复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．例题6. (1)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ； (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . 【答案】(1)1＋i.(2)z ＝4＋i.【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 知识点七 复数代数形式加减运算的几何意义复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．例题7.如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度． 【答案】①－3－2i. －3－2i.② 5－2i. 1＋6i, 37. 【解析】 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB →|＝12＋62＝37. 知识点八 复数代数形式的乘法运算 1复数代数形式的乘法法则已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有：（1）交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1 （2）结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)（3）乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3 例题8.计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；②(3＋4i)(3－4i)；③(1＋i)2. 【答案】① －20＋15i. ② 25 ③2i.【解析】 ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. ③(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. 知识点九 复数代数形式的除法运算复数代数形式的除法法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，且c ＋d i≠0)例题9.(1)3＋i1＋i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i(2)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i(1)【答案】D【解析】(1)3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.故选D 。

xA C第十五章复数一．基础题组Oy B D1. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（四川卷）理科】如图，在复平面内，点 A 表示复数z，则图中表示z 的共轭复数的点是（）（A）A（B）B（C）C（D）D2. 【2013年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）】复数z i 1 i i 为虚数单位在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限3. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试（北京卷）理】在复平面内，复数(2－i) 2对应的点位于 ()A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限4. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（广东卷）理】若复数z知足iz2 4i ,则在复平面内,z对应的点的坐标是( )A.2,4B．2,4C．4,2D．4,2【考点定位】复数运算和复数的几何意义.5. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试湖北卷理科】在复平面内，复数 z2i（ i 为虚数单位）的共轭复数1i对应的点位于A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限6. 【2013 年一般高等学校一致考试一试题新课标Ⅱ数学（理）卷】设复数z知足（1-i）z=2 i，则z=（）（ A） -1+i（B）-1-i（C）1+i（D）1-i7. 【2013 年一般高等学校一致考试一试题纲领全国理科】(1 3i )3=（）A． -8 B ．8 C ．8i D ．8i8. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试数学浙江理】已知i是虚数单位，则( 1 i)(2 i )（）A. 3 iB. 1 3iC. 3 3iD. 1 i9. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）理】设 m R ，m2m 2 (m21)i 是纯虚数，此中i 是虚数单位，则 m ________ .10. 【2013 年一般高等学校一致考试江苏数学试题】设z(2 i )2 (i 为虚数单位），则复数 z 的模为.二．能力题组11. 【2013年全国高考新课标（I）理科】若复数 z 知足错误！未找到引用源。

课时作业 (六十五 ) [第 65 讲复数的基本观点与运算 ][ 时间： 45 分钟 分值： 100 分 ]基础热身2－ 1)＋( a －2)i( a ∈ R )，则“ a ＝1”是“ z 为纯虚数”的 (1． 已知复数 z ＝(a )A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足又不用要条件→ 2＋ i →→ 2． 在复平面内， 向量 AB 对应的复数是 ，向量 CB 对应的复数是－ 1－ 3i ，则向量 CA对应的复数为 ( )A ． 1－ 2iB ．－ 1＋ 2iC ．3＋ 4iD ．－ 3－ 4i2＋ i＝ a ＋ bi(a ， b ∈R )，则 a ＋ b 的值是 ()3． i 是虚数单位，若 1＋ i1A ．0 B.2C ．1D ． 24．已知复数 z 1 ＝ 2＋ i ，z 2＝ 3－ i ，此中 i 是虚数单位， 则复数 z1的实部与虚部之和为()1z 2A ．0 B.2 C ．1 D ． 2能力提高z＝2i ，则 z 对应的点位于 ()5．若复数 z 知足 1＋ iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限z6． 若 i 为虚数单位，图 K65 － 1 中复平面内点 Z 表示复数 z ，则表示复数 的点是1＋ i()图 K65－1A ．EB ．FC ．GD ．H7． 复数 z ＝ (a 2－ 2a)＋ (a 2－ a － 2)i 对应的点在第三象限，则实数 a 的取值范围是()A ．－ 1<a<2B ．0<a<2C ．0≤ a ≤ 2D ．－ 1<a<08． 设复数 z 1＝ 1＋ i ， z 2＝ x ＋ 2i(x ∈ R )，若 z 1z 2 为实数，则 x ＝ () A ．－ 2 B ．－ 1 C ．1 D ．2 9．设 ω＝－ 1＋3i ，则 1＋ ω等于 ()222A ．－ ωB ． ω1 1C.ω2 D ．－ ω10．非空会合 G 对于运算⊕知足：(1)对随意 a ， b ∈ G ，都有 a ⊕ b ∈ G ； (2)存在 e ∈G ，使得对全部 a ∈ G ，都有 a ⊕ e ＝ e ⊕ a ＝ a ，则称 G 对于运算⊕为“和睦集”；现给出以下会合和运算：① G ＝ { 非负整数 } ，⊕为整数的加法； ② G ＝ { 偶数 } ，⊕为整数的乘法；③ G ＝ { 平面向量 } ，⊕为平面向量的加法；④ G ＝ { 二次三项式 } ，⊕为多项式的加法；⑤ G ＝ { 虚数 } ，⊕为复数的乘法．此中 G 对于运算⊕为“和睦集”的为________(写出全部“和睦集”的序 )．11．假如复数 (m 2＋ i)(1 ＋mi)( 此中 i 是虚数单位 )是实数，则实数 m ＝ ________.12． 已知复数 z 1＝－ 1＋ 2i ， z 2＝ 1－ i ， z 3＝ 3－ 2i ，它们所对应的点分别为 A ， B ， C. → → → 若OC ＝ xOA ＋ yOB ，则 x ＋ y 的值是 ________．1＋i 1－ i13．若复数＋ m ·z ＝1－ i1＋ i (i 为虚数单位 )为实数，则实数 m ＝ ________.14．(10 分 )复数 z 1＝3＋ (10－ a 2)i ，z 2＝ 2＋ (2a － 5)i ，若 z 1＋ z 2 是实数，务实数 aa ＋5 1－ a的值．15． (13 分)已知复数 z 知足条件 |z|＝ 2，求复数 1＋ 3i ＋ z 的模的最大值、最小值．难点打破z均为实数 (i 为虚数单位 )，且复数 (z ＋ ai) 2 在复平16． (12 分)已知 z 是复数， z ＋2i 、2－ i面上对应的点在第一象限，务实数 a 的取值范围．课时作业 (六十五 )【基础热身】1．A[分析 ] a 2－ 1＝ 0，当 a ＝1 时， z ＝－ i 为纯虚数；若 z 是纯虚数，则故 a ＝ ±1，a － 2≠0，所以“ a ＝ 1”是“ z 为纯虚数”的充足不用要条件．2． D → → → →[分析 ] ∵CA ＝CB ＋BA ，∴ CA 对应的复数为 (－ 1－ 3i) ＋ (－ 2－ i) ＝－ 3－ 4i ，故选 D.3．C [分析 ] ∵ 2＋i 2＋i 1－ i 3 1 3 1 ，∴ a ＋ b ＝ 3 1 ＝ 1.＝ ＝ － i ，∴ a ＝ ， b ＝－2 － 1＋ i 1＋ i 1－ i 2 2 2 2 24．C [分析 ] 12＋ i ＝ 2＋ i 3＋ i ＝ 5＋5i ＝ 1＋ 1i ， z ＝3－ i 3－ i 3＋ i 10z 2 2 2∴其实部与虚部之和为1＋ 1＝ 1.2 2【能力提高】5． B [ 分析 ] z ＝ 2i(1 ＋ i) ＝－ 2＋ 2i ，故 z 对应的点位于第二象限．6． D[ 分析 ] 由点 Z( x ， y)的坐标知z ＝ 3＋ i ＝ 3＋ i1－ i＝ 2－ i ，所以z ＝ 3＋ i ，故 1＋ i1＋ i 2表示复数z的点是 H.1＋ ia 2－a － 2<0 ，7． B [分析 ] ∴ 0<a<2.由条件得a 2 －2a<0，8． A [ 分析 ] z 1z 2＝x － 2＋ (x ＋ 2)i ∈ R ，∴ x ＋ 2＝0， x ＝－ 2.9 ． D[分析]1 ＋ ω＝ 1 ＋ 3i ， － ω＝ 1 － 3 i ， ω2＝ － 1－ 3 i ， － 1＝ －22 2 22 2 ω －1－ 3132 2 i－1＋3－1－ 3＝2＋ 2 i.应选 D.2 2 i 2 2 i 10．①③11．－ 1 [分析 ] ( m 2＋ i)(1 ＋ mi) ＝(m 2－ m)＋(1＋ m 3)i.于是有 1＋m 3＝ 0? m ＝－ 1.12．5→ → →y － x ＝ 3， 所[分析 ] 由题意 OC ＝(3，－ 2)，xOA ＋ yOB ＝ (y － x,2x －y)，所以2x － y ＝－ 2，以 x ＝ 1， y ＝4.1＋ i 1－ i ＝i － mi ＝ (1－ m)i ，若 z 为实数，则 m ＝ 1. 13．1 [分析 ] z ＝ ＋ m ·1－ i 1＋ i14． [解答 ] z 1＋ z 2＝ 3＋ (a 2－ 10)i ＋2＋ (2a － 5)i a ＋5 1－ a ＝3 ＋ 2 ＋ [(a 2－ 10)＋(2a － 5)]ia ＋ 5 1－ a＝a － 13 ＋ (a 2＋ 2a －15)i. a ＋ 5 a － 1∵ z 1＋ z 2 是实数， ∴ a 2＋ 2a －15＝ 0，解得 a ＝－ 5 或 a ＝ 3.∵分母 (a ＋5)( a － 1)≠ 0，∴ a ≠－ 5， a ≠ 1，故 a ＝3.15． [解答 ] 由已知，复数 z 对应的点 Z 在复平面上的轨迹是以原点 O 为圆心、 2 为半径的圆．设ω＝ 1＋3i＋ z＝ z－ (－1－3i)，则 |ω|表示动点 Z 到点 C(－ 1，－3)的距离，→∵|OC|＝ 2，依据圆的几何性质知，动点 Z 到点 C(－ 1，－3)的距离最大值为2＋ r＝ 2＋ 2＝ 4，最小值为2－ r＝ 0，∴复数 1＋3i＋ z 的模的最大值为4，最小值为0.【难点打破】16． [解答 ] 设 z＝ x＋ yi(x、 y∈R)，∵ z＋ 2i＝ x＋ (y＋ 2)i 为实数，∴ y＝－ 2.∵z＝x－ 2i1112－ i2－ i＝ ( x－2i)(2 ＋ i)＝(2x＋ 2)＋ (x－ 4)i 为实数，∴ x＝ 4.∴ z＝ 4－ 2i.555∵ (z＋ ai) 2＝ (12＋ 4a－ a2)＋ 8(a－ 2)i，12＋ 4a－ a2>0，解得 2< a<6，依据条件，可知8a－ 2 >0，∴实数 a 的取值范围是 (2,6)．。