三角形垂心的性质及其应用

三角形垂心的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE于点E，CF AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。

现在我们只要证明AD BC即可。

因为CF AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。

四边形AFHE为圆内接四边形。

所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD BC。

点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。

三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。

如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。

求证：H为三角形DFE的内心。

证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。

同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。

由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。

同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。

点评：以上两个问题都用到了四点共圆。

因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。

三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。

证明：由得，所以。

同理OB，，则点O为垂心。

三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。

证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得 (2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。

三角形的垂心外心和重心三角形的垂心、外心和重心三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。

其中，垂心、外心和重心是三角形内的三个重要点，它们在许多几何问题中起着重要的作用。

本文将对三角形的垂心、外心和重心进行详细介绍，以及它们的性质和应用。

一、垂心垂心是指三角形三条高的交点，通常用H表示。

在任何三角形中，三条高（垂直于对边，并经过对边顶点的切线）的交点都是唯一的，这一点被称为垂心。

垂心的特点如下：1. 垂心到三角形三边的距离是相等的。

也就是说，垂心到三角形任意一边的距离都相等。

2. 垂心和三个顶点之间的连线都是垂直的。

也就是说，垂心到三个顶点之间的线段都是垂直的。

3. 垂心趋于三角形的边缘时，它会接近于三角形的外接圆。

二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常用O表示。

外接圆是能够完全包围三角形的圆，通过三角形的三个顶点。

外心的特点如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离都相等。

2. 外心到三角形三个顶点的连线都相等，也就是说，外心到三个顶点之间的距离都相等。

3. 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，也就是说，外心到三角形的每条边都是相等距离。

4. 三角形的外心是垂心和重心连线的中点，也就是说，连接垂心和重心的线段经过外心。

三、重心重心是指三角形三条中线的交点，通常用G表示。

中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

重心的特点如下：1. 重心将每条中线划分为2:1的比例。

也就是说，从重心出发到达对边中点的距离是从重心到顶点的距离的两倍。

2. 重心到三角形三个顶点的距离之和最小。

3. 连接重心和垂心的线段被称为Euler线，它经过外心。

4. 重心位于三角形内部的2/3处，到三角形每条边的距离都小于到相应顶点的距离。

以上是关于三角形的垂心、外心和重心的基本性质。

这三个重要点在求解三角形的面积、判定三角形的形状以及解析几何中都有广泛应用。

研究它们的性质和关系，有助于深入理解三角形的结构和性质，进一步拓展数学几何的知识。

初中数学什么是三角形的垂心在初中数学中，三角形的垂心是指一个三角形内的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。

垂心在三角形的性质和应用中具有重要的作用，下面将详细介绍垂心的性质以及与垂心相关的一些重要概念。

1. 垂心的定义：垂心是指一个三角形内的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。

换句话说，垂心是使得三条垂直平分线相交于一个点的点。

2. 垂心的存在性：对于任意一个三角形，垂心都是存在的。

这是因为三角形的三条垂直平分线必定会相交于一个点，这个点就是垂心。

3. 垂心与垂直平分线的关系：垂心是三角形的三条垂直平分线的交点。

也就是说，如果你将一个三角形的三条垂直平分线画出来，那么它们将会相交于一个点，这个点就是垂心。

4. 垂心的性质与应用：-垂心到三角形的顶点的距离相等：垂心到三角形的三个顶点的距离相等。

这意味着，从垂心到三角形的每个顶点的距离都是相等的。

-垂心是三角形内心、外心和重心的一个特例：垂心是三角形内心、外心和重心的一个特例。

内心是三角形内接圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心，而重心是三角形三条中线的交点。

垂心同时具有这三个特点，因此可以看作是它们的一个特例。

-垂心对于三角形的性质和应用具有重要作用：垂心在三角形的性质和应用中具有重要作用。

例如，通过利用垂心的性质，我们可以证明三角形的垂心、重心和垂心的连线共线，判断三角形是否为等腰三角形，解决与垂心相关的几何问题等等。

总结起来，垂心是指一个三角形内的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。

垂心是三角形的三条垂直平分线的交点，具有与垂直平分线相关的性质。

垂心到三角形的顶点的距离相等，是三角形内心、外心和重心的一个特例。

垂心在三角形的性质和应用中具有重要作用。

三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE错误!于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。

现在我们只要证明AD⊥BC即可。

错误!因为CF⊥AB，BE错误!所以四边形BFEC为圆内接四边形。

四边形AFHE为圆内接四边形。

所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。

点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。

三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。

如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。

求证：H为三角形DFE的内心。

证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。

同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。

由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。

同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。

点评：以上两个问题都用到了四点共圆。

因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。

三角形垂心的向量表示：在错误!中，若点O满足错误!，则点O为三角形ABC的垂心。

证明：由错误!得错误!，所以错误!。

同理OB错误!，错误!，则点O为垂心。

三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数错误!的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。

证明：设点O(x,y)为错误!的垂心，则上面的向量表示得错误!因为错误!的三个顶点都在函数错误!的图象上，所以设错误!，错误!因为错误!，所以错误!所以错误!所以错误! (1)同理：由错误!得错误! (2)三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。

三角形的垂心和重心三角形是几何学中的重要概念，它由三条线段或边构成，而三角形的垂心和重心则是与三角形相关的两个重要点。

本文将详细介绍三角形的垂心和重心的概念、性质和应用。

一、垂心的定义和性质1. 定义：三角形的垂心是从三个顶点分别作三条高线所交的点。

即三个高线的交点即为三角形的垂心。

2. 性质：a. 垂心到三角形三个顶点的距离相等，即垂心到每个顶点的线段长度相等。

b. 垂心到三角形三边的距离乘积最小，即垂心到三个边上各点的线段长度之积最小。

c. 三条高线在垂心处相交，且垂心到三条高线的距离都为0，即垂心是三个高线的交点。

二、重心的定义和性质1. 定义：三角形的重心是三个顶点和三条中线的交点所构成的点。

即三个中线的交点即为三角形的重心。

2. 性质：a. 重心到三个顶点的距离之和最小，即重心到每个顶点的线段长度之和最小。

b. 重心将三角形的内部面积和外部面积划分成两份，且内部面积是外部面积的2倍。

c. 三条中线在重心处相交，且重心到每个中线的距离都是中线长度的2/3。

三、垂心和重心的关系三角形的垂心和重心有一定的几何关系，具体如下：1. 垂心和重心都处于三角形的内部。

2. 当三角形为等边三角形时，垂心和重心重合于同一点。

3. 当三角形不是等边三角形时，垂心和重心一般不重合。

四、垂心和重心的应用1. 垂心的应用：a. 垂心与外接圆、内切圆的关系：三角形的垂心是三角形外接圆的圆心，与三角形内切圆的切点之一。

b. 垂心与欧拉线的关系：欧拉线是通过三角形的垂心、重心和外心的一条直线，具有重要的几何性质。

c. 垂心与角平分线的关系：三角形的垂心是三个角平分线的交点之一。

2. 重心的应用：a. 重心与面积的关系：三角形的重心将三角形的内部面积和外部面积划分成两份，可以用于计算三角形的面积。

b. 重心与三条中线的关系：三角形的重心是三条中线的交点，用于证明三角形的一些性质和定理。

c. 重心与质心的关系：三角形的重心被认为是三个顶点处物体的质心，可用于物理学或力学上的分析和计算。

第十五章 三角形垂心的性质及应用【基础知识】三角形三边上的高线的交点称为三角形的垂心，三角形的垂心有下列有趣的性质：性质1直角三角形的垂心在直角顶点，锐角三角形的垂心在形内，钝角三角形的垂心在形外．性质2设H 为锐角ABC △的垂心，则180BHC B C A ∠∠+∠=︒∠=-，180CHA C A B ∠∠+∠=︒-∠=，180AHB A B C ∠=∠+∠=︒-∠．性质3设H 为ABC △的垂心，则H ，A ，B ，C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点组为一垂心组，且一垂心组的4个三角形外接圆的圆心组成另一垂心组，与原垂心组全等）． 注垂心组的4个三角形的外接圆是等圆（参见性质7（2）），反之若3个等圆1w ，2w ，3w 共点子H ，又1w 与2w 相交于点B ，2w 与3w 相交于点C ，3w 与1w 相交于点A ，则H 为ABC △的垂心，即H 、A 、B 、C 组成一垂心组．事实上，设直线BH 、CH 分别交直线AC 、AB 于点E 、F ．由等圆中等弧所对的圆周角相等，有ABH ACH ∠=∠，即知B 、C 、E 、F 四点共圆． 又由BAH BCH BEF ∠=∠=∠（当H 在ABC △内时）或BHA BCA BFE ∠∠∠==（当H 在ABC △外时），即知A 、F 、H 、E 四点共圆．于是，BFC BEC AFH ∠=∠=∠=邻补角相等90=︒，即知CF AB ⊥． 同理，BE AC ⊥．故H 为ABC △的垂心，即H 、A 、B 、C 为一垂心组．性质4设ABC △的三条高线为AD ，BE ，CF ，其中D ，E ，F 分别为垂足（以下均同），垂心为H ，如图15-1．图15-1A B对于点A ，B ，C ，H ，D ，E ，F 有六组四点共圆，且A 、B 、C 、H 、D 、E 、F 可为这些圆的根心，有15条公共弦；有18对相似直角三角形，且AH HD BH HE CH HF ⋅=⋅=⋅． 性质5在ABC △中，H 为垂心，BC a =，CA b =，AB c =，R 为ABC △外接圆半径，则222222AH a BH b CH c +=+=+．证明如图15-1，作ABC △的外接圆O ，连AO 并延长交外接圆于M ，连BM ，CM ，则2AM R =． 易知BH MC ∥，CH BM ∥，因此，四边形BMCH 为平行四边形．于是，BH MC =，CH BM =．在Rt AMC △中，222MC b AM +=；在Rt ABM△中，222BM c AM +=，所以()222222BH b CH c R +=+=．同理，过C 作直径，可证得()2222AH a R +=，因此 ()22222222AH a BH b CH c R +=++==．注此性质的证明，或由勾股定理有()()222222222222AH BC AE HE BE CE AE EB HE CE AB CH +=++++++=+=等，即可．性质6设ABC △的外接圆半径为R ，则2cos AH R A =⋅，2cos BH R B =⋅，2cos CH R C =⋅．证明当ABC △为锐角三角形时，如图152-，显然有AHE ACB ∠=∠，从而sin sin AEACB AHE AH ∠=∠=． 在Rt ABE △中，cos AE AB BAC=⋅∠，故cos 2sin cos 2cos 2cos sin sin AB BAC R ACB BAC AH R BAC R A ACB ACB⋅∠⋅∠⋅∠===⋅∠=⋅∠∠．同理，2cos BH R B =⋅，2cos CH R C =⋅．当ABC △为钝角三角形时，不妨设A ∠为钝角．此时，只需调换图15-2中字母A 与H ，E 与F 的位置，图形不变，即得2cos AH R A ⋅=，2cos BH R B =⋅，2cos CH R C =⋅．图15-2FEDABCH当ABE △为直角三角形时，不妨设A ∠为直角，此时，垂心H 与A ，E ，F 重舍．显然2cos AH R A =⋅，2cos BH R B =⋅，2cos CH R C =⋅．性质7H 为锐角ABC △所在平面内一点，H 为ABC △的垂心的充要条件是下列条件之一成立： （1）H 关于三边的对称点均在ABC △的外接圆上；（2）ABC △，ABH △，BCH △，ACH △的外接圆是等圆； （3）H 关于三边中点的对称点均在ABC △的外接圆上； （4）HAB HCB ∠∠=，HBC HAC ∠∠=；（5）BAO HAC ∠=∠，ABO HBC ∠=∠，ACO HCB ∠=∠，其中O 为ABC △的外心． 证明（1）必要性：如图15-3，延长AD 交ABC △的外接圆于D '，连CD '，则知HCD HAB BCD '∠=∠=∠，即知H ，D '关于边BC 对称．图15-3E'F'D 'FE D ABCH同理可证其余情形． 充分性：设H 关于边BC 的对称点D '在ABC △外接圆上，则BHC BD C '∠∠=，EG 180BD C A '∠+∠=︒， 从而180BHC A ∠=︒-∠．同理，180AHC B ∠=︒-∠，180AHB C ∠=︒-∠．此时，设H '为ABC △的垂心，则由性质1知180BH C A '∠=︒-∠，180AH C B '∠=︒-∠，180AH B C '∠=︒-∠，而分别以BC ，CA ，AB 为弦，张角为180A ︒-∠， 180B ∠︒-∠，180C ︒-∠的三弧的交点是唯一的，即H '与H 重合，故H 为ABC △的垂心． 注在ABX △中，令BC a =，CA b =，AB c =，()12l a b c =++，R 、r 、S △分别为其外接圆， 内切圆半径，面积，()22222D E F l R r S S R '''-+=△△．（2）由（1）知BHC △与BDC △的外接圆关于BC 对称，即为等圆，即证．（3）如图15-4，设L ，M ，N 分别为边BC ，CA ，AB 的中点，H 关于这三点的对称点分别为1A ，1B ，1C ，如图连线，则得一系列不同的平行四边形．图15-4D 'MH NL C 1B 1A 1A BC充分性：由11AB C HCB △≌△，知11AC B HBC ∠=∠．又由A ，1B ，C ，1C 四点共圆及1B C AH ∥，得么111AC B B CA HAC ∠=∠=∠，故HAC HBC ∠∠=． 同理，HAB HCB ∠=∠，HBA HCA ∠=∠．注意到1HCB CBA ∠=∠，及180HAC HBC HAB HCB HBA HCA ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒， 可得190HBA HBC CBA ∠+∠+∠=︒，即1A B AB ⊥，从而CH AB ⊥． 同理，AH BC ⊥，BH CA ⊥．故H 为ABC △的垂心．必要性：设垂心H 关于边BC 的对称点为D '，则1A D BC '∥，即四边形1BA D C '为梯形． 由1BCD HCB CBA '∠=∠=∠，知1BA D C '为等腰梯形，从而C ，B ，1A ，D '四点共圆， 由（1）知D '在ABC △的外接圆上，即1A 在ABC △的外接圆上． 同理，1B ，1C 也在ABC △的外接圆上．注1AA ，1BB ，1CC 均力直径，事实上，由BH AC ⊥有1AC AC ⊥，知190ACA ∠=︒，即证1AA 为直径． （4）必要性显然，仅证充分性．如图15-5，设AH ，BH ，CH 的延长线分别交对边于D ，E ，F ．在ABD △和CBF △中， HAB HCB ∠∠=，ABD CBF ∠∠=，从而ADB CFB ∠=∠．图15-5FEDABCH同理，ADC BEC ∠=∠．由180ADC ADB ∠+∠=︒，则180BEC CFB ∠+∠=︒，从而180AEH AFH ∠+∠=︒，即知A ，E ，H ，F 四点共圆．连EF ，则HEF HAF ∠=∠．由HAF HCB ∠=∠，有BEF FCB ∠=∠，知B ，C ，E ，F 四点共圆，有BEC CFB ∠=∠．而180BEH CFB ∠+∠=︒，因此90BEC CFB ∠=∠︒=．可见BE ，CF 均是ABC △的两条高，故H 是ABC △的垂心．（5）必要性显然，仅证充分性．如图15-6，由()()11180********BAO AOB C C HAC ∠︒∠︒∠=︒∠∠=-=一-=，知HAC ∠与么C ∠互余，即知AH BC ⊥．同理，BH AC ⊥．故H 为ABC △的垂心． 图15-6OABCH性质8在非直角三角形中，过H 的直线分别交AB ，AC 所在直线于P ，Q ，则 tan tan tan tan tan AB ACB C A B C AP AQ=∠+⋅∠=∠+∠+∠． 事实上，如图15-7，连AH 交BC 于D ，图15-7DACE HPQ由APQ DPQ APD AQDAPD AQD APQ APQABCS S S S S S AD AH HD AP AQ AH AH S S S AB AC++++====⋅⋅⋅△△△△△△△△△ ABD ACDABC AP AQ S S AC BD AB CD AB AC AP AQ AQ BC AP BC S AB AC+==⋅+⋅⋅⋅△△△①连BH 并延长交AC 于E ，由Rt Rt AHE BCE △∽△，有1tan AH AE BC BE A ==∠，从而tan AD AD AAH BC⋅∠=． 又由tan AD B BD =∠tan AD C CD =∠，有tan BD AD BC BC B =⋅∠，tan CD AD BC BC C=⋅∠． 将其代入①式，有11tan tan tan AC AB A AQ B AP C∠=⋅+⋅∠∠． 注意到在非直角三角形中，有tan tan tan tan tan tan A B C A B C ∠⋅∠⋅∠=∠+∠+∠，即证得结论成立． 性质9（卡诺定理）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍． 事实上，如图15-8，过C 作ABC △外接圆O 的直径CD ，连AD ，DB ，则知2O BD M =．又可证AHBD 为平行四边形，AH DB =．即证．图15-8B性质10锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍．事实上，过三角形三顶点作其所在高线的垂线构成新三角形，垂心为新三角形的外心，再注意到锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．或注意到性质9亦可证．性质11锐角三角形的垂心是其垂足三角形的内心；锐角三角形的三个顶点是垂心的垂足三角形的三个旁心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短．事实上，对于结论的前部分，利用四点共圆即证得，但我们可证如下更一般性的结论：若P 是ABC △的高AD 上任一点，直线BP 交AC 于E ，直线CP 交AB 于F ，则FDP PDE ∠=∠．如图15-9，过A 作BC 的平行线MN ，与BE 的延长线交于M ，与CF 的延长线交于N ，则有图15-9FEDA B CM N PBAE PAEBCE PCES S AM AE DC EC S S ===△△△△． 从而PAE APB PCE BPCS SAM DC DC S S =⋅=⋅△△△△． 同理，APC BPC S AN BD S =⋅△△，APB APCSBD DC S =⋅△△． 由此三式，有1APB APB APC APC APC APBS DC S S AM DC AN BD S DC S S ⋅⋅=⋅==⋅⋅△△△△△△． 即AM AN =，故FDP PDE ∠=∠．若P 为垂心，即证得结论．性质11的后部分结论的证明，可先作D 关于AB 的对称点D '，作D 关于AC 的对称点D ''，连D F '，D E ''，再利用前面结论知D '，F ，E ，D ''四点共直线，即证得结论． 性质12三角形垂心H 的垂足三角形的共顶点两邻边关于共顶点的高线、边均是对称的直线，它的三边分别平行于原三角形外接圆在各顶点切的切线．性质13H 为锐角ABC △的垂心的充要条件是HA HB AB HB HC BC HC HA CA AB BC CA ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅（见托勒密定理及应用例8）．性质14设H 为非直角ABC △的垂心，且D ，E ，F 分别为H 在BC ，CA ，AB 边所在直线上的射影，1H ，2H ，3H 分别为AEF △，BDF △，CDE △的垂心，则123DEF H H H △≌△．证明仅对锐角ABC △给出证明．如图15-10，连DH ，2DH ，3DH ，EH ，1EH ，3EH ，1FH ，2FH ．依题设则有HD BC ⊥且2FH BC ⊥，从而2HD FH ∥，HF AB ⊥且2DH AB ⊥，从而2HF DH ∥．故2HDH F 为平行四边形，有HD FH ∥．图15-10H 3H 2H 1FEDABCH同理，3HDH E 为平行四边形，有3HD EH ∥．于是23FH EH ∥，即23EFH H 为平行四边形，故 23EF H H =．同理，有31FD H H =，12DE H H =．故123DEF H H H △≌△．推论1题设条件同上，则123H EF DH H △≌△，213H DF EH H △≌△，312H DE FH H △≌△． 推论2题设条件同上，则1231232H H H H FH DH E S S =△六边形．推论3题设条件同上，则1HH 与EF ，2HH 与FD ，3HH 与DE 相互平分． 性质15设O 、H 分别为ABC △的外心、垂心，则（1）O ，H 是ABC △的一对等角共轭点（与同一顶点连线夹边的角相等）；（2）令O 到BC ，CA ，AB 的距离分别为A d ，B d ，C d 时，cos A d R A =，cos B d R B =，cos c d R C =； （3）()2218cos cos cos OH R A B C =-；（4）AOH S △，BOH S △，COH S △中最大的一个等于另两个之和，其中R 为ABC △的外接圆半径．（参见例12）此性质的证明留给读者． 【典型例题与基本方法】例1如图15-11，设AD ，BE ，CF 为ABC △的三条高，D ，E ，F 分别为垂足．自A ，B ，C 分别作AK EF ⊥于K ，作BL FD ⊥于L ，作CN DE ⊥于N ．证明：直线AK ，BL ，CN 相交于一点．图15-11OF E DA BCH NK L证明设ABC △的垂心为H ，由AK EF ⊥，CF AB ⊥，知FAK EFH ∠=∠．注意到A ，F ，H ，E 四点共圆，知FAK EAH ∠=∠．设O 为ABC △的外心，注意到性质6（5），有FAO EAH ∠=∠，知AO 与AK 重合．同理，BL 与BO 重合，CN 与CO 重合，故AK ，BL ，CN 三线共点于ABC △的外心O ． 注此题的背景是AO EF ⊥，BO DF ⊥，CO DE ⊥，其中O 为外心．这可作圆的切线AT ，BK ，CL 即证．例2如图15-12，设H 为ABC △的垂心，P 是三角形所在平面内任一点．由H 向PA ，PB ，PC 引垂线HL ，HM ，HN 与BC ，CA ，AB 的延长线相交于X ，Y ，Z ．证明：X ，Y ，Z 三点共直线．图15-12QXYZPHMN LF E DA BC证明设三条高线的垂足为D ，E ，F ，则HA HD HB HE HC HF ⋅=⋅=⋅．又A ，D ，L ，X 共圆，则HL HX HA HD ⋅=⋅．同理，HM HY HB HE ⋅=⋅，HN HZ HC HF ⋅=⋅． 于是，HM HY HN HZ HL HX ⋅=⋅=⋅．连PH 并延长，在其上取点Q ，使HP HQ HA HD ⋅=⋅，则X ，Q ，L ，P 四点共圆，从而90PQX PLX ∠∠=︒=，即XQ PQ ⊥．同理，YQ PQ ⊥，ZQ PQ ⊥，即XY PQ ⊥，XZ PQ ⊥．故X ，Z ，Y 三点共线．例3如图15-13，设H 为ABC △的垂心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点．一个以H 为圆心的圆交直线DE 于P ，Q ，交直线EF 于R ，S ，交直线FD 于T ，U ．图15-13RT K US QP H M N L F E DA B C证明：CP CQ AR AS BT BU =====．（1989年加拿大训练题）证明设AL ，BM ，CN 为ABC △的三条高，AL 交中位线EF 于K ，则K 为AL 的中点，且AK 垂直平分SR ，故AS AR =．同理，BT BU =，CP CQ =． 下面证明AR BT CP ==．设H 的半径为r ，则()22222222AR AK KR AK r HK r AH AK HK r AH HL =+=+-+-=+⋅=． 同理，22BT r BH HM =+⋅，22CP r CH HN =+⋅． 而AH HL BH HM CH HN ⋅=⋅=⋅，故AR BT CP ==．例4如图15-14，设1234A A A A 为O 的内接四边形，1H ，2H ，3H ，4H 依次为234A A A △，341A A A △，412A A A △，123A A A △的垂心．求证：1H ，2H ，3H ，4H 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置．（1992年全国高中联赛题）图15-14证法1连21A H ，12A H ，12H H ，设O 的半径为R ，在234A A A △中，注意到性质6（2），有212312sin A H R A A H =∠，故213242cos A A R A A A =⋅∠．在134A A A △中，同理求得123142cos A H R A A A =⋅∠． 由324314A A A A A A ∠=∠，故2112A H A H =．又2134A H A A ⊥，1234A H A A ⊥，于是2112A H A H ∥，故1221H H A A ∥． 设11H A 与22H A 的交点为M ，则12H H 与12A A 关于点M 成中心对称．同理，23H H 与23A A ，34H H 与34A A ，41H H 与41A A 都关于M 点成中心对称．故四边形1234H H H H 与四边形1234A A A A 关于M 点成中心对称，两者是全等形，从而1H ，2H ，3H ，4H 在同一个圆上．设此圆圆心为Q ，则Q 与O 也关于M 点成中心对称．由O ，M 两点则可确定Q 点的位置．证法2由性质5，得142132||A H R cos A A A =⋅∠，412432||A H R cos A A A =⋅∠，而213243A A A A A A ∠=∠，从而1441A H A H =．又1441A H A H ∥，知四边形1414A H H A 为平行四边形，故1441A A H H ∥． 同理，1221A A H H ∥，3443A A H H ∥，2332A A H H ∥． 于是，四边形1234A A A A ≌四边形1234H H H H ．由于四边形1234A A A A 有外接圆O ，所以1H ，2H ，3H ，4H 四点共圆．显然四边形1234A A A A 与四边形1234H H H H 位似，位似中心为11A H 与44A H 之交点O '．故过四边形1234H H H H 的圆O ''的圆心O ''与O 必关于O '对称，从而O ''在OO '的延长线上且OO O O ''''=． 【解题思维策略分析】1．利用图形中三角形垂心的特性例5如图15-15，设ABC △是锐角三角形，且BC AC >，O 是它的外心，H 是它的垂心，F 是高CH 的垂足，过F 作OF 的垂线交边CA 于P ．证明：FHP BAC ∠=∠． （IMO -37预选题）图15-15N证明延长CF 交O 于D ，连BD ，BH ，由性质6（1）知F 为HD 的中点．设FP 所在直线交O 于M ，N ，交BD 于T 点，由OF MN ⊥，知F 为MN 的中点．由蝴蝶定理知F 为PT 的中点．又因F 为HD 的中点，故HP TD ∥，于是FHP BDC BAC ∠=∠=∠． 例6如图15-16，设H 为ABC △的垂心，P 为该三角形外接圆上一点，E 是高BH 的垂足，并设PAQB 与PARC 都是平行四边形，AQ 交HR 于X ．证明：EX AP ∥．图15-16（IMO -37预选题）证明连PR 交AC 于M ，则M 为AC 中点，也为PR 中点．作ABC △外接圆的直径BD ，连DA ，DC ，HA ，HC ．由DA AB ⊥，HC AB ⊥，有DA HC ∥．同理，DC HA ∥，故四边形AHCD 为平行四边形，M 为DH 中点，于是四边形HRDP 为平行四边形，故HR DP ∥．又QX BP ∥，BP DP ⊥，则HR QX ⊥，即90AXH ∠=︒．而90AEH ∠=︒，从而A ，H ，E ，X 四点共圆，即么180AXE AHE ∠+∠=︒．而AHE ACB APB PAX ∠=∠=∠=∠，故180AXE PAX ∠+∠=︒，于是EX AP ∥．例7如图15-17，设ABC 是一个三角形，一个过B ，C 两点的圆分别与边AB ，AC 相交于C '，B '．证明：BB '，CC '，HH '三线共点，其中H 与H '分别为ABC △与AB C ''△的垂心．（IMO -36预选题）图15-17C 'B'H 'EDABCH P证明由AB C ABC ''∠=∠，知AB C ABC ''△∽△．同样，H B C HBC '''△∽△．设BB '与CC '相交于P ，由BB C CC B ''∠∠=，知PBH PCH ∠=∠（等角的余角相等）．①由PB C PCB ''∠=∠，知PB C PCB ''△∽△．作平行四边形PBDC ，则DBC PCB △≌．因而，DBC PB C ''△∽△，由此可知四边形BHCD ∽四边形B H C P '''．于是，BHD B H P ''△∽△．因而，HDB H PB ''∠=∠．② 作平行四边形HPCE ，则PCH CHE ∠=∠． ③ 注意到平行四边形BHED ，则DHE HDB ∠=∠． ④ 从而BPH DCE △≌△，有CDE PBH ∠=∠． ⑤ 及BPH DCE ∠=∠． ⑥利用⑤，①与③，可知CDE CHE ∠=∠，从而知H ，C ，E ，D 四点共圆， 即有DCE DHE ∠∠=． ⑦再由⑥，⑦，④与②，知BPH H PB ''∠=∠．因此，HH '也通过P 点，故BB '，CC '，HH '三线共点． 注上述证明中，也可将PHB △平移至CED △处，再证B H P CHD ''△∽△． 2．发掘图形中三角形的垂心特性例8如图15-18，在锐角ABC △中，以三边为直径分别在三角形外作三个半圆．O 为ABC △内一点，AO ，BO ，CO 的延长线分别交所对半圆于1A ，1B ，1C ．若ACO ABO ∠=∠，BCO BAO ∠=∠，CAO CBO ∠=∠，求证：11AB AC =，11BA BC =，11CA CB =．C 11图15-18证明令1ACO ∠=∠，2ABO ∠=∠，3CAO ∠=∠，4CBO ∠=∠，5BCO ∠∠=，6BAO ∠=∠．由于12∠∠=，34∠=∠，56∠=∠，则13524690∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，即1AA BC ⊥．故O 为ABC △的垂心．设1BB 交AC 于E ，1C C 交AB 于F ，从而B ，F ，E ，C 四点共圆，有AF AB AE AC ⋅=⋅．在1Rt AC B △中，21AC AF AB =⋅；在1Rt AB C △中，21AB AE AC =⋅，从而11AC AB =． 同理，11BA BC =，11CA CB =．例9如图15-19，O 的内接四边形ABCD 的两组对边的延长线分别交于P ，Q ，两对角线相交于M ．试证：圆心O 恰为PQM △的垂心．图15-19A证明过B ，D ，Q 三点作圆与QM 的延长线交于E ，连DE ，则MED QBD MAD ∠=∠=∠，故D ，A ，E ，M 共圆．设O 的半径为r ，则22QM QE QD QA QO r ⋅=⋅=-，22QM ME BM MD r MO ⋅=⋅=-．此两式相加，并由QM QE ME =-，得2222QO QE MO ME -=-，故QM OE ⊥．连BE ，OA ，由90QEO ∠=︒，有270270OEB BEQ BDQ ∠=︒-∠=︒-∠． 又90BAO ADB ∠=︒-∠，180ADB BDQ ∠+∠︒=，有 90270360180BAO OEB ADB BDQ ADB BDQ ∠+∠=︒-∠+︒∠=︒-∠+∠=︒-（）， 所以，A ，B ，E ，O 四点共圆．同理，C ，D ，O ，E 四点共圆（事实上，19090902DEO MED MAD COD DCO ∠=︒∠=︒∠=︒∠=∠---）．而三圆BEOA ，CEOD ，O 两两相交，所得三公共弦（所在直线）OE ，AB ，CD 或共点或互相平行．但AB 与CD 相交于P ，故OE 过点P ，即O ，E ，P 三点共线．又已证QM OE ⊥，因此，OM OP ⊥．同理，PM OQ ⊥．故O 为MPQM 的垂心．注若证OM PQ ⊥，则可这样证明：设O 的半径为R ，在射线QM 上取一点E ，使B ，E ，M ，C 四点共圆，此时180180180180BEQ BEM BCM BCA BDA BDQ ∠=∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠︒-∠=，从而B ，E ，D ，Q 四点共圆，()()22QE QM BM DB R OM R OM R OM ⋅=⋅=+-=-，QM QE QC QB ⋅=⋅=切线长222OQ R =-．两式相减，22222MQ OQ OM R =+-，所以22222OQ MQ R OM -=-．同理，有22222OP MP R OM =--．故2222OQ MQ OP MP -=-，即OM PQ ⊥．例10设O 上的三点A 、B 、C ，满足90ABC ∠>︒，过点C 作AC 的垂线与AB 的延长线交于点D ，过D 作AO 的垂线与AC 交于点E ，与O 交于点F ，且F 在D 、E 之间．证明：BFE △的外接圆与CFD △的外接圆切于点F ．（2012年巴尔干奥林匹克题） 证明如图15-20，延长AO 与O 交于点G ，联结CG 、BG ．由于AG 为直径，则90ACG ∠=︒． 又DC AC ⊥，知D 、C 、G 三点共线，从而，知E 为DAG △的垂心．图15-20又90ABG ∠=︒，则B 、E 、G 三点共线．因CDF GAC GFC ∠=∠=∠，知GF 与CFD ∠的外接圆切于点F ． 又FBE FAG GFE ∠=∠=∠，则GF 与BFE △的外接圆切于点F ． 因此，BFE △的外接圆与CFD △的外接圆切于点F ．例11自O 外一点P 引O 的两条切线PA ，PB ，其切点为A ，B ．在劣弧AB 上任取一点C ，经过点C 作O 的切线，分别交PA ，PB 于点D ，E ．又AB 与OD ，OE 分别相交于G ，F ，DF 与EG 相交于H ．求证：O ，H ，C 三点共线．证明如图15-21，连OA ，OB ，OC ，有OA AP ⊥，OB BP ⊥，OC DE ⊥，图15-21P90OAP OBP COD OCE ∠=∠=∠=∠=︒，又PA PB =，DA DC =，EB EC =，则PAB PBA ∠=∠，AOD COD ∠=∠，BOE COE ∠=∠．于是()11802PAB PBA P ∠=∠=︒-∠，()11190222DOE AOC BOC AOB P ∠=∠+∠=∠=︒-∠， 故PAB DOE PBA ∠=∠=∠，即DAF DOF EBG EOG ∠∠=∠=∠=，所以O ，A ，D ，F 及O ，B ，E ，G 均四点共圆，有90DFE OAP OBP EGD ∠=∠=∠∠=︒=，故DF OE ⊥，EG OD ⊥．又DF 与EG 相交于H ，因而点H 是DOE △的垂心，有OH DE ⊥．又DE 切O 于C ，则OC DE ⊥．故OC ，OH 重合，所以O ，H ，C 三点共线． 例12设O 、H 分别为锐角ABC △的外心和垂心，则AOH S △、BOH S △、COH S △中，最大的一个等于其余两个之和．证明当直线OH 通过ABC △的某一顶点时，结论显然成立．当直线OH 与ABC △的某两边相交时，如图15-22，设直线OH 与AB 、AC 相交．图15-22B'C 'M 'O ABCHMG取ABC △的重心G ，由欧拉定理，知G 必在OH 上，且G 在O 、H 之间．连AG 并延长交BC 于M ，则M 为BC 的中点．连MO ，MH ，并设B 、M 、C 到直线OH 的距离分别为BB '、MM '、CC '，则MM '为梯形BB C C ''的中位线．即2BB CC MM '''+=，从而2BOH COH MOH S S S +△△△=．又2AG MG =，则2AOH MOH S S △△=． 故AOH BOH COH S S S =+△△△．这说明直线OH 与顶点A 有关的两边相交时，AOH S △最大．同理可证得其他情形的结论．例13设点P 是锐角ABC △所在平面上任意一点，u ，v ，w 分别为A ，B ，C 点到点P 的距离．求证：222tan tan tan 4u A v B w C S ⋅+⋅+⋅△≥，其中S △为ABC △的面积，并证明等号成立的充要条件是P 为ABC △的垂心． 证明如图15-23，取BC 所在直线为x 轴，过A 的高线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设A ，B ，C 的坐标分别为()0,a ，(),0b -，(),0c (),,0a b c >，于是图15-23tan a B b=，tan aC c =，()()2tan tan a b c A B C a bc +=-+=-．由于A ∠为锐角，知20a bc ->． 设点P 的坐标为x y （，），则 222tan tan tan u A v B w C ⋅+⋅+⋅()()()()2222222a b c a a x y a x b y x c y a bc b c +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦- ()()()()2222222a b c a b a x y a ay x y bc a bc bc ++=+--⋅+++- ()()()()()2222224a b c ax ay bc bc a bc a b c S bc a bc +⎡⎤=+-+-+=⎣⎦-△≥．故222tan tan tan 4u A v B w C S ⋅+⋅+⋅△≥． 上式等号成直的充要条件是0x =且3c y a =，即点P 为ABC △的垂心0,bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．3．注意垂足三角形性质的应用三角形的垂心在三边的射影组成的垂足三角形由性质11，12给出了有关性质，它还有一系列性质． 设p ，R ，r ，S △分别为ABC △的半周长、外接圆半径、内切圆半径及面积，1p ，1R ，1r ，S '△表示垂足DEF △的半周长及其他相应元素，则有如下性质： （I ）1rp p R=； （Ⅱ）2cos cos cos S S A B C '=⋅⋅⋅△△； （Ⅲ）21r r R ≤；（Ⅳ）112R R =．证明（Ⅰ）如图15-24，显然B ，C ，E ，F 四点共圆且该圆的直径为BC a =，ABC AEF △∽△，从而sin cos AFEF a a ACF a A AC=⋅=⋅∠=⋅． 图15-24FEDABCH同理，cos cos FD AC B b B =⋅=，cos cos ED AB C c C =⋅=⋅． 于是cos cos cos EF FD DE a A b B c C ++=⋅+⋅+⋅222222222222b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-=⋅+⋅+⋅4442222222222a b c a b b c c a abc---+++=2162S abc=△（注意4S R abc =△）()21628a b c r S S S R R R++===△△△． 故1rp p R =． （Ⅱ）由21sin cos cos 2cos 1sin 2AEF ABCAE AF AS c A b A A S bc b c A ⋅⋅∠⋅⋅⋅===⋅⋅∠△△．同理，2cos BDF ABC S B S =△△，2cos CED ABCSC S =△△． 于是222cos cos cos AEF BDF CEDABCS S S A B C S ++=++△△△△，从而()()2221cos cos cos AEF BDF CED ABCS S S S S A B C S S -++'==-++△△△△△△△ 2cos cos cos A B C =⋅⋅．（Ⅲ）由（Ⅱ）2cos cos cos S S A B C '=⋅⋅⋅△△，即112cos cos cos p r pr A B C =⋅⋅⋅，又由（Ⅰ）有1rp p R=，从而12cos cos cos cos r R A A B C =⋅⋅⋅⋅．又()2222cos cos cos 4p R r A B C R-+⋅⋅=，且222443p Rr R r ++≤（Grretsen 不等式），从而222222221444434422p R Rr r R Rr r R Rr r r r R R R---++---==≤（Ⅳ）设EF a '=，ED b '=，FD c '=，于是有1/4/4S a b c R S abc R''''=△△，cos cos cos a b c abc A B C '''=⋅⋅（见（Ⅰ）中证明），从而1cos cos cos S RA B C S R '=⋅⋅△△．又由（Ⅱ）有2cos cos cos S A B C S '=⋅⋅△△．故12R R =，即112R R =．例14已知D ，E ，F 为锐角ABC △的内切圆切点，设r ，R 分别为DEF 与ABC 的半径，DEF△的垂足三角形为KMN △．求证：224KMN ABC S S r R =△△∶∶． 证明如图15-25，令BC a =，CA b =，AB c =，()12p a b c =++，则AE AF p a ==-，BD BF p b ==-，图15-25K MNFE DABCD CE p c ==-，且()21sin 21sin 2AEF ABCAE AF Ap a S S bc b c A ⋅⋅∠-==⋅⋅∠△△，()2BDF ABC p b S S ac -=△△，()2CDE ABC p c S S ab -=△△， 从而AEF BDF CDEABCS S S S ++△△△△()()()2224a b c a b a c b c a b c abc+-++-++-=()()()22222222264a a b c b b a c c c a b abcabc--+--+--+=()()()2cos 2cos 2cos 64a bc A b ac B c ab C abcabc-⋅+-⋅+-⋅+=()31cos cos cos 12sin sin sin 22222A B C A B C =-++=-⋅⋅． 故()2sin sin sin 222ABC AEF BDF CDE DEF ABC ABC S S S S S A B CS S -++==⋅⋅△△△△△△△． 由KMN △为DEF △的垂足三角形，有 2cos cos cos KMNDEFS EDF DFE FED S =∠⋅∠⋅∠△△． 注意到DEF △为ABC △的内切圆切点三角形，设I 为ABC △内心，知180EID C ∠=︒-∠．又EI ID =，有12EDI DEI C ∠=∠=∠．同理，12FDI DFI B ∠=∠=∠，12FEI EFI A ∠=∠=∠．从而()119022EDF EDI FDI B C A ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠． 同理，1902DFE C ∠=︒-∠，1902FED B ∠=︒-∠．于是2sin sin sin 222KMN DEF A B CS S =⋅⋅△△∶． 又2sinsin sin 2222A B C rR⋅⋅=，则2KMN DEF DEF ABC S S S S r R ==△△△△∶∶∶．故224KMN ABC S S r R =△△∶∶．例15在锐角ABC △中，高AD 、BE 、CF 交于点H ，M 、N 分别在BF 、CE 上，且DM 、DN 分别平分BDF ∠、CDE ∠．求证：AM AN =． 证明如图15-26，令1BDM ∠=∠，…，6NDC ∠=∠．A图15-26F E DBCMN 654321由题设知12∠=∠，56∠=．由性质11，知34∠=∠．从而26∠=∠．又由A 、F 、D 、C 四点共圆，知BFD DCA ∠=∠． 于是DFM DCN ∠∠∽，从而DMA DNC ∠=∠．所以A 、M 、D 、N 四点共圆，注意2345∠+∠=∠+∠，故AM AN =．例16设AD 、BE 、CF 为锐角ABC △的三条高，P 、Q 分别在线段DF 和EF 上．求证： PAQ DAC ∠=∠的充分必要条件是AP 平分QPF ∠．（其中证必要性为2006年德国家队选拔赛题） 证明如图15-27，由题设知AD 、BE 、CF 共点于ABC △的垂心H ，且CF 为DFE ∠的平分线．图15-27Q 'Q 1F EDABCHP Q作Q 关于直线AB 的对称点Q '，则Q '在直线FD 上，QQ AB '⊥，AQ AQ '=．于是，Q Q FC '∥，从而由A 、F 、D 、C 四点共圆，知DAC DFC PQ Q '∠=∠=∠．必要性，当PAQ DAC ∠=∠时，则PAQ PQ Q '∠=∠，所以A 、Q '、P 、Q 四点共圆，再由AQ AQ '=，即知AP 平分QPQ '∠．即AP 平分QPF ∠．充分性，当AP 平分QPF ∠时，再作Q 关于直线AP 的对称点1Q ，则1Q 在直线PD 上，1PQ A AQP ∠=∠，且1PQ PQ PF FQ PF FQ PQ ''=<+=+=，所以1Q 在PQ '上．因此，11180180PQ A AQ Q PQ A AQP ''∠=∠=︒-∠=︒-∠，所以A 、Q '、P 、Q 四点共圆，于是PQ Q PAQ '∠=∠．故PAQ DAC ∠=∠．注此例证明中用到了性质12的前部分内容． 4．注意垂心与外心是一对等角共轭点的应用例17在ABC △中，60A ∠=︒，AB AC >，点O 是外心，两条高BE 、CF 交于点H ，点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足BM CN =．求MH NHOH+的值．（2002年全国高中联赛题） 证明如图15-28，设直线OH 交AB 于M '，交AC 于N '，联结AO 、AH ，由性质6知AO AH =． 图15-28'ABC设O 在AB 、AC 的射影分别为T 、S ．则由性质9知12OT CH =，12OS BH =．注意到AOH△为等腰三角形及性质15（1）知AM N ''△为等边三角形，从而可求得OT '=，OS '，且OM ON ''=． 于是，()()()2BH BM NC HC OS OT MH NH BH HC OH OH OH OH-+--+-=== 例18设O 、H 分别为锐角ABC △的外心和垂心，BE 、CF 分别为两条商，寻求O 为AFC △的垂心的充要条件．证明如图15-29，联结AO 、AH 、BO 、CO ．图15-29注意到O 、H 为等角共轭点，即性质15（1）及A 、F 、H 、E 四点共圆，知EFH EAH FAO ∠=∠=∠． 而90AFH ∠=︒，即知AFE ∠与FAO ∠互余，故 AO FE ⊥．于是，O 为AFE △的垂心FO AE ⇔⊥FO BE AFO ABE HCE ⇔⇔∠=∠=∠∥，BCO ECH ∠=∠ AFO BOC B ⇔∠=∠⇔、C 、O 、F 四点共圆9045BOC BFC ⇔∠=∠=︒⇔∠︒．注由性质6，知45A ∠=︒时，2AH R ==，且由正弦定理有2sin BC R A =⋅=，即45A AH BC ∠=︒⇔=．于是，此例结论可改为：O 为AFE △的垂心的充要条件是AH BC =．此时，可由垂心组的4个三角形的外接圆是等圆即可推证． 5．注意垂心组性质的应用例19已知ABC △的外接圆半径等于A ∠内的旁切圆半径，A ∠内的旁切圆与边BC 、射线AC 、AB 分别切于点M 、N 、L ．证明：ABC △的外心O 就是MNL △的垂心．（2006年伊朗国家队选拔赛题）证明如图15-30，由垂心纽概念知，我们证M 为OLN △的垂心，即证OM LN ⊥，LM ON ⊥．图15-30设A I 为么A ∠内的旁切圆圆心，联结A AI 交于点M '，则知M '为BC 的中点，因而OM BC '⊥．又A MI BC ⊥，且A OM MI '=，即知四边形A OMI M '为平行四边形，有A OM M I '∥，即A OM AI ∥． 而A AI LN ⊥，故OM LN ⊥． 延长A I B 交O 于N '，可证N '为优弧ABC 的中点，同理可证四边形A I NON '为平行四边形，得LM ON ⊥．例20在平行四边形ABCD （90A ∠<︒）的边BC 上取点T ，使得ATD △是锐角三角形，令1O ，2O ，3O 分别为ABT △、DAT △、CDT △的外心．求证：123O O O △的垂心位于直线AD 上．证明如图15-31，由题设知12O O 、32O O 分别是线AT 、DT 的中垂线（两圆心的连线垂直平分公共弦），于是，由对称性及圆心角与圆周角关系知1212180AO O TO O TBA TCD ∠=∠=︒-∠=∠，3232DO O TO O TCD ∠=∠=∠．图15-31ww 2于是，知T 、1O 、2O 、3O 四点共圆，记此圆为1w ．又由对称性知，1212OTO O AO ∠=∠（对称轴12O O ），3232DO O TO O ∠=∠（对称轴为32O O ），过A 、1O 、2O 的圆2w ，过D 、2O 、3O 的圆3w 与1w 均相等．由垂心组性质，知123O O O △的垂心是圆2w 与3w 的一个交点H ．设H '是圆2w 与直线AD 的另一个交点，则么21232AH O AO O DO O '∠=∠=∠，即知H '在圆3w 上，即知H '与H 重合．故H 在直线AD 上． 【模拟实战】习题A1．设锐角ABC △的三条高AD 、BE 、CF 相交于H ，若BC a =，CA b =，AB c =，则AH AD BH BE CH CF ⋅+⋅+⋅的值是（ ）． A ．2ab bc ca++B ．2222a b c ++C ．()23ab bc ca ++ D ．()22223a b c ++2．已知H 、O 分别为锐角ABC △的垂心和外心，OD BC ⊥，垂足为D ，则AH OD =∶________． 3．设H 是等腰ABC △的垂心，在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积ABC HBC S S ⋅△△的值是变小、变大，还是不变？4．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，I 、2I 、2I 分别是ABC △、ACD △、BCD △的内心．求证：C 为12II I △的垂心．5．设H 、O 分别为锐角ABC △的垂心和外必．证明：在BC 、CA 、AB 上分别存在点D 、E 、F ，使得OD DH OE EH OF FH +=+=+，且直线AD 、BE 、CF 共点．6．ABC △的外接圆为O ，60C ∠=︒，M 是AB 的中点，H 是ABC △的垂心．求证：OM OH ⊥． 7．在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于D ，DF AB ⊥于F ，AE CF ⊥于E 且交DF 于M ．求证：M为DF 的中点．8．在Rt ABC △中，CD 为斜边AB 上的高，D 为垂足，O ，1O ，2O 分别为ABC △，ACD △，BCD △的内心．求证：C 为12OO O △的垂心．9．试证：ABC △外接圆上任一点P 的西姆松线平分P 与ABC △的垂心H 的连线．10．设H 是锐角ABC △的垂心，由A 向以BC 为直径的圆作切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ．求证：P ，H ，Q 三点共线．（1996年第11届冬令营试题） 11．已知O 的直径为AB ，AG 是弦，C 是弧AG 的中点，CD AB ⊥于D 交AG 于E ，BC 交AG 于F ．求证：AE EF =．12．已知锐角ABC △，以sin A ∠，sin B ∠，sin C ∠为三边作一A B C '''△，以A '，B '，C '为圆心，分别以cos A ∠，cos B ∠，cos C ∠为半径画圆，则三圆心交于一点H ，且H 正好是A B C '''△的垂心． 13．在ABC △中，H 为垂心，BC a =，ABC △的外接圆半径为R ，且22a AH R =-，求sin A 之值． 14．在锐角ABC △中，求证：sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++．15．已知H 是锐角ABC △的垂心，以AH 为直径的圆交ABC △的外接圆于N ，NH 交BC 于M ．求证：M 是BC 的中点．16．已知线段AB BC CD ==，O 分别与AB ，BC ，CD 相切于点E ，F ，G ，设AC 交BD 于P ．求证：O ，P ，F 三点共线．17．已知C ，D 是以AB 为直径的半圆上任意两点，若AC 与BD 交于E ，AD 与BC 交于F ． 求证：半圆过C ，D 的切线与EF 三线共点． 18．设锐角ABC △的外接圆半径1R =，内切圆半径为r ，它的垂足A B C '''△的内切圆半径为ρ．求证：()21113r ρ-+≤． （IMO -34预选题）习题B1．已知AD ，BE ，CF 为锐角ABC △的三条高，过D 作EF 的平行线RQ ，RQ 分别交AB 和AC 于R ，Q ，P 为EF 与CB 的延长线的交点．证明：PQR △的外接圆通过BC 的中点M ．2．在非等腰锐角ABC △中，高1AA 和1CC 夹成的锐角的平分线分别与边AB 和BC 相交于点P 和Q ，角B 的平分线同连结ABC △的垂心和边AC 之中点的线段相交于点R ．证明：P ，B ，Q ，R 四点共圆．（第26届俄罗斯竞赛题） 3．在Rt ABC △中，AD 是斜边上的高，连结ABD △的内心与ACD △的内心的直线分别与边AB 及AC 交于K ，L ．求证：2ABC AKL S S △△≥．（IMO -29试题）4．在ABC △外接圆BC 上取几个点Pi （1i =，2，…，n ），作i P 关于AB 的对称点i M ，i P 关于AC 的对称点i N ，试证：n 条直线i i M N 共点．5．在锐角ABC △中，C B ∠>∠，点D 是边BC 上一点，使得ADB ∠是钝角，H 是ABD ∠的垂心，点F 在ABC ∠内部且在ABD ∠的外接圆圆周上．求证：点F 是ABC △垂心的充分必要条件是：HD 平行CF 且H 在ABC △的外接圆圆周上．（1999年中国奥林匹克题） 6．在圆内接ABC △中，H 是ABC △的垂心，分别作H 点关于边BC ，CA ，AB 的对称点1H ，2H ，3H ．若P 是圆周上任意一点，连接1PH ，2PH ，3PH 分别与边BC ．CA ，AB 或其延长线交于D ，E ，F．试证：D，E，F三点共线．。

三角形中的中线与垂心定理中线在三角形中是一个重要的概念，它连接了一个角的顶点和对边的中点。

而垂心定理是用来描述三角形的内心、垂心和重心三个特殊点之间的关系。

本文将介绍三角形中的中线和垂心定理，并探讨它们在几何学中的应用。

一、中线的定义和性质中线是连接一个角的顶点和对边的中点的线段。

即对于三角形ABC，若D、E和F分别是BC、CA和AB的中点，则线段AD、BE和CF分别是三角形ABC的中线。

中线具有以下性质：1. 中线的长度是对边长度的一半。

即AD = BD = CD = 1/2 * BC，BE = AE = CE = 1/2 * AC，CF = AF = BF = 1/2 * AB。

2. 三角形的三条中线交于一个点，这个点被称为三角形的重心。

重心将每条中线分成1:2的比例。

3. 三角形的重心到各顶点的距离与中线的长度成正比。

即AG:GD = BG:GE = CG:GF = 2:1，其中G为三角形的重心。

二、垂心定理的定义和性质垂心定理描述了三角形的内心、垂心和重心三个特殊点之间的关系。

它表明，三角形的垂心与重心之间的向量和等于三角形的重心与内心之间的向量和。

设ABC为三角形，H为三角形的垂心，G为三角形的重心，I为三角形的内心。

则有HG = GI。

垂心定理的推导涉及向量运算和线性组合的性质，这里不再详述。

重要的是了解这个定理的基本概念和应用。

三、中线和垂心定理的应用1. 利用中线长度的性质可以求解三角形的面积。

对于已知三角形的所有三条边长 a，b 和 c，可以通过海伦公式计算三角形的半周长 s，然后利用海伦公式求面积 S。

而中线的长度可以通过中线长度的性质进行计算，从而得到准确的三角形面积结果。

2. 利用垂心定理可以证明三角形的垂心与重心重合。

当且仅当三角形是等边三角形时，垂心与重心才重合。

这个结果可以通过垂心定理和重心的性质进行证明。

3. 中线和垂心定理在解决几何题中有广泛的应用。

例如，可以利用中线长度的性质计算三角形的面积，或者利用垂心定理推导其他的几何性质。

三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。

现在我们只要证明AD⊥BC即可。

因为CF⊥AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。

四边形AFHE为圆内接四边形。

所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。

点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。

三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。

如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。

求证：H为三角形DFE的内心。

证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。

同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。

由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。

同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。

点评：以上两个问题都用到了四点共圆。

因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。

三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。

证明：由得，所以。

同理OB，，则点O为垂心。

三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。

证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。

点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。

三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE于点E，CFAB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。

现在我们只要证明ADBC即可。

因为CFAB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。

四边形AFHE为圆内接四边形。

所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即ADBC。

点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。

三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。

如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。

求证：H为三角形DFE的内心。

证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。

同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。

由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以HF平分∠EFD。

同理HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。

点评：以上两个问题都用到了四点共圆。

因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。

三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。

证明：由得，所以。

同理OB，，则点O为垂心。

三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。

证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以(1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。

点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。

中考数学重点：三角形垂心性质三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形。

5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP？tanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。

12.西姆松（Simson）定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。

13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

中考数学重点：三角形的重心定义与性质三角形的重心定义：重心：重心是三角形三边中线的交点。

三角形的重心的性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）；5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

三角形的垂心与外心演变与应用三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角构成。

在三角形中，垂心和外心是两个重要的点。

垂心是三条高的交点，而外心是三条外接圆的圆心。

本文将探讨三角形的垂心和外心在几何学和实际应用中的演变与应用。

一、垂心的演变与应用1. 垂心的定义与性质垂心是指三角形三条高的交点，通常用字母"H"来表示。

垂心的存在是基于一个重要性质：三角形的三条垂线相交于同一点，该点即为垂心。

2. 垂心的演变在不同类型的三角形中，垂心的位置会有所变化。

例如，在等边三角形中，垂心即为三条高的交点，也就是三个顶点的重心；而在钝角三角形中，垂心则位于钝角所对边的延长线上。

3. 垂心的应用垂心在几何学中具有广泛的应用。

首先，垂心可以帮助我们确定三角形的性质，如三角形的类型（锐角、直角、钝角）以及是否为等边三角形。

此外，垂心还被广泛用于解决三角形的证明问题，帮助我们推导出各种三角形相关的定理。

二、外心的演变与应用1. 外心的定义与性质外心是指三角形三个顶点到外接圆的圆心的连线的交点，通常用字母"O"来表示。

外心存在的充分必要条件是：三角形的三条中垂线的交点在外心上。

2. 外心的演变与垂心类似，外心的位置也会因不同的三角形类型而有所改变。

例如，在等腰直角三角形中，外心即为直角的顶点；而在一般的三角形中，外心位于三边外接圆的圆心。

3. 外心的应用外心在几何学中也有重要的应用。

首先，外心可以帮助我们确定三角形的特性，如判断三角形是钝角、直角还是锐角。

其次，外心也被广泛应用于解决三角形的相关问题，例如求解三角形的面积、周长等。

三、垂心和外心的实际应用除了在几何学中的应用外，垂心和外心还有一些实际应用。

例如，在地理学中，我们可以利用三角形的垂心和外心来确定地球上某一点的海拔高度。

另外，在建筑工程中，垂心和外心也可以用于规划和设计建筑物的结构和平衡。

综上所述，垂心和外心是三角形中的重要点。

三角形垂心的向量表达式
（最新版）
目录
1.三角形的基本概念和性质
2.垂心的定义和性质
3.向量表达式的定义和性质
4.三角形垂心的向量表达式及其推导过程
5.三角形垂心的向量表达式在解决实际问题中的应用
正文
一、三角形的基本概念和性质
三角形是由三条线段组成的一个闭合图形，其中每个顶点与其他两个顶点相连。

三角形具有一些基本的性质，如三个内角之和等于 180 度，任意两边之和大于第三边等。

二、垂心的定义和性质
垂心是指一个三角形的三条高线（从一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段）的交点。

垂心具有一些重要的性质，如它到三角形三个顶点的距离相等，且等于它到对边的距离的两倍。

三、向量表达式的定义和性质
向量表达式是用向量表示几何图形的一种方法，它可以描述几何图形的大小和位置。

向量表达式具有一些重要的性质，如加法、数乘和点乘等。

四、三角形垂心的向量表达式及其推导过程
三角形垂心的向量表达式可以通过以下步骤推导：假设三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为 (x1, y1)，顶点 B 的坐标为 (x2, y2)，顶点 C 的坐标为 (x3, y3)，垂心为 H，那么可以求出向量 AH 和向量 BH，然后
通过向量加法求出向量 CH，最后用向量表达式表示垂心 H 的坐标。

五、三角形垂心的向量表达式在解决实际问题中的应用
三角形垂心的向量表达式在解决实际问题中具有很大的应用价值，如在计算三角形的面积、周长和角度等方面都可以用到。

三角形的垂心与内切圆的关系解析三角形是我们初中数学学习的重要内容之一，而其中与三角形的垂心和内切圆有关的知识点同样重要。

本文将通过解析三角形的垂心与内切圆之间的关系，来帮助读者更好地理解和应用这一知识。

一、三角形的垂心三角形的垂心是指三条高线的交点，它是三角形重要的几何中心之一。

垂心的特殊性质在三角形的证明和计算中经常会涉及到。

1.1 垂心的存在性对于任意一个三角形，都存在一个垂心。

我们可以通过作垂线的方式找到三条高线的交点，即垂心。

垂线的作法是：分别作出三角形的三条边的中垂线(垂直平分线)，然后求其交点即可得到垂心。

1.2 垂心与三角形的特殊关系垂心与三角形的三个顶点之间有一定的关系。

首先，垂心到三角形每条边的距离是相等的。

其次，垂心与三个顶点构成的线段可以构成一个新的三角形，该三角形与原来的三角形面积相等且相似。

这些特殊关系在解题和证明中非常有用。

二、三角形的内切圆内切圆是指与三角形的三条边都相切于一点的圆。

内切圆与三角形的各边有一定的几何关系，学习和应用内切圆的性质可以帮助我们解决一些复杂的三角形问题。

2.1 内切圆的圆心坐标对于任意一个三角形，都存在一个内切圆，并且内切圆的圆心和三角形的三个顶点构成的线段交于一点，该点被称为圆心。

内切圆的圆心坐标可以通过三角形的边长和角度来计算得到。

2.2 内切圆与三角形边的切点内切圆与三角形的三条边分别有一个切点，这些切点分别被称为切点A、切点B和切点C。

这些切点与三角形的顶点之间有一定的几何关系，如切点A与顶点A之间的线段与切点B与顶点B之间的线段的长度相等。

2.3 内切圆的半径内切圆的半径可以通过三角形的边长和角度来计算得到。

通过应用正弦定理、余弦定理和勾股定理，我们可以得到内切圆的半径与三角形的边长和角度之间的关系式。

三、垂心与内切圆的关系三角形的垂心和内切圆之间也存在一定的几何关系。

这种关系可以通过垂心到三角形各边的距离和内切圆的半径之间的关系来描述。

三角形垂心的性质总结三角形垂心的性质总结三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE于点E，CFAB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。

现在我们只要证明ADBC即可。

因为CFAB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。

四边形AFHE为圆内接四边形。

所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即ADBC。

点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。

三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。

如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E 分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。

求证：H为三角形DFE的内心。

证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。

同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。

由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC（都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC（都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD所以HF平分∠EFD。

同理HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。

点评：以上两个问题都用到了四点共圆。

因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。

三角形垂心的向量表示：在心。

中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂证明：由同理OB，得，则点O为垂心。

，所以。

三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数证明：设点O(x,y)为的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。

的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以(1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。

三角形垂心定理及其应用三角形垂心定理是平面几何中的重要定理之一，它描述了三角形的垂心和三角形三个顶点之间的关系。

在研究三角形垂心定理的过程中，我们能够发现其应用广泛，涉及到数学、工程学和物理学等领域。

首先，我们来介绍一下三角形垂心定理的内容。

三角形垂心定理是针对任意三角形而言的，其表述为：三角形的三条高线交于一点，该点即为三角形的垂心。

三角形的三条高线分别是从顶点到对边垂直下落的线段，而垂心则是三条高线的交点。

垂心的性质是：垂心到三个顶点的连线分别垂直于对边。

其次，三角形垂心定理在实际应用中有着广泛的用途。

首先，对于数学研究来说，三角形垂心定理是研究三角形性质的基础定理之一。

通过研究三角形垂心与三角形顶点之间的关系，可以推导出许多有关三角形的性质，如欧拉定理和费马点问题。

其次，三角形垂心定理在工程学中也有重要的应用。

工程学中的测量和设计常常涉及到三角形结构，而三角形垂心定理可以帮助工程师确定三角形结构的关键参数。

例如，在建筑工程中，为了保证建筑物的稳定性，需要确定距离便捷因素对位移的影响程度，而三角形垂心定理可以提供有关高线的重要信息，从而帮助工程师更好地进行结构设计。

此外，三角形垂心定理还在物理学中有着广泛的应用。

在物理学中，涉及到三个力的合力或力矩等问题时，三角形垂心定理可以用来确定合力的方向和大小。

通过将合力的方向按照三角形垂心连接线的方向分解，可以更准确地计算力的合成结果。

在电磁学的磁场计算中，三角形垂心定理也被广泛应用于三个电流线圈的磁场计算中。

总之，三角形垂心定理在数学、工程学和物理学等领域中都有着重要的应用。

它不仅是研究三角形性质的基础定理，还可以用于工程设计和物理问题的求解。

通过理解和应用三角形垂心定理，我们可以更好地理解和掌握几何学的基本概念和方法，为我们在相关领域的研究和实践提供有力的支持。

在数学研究中，三角形垂心定理不仅仅是一个简单的几何关系推理，它还指导了一些重要的数学推理和证明方法。

三角形垂心的性质及其应用
沈文选
【期刊名称】《中学数学教学参考：教师版》
【年(卷),期】2002(000)006
【总页数】4页(P47-50)
【作者】沈文选
【作者单位】湖南师大理学院
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.球内接多面体的伪垂心的有趣性质——三角形垂心的一个性质的推广
2.三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
3.三角形垂心的性质及其在解题中的应用
4.过三角形垂心与一边中点的直线的性质及应用
5.过非等腰锐角三角形顶点和垂心的圆的性质及应用(下)
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三角形的垂心与垂心三角形绝大多数人在学习初级几何时，都会接触到三角形及其相关概念。

其中的一个重要概念是“垂心”，它是一个点，通过该点可以构造出一个特殊的三角形，被称为“垂心三角形”。

本文将详细介绍三角形的垂心以及相关的垂心三角形。

一、垂心的定义及性质在了解垂心三角形之前，我们先来了解下垂心的定义及其性质。

三角形的垂心是指三条高的交点。

所谓“高”，是指从三角形的顶点向对边作垂线所得的线段。

具体来说，就是通过三角形的每个顶点作对边的垂线，再找出三条垂线的交点，这个交点就是垂心。

垂心具有以下性质:1.三角形的三条高交于一点，即垂心。

2.垂心到三角形的每条边距离相等。

3.垂心是三角形内心、外心和重心的一个顶点。

4.垂心到三角形的三个顶点的连线上的任意一点，与对应的边的垂足和顶点构成的两个线段长度之和相等。

二、垂心的构造方法通过前文的定义，我们知道垂心是三条高的交点，接下来，我将介绍垂心的构造方法。

具体步骤如下：1. 在给定的三角形ABC中，分别从顶点A、B、C向对边作垂线。

2. 在AB边上找到一个点P，在AC边上找到一个点Q，使得AP=QC。

3. 在AB和AC的延长线上分别找到点D、E，使得AD=AE。

4. 连接垂足D、E以及B、C，交点F即为垂心。

三、垂心三角形的构造了解了垂心的概念及构造方法后，接下来我们了解一下垂心三角形。

垂心三角形是通过连接垂心与三角形的三个顶点所得到的三角形。

具体构造方法如下：1. 在给定的三角形ABC中，找到垂心H。

2. 连接AH、BH、CH，得到垂心三角形DEF。

垂心三角形和原始三角形有着一些有趣的性质：1. 垂心、内心、外心和重心的连线都会分别穿过垂心三角形的顶点D、E、F。

2. 垂心三角形三个顶点的角度和原始三角形的三个顶点的角度互为补角。

3. 垂心三角形的周长是原始三角形周长的三倍。

四、垂心在实际中的应用垂心作为三角形的一个特殊点，在实际中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，垂心可以帮助确定建筑物的结构以及支撑力的分布情况。