【全国百强校】湖南省长沙市雅礼中学2015届高三5月一模数学(理)试题 Word版含答案

2015年湖南省长沙市高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分) 1.设复数z 满足，则 =（ ）A.-2+iB.-2-iC.2+iD.2-i 【答案】 C【解析】解：设z =a +bi （a 、b ∈R ），由题意知，，∴1+2i =ai -b ，则a =2，b =-1， ∴z =2-i ， =2+i ， 故选C ．先设出复数的代数形式，再由题意求出复数z ，根据共轭复数的定义求出即可． 本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位i 的幂运算性质，共轭复数的概念，难度不大，属于基础题．2.设 ， 是两个非零向量，则“ • ＜0”是“ ， 夹角为钝角”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【解析】解：若 ， 夹角为钝角，则＜ ＜ ，则cos θ＜0，则 • ＜0成立，当θ=π时， • =-| |•| |＜0成立，但“ ， 夹角为钝角”不成立， 故“• ＜0”是“ ， 夹角为钝角”的必要不充分条件， 故选：B根据向量数量积的意义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积与向量夹角之间的关系是解决本题的关键．3.某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为（ ）A.10万元B.15万元C.20万元D.25万元【答案】 C【解析】解：由频率分布直方图可知9时至10时的频率组距为0.10，11时至12时的频率组距为0.40∵0.4÷0.1=4，∴11时至12时的销售额为5×4=20故选：C由频率分布直方图可得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍，由此可得答案．本题考查用样本估计总体，属基础题．4.执行如图所示的程序框图，若输出s的值为22，那么输入的n值等于（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】解：图中循环结构循环的结果依次是：（1）s=1+0=1，i=2；（2）s=1+1=2，i=3；（3）s=2+2=4，i=4；（4）s=4+3=7，i=5；（5）s=7+4=11，i=6；（6）s=11+5=16，i=7．（7）s=16+6=22，i=8，所以若输出的值为22，那么输入的k2x2-（2k2+4）x+k2=0值等于8．故选：C．根据程序框图描述的意义，依次写出循环结果，得输入的n值．本题主要考查了程序框图的准确阅读与理解，属于基本知识的考查．5.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，-1），B（π，-1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，其面积为（sinx-cosx）dx=（-cosx-sinx）|=1-（-）=1+；又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选B．利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．6.设函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜），且其图象关于直线x=0对称，则（）A.y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为增函数B.y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数C.y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数D.y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数【答案】C【解析】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2[sin（2x+φ）+cos（2x+φ）]=2sin（2x+φ+），∴ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ+=kπ+（k∈Z），即φ=kπ（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选：C．通过两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项．本题考查了两角和与差的三角函数，三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．7.已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：设P（m，n），=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m2-c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2-m2①．把P（m，n）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2-c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2-2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．设P（m，n），由得到n2=2c2-m2①．把P（m，n）代入椭圆得到b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得到m2的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．8.已知函数f（x）=，＜，＜，设方程f（x）=2-x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次为x1，x2，x3，x4，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（）A.x1+x2=2B.1＜x1x2＜9C.0＜（6-x3）（6-x4）＜1D.9＜x3x4＜25【答案】D【解析】解：方程f（x）=2-x+b（b∈R）的根可化为函数y=f（x）-2-x与y=b图象的交点的横坐标，作函数y=f（x）-2-x的图象如下，由图象可得，9＜x3x4＜25；故选D．方程f（x）=2-x+b（b∈R）的根可化为函数y=f（x）-2-x与y=b图象的交点的横坐标，作函数y=f（x）-2-x的图象分析即可．本题考查了方程的根与函数的图象的关系，属于中档题．三、选择题(本大题共1小题，共5.0分)14.x、y满足约束条件，若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A.或-1B.2或C.2或1D.2或-1【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y-ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y-2=0，平行，此时a=-1，综上a=-1或a=2，故选：D作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)9.过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB= ______ ．【答案】4【解析】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4．由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论．本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．10.在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ=2cosθ，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是______ ．【答案】60°【解析】解：曲线C1的方程为ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x，圆心Q（1，0）．以曲线C2的参数方程为（t为参数），消去参数化为：3x-4y+7=0．设切点为A，B，要使∠APB最大，则∠APQ取最大值，而∠，∴当PQ取最小值d==2时，∠APB取最大值60°．故答案为：60°．曲线C1的方程为ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x，圆心Q（1，0）．以曲线C2的参数方程为（t为参数），消去参数可得普通方程．设切点为A，B，要使∠APB最大，则∠APQ取最大值，而∠，当PQ取最小值时即点Q到直线的距离为垂直距离时，∠APB取最大值．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、圆的切线性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为______ ．【答案】[1，3]【解析】解：∵∈（-∞，-2]∪[2，+∞）∴||∈[2，+∞），其最小值为2又∵siny的最大值为1故不等式恒成立时，有|a-2|≤1解得a∈[1，3]故答案为[1，3]由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a-2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a-2|≤1，是解答本题的关键．12.三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于______【答案】3【解析】解：由棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长为2，底边上的高为1．故棱柱的底面面积S=×2×1=1，棱柱的高h=3，故棱柱的体积V=S h=3，故答案为：3由三棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长及高，三棱柱的高为2，求出底面三角形的面积，然后直接由棱柱的体积公式求体积．本题考查了由三视图求原几何体的体积，解答的关键是由三视图还原原图形，是基础的计算题．13.二项式（-）5的展开式中常数项为______ （用数字作答）【答案】-10【解析】解：二项式（-）5的展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项为-=-10，故答案为：-10．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．四、填空题(本大题共2小题，共10.0分)15.已知数列{a n}中，a1=3，a n+1+a n=3b n（b＞0），n∈N*（1）当b=1时，S7=12；（2）存在λ∈R，数列{a n-λb n}成等比数列；（3）当b∈（1，+∞）时，数列{a2n}时递增数列；（4）当b∈（0，1）时，数列{a n}时递增数列；以上命题为真命题的是______ ．【答案】（1）（2）（3）【解析】解：（1）当b=1时，a n+1+a n=3，则a n+2+a n+1=3，即a n+1+a n=a n+2+a n+1，则a n=a n+2，则a1=a3=a5=a7=3，a2=a4=a6=0，则S7=12；故（1）正确．（2）设a n+1-λb n+1+（a n-λb n）=0，则a n+1+a n=λb n+1+λb n=（λb+λ）b n，∵a n+1+a n=3b n（b＞0），∴λb+λ=3，即λ=存在λ=，数列{a n-λb n}成等比数列，此时公比q=-1；故（2）正确；（3）∵a n+1+a n=3b n（b＞0），∴a n+2+a n+1=3b n+1（b＞0），两式相减得a n+2-a n=3b n+1-3b n，则a2n+2-a2n=3b2n+1-3b2n=3（b2n+1-b2n），当b∈（1，+∞）时，b2n+1-b2n＞0，即b2n+2-b2n＞0，即a2n+2＞a2n，则数列{a2n}时递增数列；故（3）正确．（4）当b∈（0，1）时，不妨设b=，则由a n+1+a n=3b n（b＞0），得a2+a1=3×（），则a2=-a1+3×（）=，则a2＜a1，故数列{a n}时递增数列错误；故（4）错误．故正确的命题是（1）（2）（3），故答案为：（1）（2）（3）．（1）当b=1时，得到a n=a n+2，即可得到S7=12；（2）利益构造法构造数列{a n-λb n}成等比数列，即可得到结论．；（3）当b∈（1，+∞）时，利益作差法即可数列{a2n}时递增数列；（4）当b∈（0，1）时，取特殊值，即可判断数列{a n}时递增数列是错误的；本题主要考查递推数列的判断，根据数列的递推关系进行合理的推导是解决本题的关键．考查学生的推导能力．16.若函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x o（a＜x o＜b），满足f（x o）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．（1）若函数，f（x）=x2-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是______ ．（2）若f（x）=㏑x是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点，则㏑x o与的大小关系是______ ．【答案】（0，2）；【解析】解：∵函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根．即x2-mx-1=-m在（-1，1）内有实数根．即x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．又1∉（-1，1）∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）（2）解：由题知lnx0=．猜想：，证明如下：，令t=＞1，原式等价于lnt2＜，2lnt-t+＜0，令h（t）=2lnt-t+（t＞1），则h′（t）=-1-=-＜0，∴h（t）=2lnt-t+＜h（1）=0，得证（1）函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．（2）猜想判断，换元转化为h（t）=2lnt-t，利用导数证明，求解出最值，得出2lnt-t+＜h（1）=0，即可得到结论．本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．五、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．【答案】解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：=．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且～，，，，，，∴ξ的分布列为：∵～，，∴．【解析】（I）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为，由事件A，B，C，D相互独立能求出结果．（II）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，～，，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．18.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D-AC-M的余弦值．【答案】（选修2一1第109页例4改编）（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME，∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∴ME∥SB．…（2分）又ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM．…（4分）（Ⅱ）证法一：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，且AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．∴AM⊥平面SDC．SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM．…（6分）由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（8分）（Ⅱ）证法二：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，由SA=AB，可设AB=AD=AS=1，则，，，，，，，，，，，，，，，，，．∵，，，，，，∴，∴，即有SC⊥AM…（6分）又SC⊥AN且AN∩AM=A．∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（8分）（Ⅲ）解法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ．∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影．∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC．∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角．…（10分）设SA=AB=a，在R t△MFQ中，，，∴∠．∴二面角D-AC-M的余弦值为．…（12分）（Ⅲ）解法二：∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，，，．设平面ACM的法向量为，，，，，，，，，则即，∴令x=-1，则，，．…（10分）＜，＞，由作图可知二面角D-AC-M为锐二面角∴二面角D-AC-M的余弦值为．…（12分）（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，由△DSB的中位线定理，得ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．（Ⅱ）法一：由DC⊥SA，DC⊥DA，得DC⊥平面SAD，从而AM⊥DC，由等腰三角形性质得AM⊥SD，从而AM⊥平面SDC，进而SC⊥AM，由SC⊥AN，能证明平面SAC⊥平面AMN．法二：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能证明平面SAC⊥平面AMN．（Ⅲ）法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ，由已知得∠FQM 为二面角D-AC-M的平面角，由此能求出二面角D-AC-M的余弦值．法二：分别求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角D-AC-M的余弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质的应用，考查向量法的合理运用，考查空间思维能力的培养，是中档题．19.某地一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f （t）=24-4sinωt-4，，，且早上8时的温度为24°C，，．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28°C时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？【答案】（本小题满分12分）解：（1）依题意…（2分）因为早上8时的温度为24°C，即f（8）=24，⇒⇒…（3分）∵，，故取k=1，，所求函数解析式为，，．…（5分）由，，，可知⇒，即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32°C．…（7分）（2）依题意：令，可得…（9分）∵，，∴或，即t=10或t=18，…（11分）故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…（12分）（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用已知条件求出参数值，即可得到解析式．（2）利用函数的解析式直接求出时间t，即可得到所求结果．本题考查三角函数的化简求值，解析式的求法，考查计算能力．20.已知无穷数列{a n}的各项均为正整数，S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，且对任意正整数n都有成立，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，a n}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，a n 一起恰好是1至S n全体正整数组成的集合．（ⅰ）求a1，a2的值；（ⅱ）求数列{a n}的通项公式．【答案】解：（1）设无穷等差数列{a n}的公差为d，则：S n=na1+d=n[]，所以：又，则：=，所以：则a n=1或a n=2n-1，（2）（i）记A n={1，2，…S n}，显然a1=S1=1，对于S2=a1+a2=1+a2，有A2={1，2，…S2}={1，a2，1+a2，|1-a2|}={1，2，3，4}，故1+a2=4，所以a2=3，（ii）由题意可知，集合{a1，a2，…a n}按上述规则，共产生S n个正整数．而集合{a1，a2，…a n，a n+1}按上述规则产生的S n+1个正整数中，除1，2，…S n这S n个正整数外，还有a n+1，a n+1+i，|a n+1-i|（i=1，2，…S n），共2S n+1个数．所以，S n+1=S n+（2S n+1）=3S n+1，又S n+1+=3（S n+），所以S n=（S1+）•3n-1-=•3n-，当n≥2时，a n=S n-S n-1==3n-1而a1=1也满足a n=3n-1．所以，数列{a n}的通项公式是a n=3n-1．（1）设公差为d，则有S n=na1+d=n[]，由已知可得=，即可解得数列{a n}的通项公式；（2）（i）记A n={1，2，…S n}，显然a1=S1=1，对于S2=a1+a2=1+a2，有A2={1，2，…S2}={1，a2，1+a2，|1-a2|}={1，2，3，4}，即可解得a2的值．（ii）由题意可知，S n+1=S n+（2S n+1）=3S n+1，又S n+1+=3（S n+），可得S n=（S1+）•3n-1-=•3n-，即可求得a n=S n-S n-1=3n-1．本题主要考查了等差数列通项公式的求法，考查了数列与函数的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为＞，＞，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1-4k2）x2-8mkx-4（m2+1）=0，有＞＞＞＜，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（-2，0），∴k AD k BD=-1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴3m2-16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（-2，0），过双曲线的左顶点，与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（-，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（-，0）．【解析】（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1-4k2）x2-8mkx-4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（-2，0），∴k AD k BD=-1，即，代入即可求解．本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.已知f（x）=+nlnx（m，n为常数）在x=1处的切线方程为x+y-2=0．（1）求y=f（x）的单调区间；（2）若任意实数x∈[，1]，使得对任意的t∈[，2]上恒有f（x）≥t3-t2-2at+2成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对任意正整数n，有4（++…+）+（ln1+ln2+…+lnn）≥2n．【答案】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=-+，∴f′（1）=-+n=-1，把x=1代入x+y-2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=-，∴f（x）=-lnx，f′（x）=--，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[，1]上单调递减，∴f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，∴只需t3-t2-2at+2≤1，即2a≥对任意的t∈[，2]上恒成立，令g（t）=，则g′（t）=2t-1-==，令g′（t）=0可得t=1，而2t2+t+1＞0恒成立，∴当t＜1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，当1＜t≤2时，g′（t）＞0，g（t）单调递增．∴g（t）的最小值为g（1）=1，而g（）=+2=，g（2）=4-2+=，显然g（）＜g（2），∴g（t）在[，2]上的最大值为g（2）=，∴只需2a≥，即a≥，∴实数a的取值范围是[，+∞）．（3）由（1）可知f（x）在区间（0，1]上单调递减，∴对于任意的正整数n，都有f（）≥f（1）=1，即-ln≥1，整理可得+lnn≥2，则有：+ln1≥2，+ln2≥2，+ln3≥2，…，+lnn≥2．把以上各式两边相加可得：4（++…+）+（ln1+ln2+…+lnn）≥2n．【解析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，只需t3-t2-2at+2≤1，即2a≥对任意的t∈[，2]上恒成立，令g（t）=，利用导数求出g（t）的最大值，列出不等式，即可求得结论；（3）由（1）可知f（x）在区间（0，1]上单调递减，故有f（）≥f（1）=1，即-ln≥1，整理可得+lnn≥2，利用累加法即可得出结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查学生对恒成立问题的等价转化思想及构造函数法证明不等式的能力，考查学生的运算求解能力，属于难题．。

雅礼中学理科综合能力测试试题（5月1模）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时量150分钟，满分300分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡及本试卷上。

2.回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮檫擦干净后，再选涂其他的答案标号。

写在本试题卷及草稿纸上无效。

3. 第Ⅱ卷33－40题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。

在本试卷上答题无效。

4.考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：Na-23， N-14，O-16，C-12 H-1第Ⅰ卷(选择题，共21小题，每小题6分，共126分)一、选择题(本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.细胞或细胞的部分结构、成分有”骨架或支架”之说，下列有关叙述正确的是( )A.真核细胞中有维持细胞形态的细胞骨架，细胞骨架与物质运输无关B.磷脂双分子层构成了细胞膜的基本支架，其他生物膜无此基本支架C.DNA分子中的脱氧核糖和磷酸交替连接，排列在处侧构成基本骨架D.生物大分子以单体为骨架，每一个单体都以碳原子构成的碳链为基本骨架答案：C解析：原创题，抓住“骨架”一关键词，把细胞内微梁（管）系统、生物膜的基本结构、DNA双螺旋结构及生物大分子等知识紧密联系在一起构成一道综合题，意在考查书上小字及难理解的黑体字，避免在此处出现盲区。

“真核细胞中有维持细胞形态、保持细胞内部结构有序性的细胞骨架，细胞骨架与细胞运动、分裂、分化以及物质运输、能量转换、信息传递等生命活动密切相关”。

这句话来自书上47页的小体字，高考出题“出其不意”，告诉学生要重视书上的小体字；生物大分子不是以单体为骨架（单体是基本单位），而是“以碳链为骨架”，引号内的话是书上的标题；“每一个单体都以碳原子构成的碳链为基本骨架”，这句话是标题下的黑体字，理解为：单体都以碳原子构成的碳链为基本骨架，生物大分子由单体构成，因此生物大分子以碳链为骨架。

湖南省长沙一中2015届高三月考试卷（一） 数学（理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）C A 、3 B 、4 C 、5 D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。

设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系，则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。

4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）B A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、8 6、若()112xf x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞， ()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8πB ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增； 而()00f =，所以()00f x x >⇔>。

2015-2016学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （5分）若a, b € R, i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A . a=1, b=1B . a= - 1, b=1 C. a= - 1, b= - 1 D . a=1, b= - 12. （5分）在等差数列｛a n｝中，已知电=5, S n是数列｛aj的前n项和，贝V S“=（）A. 45 B . 50 C. 55 D . 603. （5分）下列命题中，正确的是（）2 2A .命题？ x€ R, x - x W 0”的否定是R, x - x> 0”B .命题p A q为真”是命题p V q为真”的必要不充分条件2 2C. 若am W bm ,则a< b”的否命题为真D. 若实数x, y€ ［- 1,1］，则满足x2+y2> 1的概率为一42 24. （5分）已知圆C : x2+y2- 4x=0 , l为过点P （3, 0）的直线，则（）A .1与C相交B .1与C相切C. l与C相离D .以上三个选项均有可能5. （5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1, 2,…，840 随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481, 720］的人数为（）A. 11B. 12C. 13D. 146. （5分）已知数列｛a n｝中，a1=1, a n+1=a n+ n,禾U用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（）A . n> 10B . n W 10C . n v 9D . n W 97. （5分）已知m, n为异面直线，m丄平面a, n丄平面3 .直线l满足I丄m, I丄n, l?a, l?B,贝9（）A . all 3且l 〃aB . a丄3且丨丄3C. a与3相交，且交线垂直于I D . a与3相交，且交线平行于I& （5分）已知向量a与匸的夹角为9,定义a b为白与2的向量积”，且aXg是一个向量，它的长度：--■'1-1 '■■ ■■ ■',若..，•. - .- ，则I L；」二二：I =（）A .'女7B .C . 6D .9. （5分）将1, 2,…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（）A 1^1^ — 1A .B .C .D .56 70 336 42010. ( 5分)如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为(21ir2A . 16+2 nB . 8+2 nC . 16+ nD . 8+ n12. ( 5分)设函数f (x ) , g (x )满足下列条件： (1) 对任意实数 X 1 , X 2 都有 f (X 1)?f (X 2)+g (Xj ?g (X 2)=g (X 1 -X 2)； (2) f (- 1 ) = - 1, f (0) =0, f ( 1) =1 .下列四个命题： ① g (0) =1； ② g (2) =1；2 2③ f (x ) +g ( x ) =1 ；④ 当 n >2, n € N *时，[f (x ) ]n +[g (x ) ]n 的最大值为 1. 其中所有正确命题的序号是()A .①③B .②④C .②③④D .①③④ 二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13. ______ ( 5 分)已知集合 A=｛x € R|| x+2| v 3｝，集合 B=｛x € R| (x - m ) (x - 2)v 0｝，且 A AB= (- 1, n ), 贝U m= __, n= ___ .14. ________________________________________________ ( 5分)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0, +R )单调递增，若实数 a 满足 ■'':-：••.「：，则a 的取值范围是 .7215. ___________ ( 5分)F 是抛物线x =2y 的焦点，A 、B 是抛物线上的两点，|AF|+| BF| =6，则线段AB 的中点到x 轴的距离为 ______ .16. ( 5分)数列｛ a n ｝满足 a 1=g , a n+1=a n2- a n +1 (n € N ),贝V m=^-+ ^ +…—-—的整数部分是 _______ .2 a l a2 ^014 三、解答题： 本大题共 5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. ( 12分)已知函数.-r ; ■- :：■/ ：■；! _ 一一二：(1) 求该函数的最小正周期和取最小值时 x 的集合；(2) 若x € [0, n ，求该函数的单调递增区间.18. ( 12分)已知平行四边形 ABCD 中，AB=6 , AD=10 , BD=8 , E 是线段AD 的中点.沿直线 BD 将厶 BCD 翻折成△ BC'D ，使得平面 BCD 丄平面 ABD .(I)求证： C D 丄平面ABD ；(n)求直线 BD 与平面BEC 所成角的正弦值.11 . (5分)实数x ,y 满足若y 》k (x+2)恒成立，则实数 k 的最大值是(-^1 -------------- "19. (12分)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分 标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得 0分•某考生每道题都选并能确定其中有 6道题能选对,其余4道题无法确定正确选项，但这 4道题中有2道题能排除两个错误选项，另 2道只能排除一个错误选 项，于是该生做这 4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响.(I)求该考生本次测验选择题得 50分的概率；(H)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.2 220. (12分)已知椭圆C1：=1 (a >b > 0)的左右焦点分别为a 2b 2的顶点为B ,且经过F1, F2，椭圆C1的上顶点A 满足2 ［二： (I )求椭圆C1的方程;(II )设点M 满足2「j 一二］、' ；:.1 ：',点N 为抛物线C2上一动点，抛物线 C2在N 处的切线与椭圆交于=f (x ),当 (0, 2)9^, f (K )=lnx+ax(a<-y ),当 x€ ( - 4, - 2)时，f (x )的最大值为-4. (1) 求x €( 0, 2)时函数f (x )的解析式； (2)是否存在实数b 使得不等式 对于x €( 0, 1)U( 1 , 2)时恒成立，若存在，求出实f(x)+x数b 的取值集合，若不存在，说明理由.请考生在第(22)、(23) (24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .［选修4-1几何证明选讲］c F1, F2,抛22. ( 10分)如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与厶ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G,与AB、AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EF// BC ;(2)若AG等于O O的半径，且f"..二，求四边形EBCF的面积.23.在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为1x轴的正半轴为极［选修4-4:坐标系与参数方程］为参数)，以原点为极点,y=----- 1y2 T轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.■ II -(1)写出圆C的直角坐标方程；(2)P为直线I上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.［选修4-5:不等式选讲］24.已知关于x的不等式| ax- 2|+| ax- a| >2 ( a>0)(1)当a=1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.2015-2016学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科）（六）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （5分）（2011?湖南）若a, b€ R, i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A . a=1, b=1B . a= - 1, b=1 C. a= - 1, b= - 1 D . a=1, b= - 1【分析】利用复数的乘法运算将等式化简；利用复数相等实部、虚部分别相等；列出方程求出a, b的值. 【解答】解：（a+i）i=b+i即-1+ai=b+i••• a=1, b= - 1故选D【点评】本题考查两个复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等.2. （5分）（2012?开封一模）在等差数列｛a n｝中，已知a6=5, S n是数列｛a n｝的前n项和，贝V Sn=（）A. 45 B . 50 C. 55 D . 60 UX （ai + a H）【分析】由等差数列的定义和性质可得S11= =11a6，把已知条件代入运算求得结果.21LX （ai + ai,）【解答】解：•••等差数列｛a n｝中，已知a6=5 , S n是数列｛a n｝的前n项和，则Sn= =11a6=55,2故选C.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，前n项和公式的应用，属于基础题.3. （5分）（2012?荷泽模拟）下列命题中，正确的是（）2 2A .命题？ x€ R, x - x W 0”的否定是？x€ R, x - x> 0”B .命题p A q为真”是命题p V q为真”的必要不充分条件C. 若am2< bm2，则a< b”的否命题为真2 2D. 若实数x, y€ [ - 1, 1]，则满足x +y > 1的概率为——【分析】选择题可以逐一判断，x2- x< 0”的否定应该是x2- x > 0”对于B项，p A q为真”是pVq为真”的充分不必要条件，2 2 2 2对于C选项，若am < bm 的否定是am > bm ,而a< b的否定是a> b”，对于D项，由几何概型，x2+y2< 1的概率为——，应由对立事件的概率的知识来求x2+y2> 1的概率，4【解答】解：由全称命题的否定是特称命题可知？x € R, x2- x W 0”的否定应该是？x € R, x2- x >0”，因此选项A不正确.对于B项，p A q为真可知p、q均为真，则有pVq为真，反之不成立，故p A q为真”是pVq为真”的充分不必要条件，因此B错误.对于选项C,若am2w bm2，则a w b"的否命题是若am2> bm2,则a> b”显然其为真命题.对于D项，由几何概型可知，区域D为边长为1的正方形，区域d为1为半径，原点为圆心的圆外部分，22 K -12兀4-兀则满足x +y > 1的概率为p=l ---------------- =1---------- = ，故D错误.2X2 4 4故选：C【点评】本题考查复合命题的真假判断问题，充要条件，命题的否定，全称命题以及特称命题的概念，本题还涉及到了命题与概率的综合内容.2 24. （5分）（2012?陕西）已知圆C : x +y - 4x=0, I为过点P （3, 0）的直线，则（）A . I与C相交B . I与C相切C. I与C相离 D •以上三个选项均有可能【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C 间的长，记作d,判断得到d小于r,可得出P在圆C内，再由直线I过P点，可得出直线I与圆C相交.【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x - 2）2+y2=4 ,•••圆心 C （2, 0）,半径r=2 ,又P （3, 0）与圆心的距离d=叮七：=1 v 2=r,•••点P在圆C内，又直线I过P点，则直线I与圆C相交.故选A.【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定：当d v r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d> r时，直线与圆相离（d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）.5. （5分）（2013?陕西）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1, 2,…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481 , 720］的人数为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人.从而得出从编号481〜720 共240人中抽取的人数即可.【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人.所以从编号1〜480的人中，恰好抽取-i—=24人，接着从编号481〜720共240人中抽取丄—=12人.20 20故：B .【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题.6. （5分）（2016?河南模拟）已知数列｛a n｝中，a〔=1, a n+1=a n+n,禾U用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（）A . n> 10 B. n< 10 C . n v 9 D . n< 9【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1,故判断框内数字应减1，从而进行判断框即可.【解答】解：通过分析，本程序框图为 当型 循环结构判断框内为满足循环的条件 第 1 次循环，m=1+1=2n=1+1=2第 2 次循环，m=2+2=4n=2 + 1=3当执行第10项时，n=11 n 的值为执行之后加1的值， 所以，判断条件应为进入之前的值 故答案为：n < 9或n v 10, 故选D .【点评】 本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题.7. （5分）（2013?新课标H ）已知 m , n 为异面直线，m 丄平面a, n 丄平面3-直线丨满足丨丄m , I 丄n , l? a, l?3,则（ ）A . all 3 且 I 〃 aB . a 丄 3且 I 丄 3C . a 与3相交，且交线垂直于ID • a 与3相交，且交线平行于I【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论. 【解答】解：由m 丄平面a,直线I 满足I 丄m ,且I? a,所以I // a, 又n 丄平面3, I 丄n , I?3 ,所以I / 3-由直线m , n 为异面直线,且 m 丄平面a , n 丄平面3,贝U a 与3相交，否则，若 a// 3则推出m // n , 与m , n 异面矛盾.故a 与3相交，且交线平行于I . 故选D .【点评】 本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面 垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题.&（ 5分）（2016春？长沙校级月考）已知向量疋与 的夹角为定义二°二为才与 的向量积”且二T 二是 一个向量，它的长度 m ,若7._-； ；J则I 」；吕 ：丨=（ ） A .'打汨.C . 6D .【分析】根据条件容易求出，匚|. |匚-:的值，进而求出「.“：：□.::-,从而得到..：—•】的值，带入向量积长度的计算公式便可求出 | 一 二：|的值.【解答】解：根据条件，=2,.：, .- |-:u ，U 2X2 2n=1+1=2n=2+1=3J ■■ - - - - I ■ _-=二-.■■ 故选D.【点评】考查对向量积的理解，能根据向量积长度的计算公式求向量积的长度，向量数量积的坐标运算, 以及向量夹角的余弦公式.9. (5分)(2005?江西)将1, 2,…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率 为( ) A .B .C .D .56 70 336 420【分析】先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数， 然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有 5组，然后利用概率的性质求得答案.【解答】解：9个数分成三组，共有丄具工组，其中每组的三个数均成等差数列，有 ｛ (1, 2, 3), (4,5, 6), ( 7, 8, 9) ｝、｛ (1, 2, 3), (4, 6, 8), (5, 7, 9) ｝、｛ (1, 3, 5), (2, 4, 6), (7, 8, 9) ｝、 ｛ (1, 4 , 7), (2 , 5 , 8), (3 , 6 , 9) ｝、｛ ( 1 , 5 , 9),(2 , 3 , 4), (6 ,乙 8) ｝,共 5 组.•••所求概率为8X7X5-56故选A【点评】本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质•对于数量比较小的问题中，可以用枚举的方法解 决问题直接.10. ( 5分)(2014?郑州模拟)如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A . 16+2 nB . 8+2 nC . 16+ nD . 8+ n【分析】由三视图知几何体为一长方体上放着两个半圆柱，根据三视图的数据分别求出长方体的体积和圆 柱的体积，再相加.【解答】解：由三视图知几何体为一长方体上放着两个半圆柱，且长方体的长、宽、高分别为 4、2、1 , 半圆柱的半径为1 ,高为2 ,2•••几何体的体积 V=V 长方体+V 圆柱=4X 2X 1+nX 1 X 2=8+2 n 故选B . 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的 几何量.大值是( A . - 1 B .11. ( 5分)(2016春？长沙校级月考)实数y 满足若“ k (x+2)恒成立，贝U 实数k 的最I 叮见3【分析】由约束条件作出可行域根据直线y=k (x+2)过定点B (- 2, 0),然后分k v 0和k> 0分类分析得答案.【解答】解：由线性约束条件作出可行域如图，直线y=k (x+2)过定点B (- 2, 0),当k v 0时，y > k ( x+2)表示的是直线y=k ( x+2)右上方的区域，当-1 < k v0时，可行域内的点恒满足y》k (x+2);当k>0时，y > k (x+2)表示的是直线y=k (x+2)左上方的区域，9 —n 9要使y > k (x+2)恒成立，则0w k < k AB，此时1-(-2)3综上可得：m二3「实数k的最大值为.【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题.12. ( 5分)(2014秋？朝阳区期中)设函数f (x)，g (x)满足下列条件：(1)对任意实数X i，X2 都有 f (X i) ?f (X2)+g (X i) ?g (X2)=g (X i - X2)；(2) f (- 1 ) = - 1, f (0) =0，f ( 1) =1 .下列四个命题：①g (0) =1；②g (2) =1；2 2③ f (x) +g ( x) =1 ；* n n④当n>2，n€ N时，[f (x) ] +[g (x)]的最大值为1.其中所有正确命题的序号是( )A .①③B .②④ C.②③④ D .①③④【分析】既然对任意实数X1，X2都有f (X1) ?f (X2) +g (X1) ?g (X2) =g (X1 - X2)，那么分别令X1，X2取1，0，- 1求出g ( 0 )，g ( 1 )，g (- 1 )，g ( 2 )，然后令X仁X2=X可得③，再根据不等式即可得④【解答】解；对于① 结论是正确的.•••对任意实数X1，X2 都有 f ( X1)?f (X2)+g (X1)?g ( X2) =g (X1 - X2)且 f (- 1) =- 1，f ( 0) =0，f ( 1 ) =1，2 2 2 2令X1=X2=1，得[f ( 1) ] +[g ( 1) ] =g ( 0 )，A 1+[g ( 1 ) ] =g ( 0 )，••• g ( 0)- 1=[g ( 1)]令X1 = 1，X2=0，得f ( 1) f ( 0) +g (1) g ( 0) =g ( 1)，• g (1) g ( 0) =g (1)，g (1) [g (0)- 1]=0 对于②结论是不正确的，令X仁0, x2= - 1,得f (0) f (- 1) +g (0) g (- 1) =g (1), ••• g (- 1) =0 令X1=1 , X2=- 1，得f (1) f (- 1) +g (1) g (- 1) =g (2 ),•••-仁g ( 2), • g (2)M 1g(l) [g(0)- 冷⑴二2 2对于③ 结论是正确的，令X1=X2=1 ,得f (X) +g (x) =g ( 0) =1 ,对于④ 结论是正确的，由③ 可知f2(X)w 1, •- K f (X)w 1,- K g (X)w 1 •- | f n(X) | w f2(X), | g n(X) | w g2(X)对n>2, n € N 时恒成立，[f (X) ] n+[ g (X) ] n w f2(X) +g2(x) =1综上，①③④是正确的.故选：D【点评】本题考查赋值法求抽象函数的性质属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13. (5 分)(2012?天津)已知集合A={x € R|| x+2| V 3}，集合B={x € R| (x - m) (x - 2)v 0}，且A AB= (-1, n),贝U m= - 1 , n= 1 .【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及 A AB= (- 1, n)直接作出判断，即可得出两个参数的值. 【解答】解：A={x€ R|| x+2| V3} ={x € R| - 5 V x V 1},又集合B={x € R| ( x - m) (x - 2)V 0} , A AB= (- 1, n).如图由图知m= - 1, n=1 ,故答案为-1, 1.【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是理解交的运算及一元二次不等式的解集的形式，本题一定的探究性，考查分析判断推理的能力14. ( 5分)(2014?赫山区校级二模)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0, +R)单调递增，若实数a 满足「1 - -I 一:…，则a的取值范围是_［丄,2］.【分析】根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论.【解答】解：•••函数f (x)是定义在R上的偶函数，-r '：,7等价为 f (log2a) +f (- log2a) =2f (Iog2a)w 2f (1), 即 f (log2a)w f (1).•••函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0, +R)单调递增，•- f (log2a)w f (1)等价为 f (|log2a| )w f (1).即| log2a| w 1,••- 1 w log2a w 1,解得丄w a w 2,故答案为：［丄，2］2【点评】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用.215. (5分)(2016春？长沙校级月考)F 是抛物线x =2y 的焦点，A 、B 是抛物线上的两点，|AF|+| BF|=6, 则线段AB 的中点到x 轴的距离为2.5 .【分析】根据抛物线的方程求出准线方程帀用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距 离，列出方程求出 A , B 的中点纵坐标，求出线段 AB 的中点到x 轴的距离.2【解答】解：抛物线x =2y 的焦点F (0, 0.5),准线方程y= - 0.5, 设 A (x i , y i ), B (X 2, y 2) | AF |+| BF| =y i +0.5+y 2+0.5=6 解得 y i +y 2=5,•••线段AB 的中点纵坐标为2.5 •••线段AB 的中点到x 轴的距离为2.5. 故答案为：2.5.【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线 的距离.16. （5 分）（2014 秋？南阳期中）数列｛ a n ｝满足 a i = , a n +i =a n 2- a n +1 5 € N ）,则 m=^「+ +••+ 的2a l a2 ^014整数部分是 1 .m= ++••+ ==2 --------- ：------ ，由此能求出a l a2 °2014 a l _ 1°2015 — 1的整数部分.【解答】解：由题设知，a n +i -仁a n (a n - 1),1 _ 1 _ 1 1 a n+l " 1 片（％—D a n _1 a n通过累口，得 m=^—+ +••+ ==2 ---------- La l a2 °2014 a l _ 1 ^OIS2由 a n +1 - a n = （ a n - 1） A 0 , 即 a n +1 A a n ,. 3737由 a1= , a2=, a3=,•- a 20i5> a 20i4> a 20i3> …A a 3>2,二 a 2005 - 1 > 1 , • 1< m < 2,所以m 的整数部分为1. 故答案为：1.【点评】 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式, 属于中档题.【分析】由题设知，通过累加，得 • 0v] °2015三、解答题：本大题共 5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17-（ 12分）（2016春？长沙校级月考）已知函数 | r ：『亠■: - - _•：：| |（1） 求该函数的最小正周期和取最小值时 x 的集合； （2）若x € [0,冗]，求该函数的单调递增区间.【分析】（1）运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知函数，再由正弦函数图象的性质进行解答；（2）由正弦函数的单调增区间 [2k n -—, 2k 廿——]，列出关于x 的不等式，求出不等式的解集，令解集 2 2 x 的范围，与x € [0, n 取交集，即可得到该函数的单调递增区间.所以T= n,函数取最小值时 x 的集合为｛x| x=k n-35兀胡6则当x € [0, n 时，函数的递增区间是 x € [0,丄一]或x € [丄上,%]••••（ 12分）3 6【点评】 本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的值域、 单调性，属于基础题.18. （12分）（2014?烟台一模）已知平行四边形 ABCD 中，AB=6 , AD=10 , BD=8 , E 是线段AD 的中点.沿 直线BD 将厶BCD 翻折成△ BCD ，使得平面 BC'D 丄平面 ABD .（I ）求证：C 'D 丄平面ABD ;（H ）求直线 BD 与平面BEC 所成角的正弦值.中k=0和1，得到 【解答】解：（1） 44 =(sin x - cos x ) 2 2=(sin x - cos x )=甘 j ：si n2x - cos2x=2(y=si n 4x+2V3s i nKCOSX -匚口s 4x +{二？ ( 2sinxcosx )(sin x+cos x ) +甘=sin2x1sin2x - cos2x )2 2=2sin (2x -6),(2) 令 2k n-—W 2x - __< 2k n + , k € Z , 2 6 2则 k n- --- W x W k , k € Z , ••- (8 分)63兀 令 k=0 , 1，得到 x € [-]或 x € [ 3 6与x € [0, n 取交集，得到x € [0, 一]或x € [3【分析】（I）根据题意可得翻折成△ BC'D以后线段的长度不发生变化，所以可得CD=6 , BC =BC=10 ,2 2 2BD=8，即BC 2=C D +BD，故C D丄BD .,再结合面面垂直的性质定理可得线面垂直.(II )根据题意建立空间直角坐标系，求出直线所在的向量与平面的法向量，再利用向量的有关知识求出 两个向量的夹角，进而可求直线BD 与平面BEC 所成角的正弦值.【解答】(I)证明：平行四边形 ABCD 中，AB=6 , AD=10 , BD=8 , 沿直线BD 将厶BCD 翻折成△ BC D ，可知CD=6 , BC'=BC=10, BD=8 ,2 2 2即 BC 2=C D +BD , 故C D 丄BD .•••平面 BC'D 丄平面 ABD ，平面 BC 'D Q 平面ABD=BD , C 'D?平面BC D , ••• C D 丄平面ABD .(H)解：由(I)知 C D 丄平面 ABD ，且CD 丄BD ,如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系 D - xyz ，则D (0, 0, 0), A (8, 6, 0), B ( 8,0, 0), C'(0, 0, 6).••• E 是线段AD 的中点， •- E (4, 3, 0), BD = (- 8, 0, 0),.在平面 BEC'中，BE ：=(- 4, 3, 0), BC" = (- 8, 0, 6), 设平面BEC 法向量为 =(x , y , z ),(-4u+3y=0 | - 8y+6z=0，令 x=3，得 y=4 , z=4,故 n= (3, 4, 4).•••(9 分) 设直线BD 与平面BEC 所成角为0,贝U si n 9=|cosv ：，瓦〉| •直线BD 与平面BEC 所成角的正弦值为二 .41【点评】 本题重点考查线面垂直、线面角以及翻折问题，考查向量知识的运用，学生必须要掌握在翻折的 过程中，哪些是不变的，哪些是改变，这也是解决此类问题的关键. 19. (12分)(2014?东营一模)某次数学测验共有 10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得 0分•某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余 4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只I n p BD|n||BD|能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响.(I)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(n)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.【分析】(I)设选对一道能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P (A) P (A ) P ( B) P ( B),由此能求出结果.(n)该考生所得分数X=30, 35, 40, 45, 50,分别求出P ( X=30 ) , P (X=35 ) , P ( X=40 ) , P (X=45 ), P (X=50 ),由此能求出X的分布列和数学期望.【解答】解：(I)设选对一道能排除2个选项的题目”为事件A ,选对一道能排除1个选项的题目”为事件B ,则P (A) =__, P ( B) =__,2 3该考生选择题得50分的概率为：P (A) P (A) P (B) P ( B)(n)该考生所得分数X=30 , 35,40, 45, 50,P (X=30 )P(X=35) =ri‘—=,P(X=40) = +=,P(X=45)= =,P(X=50)b：产,••• X的分布列为:X 3035404550P1¥131331石136EX「— I 〒「一—V=.【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的高考中都是必考题型.2 220. (12分)(2016春？长沙校级月考)已知椭圆C i：=1 (a> b> 0)的左右焦点分别为R , F2,b Z抛物线C2: y=- 的顶点为B,且经过F1, F2，椭圆C1的上顶点A满足2 .(I)求椭圆C1的方程；(II )设点M满足2「「二.| ,点N为抛物线C2上一动点，抛物线C2在N处的切线与椭圆交于P, Q两点，求△ MPQ面积的最大值.即有椭圆方程；(II )运用向量共线的坐标表示，求得PQ 的斜率，设出PQ 的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用二次函数的最值求法，可得最大值. 【解答】解：(I )由抛物线C2: -亠r ： 可得 ，F1 (- 1, 0),2 21),二 b=1，二厂2 。

2015年湖南省五市十校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|x≤1}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|x＜﹣2} 2．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系3．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠0，则e x≠1”的逆否命题是“若e x＝1，则x＝0”B．“x＞2”是“＜1”的充分不必要条件C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1≤0D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题4．（5分）某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C ．D ．5．（5分）如图所示的程序框图是给出计算+++…+的值，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．i ≤403？B ．i ＜403？C ．i ≤404？D ．i ＞404？6．（5分）在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点E 为斜边BC的中点，点M 在线段AB 上运动，则•的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，1]C ．[，1]D ．[0，1] 7．（5分）设z ＝x +y ，其中实数x ，y 满足，若z 的最大值为6，则z的最小值为（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．08．（5分）如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f （x ）＝sin x （x ∈（0，π））及直线x ＝a （a ∈（0，π））与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知当x ∈[1，2）时，f （x ）＝|x ﹣|；当x ∈[1，+∞）时，f （2x ）＝2f （x ），则方程f （x ）＝log 8x （1≤x ≤12）的根的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5分，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为．12．（5分）在二项式（+）10的展开式中，常数项是．13．（5分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝24π，则tan a5＝．14．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+b cos x（a，b∈R），∀x∈R，恒有f（x）≥f（），则的值为．15．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．请写出必要的文字说明和演算步骤．16．（12分）如图所示，在xOy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上．∠AOB ＝θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求tan（2θ+）的值；（2）若+＝，四边形OACB的面积用S四表示，求S四+•的取值范围．17．（12分）商场销售的某种饮品每件成本为20元，售价36元．现厂家为了提高收益，对该饮品进行促销，具体规则如下：顾客每购买一件饮品，当即从放有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个规格的小球的密封箱中连续有放回地摸取三次，若三次取出的小球编号相同，则获一等奖；若三次取出小球的编号是连号（不考虑顺序），则获二等奖；其它情况无奖．（1）求某顾客购买1件该饮品，获得奖励的概率；（2）若奖励为返还现金，顾客获一次一等奖，奖金数是x元，若获一次二等奖，奖金是一等奖奖金的一半，统计表明：每天的销量y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式y＝+24．问：x设定为多少最佳？并说明理由．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，平面P AB⊥平面ABCD，P A＝PB＝AB．（1）证明：PC⊥AB；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．（13分）在数列{a n}，{b n}中，a1＝2，b1＝4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．20．（13分）如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）若△OEF2的面积为1，E为直线与曲线的切点，求抛物线C2的方程；（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．21．（13分）设函数f（x）＝﹣．（1）判断函数f（x）在区间（0，2）上的单调性；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，求证：f（）＜0．2015年湖南省五市十校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|x≤1}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|x＜﹣2}【解答】解：∵B＝{x|x＞1}，∴∁U B＝{x|x≤1}，则A∩（∁U B）＝{x|﹣2＜x≤1}，故选：C．2．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是＝16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C．3．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠0，则e x≠1”的逆否命题是“若e x＝1，则x＝0”B．“x＞2”是“＜1”的充分不必要条件C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1≤0D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题【解答】解：对于A．“若x≠0，则e x≠1”的逆否命题是“若e x＝1，则x＝0”，正确；对于B．由＜1，解得x＞2或x＜1，∴“x＞2”是“＜1”的充分不必要条件，因此正确；对于C．命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1≤0，正确；对于D．若p∧q为假命题，则p与q至少有一个均为假命题，因此不正确．故选：D．4．（5分）某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：易知该几何体为锥体，故其底面面积为1；故俯视图可能为A，B，C三个选项中的图形，若俯视图为三角形，即选项A，则底面面积为，故不成立，若俯视图为扇形，即选项B，则底面面积为，故不成立，若俯视图为正方形，即选项C，则底面面积为1，故成立；故选：C．5．（5分）如图所示的程序框图是给出计算+++…+的值，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤403？B．i＜403？C．i≤404？D．i＞404？【解答】解：根据题意，模拟程序图的运行过程，得；该程序运行后是计算+++…+的值，累加变量是i＝i+1，且在满足条件的情况下运行循环体，共运行了403次；∴判断框内应填入的条件是i≤403？．故选：A．6．（5分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，点E为斜边BC 的中点，点M在线段AB上运动，则•的取值范围是（）A．[，]B．[，1]C．[，1]D．[0，1]【解答】解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线为y，x轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，0），E（，），设M（0，m），（0≤m≤1）．则＝（，﹣m），＝（1，﹣m），＝﹣m（﹣m）＝m2﹣m+＝（m﹣）2+，由于∈[0，1]，则取得最小值，且为，当m＝1时，取得最大值，且为1．则有•的取值范围是[，1]．故选：B．7．（5分）设z＝x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+y，得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大为6．即x+y＝6．经过点B时，直线y＝﹣x+z的截距最小，此时z 最小．由得，即A（3，3），∵直线y＝k过A，∴k＝3．由，解得，即B（﹣6，3）．此时z的最小值为z＝﹣6+3＝﹣3，故选：A．8．（5分）如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f（x）＝sin x（x∈（0，π））及直线x＝a（a∈（0，π））与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为：a×记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A 的区域即为阴影部分面积为∫0a sin xdx＝﹣cos x|0a＝1﹣cos a由几何概率的计算公式可得P（A）＝a＝故选：B．9．（5分）已知当x∈[1，2）时，f（x）＝|x﹣|；当x∈[1，+∞）时，f（2x）＝2f（x），则方程f（x）＝log8x（1≤x≤12）的根的个数为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：∵f（2x）＝2f（x），∴f（x）＝2f（）；故f（x）＝；方程f（x）＝log8x（1≤x≤12）的根的个数即函数y＝f（x）与函数y＝log8x的交点的个数，作函数图象如下，共有4个交点，故选：A．10．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，∴|EF|＝＝b，∵＝（+），∴E为PF的中点，|OP|＝|OF|＝c，|PF|＝2b，设F'（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形PFF'的中位线，则|PF'|＝2|OE|＝2a，可令P的坐标为（m，n），则有n2＝4cm，由抛物线的定义可得|PF'|＝m+c＝2a，m＝2a﹣c，n2＝4c（2a﹣c），又|OP|＝c，即有c2＝（2a﹣c）2+4c（2a﹣c），化简可得，c2﹣ac﹣a2＝0，由于e＝，则有e2﹣e﹣1＝0，由于e＞1，解得，e＝．故选：A．二、填空题：本大题共5分，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为1+3i．【解答】解：复数z＝＝＝1﹣3i，则复数z的共轭复数为1+3i，故答案为：1+3i．12．（5分）在二项式（+）10的展开式中，常数项是180．【解答】解：二项式（+）10的展开式的通项公式为T r+1＝•2r•，令5﹣r＝0，则r＝2，∴常数项是＝180，故答案为：180．13．（5分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝24π，则tan a5＝．【解答】解：在等差数列{a n}中，由S9＝9a5＝24π，得，∴tan a5＝＝＝＝．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+b cos x（a，b∈R），∀x∈R，恒有f（x）≥f（），则的值为．【解答】解：∵由题意函数f（x）＝a sin x+b cos x，恒有f（x）≥f（），∴可知：当x＝时，函数f（x）取得最值|f（）|，即|a+b|＝，化为a＝b，∴则的值为，故答案为：．15．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为{x|0＜x＜1}．【解答】解：设g（x）＝，则g′（x）＝，∵f（x）＞xf′（x），∴xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）为减函数，∵，x＞0，∴，∴，∴，∴0＜x＜1．故答案为：{x|0＜x＜1}．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．请写出必要的文字说明和演算步骤．16．（12分）如图所示，在xOy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上．∠AOB ＝θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求tan（2θ+）的值；（2）若+＝，四边形OACB的面积用S四表示，求S四+•的取值范围．【解答】解：（1）∵B（﹣，），∠AOB＝θ，∴tanθ＝＝﹣∴tan2θ＝＝＝，则tan（2θ+）＝＝＝﹣；（2）S＝||||sin（π﹣θ）＝sinθ，四∵＝（1，0），＝（cosθ，sinθ），∴＝+＝（1+cosθ，sinθ），∴•＝1+cosθ，+•＝sinθ+cosθ+1＝sin（θ+）+1（0＜θ＜π），∴S四∵＜＜，∴﹣＜sin（）≤1，∴0＜S+•．四17．（12分）商场销售的某种饮品每件成本为20元，售价36元．现厂家为了提高收益，对该饮品进行促销，具体规则如下：顾客每购买一件饮品，当即从放有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个规格的小球的密封箱中连续有放回地摸取三次，若三次取出的小球编号相同，则获一等奖；若三次取出小球的编号是连号（不考虑顺序），则获二等奖；其它情况无奖．（1）求某顾客购买1件该饮品，获得奖励的概率；（2）若奖励为返还现金，顾客获一次一等奖，奖金数是x元，若获一次二等奖，奖金是一等奖奖金的一半，统计表明：每天的销量y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式y＝+24．问：x设定为多少最佳？并说明理由．【解答】解：（1）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为A i，i＝1，2，则P（A1）＝，P（A2）＝，则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为P（A1+A2）＝P（A1）+P（A2）＝．…（4分）（2）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X元，则X的可能取值为x，，0．由（Ⅰ）得P（X＝x）＝，P（X＝）＝，E（x）＝．…（9分）该商场每天销售这种饮品所得平均利润Y＝y[（36﹣20）﹣E（x）]＝（＝﹣（x﹣48）2+432．当x＝48时，Y最大．故x设定为48（元）为最佳．…（12分）18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，平面P AB⊥平面ABCD，P A＝PB＝AB．（1）证明：PC⊥AB；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取AB中点O，连结PO，CO，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，P A＝PB＝AB．∴PO⊥AB，CO⊥AB，∵PO∩CO＝O，∴AB⊥平面POC，∵PC∈平面POC，∴PC⊥AB．（2）解：∵平面P AB⊥平面ABCD，CO⊥AB，PO⊥AB，∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设P A＝PB＝AB＝2，则B（1，0，0），P（0，0，），C（0，，0），D（﹣2，，0），＝（1，0，﹣），＝（0，），＝（﹣2，），设平面BPC的法向量，则，取x＝，得＝（，1，1），设平面PCD的法向量＝（a，b，c），则，取b＝1，得＝（0，1，1），设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ＝|cos＜＞|＝||＝．∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．19．（13分）在数列{a n}，{b n}中，a1＝2，b1＝4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．【解答】解：（1）由条件得2b n＝a n+a n+1，a n+12＝b n b n+1由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25．猜测a n＝n（n+1），b n＝（n+1）2．用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即a k＝k（k+1），b k＝（k+1）2，那么当n＝k+1时，a k+1＝2b k﹣a k＝2（k+1）2﹣k（k+1）＝（k+1）（k+2），b k+1＝＝（k+2）2．所以当n＝k+1时，结论也成立．由①②，可知a n＝n（n+1），b n＝（n+1）2对一切正整数都成立．（2）证明：．n≥2时，由（1）知a n+b n＝（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．故＝＝综上，原不等式成立．20．（13分）如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）若△OEF2的面积为1，E为直线与曲线的切点，求抛物线C2的方程；（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．【解答】（1）证明：∵抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点与F1重合，∴．设切点为M（x0，y0）（x0＞0）．由抛物线x2＝2py，可得y′＝，∴切线l的斜率k＝．∴切线的方程为：，联立，化为x2﹣2x0x+2pc＝0，由于△＝0，∴＝0，把p＝2c代入可得x0＝2c，∴切线l的斜率k＝＝1．∴切线l的斜率为定值1．（2）由（1）可得＝1，∴x0＝p．∵△OEF2的面积为1，∴＝＝＝1，解得p＝2．∴抛物线C1的方程为：x2＝4y．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（1）可得x0＝2c，p＝2c，切线方程为y＝x﹣c．联立，化为（a2+b2）x2﹣2b2cx﹣b4＝0，∴，x1x2＝．（*）∵，∴x2＝﹣λx1．（λ∈[2，4]）．代入（*）可得，∴＝，化为＝．∵λ∈[2，4]，∴e∈．21．（13分）设函数f（x）＝﹣．（1）判断函数f（x）在区间（0，2）上的单调性；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，求证：f（）＜0．【解答】解：∵函数f（x）＝﹣，∴f′（x）＝＝．当0＜x＜1时，∵2（x2﹣x）＝2x（x﹣1）＜0，x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞1＞0，ln（x2﹣2x+2）＝ln[（x﹣1）2+1]＞ln1＝0，∴f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减；当1＜x＜2时，记h（x）＝2（x2﹣x）﹣（x2﹣2x+2）ln（x2﹣2x+2），则h′（x）＝4x﹣2﹣（2x﹣2）ln（x2﹣2x+2）﹣（x2﹣2x+2）×＝2x﹣（2x﹣2）ln（x2﹣2x+2）＝2x[1﹣ln（x2﹣2x+2）]+2ln（x2﹣2x+2）．∵1＜x＜2，∴x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1∈（1，2），∴0＜ln（x2﹣2x+2）＜ln2＜1，∴h′（x）＞0．∵h（1）＝0，∴h（x）＞0，即f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）上单调递增．∴函数f（x）在区间（0，2）上的单调减区间为（0，1）；单调减区间为（1，2）．（2）∵x＞0，当x→0时，f（x）→+∞∴f（1）＝﹣，f（2）＝＞0，∵函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，∴不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2＜2，当x∈（0，x1）时，f（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f（x）＜0，当x∈（x2，2）时，f（x）＞0，∵x1＜＜x2，∴f（）＜0．。

1、复数=-+i i123 （ A ） A ．i 2521+ B ．i 2521- C ．i 2521+- D ．i 2521--2、有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在[)8,10内的频数为（A ）38 （B ）57 （C ）76 （D ）95 【答案】C3、设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是（ D ）①()f x 的图象关于直线3x π=对称； ②()f x 的图象关于点(,0)4π对称；③()f x 的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象；④()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数．A. ①③ B . ②④ C. ①③④ D . ③4. 某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是23000200.1y x x =+-()0240,x x N *<<∈，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（即销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）A.100台B.120台C.150台D.180台 【答案】C5、一个几何体的三视图如下左图所示，则该几何体的表面积为 （ A ）A ．226++ B.326++ C.223++ D.323++6、上右图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入121,209==n m ，则输出m 的值为 （ B ） A.10 B.11 C.12 D.137、若在231(3)2nx x-的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（ C ） A ．1352- B ． 135- C ．1352D ．1358、设11cos ,sin ,a xdx b xdx ==⎰⎰下列关系式成立的是（ A ）A. a b >B. 1a b +<C. a b <D. 1a b +=9、下列四个命题中1p :()0,x ∃∈+∞，1123xx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2p :()0,1x ∃∈，1123log log x x >；3p :()0,x ∀∈+∞，1123xx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；4p :10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭.其中真命题是( D )A. 13,p pB. 14,p pC. 23,p pD. 24,p p10、已知函数()()2ln 1f x a x x =+-在区间()1,2内任取两个实数,,p q p q ≠且，不等式()()111f p f q p q+-+<-恒成立，则实数a 的取值范围为（ A ）A . 15a ≤ B. 15a <≤0 C. 6a > D.3a <-11、如图，O 的两条弦AB ，CD 相交于圆内一点P ，若PA PB =，2,8,4PC PD OP ===，则该圆的半径长为 ．答案：2412、在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x ay a =⎧⎨=⎩（a 为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4ρθ=.设P 为曲线1C 上的动点，则点P 到2C 上点的距离的最小值为答案：313、若关于x 的不等式13x x m ++-≥的解集为R ，则m 的取值范围为 答案：4m ≤14、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：115、已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线22y px =(0)p >的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2,ABO ∆的面积为3, 则p 的值 答案：216、在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于答案：23解：因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅BF AB AC BE AB AB ，即22=⋅+⋅+⋅+BF AC AB AC BE AB AB 。

炎德英才大联考〃长沙一中2015届高三月考试卷（一）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）CA 、3B 、4C 、5D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。

设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系， 则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。

4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）BA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、86、若()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞，()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8πB ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增；而()00f =，所以()00f x x >⇔>。

2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟2015年湖南省高考数学(理科)模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．．．．．。

．．．．、草稿纸上答题无效考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（2012•日照二模）已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（） A． [﹣1，+∞）B．[﹣1，] C．[，+∞）D．（﹣1，）2．（2015•永州二模）已知i为虚数单位，若数列{a n}满足：a1=i，且（1﹣i）a n+1=（1+i）a n，则复数a5=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．13．（2012•北京）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A． a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a24．（2015•怀化一模）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①和③B．②和③C．③和④D．①和④5．（2014秋•资阳区校级月考）定义×=||||sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=5，||=13，•=﹣25，则×等于（）A．﹣60 B．60 C．﹣60或60 D．66．（2015•永州二模）（1﹣x）2（1+y）3的展开式中xy2的系数是（）A．﹣6 B．﹣3 C．3D．67．（2015•湘西州校级模拟）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．6D．58．（2015•株洲一模）已知关于x的方程|x﹣k|=k在区间[k﹣1，k+1]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A． 0＜k≤1B．0＜k≤C．1≤k D．k≥19．（2015•永州二模）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C，若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．10．（2015•衡阳校级模拟）某同学在研究函数f（x）=+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）=+，则f（x）表示|PA|+|PB|（如左图），则①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为；④函数f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减；⑤方程有两个解．上述关于函数f（x）的描述正确的个数为（）A． 1 B．2C．3D．4二．填空题（共6小题）11．（2015•衡阳校级模拟）某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为．12．（2015•株洲一模）（x2+）6展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a 及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S= ．13．（2015•湖北模拟）执行如图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数a0的最大值为．2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟14．（2015•怀化一模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=﹣1．则曲线C1与曲线C2的交点个数为个．15．（2014•衡阳县校级模拟）已知AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=4DB，设∠COD=θ，则cos2θ= ．16．（2015•郴州二模）若实数x，y，z满足x2+y2+z2=4，则x+2y﹣2z的取值范围为．三．解答题（共6小题）17．（2015•株洲一模）设a∈R，满足，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域．18．（2015•衡阳校级模拟）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，（1（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．19．（2015•湖北模拟）如图，正四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P 为线段FG上任意一点．（l）求证：EP⊥AC；（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P﹣BD﹣C的大小．2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟20．（2015•湖北模拟）设{a n}为公比不为1的等比数列，a4=16，其前n项和为S n，且5S1、2S2、S3成等差数列．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和．是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式T n＞（）k恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．21．（2012•湘潭四模）设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．22．（2015•衡阳校级模拟）已知函数g（x）=alnx，f（x）=x3+x2+bx．（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟2015年湖南省高考数学(理科)模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2012•日照二模）已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（），，，}]=2．（2015•永州二模）已知i为虚数单位，若数列{a n}满足：a1=i，且（1﹣i）a n+1=（1+i）a n，则复数，可得=i==i，当且仅当，所以，当且仅当，∴4．（2015•怀化一模）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β．5．（2014秋•资阳区校级月考）定义×=||||sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=5，||=13，•=﹣25，则×等于（）2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟×=||||sinθ的值．．，×=|||=5×13×=602327．（2015•湘西州校级模拟）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）C，要求+，而（+）≥，当且仅当a=b=，取最小值8．（2015•株洲一模）已知关于x的方程|x﹣k|=k在区间[k﹣1，k+1]上有两个不相等的实根，则＜k≤k|=可化为kkk2k+9．（2015•永州二模）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C，若=2，则双曲线的离心率是（）C2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟解：双曲线﹣x，）x，）=2，可得，），）=，===．10．（2015•衡阳校级模拟）某同学在研究函数f（x）=+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）=+，则f（x）表示|PA|+|PB|（如左图），则①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为；④函数f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减；⑤方程有两个解．上述关于函数f（x）的描述正确的个数为（））的最小值为，轴交点的横坐标为，显然有，x=在区间，由二．填空题（共6小题）11．（2015•衡阳校级模拟）某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为9 ．（2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟12．（2015•株洲一模）（x2+）6展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S= ．，中间项为第四项，系数为﹣=﹣（=﹣故答案为：13．（2015•湖北模拟）执行如图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数a0的最大值为 3 ．+12＜14．（2015•怀化一模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=﹣1．则曲线C1与曲线C2的交点个数为 1 个．（的参数方程为解得．2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟15．（2014•衡阳县校级模拟）已知AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=4DB，设∠COD=θ，则cos2θ= ﹣．﹣1=2×，=故答案为：16．（2015•郴州二模）若实数x，y，z满足x2+y2+z2=4，则x+2y﹣2z的取值范围为[﹣6，6] ．++（+）≥，利三．解答题（共6小题）17．（2015•株洲一模）设a∈R，满足，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域．（Ⅱ）利用余弦定理化简，通过正弦定理求出．得，解得．的单调递增区间（，所以时，18．（2015•衡阳校级模拟）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．）样品中优等品的频率为，由分层抽样方法能求出乙厂生产的优等品的数量．=35）样品中优等品的频率为，．…（===19．（2015•湖北模拟）如图，正四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P 为线段FG上任意一点．（l）求证：EP⊥AC；（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P﹣BD﹣C的大小．，，），，故点，=，令=（2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟的距离为20．（2015•湖北模拟）设{a n}为公比不为1的等比数列，a4=16，其前n项和为S n，且5S1、2S2、S3成等差数列．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和．是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式T n＞（）k恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．不等式都成立，则=，即，即不等式都成立，，，，解得不等式都成立，且正整数21．（2012•湘潭四模）设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟．，．，则．==的面积的最大值为．22．（2015•衡阳校级模拟）已知函数g（x）=alnx，f（x）=x3+x2+bx．（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．第21页=为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，得到恒成立，即a≤，求导得，上为增函数，∴，第22页2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟=lnt+第23页。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年雅礼中学高三数学第一次模拟考试时量120分钟,满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数i z -=1(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z1的值为（ B ） A. 1 B.22 C.21D. 2 2. 命题“存在2≥x ，使42≥x ”的否定是（A ）A. 对任意2≥x ，都有42<xB. 对2<x ，都有42≥xC. 存在2≥x ，使42<xD. 存在2<x ，使42≥x3. 设随机变量()()()2~,1=2=0.3N P P ξμσξξ<->，且，则()21=P <+ξμ（ D ）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.74．已知x ，y 满足22y xx y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ B ）A ．34B ．14C ．211D ．4 5. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个顶点到一条渐近线的距离为2a ，则双曲线的离心率为（ D ） A.2 B.3 C.223 D. 332 6. 五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起， 则不同排法数为（ C ）A ．12B ．24C ．36D ．48 7. 如图所示的程序框图运行结束后，输出的集合中包含的元素个数为（ A ）A. 3B. 4C. 5D. 6 8. 已知数列{}n a 为等比数列，且222013201504a a x dx +=-⎰，则()20142012201420162a a a a ++的值为( C )A ．πB ．2πC ．2π D ．24π 9. 某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（ C ）正视图A B C D10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-+=0),1(0,11)(x x f x x x x f ,则函数a e x f x g x+-=)()(的零点个数不可能是（D ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. （一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分.11.如图，圆A 与圆B 交于C 、D 两点，圆心B 在圆A 上，DE 为圆B 的直径。

2015年雅礼中学高三数学第一次模拟考试时量120分钟,满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数(为虚数单位)，是的共轭复数，则的值为（ B ） A. 1 B.C. D.2. 命题“存在，使”的否定是（A ）A. 对任意，都有B. 对，都有C. 存在，使D. 存在，使 3. 设随机变量，则（ D ） A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.74．已知x ，y 满足的最大值是最小值的4倍，则的值是（ B ）A ．B ．C ．D ．4 5. 双曲线的一个顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ D ）A. B. C.D. 6. 五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（ C ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．487. 如图所示的程序框图运行结束后，输出的集合中包含的元素个数为（ A ）i z -=1i z z z1222122≥x 42≥x 2≥x 42<x 2<x 42≥x 2≥x 42<x 2<x 42≥x ()()()2~,1=2=0.3N P P ξμσξξ<->，且()21=P <+ξμ22y xx y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且a 341421122221(0,0)x y a b a b-=>>2a 223332A. 3B. 4C. 5D. 6 8. 已知数列为等比数列，且，则的值为( C )A ．B ．C ．D ．9. 某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（ C ）A B C D10.已知函数,则函数的零点个数不可能是（D ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. （一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分.11.如图，圆A 与圆B 交于C 、D 两点，圆心B 在圆A 上，DE 为圆B的直径。

绝密★启用前2015年长沙市高考模拟试卷理 科 数 学满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数z 满足i i21=+z，则 z = A ．i 2+-B ．i 2--C ．i 2+D ．i 2-2．设,a b 是两个非零向量，则“0<⋅”是“,a b 夹角为钝角”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知 9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为 A ．10万元 B ．15万元 C ．20万元D ．25万元4．执行如右图所示的程序框图,若输出s 的值为22，那么输入 的n 值等于 A ．6B ．7C ．8D ．95．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(),()0,1,1,,10,1(),A B C D ππ--， 正弦曲线()f x sinx =和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 A ．π21+B ．π221+C ．π1D ．π216. 设函数f （x ）=sin （2ϕ+x ）+3cos （2ϕ+x ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<2||πϕ，且其图象关于直线x =0对称，则 A ．y =f （x ）的最小正周期为π，且在（0，2π）上为增函数B ．y =f （x ）的最小正周期为2π，且在（0，4π）上为增函数C ．y =f （x ）的最小正周期为π，且在（0，2π）上为减函数D ．y =f （x ）的最小正周期为2π，且在（0，4π）上为减函数7. 已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆P 在椭圆上且满足221c PF PF =⋅，则此椭圆离心率的取值范围是ABCD 8. 已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，≤≤，设方程()()2x b x b f R -+∈=的四个实根从小到 大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为 A ．122x x +=B ．1219x x <<C ．()()340661x x <--<D ．34925x x <<二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

2015 年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每题５分，满分50 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .2（ 1-i ））１．已知=1+i （i为虚数单位），则复数z＝（zA.1 iB.1 iC.-1 iD. -1 i答案： D(1i )22i2(i1)分析：zi 1 i 1 i.12２．设 A, B 是两个会合，则“A B A”是“A B ”的（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件答案： C分析： A B x | x A, 且x B A ,得A B ，反之，当A B 时，A B A ，故为充要条件。

３．履行如图１所示的程序框图.假如输入 n 3 ，则输出的S（）63A. B.7784C. D.99答案： B分析：履行程序框图，进入循环后，的值挨次为：S 1, i2;S2,i3S;3i,退出循4环;，输出S3。

3577x y1４．若变量x, y 知足拘束条件 2 x y 1 ，则 z 3x y 的最小值为（）y 1A. 7B.1C.1D.2答案： A分析：作出可行域，为图中三角形ABC 内部（包含界限），平行直线3x y 0 ，过点 A( 2,1) ，取最小值 -7。

５．设函数 f ( x)ln(1x)ln(1x) ，则 f ( x) 是（）A.奇函数，且在0,1上是增函数B.奇函数，且在0,1上是减函数C.偶函数，且在0,1 上是增函数D.偶函数，且在0,1上是减函数答案： A分析：函数的定义域为(1,1) ， f (x)ln(1x) ln(1x) f ( x) ，故函数 f ( x) 为奇函数，当 0x 1时， f ' ( x)1x110 ，故函数 f ( x) 在 (0,1)上是增函数。

1x53a６．已知x的睁开式中含 x2的项的系数为30，则a＝（）xA.3B.3C.6D. 6答案： Dr5 2 r分析：T r1C5r (x )5r a C5r (a)r x 2 ，由52 r 3，解得 r 1 ，由C51( a) 30，得 a 6 ，x22应选（ D）。

二、选择题(本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14～18小题只有一项符合题目要求，第19～21小题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分)14. 低碳环保是我们现代青年追求的生活方式。

如图所示，是一个用来研究静电除尘的实验装置，处于强电场中的空气分子会被电离为电子和正离子，当铝板与手摇起电机的正极相连，缝被针与手摇起电机的负极相连，在铝板和缝被针中间放置点燃的蚊香。

转动手摇起电机，蚊香放出的烟雾会被电极吸附，停止转动手摇起电机，蚊香的烟雾又会袅袅上升。

关于这个现象，下列说法中正确的是：( )A ．烟尘因为带正电而被吸附到缝被针上B ．同一烟尘颗粒在被吸附过程中离铝板越近速度越大C ．同一烟尘颗粒在被吸附过程中离铝板越近速度越小D ．同一烟尘颗粒在被吸附过程中如果带电量不变，离铝板越近则加速度越大15．如图所示，质量相等的A 、B 两物体在平行于固定斜面的推力F的作用下，沿光滑斜面做匀速直线运动，A 、B 间轻弹簧的劲度系数为k ，斜面的倾角为30°，则匀速运动时弹簧的压缩量为( )A.F kB.F 3kC.F 2kD.F 4k16．2014年3月8日凌晨马航客机失联后，西安卫星测控中心紧急调动海洋、风云、高分、遥感4个型号近10颗卫星，为地面搜救提供技术支持。

特别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关键技术。

如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图。

“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O 做匀速圆周运动。

卫星“G1”和“G3”的轨道半径为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，“高分一号”在C 位置。

若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力。

则以下说法正确的是A ．卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等均为B ．如果调动“高分一号”卫星快速到达B 位置的下方，必须对其减速C ．“高分一号”是低轨道卫星，其所在高度有稀薄气体，运行一段时间后，高度会降低，速度增大，机械能会减小D ．卫星“”由位置A 运动到位置B 17．如图所示，一根细绳的上端系在Ｏ点，下端系一个重球Ｂ，放在粗糙的斜面体Ａ上。

雅礼中学2015届高三年级第一次模拟考试数学(文科)( 时量：120分钟，满分：150分)一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分）1．设集合,集合,则（）A．B．C．D．【答案】A2．复数的实部是（）A．B．C．D．【答案】C3．命题“”的否定为（）A．B．C． D.【答案】B.4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长B．向右平移个单位长C．向左平移个单位长D．向左平移个单位长【答案】A5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（）A．2 B．C．D．3【答案】D6．已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．目标函数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A7．设在△ABC中，，，AD是边BC上的高，则的值等于（）A.0B.C.4D.【答案】B【解析】由于.由于.所以=.故选B.8．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。

如图（1），在平行四边形中，有，那么在图（2）的平行六面体中有等于( )A．B．C．D．【答案】C9．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出的取值范围;设椭圆与双曲线的半焦距为由题意知，且,，，故选A10．已知函数，若存在，当时，，则的取值范围是（）A、B、C、D、【答案】B【解析】当时，因为，得到的取值范围是，所以即的范围是.二、填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）11．曲线（为参数），若以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是．【答案】12．在等差数列中，，为方程的两根，则1513．已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．【答案】14．如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点旋转了角，其中为小正六边形的中心，则.【答案】-1【解析】从图中得出，第一个到第二个OA转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依次类推每一次边上是60度转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以.15．若曲线与曲线在上存在公共点，则的取值范围为【答案】【解析】根据题意，函数与函数在上有公共点，令得：设则由得：当时，，函数在区间上是减函数，当时，，函数在区间上是增函数，所以当时，函数在上有最小值所以三、解答题（本大题共6个小题，共计75分。

2024年雅礼中学高三数学5月高考模拟试卷2024.05一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（）A ．9B ．12C ．15D ．182．已知集合{}2|680,{|13}M x x x N x x =-+<=<≤，则M N ⋂=（）A ．{|23}x x ≤≤B ．{|23}x x <≤C ．{|24}x x <≤D ．{|13}x x <≤3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）A ．6寸B ．4寸C ．3寸D ．2寸4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和抛物线()220y px p =>相交于A 、B 两点，直线AB 过抛物线的焦点1F ，且8AB =，椭圆的离心率为2．则抛物线和椭圆的标准方程分别为（）．A ．28y x =；22194x y +=B ．28y x =；2213618x y +=C ．24y x =；22194x y +=D ．24y x =；2213618x y +=5．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH ，其中1,AB O =为正八边形的中心，则AB HD ⋅=（）A 1B ．1C D ．1+6．人工智能领域让贝叶斯公式：()()()()P B A P A P A B P B =站在了世界中心位置，AI 换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI 对抗AI ，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（）A ．0.1%B ．0.4%C ．2.4%D ．4%7．加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆C ：22197x y +=，P 是直线l ：43200x y -+=上一点，过P 作C 的两条切线，切点分别为M 、N ，连接OP （O 是坐标原点），当MPN ∠为直角时，直线OP 的斜率OP k =（）A ．43B ．43-C ．34D ．34-8．已知61log 4=a ，41log 3b =，()1e 1e c =+，则（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．a c b<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设a ，b 为两条不重合的直线，α为一个平面，则下列说法正确的是（）A ．若a b ⊥，b α⊂，则a α⊥B ．若a α⊥，//a b ，则b α⊥C ．若//a α，b α⊂，则//a bD ．若//a α，b α⊥，则a b⊥r r10．已知()22ππsin cos (0)33f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列判断正确的是（）A ．若()()120f x f x ==，且12min π2x x -=，则2ω=B ．1ω=时，直线π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．1ω=时，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称D ．若()f x 在[]0,2π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．若实数,x y 满足1221x y ++=，则下列选项正确的是（）A ．0x <且1y <-B ．11122xy -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9C ．x y +的最小值为3-D ．1112222x y x y-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知复数13i z =-，其中i 为虚数单位，则2i z +=．13．数列{}n a 满足32132(N ,1)23n n a a a a n n n*+++⋅⋅⋅+=-∈≥，则n a =.14．设A 为双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>的一个实轴顶点，,B C 为Γ的渐近线上的两点，满足4BC AC =，AC a =，则Γ的渐近线方程是．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.(1)根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系；性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生女生合计(2)现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.参考公式()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.10.050.01x α2.7063.8416.63516．已知函数()ln 1xf x x =+．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当1x ≥时，()()1f x a x -≤，求a 的取值范围．17．如图，已知在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，且点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点.(1)过点,,A E F 作三棱柱截面交11C B 于点P ，求线段1B P 长度；(2)求平面AEF 与平面11BCC B 的夹角的余弦值.18．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆1C 的“特征三角形”为1 ，椭圆2C 的“特征三角形”为2 ，若12△∽△，则称椭圆1C 与2C “相似”，并将1 与2 的相似比称为椭圆1C 与2C 的相似比．已知椭圆1C ：2212x y +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>相似．(1)求椭圆2C 的离心率；(2)若椭圆1C 与椭圆2C 的相似比为()0λλ>，设P 为2C 上异于其左、右顶点1A ，2A 的一点．①当λ=时，过P 分别作椭圆1C 的两条切线1PB ，2PB ，切点分别为1B ，2B ，设直线1PB ，2PB 的斜率为1k ，2k ，证明：12k k 为定值；②当λ=1PA 与1C 交于D ，E 两点，直线2PA 与1C 交于M ，N 两点，求DE MN +的值．19．设n 次多项式()121210()0n n n n n n P t a t a t a t a t a a --=+++++≠ ，若其满足(cos )cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如：由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =，由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式22()21P x x =-.(1)若切比雪夫多项式323()P x ax bx cx d =+++，求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)对于正整数3n 时，是否有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立？(3)已知函数3()861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点，分别记为123,,x x x ，证明：1230x x x ++=.1．C【分析】由题意按分层抽样的方法用36乘以高三年级的男生数占总男生数的比例即可求解.【详解】高三年级被抽到的男生人数为12003004005363615120012--⨯=⨯=.故选：C.2．B【分析】解一元二次不等式化简集合M ，再根据交集运算求解即可.【详解】因为{}2|680{|24}M x x x x x =-+<=<<，{|13}N x x =<≤，所以{|23}M N x x =<≤ .故选：B 3．C【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为()1146102⨯+=寸，则盆中水的体积为()221π9610610588π3⨯⨯++⨯=立方寸，所以平地降雨量等于2588π3π14=⨯寸.故选：C.4．B【详解】由椭圆与抛物线的对称性知，AB x ⊥轴，且1,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，故2A B p x x ==根据抛物线的定义可知1228AB x x p p =++==，所以抛物线的标准方程为28y x =．所以椭圆过点()2,4A ，又因为椭圆离心率为22，因此22222224161c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=+⎪⎩，解得223618a b ⎧=⎨=⎩，则椭圆的标准方程为2213618x y +=．故选：B ．5．D【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.【详解】在正八边形ABCDEFGH 中，连接HC ，则//HC AB ，而135ABC ∠=o ，即45BCH ∠= ，于是90HCD ∠= ，在等腰梯形ABCH中，121cos 451CH =+⨯⨯=+所以1||cos ||1AB HD HD CHD HC ⋅=⨯∠==+故选：D6．C【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.【详解】记“视频是AI 合成”为事件A ，记“鉴定结果为AI”为事件B ，则()()()()0.001,0.999,0.98,0.04P A P A P B A P B A ====∣，由贝叶斯公式得：()()()()()()()0.0010.980.0240.0010.980.9990.04P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯==⨯+⨯+，故选：C ．7．D【分析】利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，进而可求得直线l ：43200x y -+=为圆的切线，由1l OP k k =-⋅，即可得出结果.【详解】由椭圆C ：22197x y +=可知：3,a b ==，当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为6和，因此蒙日圆半径为4，圆方程为2216x y +=，当MPN ∠为直角时，可知点当P 在圆2216x y +=，因为O 到直线43200x y -+=的距离为4d ==，所以直线l ：43200x y -+=为圆的切线，因为直线43l k =，1l OP k k =-⋅，所以34OP k =-.故选：D.8．A【分析】由条件得到146a =，134b =，从而得到12216a =，12256b =，即可得出b a >，构造函数1(1)(1)xy x x =+>，利用函数的单调性，即可判断出c b >，从而得出结果.【详解】由61log 4=a ，得到146a =，又41log 3b =，所以134b =，所以112124(6)216a ==，112123(4)256b ==，又256216>，所以1212b a >，又0,0a b >>，得到b a >，令1(1)(1)xy x x =+>，则1ln ln(1)y x x=+，所以2111ln(1)(1)y x y x x x '=-+++，得到112211(1)[ln(1)](1)[(1)ln(1)](1)(1)xxx y x x x x x x x x x x +'=-+++=-++++，令()(1)ln(1)h x x x x =-++，则()1ln(1)1ln(1)0h x x x '=-+-=-+<在区间(1,)+∞上恒成立，所以()(1)ln(1)h x x x x =-++在区间(1,)+∞上单调递减，又(1)1(11)ln(11)12ln 21ln 40h =-++=-=-<，当(1,)x ∈+∞时，12(1)0(1)xx x x +>+，得到12(1)[(1)ln(1)]0(1)xx y x x x x x +'=-++<+在区间(1,)+∞上恒成立，所以1(1)x y x =+在区间(1,)+∞上单调递减，又e 3<，所以()113e 1e (13)c b =+>+=，得到c b a >>，故选：A.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断,b c 的大小，通过构造函数1(1)(1)x y x x =+>，利用导数与函数的单调性间的关系，得函数1(1)(1)x y x x =+>的单调性，即可求出结果.9．BD【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断各选项即可.【详解】对于A ，直线a 可能在平面α内，可能与平面α相交，也可能平面α平行，故A 错误.对于B ，设直线l 为平面α内的任意一条直线，因为a α⊥，l ⊂α，所以a l ⊥，又//a b ，所以b l ⊥，即b 与α内任意直线垂直，所以b α⊥，故B 正确.对于C ，若//a α，b α⊂，则直线a 与直线b 可能平行，也可能异面，故C 错误.对于D ，过直线a 作平面β，使得平面β与平面α相交，设m αβ= ，因为//a α，m αβ= ，a β⊂，所以//a m ，又b α⊥，m α⊂，所以b m ⊥，则b a ⊥，故D 正确.故选:BD 10．BD【分析】利用二倍角公式化简()f x ，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.【详解】()22ππ2πcos sin cos 2,0333f x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于A ，根据条件，可得π2π,π,1222T T ωω=∴==∴=，故A 错误；对于B ，当1ω=时，()2πππ2πcos 2,cos cosπ13633f x x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+∴=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =为()f x 的一条对称轴，故B 正确；对于C ，当1ω=时，()2πcos 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将()f x 向左平移π3个单位长度后可得π2ππcos 2cos 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ，由题意[]0,2πx ∈，则2π2π2π24π333x ωω≤+≤+，因为()f x 在[]0,2π上恰有9个零，所以19π2π21π4π232ω≤+<，解得53592424ω≤<，故D 正确.故选：BD.11．ABD【分析】对于AD ，利用指数函数的性质即可判断；对于BC ，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.【详解】对于A ，由1221x y ++=，可得112120,2120y x x y ++=->=->，所以0x <且10y +<，即1y <-，故A 正确；对于B ，()11111112222225222222xy x y y x x y x y--+⎡⎤⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦59≥+，当且仅当222222y xx y ⋅⋅=，即2log 3x y ==-时，等号成立，所以11122xy -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9，故B 正确；对于C ，因为1221x y ++=≥=12，即121224x y ++-≤=，所以3x y +≤-，当且仅当122x y +=，即11x y =+=-，即1,2x y =-=-时，等号成立，所以x y +的最大值为3-，故C 错误；对于D ，因为1212x y +=-，则()112212242x y y ++=-=-⋅，所以()111112222212232222x y x yy x y y y -+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+=+-=-⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12【分析】根据题意，求得2i 15i z +=+，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由复数13i z =-，可得13i z =+，则2i 15i z +=+，所以2i 15i z +=+=.13．11,123,2n n n n -=⎧⎨⨯≥⎩【分析】当1n =时求出1a ，当2n ≥时1312132231n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=--，作差即可得解.【详解】因为32132(N ,1)23n n a a a a n n n*+++⋅⋅⋅+=-∈≥，当1n =时11321a =-=，当2n ≥时1312132231n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=--，所以113323n n n na n--=-=⨯，所以123n n a n -=⨯，当1n =时123n n a n -=⨯不成立，所以11,123,2n n n a n n -=⎧=⎨⨯≥⎩.故答案为：11,123,2n n n n -=⎧⎨⨯≥⎩14．y =【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得,OC OB ，再求AOC ∠的正切值，进而即可求得渐近线方程.【详解】根据题意，作图如下：依题意，OA 为COB ∠的角平分线，且444CB OA CA a ===，设OC m =，由角平分线定理可得：3OB AB OCAC==，则3OB m =；在OAC 中，由余弦定理2222cos 222AC CO OA m mOCA AC CO am a+-∠=；在OBC △中，由余弦定理可得，2222cos OB OC BC OC BC OCA =+-⋅∠，即222916242m m m a m a a =+-⨯⨯⨯，解得m a =故3cos cos 23m COA OCA a ∠=∠==，tan COA ∠，所以Γ的渐近线方程是y =．故答案为：y =.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：①直接求出,a b ，从而得解；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a b 的齐次式，从而得解；③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.15．(1)列联表见解析，能(2)815【分析】（1）由已知数据完成22⨯列联表，计算2χ，与临界值比较得结论；（2）由分层抽样确定男女生人数，利用组合数公式和古典概型求解.【详解】（1）100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为31006032⨯=+，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20人，22⨯列联表为性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生20525女生403575合计6040100零假设为0H ：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，22100(2035540)505.556 3.841,604025759χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.（2）因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生､女生分别抽到2人和4人，则选中的2人中恰有一人是女生的概率为114226C C 8C 15P ==.16．(1)1122y x =-(2)12a ≥【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）由题意，将问题转化为()()21ln 0g x a x x =--≥（[)1,x ∞∈+）恒成立，利用导数讨论函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】（1）由于()10f =，则切点坐标为()1,0，因为()21()1ln 1x x x f x +-=+'，所以切线斜率为()112f '=，故切线方程为10(1)2y x -=-，即1122y x =-．（2）当[)1,x ∞∈+时，()()1f x a x -≤等价于()2ln 1x a x -≤，令()()21ln =--g x a x x ，[)1,x ∞∈+，()2ln 1x a x -≤恒成立，则()0g x ≥恒成立，2121()2ax g x ax x x='-=-，当0a ≤时，()0g x '≤，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意；当102a <<时，由()0g x '=，得1x =>，x ⎡∈⎢⎣时，()0g x '≤，函数()g x 单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意；当12a ≥时，21a ≥，因为1x ≥，所以2210ax -≥，则()0g x '≥，所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=，符合题意．综上所述，12a ≥．17．(1)23(2)58【分析】（1）将平面AEF 延展得到点P ，再利用相似三角形求解即可.（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量利用夹角公式求解即可.【详解】（1）由正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，又因为点,E F 分别为棱111,BB A C的中点，可得AF AE ==如图所示，延长AF 交1CC 的延长线于M 点，连接ME 交11B C 于点P ，则四边形AFPE 为所求截面，过点E 作BC 的平行线交1CC 于N ，所以1MPC MEN ∽因此1123MC PC MP ME MN EN ===，所以1142,33PC B P ==.（2）以点A 为原点，以1,AC AA 所在的直线分别为,y z轴，以过点A 垂直于平面yAz 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为2AB =，可得()())0,0,0,0,1,2,A F E ，则())0,1,2,AF AE == ，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0,20,n AE y z n AF y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取1z =，则2,y x =-=2,1n ⎫=-⎪⎭，取BC 的中点D ，连接AD .因为△ABC 为等边三角形，可得AD BC ⊥，又因为1BB ⊥平面ABC ，且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，因为1BC BB B = ，且1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，又由3,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，可得3,02AD ⎫=⎪⎪⎝⎭，所以平面11BCC B的一个法向量为)m =，设平面AEF 与平面11BCC B 的夹角为α，则5cos cos ,8m n m n m n α⋅===，所以平面AEF 与平面11BCC B 夹角的余弦值为58.18．(1)22(2)①证明见解析；②【分析】（1）首先得到1C 、2C 的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得2a =，从而得到22b a =，再由离心率公式计算可得；（2）①设()00,P x y ，则直线1PB 的方程为()010y y k x x -=-，进而与椭圆C 联立方程，并结合判别式得()2220100102210x k x y k y --+-=，同理得到()2220200202210x k x y k y --+-=，进而得20122012y k k x -=-，再根据2200122y x =-即可求得答案；②由题知椭圆2C 的标准方程为2221x y +=，进而结合点P 在椭圆2C 上得1212PA PA k k =-，故设直线1PA 的斜率为k ，则直线2PA 的斜率为12k-，进而得其对应的方程，再与椭圆1C 联立方程并结合韦达定理，弦长公式得DE 、MN ，进而得DE MN +．【详解】（1）对于椭圆1C ：2212x y +=，则长轴长为，短轴长为2，焦距为2，椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为2a ，短轴长为2b，焦距为=，所以22b a =，则椭圆2C的离心率2e ==.（22a ==，解得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩2C ：22142x y+=，设()00,P x y ，则直线1PB 的方程为()010y y k x x -=-，即1010y k x y k x =+-，记010t y k x =-，则1PB 的方程为1y k x t =+，将其代入椭圆1C 的方程，消去y ，得()22211214220k x k tx t +++-=，因为直线1PB 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()222114421220k t k t ∆=-+-=，即221210k t -+=，将010t y k x =-代入上式，整理得()222010*******x k x y k y --+-=，同理可得()222020*******x k x y k y --+-=，所以12,k k 为关于k 的方程()22200002210x k x y k y --+-=的两根，所以20122012y k k x -=-．又点()00,P x y 在椭圆222:142x y C +=上，所以2200122y x =-，所以2012201211222x k k x --==--，为定值．②由相似比可知，2a ==12a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆2C ：2221x y +=，其左、右顶点分别为()11,0A -，()21,0A ，恰好为椭圆1C 的左、右焦点，设()33,P x y ，易知直线1PA 、2PA 的斜率均存在且不为0，所以1223233333111PA PA y y y k k x x x =⋅=+--，因为()33,P x y 在椭圆2C 上，所以332221x y +=，即232312x y -=-，所以123223112PA PA y k k x ==--．设直线1PA 的斜率为k ，则直线2PA 的斜率为12k-，所以直线1PA 的方程为()1y k x =+．由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x k +++-=，设()44,D x y ，()55,E x y ，则2425412k x x k -+=+，22452212k x x k -=+，所以45DE x =-=)22112k k +==+，同理可得)222211214121122k k MN k k ⎤⎛⎫+-⎥ ⎪+⎝⎭⎥⎣⎦=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以))22221141212D k k kE N kM ++=++=++【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.19．(1)4,0,3a b d c ====-(2)()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立(3)证明见解析【分析】（1）利用()()3cos cos3cos 2P θθθθ==+展开计算，根据切比雪夫多项式可求得,,,a b d c ；（2）要证原等式成立，只需证明()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立；（3）由已知可得方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根，令()cos ,0,πx θθ=∈，结合（1）可是1cos32θ=，可得123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===，计算可得结论.【详解】（1）依题意，()()()223cos cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos P θθθθθθθθθθθθ==+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-，因此()3343P x x x =-，即32343ax bx cx d x x +++=-，则4,0,3a b d c ====-，（2）()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立.这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅.首先有如下两个式子：()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ+=+=-，()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ-=-=+，两式相加得，()()()11cos cos 2cos cos 2cos cos n n n P P n P θθθθθθ-++==，将cos θ替换为x ，所以()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-.所以对于正整数3n ≥时，有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立.（3）函数()3861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点123,,x x x ，即方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根，令()cos ,0,πx θθ=∈，由()1知1cos32θ=，而()30,3πθ∈，则π33θ=或5π33θ=或7π33θ=，于是123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===，则123π5π7ππ4π2πcos cos coscos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππππcos cos cos cos 2cos cos cos 999999399⎛⎫⎛⎫+=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1230x x x ++=.。

长沙市雅礼中学2015届高三第一次月考物理试题分值：100分 时量：90分钟一、 选择题(本大题共12个小题, 每小题4分,共48分，1-8题为单项选择题，9-12题为多项选择题,全部选对的得4分，选对但不选全的得2分，有错选的得0分) 1．三个质点A 、B 、C 均由N 点沿不同路径运动至M 点，运动轨迹如图1所示，三个质点同时从N 点出发，同时到达M 点，下列说法正确的是 ( ) A ．三个质点从N 点到M 点的平均速度相同 B ．三个质点任意时刻的速度方向都相同C ．三个质点从N 点出发到任意时刻的平均速度都相同D ．三个质点从N 点到M 点的路程相同解析：位移是指从初位置指向末位置的有向线段，在任意时刻，三个质点的位移方向不同，只有均到达M 点后，位移方向相同，故C 错误，D 正确；根据平均速度的定义式v ＝ΔxΔt 可知，三个质点从N 点到M 点的平均速度相同，A 正确；质点的速度方向沿轨迹的切线方向，故三个质点的速度方向不会在任意时刻都相同，B 错误。

答案：A2．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立。

当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为 （ ） A ．游客处于超重状态 B ．游客处于失重状态 C ．游客受到的摩擦力等于重力 D ．筒壁对游客的支持力等于重力【答案】C解析：因为游客在竖直方向受到平衡力的作用3．从高度为h 处以水平速度v 0抛出一个物体，要使该物体的落地速度与水平地面的夹角较大，则h 与v 0的取值应为下列四组中的哪一组( ) A ．h ＝30 m ，v 0＝10 m/s B ．h ＝30 m ，v 0＝30 m/s C ．h ＝50 m ，v 0＝30 m/s D ．h ＝50 m ，v 0＝10 m/s解析：选D 要使落地速度与水平方向夹角较大，应使tan θ＝v y v 0＝2gh v 0中θ较大，应使自由下落的高度h 较大，同时使水平速度v 0较小，故选项D 正确。