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湖南省2021版高三上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高一上·郁南期中) 设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A . 6B . 5C . 4D . 32. （2分） (2020高二上·榆树期末) 下列条件中,使“ ”成立的充分不必要条件是（）A .B .C .D .3. （2分）若平面向量与的夹角是，且，则的坐标为（）A .B .C .D .4. （2分）某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是（）A . 16B . 12C . 8D . 65. （2分） (2018高二上·嘉兴期末) 如图，四边形是边长为1的正方形，，，且，为的中点．则下列结论中不正确的是（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·晋城模拟) 函数（其中，）的部分图象如图所示、将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A . 函数为奇函数B . 函数的单调递增区间为C . 函数为偶函数D . 函数的图象的对称轴为直线7. （2分） (2020高二上·河南月考) 已知等比数列的前项和为，若，且数列也为等比数列，则的表达式为（）A .B .C .D .8. （2分）已知分别为双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题． (共7题；共8分)9. （1分） (2020高一上·杭州期末) 已知正实数、满足，（是自然对数的底数），则 ________.10. （1分） (2016高二下·黑龙江开学考) 已知抛物线C：y2=4x，过焦点F作与x轴垂直的直线l1 ， C上任意一点P（x0 ， y0）（y0≠0）处的切线为l，l与l1交于M，l与准线交于N，则 =________．11. （1分）(2018·重庆模拟) 已知函数，则 ________．12. （1分）函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（﹣1）=0，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f（0）+f（）+f（1）+…+f（）的值是________．13. （1分） (2018高二上·北京期中) 关于x的不等式的解集是，则ab等于________．14. （1分）设a＞，b＞0且满足2a+3b=6，则 + 的最小值为________．15. （2分） (2020高二上·温州期末) 如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线l上取线段，，，，，，则与所成的角为________：二面角的大小为________.三、解答题． (共5题；共45分)16. （10分） (2016高一下·海南期中) 在△ABC中，角A、B，C所对的边为a，b，c，若（1）求角B的值；（2）求△ABC的面积．17. （10分） (2015高三上·枣庄期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求锐二面角C﹣PB﹣D的大小．18. （5分） (2019高二上·宝坻月考) 已知函数（I）求函数的最小值；（II）若不等式恒成立，求实数t的取值范围．19. （10分） (2019高二上·湖南月考) 如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和上顶点，．（1）求椭圆的离心率；（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．20. （10分）祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商在第一年初到大陆创办一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第七年开始，每年初M的价值为年初的75%．（1）求第n年初M的价值an的表达式；（2）设An= ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：必须在第九年初对M更新．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题． (共7题；共8分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题． (共5题；共45分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：。
2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z =（ ） A ．2-B ．2C ．1i -D ．1i +2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()UA B 的子集个数为（ ） A ．7B ．3C ．8D ．93.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象中相邻对称轴的距离为2π，若角ϕ的终边经过点(3,3)，则()4f π的值为（ ）A ．3 B ．3 C ．2 D ．234.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =5.设不等式组,3,4y x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为1Ω，不等式22(2)(2)2x y ++-≤表示的平面区域为2Ω，对于1Ω中的任意一点M 和2Ω中的任意一点N ，||MN 的最小值为（ ）A ．22B．24C ．2D ．326.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A ．11B 2C 5D 58.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为（ ） A ．1006B ．1007C ．1008D ．10099.已知非零向量a ，b ，c 满足||||4a b b -==，()()0a c b c -⋅-=，若对每个确定的b ，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值（ ） A ．随||a 增大而增大B ．随||a 增大而减小C ．是2D ．是410.已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3AB =，3AC =，23BC CD BD ===，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π11.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=︒，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A 7B 7C 7D 712.已知e 为自然对数的底数，若对任意的[]0,1x ∈，总存在唯一的[]1,1y ∈-，使得20yx y e a +-=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,]eB ．1(1,]e e+C ．(1,]eD ．11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0a >，6()x x-展开式的常数项为15，22(4)a ax x x dx -++-=⎰ ．14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是 ．15.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+（*n N ∈），设21(1)2nn n na c S +=-，则数列{}n c 的前2016项的和为 ．16.已知F 是椭圆C ：221204x y +=的右焦点，P 是C 上一点，(2,1)A -，当APF ∆周长最小时，其面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ⋅=，22sin 3BAC ∠=，32AB =，3BD =．（1）求AD 的长； （2）求cos C ．18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为梯形，ADE ∆，BCF ∆均为等边三角形，//EF AB ，12EF AD AB ==．（1）过BD 作截面与线段FC 交于点N ，使得//AF 平面BDN ，试确定点N 的位置，并予以证明； （2）在（1）的条件下，求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值．19.2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如图频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b c +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计 捐款超过500元 30a =b 捐款不超过500元c6d =合计2()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20.已知抛物线C 的顶点在原点，其焦点(0,)F c （0c >）到直线l ：20x y --=的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线 PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值．21.已知函数()1x xaxf x be e -=++，点(0,1)M 在曲线()y f x =上，且曲线在点M 处的切线与直线20x y -=垂直．（1）求a ，b 的值；（2）如果当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-，求k 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲设()|||21|f x x x =--，记()1f x >-的解集为M ． （1）求集合M ；（2）已知a M ∈，比较21a a -+与1a的大小．2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题参考答案一、选择题1-5:BCABC 6-10:DCCDC 11、12：CB二、填空题13.2233π++ 14.[]16,16- 15.20162017-16.4 三、解答题17.解：（1）因为0AD AC ⋅=，则AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠，即cos BAD ∠=． 在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠． 即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =． 因为AB AD >，所以3AD =． （2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，又由cos 3BAD ∠=，可知1sin 3BAD ∠=，所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==．因为2ADB DAC C C π∠=∠+=+，所以cos C =18.解：（1）当N 为线段FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ． 证法如下：连接AC ，BD ，设ACBD O =，∵四边形ABCD 为矩形， ∴O 为AC 的中点， 又∵N 为FC 的中点， ∴ON 为ACF ∆的中位线， ∴//AF ON ，∵AF ⊄平面BDN ，ON ⊂平面BDN ，∴//AF 平面BDN ，故N 为FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ．（2）过O 作//PQ AB 分别与AD ，BC 交于P ，Q ， 因为O 为AC 的中点，所以P ，Q 分别为AD ，BC 的中点， ∵ADE ∆与BCF ∆均为等边三角形，且AD BC =， ∴ADE BCF ∆≅∆，连接EP ，FQ ，则得EP FQ =， ∵//EF AB ，//AB PQ ，12EF AB =， ∴//EF PQ ，12EF PQ =， ∴四边形EPQF 为等腰梯形．取EF 的中点M ，连接MO ，则MO PQ ⊥， 又∵AD EP ⊥，AD PQ ⊥，EP PQ P =，∴AD ⊥平面EPQF ，过O 点作OG AB ⊥于G ，则//OG AD ， ∴OG ⊥OM ，OG OQ ⊥．分别以OG ，OQ ，OM 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设4AB =，则由条件可得：(0,0,0)O ，(1,2,0)A -，(1,2,0)B ，2)F ，(1,2,0)D --，132(,,222N -． 设(,,)n x y z =是平面ABF 的法向量，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,320,y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 所以可取(2,0,1)n =，由312 (,,)22BN=--，可得||2|cos,|3||||BN nBN nBN n⋅<>==⋅，∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为23．19.解：（1）记每户居民的平均损失为x元，则(10000.0001530000.0002050000.000970000.0000390000.00003)2000 x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯3360=．（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有(0.000090.000030.00003)20005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有0.000032000503⨯⨯=户，因此ξ的可能值为0,1,2，21221522(0)35CPCξ===，1131221512(1)35C CPCξ===，232151(2)35CPCξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2P22351235135()0123535355Eξ=⨯+⨯+⨯=．（3）解得9b=，5c=，39a b+=，11c d+=，35a c+=，15b d+=，50a b c d+++=，2250(30695)4.046 3.84139113515K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．20.解：（1）依题意，设抛物线C 的方程为24x cy ==，结合0c >，解得1c =． 所以抛物线C 的方程为24x y =． （2）抛物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得1'2y x =， 设11(,)A x y ，22(,)B x y （其中2114x y =，2224x y =），则切线PA ，PB 的斜率分别为112x ，212x ，所以切线PA 的方程为111()2x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+， 即11220x x y y --=．同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线PA ，PB 均过点00(,)P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=， 所以11(,)x y ，22(,)x y 为方程00220x x y y --=的两组解， 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=．（3）由抛物线定义可知1||1AF y =+，2||1BF y =+， 所以121212||||(1)(1)()1AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎨=⎩消去x 整理得222000(2)0y y x y y +-+=．由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-，2120y y y =， 所以221212000||||()121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+，又点00(,)P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以222200000019212252()22y x y y y y +-+=++=++， 所以当012y =-时，||||AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92．21.解：（1）2(1)'()(1)x x xx a e axe f x be e -+-=-+，依题意(0)1f =，1'(0)2f =-，解得1a b ==． （2）由（1）可知()1x x x f x e e -=++，代入()1x x x f x ke e ->+-得 11x x x x x x e ke e e --+>++-，即21x x x k e e-->-， 因为当0x >时，0x x e e -->，0x <时，0x x e e --<，所以20x xx e e ->-， 所以10k ->，即(1)2()01x x x x k x e e e e k----->--， 令21t k =-，设()x x g x e e tx -=--，则0t >， 又'()x x g x e e t -=+-．①当02t <≤，即0k ≤时，'()20x x g x e et t -=+-≥-≥恒成立， 所以()x x g x e e tx -=--在R 上单调递增，所以（i ）当0x >时，()(0)0g x g >=，又因为此时0x x e e-->，10k ->， 所以(1)2()01x x x x k x e e e e k ----->--，即()1x x x f x ke e ->+-成立； （ii ）当0x <时，()(0)0g x g <=，又因为此时0x x e e--<，10k ->， 所以(1)2()01x x x x k x e e e e k ----->--，即()1x x x f x ke e ->+-成立． 因此当0k ≤时，当0x ≠时，都有()1x x x f x ke e ->+-成立，符合题意．②当2t >，即01k <<时，由'()0x xg x e e t -=+-=，得1x =，2x =， 因为2t >，所以20x >，120x x =-<，当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，所以()g x 在2(0,)x 上递减，所以()(0)0g x g <=， 又因为此时0x x e e -->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k -----<--，即 ()1x x x f x ke e -<+-与()1x x x f x ke e ->+-矛盾，所以不符合题意． 综上可知：k 的取值范围是0k ≤．22.解：（1）点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2,)3π，5(2,)6π，4(2,)3π，11(2,)6π，点A ，B ，C ，D 的直角坐标为，(，(1,-，1)-.（2）设00(,)P x y ，则002cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），222222||||||||16cos 36sin 16t PA PB PC PD ϕϕ=+++=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈．23.解：（1）1,0,1()|||21|31,0,211,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪=--=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩由()1f x >-，得0,11x x ≤⎧⎨->-⎩或10,2311x x ⎧<<⎪⎨⎪->-⎩或1,211,x x ⎧≥⎪⎨⎪-+>-⎩ 解得02x <<，故{}|02M x x =<<．（2）由（1）知02a <<， 因为322211(1)(1)1a a a a a a a a a a -+--+-+-==， 当01a <<时，2(1)(1)0a a a -+<，所以211a a a-+<； 当1a =时，2(1)(1)0a a a -+=，所以211a a a-+=； 当12a <<时，2(1)(1)0a a a -+>，所以211a a a-+>． 综上所述：当01a <<时，211a a a-+<； 当1a =时，211a a a-+=； 当12a <<时，211a a a -+>．。
2021届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期第一次大联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|(2)0}A x x x =-，{1,0,1,2,3}B =-，则()U A B 的子集个数为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】B【解析】先求出U C A ,再求出()U C A B ⋂,然后利用公式2n 进行计算可得. 【详解】(,0)(2,)U C A =-∞+∞，∴(){1,3}U C A B =-，∴子集个数为4．故选B. 【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题.2．若复数z 满足()112i z i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】先由复数的除法得1322z i =-+，再求其共轭复数即可得解.【详解】由()112i z i -=+，可得12(12)(1)1321312222i i i i z i i ++++-====-+-. 1322z i =--在复平面内对应的点为13(,)22--位于第三象限.故选：C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ）A ．23钱 B ．1钱 C ．43钱 D ．53钱【答案】B【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5即可得解． 【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5，∴a ＝1， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题.4．已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增. 【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数， 又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合,【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 5．已知，均为单位向量，，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】 解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．6．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“ABC ∆为锐角三角形”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由余弦定理可知222a b c +>时C 一定为锐角，进而由充分必要条件的定义判断即可得解. 【详解】当△ABC 为锐角三角形时，C 一定为锐角，此时222a b c +>成立，当222a b c +>成立时，由余弦定理可得cos C ＞0，即C 为锐角，但此时△ABC 形状不能确定， 故ABC ∆为锐角三角形”是“222a b c +>”的充分不必要条件，【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断及余弦定理的应用，属于基础题. 7．在ABC ∆中，1AB =，3AC =，1AB BC ⋅=，则ABC ∆的面积为（ ） A ．12B ．1C ．5 D ．5【答案】C【解析】由()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-可得2cos 3A =，进而得5sin 3A =，再利用面积公式即可得解. 【详解】因为2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=，解得2cos 3A =. 所以25sin 1cos A A =-=. 所以ABC ∆的面积为1155sin 1322AB AC A ⋅⋅=⨯⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题. 8．要得到函数的图象，只需将函数的图象A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位【答案】D【解析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】， 故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 9．设4log 3a =，8log 6b =，0.10.5c -=，则（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数2log y x =的单调性可得1a b << ,通过指数函数的性质可得1c > . 【详解】2log 3a =32log 6b =663(3)6)0-<，∴1a b <<，0.121c =>，故选D ． 【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()(32)f x x x =-，则29()2f =（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和(1)(1)f x f x -=+可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得. 【详解】∵()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x -=+， ∴(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-，4T=，29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-． 故选A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.11．设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞ C ．[2,2]- D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】B【解析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x 时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240a a m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a ．故选B ． 【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题. 12．若(0,)x ∀∈+∞，1ln(1)1x kx x ++>+恒成立，则整数k 的最大值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立, 即h(x)的最小值大于k,再通过,二次求导可求得. 【详解】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立，即h(x)的最小值大于k ，2x 1ln(x 1)h (x)x --+'=，令g(x)x 1ln(x 1)(x 0)=--+>，则()01xg x x '=>+，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，又(2)1ln30g =-<，(3)22ln20g =->，∴g(x)0=存在唯一实根a ，且满足(2,3)a ∈，1ln(1)a a =++．当x a >时，g(x)0>，h (x)0'>；当0x a <<时，g(x)0<，()0h x '<，∴(1)[1ln(1)]()()1(3,4)min a a h x h a a a+++===+∈，故整数k 的最大值为3．故选C ．【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题.二、填空题13．由曲线22y x x =-+与直线y x =围成的封闭图形的面积为___________．【答案】16【解析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)，结合图像可知围成的封闭图形的面积. 【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)， 如图:结合图像可知围成的封闭图形的面积为1123200111(2)()326x x x dx x x -+-=-+=⎰．【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.【答案】45【解析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24sin 5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin 5α=.故答案为：45.【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题. 15．已知()ln(e 1)(0)ax f x bx b =+-≠是偶函数，则ab=__________． 【答案】2【解析】根据偶函数的定义,由()()f x f x -= 恒成立可得. 【详解】由()()f x f x =-得1ln(1)ln(1)ln ln(1)ax axaxax ax e e bx ebx bx e ax bx e-++-=++=+=+-+，∴2ax bx = ，2ab=． 【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题. 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132020a =，()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，则当n S 取最大值时，n 的值为______.【答案】674【解析】化简条件可得()*11112,n n n n N S S --=-≥∈，进而得120233n S n=-，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解. 【详解】由()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，可得()*112,n n n n S S S S n n N ---=≥∈.所以()*11112,n n n n N S S --=-≥∈. 从而有：1{}n S 是以1120203S =为首项，-1为公差的等差数列. 所以120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-，所以120233n S n=-. 当1674n ≤≤时，n S 递增，且0n S >； 当675n ≤时，n S 递增，且0n S <.所以当674n =时，n S 取最大值. 故答案为：674. 【点睛】本题主要考查了n a 和n S 的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，519a =，555S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）41n a n =-（2）()343nn +【解析】（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可；（2）先求得1111144143n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项求和即可得解. 【详解】解析：（1）设公差为d ，则1141951055a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，∴()34141n a n n =+-=-.（2）()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111114377114143n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()343n n =+. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题.18．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222()2cos a b ac B bc -=+． （1）求A ；（2）D 为边BC 上一点，3BD DC =，2DAB π∠=，求tan C ．【答案】（1）23π；（2. 【解析】【详解】分析：（1）由余弦定理可得222a b c bc --=，从而可得cos A ，进而得解； （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,①，在Rt ABC 中， ()sin 30c C BD+=,②，联立①和②可得解.详解：（1）由已知条件和余弦定理得：222222222a c b a b ac bc ac+--=⋅+即： 222a b c bc --=则2221cos 22b c a A bc +-==-又0A π<<，23A π∴=. （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,① 在Rt ABD △中， ()sin 30cC BD+=,② 由①②可得：()sin 30sin CC+=1cos 22sin C C C +=,化简可得：tan 7C =. 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 19．已知函数()()cos sin f x x x α=+-，0απ<<，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为12y x b =+. （1）求α与b 的值；（2）求()f x 的最大值及单调递增区间.【答案】（1）3πα=,b =（2）最大值12，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】（1）求函数的导数得()'cos(2)f x x α=+，由()1'02f =得3πα=，从而得解； （2）由1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合三角函数性质利用整体代换可求最值和单调区间. 【详解】（1）()()()'sin sin cos cos f x x x x x αα=-+++()cos 2x α=+，()1'02f =，3πα=，()0f =，b =.（2）()21sin cos 2f x x x x =+11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 当2232x k πππ+=+，k Z ∈时，()f x 取得最大值12. 由222232k x k πππππ-≤+≤+得5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， ∴()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和性质及利用导数求函数切线，属于中档题.20．已知数列{}n a 满足1n a >且()()()22221222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =（2）()1122n n T n +=-⋅+【解析】（1）先令1n =得12a =，再由()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--，与条件作差得2nn a =；（2）由2nn b n =⋅，利用错位相减法求和即可.【详解】解析：（1）当1n =时，()221log 1a =，由1n a >得12a =.当2n ≥时，()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--，∴()()()()()2211log 12112166n a n n n n n n =++---2n =，∴2nn a =，∵1n =也适合，∴2nn a =. （2）2nn b n =⋅，∴1212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，两式相减得1212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1122n n +=-⋅-，∴()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题.21．已知函数()2xf x e ax a =+++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≤时，()2f x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）[]1,0-【解析】（1）求函数导数得()'xf x e a =+，分别讨论0a ≥和0a <时导数的正负从而得函数的单调性；（2）令()xh x e ax a =++，则()00h ≥，1a ≥-，讨论0a =，0a >和10a -≤<时，利用导数研究函数的单调性进而得解. 【详解】（1）()'xf x e a =+，若0a ≥，则()'0f x >，()f x 在R 上单调递增；若0a <时，由()'0f x >得()ln x a >-，由()'0f x <得()ln x a <-，∴()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增.（2）当0x ≤时，22x e ax a +++≥，即0x e ax a ++≥，令()xh x e ax a =++，则()00h ≥，1a ≥-， 当0a =时，()0xh x e =>，满足题意；当0a >时，()'0xh x e a =+>，∴()h x 在(],0-∞上递增，由x y e =与()1y a x =-+的图像可得()0h x ≥在(],0-∞上不恒成立；当10a -≤<时，由()'0xh x e a =+=解得()ln x a =-，当()ln x a <-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当()ln 0a x -<≤时，()'0h x >，()h x 单调递增.∴()h x 在(],0-∞上的最小值为()()ln h a -，∴()()()ln ln 0h a a a -=-≥，解得10a -≤<. 综上可得实数a 的取值范围是[]1,0-. 【点睛】本题主要考查了函数导数的应用及分类讨论的思想，利用导数研究函数最值解决恒成立问题，属于难题.22．已知函数()ln 1,f x x ax a =-+∈R ． （1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，直线AB 的斜率为k ，若120x x k ++>恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）(0,1)（2）(2]-∞【解析】(1)求导得1()f x a x'=-,当0a ≤时,可得()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点, 当0a >时,利用导数可以求得函数()f x 在定义域内的最大值为1()f a ,由11()ln 0f a a=>，解得01a <<.然后根据1()0f a >,1()0f e < 得到()f x 在11(,)e a 上有1个零点；根据1()0f a >,22f ()0e a <,得到()f x 在221(,)ea a上有1个零点,可得a 的取值范围. (2)利用斜率公式将120x x k ++>恒成立,转化为2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-,即2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数,再求导后,分离变量变成min 1(2)a x x+,最后用基本不等式求得最小值,代入即得. 【详解】 （1）1()f x a x'=-，0x >， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点；②当0a >时，在区间1(0,)a上，()0f x '>；在区间1(,)a +∞上，()0f x '<．∴()f x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a +∞是减函数，11()ln 0f a a =>，解得01a <<，此时2211ee a a<<，且1()110a a f e e e =--+=-<，∴()f x 在11(,)e a上有1个零点；2222()22ln 132ln (01)e e e f a a a a a a=--+=--<<， 令2()32ln e F a a a =--，则222222()0e e aF x a a a-'=-+=>，∴()F a 在(0,1)上单调递增， ∴2()()130F a F e <=-<，即22f ()0e a <，∴()f x 在221(,)ea a上有1个零点．∴a 的取值范围是(0,1)． （2）由题意得22111221ln ln 0x ax x ax x x x x --+++>-，∴2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-， ∴2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数， ∴1()20m x x a x'=+-在(0,)+∞上恒成立，∴min 1(2)a x x +，∵0x >，∴11222x x x x +⋅=12x x =时，即x =取等号，∴22a ．∴a 的取值范围是(-∞． 【点睛】本题考查了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用基本不等式求最值,属难题.。
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计a=30b捐款超过500元c d=6捐款不超过500元合计P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．=•（﹣1）r•a6﹣r•，【解答】解：由的展开式的通项公式为T r+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a ＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，②﹣①得：+a n﹣a n，+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+， =﹣．故答案为：16．（5分）已知F 是椭圆C ：+=1的右焦点，P 是C 上一点，A （﹣2，1），当△APF 周长最小时，其面积为 4 ． 【解答】解：椭圆C ：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F （4，0）．△APF 周长为|AF |+|AP |+|PF |=|AF |+|AP |+（2a ﹣|PF'|） =|AF |+|AP |﹣|PF'|+2a ≥|AF |﹣|AF'|+2a ，当且仅当A ，P ，F'三点共线，即P 位于x 轴上方时，三角形周长最小． 此时直线AF'的方程为y=（x +4），代入x 2+5y 2=20中，可求得P （0，2）， 故S △APF =S △PF'F ﹣S △AF'F =×2×8﹣×1×8=4． 故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC 中，已知点D 在BC 边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a=30b捐款不超过500元c d=6合计P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分）（Ⅱ）由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ01 2PEξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计30939捐款超过500元5611捐款不超过500元合计351550K2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【解答】解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。
2021年湖南省长沙市麓山国际实验学校高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B由题意可得：.本题选择B选项.2. 阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．（2，+∞）参考答案：B【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间[，]内，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间[，]，即[2﹣2，2﹣1]内，∴x∈[﹣2，﹣1]．故选：B．【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基础题．3. 已知定义在上的函数的图象关于（1，1）对称，，若函数图象与函数图象的次点为，则（）A．8072 B．6054 C.4036 D．2018参考答案：B4. 若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（）A． B． C． D．参考答案：D5. 的展开式中含的正整数指数幂的项数是( )A.0B.2C.4D.6参考答案：B展开式通项为T r+1=，若展开式中含的正整数指数幂，即∈N*,且,所以.6. 下列说法：①命题“存在” 的否定是“对任意的”；②关于的不等式恒成立，则的取值范围是；③函数为奇函数的充要条件是；其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：B略7. 已知函数在区间上的函数值大于0恒成立，则实数的取值范围是 ( ）A． B． C． D．参考答案：B 8. 设a=log37，b=23.3，c=0.83.3，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b参考答案：B考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵1＜a=log37＜2，b=23.3＞2，c=0.83.3＜1．∴c＜a＜b．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是：A B C D参考答案：D10. 函数的部分图象可能是（A）（B）（C）（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将正方体的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5种不同的颜色，并涂好了过顶点A的3个面得颜色，那么其余3个面的涂色方案共有种参考答案：1312. 已知函数的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数，则可求得（）A．B．C．D．参考答案：D略13. 设，则=____________ .参考答案：14. 已知等差数列的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8= ．参考答案：72【考点】等差数列的前n项和．【分析】先根据a4=18﹣a5求得a4+a5，进而求得a1+a8代入S8中答案可得．【解答】解：∵a4=18﹣a5，∴a4+a5=18，∴a1+a8=18，∴S8==72故答案为7215. 在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为.参考答案：略16. 如图，半径为的圆中，，为的中点，的延长线交圆于点，则线段的长为．参考答案：17. 数列满足，数列的前项和记为，若有对任意的恒成立，则正整数的最小值为_________．参考答案：11考点：1.数列的递推公式；2.数列的函数性.【易错点睛】本题考查了由数列的递推公式求数列的通项公式，属于中档题型，易错点在，如何根据这个式子计算数列的单调性，，判断函数的单调性，这样问题就迎刃而解了.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021 届高三年级教学质量统一检测〔二〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日理科数学第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.,集合,那么( )A. 或者B.C.D.【答案】D【解析】由，可知，应选D.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考察集合的表示、集合的运算比拟多．对于集合的表示，特别是描绘法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考察集合的运算，多考察交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，防止出错．为虚数单位，，那么实数( )A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】C【解析】由得：，所以，应选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，一共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．3.?九章算术?是中国古代第一部数学专著，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完好的体系。
其书中的更相减损法的思路与右边的程序框图相似．执行该程序框图，假设输入的分别为 12，15，那么输出的等于( )A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】执行程序一次，，执行第二次程序，，第三次执行程序，，第四次执行程序后，因为跳出循环，输出，应选A.的图象在点处切线的斜率为，那么函数的图象一局部可以是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：求出函数的导数，得到切线的斜率的函数的解析式，然后判断函数的图象即可．详解：由可得：即，函数是奇函数，排除选项B，D；当时，，排除选项C．应选：A．点睛：此题考察函数的导数的应用，函数的图象的判断，是根本知识的考察．中，有 5 枚是真币，1 枚是魔术币，它们外形完全一样，但是魔术币与真币的重量不同，现和一共重 10 克，一共重 11 克，一共重 16 克，那么可推断魔术币为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】5枚真币重量一样，那么任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，c，d中一定有一个为假的，假设c为假币，那么真硬币的重量为5克，那么c的重量为6克，满足a，c，e一共重16克，故假设成立，假设d为假币，那么真硬币的重量为5克，不满足a，c，e一共重16克，故假设不成立，那么d是真硬币，应选：C．6.展开式中的系数为( )A. 14B. -14C. 56D. -56【答案】B【解析】从的7个因式中两个取其余取1或者者三个取其余取1，分别为含的项，与相乘后合并同类项可得系数为，应选B.7.在面积为 1 的正方形中任意取一点，能使三角形，，，的面积都大于的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，当P点落在间隔正方形各边间隔为的小正方形内时，能使三角形，，，的面积都大于，根据几何概型概率公式知，应选C.8.某几何体的三视图如下图，图中网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的外接球的外表积为A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，高为3，其一个侧面与底面垂直，且底面为等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的侧面的三角形高上，设球半径为R，那么解得，所以球的外表积为，应选A., 其图象与直线相邻两个交点的间隔为假设对恒成立，那么的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数, 其图象与直线相邻两个交点的间隔为所以函数周期为,，由知，又时，且，所以解得，应选D.上的两个动点和，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，那么点 C 与圆的位置关系为( )A. 圆上B. 圆外C. 圆内D. 不能确定【答案】C【解析】由点差法：AB的斜率，所以其中垂线斜率为，故AB的垂直平分线方程为，令得，所以，所以在圆内，选C.11.，假设恰有两个根,那么的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，所以，从而，求导可得，当时，，当时，，所以函数在，所以选D.点睛：判断函数零点问题，可以转化为方程的根或者者两个函数的交点问题，特别是选择题、填空题，通过函数图像判断较简单。
2021年高三上学期第一次质检数学（理）试卷含解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B=．2．函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是．6．已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）= ．7．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是．9．在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为．12．若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m的值为．13．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是．14．一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有．（填上所有正确答案的序号）（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；①f1②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．17．（14分）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．18．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．21．（16分）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．22．（16分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x ﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．23．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．xx学年江苏省徐州市沛县中学高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B={1，2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（xx秋•普宁市校级期中）函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的导数，然后令f′（x）＞0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：f′（x）=2（x﹣1），令f′（x）＞0，解得x＞1，所以f（x）在[1，+∞）递增，即函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及导数的应用，属于基础题．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，则复数z的虚部是：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是{} ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意可得，解之可得函数的定义域，注意写成集合的形式即可．【解答】解：由题意可得，解之可得故函数的定义域是{}．故答案为：{}【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是（﹣4，0] ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的取值范围．【解答】解：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣2，0）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x﹣z经过点O（0，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=﹣2×2=4，最小值z=0﹣0=0．即﹣4＜z≤0．故答案为：（﹣4，0]【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．6．（xx•长春三模）已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=5．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件求解f（x）+f（﹣x）=2，然后即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=+sinx，∴f（x）+f（x）=+sinx++sin（﹣x）=，则f（0）=1，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=2+2+1=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件得到f（x）+f（﹣x）=2是解决本题的关键．7．（xx•通州区一模）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是（0，3）．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．9．（xx•通州区一模）在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．【考点】正弦定理．【专题】对应思想；综合法；解三角形．【分析】利用正弦定理解出sinA，cosA，根据两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式求得面积．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinA=，∴cosA=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．===．∴S△ABC故答案为．【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的充分不必要条件条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断，可得结论．【解答】解：由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sinx＞0，故“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sinx≥0，a≥1，不能得到“a ＞1”，故必要性不成立，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．11．（xx•万州区模拟）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为8．【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】解：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．12．（2011秋•雁塔区校级期末）若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m 的值为．【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】化简函数y=sinx+mcosx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出m即可．【解答】解：函数y=sinx+mcosx=sin（x+θ），其中tanθ=m，，其图象关于直线对称，所以θ+=±，θ=，或θ=（舍去）所以tanθ=m=，故答案为：．【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．13．（xx•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是1．【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：∵=||||cosA，∠A=120°，∴||||=4∵=（+），∴||2=（||2+||2+2 •）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1∴min=1故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（xx•安庆二模）一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有②③⑤．（填上所有正确答案的序号）①f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．【考点】进行简单的合情推理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出题目中所给5个函数的值域，根据已知中“保域函数”的定义逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于①，f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]的值域为[﹣1，0]，不符合，故①舍去；对于②，f2（x）=sinx，x∈[，π]的值域为，故②正确；对于③，，于是f3（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，其值域为[﹣2，2]，故③正确；对于④，，单调递增，其值域为[1，e2﹣2]，不符合题意，故④舍去；对于⑤，f5（0）=0，当x＞0时，（当且仅当x=1时，等号成立），其值域为[0，2]，故⑤正确．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中熟练掌握求函数值域的方法，并正确理解保域函数”的定义是解答的关键．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）（xx秋•苏州期中）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用a=4，求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，即可求解集合A∩B．（2）通过“x∈A”是“x∈B”的充分条件，推出关于a的表达式，求出a的范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，a=4，所以（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0⇒（x﹣3）（x﹣17）＜0，解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，由函数y=lg（﹣x2+5x+14）可知﹣x2+5x+14＞0，解得：﹣2＜x＜7，所以函数的定义域为集合B={x|﹣2＜x＜7}，集合A∩B={x|3＜x＜7}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|﹣2＜x＜7}，当3a+5＞3即a＞﹣时，3a+5≤7，解得﹣＜a≤．当3a+5≤3即a≤﹣时，3a+5≥﹣2，解得﹣≥a≥﹣．综上实数a的取值范围：．【点评】本题考查二次不等式的解法，对数函数的定义域的求法，集合的交集与充要条件的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．17．（14分）（xx春•洛阳期末）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常方法．18．（14分）（xx•玉溪三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC ﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cosBsinC=﹣sinCsinB，又sinC≠0，从而可求tanB=﹣，结合B为三角形内角，即可得解B的值．（Ⅱ）由D为边AC的中点，可得2=+，两边平方，设||=c，||=a，可得4=a2+c2﹣ac，结合基本不等式的应用可得ac的最大值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a=bcosC﹣csinB，∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sin（B+C）=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC﹣sinCsinB，∴cosBsinC=﹣sinCsinB，又∵C为三角形内角，可得sinC≠0，∴tanB=﹣，又∵B为三角形内角，可得B=…（6分）（Ⅱ）如图，∵点D为边AC的中点，∴2=+，∴两边平方可得：4||2=||2+2||•||•cos∠ABC+||2，…（9分）又∵由（Ⅰ）知B=，设||=c，||=a，即：4=a2+c2﹣ac≥ac，（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsin∠ABC=ac≤．∴S△ABC∴当且仅当a=c=2时，△ABC面积的最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（14分）（xx•江西二模）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|=|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．20．（16分）（xx•宝山区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．【考点】三点共线；三角函数的最值．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（6分）（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，∴∵，∴cosx∈[0，1]（8分）当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；（9分）当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得（舍）（10分）当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得（11分）综上所述，为所求．（12分）【点评】本题考查三点共线的证明方法及三角函数的最值的运用向量与三角相结合，综合性较强，尤其本题中在判定最值时需要分类讨论的，对思考问题的严密性一个挑战．21．（16分）（xx春•成都校级期中）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．【解答】解：按方案一：如图，连OC，设，在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在Rt△OAD中，，得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC==sin（2x+）﹣，由得．所以当，即时．按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα在Rt△ONH中，，得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2ME•MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）=由，则，所以当，即时∵，即y max＞S max答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题．22．（16分）（xx•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．23．（16分）（xx•桂林模拟）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．39179 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2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}22<0A x x =+-，141log 2B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则（）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．R A B ⋂=∅D ．122A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭答案：B【分析】先化简集合,A B ,再分析判断得解.解：由题得{}21A x x =-<<，1211441log log ()4B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭102x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.所以B A ⊆.R A B ⋂≠∅，102A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭.故选：B点评：易错点睛：化简集合B 时，容易漏掉0x >，得到12B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭.在研究函数的问题时，一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错. 2．若复数z 满足()12z i i -=，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为i B ．z 为实数 C．z =D ．2z z i +=答案：C【分析】利用复数的除法运算，可得1z i =-，即可判断各选项的正误； 解：由()12z i i -=，知：211iz i i==--； ∴z 的虚部为1，||z =2z z +=-；故选：C点评：本题考查了复数的运算，利用复数的概念判断选项的正误，属于简单题；3．()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（） A ．5- B ．20-C ．15D ．5答案：B【分析】求出5(1)x -的展开式的2x 的系数和4x 的系数，即得解.解：设5(1)x -的通项为55155(1)(1)r rr r r r r T C xC x --+=-=-，当3r =时，2x 的系数为335(1)C -； 当1r =时，4x 的系数为115(1)C -.所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为()()3315512120C C -+-=-， 故选：B.点评：本题主要考查二项式定理求展开式的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和计算能力.4．设R λ∈，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥12e +与12-e e λ的夹角为3π，则λ=（）A ．B ．-C D ．1答案：A【分析】先利用已知条件得到11e =，21e =，120e e ⋅=，再利用向量的数量积运算法则代入求解即可. 解：由题意得，11e =，21e =，120e e ⋅=，12e +与12-e e λ的夹角为3π，得)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ⋅=+--⋅+⋅-=，122e +=，12-1e e λ=+则)()12121212cos33e e e e e e e πλλλ⋅==+-+-=，所以λ=故选：A.点评：本题主要考查了平面向量的数量积运算.属于较易题. 5．已知数列{a n }满足a n ＝1+2+3++n ，则122020111a a a +++=（）A ．20202021B ．20191010 C ．20192020 D ．40402021答案：D【分析】利用等差数列求和公式化简n a ，再利用裂项相消法求和.解：因为()12n n n a +=，则1112[]1n a n n =-+， 所以2202011111111140402[1]223202020212021a a a +++=⨯-+-++-=. 故选：D点评：本题考查等差数列求和公式、裂项相消法求和，属于基础题. 6．随机变量X 的分布列如表：若()2E X =，则()D X =（） A ．32B ．43C ．54D ．65答案：A【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，再利用方差公式可取得()D X 的值.解：由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=. 故选：A.7．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭353()5a =，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）。
2020届湖南省高三上学期期末统测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R （ ） A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅ 2．已知复数552i z i i -=-，则z =（ ）A B ．C ．D ．3．设133a =，13log 2b =，1213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b << 4．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．2π D ．π5．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（ ）A ．16B ．112C ．13D ．126．设,,m n l 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nB ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥ 7．若执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．3ln2B ．2ln3C ．ln7D ．ln108．已知函数||()32x a f x -=+，且满足(5)(3)f x f x +=-，则(6)f =（ ） A ．29 B ．5 C ．3 D ．119．已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且,,A F B 三点共线，则||AF =（ ） A ．12 B ．10 C ．6 D ．810．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ）A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =- 11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．156012．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④二、填空题13．已知数列{}n a 是等比数列，131,36a a ==，则2a =__________.14．已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b 的夹角为θ，则sin θ=__________. 15．（2x 31x-）8的展开式中常数项是_____.（用数字表示） 16．双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>与椭圆()2211221110x y a b a b +=>>有相同的焦点，且左、右焦点分别为12,F F ，它们在第一象限的交点为P ，若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为____________.三、解答题17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且(3)cos cos 0a c B b C ++=. （1）求sin B ；（2）若1,a b ==ABC ∆的面积.18．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上（P 不与B ，C 重合），E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .（1）证明：BP ⊥平面DCP .（2）三棱锥D BPC -的体积最大时，求二面角B PD E --的余弦值.19．生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.20．已知12,F F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线:4m x =与x 轴交于点A ，直线2MF 与直线AN 的交点为B . （1）证明：点B 恒在椭圆C 上.（2）设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.21．已知函数()ln 12a f x x a x x =+--+有两个不同的极值点12,x x . （1）求a 的取值范围.（2）求()f x 的极大值与极小值之和的取值范围.（3）若110,,,22m n ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f m f n -是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是11cos ,421sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值.23．已知函数()|2||3|f x x x =++-.（1）解不等式()32f x x ≤-；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值.参考答案1．A【解析】【分析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂. 【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.2．B【分析】先求z ，并根据复数除法法则以及模的定义求结果.【详解】 552i z i i -=∴-()525551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故z ==故选：B【点睛】本题考查复数除法法则以及模的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.3．C【分析】利用“0,1分段法”比较出,,a b c 三者的大小关系.【详解】因为1331a =>，13log 20b =<，121013c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题.4．D【分析】利用降次公式化简()f x 表达式，再由此求得最小正周期.【详解】 因为22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为π.故选：D【点睛】 本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 5．B【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】骰子向上为6点的概率为16，硬币向上为正面的概率为12，故所求事件的概率为1116212⨯=. 故选：B【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.6．C【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A 选项中，,m n 可能异面；B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.7．A根据程序框图运行所计算的S 的表达式，结合对数运算，求得输出的S 的值.【详解】 运行程序框图中的程序，可得23482348ln ln ln ln ln ln83ln 212371237S =++++=⨯⨯⨯⨯==. 故选：A【点睛】 本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，考查对数运算，属于基础题. 8．D【分析】根据(5)(3)f x f x +=-求得()f x 的对称轴，也即求得a 的值，从而求得()6f 的值.【详解】因为(5)(3)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于4x =对称，所以644,(6)3211a f -==+=.故选：D【点睛】 本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数值的求法，属于基础题.9．A【分析】设准线与x 轴交于K ，由已知可得AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥，//AD x 轴，可得||2||AD FK =，再由抛物线的定义，即可求解.【详解】因为,,A F B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥，//AD x 轴，F 为AB 中点，因为F 到准线的距离为6，所以||12AD =由抛物线定义知||||12AD AF ==，故选：A本题考查抛物线的定义、标准方程及其性质，考查圆的性质，考查了推理能力，属于中档题. 10．A【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题. 11．C【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+， 所以()21133222n n n n b n -=+=-+， ()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题. 12．D 【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OBOD O =，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为1134A CMN N ACM V V --=⨯⨯==故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 13．6± 【分析】根据等比数列通项公式，首先求得q ，然后求得2a . 【详解】设{}n a 的公比为q ，由131,36a a ==，得236,6q q ==±，故26a =±.故答案为：6± 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.14 【分析】利用两个向量夹角计算公式，求得cos θ的值，再根据同角三角函数的基本关系式求得sin θ的值. 【详解】依题意[]0,πθ∈，所以cos 55||||5a b a b θθ⋅==-=-==⨯.【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 15．112 【分析】 根据二项式（2x 31x-）8的展开式的通项公式进行求解即可. 【详解】 （2x 31x -）8的展开式的通项为：T r +1＝C 8r （2x 3）8﹣r （1x-）r ＝28﹣r （﹣1）r C 8r x 24﹣4r ， 令24﹣4r ＝0，解得r ＝6， 则（2x 31x-）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C 86＝112， 故答案为：112. 【点睛】本题考查了利用二项式的通项公式求二项式展开式中的常数项，考查了数学运算能力.16 【分析】利用正弦定理求得1222F F PF =，利用椭圆和双曲线的定义求得12a a c =+，进而由121⋅=e e 列方程，并转化为含有双曲线离心率2e 的方程，由此求得双曲线的离心率.【详解】设椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，122F F c =，由正弦定理得2121212sin sin PF F F PF F F PF =∠∠.∵1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，∴1222F F PF =，∴2PF c =.∵1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，∴11222PF a c a c =-=+，∴12a a c =+.又∵1212221c c c c e e a a a c a ⋅=⋅=⋅=+，2222c a a c =+，两边除以22a 并化简得22210e e --=，∴2e =.故答案为：12【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查双曲线离心率的求法，考查正弦定理进行边角互化，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17．（1）sin 3B =（2）9【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos B 的值，进而求得sin B 的值.（2）利用余弦定理列方程，由此求得c ，再利用三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）因为(3)cos cos 0a c B b C ++=，所以3sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=， 所以3sin cos (sin cos sin cos )sin A B B C C B A =-+=-.因为sin 0A >，所以1cos 3B =-，所以sin B =. （2）由余弦定理得2222222cos 3b ac ac B a c ac =+-=++.因为1,a b ==22703c c +-=，即23221(3)(37)0c c c c +-=+-=， 所以73c =.所以ABC ∆的面积为117sin 122339ac B =⨯⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18．（1）见解析（2 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BPC ，由此证得DC BP ⊥，根据圆的几何性质证得BP PC ⊥，由此证得BP ⊥平面DCP .（2）判断出三棱锥D BPC -的体积最大时P 点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面BPD 和平面EPD 的法向量，计算出二面角B PD E --的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面,BPC ABCD 是正方形， 所以DC ⊥平面BPC .因为BP ⊂平面BPC ，所以DC BP ⊥.因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP PC ⊥. 又DC PC C ⋂=，所以BP ⊥平面DCP .（2）解：显然，当点P 位于BC 的中点时，BCP ∆的面积最大，三棱锥D BPC -的体积也最大.不妨设2BC =，记AD 中点为G ，以E 为原点，分别以,,EB EP EG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -， 则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)E B D P -，(2,0,2),(1,0,2),(1,1,2)BD ED PD =-=-=--设平面BDP 的法向量为()111,,m x y z =， 则11111220,20,BD m x z PD m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩令11x =，得(1,1,1)m =.设平面DEP 的法向量为()222,,n x y z =，则2222220,20,ED n x z PS n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩令22x =，得(2,0,1)n =，所以cos ,||||53m n m n m n ⋅〈〉===⨯. 由图可知，二面角B PD E --为锐角，故二面角B PD E --.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．（1）见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）分布列见解析，167EX =【分析】（1）根据题目所给数据，计算并填写出22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求X 的分布列及数学期望. 【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为2000.5100⨯=. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105⨯=.22⨯列联表如下：22200(60554540)600 3.84110595100100133K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1，2，3，4.1343474(1)35C C P X C ⋅===； 224344C C 18(2)C 35P X ⋅===；314344C C 12(3)C 35P X ⋅===；44471(4)35C P X C ===.X 的分布列为418121161234353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.20．（1）见解析（2）存在，(1,0)T 【分析】（1）根据题意求得2,F A 的坐标，设出,M N 的坐标，求得直线2,MF AN 的方程，由此求得B 的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到1，由此判断出B 恒在椭圆C 上. （2）首先判断直线n 的斜率是否存在.然后当直线n 斜率存在时，设出直线n 的方程y kx b =+，判断出T 的位置并设出T 的坐标.联立直线n 的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得,k b 的关系式，进而求得P 的坐标，结合Q 点坐标以及2PTQ π∠=，利用0TP TQ ⋅=列方程，结合等式恒成立求得T 的坐标.【详解】（1）证明：由题意知2(1,0),(4,0)F A ，设(,),(,)M s t N s t -，则22143s t+=.直线2MF 的方程为(1)1t y x s =--，直线AN 的方程为(4)4t y x s -=--， 联立可得5825B s x s -=-，325B t y s =-，即B 的坐标为583,2525s t s s -⎛⎫⎪--⎝⎭. 因为22222222(58)12(58)3691434(25)4(25)B B x y s t s s s s -+-+-+===--， 所以B 点恒在椭圆C 上.（2）解：当直线n 的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线n 的方程为y kx b =+，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立，则T 一定在x 轴上，故设()0,0T x ，由22,1,43y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2224384120k x kbx b +++-=.因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，所以()()()2222226444341248430k b k b k b ∆=-+-=-+=， 所以43,P P P k x y kx b b b=-=+=. 又因为(4,4),2Q k b PTQ π+∠=，所以()0043,4,40kTP TQ x x k b bb ⎛⎫⋅=--⋅-+= ⎪⎝⎭，即()0043(4)40k k b x x b b+⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭. 所以()200043440kx x x b-++-=对于任意的满足22430k b -+=的,k b 恒成立， 所以0200440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得01x =.故在平面内存在定点(1,0)T ，使得2PTQ π∠=恒成立.【点睛】本小题主要考查直线与直线交点坐标，考查点与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.21．（1）104a <<（2）(,2ln 21)-∞-+（3）()()f m f n -没有最小值.见解析 【分析】（1）先求得函数()f x 的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得a 的取值范围. （2）根据（1）求得1212,1x x a x x =+=，求得()()12f x f x +的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.（3）由（2）假设()1()f x f x =极小值，()2()f x f x =极大值，则()()min 12[()()]f m f n f x f x -=-，求得()()12f x f x -的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即()()f m f n -没有最小值. 【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，2221()1a x x af x x x x -+-'=--=. 因为()f x 有两个不同的极值点12,x x ，且0x >，所以20x x a -+=有两个不同的正根，1212140100a x x x x a ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得104a <<.（2）因为1212,1x x a x x =+=，不妨设12x x <，所以()1()f x f x =极小值，()2()f x f x =极大值，所以()()()()1212121212()()ln 2(12)a x x f x f x f x f x x x a x x x x ++=+=⋅+-+-+极小值极大值ln 24a a =+-.令()ln 42a a a ϕ=-+，则1()40a aϕ'=->， 所以()a ϕ在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1()2ln 214a ϕϕ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，即()f x 的极大值与极小值之和的取值范围是(,2ln 21)-∞-+.（3）由（2）知1212,1x x a x x =+=.因为121110,,,,222m n x x ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()min 1max 2(),()f m f x f n f x ==， 所以()()121min 1221212[()()]lnx x x f m f n f x f x x x a x x x --=-=+-+. 因为121x x =-，所以()2min 221[()()]ln221x f m f n x x --=+- ()22221ln 1ln 4212x x x x ⎛⎫=--+-<< ⎪⎝⎭.令1()ln(1)ln 4212h x x x x x ⎛⎫=--+-<< ⎪⎝⎭，则211(21)()401(1)x h x x x x x -'=-+=<--，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()h x 无最小值，故()()f m f n -没有最小值. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题. 22．（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭（2）最大值为34【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程. （2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值. 【详解】（1）由11cos ,421sin ,42x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去α得曲线C的普通方程为22102x y x y +--=.所以C 的极坐标方程为1cos 2ρ=θ+θ， 即sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭. （2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos cos 2θθθ⎫=+⋅⎪⎪⎝⎭112cos 244θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 当6πθ=时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为34. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题. 23．（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）169 【分析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】 （1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤； 当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=，所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=，1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦.当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号. 故13211a b +++的最小值为169. 【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
