2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年湖南省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|x≤1}，则满足A∩B＝A的集合B可以是（）A．{x|x≤0} B．{x|x≤2} C．{x|x≥0} D．{x|x≥2}2．（5分）若（4﹣mi）（m+i）≥0，其中i为虚数单位，则实数m的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．23．（5分）已知向量＝（2，2），＝（1，a），若||＝1，则•＝（）A．2 B．4 C．6 D．8@4．（5分）已知函数f（x）＝2sin（πx+1），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．2 B．1 C．4 D．5．（5分）在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．24 D．366．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”．三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是（）A．30B．40C．50D．607．（5分）已知抛物线x2＝﹣4y的准线与双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）"A．B．5C．D．28．（5分）已知二进制数1010（2）化为十进制数为n，若（x+a）n的展开式中，x7的系数为15，则实数a的值为（）A．B．C．1D．29．（5分）若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知倾斜角为α的直线过定点（0，﹣2），且与圆x2+（y﹣1）2＝1相切，则的值为（）A．B．C．﹣D．11．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于2+2，则球O的体积等于（）`A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈[1，e]的最小值为3，若存在x1，x2…x n∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）＝f（x n），则正整数n的最大值为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝log2（x+y+1）的最大值为．14．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若a2sin C＝5sin A，（a+c）2＝16+b2则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x+y的最大值为．#16．（5分）已知曲线C1：f（x）＝﹣e x﹣2x，曲线C2：g（x）＝ax+cos x，（1）若曲线C1在x＝0处的切线与C2在x＝处的切线平行，则实数a＝．（2）若曲线C1上任意一点处的切线为l1，总存在C2上一点处的切线l2，使得l1⊥l2则实数a的取值范围为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）设数列{a n}满足：a1＝1，且2a n＝a n+1+a n﹣1（n≥2），a3+a4＝12．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．'18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，P A⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点．（1）证明：平面ADE⊥平面P AB；（2）若PE＝λEC，F是PB的中点，AD＝，AB＝AP＝2CD＝2，且二面角F﹣AD﹣E 的正弦值为，求λ的值．·19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：x﹣y+2＝0与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点M（0，m），使|+2|＝|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．[20．（12分）甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”，第二轮为“轮流坐庄答题环节”•首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题：第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推．例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依此类推……．当两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为P n（1≤n≤20），其中P1＝1，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是，如果某位同学有机会答第n道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立：两轮答题完毕总得分高者胜出．回答下列问题．（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由．（2）①求第二轮答题中P2，P3；②求证为等比数列，并求P n（1≤n≤20）的表达式．~]21．（12分）已知对数函数f（x）过定点（其中e≈2.71828…）函数g（x）＝n ﹣mf′（x）﹣f（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数，n，m为常数）．（1）讨论g（x）的单调性（2）若对∀x∈（0，+∞）有g（x）≤n﹣m恒成立，且h（x）＝g（x）+2x﹣n在x＝x1，x2（x1≠x2）处的导数相等，求证：h（x1）+h（x2）＞7﹣2ln2．，（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P（﹣2，0），直线1交曲线C于A，B两点，求的值．\[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|，x∈R．（1）解不等式：f（x）≤5；（2）记f（x）的最小值为M，若实数ab满足a2+b2＝M，试证明：．）参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.B5.B6.C7.C8.A9.C 10.D 11.A 12.B二、填空题13．214．215．16（16．（1）﹣2；（2）﹣≤a≤1．三、解答题：17．解：（1）依题意，由2a n＝a n+1+a n﹣1（n≥2）可知数列{a n}是等差数列．设等差数列{a n}的公差为d，则a3+a4＝（a1+2d）+（a1+3d）＝2+5d＝12，解得d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，＝＝（﹣），—设数列{}的前n项和为T n，则T n＝+++…+++＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣．18．解：（1）证明：由P A⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以P A⊥AD，又AB⊥AD，P A∩AB＝A，所以AD⊥平面P AB，(又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面P AB；（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），C（，1，0），D（，0，0），F（0，1，1），由（1）知，AD⊥PB，又PB⊥AF，故PB⊥平面ADF，＝（0，2，﹣2），PE＝λEC，所以，所以，设平面ADE的法向量为，）由，得，二面角F﹣AD﹣E的正弦值为，所以|cos＜＞|＝，即，得λ＝1或4．19．解：（1）由已知得，解得，b＝，c＝，∴椭圆C的方程为；（2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx+m，、联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣8＝0．△＝16（8k2﹣m2+2）＞0①，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，由，得，即，即x1x2+y1y2＝0，故8k2＝5m2﹣8≥0，代入①式解得m＞或m＜﹣．20．解：（1）设甲选出的3道题答对的道数为ξ，则ξ～（3，），设甲第一轮答题的总得分为x，则x＝10ξ﹣5（3﹣ξ）＝15ξ﹣15，;∴Ex＝15Eξ﹣15＝15×3×﹣15＝15，设乙第一轮得分为y，则y的所有可能取值为30，15，0，则P（y＝30）＝＝，P（y＝15）＝＝，P（y＝0）＝＝，∴y 的分布列为：y 30!15PEy＝＝12，∵Ex ＞Ey ，∴第二轮最先开始答题的是甲．*（2）①依题意得P1＝1，P2＝，P3＝＝．②证明：依题意有P n＝P n﹣1×+（1﹣P n ）×＝﹣+（n≥2），∴P n﹣＝﹣（P n ﹣1﹣），n ≥2，∵P1﹣＝，∴{}是以为首项，以﹣为公比的等比数列，∴，∴P n＝．（1≤n≤20）．21．解：（1）令f（x）＝log a x（a＞1且a ≠1），将代入得a＝e，·所以f（x）＝lnx，得，求导，（x＞0），当m≤0时，g′（x）＜0在x＞0时恒成立，即g（x）在（0，+∞）单调递减；当m＞0时，g′（x）＞0，则0＜x＜m，g′（x）＜0，则x＞m，即g（x）在（0，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减；综上，当m≤0时，g（x）在（0，+∞）单调递减；当m＞0时，g（x）在（0，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减；（2）证明：因为g（1）＝n﹣m，而∀x∈（0，+∞），有g（x）≤n﹣m＝g（1）恒成立知g（x）当x＝1时有最大值g（1），由（1）知必有m＝1，,所以，所以，依题意，设h′（x1）＝h′（x2）＝k，即，所以，所以x 1+x2＝x1x2≥，所以x1x2＞4，所以＝2x1x2﹣1﹣lnx1x2，令t＝x1x2＞4，φ（t）＝2t﹣1﹣lnt，所以，所以φ（t）在t＞4单调递增，所以φ（t）＞φ（4）＝7﹣2ln2．所以h（x1）+h（x2）＞7﹣2ln2．（二）选考题解：（1）已知曲线C：（α为参数），转换为直角坐标方程为（x+1）2+y2＝4．直线l的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为，整理得x﹣y+2＝0．（2）由于点P（﹣2，0）在直线1上，所以转换为参数方程为（t为参数），代入（x+1）2+y2＝4，得到：，所以：，t 1t2＝﹣3，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．解：（1）f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|＝．∵f（x）≤5，∴或1≤x≤4或，∴4＜x≤5或1≤x≤4或0≤x＜1，∴0≤x≤5，∴不等式的解集为{x|0≤x≤5}．（2）由（1）知，f（x）min＝M＝3，∴a2+b2＝M＝3，∴＝＝，当且仅当a2＝1，b2＝2时等号成立，∴．。

2020年湖南师大附中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足，那么A.B.C.D.4.函数其中e为自然对数的底的图象大致是A. B.C. D.5.在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为A. B. C. D.6.的展开式中的常数项为A. 14B.C. 16D.7.已知为锐角，且，则的值为A. B. C. D.8.设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点已知动点P在椭圆上，且P，E，不共线，若的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.9.设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A. B. C. D.10.设是数列的前n项和，若，，则数列的前99项和为A. B. C. D.11.已知函数若，则ab的最小值为A. B. C. D.12.已知双曲线C：，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间．已知O为原点，且，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知函数为偶函数，则______．14.已知是等比数列的前n项和，且，，成等差数列，，则______．15.若的图象关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则a的取值范围是______．16.在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．Ⅰ求角C的值；Ⅱ若，且的面积为，求的周长．18.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为O，且，C.Ⅰ求证：平面：Ⅱ设，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．19.已如椭圆：：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．Ⅰ求椭圆和抛物线的方程；Ⅱ过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为当直线l 绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．Ⅰ求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；Ⅱ在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过N，次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以表示，求的分布列和数学期望．21.已知函数，既存在极大值，又存在极小值．Ⅰ求实数的取值范围；Ⅱ当时，，分别为的极大值点和极小值点．且，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系x0y中，直线的参数方程为为参数，直线的参数方程为为参数设直线与的交点为当k变化时点P的轨迹为曲线．Ⅰ求出曲线的普通方程；Ⅱ以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点Q为曲线上的动点，求点Q到直线的距离的最大值．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若函数的最小值为m，正数a，b满足求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，又，则，，故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：故选：D．复数分母实数化，再化简即可．本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．3.答案：C解析：解：，故选：C．利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果．本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.答案：A解析：解：当时，函数，，有且只有一个极大值点是，故选：A．利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的图象的判断，考查分析问题解决问题的能力．5.答案：C解析：解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为．所求概率．故选：C．设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，是基础题．6.答案：A解析：解：，故它的展开式中的常数项为，故选：A．把按照二项式定里展开，可得的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.答案：B解析：解：整理得：，转换为，即，则：．当时，两边相等．故选：B．直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：D解析：解：的周长为，当P，E，共线时，此时周长最小，，，，故选：D．当P，E，共线时，此时的周长的最小，即可得到，再根据离心率公式计算即可．本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.答案：C解析：解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点，则外接圆的半径，而，，所以，所以，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O为外接球的球心，由题意得：，所以外接球的表面积，故选：C．直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积．考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于基础题．10.答案：C解析：解：，，两式作差得，，故，，所以，所以，故选：C．利用两式作差，代入求出，再利用裂项相消法求出和即可．考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，中档题．11.答案：B解析：解：画出函数的图象，如图所示；由，且，设，则；所以，；当时，；考虑，在同一坐标系中画出函数和的图象，其中，如图所示；则函数的图象总在的图象上方，所以，即ab的最小值为．故选：B．画出函数的图象，由题意得出，则；可求得a、b的表达式，计算时；再求恒成立即可．本题考查了分段函数的应用问题，正确画出函数图象和熟练掌握函数的性质是解题的关键．12.答案：B解析：解：双曲线C：的右焦点，渐近线OB的方程为，渐近线OA的方程为，可得，，，可得，解得或舍去，可得，由，可得，则，则．故选：B．设出右焦点F的坐标和渐近线OA，OB的方程，由点到直线的距离公式可得，结合直角三角形的勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得a，b的关系，结合直角三角形的射影定理，化简计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理和锐角三角函数的定义、以及两直线的夹角公式，考查化简运算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：根据题意，函数，其定义域为R，若为偶函数，则，则有，变形可得：，必有；故答案为：．根据题意，由函数奇偶性的定义可得，据此变形分析可得答案．本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.答案：3解析：解：是等比数列的前n项和，且设公比为q，由，，成等差数列，可得，显然时，，即不成立；则，化为，即，解得，由，可得，则．故答案为：3．等比数列的公比设为q，运用等差数列的中项性质，对公比q判断不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：的图象关于直线对称，所以，解得，当时，．所以由于，所以，所以，即a的范围为．故答案为：．直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.答案：解析：解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，，，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则，，，且，，，，，，平面PBC，四面体的体积为：．故答案为：．推导出，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则，，，推导出，从而平面PBC，进而四面体的体积为，由此能求出结果．本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：，，，，，，，由题意可得，，，，联立可得，或，若，，则由余弦定理可得，，此时，若，，则此时为等边三角形，此时周长6．解析：结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C，进而可求C，由已知，结合三角形的面积公式可求，a，b然后结合C的值及余弦定理可求c，进而可求周长．本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础试题．18.答案：解：Ⅰ证明：侧面是菱形，，又，，AB，均在平面内，平面，平面，，，O为的中点，，又，，均在平面内，平面；Ⅱ，直线与平面所成角等于直线AB与平面所成角，平面，直线AB与平面所成角为，即，设菱形的边长为2，则在等边中，，在直角中，，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，易知平面的一个法向量为，，又二面角为钝角，故其余弦值为．解析：Ⅰ利用平面可证得，利用三线合一可证得，进而得证；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ设椭圆的半焦距为c，依题意，可得，则：，代入，得，即，所以，则有，，，，，，所以椭圆的方程为，抛物线的方程为；Ⅱ过点的直线l设为，联立椭圆方程，消去y得，设，，，可得，，直线EN的方程为，即为，即，代入韦达定理可得，则直线EN过定点．解析：Ⅰ利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程抛物线方程；Ⅱ把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设，，，求得直线EN的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点．本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量，抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：．Ⅱ的可能取值为0，1，2，，n，，，，，，，0 1 2nP，，，得：．解析：Ⅰ任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．Ⅱ的可能取值为0，1，2，，n，，，，，，，由此能求出的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：，存在极大值点和极小值点，且，令，解得，或，时，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，时，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，故a的范围为，由可知，且的极大值点为，极小值点为，，，，令，对任意恒成立，由于此时，故，故，即，设，，令，，时，，故，在递增，故，即，符合题意，时，，设的两根为，，且，则，，故，则当时，，递减，故当时，，即，矛盾，不合题意，综上，，即，．解析：求出函数的导数，结合函数的单调性确定a的范围即可；求出函数的极值点，问题转化为，设，根据函数的单调性确定k的范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：Ⅰ直线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为直线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为所以得到．Ⅱ直线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．设曲线的上的点到直线的距离，当时，．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：Ⅰ，由，得．，由，有或或，或，不等式的解集为或Ⅱ证明：，，，，当且仅当时取等号，．解析：Ⅰ根据，可得或或，然后解不等式组即可得到解集；Ⅱ先利用绝对值三角不等式求出的最小值，再利用基本不等式求出的最小值即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。

2020年湖南省名师联盟高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|−1<2−x ≤1}，B ={x ∈N|−x 2+3x +4>0}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {0,1}C. {1,2，3}D. {1,2}2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 采购经理指数(PMI)，是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．如图为国家统计局所做的我国2018年1～12月份的采购经理指数(PMI)的折线图，若PMI 指数为50％，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的个数为( )①2018年1至12月的PMI 指数逐月减少；②2018年1至12月的PMI 指数的最大值出现在2018年5月份； ③2018年1至12月的PMI 指数的中位数为51.25％；④2018年1月至3月的月PMI 指数相对6月至8月，波动性更大．A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知平面向量a ⃗ =(−2,x)，b ⃗ =(1,√3)，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数x 的值为( )A. −2√3B. 2√3C. 4√3D. 6√35. 中国将于2017年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是( )A. 13B. 12C. 35D. 236.设α，β是空间两个平面，m，n是空间两条直线，则下列选项不正确的是()A. 当m⊂α时，“n//α”是“m//n”的必要不充分条件B. 当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C. 当n⊥α时，“n⊥β”是“α//β”的充要条件D. 当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件7.函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后关于原点对称，则φ的最小值为()A. 5π6B. π3C. π4D. π68.如图是一个四面体的三视图，则该四面体的表面积为()A. 43B. 8√3C. 4+4√2D. 2+4√2+2√39.函数的图象大致为()A. B.C. D.10.在四面体S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为()A. 11πB. 7πC.10π3D.40π311. 函数y =f(x)为偶函数，满足f(x)=f(x −2)，且当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，那么函数y =f(x)的图象与函数y =log 4|x|的图象的交点共有( )A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个12. 已知函数f (x )=3x −x 3的极大值点为a ，极小值为b ，则a +b =( )A. 0B. −1C. 3D. −2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，已知AC =√3，AB =3，B =30°，则BC 的值为____________．14. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，∠A =120°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，则线段AM 长的最小值为______． 15. (x 2−x +1)10展开式中x 3项的系数为__________．16. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n ·a n +2=a n +1(n ∈N ∗)，则a 2017的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在平面四边形ABCD 中，AD =1，CD =2，AC =√7．(Ⅰ)求cos∠CAD 的值；(Ⅱ)若cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，求BC 的长．18. 为了解某校高二学生寒假日平均数学学习时间情况，现随机抽取500名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图．(1)求这500名学生寒假日平均数学学习时间的样本平均数x，中位数(同一组中的数据用该组的中点值做代表)；(2)由直方图认为该校高二学生寒假日平均数学学习时间X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差S2．(ⅰ)利用该正态分布，求P(100<X≤122.8)；(ⅰ)若随机从该校高二学生中抽取200名学生，记ξ表示这200名学生寒假日平均数学学习时间应位于(100,122.8)的人数，利用(ⅰ)的结果，求E(ξ)．附：√130≈11.4，若X～N(μ,σ 2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：(1)B1C//平面FAC1；(2)平面FAC1⊥平面ABB1A1．20. 过圆C ：x 2+y 2=4 上的点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .当M 在C 上运动时，记点P 的轨迹为E ． (1)求E 的方程；(2)过点Q (0,1) 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与圆C 交于S ，T 两点，求|AB |⋅|ST | 的取值范围．21. 已知函数f(x)=1−e −xx(x >0)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)求证：f(x)>e −x2(x >0)．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2−35ty =−2+45t(t 为参数).曲线C 2：x 2+y 2−4y =0，以坐标原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为(2√2,−π4). (Ⅰ)求曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)若C 1与C 2相交于M 、N 两点，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+|x −1|．(1)当a =2时，求不等式f(x)≤5的解集；(2)若∃x 0∈R ，f(x 0)≤|2a −1|，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 分别求出集合A ，B ，利用交集定义能求出A ∩B ． 解：∵集合A ={x|−1<2−x ≤1}={x|1≤x <3}，B ={x ∈N|−x 2+3x +4>0}={x ∈N|−1<x <4}={0,1，2，3}， ∴A ∩B ={1,2}． 故选D ．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：本题考查折线图，属于基础题．根据题意利用折线图逐项分析即可得到结果．解：由折线图可得2018年1至12月的PMI 指数并不是逐月减少的，①错误； 2018年1至12月的PMI 指数的最大值出现在2018年5月份，②正确；2018年1至12月的PMI 指数按从小到大的顺序排列：49.4%，50.0%，50.2%，50.3%，50.8%，51.2%，51.3%，51.3%，51.4%，51.5%，51.5%，51.9%， 中位数为51.2％+51.3％2=51.25％，③正确；2018年1月至3月的月PMI 指数相对6月至8月，波动性更大，④正确； 因此正确的个数为3．故选C．4.答案：B解析：本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．根据题意，由向量坐标计算公式可得a⃗−b⃗ 的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =(−3)×1+(x−√3)×√3=0，解可得x的值，即可得答案．解：根据题意，向量a⃗=(−2,x)，b⃗ =(1,√3)，则a⃗−b⃗ =(−3,x−√3)，又由(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =(−3)×1+(x−√3)×√3=0，解可得x=2√3，故选：B．5.答案：C解析：本题考查古典概率的计算，考查排列组合的应用，属基础题．解：从5人中随机选取2人共有C52=10种选法，从3人英语翻译，2人俄语翻译中随机选取1个英语翻译，1个俄语翻译共有C31C21=6种选法，故P=610=35，故选C．6.答案：A解析：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．当m⊂α时，“n//α”是“m//n”的不必要不充分条件；当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件；当n⊥α时，“n⊥β”是“α//β”成立的充要条件；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，“m⊥n”⇒“n⊥α”．解：当m⊂α时，“n//α”⇒“m//n或m与n异面”，“m//n”⇒“n//α或n⊂α”，∴当m⊂α时，“n//α”是“m//n”的不必要不充分条件，故A错误；当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”，“α⊥β”推不出“m⊥β”，∴当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故B正确；当n⊥α时，“n⊥β”⇔“α//β”，∴当n⊥α时，“n⊥β”是“α//β”成立的充要条件，故C正确；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，“m⊥n”⇒“n⊥α”，故D正确．故选A．7.答案：B解析：本题考查了三角函数的图象平移，考查了三角函数的性质，是基础题．利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得φ的最小值．解：∵f(x)=sin(2x+π3)，∴图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y=sin[2(x+φ)+π3 ]=sin(2x+2φ+π3)，∵所得的图象关于原点对称，∴2φ+π3=kπ(k∈Z)，φ>0，则φ的最小正值为π3．故选：B．8.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图，正方体的棱长AB=2，则该四面体的表面积为Sⅰ12×2×2+2×12×2×2√2+12×2√2×2√2×sin60°=2+4√2+2√3． 故选：D ．由三视图还原原几何体如图，正方体的棱长AB =2，然后由三角形面积公式求解原几何体的表面积． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 9.答案：B解析： 本题考查函数图象的作法，属于较易题.根据函数性质，排除即可．解：因为函数的定义域为(−1,0)∪(0,1)，f(x)=f(−x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A ；又因为f(12)=√32−lg2<0，排除C ；又因为当x →0时，f(x)→0，排除D ；故选B ．10.答案：D解析：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键，属于基础题．求出BC ，利用正弦定理可得△ABC 外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解：∵AC =2，AB =1，∠BAC =120°，∴BC =√22+12−2×2×1×cos120°=√7，∴三角形ABC 的外接圆半径为r ，2r =√7sin120°，r =√213， ∵SA ⊥平面ABC ，SA =2，由于三角形OSA 为等腰三角形，O 是外接球的球心．则有该三棱锥的外接球的半径R =√12+(√213)2=√103， ∴该三棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=4π×(√103)2=40π3．故选D .11.答案：A解析：解：由f(x)=f(x −2)，得函数f(x)是周期为2的函数，设x ∈[−1,0]，则−x ∈[0,1]，∵当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，∴当−x ∈[0,1]时，f(−x)=(−x)2=x 2，∵y =f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)=x 2，即当x ∈[−1,1]时，f(x)=x 2，作出函数f(x)=x 2，与y =log 4|x|的图象，当x >0时，设y =g(x)=log 4|x|=log 4x ，则g(3)=log 43<1，f(3)=f(1)=1，g(5)=log 45>1，故当x >0，两个函数有3个交点，根据偶函数的对称性知两个图象的交点个数为6个，故选：A ．根据条件求出函数是周期为2的函数，求出一个周期内的图象，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数交点个数的判断，利用条件判断函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键． 12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的极值，题目基础．由已知求得当x <−1时，f′(x )<0；当−1<x <1时，f′(x )>0；当x >1时，f′(x )<0是解题的关键．解：因为f(x)=3x −x 3，所以f′(x )=3−3x 2=3(1+x )(1−x )．令f′(x )=0，解得x =1或x =−1．当x <−1时，f′(x )<0；当−1<x <1时，f′(x )>0；当x >1时，f′(x )<0．所以x =−1时f (x )取得极小值f (−1)=−2，故b =−2；x =1时f (x )取得极大值f (1)=2，故a =1．所以a +b =−1．故选B ．13.答案： 2√3或√3解析：本题主要考查余弦定理得应用．解：由余弦定理得，AC 2=AB 2+BC 2−2AB ·BC ·cosB ，即3=9+BC 2−3√3BC ，解得BC = 2√3或√3；故答案为 2√3或√3．14.答案：12解析：解：△ABC 中，点M 是BC 中点，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )；再由∠A =120°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12， 可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos120°=−12， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1； 又|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2) =14(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2×(−12))≥14(2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1)=14， ∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥12， 即线段AM 的最小值是12．故答案为：12．根据题意表示出向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用基本不等式求出|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最小值，即可得出线段AM 的最小值． 本题主要考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题． 15.答案：−210解析：的展开式的通项公式为T r+1=C 10r (x 2−x)r ，对于(x 2−x )r 通项公式为，令得r =2，m =1或r =3，m =3．(x 2−x +1)10的展开式x 3系数为C 102C 21⋅(−1)+C 103C 33⋅(−1)3=−210．..16.答案：1解析：本题考查数列的递推公式，解题关键是由递推公式得出数列的周期性．解析：解：∵a n ⋅a n+2=a n+1(n ∈N ∗)，由a 1=1，a 2=2，得a 3=2，由a 2=2，a 3=2，得a 4=1，由a 3=2，a 4=1，得a 5=12，由a 4=1,a 5=12，得a 6=12，由a 5=12,a 6=12，得a 7=1，由a 6=12,a 7=1，得a 8=2，由此推理可得数列{a n }是一个周期为6的周期数列，∴a 2017=a 336×6+1=a 1=1．故答案为1．17.答案：解：．(2)∵cos∠BAD =−√714，∴sin∠BAD =√1−7196=3√2114， ∵cos∠CAD =2√77，∴sin∠CAD =√1−47=√217 ， ∴sin∠BAC =sin(∠BAD −∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD −cos∠BADsin∠CAD=3√2114×2√77+√714×√217=√32， ∴由正弦定理知BC sin∠BAC =AC sin∠ABC ，∴BC =AC·sin∠BACsin∠ABC =√7√216×√32=3．解析：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，考查同角三角函数间关系式的应用，考查两角和差公式的应用，考查了学生对基础知识的综合运用．(1)利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD 的值；(2)根据cos∠CAD ，cos∠BAD 的值分别求得sin∠BAD 和sin∠CAD ，进而利用两角和公式求得sin∠BAC 的值，最后利用正弦定理求得BC ．18.答案：解：(1)由频率分布直方图可知，五组的频率分别为0.1，0.24，0.33，0.22，0.11， ∴x =60×0.1+80×0.24+100×0.33+120×0.22+140×0.11=100，前两组的频率之和为0.34，∴中位数为0.5−0.340.33×20+90=99.7，(2) (ⅰ)S 2=402×0.1+202×0.24+02×0.33+202×0.22+402×0.11=520．可知X ～N(100,520)，σ=√520≈22.8，∴P(100<X≤122.8)=1×0.6826=0.3413．2(ⅰ)由题可知ξ～B(200,0.3413)，∴E(ξ)=200×0.3413=68.26．解析：此题考查频率分布直方图、正态分布和二项分布，属于中档题．(1)直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数x和样本中位数；(2)(ⅰ)利用正态分布的对称性即可求得P(100<X≤122.8);(ⅰ)由(ⅰ)知学生假期日平均数学学习时间位于(77.2,122.8)的概率为0.6826，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．19.答案：解：(1)证明：如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，∵F为A1B1的中点，∴C1F//CE，AF//B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE//平面FAC1，∵B1C⊂B1CE，∴B1C//平面FAC1(2)证明：直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F⊂面A1C1B1，∴A1A⊥C1F，∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．解析：(1)如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE//平面FAC1，即B1C//平面FAC1 (2)只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．20.答案：解：(1)设M点坐标(x0,y0)，N点坐标(x0,0)，P点坐标(x,y)，由NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得{x 0=x y 0=3，因为M 在圆C ：x 2+y 2=4上运动，所以点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =0，此时|AB|=2√3，|ST|=4，所以|AB|⋅|ST|=8√3．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组{y =kx +1x 24+y 23=1消去y ，整理得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0， 因为点Q(0,1)在椭圆内部，所以直线l 与椭圆恒交于两点，由韦达定理，得x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2所以|AB|=2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，=√1+k 2√(−8k 23+4k 2)2−4×(−83+4k 2)=4√6√1+k 2√2k 2+14k 2+3， 在圆C ：x 2+y 2=4，圆心(0,0)到直线l 的距离为d =√k 2+1，所以|ST|=2√22−d 2=2√4k 2+31+k 2， 所以|AB|⋅|ST|=8√6⋅√2k 2+14k +3=8√3⋅√1−14k +3∈[8√2,8√3).又因为当直线l 的斜率不存在时，|AB|⋅|ST|=8√3，所以|AB|⋅|ST|的取值范围是[8√2,8√3].解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题．(1)设P 点坐标，根据向量的坐标求得M 点坐标，代入圆的方程，即可求得E 的方程；(2)分类讨论，当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及弦长公式即可求得|AB|，利用直线与圆的位置关系求得|ST|，即可表示出|AB|⋅|ST|，即可求得|AB|⋅|ST|的取值范围． 21.答案：解：(Ⅰ)已知函数f(x)=1−e −x x (x >0)， 导函数为f′(x)=1+x−e xx 2e x令ℎ(x)=e x −x −1，ℎ′(x)=e x −1，当x <0时，ℎ′(x)<0；当x >0时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)min =ℎ(0)=0，即e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立．由已知x >0，得e x >x +1，f′(x)<0所以，函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)(Ⅱ)f(x)>e −x 2(x >0) 等价于e −x +xe −x 2−1<0(x >0)令g(x)=e −x +xe −x 2−1，x >0，g′(x)=−e −x2(e −x2−(−x 2+1))，由(Ⅰ)，易得e −x2>−x 2+1，所以，g′(x)<0 所以，当x >0时，有g(x)<g(0)=0，即e −x +xe −x 2−1<0(x >0)，故f(x)>e −x 2(x >0)解析：(Ⅰ)求出函数的导数，根据导函数函数的单调性求出导函数的最小值，从而求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题等价于e −x +xe −x 2−1<0(x >0)，令g(x)=e −x +xe −x2−1，x >0，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题． 22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 2：x 2+y 2−4y =0，由ρ2=x 2+y 2，得：曲线C 2的极坐标方程为：ρ=4sinθ． (Ⅱ)把曲线C 1的参数方程{x =2−35t y =−2+45t(t 为参数)代入曲线C 2：x 2+y 2−4y =0， 得到：(2−3t 5)2+(−2+4t 5)2−4(−2+4t 5)=0，整理得：t 2−44t5+16=0，所以：t 1+t 2=445，t 1t 2=16，∴t 1>0，t 2>0，又点P(2√2,−π4)的直角坐标为(2,−2)；故1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1||t2|=t1+t2t1t2=1120．故1|PM|+1|PN|的值为1120．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．(Ⅰ)利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．23.答案：解：(1)当a=2时，f(x)=|x−1|+|x+2|，①当x≤−2时，f(x)=−2x−1≤5，解得−3≤x≤−2；②当−2<x<1时，f(x)=3，显然f(x)≤5成立，所以−2<x<1；③当x≥1时，f(x)=2x+1≤5，解得1≤x≤2；综上所述，不等式的解集为{x|−3≤x≤2}；(2)f(x)=|x+a|+|x−1|≥|(x+a)−(x−1)|=|a+1|，因为∃x0∈R，有f(x0)≤|2a−1|成立，所以只需|a+1|≤|2a−1|，化简得a2−2a≥0，解得a≤0或a≥2，所以a的取值范围是(−∞,0]∪[2,+∞)．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．(1)分3段去绝对值解不等式，再相并；(2)先用绝对值不等式的性质求出f(x)的最小值，再将问题转化为f(x)min≤|2a−1|解不等式可得．。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题）.1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．22．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2， (20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．8．（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．209．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．10．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π11．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线1：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M 的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0 12．若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．∅ B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞【答案】D【解析】先化简{}{}|216|4xB x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B求解. 【详解】因为{}{}|216|4xB x x x =<=<，又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ， 所以4a <. 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ）A ．x D ∀∈，()f x x >B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤C ．xD ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >【答案】D【解析】根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3．已知复数1cos23sin 23z i =+o o 和复数2cos37sin37z i =+o o ，则12z z ⋅为A ．122- B ．122i + C ．122i + D ．122i - 【答案】C【解析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+i sin23°）•（cos37°+i sin37°）＝cos60°+i sin60°＝12+．故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.4．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】A【解析】根据直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到2b a =，再求双曲线方程.【详解】因为直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，所以25a =，220b =，所以双曲线方程为221520x y -=.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a=+$$$近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm3A．243π+B．342π+C．263π+D．362π+【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为： V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×3+12•π•12×3=（6+1.5π）cm 3． 故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．7．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-3 C ．2 D ．3【答案】C【解析】先研究511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，再分()2x a +中，取2x 和a 两种情况求解.【详解】因为511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()5151r r r r T C x -+=-，所以()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：()32320551112(1)0x C C x a a -+--=--=-，解得2a =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．118B ．54C ．14D ．18【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r，作为一个基底，表示向量()1122DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，()3324DF DE b a ==-u u u r u u u r r r ，()1324AF AD DF a b a =+=-+-u u u r u u u r u u u r r r r 5344a b =-+r r，然后再用数量积公式求解. 【详解】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r，所以()1122DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，()3324DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，()1324AF AD DF a b a =+=-+-u u u r u u u r u u u r r r r 5344a b =-+r r ，所以531448AF BC a b b b ⋅=-⋅+⋅=u u u r u u u r r r r r .故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．BC D 【答案】A【解析】根据平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解. 【详解】 如图所示：设()1,0A -，()10B ,，(),P x y ，则()()22221221x y x y ++=-+， 化简得()2238x y ++=，当点P 到AB （x 轴）距离最大时，PAB ∆的面积最大， ∴PAB ∆面积的最大值是1222222⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.10．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A 53B ．23C ．33D 73【答案】D【解析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=， 则13AC =，从而133CD =， 由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即3sin 213α=， 从而()3cos cos 90sin 213BCD αα-∠=︒+=-=， 在BCD ∆中，由余弦定理得：21313349923333213BD =++⨯⨯⨯=， 则73BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形 【答案】D【解析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行； B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形. 【详解】A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确； C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确； D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误. 故选D 【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.12．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234B ．1114C ．1054D ．1174【答案】C【解析】根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得ω的最大值. 【详解】由题意知1122ππ,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩其中12k k k =-，21k k k '=+．又()1f x 在ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤． ①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π 4.5π44x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去；②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π2.5π44x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去；③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π 4.5π44x +=时，()13f x =成立；综上所得ω的最大值为1054． 故选:C 【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2xf x m =+（m 为常数），若()312f =，则实数m 的值为______. 【答案】1【解析】根据()f x 为定义在R 上的偶函数，得()()11f f =-，再根据当0x <时，()2x f x m =+（m 为常数）求解.【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数， 所以()()11f f =-，又因为当0x <时，()2xf x m =+，所以()()131122f f m -=-=+=， 所以实数m 的值为1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A 作品获得一等奖”；乙说：“C 作品获得一等奖”；丙说：“B ，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“是A 或D 作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．【答案】C【解析】假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.【详解】A B C D分别获奖的说对人数如下表：,,,获奖作品 A B C D甲对错错错乙错错对错丙对错对错丁对错错对说对人数 3 0 2 1故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件. 15．某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A B、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__________元.【答案】2800元【解析】设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得2122120x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥∈⎩，且，目标函数300400z x y =+ ，作出可行域，如图所示作直线340L x y +=：， 然后把直线向可行域平移，由图象知当直线经过A 时，目标函数300400z x y =+ 的截距最大，此时z 最大， 由212212x y x y +⎧⎨+⎩＝＝ 可得44x y ⎧⎨⎩＝＝，即44A （，）此时z 最大300440042800z =⨯+⨯= ，即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为2800． 【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．16．设实数0a >，若函数()()()2aln 0120x x x f x x a x x ⎧->⎪=⎨+++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的最大值为______. 【答案】32e【解析】根据()1f a -=，则当0x >时，2ln a x x a -≤，即()2ln 1a x x -≤.当01x <≤时，()2ln 1a x x -≤显然成立；当1x >时，由()2ln 1a x x -≤，转化为21ln 1x a x -≥，令()()2ln 11x g x x x -=>，用导数法求其最大值即可. 【详解】因为()1f a -=，又当0x >时，2ln a x x a -≤，即()2ln 1a x x -≤.当01x <≤时，()2ln 1a x x -≤显然成立；当1x >时，由()2ln 1a x x -≤等价于21ln 1x a x -≥， 令()()2ln 11x g x x x -=>，()332ln 'xg x x -=， 当321,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 单调递增，当32,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减，()32max312g g e ex ⎛⎫= ⎪⎝⎭=，则3112a e ≥，又0a >，得32a e ≤， 因此a 的最大值为32e . 故答案为：32e 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=14． （I ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：12222b b ++…1()2n n n b a n N *+=+∈，求{b n }的前n 项和． 【答案】（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +- 【解析】【详解】 （Ⅰ）设等差数列的公差为4，则依题设2d =．由,可得2n c =． 由，得，可得．所以．可得． （Ⅱ）设，则.即，可得2n c =，且． 所以，可知．所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n 项和．【考点】等差数列通项公式、用数列前n 项和求数列通项公式．18．如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，60BCD ∠=︒，23AB =，3BC =，E 为线段CD 上一点，满足BC CE =，F 为BE 的中点，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在线段AB 上找到一点P （端点除外）使得直线AC 与平面PCF 所成角的3P 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34. 【解析】（1）在直角梯形ABCD 中，根据3BE BC ==，60BCD ∠=︒，得BCE ∆为等边三角形，再由余弦定理求得AE ，满足222AE BE AB +=，得到AE BE ⊥，再根据平面BCE ⊥平面ABED ，利用面面垂直的性质定理证明.（2）建立空间直角坐标系：假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角3且AP AB λ=uu u r uu u r ，()0,1λ∈，求得平面PCF 的一个法向量，再利用线面角公式()()2232332141cos ,CA n λλ=⋅-+-=u u u r r. 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，3BE BC ==，60BCD ∠=︒， 因此BCE ∆为等边三角形，从而3BE =，又23AB = 由余弦定理得：21292233cos303AE =+-⨯︒=，∴222AE BE AB +=，即AE BE ⊥，且折叠后AE 与BE 位置关系不变，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE I 平面ABED BE =. ∴AE ⊥平面BCE ，∵AE ⊂平面ACE ， ∴平面ACE ⊥平面BCE .（2）∵BCE ∆为等边三角形，F 为BE 的中点，∴CF BE ⊥，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE I 平面ABED BE =， ∴CF ⊥平面ABED ，取AB 的中点G ，连结FG ，则//FG AE ，从而FG BE ⊥，以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：则33,,02A ⎫-⎪⎭，33C ⎛ ⎝⎭，则3333,,2CA =-⎭u u u r ， 假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34，且AP AB λ=uu u r uu u r，()0,1λ∈，∵30,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()3,3,0AB =-u u u r ，故()3,3,0AP λλ=-u u u r ，∴)()33331,21,22CP CA AP λλ=+=---⎭u u u r u u u r u u u r ，又330,0,2FC ⎛= ⎝⎭u u u r ， 该平面PCF 的法向量为(),,n x y z =r，()()333312100220330x y z n CP n FC z λλ⎧-+--=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪=⎪u u u v v u u uv v ， 令()21y λ=-得()()()321,21,0n λλ=--r，∴()()2232332141cos ,CA n λλ=⋅-+-=u u u r r， 解得12λ=或76λ=（舍）， 综上可知，存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为3. 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次．．，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）见解析；（2）（i ）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii ）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，()34E X =. 【解析】（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望. 【详解】（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 第二组数据平均数为5442325.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.22202020202020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（ （2）（i ）对于采用延长光照时间的方法：每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤. ∴该农场一年的利润为()5.242160.22100426⨯⨯--⨯=千元. （ii ）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.2825.2220⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤，∴该农场一年的利润为()5.222160.2100424⨯⨯--⨯=千元.因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，()315320910228C C P X ===；()2115532035176C C C P X ===；()121553205238C C C P X ===；()3532013114C P X C ===.所以X 的分布列为所以()3551312376381144E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b+=的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C 、D 两点（异于A 、B 两点），当直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6．（1）求椭圆的方程；（2）设直线AC 、BD 的交点为Q ；试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）是为定值，Q 的横坐标为定值4-【解析】（1）根据“直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6”列方程，由此求得b ，结合椭圆离心率以及222a b c =+，求得,a c ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程1x my =-，联立直线l 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线,AC BD 的方程，并求得两直线交点Q 的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q 的横坐标为定值4-. 【详解】（1）依题意可知212262b a a⨯⋅=，解得23b =，即b =12e =，即2a c =，结合222a b c =+解得2a =，1c =，因此椭圆方程为22143x y +=（2）由题意得，左焦点()1,0F -，设直线l 的方程为：1x my =-，()11,C x y ，()22,D x y ．由221,3412,x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得()2234690m y my +--=，∴122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 直线AC 的方程为：()1122y y x x =++，直线BD 的方程为：()2222yy x x =--．联系方程，解得1221124263my y y y x y y +-=+，又因为()121223my y y y -=+．所以()1221121212626124433y y y y y y x y y y y -++---===-++．所以Q 的横坐标为定值4-．【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知()()ln f x x m =+，()xg x e =.（1）当2m =时，证明：()()f x g x <；（2）设直线l 是函数()f x 在点()()()000,01A x f x x <<处的切线，若直线l 也与()g x 相切，求正整数m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2m =.【解析】（1）令()()()()ln 2xF x g x f x e x =-=-+，求导()1'2xF x e x =-+，可知()'F x 单调递增，且()1'02F =，()1'110F e-=-<，因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，()F x 在此取得最小值，再证最小值大于零即可.（2）根据题意得到()f x 在点()()()000,01A x f x x <<处的切线l 的方程()0000ln x x y x m x m x m=-++++①，再设直线l 与()g x 相切于点()11,x x e ， 有101x me x =+，即()10ln x x m =-+，再求得()g x 在点()11,xx e 处的切线直线l 的方程为()0000ln 1x m x y x m x m x m+=+++++ ②由①②可得()()000000ln 1ln x m x x m x m x m x m+-+=+++++，即()()0001ln 1x m x m x +-+=+，根据010x m +->，转化为()0001ln 1x x m x m ++=+-，001x <<，令()()()1ln 011h x x m x x m x +=+-<<+-，转化为要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()21ln 10h m m =+->求解. 【详解】（1）证明：设()()()()ln 2xF x g x f x e x =-=-+，则()1'2xF x e x =-+，()'F x 单调递增，且()1'02F =，()1'110F e-=-<， 因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，且()F x 在()2,a -上单调递减，在(),a +∞上单调递增，从而()F x 的最小值为()()()211ln 2022a a F a e a a a a +=-+=+=>++.所以()0F x >，即()()f x g x <.（2）()1'f x x m=+，故()001'f x x m =+， 故切线l 的方程为()0000ln x x y x m x m x m=-++++①设直线l 与()g x 相切于点()11,xx e ，注意到()'x g x e =，从而切线斜率为101x me x =+， 因此()10ln x x m =-+，而()1101x g x e x m ==+，从而直线l 的方程也为()0000ln 1x m x y x m x m x m+=+++++ ②由①②可知()()000000ln 1ln x m x x m x m x m x m+-+=+++++， 故()()0001ln 1x m x m x +-+=+，由m 为正整数可知，010x m +->，所以()0001ln 1x x m x m ++=+-，001x <<， 令()()()1ln 011h x x m x x m x +=+-<<+-， 则()()()()21'01x x m x m x m h x ++=>++-，当1m =时，()()1ln 1x x h x x ++-=为单调递增函数，且()1ln 220h =-<，从而()h x 在()0,1上无零点；当1m >时，要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()21ln 10h m m=+->， 因为()11ln 1h m m m =--为单调递增函数，()11ln 3230h =->， 所以3m <；因为()()22ln 1h m m m=+-为单调递增函数，且()21ln 220h =-<， 因此1m >；因为m 为整数，且13m <<，所以2m =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2sin 2cos 0a a ρθθ=>.过点()2,4P --的直线l：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若MN PN PM MN=，求实数a 的值. 【答案】（1）()220y ax a =>，20x y --=；（2）1a =. 【解析】（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入2sin 2cos a ρθθ=求解，由2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消去t 即可.（2）将2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与22y ax =联立得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，再根据MN PN PM MN=，即2MN PM PN =，利用韦达定理求解.【详解】（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=， 得()220y ax a =>，由24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 消去t 得20x y --=，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是()220y ax a =>，20x y --=. （2）将24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入22y ax =得)()24840t a t a -+++=， 设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t，则)124t t a +=+，()1284t t a =+， 由MN PN PM MN=得2MN PM PN =， 所以()21212t t t t -=，即()212125t t t t +=，所以()()284584a a +=⨯+，而0a >， 解得1a =.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知函数1()||()3f x x a a =-∈R . （1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥； （2）设不等式1()3x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.（2）利用等价转化的思想，可得不等式|31|||3x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果.【详解】（1）当2a =时，原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥. ①当13x ≤时，则33012x x x -++-⇒≤≥，所以0x ≤； ②当123x <<时， 则32113x x x -+≥⇒≥-，所以12x ≤<；⑧当2x ≥时， 则332132x x x +≥⇒≥--，所以2x ≥. 综上所述：当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.（2）由1||()3x f x x -+≤， 则|31|||3x x a x -+-≤，由题可知：|31|||3x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+， 所以1114312312a a a ⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨⎪+≥⎪⎩故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题.。

湖南省2020年高考理科数学模拟试题及答案（一）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合2{|2}A x x =<,则R C A =( )A.{|22}x x -≤≤B.{|22}x x x ≤-≥或C.{|x x ≤≤D.{|x x x ≤≥或2. 若()12z i i +=,则z =( )A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +3. 已知3a e =，33log 5log 2b =-，c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．c b a >>4. 已知,2sin cos 2R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ） A ．43 B ．7- C ．34- D ．175. 已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 20B. 22C. 24D.6. 已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2xf x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 2B. C.27. 直线2130x ay a -+-=，当a 变动时，所有直线所过的定点为( ) A.1(,3)2-B. 1(,3)2--C. 1(,3)2D.1(,3)2- 8. 三棱锥V ABC -的底面三角形ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA VC =,已知其正视图VAC ∆面积为23,则其侧视图的面积为 ( )A.2 B. 6 C. 4 D.39. 如图，已知直四棱柱中，，，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A.B. C. D.10. 已知中，内角所对的边分别是，若，且，则当取到最小值时，（ ） A.B.C.D. 11. 定义在上的偶函数满足：当时，，.若函数有6个零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.12. 已知抛物线的焦点为，且到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则（ ） A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。