2021届湖南长沙市高三下一模考试数学(文)试卷

2021年湖南省长沙市新高考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．设全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B＝{1，2}，则集合A∩（∁R B）＝（）A．{﹣1，0}B．（﹣1，1）∪（2，3]
C．（0，1）∪（1，2）∪（2，3]D．{0，3}
2．过双曲线C：x2
a2
−y
2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F(2√2，0)作两条渐近线的垂线，垂
足分别为A，B，点O为坐标原点，若四边形OAFB的面积为4，则双曲线的离心率为（）A．2√2B．√2+1C．√3D．√2
3．已知设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
B．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
C．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
4．设a∈R，则“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
5．下列函数中同时满足（1）在区间(0，π
2
)上是增函数；（2）以π为周期；（3）是偶函数，
三个条件的是（）
A．y＝tan x B．y＝e﹣cos x C．y＝sin|x|D．y＝|sin x|
6．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P﹣ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）
A．P A，PB，PC两两垂直
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2020-2021长沙市高三数学下期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD2．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD3．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．524．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4015．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．856．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．107．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．8．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）AB．5CD9．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或710．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．311．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值3112．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14± D ．14二、填空题13．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________．14．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；15．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________. 16．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.17．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 18．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________． 19．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 20．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m -≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题21．若0,0a b >>,且11a b+=（1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 22．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为4，其外接圆的半径为3，求ABC ∆的周长.23．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a -=+。

2021年湖南省长沙市十四中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为（）参考答案：D2. 已知函数，则的大小关系是 ( )A． B.C． D.参考答案：B略3. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积S=π，高h==，故体积V==，故选：C．4. 若f（x）=2sin（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（+t）=f（﹣t），且f（）=﹣3，则实数m的值等于（）A．﹣1 B．±5C．﹣5或﹣1 D．5或1参考答案：C【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用对任意实数t都有f（+t）=f（﹣t）得到x=为f（x）的对称轴，得到f（）为最大值或最小值，得到2+m=﹣3或﹣2+m=﹣3求出m的值．【解答】解：因为对任意实数t都有f（+t）=f（﹣t），所以x=为f（x）的对称轴，所以f（）为最大值或最小值，所以2+m=﹣3或﹣2+m=﹣3所以m=﹣5或m=﹣1故选C．5. 已知：，：,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B6. 复数的共轭复数为（）A．－5i B．5i C．1+5i D．1－5i参考答案：A复数，故复数的共轭复数为－，故选A.7. 已知集合M＝{x｜1＜x＜4)，N＝{1，2，3，4，5}，则M∩N＝A．{2，3} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{2，3，4}参考答案：A8.参考答案：B略9. 命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题为（）A．若x2=1，则x≠1且x≠﹣1 B．若x2≠1，则x≠1且x≠﹣1C．若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1D．若x≠1或x≠﹣1，则x2≠1参考答案：【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题“若￢q则￢p”，写出即可．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题是“若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1”．故选：C．10. 已知x∈（0，2），关于x的不等式＜恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，e+1） B．[0，2e﹣1）C．[0，e）D．[0，e﹣1）参考答案：D【考点】函数恒成立问题．【分析】根据题意显然可知k≥0，整理不等式得出k＜+x2﹣2x，利用构造函数f（x）=+x2﹣2x，通过导函数得出函数在区间内的单调性，求出函数的最小值即可．【解答】解：依题意，k+2x﹣x2＞0，即k＞x2﹣2x对任意x∈（0，2）都成立，∴k≥0，∵＜，∴k＜+x2﹣2x，令f（x）=+x2﹣2x，f'（x）=+2（x﹣1）=（x﹣1）（+2），令f'（x）=0，解得x=1，当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数递增，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数递减，∴f（x）的最小值为f（1）=e﹣1，∴0≤k＜e﹣1，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 使不等式（其中）成立的的取值范围是．参考答案：略12. 右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列（n∈N+）中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ．参考答案：1略13. 在边长为1的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、DC 的中点，则向量．参考答案：14. 设x ，y 满足约束条件，则的取值范围为．参考答案：15. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，点D 是劣弧的中点，过点B 的切线交弦CD 的延长线于点E ．若∠BAC=80°，则∠BED= ．参考答案：60°【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE 中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值． 【解答】解：由BE 为圆的切线，由弦切角定理可得 ∠EBC=∠A=80°，由D 是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE 中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE =180°﹣80°﹣40°=60°． 故答案为：60°．16. 已知复数(i 为虚数单位),则的实部为 ▲ .参考答案：17. 设，则的内角=___________.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2021年湖南省长沙市黄兴中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．2. 已知正整数列中，，则等于（）A．16 B．8 C．D．4参考答案：D略3. 若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(A).(0,1) (B).[0,1) (C).[0,1)∪(1,4] (D).[0,1]参考答案：A4. 已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为，当时，.若，则a、b、c的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】设，由条件可得出是偶函数且在上单调递增，然后即可比较出的大小【详解】设，因为是奇函数，所以是偶函数当时，所以在上单调递增因，所以，即故选：C【点睛】本题考查的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出合适的函数是解题的关键，属于中档题.5. 某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n﹣m的值（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果．【解答】解：由题意得：，解得m=3，n=9，∴n﹣m=9﹣3=6．故选：B．6. 中，为锐角，为其三边长，如果，则的大小为（）A．B．C．D．参考答案：D略7. 已知全集U={0,1,2,3,4}，设集合A={0,1,2}，B={1,2,3}，则（）A．{3} B．C．{1,2} D．{0}参考答案：D∵，，∴，且，∴，故选D．8. 集合，，则（）A． B． C． D．参考答案：B略9. （）A． B． C． D．18参考答案：A．试题分析：，故选A．考点：分段函数的运算．10. 设,二次函数的图象为下列之一，则的值为（）A.B ．C ．1D ．参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知的面积为__________.参考答案：12. 函数的反函数．参考答案：13. 在△ABC 中，A=2B ，且3sinC=5sinB ，则cosB= ．参考答案：【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及两角和正弦函数公式，倍角公式可得sinC=2sinBcos 2B+（2cos 2B ﹣1）sinB ，结合已知可得6cos 2B+3（2cos 2B ﹣1）=5，即可解得cosB 的值． 【解答】解：∵A=2B，A+B+C=π，可得：C=π﹣3B ，∴sinC=sin3B=sin（2B+B ）=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos 2B+（2cos 2B ﹣1）sinB ， ∵3sinC=5sinB，∴6sinBcos 2B+3（2cos 2B ﹣1）sinB=5sinB ，∵sinB≠0，∴解得：6cos 2B+3（2cos 2B ﹣1）=5，解得：cos 2B=，∵A=2B，B 为锐角，∴cosB=． 故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了一元二次方程的解法，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．14. 在平面直角坐标系中有一点列P 1（a 1，b 1），P 2（a 2，b 2），…，P n （a n ，b n ），…对?n∈N +，点P n 在函数y=a x（0＜a ＜1）的图象上，又点A n （n ，0），P n （a n ，b n ），A n+1（n+1，0）构成等腰三角形，且|P n A n |=|P n A n+1|若对?n∈N +，以b n ，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则a 的取值范围是 ．参考答案：＜a ＜1．考点： 数列与函数的综合． 专题： 函数的性质及应用．分析： 由等腰三角形和中点坐标公式，可得a n =n+，b n =，再由构成三角形的条件，结合指数函数的单调性，即可得到a+a 2＞1，解不等式即可得到a 的范围．解答： 解：由点A n （n ，0），P n （a n ，b n ），A n+1（n+1，0）构成等腰三角形， 且|P n A n |=|P n A n+1|，由中点坐标公式，可得A n A n+1的中点为（n+，0）， 即有a n =n+，b n =，由0＜a ＜1，可得b n ＞b n+1＞b n+2，以b n ，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形， 只需b n+1+b n+2＞b n ，即为+＞，即有a+a2＞1，解得a＞或a＜，由0＜a＜1，则有＜a＜1．故答案为：＜a＜1．点评：本题考查指数函数的性质和运用，主要考查指数函数的单调性的运用，同时考查构成三角形的条件，考查运算能力，属于中档题15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥C1﹣EFG，其中E、F、G分别为B1C1、D1C1、CC1的中点．然后由正方体体积减去三棱锥体积得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥C1﹣EFG，其中E、F、G分别为B1C1、D1C1、CC1的中点．∴该几何体的体积为V=．故答案为：．16. 函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调增区间为．参考答案：（﹣∞，﹣2）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：求函数的定义域，根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．解答：解：由x2﹣4＞0得x＞2或x＜﹣2，设t=x2﹣4，则y=log0.5t为减函数，要求函数f（x）的递增区间，即求函数t=x2﹣4的递减区间，∵函数t=x2﹣4的递减区间为（﹣∞，﹣2），∴函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），故答案为：（﹣∞，﹣2）点评：本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．17. 阅读右侧程序框图，则输出的数据为_____.参考答案：31略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021年高三下学期第一次模拟考试数学数学（文）试题 Word版含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合，集合，则（）（A）（B）（C）（D）2. 设命题p：，则p为（）（A）（B）（C）（D）3. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）（A）（B）（C）（D）4．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示. 若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）（A）（B）（C）（D）5. 在平面直角坐标系中，向量＝(1, 2)，＝(2, m) ，若O, A, B三点能构成三角形，则（）（A）（B）（C）（D）6. 执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0, 1，则输出的（）（A）4 （B）16 （C）27 （D）367. 设函数，则“”是“函数在上存在零点”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8. 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元. 已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误．．的是（）（A）最多可以购买4份一等奖奖品甲乙8901m 823（B ）最多可以购买16份二等奖奖品 （C ）购买奖品至少要花费100元 （D ）共有20种不同的购买奖品方案第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____. 10．在△ABC 中，，，，则_____.11．若圆与双曲线C ：的渐近线相切，则_____；双曲线C 的渐近线方程是____. 12．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____.13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元.14. 设函数 则____；若，，则的大小关系是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 设函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值.16．（本小题满分13分）已知等差数列的公差，，. （Ⅰ）求数列的通项公式；侧(左)视图正(主)视图 俯视图（Ⅱ）设，记数列前n 项的乘积．．为，求的最大值.17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，底面，，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，判断直线与平面是否垂直？并说明理由.18．（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中．当数据的方差最大时，写出的值.（结论不要求证明）（注：，其中为数据的平均数）D 1DA C 1 A 1B 1B CO 体育成绩45 55 6575 85 95 各分数段人数19．（本小题满分14分）已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设动直线与y轴相交于点，点关于直线的对称点在椭圆上，求的最小值.20．（本小题满分13分）已知函数，且.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方.北京市西城区xx年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科）xx.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．A 3．B 4． C 5．B 6．D 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9． 10．11. 12．13．1464 14．注：第11，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为……………… 4分.……………… 6分所以函数的最小正周期为. ……………… 7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得. ……………… 8分因为，所以，所以.所以.……………… 11分且当时，取到最大值；当时，取到最小值. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）（Ⅰ）解：由题意，得……………… 3分解得或（舍）.……………… 5分所以． ……………… 7分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得. 所以.所以只需求出的最大值. ……………… 9分 由（Ⅰ），得2121(1)17(1)222n n n n n S a a a na n -=+++=+⨯-=-+.因为， ……………… 11分 所以当，或时，取到最大值.所以的最大值为. ……………… 13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：因为，平面，平面， 所以平面. ………… 2分 因为，平面，平面， 所以平面.又因为，所以平面平面. ………… 3分 又因为平面，所以平面. ……………… 4分 （Ⅱ）证明：因为底面, 底面，所以. ……………… 5分 又因为,, 所以平面. ……………… 7分又因为底面，所以. ……………… 9分 （Ⅲ）结论：直线与平面不垂直. ……………… 10分 证明：假设平面，由平面，得. ……………… 11分 由棱柱中，底面， 可得，，D 1D AC 1A 1B 1B C又因为，所以平面，所以. ……………… 12分又因为，所以平面，所以. ……………… 13分这与四边形为矩形，且矛盾，故直线与平面不垂直. ……………… 14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，………………2分所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人. ……4分（Ⅱ）解：设“至少有1人体育成绩在”为事件，………………5分记体育成绩在的数据为，，体育成绩在的数据为，，，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：，，，，，，，，，.而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，， (7)分因此事件的概率. ………………9分（Ⅲ）解： a，b，c的值分别是为，，. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C：，所以，，………………1分故，解得，所以椭圆的方程为. ………………3分因为，所以离心率. ………………5分（Ⅱ）解：由题意，直线的斜率存在，设点，则线段的中点的坐标为，且直线的斜率，………………7分由点关于直线的对称点为，得直线，故直线的斜率为，且过点，所以直线的方程为：，………………9分令，得，则，由，得，化简，得. ………………11分所以. ………………13分当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对求导，得，…………………1分所以，解得，所以. …………………3分（Ⅱ）解：由，得，因为，所以对于任意，都有. …………………4分设，则 .令，解得. …………………5分当x变化时，与的变化情况如下表：所以当时，. …………………7分因为对于任意，都有成立，所以 .所以的最小值为. …………………8分（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，即要证，所以只要证.由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）.所以只要证明当时，即可. …………………10分设，所以，令，解得.由，得，所以在上为增函数.所以，即.所以.故函数的图象在直线的下方. …………………13分8v32436 7EB4 纴334053 8505 蔅-726100 65F4 旴K 35477 8A95 誕31458 7AE2 竢33606 8346 荆D。

2021-2022学年湖南省长沙市湘一实验中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域为A. [1, ]B. [1,2]C. [ ,2]D. [参考答案：D【分析】因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.【详解】函数定义域为：，因为，又，所以的值域为.故选D.【点睛】本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.2. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为：（参考数据：）A．3.1419 B．3.1417 C．3.1415 D．3.1413参考答案：A3. 复数的共轭复数为A. B. C. D.参考答案：B,所以其共轭复数为，选B.4. 已知点F为双曲线：的右焦点，点P是双曲线右支上的一点，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B设左焦点为由题意可得=||=2c，=120°，即有|P|2=|P|2+||2﹣2|P|?||cos=4c2+4c2﹣2?4c2?（﹣）=12c2，即有|P|=2c，由双曲线的定义可得|P|﹣|PF|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故答案为：．5. 已知定义在R上的函数满足下列三个条件：(1）对于任意的都有；(2）对于任意的都有；(3）函数的图象关于轴对称.则下列结论正确的是（）A． B．C． D．参考答案：A6. 如图，在中，，，为的中点.将沿着翻折至，使得，则的取值不可能为（）A．B．C．D．参考答案：A7. 满足，且的集合的个数是（）A．1B．2 C．3 D．4参考答案：B略8.给出下列四个命题：①若；②“a<2”是函数“无零点”的充分不必要条件；③若向量p=e1+e2，其中e1，e2是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0，2]；④命题“若lg x>lgy，则x>y”的逆命题.其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．③④D．①②③参考答案：答案:B9. 已知集合，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C考点：集合的运算.10. 设函数f(x)在处可导，则等于（）A ．B ．C ．-D ．-参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有下列四个命题：（1）一定存在直线，使函数的图像与函数的图像关于直线对称；（2）在复数范围内，（3）已知数列的前项和为，，则数列一定是等比数列；（4）过抛物线上的任意一点的切线方程一定可以表示为．则正确命题的序号为_________________ 参考答案： （3）（4） 略12. i 是虚数单位，计算的结果为．参考答案：﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可． 【解答】解：i 是虚数单位，===﹣i ．故答案为：﹣i ．【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．13. 已知复数，，且是实数，则实数= .参考答案：14. 已知点满足，则的取值范围是________________．参考答案：略15. 已知△ABC 的三边长成公比为的等比数列，则△ABC 最大的余弦值为 ．参考答案：由题设三边长分别为:a,,2a,且2a 为最大边,所对的角为,由余弦定理得:16. 复数____________。

湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题文（含解析）第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。

【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况. 两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。

2020-2021长沙市高三数学下期中第一次模拟试题含答案一、选择题1．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8C ．3D ．42．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年3．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-4．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．135．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S 6．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9007．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40379．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．(][),42,-∞-+∞UC ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞10．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．611．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22B ．24C ．26D ．2812．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B ．3 C ．5 D ．7 二、填空题13．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.14．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，且22cos C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．16．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．17．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．18．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 19．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________. 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a+的值； （2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 22．设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.23．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 24．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若c =ABC ∆，求+a b 的值； 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.26．已知点（1，2）是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.2．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-．故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．4．C解析：C 【解析】 【分析】由约束条件可得可行域，将问题变成1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：当2z x y =+取最大值时，1122y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12y x =-，可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大由240y xx y =⎧⎨--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.5．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0 ∵87a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0 数列的前7项为负， 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．6．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 7．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc++=,()ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >, 所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.11．D解析：D 【解析】试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则考点：等差数列的性质12．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin23sin 0b A a B =化简得3cosA =，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin23sin 0b A a B +=，可得sin23sin 0sinB A sinA B +=， 即2sin 3sin 0sinB AcosA sinA B = 由于：0sinBsinA ≠， 所以3cosA =：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6=． 又3b c =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=. 即227a c =，所以7c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、填空题13．【解析】【分析】由于是等比数列所以也是等比数列根据题目所给条件列方程解方程求得的值【详解】设数列的公比为则是首项为公比为的等比数列由得即①由得②联立①②解得【点睛】本小题主要考查等比数列的性质考查等解析：2【解析】 【分析】由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1a 的值. 【详解】设数列{}n a 的公比为0q >，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，由()()()()()1239101f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-得121011210111a a a a a a a ⎛⎫+++-+++=- ⎪⎝⎭L L ，即()10101111111111a q a q a q q⎛⎫-⎪-⎝⎭-=---①，由61a =，得511a q =②，联立①②解得12a =. 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.14．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为解析：,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】 【详解】根据题意，由于函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，22222()4(1)(1)11xm x x m m--≤--+-，分离参数的思想可知，,递增，最小值为53，即可知满足33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭即可成立故答案为33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭． 15．【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学生的计算能力 解析：9π【解析】 【分析】根据正弦定理得到()1sin sin A B C R +==，再根据22cos 3C =计算1sin 3C =得到答案. 【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=， 即()1sin sin A B C R +==，22cos C =，1sin 3C =， 即3R =.故29S R ππ==. 故答案为9π 【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.16．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18 【解析】471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，7173a ∴=同理94561213141177a a a a a a a =++++++=L ，97a ∴=423d ∴=，23d =91376k a a -=-=2693÷=9918k ∴=+=17．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题【解析】【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果.【详解】925491cos ,sin 3022C C +-==-=，由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.18．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n nS S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 19．1【解析】试题分析：由得所以（当且仅当即时等号成立）所以答案应填1考点：1对数的运算性质；2基本不等式解析：1【解析】试题分析：由log 41,a b =-得104a b =>，所以114a b b b +=+≥=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立） 所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则解析：5【解析】由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=,得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-,即有41612ab S =-, 由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号,当a =2,b=1,S 取得最小值23,易得2sin 3C =(C 为锐角),则cos C =,则2222cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题21．（1）2224b c a +=（2 【解析】【分析】（I ）由题意2sin 3tan c B a A =，利用正、余弦定理化简得2224b c a +=，即可得到答案. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，由余弦定理得6cos A bc =，进而利用基本不等式，得到6cos bc A =，且(0,)2A π∈，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值.【详解】解：（I ）∵2sin 3tan c B a A =，∴2sin cos 3sin c B A a A =，由正弦定理得22cos 3cb A a =， 由余弦定理得22222?32b c a cb a bc+-=，化简得2224b c a +=， ∴2224b c a+=. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==， ∴由余弦定理得2226cos 2b c a A bc bc+-==， 根据重要不等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时“=”成立， ∴63cos 84A ≥=. 由6cos A bc =，得6cos bc A =，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴ABC ∆的面积116sin sin 3tan 22cos S bc A A A A ==⨯⨯=. ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A++=+==，∴tan A =≤=∴3tan S A =≤∴ABC ∆的面积S.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.22．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6【解析】【分析】 （Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与32n n a a --的关系，即可得证 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2111222n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解.【详解】解：（Ⅰ）()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312628n n n n a a a a --+=--+ 2(3)(2)n n a a --=-- 322n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，322n n n a a -=-， 即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅①23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅- 1(32)26n n +=-⋅-.1S (23)26n n n +∴=-⋅+ 2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q ，87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.23．（1）6n a n =-；（2）552-.【解析】【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式．（2）推出112n S n n -=，令n n S c n =，得到{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ， 又∵d ≠0，可得a 1=-5d ； 而51545152S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6． （2）因为()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=，所以112n S n n -=， 令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 【点睛】本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及利用等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．24．（1）13-（2）3【解析】【分析】（1）根据()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理将边转化为角得()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，再利用两角和与差的三角函数化简得到()sin 3cos 10+=A C 求解.（2）由（1）知sin 3C =，根据ABC ∆的面积为4，得94ab =，再由余弦定理()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--求解.【详解】（1）因为()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，所以3sin cos sin cos sin cos 0++=A C B C C B ，所以()3sin cos sin 0++=A C B C ，所以()sin 3cos 10+=A C ，因为sin 0A ≠ ， 所以1cos 3=-C .（2）由（1）知sin 3C =，因为ABC ∆的面积为4，所以1sin 2∆ABC S ab C ==，解得94ab = ，因为c =ABC ∆中， 由余弦定理得：()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--，所以()29a b +=，所以3a b +=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的三角函数应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题25．（1）4π；（2. 【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式把24sin 4sin sin 22A B A B -+=+的余弦公式求cos()A B +，由三角形三内角和定理可求得cos C ，从而求得角C ； （2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求E 边.【详解】试题分析：（1）由已知得2[1cos()]4sin sin 2A B A B --+=+化简得2cos cos 2sin sin A B A B -+=，故cos()2A B +=-，所以34A B π+=， 因为A B C π++=，所以4C π=.（2）因为1sin 2S ab C ⊥=，由6ABC S =V ，4b =，4C π=，所以a =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，所以c =.【点睛】本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题.26．（1）a n ＝2n －1；（2）T n ＝(n －1)2n＋1. 【解析】【分析】（1）由点（1,2）在()x f x a =图像上求出2a =，再利用n S 法求出n a ． （2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定．【详解】(1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x 得a ＝2，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ，所以a n b n ＝n ·2n －1.T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，①2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .② 由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ，所以T n ＝(n －1)2n ＋1.【点睛】 （1）主要考查了n S 法求通项公式，即11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （2）用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.。

湖南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x＜0}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜2} D．{x|x＜1}2．复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．53．若p：a，b∈R+；q：a2+b2≥2ab，则（）A．p是q充要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．已知平面向量为单位向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．5．函数，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．设x，y满足约束条件，则z=x+2y﹣3的最大值为（）A．8 B．5 C．2 D．17．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为（）A．B．C．D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．909．抛物线y2=8x的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）右焦点重合，又P为两曲线的一个公共交点，且|PF|=5，则双曲线的实轴长为（）A．1 B．2 C．D．610．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．3πC．6πD．24π12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f 的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个长度单位后得到函数g（x）的图象，求当时g（x）的最大值．18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．如图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图．已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？高消费群非高消费群合计男女10 50合计（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．如图，四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足，求直线PQ的方程．21．已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．解答题（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．己知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x＜0}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜2} D．{x|x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，即N={x|﹣1＜x＜2}，∵M={x|x＜0}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜0}，故选：A．2．复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．5【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求解，然后求出复数的模即可．【解答】解：复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，可得z===2+1．|z|==．故选：C．3．若p：a，b∈R+；q：a2+b2≥2ab，则（）A．p是q充要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：由a2+b2≥2ab得：（a﹣b）2≥0，∀a，b是R恒成立，推不出a＞0，b＞0，不是必要条件，由“a＞0，b＞0”能推出“a2+b2≥2ab，是充分条件，故“a＞0，b＞0”是“a2+b2≥2ab的充分不必要条件，故选：B．4．已知平面向量为单位向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得到，从而由便可得到，进行向量数量积的运算便可得到，从而便可得出向量，的夹角．【解答】解：根据条件，；∴由得，；∴；∴向量的夹角为．故选：D．5．函数，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数零点的判定定理．【分析】的零点，即方程f（x）﹣的根，也就是f（x）=的根，即函数y=f（x）与y=交点的横坐标，画出图形得答案．【解答】解：由f（x）﹣，得f（x）=，作出函数y=f（x）与y=的图象如图，由图可知，函数的零点个数为3．故选：A．6．设x，y满足约束条件，则z=x+2y﹣3的最大值为（）A．8 B．5 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足的可行域，由图易得：当x=4，y=2时z=x+2y﹣3的最大值为5，故选：B．7．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件个数，由此能求出这两次出现的点数之和大于点数之积的概率．【解答】解：现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，基本事件总数n=6×6=36，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），共11个，∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为p=．故选：D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C9．抛物线y2=8x的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）右焦点重合，又P为两曲线的一个公共交点，且|PF|=5，则双曲线的实轴长为（）A．1 B．2 C．D．6【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得c=2，设出P的坐标，运用抛物线的定义，可得P 的坐标，代入双曲线的方程，解得a=1，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=﹣2，由题意可得c=2，设P（m，n），由抛物线的定义可得|PF|=m+2=5，解得m=3，n=±2，将P（3，±2）代入双曲线的方程，可得﹣=1，且a2+b2=4，解得a=1，b=，即有双曲线的实轴长为2a=2．故选：B．10．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n﹣a n+1=2a n a n+1变形可知﹣=2，进而可知a n=，并项相加即得结论．【解答】解：∵a n﹣a n+1=2a n a n+1，∴﹣=2，又∵=5，∴=+2（n﹣3）=2n﹣1，即a n=，∴a n a n+1=（a n﹣a n+1）=（﹣），∴所求值为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，故选：A．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．3πC．6πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为长方体一部分，画出直观图，由长方体的性质求出该几何体外接球的半径，利用球的表面积公式求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为长方体一部分，直观图如图所示：且长方体的长、宽、高分别是1、1、2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球与长方体的相同，设该几何体外接球的半径是R，由长方体的性质可得，2R==，解得R=，∴该几何体外接球的表面积S=4πR2=6π，故选：C．12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，运用对数函数的单调性，即可得到解集．【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f=f （2），代值计算可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，∴f（x+2）=f（x）即函数f（x）为周期为2的周期函数，又∵当x∈（0，2]时，f（x）=2x，∴f=22=4，故答案为：4．14．在等比数列{a n}中，，则a3+a4= 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】等比数列{a n}的公比为q，由于，可得q4（a1+a2）==8，解得q2，即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，∴q4（a1+a2）==8，解得q2=4．则a3+a4=q2（a1+a2）==2．故答案为：2．15．已知圆C的方程为x2+y2+8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为．【考点】圆的一般方程．【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）2+y2=1，∴圆心C（﹣4，0），半径r=1，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴圆心（﹣4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=，解得：≤k≤0．故答案为：．16．为了测得一铁塔AB的高度，某人在塔底B的正东方向C处测得塔顶A的仰角为45°，再由C点沿北偏东30°方向走了20米后到达D点，又测得塔顶A的仰角为30°，则铁塔AB的高度为20 米．【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出示意图，用AB表示出BC，BD，在△BCD中使用余弦定理列方程解出AB．【解答】解：由题意知CD=20，∠BCD=120°，∠ACB=45°，∠ADB=30°．AB⊥BC，AB⊥BD．设AB=h，则BC=h，BD=．在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD，即3h2=h2+400+20h，解得h=20．故答案为：20．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数，且f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个长度单位后得到函数g（x）的图象，求当时g（x）的最大值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=，利用周期公式即可解得ω的值，利用正弦函数的图象和性质，令，即可解得f（x）的单调减区间．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2sin（2x﹣）+1，由x的范围，可求，由正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵=，∵，∴ω=1，…从而：，令，得，∴f（x）的单调减区间为．…（Ⅱ）∵，…∵，∴，∴当，即时，g（x）max=2×1+1=3．…18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．如图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图．已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？高消费群非高消费群合计男女10 50合计（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组求解m、n即可．（Ⅱ）利用已知条件直接列出联列表，然后情况k2，即可判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015解得m=0.0025，n=0.0035…所求平均数为：（元）…（Ⅱ）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：高消费群非高消费群合计男15 35 50女10 40 50合计25 75 100…根据上表数据代入公式可得所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．…19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，证明BF⊥平面ACD，结合EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，再结合线面平行的判定定理得到EM∥面ABC；（Ⅱ）由等面积法求出点D到平面EMC的距离．【解答】证明：（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，因为AB=BC，所以BF⊥AC，又因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BF，所以BF⊥平面ACD，…因为EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，因为EM⊄面ABC，BF⊂平面ABC，所以EM∥平面ABC；…解：（Ⅱ）因为EM⊥平面ACD，EM⊂面EMC，所以平面CME⊥平面ACD，平面CME∩平面ACD=CM，过点D作直线DG⊥CM，则DG⊥平面CME，…由已知CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD=2BE，可得AE=DE，又EM⊥AD，所以M为AD的中点，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，，，在△DCM中，，由等面积法知，所以，即点D到平面EMC的距离为．…20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足，求直线PQ的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c，求得c，运用椭圆的离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆方程；求得椭圆的上顶点，可得抛物线的焦点，进而得到抛物线的方程；（II）显然直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），求得向量FP，FQ的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，联立抛物线的方程，运用判别式为0，化简整理，计算即可得到k，m的值，进而得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为；又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故物线C2的标准方程为x2=8y．（II）显然直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，即（*），联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去），联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得，经检验，m=﹣1符合要求．故直线PQ的方程为．21．已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）令f′（e2）=解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的单调递减区间；（II）分离参数得出k＞2x﹣2lnx（0＜x＜1）或k＜2x﹣2lnx（x＞1），分情况讨论求出右侧函数的最大值或最小值，从而得出k的范围．【解答】解：（Ⅰ），∵曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直，∴f′（e2）==，解得m=2，∴，∴，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，∴函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e）．（Ⅱ）∵恒成立，即，①当x∈（0，1）时，lnx＜0，则恒成立，令，则g′（x）=，再令，则h′（x）=＜0，所以h（x）在（0，1）内递减，所以当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（0，1）内递增，g（x）＜g（1）=2∴k≥2．②当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则恒成立，由①可知，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）内递增，所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（1，+∞）内递增，g（x）＞g（1）=2⇒k≤2；综合①②可得：k=2．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB2，求出AC，即可求△ABC 的面积．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…∴，∴AC•CB=CD•CE又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB2∴x•2x=8，∴x=2，∴．…解答题（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、，即A、B的直角坐标分别为A（﹣2，0）、，即有，可得直线AB的方程为，即为．（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离=，（其中）当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，可得．[选修4-5：不等式选讲]24．己知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）将f（x）写成分段函数式，讨论x的范围，解不等式，求交集即可得到所求解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为f（x）min≤a﹣，运用一次函数的单调性，求得最小值，解二次不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，当x≥1时，x+2＜2，即x＜0，可得x∈∅；当﹣＜x＜1时，3x＜2，即x＜，可得﹣＜x＜；当x≤﹣时，﹣x﹣2＜2，即x＞﹣4，可得﹣4＜x≤﹣．综上可得，不等式的解集为（﹣4，）；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为：f（x）min≤a﹣，由x≥1时，x+2≥3；﹣＜x＜1时，﹣＜3x＜3：x≤﹣时，﹣x﹣2≥﹣．可得f（x）min=﹣，即有a﹣≥﹣，解得﹣1≤a≤3．即有a的取值范围是[﹣1，3]．。