面面平行的性质定理(ppt)

α
8
例题示范
例2.如图,已知直线a,b,平 面α,且a//b,a//α ,a,b都在 平面α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与 平面α相交,交线为c. 因为a//α,a β , c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c α, b α, 所以 b// α。
b α α b
2
（2）如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面 与平面α有几种位置关系？ a
a
α
α
b
（3）如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与 平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？
为什么？
3
已知:直线a , a , b
a // 证明：
求证:a // b
β
α
a
b
a与没有公共点 又因为b在内 a与b没有公共点 又 a与b都在平面内
且没பைடு நூலகம்公共点
a // b
4
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平 行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条 直线和交线平行。
a
图形 b
符号语言:
β
作用： 判定直线与直线平行的重要依据。 关键： 寻找平面与平面的交线。
a // ，a ， b
α
a // b .
上述定理反映了直线和平面平行的一个性质，其内容 可简述为“线面平行，则线线平行”.
线∥面
线∥线
5
例题示范 例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一 点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画 的线和面AC有什么关系？ 解：（1）过点P作 EF∥B′C′ ，分别交棱 A′B′ ， C′D′于点E，F。 E D ′ C′ 连接BF，CE，则EF，BF， P CE就是应画的线。 F B′

线线平行
面面平行判定定理: 线面平行 面面平行
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行那么这两 个平面平行．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行判定定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平行。
几个重要结论
1.平行于同一平面的两平面平行 ； 2.过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行 ； 3.夹在两平行平面间的平行线段相等 。 4、如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与 另一个平面平行
5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相 等
重要思想方法
直线与平面平行
判定
性质
性质 直线与直线平行
判定 性质
判定 平面与平面平行
× √ × √ √
空间中的平行关 系
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的判定方法
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的性 质
已知：ab在平面α外，a∥α.求证： b∥α.
(1)(2)(4)(5)
(1)
(2)
(3)
总 结
线线平行
线面平行
线面平行
精品 课件
高中数学必修2
第八章 立体几何初步
空间直线、平面的平行
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
理解并掌握直线与直线平行的判定方 法理解并掌握直线与平面的判定方 法理解并掌握直线与平面平行的性质定 理理解并掌握平面与平面平行的判定方 法理解并掌握平面与平面平行的性质定 理能够根据定理写证明过 程
四边形的两条邻边相等。
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行，那么这两个角相等或互补”。 在空间中,结论是否仍然成立呢?

D A B C
M
D1 A1
P N B1
C1
【知识方法总结】
1. 证明面面平行的主要方法: ①利用定义; ②利用判定 定理. 另外证面面平行还可利用“垂直于同一条直线 的两个平面互相平行”来证. 2. 面面平行关系, 通常转化为线面关系, 而线面关系又 可转化为线线关系.
两个平面平行
【教学目标】
掌握两平面平行的判定和性质，并用以解决 有关问题
【知识梳理】 1．空间两个平面的位置关系
位置 关系 两平 面平 行
图
示
表示法
公共点个 数 没有公共 点



两平 面
【知识梳理】 2．两个平面平行的判定
类 别
语言表述
图 示
字母表示
A M E B
C N D
【典例剖析】 【例3书】 如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任 何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直， 边长均等于a，并且AA1∥CC1.求证：平面A1BC1∥平面 ACD1.
A
B
C
A1 C1
D1
【典例剖析】 【例4书】 如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、 N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证： （1）AP⊥MN； （2）平面MNP∥平面A1BD.
a ∥ c a ∥ ∥c ① a ∥ b; ② a ∥ b; ③ ∥; b∥c b ∥ ∥ c ∥ c ∥ ∥ ④ a ∥ ; ⑤ ∥⑥ a ∥ a ∥c ∥ a ∥
性 质
一条直线垂直于 两个平行平面中 的一个平面，它 也垂直于另一个 平面.


a
证直线 和平面 // a 垂直

(2)连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD. ∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD， 又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
的角为 60°，转化为三角形的一个角有关的问题 还缺少所需要用的三角形，可连接 AD，取 AD 的中 差什么 点 M，连接 ME，MF，得三角形 MEF，利用平行 找什么 关系可找到 ME 与 MF 所成的角，然后利用余弦定 理求解即可
[解题方略] 证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面 平行(客观题常用)； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转 化进行证明．
所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以BD1∥C1D. BD1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D， 所以BD1∥平面AC1D， 又因为A1B∩BD1＝B， 所以平面A1BD1∥平面AC1D.
2.如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC
＝
1 2
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的
考法(二) 直线与平面平行性质定理的应用 [例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四 边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中 点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证：AP∥GH.

D C
O
A
B
技巧点拨：中点问题可考虑利用中位线的性质解决.
例3、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E、F 分别是AB，PC的中点， 求证：EF//平面PAD
技巧点拨：可通过构造平行四边形寻找平行线.
如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的 直线有怎样的位置关系？
•CD//AB →→ •CD//平面α
直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与 此平面平行
例2、求证：空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另两边的平面. 解题流程：画图→写出已知求证→作出辅助线→证明
已知:空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中 点. 求证：EF∥平面BCD.
点，求证:四边形EFGH是平行四边形.
A
EH // GF
H E
D
B
G
F C
探究：若加上条件AC=BD,那么四边形EFGH为什么图形?
2.等角定理
A’
E’
D’
A
E
D
如果空间中两个角的两条边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
推论：
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
a
α
平行或异面
三、直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此 平面的交线与该直线平行.
βa
αb
线面平行
先找平面再线找线两平平行 面的交线
例4、有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′ （1）要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料
锯开，应怎样画线？ （2）所画的线和面AC有什么关系？

（2）重学生学习体验。 (1)判定两个平面平行的主要途径有那些.
定义
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．
提问：能否加上某些条件，从而由“线线平行”推出“面面平行”。
形式：讲述、提问、讨论
返回
过程分析 ——设计思路
问题： （1）若两条直线平行，则分别经过这两条直线的
(2)平面 BC CB内的直 BC 和 线 BC有什么关系？为
(3)若AA12，直A线 A和平A面 B所 C 成 NhomakorabeaC
3
的角6是 0，则两个平A行 B和 C平面A 2
B
ABC的距离是多少？
4C
1
A
B
课时小结
a
1.两个平面平行的性质
（1）一个结论 / /,a a/ /
面面平行
线面平行
（2）性质定理a/,/ba//b
②一条直线和两个平行平面相交,则此直线和两个平
面成等角;
③一条直线和两个平面成等角,则此两个平面平行;
④夹在两个平行平面间的两条线段长相等,那么这两
条线段平行.
A1 B2 C3 D4
巩固与拓展
3且.一不个为平零面,则上这不两同个的平三面点到另一个平面的距离( B相等)
A. 平行
B. 相交
C. 平行或重合
9.5.2两个平面平行的判定和性质
珲春一中 崔星
复习与引入
1.两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种 (1)两个平面平行——没有公共点 (2)两个平面相交——有一条公共直线．
l
符号表示 //
l
2.两个平面平行的判定
（1）判定定理：如果一
个平面内有两条相交直线

判定定理二：向量
03
共线法
向量共线法原理
定义
若两向量方向相同或相反，则称这两 向量共线。
性质
应用
在直线与平面平行判定中，通过判断 直线的方向向量与平面上两不共线向 量的关系，确定直线与平面的位置关 系。
共线的向量可以表示为同一基向量的 倍数。
向量运算规则
加法运算
向量加法满足平行四边形 法则或三角形法则。
$l parallel alpha$。
实例二
若直线$l$的方向向量$vec{a}$ 与平面$alpha$的法向量
$vec{n}$满足$vec{a} cdot vec{n} = 0$，则$l parallel
alpha$。
讨论
通过实例分析，我们可以发现向 量共线法在直线与平面平行判定 中的重要作用。同时，需要注意 判定条件的充分性和必要性，以
及特殊情况的处理。
判定定理三：距离
04
相等法
距离相等法原理
直线与平面平行时，直线上任意一点 到平面的距离都相等。
利用这一性质，可以通过比较直线上 不同点到平面的距离是否相等来判断 直线与平面是否平行。
点到直线距离公式
点$P(x_0, y_0, z_0)$到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$的距 离公式为
直线与平面的距离为零
当直线上的任意一点到平面的距离都为零时，直线与平面平行。可 以通过计算点到平面的距离公式来判断。
复杂问题简化策略
转化为基本问题
将复杂问题转化为判断直线与平面是否平行的基本问题，以便运 用上述方法进行求解。
利用已知条件
充分利用题目中给出$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

§2.2.4 平面与平面平行的性质
., 1
教学目标：
1．理解掌握直线与平面平行的性质、 平面与平面平行的性质；
2．能够运用这两个性质定理来解决相关问题。
重点、难点：
会运用已学过的性质定理进行简单的证明。
., 2
一、复习：
1．直线与平面平行的判定定理：
a
线线平行，则线面平行
b
a α, b α, a∥b
b
a
., 7
2、平面与平面平行的性质定理：
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线平行
简记: 面面平行 线线平行
图形语言：
α∥β α∩γ＝a 符号语言：β ∩γ＝b
8
a∥b
b
a
.,
相互转化: 线线平行 线面平行
面面平行
., 9
例2：夹在两平行平面间的两条平行线段相等.
已知： // ， AB ∥ CD,且Ａ∈α，Ｃ∈α，
a∥α
2．平面与平面平行的判定定理：
p
a b
线面平行，则面面平行
aβ,b β, a∩ b =p
a∥ α ,b ∥ α
α∥β
., 3
3、直线与平面平行的性质定理：
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记: 线面平行 线线平行
a
图形语言：
b
α
符号语言：
D’
F
C’
A’
B’
P
D
C
Q
E
A
B
., 11
练习：
1、若a、b两直线都平行于平面 ， 则a、 b的位置关系（ D ）

若两向量的点积为零，则 它们垂直。
应用
通过计算直线方向向量与 平面法向量的点积，可以 判断直线与平面是否平行 。
判定定理三：法向量垂直
定义
若一直线与一平面平行， 则该直线的法向量与该平 面的法向量平行。
推论
若两向量平行，则它们的 分量成比例。
应用
通过比较直线法向量与平 面法向量的分量比例，可 以判断直线与平面是否平 行。
直线与平面平行的定义
阐述直线与平面平行的基本概念，为后续判定定理 的引入做铺垫。
判定定理的重要性
说明直线与平面平行判定定理在几何学中的地位和 作用，以及在实际应用中的价值。
教学目标
80%
知识与技能
掌握直线与平面平行的判定定理 及其证明方法，理解相关概念， 能够运用所学知识解决相关问题 。
100%
过程与方法
应用举例二：判断两平面是否平行
方法一
利用平行平面的性质，通过证明一个 平面内有两条相交直线分别与另一个 平面平行，从而判定两个平面平行。
方法二
利用向量法，通过计算两个平面的法 向量是否共线，从而判定两个平面是 否平行。
应用举例三：解决实际问题中的平行问题
1 2
实例一
在建筑设计中，利用直线与平面平行的性质，确 保建筑物的立面、地面等各部分保持平行，以达 到美观和稳定的效果。
定义
应用
若一直线与一平面平行，则该直线与 该平面内任意一条直线的斜率相等。
通过比较直线与平面内某一直线的斜 率，可以判断直线与平面是否平行。
推论
若两直线的斜率相等，则它们或者平 行或者重合。
判定定理二：方向向量平行
01
02
03
定义
若一直线与一平面平行， 则该直线的方向向量与该 平面的法向量垂直。

自测 自评
2．如果 a，b 是异面直线，且 a∥平面 α，那么 b 与 α 的位置关系是( )
A．b∥α B．b 与 α 相交
C．b⊂α D．不确定
解析：b 与 α 相交或 b⊂α 两种情况． 答案：D
自测 自评
3．如果一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间 的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是
(2)证明线线平行常用的方法有： ①定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线 平行． ②平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行． ③直线与平面平行的性质定理．
④反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾， 进而证明两条直线应当是平行的．
跟踪 训练
2．已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
跟踪 训练
3．如图，a∥α，A 是 α 另一侧的点，B，C，D∈a， 线段 AB，AC，AD 交 α 于 E，F，G 三点，若 BD＝4， CF＝4，AF＝2，求 EG.
跟踪 训练
解析：∵A∉a，∴A，a 可确定一个平面，设为 β. ∵B∈a，∴B∈β. 又 A∈β，∴AB⊂β.
同理 AC⊂β，AD⊂β. ∵点 A 与直线 a 在 α 的异侧， ∴β 与 α 相交． ∴平面 ABD 与平面 α 相交，设交线为 EG.
又∵l1∥l2，∴l2∥l3， ∴l1∥l3，l2∥l3. 点评：直线与平面平行的判定定理与直线与平面 平行的性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行 推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行， 复杂的题目还可继续推下去．
跟踪 训练
1．如图所示，过正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BB1 作一平 面交平面 CDD1C1 于 EE1，求证：BB1∥EE1.
证明：因为EF∥平面BCD，BD＝面ABD∩面BCD，所 以EF∥BD，因为E为空间四边形ABCD的边AB的中点，所 以F是AD的中点．

化归思想
化归思想
面面平行 线面平行 线线平行
两个平面平行的性质定理 :
结论：2、 如果两个平行平面同时和
第三个平面相交，那么它们的交线平
行．
已知: ∥ , I a, I b.
求证: a∥ b
证明: 因为∥ ,

a
所以 与 没有公共点,
因而交线a,b也没有公共点,
AB BC

DE EF
分析: 过点A作平行直线b 的直
线交 , 于点 E1 和F1 ，
连接 BE1, CF1, AD, EE1,和FF1.
ab
A •D
B
E1 •E
C
•F
F1
3.如图,设E,F,E1,F1分别
D1
是长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AB,CD,A1B1,C1D1的
A1
结 那论 么：它们2、的线如交果线线两平平个行行平．行平面同时和第三个平面相交，
作业
• 必做:教材45~46页 习题1~5 • 选做:教材46页 10
4.已知两条直线和三个平
行平面都相交，求证所截
得的线段对应成比例．
已知: ∥ ∥ ,直线a 和 b分别交
于点A、B、C和点D、E、F，
求证:
求证:平面DEF//平面ABD
证明：在△PAB中，
因为 D,E分别是PA,PB的中点，
所以 DE//AB.
又知 DE 平面ABC
D
因此 DE / /平面ABC
同理 EF//平面ABC
A
又因为 DE I EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
P
F E
C B
化归思想