甘肃省嘉峪关一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

甘肃省嘉峪关市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；满分150分，时间120分钟.第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、椭圆4422x y +=的准线方程是（ ） A ．x y 334±=B ．x y =±433 C ．y =±433 D ．x =±4332、右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确的是 （ ）A ．①②③B ．②④C ．②③④D ．③④3、已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( ) A.与a ，b 都相交 B.只能与a ，b 中的一条相交 C.至少与a ，b 中的一条相交 D.与a ，b 都平行4、已知条件p ：21<-x ，条件q ：0652<--x x ，则p 是q 的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5、已知:p “b a =”是“bc ac =”充要条件；:q “5<a ”是“3<a ”的必要不充分条件,则下列判断中，错误．．的是 （ ） A ．p 或q 为真，非q 为假 B ． p 或q 为真，非p 为真 C ．p 且q 为假，非p 为假 D ． p 且q 为假，p 或q 为真6、设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率 为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y +=B ．2211216x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 7、顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是（ ）A.24y x =- B.24x y = C.24y x =-或24x y = D. 24y x =或24x y =- 8、已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OM 3121++= D ．OM 313131++= 9、设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,0πα，则方程22sin cos 1x y αα+=表示的曲线为（ ） A ．焦点在y 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的双曲线 C ．焦点在x 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的双曲线10、如图所示，在四面体P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B －AP －C 的余弦值为( ) A ．22 B ．77 C ．33 D ．5711、双曲线x y k2241+=的离心率e ∈(,)12，则k 的取值范围是（ ）A ．(,)-∞0B ．(,)-30C ．(,)-120D ．(,)--601212、我们把由半椭圆22221(0)x y x a b+=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222,a b c =+0a b c >>>).如图,设点210,,F F F 是相应椭圆的焦点,A 1、A 2和B 1、B 2是“果圆”与x ,y 轴的交点,若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角,则a ,b 的值分别为( ) A ．1,27B ． 1,3C ．5,3D ．5,4 第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、命题“∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0”的否定为 . 14、以(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在直线方程为： ． 15、已知+-=+82,3168-+-=-(,,两两互相垂直)，那么b a ⋅= ．16、在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥．有下列条件：①AB AC BC ==；②AB AC ⊥；③AB AC =．其中能成为 11BC AB ⊥的充要条件的是（填上该条件的序号） _______．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17、(10分)已知命题p ：c c <2,和命题q ：2x x 4cx 10R ∀∈++>，,且p p ∨为真，p p ∧为假，求实数c 的取值范围．18、(12分) 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛ ⎝，．求抛物线与双曲线的方程．19、(12分)已知正方体1111D C B A ABCD -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（1）//1O C 面11D AB ；(2）⊥C A 1面11D AB ．20、(12分)如图所示,已知圆O 1与圆O 2外切,它们的半径分别 为3和1,圆C 与圆O 1、圆O 2外切.(1)建立适当的坐标系,求圆C 的圆心的轨迹方程; (2)在(1)的坐标系中,若圆C 的半径为1,求圆C 的方程.21、（12分）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（1）证明：直线MN OCD平面‖；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（3）求点B 到平面OCD 的距离.22、(12分)已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中1F 也是物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆1C 的方程;(2)已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=,过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ,在线段AB 上取一点Q ,满足:AP PB λ=-,AQ QB λ=,(0λ≠且1λ≠±). 求证:点Q 总在某定直线上.嘉峪关市一中2014-2015学年第一学期期末考试高二数学(理科)试卷答案三、解答题21、（12分）解： 作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N -,（3分）(1)2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=-- （5分）设平面O CD 的法向量为(,,)n x y z=,则0,nOP n OD ==即 2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z =解得(0,4,2)n = （7分）22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵ MN OCD∴平面‖ （9分）(2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22AB MD ==--∵ 1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴ , AB 与MD 所成角的大小为3π （13分）(3)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量(0,4,2)n =上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得23OB n d n⋅==.所以点B 到平面OCD 的距离为23。

2015-2016学年甘肃省嘉峪关一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下面说法正确的是（）A．棱锥的侧面不一定是三角形B．棱柱的各侧棱长不一定相等C．棱台的各侧棱延长必交于一点D．用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3 B．﹣C．﹣6 D．3．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6 B．3C．12 D．64．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A．30B．60C．30+135 D．1355．如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3B．48cm3C．60cm3D．72cm37．已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（）A．4 B． C． D．8．已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列命题：①若α∩β=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α；④若a在α内，b在α内，l⊥a，l⊥b，则l⊥α．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．B．C．D．11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°12．已知α﹣l﹣β为60°，β内一点P在α内的射影为P′，若|PP′|=2，则P′到β的距离是（）A．2 B．C．1 D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为．14．若A（3，3），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）三点共线，则=．15．已知A（2，0），B（﹣2，﹣4），直线l：x﹣2y+8=0上有一动点P，则|PA|+|PB|的最小值为．16．已知点A（﹣2，﹣3），B（3，0），点P（x，y）是线段AB上的任意一点，则的取值范围是．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R），l1：2x+3y+8=0，l2：x﹣y﹣1=0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l，l1，l2相交于一点，求k的值．18．设直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点M（﹣3，﹣1）；（2）l1∥l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数．19．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB 的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求直线DB1与平面BCC1B1所成角的正切值．20．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图（尺寸如图所示）．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．21．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3=0．（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求△BDE的面积．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．2015-2016学年甘肃省嘉峪关一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下面说法正确的是（）A．棱锥的侧面不一定是三角形B．棱柱的各侧棱长不一定相等C．棱台的各侧棱延长必交于一点D．用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台【考点】棱柱的结构特征．【分析】棱锥的侧面都是三角形；棱柱的各侧棱长全相等；棱台的各侧棱延长必交于一点；用一个平行于底面的平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台．【解答】解：在A中，棱锥的侧面都是三角形，故A错误；在B中，棱柱的各侧棱长全相等，故B错误；在C中，棱锥被平行于底面的平面所截形成棱台棱台的侧棱延长交于原棱锥的顶点，故棱台的各侧棱延长必交于一点，故C正确；在D中，用一个平行于底面的平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台，故D错误．故选：C．2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3 B．﹣C．﹣6 D．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，由此解得a的值．【解答】解：由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，解得a=﹣6，故选C．3．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6 B．3C．12 D．6【考点】斜二测法画直观图．【分析】画出△OAB的直观图，根据数据求出直观图的面积．【解答】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，所以：S△OAB==12故选C．4．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A．30B．60C．30+135 D．135【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由菱形的对角线的长分别是9和15，先求出菱形的边长，再由底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，能求出这个棱柱的侧面积．【解答】解：∵菱形的对角线的长分别是9和15，∴菱形的边长为：=，∵底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，∴这个棱柱的侧面积S=4××5=30．故选：A．5．如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素．【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣x﹣，再由AB＜0，BC＜0得到﹣＞0，﹣＞0，数形结合即可获取答案【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=﹣x﹣，又AB＜0，BC＜0∴AB＞0，∴﹣＞0，﹣＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选：D．6．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3B．48cm3C．60cm3D．72cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体上部是一个长为4宽为2高为2的长方体，下部是一个倒着放的四棱柱，其高为4，底面是一个梯形，其上下底分别为2，4，高为2，由此体积易求．【解答】解：由图知，此几何体上部是一个长为4宽为2的长方体，其体积为：4×2×2=16；下部是一个倒着放的四棱柱，其高为4，底面是一个梯形，其上下底分别为2，6，高为2，故下部的体积是4××2=32；故此几何体的体积是16+32=48．故选B．7．已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（）A．4 B． C． D．【考点】中点坐标公式．【分析】由A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），根据中点坐标公式列出方程即可求出x与y的值，得到点P的坐标，然后利用两点间的距离公式求出P到原点的距离即可．【解答】解：根据中点坐标公式得到，解得，所以P的坐标为（4，1）则点P（x，y）到原点的距离d==故选D8．已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列命题：①若α∩β=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α；④若a在α内，b在α内，l⊥a，l⊥b，则l⊥α．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①利用面面平行的判定定理进行判断．②利用面面平行的判定定理判断．③利用面面垂直和线面垂直的定义判断．④利用线面垂直判定定理判断．【解答】解：①如图，若平面ABCD∩平面ABFE=AB，平面ABFE∩平面CDEF=EF，AB ∥EF，但平面ABCD与平面CDEF不平行．所以①错误．②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则a，b所在的平面γ满足γ∥α，γ∥β，所以必有α∥β成立，所以②正确．③根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α，所以③正确．④根据线面垂直的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线时，结论才成立，所以④错误．故正确的是②③，故选C．9．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．【解答】解：如图，和α成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件故选B．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，进而可知EF⊥平面ABC1D1，进而根据EF=B1C求得EF．【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，易证EF⊥平面ABC1D1，可求得EF=B1C=．故选B．11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B 正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．12．已知α﹣l﹣β为60°，β内一点P在α内的射影为P′，若|PP′|=2，则P′到β的距离是（）A．2 B．C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】作PC⊥l，连接P′C，则P′C⊥l，∠PCP′=60°，作P′A⊥PC，垂足为A，则P′A⊥β，即可求出P′到β的距离．【解答】解：如图，作PC⊥l，连接P′C，则P′C⊥l，∠PCP′=60°，作P′A⊥PC，垂足为A，则P′A⊥β，∵|PP′|=2，∴P′到β的距离是2×sin30°=1故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为．【考点】球的体积和表面积．【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，然后求出正方体的体积，球的体积，即可得到比值．【解答】解：设正方体的棱长为：1，则正方体的体对角线的长为：，所以正方体的外接球的直径为：所以正方体的体积为：1；球的体积为：=球与该正方体的体积之比为：=故答案为：14．若A（3，3），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）三点共线，则=．【考点】直线的斜率．【分析】根据三点共线的特点，利用向量共线即可得到结论．【解答】解：∵点A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）三点共线∴，即，∴（a﹣3）（b﹣3）﹣3×3=0，即ab=3a+3b，∴，故答案为：．15．已知A（2，0），B（﹣2，﹣4），直线l：x﹣2y+8=0上有一动点P，则|PA|+|PB|的最小值为12．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设点A关于直线l的对称点A′（a，b），则，可得A′，可得|PA|+|PB|的最小值为|A′B|．【解答】解：设点A关于直线l的对称点A′（a，b），则，解得．∴A′（﹣2，8），∴|A′B|==12．∴|PA|+|PB|的最小值为|A′B|，即为12．故答案为：12．16．已知点A（﹣2，﹣3），B（3，0），点P（x，y）是线段AB上的任意一点，则的取值范围是∪[5，+∞）．【考点】直线的斜率．【分析】设Q（﹣1，2），利用斜率计算公式可得：k QA，k QB．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【解答】解：设Q（﹣1，2），k QA==5，k QB==﹣．∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是∪[5，+∞），故答案为：∪[5，+∞）．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R），l1：2x+3y+8=0，l2：x﹣y﹣1=0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l，l1，l2相交于一点，求k的值．【考点】恒过定点的直线；两条直线的交点坐标．【分析】（1）直线化为点斜式，即可证明直线l过定点；（2）求出l1：2x+3y+8=0，l2：x﹣y﹣1=0的交点，代入直线l：kx﹣y+1+2k=0，求k的值．【解答】（1）证明：因为直线l：kx﹣y+1+2k=0（K∈R），可化为y﹣1=k（x+2），所以直线l过定点（﹣2，1）；（2）解：由l1：2x+3y+8=0，l2：x﹣y﹣1=0，可得交点（﹣1，﹣2），代入直线l：kx﹣y+1+2k=0，可得﹣k+2+1+2k=0，∴k=﹣3．18．设直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点M（﹣3，﹣1）；（2）l1∥l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）由l1过点M（﹣3，﹣1），可得：﹣3a+b+4=0；利用l1⊥l2，×（1﹣a）=﹣1，即可解出．（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当b=0时，可知：两条直线不平行．b≠0时两条直线分别化为：y=x+，y=（1﹣a）x﹣b，利用题意可得=1﹣a，=b，解出即可得出．【解答】解：（1）∵l1过点M（﹣3，﹣1），可得：﹣3a+b+4=0；∵l1⊥l2，×（1﹣a）=﹣1，解得a=2，b=2．（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当b=0时，两条直线分别化为：ax+4=0，（a﹣1）x+y=0，可知：当a=1时两条直线不平行．b≠0时两条直线分别化为：y=x+，y=（1﹣a）x﹣b，∴=1﹣a，=b，解得，．19．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB 的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求直线DB1与平面BCC1B1所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出AC⊥BC1；（2）设BC1与CB1的交点为O，求出的坐标，通过证明得出AC1∥DO得出AC1∥平面CDB1；（3）过D作DE⊥BC，连结B1E，则DE⊥平面BCC1B1，于是∠DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角．利用勾股定理求出DE，B1E，计算tan∠DB1E．【解答】解：∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：（1）A（3，0，0），C（0，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），∴=（﹣3，0，0），=（0，﹣4，4），∴=0，∴AC⊥BC1．（2）设BC1与CB1的交点为O，则O为BC1的中点，∴O（0，2，2），∵D是AB的中点，∴D（，2，0），∴=（﹣，0，2），=（﹣3，0，4），∴=2，∴AC1∥DO，又DO⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，∴AC1∥平面CDB1．（3）过D作DE⊥BC，连结B1E，则DE⊥平面BCC1B1，∴∠DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角．∵D是AB的中点，∴DE==，BE=，∴B1E==2．∴tan∠DB1E==．20．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图（尺寸如图所示）． （1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积；（2）若G 为BC 上的动点，求证：AE ⊥PG ．【考点】由三视图求面积、体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）结合三视图，得到几何体及其相关棱长，求四棱锥P ﹣ABCD 的底面面积和高，即可求出V P ﹣ABCD 的体积．（2）连BP ，由已知中==，∠EBA 与∠BAP 均为直角，我们可以得到PB ⊥AE ，结合BC ⊥AE ，及线面垂直的判定定理，得到AE ⊥面PBG ，再由线面垂直的性质定理，即可得到答案．【解答】解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ∥EB ，且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4，∴V P ﹣ABCD =PA •S 四边形ABCD =×4×4×4=．（2）连接BP ，∵==，∠EBA=∠BAP=90°， ∴∠PBA=∠BEA ．∴∠PBA +∠BAE=∠BEA +∠BAE=90°．∴PB ⊥AE ．又BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE ．∴AE ⊥平面PBG ．∴AE ⊥PG ．21．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3=0．（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求△BDE的面积．【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程．【分析】（1）由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率，再由点斜式写出AB的直线方程；（2）先求出点B，点C的坐标，再写出BC的直线方程；（3）由点到直线的距离求出E到AB的距离d，以及B到CD的距离BD，计算S△BDE即可．或求出BE，D到BE的距离d，计算S△BDE．【解答】解：（1）∵CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0，∴直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣0），即2x﹣y+1=0；（2）由，得，即直线AB与AC边中线BE的交点为B（，2）；设C（m，n），则由已知条件得，解得，∴C（2，1）；∴所以BC边所在的直线方程为=，即2x+3y﹣7=0；（3）∵E是AC的中点，∴E（1，1），∴E到AB的距离为：d=；又点B到CD的距离为：BD=，∴S△BDE=•d•BD=．另解：∵E是AC的中点，∴E（1，1），∴BE=，由，得，∴D（，），∴D到BE的距离为：d=，∴S△BDE=•d•BE=．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过就是PA2+AD2=PD2，证明AD⊥PA．结合AD⊥AB．然后证明AD⊥平面PAB．（Ⅱ）说明∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB，判断△PBC是直角三角形，然后求解异面直线PC与AD所成的角正切函数值．（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE，证明∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．RT△PHE中，．【解答】（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：．（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由题设可得，，，于是再RT△PHE中，．所以二面角P﹣BD﹣A的正切函数值为．2016年8月2日。

本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M ＝{x |x 2＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]2．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1 3．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为( )A.223 B ．－223 C.23D ．－234．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.125．函数y ＝sin x －cos x 的图像可由y ＝sin x ＋cos x 的图像向右平移( )A.3π2个单位 B ．π个单位 C.π4个单位 D.π2个单位 6．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2 7．函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos x xC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)8．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．79．函数()2sin()0,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如右图所示，其中A 、B两点之间的距离为5，则(1)f -= ( )10．已知定义域为D 的函数f (x )，若对任意x ∈D ，存在正数M ，都有|f (x )|≤M 成立，则称函数f (x )是定义域D 上的“有界函数”．已知下列函数：①f (x )＝sin x ·cos x ＋1；②f (x )＝1－x 2；③f (x )＝1－2x；④f (x )＝lg 1－x 1＋x .其中“有界函数”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 11．设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3-B ．3C ．8-D ．812．已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x 与)ln()(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A. )1(ee ，- B. )1(e e ，-C. )(e ，-∞D. )1(e，-∞ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |＝________. 14．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________．15．设2lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，若((1))1f f =，设a = 16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①函数y ＝f (x －1)的图像关于点(1,0)对称；②对∀x ∈R ，f (34－x )＝f (34＋x )成立；③当x ∈(－32，－34]时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)．则f (2014)＝________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知cos ,0,cos ,233m x n x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x m n =⋅,11()sin 224g x x =-. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合．18. （本小题满分12分）在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos2A =35,sin B =1010 .（I ）求A +B 的值；19. （本小题满分12分）已知{a n }是等差数列，满足a 1=3，a 4=12，数列{b n }满足b 1=4，b 4=20.且{b n - a n }为等比数列.（I ）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （II ）求数列{b n }的前n 项和T n .20.（本小题满分12分）已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为()f x '＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 20对所有n (n ∈N *)都成立的最小正整数m .21.（本小题满分12分）在R 上定义运算()()1:43p q p c q b bc ⊗⊗=---+（b 、c 为实常数）.记()()2122,2,f x x c f x x b x R =-=-∈.令()()()12.f x f x f x =⊗（I ）如果函数()f x 在1x =处有极值43-，试确定b 、c 的值； （II ）求曲线()y f x =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；（III ）记()()()11g x f x x '=-≤≤的最大值为M . 若M k ≥对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值.请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题目对应的标号涂黑.（本小题满分10分）23. [极坐标与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx 2（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=1，（I ）求直线l 与圆C 的公共点的个数；⎧='xx422y xy x ++的最大值，并求相应点M 的坐标.24. [不等式证明选讲]已知函数()|1|-=x x f ，（I ）解不等式()()≤-+-x f x f 112； （II ）若0<a ，求证：()()()a f x af ax f ≥-.嘉峪关市一中2014-2015学年高三第二次模拟考试数学（理）答题卡一.选择题1 ABX∆2 ABX∆3 ABX∆4 ABX∆5 ABX∆6 ABX∆7 ABX∆8 ABX∆9 ABX∆ 10 ABX∆11 ABX∆ 12 ABX∆二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.18．19．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时先用2B铅笔把下面框中所选题目的题号涂黑.22题图嘉峪关市第一中学高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A B D A C B A B C C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.5. 14.5,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭或5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 15.1. 16.-2．三、解答题：（共70分．）17．（本小题满分12分）18．（本小题满分12分）19．（本小题满分12分）20．（本小题满分12分）解 (1)设函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1，所以，a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12（16n －5－16n ＋1），故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12（1－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1） ＝12(1－16n ＋1). 因此，要使12(1－16n ＋1)＜m 20(n ∈N *)成立， 则m 需满足12≤m 20即可，则m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.选做题（本小题满分10分）22．选修4—1：几何证明选讲【解析】：（Ⅰ）连接DE ，∵四边形ACED 是圆的内接四边形，∴BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，∴DBE ∆∽CBA ∆， 即有BE BD AB BC=， 又2AB BE =， ∴2BC BD = ………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）DBE ∆∽CBA ∆，知BE ED AB AC=， A D C B E又2AB BE =，∴2AC DE =， ∵2AC =，∴1DE =，而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =，设BD x =，根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅即()()()11111122x x x x ⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦，解得1x =，即1BD = …………10分 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程【解析】：（Ⅰ）直线l 的方程为20x y --= 圆C 的方程是221x y += 圆心到直线的距离为22002111d --==+，等于圆半径，∴直线l 与圆C 的公共点个数为1； …………………………………5分（Ⅱ）圆C 的参数方程方程是()cos 02sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩∴曲线C '的参数方程是cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ ∴22224+4cos cos 2sin 4sin 4sin 2x xy y θθθθθ+=+⋅+=+ 当4πθ=或54πθ=时，224+x xy y +取得最大值5 此时M 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………10分 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲【解析】：（Ⅰ）∵(1)(1)f x f x -+-2x x =-+. 因此只须解不等式2x x -+2≤.当0x ≤时，原不式等价于22x x --≤，即0x =.当02x <<时，原不式等价于22≤，即02x <<.当2x ≥时，原不式等价于2+2x x -≤，即=2x .综上，原不等式的解集为{}|02x x ≤≤. ……………………………5分（Ⅱ）∵()()f ax af x -11ax a x =---又0<a 时，111ax a x ax ax a ---=-+-+1ax ax a ≥--+1a =-()f a =∴0<a 时，()()f ax af x -≥()f a . …………………………10分。

XXXX 一中2021—2021 学年度上学期期中考试高一数学试题一、选择题：〔本大题共12 小题，每题 3 分，共 36 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 ，请将正确选项填在试卷 的答题卡中 .〕1．集合A{1,16,4 x} ，B {1, x 2} ，假设BA ，那么x〔 C〕A. 0B. 4C. 0或4D.0或42x3〔 B〕2．函数y的定义域是x 2A ．3,B ．3,22,22C ．3,22,D ．(, 2)∪(2,)23．点(x, y)在映射f ：AB 作用下的象是 ( xy, x y) ，那么点 (3,1) 在 f 的作用下的原象是〔 A〕A ．2,1B ．4,2C ．1,2D ．4,24．以下四组函数中，表示相等函数的一组是〔 A 〕A. f (x)x , g( x)x2C. f (x)x 2 1 x 1x, g( x)15 幂函数yf ( x) 的图像经过点 ( 2,．A.31B.276．函数f ( x 1) x 1 ，那么函数B.f ( x)x 2 , g( x) ( x )2D . f ( x)x1x 1 , g (x )2x 11) ，那么满足 f ( x)27 的x 的值为〔D 〕81 C.27D.3f(x)的解析式为〔C 〕A ．f(x)= x2B ．f(x)= x 2＋1(x ≥1)C ．f(x)= x 2－2x ＋ 2 (x ≥1)D ．f(x)= x 2－2x(x ≥1)7．设a ( 2 ) 53, b( 2 ) 52, c ( 3 )52，那么 a, b, c 的大小关系是 〔 C〕555A. a b cB. c a bC. a b cD. b c a8．假设函数f ( x)为定义在R 上的奇函数，且在(0,) 内是增函数，又 f (2) 0 ，那么不等式xf ( x)0 的解集为〔 B 〕A ． 2,02,B ． 2,00,2C ．, 22,D ．, 20,29．函数f (x)3 4 x 2x 在 x0，上的最小值是〔 C〕1B . 0C. 2D. 10A .1221 x , x 1，那么满足 f ( x)2的取值X 围是〔 D〕10．设函数f ( x) log 2 x, x11A. [ 1,2]B. [ 0,2]C. [1, )D. [0, )11．设x, y 是关于m 的方程m 2 2am a 60 的两个实根,那么(x -1)2+( y -1)2的最小值是〔 B〕A ．． 121B ．8C ．18D ．34412．设 f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的 x ∈R ，都有 f(x －2)＝f(x ＋2)，且当xx2,0 时，1 1 ，假设在区间 (－ 2,6]内关于 x 的方程 f(x)－log a＋ 2) ＝0(a>1)f ( x)2(x 恰有 3a 的取值X 围是()个不同的实数根，那么DA ．(1,2)B ．2,C ．1,34D ．34,2二、填空题：〔本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16分〕 .13．函数f ( x)log 2 (x 2 5x 4) 的单调递减区间是 .( ,1)114．函数y ＝2x ＋1的值域是___________【答案】(0， 1)b 2x为定义在区间2a,3a 1 上的奇函数，那么 ab ________15．函数f (x)2 x 1【答案】 216．定义在R 上的函数f ( x)满足: f ( x 2)f (x) 0,且函数 f ( x 1) 为奇函数， 对于以下命题：①函数 f (x) 满足 f ( x 4) f ( x) ； ②函数 f ( x) 图象关于点〔 1， 0〕对称；③函数 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称；④函数f (x) 的最大值为f (2) ；⑤ f ( 2021)0 ．其中正确的序号为________．【答案】①②③⑤三、解答题：〔本大题共 5 小题，共 48 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．〕 17. 〔本小题总分值 6 分〕设集合Ax | a1xa 1，集合 B x | 1 x5， 〔1〕假设a5 ，求 AB； 〔 2〕假设 ABB，XX 数a 的取值X 围.【答案】（ 1〕A B 4,5(2) 0 a 418.〔本大题共 2 个小题，每题4 分，共 10 分〕2 11 1〔 1〕假设a0,b 0 ，化简：(2a 3b 2) ( 6a 2 b 3 )15(4 a 1)3a 6 b 6〔2〕假设 log 2 3 a ， log 5 2 b ，试用a, b 表示 log 2 45【答案】2 11 12111 〔 1〕 (2 a 3b 2) ( 6a 2 b 3)(4 a 1)2 ( 6) a3 2b2 31 531 5(4 a 1)3a 6b6a 6b67 5a 6b 6(4 a 1) 4a(4 a 1) 141 5a 6b 6〔 2〕∵log 245log 2 (5 9)log 2 5 log 2 9log 2 5 2log 2 3 而 log 5 2 1b ，那么ogl 52，1 2ab 1b∴ log 2 45 2abb.19. 〔本小题总分值10 分〕f ( x)log 21x .1 x〔 1〕判断f x 的奇偶性；〔 2〕判断f x 在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．【答案】：解：〔 1〕假设fxlog 2 1x 有意义，那么1x 0，解得定义域为〔 -1,1〕，关于原点对称 .1 x1 x又因为1 x 1 x所以 f x 为奇函数.f x log2 1xlog2 1x f x〔2〕函数f x 在定义域〔-1,1〕上单调递减.证明：任取 x 1 , x 2 1,1 且 x 1 x 2，f x 1 f x 2 log 2 1 x 1 log 21x 21 x 11 x2 log 2 1 x 11 x2 1 x 11 x2 log 21 x 21 x 11 x 1 1 x 2因为 x 1, x 21,1 且 x 1x 2，所以1 x 21,1 x11, 1 x 2 1 x 111 x 11 x 21 x 1 1 x 2即 f x 1 f x 2 0所以 f x在区间〔 -1,1〕上为减函数 .20. 〔本小题总分值 10 分〕函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且当 x 0 时，f ( x) x 22x ．〔 1〕写出函数 f ( x), x R 的解析式；〔 2〕假设函数g( x)f ( x) 2ax 2, x1,2 ，求函数 g (x) 的最小值 h(a) .【答案】〔 1〕f (x)x 2 2x, x 0 x22x, x〔 2〕①当a 1 1 时，即 a 0g ( x)m i n g(1)1 a2②当 1 a 12时，即 0 a 1g (x)min g (a 1)a 2 2a1③当 a 1 2 时，即 a1g (x)min g(2)2 2a1 2a, a 0综上： h(a)a 2 2a 1,0a 124a, a 121. 〔本小题总分值 12 分〕已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在1,1 上 的 奇 函 数,且f (1)1 ,假设x, y1,1 ,xy 0有( x y) f (x) f ( y) 0 .(1)判断f(x) 的单调性,并加以证明;(2)解不等式f ( x1) f (12x) ;2(3)假设f(x)m22am1对所有x[ 1,1], a1,1 恒成立,XX数 m 的取值X围.(1)证 :任取x1, x2[1,1] ,且 x1x2,那么x2x10由题意 (x2x1 )[ f (x2 ) f (x1 )]0因为 f ( x) 为奇函数,所以(x2x1 )[ f( x2 ) f (x1 )]0所以 f ( x2 ) f (x1 )0 ,即 f (x2 ) f ( x1 )所以 f ( x) 在 [1,1]上单增⋯⋯⋯⋯4 分1x 11 2(2)由题意 ,112x1x 112x 2所以,0x 1⋯⋯⋯⋯8 分6(3)由f(x) 在 [1,1] 上单增,f (x)max f (1)1由题意 ,1m 22am1,即 m 22am0 对任意a1,1 恒成立令 g( a)2ma m 2, a1,1g ( 1)2m m20g (1)2m m20所以 m0或 m2或 m2综上所述 , m{ m | m0 或 m 2 或 m2}⋯⋯⋯⋯ 12 分所有：网()。

2014-2015学年甘肃省嘉峪关一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，共计60分）1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，A ={2, 4, 5}，则∁U A =( ) A.{2, 4, 6} B.⌀C.{1, 3, 5, 7}D.{1, 3, 6, 7}2. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）A.②是圆台B.①是棱台C.④不是棱柱D.③是棱锥3. 直线3x +√3y +1=0的倾斜角是( ) A.60∘ B.30∘ C.120∘D.135∘4. 已知a 、b 是两条异面直线，c // a ，那么c 与b 的位置关系（ ） A.一定是相交 B.一定是异面 C.不可能垂直 D.不可能平行5. 过点(−1, 3)且平行于直线x −2y +3=0的直线方程为( ) A.2x +y −1=0 B.x −2y +7=0 C.2x +y −5=0 D.x −2y −5=06. 如图，一个圆锥的侧面展开图是中心角为90∘面积为S 1的扇形，若圆锥的全面积为S 2，则S2S 1等于（ ）A.2B.54C.83D.987. 点P(−3, 4)关于直线x −y −1=0的对称点（ ） A.(4, −5)B.(−3, 4)C.(4, −3)D.(5, −4)8. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A.若l ⊥α，l // m ，则m ⊥α B.若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α C.若l // α，m ⊂α，则l // m D.若l // α，m // α，则l // m9. 直线x −2y −3=0与圆(x −2)2+(y +3)2=9交于E ，F 两点，则△EOF （O 是原点）的面积为（ ） A.34 B.32C.2√5D.6√5510. 三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 长为（ ）A.2√5B.5√3C.5√2D.3√511. 过点P(0, −2)的直线L 与以A(1, 1)，B(−2, 3)为端点的线段有公共点，则直线L 的斜率k 的取值范围是( )A.(−∞,−52]∪[3,+∞)B.[−52，3]C.[−32，1]D.(−∞,−32]∪[1,+∞)12. 若圆(x −3)2+(y +5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x −3y =17的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A.(1, 2) B.(0, 2)C.(2, 3)D.(1, 3)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在平面直角坐标系中，若集合{(x, y)|x 2+y 2−2mx −2my +2m 2+m −1=0}表示圆，则m 的取值集合是________．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．已知点A(a, 2)到直线l:x−y+3=0距离为√2，则a=________．如图是一个正方体纸盒的展开图，在原正方体纸盒中有下列结论：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60∘角；④DM与BN垂直．其中，正确命题的序号是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）求经过直线l1:7x−8y−1=0和l2:2x+17y+9=0的交点，且垂直于直线2x−y+7=0的直线方程．如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．(1)画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；(2)求这个几何体的表面积及体积．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA // 平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0．（1）求证：无论m为何值，直线L与圆C恒有两个公共点；（2）当m为何值时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是多少？如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF // 平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥V B1−EFC的体积．已知线段AB的端点B坐标是(3, 4)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB中点M的轨迹方程．参考答案与试题解析2014-2015学年甘肃省嘉峪关一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，共计60分）1.【答案】此题暂无答案【考点】补集体其存算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】棱台射子构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】待定系数因求滤线方程直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】扇形常积至式旋转验（圆柱立圆锥碳藏台）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】与直线表于抛制直线析称的直线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】两条直根平行的惯定空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】直线与三相交的要质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】平面与平水表直的性质棱柱三实构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标直体的氯率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】圆的正且方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积柱体三锥州、台到的体建计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】异面直线表烧所成的角空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6个小题，共70分）【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】由三视于求表械积由三都问求体积由三视较还原绕物图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与平正垂直的判然直线与平三平行定判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与三相交的要质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱柱、常锥头棱台改氯面积和表面积直线验周面垂直直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2014年9月河西三校普通高中高三第一次联考文科数学试卷命题学校：张掖中学 审题学校：山丹一中第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2,0,2A =-，{}220B x x x =--=，则A B ⋂= ( )A ．∅B ．{ 2 }C ．{ 0 }D ．{2-} 2.命题“∀x R ∈，|x |20x +≥”的否．定是( ) A ．∀x R ∈， |x |20x +< B ．∀x R ∈， |x |20x +≤ C ．∃0x R ∈，|0x |200x +< D ．∃0x R ∈，|0x |200x +≥ 3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．xey -= B ．3x y = C ．x y ln = D ．=y |x |4．设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则( )A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c << 5．已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 的零点的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，4) D ．(4，＋∞)6．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．()()f x g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()()f x g x |是奇函数 7. 函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件9．将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点(,0)2π-对称10.直线12y x b =+与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．111．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]12.已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x kx ≥,则k 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在答题卷上对应题号 的横线上.13．341681-⎛⎫⎪⎝⎭＋log 354＋log 345＝________. 14．设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________.15.已知一元二次方程022=++b ax x 有两个根（b a ,为实数），一个根在区间()1,0内，另一个根在区间()2,1内，则点()b a ,对应区域的面积为________． 16. 函数xy -=11的图象与函数x y πsin 2=（46x -≤≤）的图象所有交点的横坐标之和等于______．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）设命题p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题q :实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩. (1)若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围;(2)若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 18．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+． (1)求5()4f π的值； (2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 19．（本小题满分12分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos AB ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．20．（本小题满分12分）已知函数)(x f ＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝)(x f 在点(1，)1(f )处的切线垂直于直线12y x =. (1)求a 的值；(2)求函数)(x f 的单调区间与极值．21．（本小题满分12分）已知函数3()23f x x x =-.(1)求()f x 在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？(只需写出结论)请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E （1）证明：ABE ∆∽△ADC ; （2）若ABC ∆的面积12S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小.23.选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为（1，－5），点M 的极坐标为（4，2π），若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心，4为半径。

2015-2016学年甘肃省嘉峪关一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下面说法正确的是（）A．棱锥的侧面不一定是三角形B．棱柱的各侧棱长不一定相等C．棱台的各侧棱延长必交于一点D．用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3 B．﹣ C．﹣6 D．3．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6 B．3 C．12 D．64．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A．30B．60C．30+135 D．1355．如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3B．48cm3C．60cm3D．72cm37．已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（）A．4 B． C． D．8．已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列命题：①若α∩β=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α；④若a在α内，b在α内，l⊥a，l⊥b，则l⊥α．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．B．C．D．11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．已知α﹣l﹣β为60°，β内一点P在α内的射影为P′，若|PP′|=2，则P′到β的距离是（）A．2 B．C．1 D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为．14．若A（3，3），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）三点共线，则= ．15．已知A（2，0），B（﹣2，﹣4），直线l：x﹣2y+8=0上有一动点P，则|PA|+|PB|的最小值为．16．已知点A（﹣2，﹣3），B（3，0），点P（x，y）是线段AB上的任意一点，则的取值范围是．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R），l1：2x+3y+8=0，l2：x﹣y﹣1=0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l，l1，l2相交于一点，求k的值．18．设直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点M（﹣3，﹣1）；（2）l1∥l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数．19．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求直线DB1与平面BCC1B1所成角的正切值．20．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图（尺寸如图所示）．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．21．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线BE 所在直线的方程为2x+y﹣3=0．（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求△BDE的面积．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．2015-2016学年甘肃省嘉峪关一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下面说法正确的是（）A．棱锥的侧面不一定是三角形B．棱柱的各侧棱长不一定相等C．棱台的各侧棱延长必交于一点D．用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台【考点】棱柱的结构特征．【分析】棱锥的侧面都是三角形；棱柱的各侧棱长全相等；棱台的各侧棱延长必交于一点；用一个平行于底面的平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台．【解答】解：在A中，棱锥的侧面都是三角形，故A错误；在B中，棱柱的各侧棱长全相等，故B错误；在C中，棱锥被平行于底面的平面所截形成棱台棱台的侧棱延长交于原棱锥的顶点，故棱台的各侧棱延长必交于一点，故C正确；在D中，用一个平行于底面的平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台，故D错误．故选：C．2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3 B．﹣ C．﹣6 D．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，由此解得a的值．【解答】解：由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，解得 a=﹣6，故选C．3．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6 B．3 C．12 D．6【考点】斜二测法画直观图．【分析】画出△OAB的直观图，根据数据求出直观图的面积．【解答】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，所以：S△OAB==12故选C．4．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A．30B．60C．30+135 D．135【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由菱形的对角线的长分别是9和15，先求出菱形的边长，再由底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，能求出这个棱柱的侧面积．【解答】解：∵菱形的对角线的长分别是9和15，∴菱形的边长为： =，∵底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，∴这个棱柱的侧面积S=4××5=30．故选：A．5．如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素．【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣x﹣，再由AB＜0，BC＜0得到﹣＞0，﹣＞0，数形结合即可获取答案【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=﹣x﹣，又AB＜0，BC＜0∴AB＞0，∴﹣＞0，﹣＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选：D．6．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3B．48cm3C．60cm3D．72cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体上部是一个长为4宽为2高为2的长方体，下部是一个倒着放的四棱柱，其高为4，底面是一个梯形，其上下底分别为2，4，高为2，由此体积易求．【解答】解：由图知，此几何体上部是一个长为4宽为2的长方体，其体积为：4×2×2=16；下部是一个倒着放的四棱柱，其高为4，底面是一个梯形，其上下底分别为2，6，高为2，故下部的体积是4××2=32；故此几何体的体积是16+32=48．故选B．7．已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（）A．4 B． C． D．【考点】中点坐标公式．【分析】由A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），根据中点坐标公式列出方程即可求出x与y的值，得到点P的坐标，然后利用两点间的距离公式求出P到原点的距离即可．【解答】解：根据中点坐标公式得到，解得，所以P的坐标为（4，1）则点P（x，y）到原点的距离d==故选D8．已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列命题：①若α∩β=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α；④若a在α内，b在α内，l⊥a，l⊥b，则l⊥α．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①利用面面平行的判定定理进行判断．②利用面面平行的判定定理判断．③利用面面垂直和线面垂直的定义判断．④利用线面垂直判定定理判断．【解答】解：①如图，若平面ABCD∩平面ABFE=AB，平面ABFE∩平面CDEF=EF，AB∥EF，但平面ABCD与平面CDEF不平行．所以①错误．②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则a，b所在的平面γ满足γ∥α，γ∥β，所以必有α∥β成立，所以②正确．③根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α，所以③正确．④根据线面垂直的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线时，结论才成立，所以④错误．故正确的是②③，故选C．9．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．【解答】解：如图，和α成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件故选B．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，进而可知EF⊥平面ABC1D1，进而根据EF=B1C求得EF．【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，易证EF⊥平面ABC1D1，可求得EF=B1C=．故选B．11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．12．已知α﹣l﹣β为60°，β内一点P在α内的射影为P′，若|PP′|=2，则P′到β的距离是（）A．2 B．C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】作PC⊥l，连接P′C，则P′C⊥l，∠PCP′=60°，作P′A⊥PC，垂足为A，则P′A ⊥β，即可求出P′到β的距离．【解答】解：如图，作PC⊥l，连接P′C，则P′C⊥l，∠PCP′=60°，作P′A⊥PC，垂足为A，则P′A⊥β，∵|PP′|=2，∴P′到β的距离是2×sin30°=1故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为．【考点】球的体积和表面积．【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，然后求出正方体的体积，球的体积，即可得到比值．【解答】解：设正方体的棱长为：1，则正方体的体对角线的长为：，所以正方体的外接球的直径为：所以正方体的体积为：1；球的体积为： =球与该正方体的体积之比为： =故答案为：14．若A（3，3），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）三点共线，则= ．【考点】直线的斜率．【分析】根据三点共线的特点，利用向量共线即可得到结论．【解答】解：∵点A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）三点共线∴，即，∴（a﹣3）（b﹣3）﹣3×3=0，即ab=3a+3b，∴，故答案为：．15．已知A（2，0），B（﹣2，﹣4），直线l：x﹣2y+8=0上有一动点P，则|PA|+|PB|的最小值为12 ．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设点A关于直线l的对称点A′（a，b），则，可得A′，可得|PA|+|PB|的最小值为|A′B|．【解答】解：设点A关于直线l的对称点A′（a，b），则，解得．∴A′（﹣2，8），∴|A′B|==12．∴|PA|+|PB|的最小值为|A′B|，即为12．故答案为：12．16．已知点A（﹣2，﹣3），B（3，0），点P（x，y）是线段AB上的任意一点，则的取值范围是∪[5，+∞）．【考点】直线的斜率．【分析】设Q（﹣1，2），利用斜率计算公式可得：k QA，k QB．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【解答】解：设Q（﹣1，2），k QA==5，k QB==﹣．∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是∪[5，+∞），故答案为：∪[5，+∞）．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R），l1：2x+3y+8=0，l2：x﹣y﹣1=0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l，l1，l2相交于一点，求k的值．【考点】恒过定点的直线；两条直线的交点坐标．【分析】（1）直线化为点斜式，即可证明直线l过定点；（2）求出l1：2x+3y+8=0，l2：x﹣y﹣1=0的交点，代入直线l：kx﹣y+1+2k=0，求k的值．【解答】（1）证明：因为直线l：kx﹣y+1+2k=0（K∈R），可化为 y﹣1=k（x+2），所以直线l过定点（﹣2，1）；（2）解：由l1：2x+3y+8=0，l2：x﹣y﹣1=0，可得交点（﹣1，﹣2），代入直线l：kx﹣y+1+2k=0，可得﹣k+2+1+2k=0，∴k=﹣3．18．设直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点M（﹣3，﹣1）；（2）l1∥l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）由l1过点M（﹣3，﹣1），可得：﹣3a+b+4=0；利用l1⊥l2，×（1﹣a）=﹣1，即可解出．（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当b=0时，可知：两条直线不平行．b≠0时两条直线分别化为：y=x+，y=（1﹣a）x﹣b，利用题意可得=1﹣a， =b，解出即可得出．【解答】解：（1）∵l1过点M（﹣3，﹣1），可得：﹣3a+b+4=0；∵l1⊥l2，×（1﹣a）=﹣1，解得a=2，b=2．（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当b=0时，两条直线分别化为：ax+4=0，（a﹣1）x+y=0，可知：当a=1时两条直线不平行．b≠0时两条直线分别化为：y=x+，y=（1﹣a）x﹣b，∴=1﹣a， =b，解得，．19．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求直线DB1与平面BCC1B1所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出AC⊥BC1；（2）设BC1与CB1的交点为O，求出的坐标，通过证明得出AC1∥DO得出AC1∥平面CDB1；（3）过D作DE⊥BC，连结B1E，则DE⊥平面BCC1B1，于是∠DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角．利用勾股定理求出DE，B1E，计算tan∠DB1E．【解答】解：∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：（1）A（3，0，0），C（0，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），∴=（﹣3，0，0），=（0，﹣4，4），∴=0，∴AC⊥BC1．（2）设BC1与CB1的交点为O，则O为BC1的中点，∴O（0，2，2），∵D是AB的中点，∴D（，2，0），∴=（﹣，0，2），=（﹣3，0，4），∴=2，∴AC1∥DO，又DO⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，∴AC1∥平面CDB1．（3）过D作DE⊥BC，连结B1E，则DE⊥平面BCC1B1，∴∠DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角．∵D是AB的中点，∴DE==，BE=，∴B1E==2．∴tan∠DB1E==．20．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图（尺寸如图所示）．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．【考点】由三视图求面积、体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）结合三视图，得到几何体及其相关棱长，求四棱锥P﹣ABCD的底面面积和高，即可求出V P﹣ABCD的体积．（2）连BP，由已知中==，∠EBA与∠BAP均为直角，我们可以得到PB⊥AE，结合BC⊥AE，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥面PBG，再由线面垂直的性质定理，即可得到答案．【解答】解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4，∴V P﹣ABCD=PA•S四边形ABCD=×4×4×4=．（2）连接BP，∵==，∠EBA=∠BAP=90°，∴∠PBA=∠BEA．∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°．∴PB⊥AE．又BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE．∴AE⊥平面PBG．∴AE⊥PG．21．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线BE 所在直线的方程为2x+y﹣3=0．（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求△BDE的面积．【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程．【分析】（1）由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率，再由点斜式写出AB的直线方程；（2）先求出点B，点C的坐标，再写出BC的直线方程；（3）由点到直线的距离求出E到AB的距离d，以及B到CD的距离BD，计算S△BDE即可．或求出BE，D到BE的距离d，计算S△BDE．【解答】解：（1）∵CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0，∴直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣0），即2x﹣y+1=0；（2）由，得，即直线AB与AC边中线BE的交点为B（，2）；设C（m，n），则由已知条件得，解得，∴C（2，1）；∴所以BC边所在的直线方程为=，即2x+3y﹣7=0；（3）∵E是AC的中点，∴E（1，1），∴E到AB的距离为：d=；又点B到CD的距离为：BD=，∴S△BDE=•d•BD=．另解：∵E是AC的中点，∴E（1，1），∴BE=，由，得，∴D（，），∴D到BE的距离为：d=，∴S△BDE=•d•BE=．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过就是PA2+AD2=PD2，证明AD⊥PA．结合AD⊥AB．然后证明AD⊥平面PAB．（Ⅱ）说明∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB，判断△PBC是直角三角形，然后求解异面直线PC与AD所成的角正切函数值．（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE，证明∠PEH是二面角P﹣BD ﹣A的平面角．RT△PHE中，．【解答】（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：．（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由题设可得，，，于是再RT△PHE中，．所以二面角P﹣BD﹣A的正切函数值为．。

嘉峪关市一中2013--2014学年第一学期期末考试高一数学试题（时间 120分钟 满分 150分 命题人 李长杉）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）．1.若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A . 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交2.如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线 L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ） A.33-B. 33C.3-D.3 3.如果0,0>>BC AB ，那么直线0=--C By Ax 不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.若A （－2，3），B （3，－2），C （21，ｍ）三点共线，则ｍ的值为（ ） A.21 B.21- C.－2 D.2 5.若直线01243=+-y x 与两坐标轴交点为A 、B ，则以AB 为直径的圆的方程为（ ） A . 03422=-++y x y x B . 03422=--+y x y x C . 043422=--++y x y x D. 083422=+--+y x y x 6. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则 ②若，，，则③若，，则 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) A.①和② B.②和③C.③和④D.①和④7.正三棱锥的高是3，侧棱长为7，那么侧面与底面所成的二面角是（ ）A.60︒B.30︒C.45︒D.75︒8.直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） A.23 B.43C.52D.5569.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ）A. 8πcm ２B. 12πcm ２C. 16πcm ２D.20πcm２10.已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）A.90０B.45０C.60０D.30０11. 过点（1，2）且与原点的距离最大的直线方程是（ ） A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 12. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断: ① m ⊥ n ； ② α⊥ β；③ n ⊥ β；④ m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二．填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）.13. 已知正方形ABCD 的边长为1，AP ⊥平面ABCD ，且AP=2,则PC ＝ . 14. 点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O 是坐标原点，则│OP │的最小值是 . 15.一个正方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，如右图所示是此正方体的两种不同放置，则与D 面相对的面上的字母是 .16. 集合A=｛(x,y)｜x 2+y 2=4｝，B=｛(x,y)｜(x-3)2+(y-4)2=r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是__ ____.三．解答题(本大题共6小题,其中第17小题10分,18—22小题每小题12分, 共70分). 17. 已知圆的方程为22(1)(1)1,(2,3),x y P -+-=点坐标为求圆的过P 点的切线方程以及切线长.18. 一个几何体的三视图如图(图中三角形为正三角形)所示，求它的表面积和体积.19.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证： （1）PA ∥平面BDE ；（2）平面PAC ⊥平面BDE.20. 如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是正方形，且侧棱和底面垂直。