九年级数学下册2.3确定二次函数的表达式如何确定某点是否在二次函数图像上素材(新版)北师大版

二次函数知识点归纳二次函数是一个一元二次方程的图像，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为实数且a不等于0。

1. 顶点：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

抛物线的最高点或最低点称为顶点。

顶点的横坐标为x = -b / (2a)，纵坐标为y = f(-b / (2a))。

2. 对称轴：二次函数的图像关于一条直线对称。

这条直线称为对称轴，公式为x = -b / (2a)。

3. 开口方向：当a大于0时，二次函数图像开口向上；当a小于0时，二次函数图像开口向下。

4. 零点：二次函数的图像与x轴交点的横坐标称为零点，即使y = 0的解，可以通过求根公式得到。

5. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac，用于判断二次函数的根的情况。

当Δ大于0时，有两个不相等的实根；当Δ等于0时，有两个相等的实根；当Δ小于0时，没有实根。

6. 特殊情况：当a大于0时，二次函数的图像开口向上，且顶点处为最小值。

函数的值随着x的增大而增加。

当a小于0时，二次函数的图像开口向下，且顶点处为最大值。

函数的值随着x的增大而减小。

当c等于0时，二次函数经过原点(0, 0)，称为原点对称的二次函数。

7. 平移变换：纵向平移：对二次函数y = ax^2 + bx + c进行纵向平移为y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为平移的向量。

横向平移：对二次函数y = ax^2 + bx + c进行横向平移为y = a(x - p)^2 + q，其中(p, q)为平移的向量。

8. 最值问题：在一定条件下，通过二次函数的最值可以求解一些实际问题。

求抛物线的最大值或最小值，可以通过求顶点来解决。

求某一变量取得最值的情况下，可以通过二次函数的顶点坐标和判别式来判断。

9. 范围：二次函数的值域根据开口方向有所不同。

当a大于0时，值域为[y₀, +∞)，其中y₀为顶点的纵坐标。

当a小于0时，值域为(-∞, y₀]。

初中数学中考[函数]第3讲二次函数图像性质与解析式二次函数是数学中的重要内容之一，它在初中数学中被广泛讨论和研究。

本讲将进一步学习二次函数的图像性质和解析式，以更深刻地理解和应用二次函数。

一、二次函数的图像性质1. 对称性：二次函数的图像关于直线x= -b/2a对称。

也就是说，二次函数f(x) = ax² + bx + c的图像在直线x= -b/2a上的对应点的函数值相等。

2.开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

3. 判别式：二次函数方程ax² + bx + c=0的判别式D=b²-4ac可以决定二次函数的零点情况。

当D>0时，方程有两个不相等的实数根；当D=0时，方程有两个相等的实数根；当D<0时，方程没有实数根。

4.最值点：当a>0时，二次函数的最小值点就是函数的最值点；当a<0时，二次函数的最大值点就是函数的最值点。

二、二次函数的解析式一般情况下，二次函数的解析式为：f(x) = ax² + bx + c （a≠0）解析式中的a、b、c分别代表二次函数的系数。

系数a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，系数b和c决定了二次函数的位置。

三、二次函数的解析式与图像的关系通过二次函数的解析式可以很方便地确定二次函数的图像。

1.开口方向：根据二次函数的解析式的系数a的正负可以判断二次函数的开口方向。

2.对称轴：二次函数解析式中的-b/2a，即x=-b/2a，是二次函数的对称轴。

3. 零点：将二次函数解析式中的f(x)等于零，求解二次方程ax² + bx + c=0，可以得到二次函数的零点。

4.最值点：当a>0时，二次函数的最小值点就是函数的最值点，可以通过求解最值点的横坐标，即-b/2a，再代入解析式求解得到最值点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值点就是函数的最值点，计算方法同上。

二次函数的图象判断和几何变换模块一：二次函数的图象判断1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然． （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异”当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2．二次函数的图象信息（1）根据抛物线的开口方向判断a 的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断b 的正负性． （3）根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的正负性． （4）根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性． （5）根据抛物线的对称轴可得2ba-与1±的大小关系，可得2a b ±的正负性． （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a ，b ，c 的等式．（7）根据抛物线的顶点，判断244ac b a -的大小．模块二：二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”．2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达． （1）关于x 轴对称关于x 轴对称后，得到的解析式是．2()y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =---． （2）关于轴对称关于y 轴对称后，得到的解析式是．2()y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =++． （3）关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是．2y ax bx c =++2y ax bx c =---y 2y ax bx c =++2y ax bx c =-+2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-2()y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是2()y a x h k =-+-． （4）关于点(,)m n 对称2()y a x h k =-+关于点(,)m n 对称后，得到的解析式是2(2)2y a x h m n k =-+-+- 3．二次函数图象的翻折函数的图象可以由函数通过关于x 轴的翻折变换得到．具体规则为函数图象在x 轴上方的部分不变，在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方．|()|y f x =()y f x =()y f x =模块一 二次函数的图象判断题组一：（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-1，则一次函数()y a b x ac =++的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（2）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-2，则下列六个代数式：ab 、ac 、a b c ++、a b c -+、2a b +、2a b -、24b ac -中，其值为正的式子的个数是（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个（3）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-3，则22a b c a b c a b a b ++--+++--_______0．（填“>”、“<”或“=”）．图1-1 图1-2 图1-3题组二：（1）如图2-1，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)-，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③2b <-；④22()a c b +<，其中正确的结论有________．（填序号）（2）如图2-2，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)，下列结论：①20a b +<；②0abc <；③1a c +<-；④284b a ac +<，其中正确结论的有________．（填序号）（3）（成外半期）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图2-3所示，有下列5个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数），其中正确的结论的有________.（填序号）图2-1 图2-2 图2-3题组三：（1）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图3-1所示，它与x 轴两个交点分别为(1,0)-，30（，）．对于下列命题：①20b a -=；②0abc <；③102a b c --+<；④80a c +>．其中正确的有________．（填序号）（2）如图3-2，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是1x =-，且过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240a b c -+=；③251040a b c -+=；④320b c +>．其中正确的结论有________．（填序号） （3）如图3-3，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(10A -，），对称轴为直线1x =，与y 轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间（包括这两点），下列结论：①当3x >时，0y <；②30a b +<；③213a -≤≤-；④248acb a ->；其中正确的结论是_________．（填序号）图3-1 图3-2 图3-3题组四：（1）已知二次函数y ax bx c 2=+++2的图象如图4-1所示，顶点为(,)-10，下列结论：①abc <0；②b ac 2-4=0；③a >2；④a b c 4-2+>0．其中正确结论的个数是____________．（填序号） （2）二次函数2y ax bx c =++的图象如图4-2所示，给出下列结论：①20a b +>；②若11m n -<<<，则bm n a+<-；③3||||2||a cb +<；④b ac >>，其中正确的结论有____________．（填序号）图4-1 图4-2yAO xx =1模块二 二次函数的几何变换题组一：（1）二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）． A ．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B ．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位（2）一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．（3）如果将抛物线228y x =-+向右平移a 个单位后，恰好过点(3,6)，那么a 的值为__________． 题组二：（1）如图6-1所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-，则抛物线0C 的顶点坐标____________；将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线1C 、2C 、3C 、…、n C （n 为正整数），则抛物线n C 的解析式为___________． （2）如图6-2，把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点(6,0)A -和原点(0,0)O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为___________．图6-1 图6-2题组三：已知二次函数221y x x =--，求：（1）与此二次函数关于x 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （2）与此二次函数关于y 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为_____________________． 题组四：已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1C ． （1）求1C 关于点(1,0)R 中心对称的图象2C 的解析式；（2）设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为A ，B ，当||18AB =时，求a 的值．xyO…C nC 1C 0题组五：作出2|5|y x x =+的函数图象． 题组七：已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数． （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1()2y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．复习巩固模块一 二次函数的图象判断（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-1，则一次函数by ax c =-的图象不经过第________象限．（2）如图1-2，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)-和(1,0)，给出五个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >；⑤9640a b c ++>．其中结论正确的是________．（3）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-3，小丹观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，其中结论正确的是________．图1-1 图1-2 图1-3（1）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图2-1所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③20a b +>；④930a b c ++<；⑤80a c +>．其中结论正确的是________．（填序号即可）（2）如图2-2，抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于1(,0)A x 、(2,0)B ，交y 轴正半轴于C ，且OA OC =．下列结论：①0a b c ->；②1ac b =-；③12a =-；④22bc +=，其中结论正确的是________．图2-1 图2-2Oyx模块二 二次函数的几何变换（1）（树德实验半期）把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为________．（2）将函数2y x x =+的图象向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为________．（3）如图，在平面直角坐标xOy 中，抛物线1C 的顶点为(1,4)A --，且过点(3,0)B -： ①将抛物线1C 向右平移2个单位得抛物线2C ，则抛物线2C 的解析式_____________； ②写出阴影部分的面积S =_____________．（1）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，则经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．（2）已知二次函数234y x x =--的图象，将其函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，结合图象写出当直线(1)y x n n =+<与这个新图象有两个公共点时，n 的取值范围为__________．y xOyxO AB。

二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。

二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。

3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。

4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。

5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。

三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。

2.求对称轴：对称轴为x=h。

3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。

4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。

5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。

四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。

2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。

3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。

五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。

九年级二次函数知识点总结二次函数是数学中的一种基本函数形式，由幂次为2的项组成。

在九年级数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，掌握二次函数的知识点对于理解和解决与二次函数相关的问题起着关键作用。

下面是对九年级二次函数知识点的总结。

一、二次函数的定义与特征二次函数的标准形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由a的正负确定。

二、二次函数图像的性质1. 抛物线的开口方向由二次函数的a的正负号决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点坐标为（h,k），其中 h = -b/(2a)，k = f(h)。

3. 若a>0，则函数的值在顶点处取得最小值；若a<0，则函数的值在顶点处取得最大值。

三、二次函数的零点与图像与x轴的交点二次函数的零点是指函数值为0的x值。

可以通过求解方程f(x) = 0来得到二次函数的零点。

二次函数与x轴的交点是零点的图像表示。

四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是过抛物线顶点和垂直于x轴的一条直线。

对称轴的方程为x = h。

五、二次函数的判别式判别式可以用来判断二次函数的零点个数和与x轴的交点情况。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其判别式表示为Δ = b^2 - 4ac。

1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根，图像与x轴有两个交点。

2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根，图像与x轴有一个交点。

3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。

六、二次函数的平移和伸缩通过改变二次函数的系数和常数，可以实现对函数图像的平移和伸缩。

具体而言，二次函数平移时须改变对称轴的位置，而伸缩则需要改变a、b和c的值，从而改变抛物线的形状。

七、二次函数应用二次函数在实际问题中有广泛的应用，如抛射运动、物体自由落体、攀爬问题等。

初中数学如何通过二次函数的参数确定其顶点坐标在初中数学中，二次函数是一个重要的概念。

它可以用来描述很多实际问题，例如抛物线的形状、物体的运动轨迹等。

二次函数的顶点是其图像的关键特征之一，因为它包含了函数的最值信息。

下面将详细介绍如何通过二次函数的参数确定其顶点坐标：二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数，且a不等于零。

顶点坐标可以通过以下步骤来确定：1. 确定平移项：平移是指把函数图像沿x轴或y轴方向移动。

平移的方向和距离由二次函数的参数决定。

首先，我们需要确定平移项。

平移项是二次函数中与x相关的项，即bx。

如果函数中没有平移项，即b等于零，那么二次函数的图像将不会发生平移。

2. 确定平移的方向和距离：平移的方向由平移项的符号决定。

如果b大于零，即正平移，图像将向左移动；如果b 小于零，即负平移，图像将向右移动。

平移的距离由平移项的绝对值决定。

具体来说，平移的距离等于平移项的绝对值除以2a的绝对值。

3. 计算顶点的横坐标：顶点的横坐标可以通过以下公式计算：h = -b / (2a)。

其中，h表示顶点的横坐标。

4. 计算顶点的纵坐标：顶点的纵坐标可以通过将顶点的横坐标代入二次函数中计算得出。

具体来说，顶点的纵坐标等于二次函数在顶点横坐标位置的函数值，即k = f(h) = ah^2 + bh + c。

5. 确定顶点坐标：顶点的坐标即为(h, k)，其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。

通过以上步骤，我们可以通过二次函数的参数a、b、c来确定其顶点坐标。

顶点是二次函数图像的关键特征，它可以帮助我们分析函数的最值、对称性以及解决实际问题。

理解如何通过二次函数的参数确定顶点坐标，可以帮助我们深入理解二次函数的性质和图像特征。

初中数学二次函数图像的中考知识点总结
初中数学二次函数图像的中考知识点总结
二次函数图像要领：所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

二次函数图像
1. 本身图像，旁边注明函数。

2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 (X= -b/2a)
3. 与X轴交点坐标 (x1,0);(x2,0)，交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

a,b同号，对称轴在y轴左侧
a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。

即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。

h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。

开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

知识总结：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

初三数学：《二次函数的图象和性质》知识点归纳二次函数图像的性质：1.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点(0,0)。

(1)二次函数图像怎么画作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点;②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。

(2)二次函数与的图像和性质：2.二次函数(a，k是常数，a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k)，它与的图像形状相同，只是位置不同。

函数的图像是由抛物线向上(或下)平移|k|个单位得到的。

当a&gt;0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(x&lt;0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边(x&gt;0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。

顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k。

当a&lt;0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(x&lt;0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边(x&gt;0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。

顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k。

3.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h，顶点坐标是(h，0)，它与的图像形状相同，位置不同，函数(a≠0)的图像是由抛物线向右(或左)平移|h|个单位得到的。

画图时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图。

当a&gt;0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(xh时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。

顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=0。

二次函数零点位置的确定方法要确定一个二次函数的零点位置，需要通过以下几个步骤进行推导和计算。

首先，我们来回顾一下什么是二次函数。

二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c是实数常数，且a不等于0。

二次函数的图像为一条抛物线，它的形状由参数a的正负和大小决定。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，零点是函数图像与x轴相交的点，也就是函数f(x)等于0的点。

为了确定二次函数的零点位置，我们可以采用以下三种方法。

方法一：二次函数的求解公式对于任意一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以利用求根公式来确定其零点位置。

求根公式就是人们所熟悉的“一元二次方程的解法”。

根据一元二次方程的解法，我们可以得到二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点位置公式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，根据b^2-4ac的符号来决定解的类型。

如果b^2-4ac大于0，则有两个不相等的实数解；如果b^2-4ac等于0，则有两个相等的实数解；如果b^2-4ac小于0，则无实数解，也就是二次函数在实数域中没有零点。

因此，我们可以通过带入a、b、c的值计算上述公式，来得到二次函数的零点位置。

方法二：特殊二次函数的零点位置对于特殊的二次函数，我们可以直接通过观察其形式或者性质，确定其零点位置。

1. 当二次函数为f(x) = a(x-h)^2 + k形式时，其中h和k为常数。

这种形式的二次函数称为顶点形式。

它的图像是一个抛物线，并且顶点坐标为(h, k)。

由于抛物线在顶点处与x轴相切，所以顶点即为零点。

因此，这种形式的二次函数的零点位置为x=h。

2. 当二次函数为f(x) = a(x-p)(x-q)形式时，其中p和q为常数。

这种形式的二次函数称为因式分解形式。

它的图像是一个抛物线，相对于原点对称，并且与x 轴交于点(p,0)和(q,0)。

中考数学知识讲解：二次函数的判定和实际应用
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中考数学知识讲解：二次函数的判定和实际应用
二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式;
当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数;
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理(去括号、合并同类项)后，能写成(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。

二次函数的实际应用：
在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。

那么解决这类问题的一般步骤是：
第一步：设自变量;
第二步：建立函数解析式;
第三步：确定自变量取值范围;
第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。