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同济大学高等数学上册第六章定积分的应用定积分作为高等数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，其在实际生活中的应用也是非常广泛的。
本文将以同济大学高等数学上册第六章定积分的应用为题，从不同的角度来探讨定积分在实际问题中的应用。
第一节：定积分在物理学中的应用在物理学中，定积分的应用是非常广泛的。
比如，在力学中，我们可以通过定积分来求解物体的质心、转动惯量等问题；在热力学中，可以通过定积分来计算热力学过程中的功和热量等；在电磁学中，可以通过定积分来计算电荷分布下的电场强度等。
定积分在物理学中的应用，不仅帮助我们更好地理解物理定律，还帮助我们解决实际问题。
第二节：定积分在经济学中的应用经济学是一个与人们日常生活息息相关的学科，而定积分在经济学中的应用也是非常显著的。
比如，在计算人均收入时，可以通过定积分来计算人均消费的总和；在计算流动性时，可以通过定积分来计算资产的变化量。
通过使用定积分的方法，经济学家可以更加精确地分析经济问题，并作出合理的决策。
第三节：定积分在生物学中的应用生物学是一个研究生命现象和生命规律的学科，而定积分在生物学中的应用也是非常广泛的。
比如，在遗传学中，可以通过定积分来计算染色体的长度；在生态学中，可以通过定积分来计算种群的增长率。
通过使用定积分的方法，生物学家可以更加准确地研究生物现象，并深入理解生命的奥秘。
第四节：定积分在工程学中的应用工程学是一个应用数学知识解决实际问题的学科，而定积分在工程学中的应用也是非常重要的。
比如，在土木工程中，可以通过定积分来计算曲线的长度、曲面的面积等；在电气工程中，可以通过定积分来计算电路中的功率、电量等。
通过使用定积分的方法，工程师可以更好地设计和分析工程问题。
总结：通过对同济大学高等数学上册第六章定积分的应用进行探讨，我们发现定积分在物理学、经济学、生物学和工程学等领域中的应用非常广泛。
定积分作为数学中的一个重要概念，不仅可以帮助我们更好地理解各个学科，还能够解决实际问题。
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
第六章 定积分应用6.1定积分的微小元素法(详请见合肥工业大学编写的高等数学上册267页)6．2平面图形的面积一直角坐标的情形定理1：由两条连续曲线)(),(21x f y x f y ==, )()(21x f x f ≤以及直线x=a,x=b 所围平面图形的面积为：dx x f x f A ba⎰-=))()((12证明：有微小元素法：dx x f x f dA ))()((12==,则⎰-=badx x f x f A )]()([12注意：1． 从几何意义容易看出⎰⎰-=babadx x f dx x f A )()(122． 若无)()(21x f x f ≤这一条件，则面积⎰-=badx x f x fA |)()(|123． 同理，曲线),(),(21y g x y g x ==与y=c,y=d 所围区域的面积为⎰-=dcdy y g y g A )]()([12，其中)()(21y g y g ≤例1：求抛物线3x 4x y 2-+-=及其点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积解：4x 2y K+-='=在)3,0(-点处，4K 1=，切线方程3x 4y -= 在)0,3(点处，2K 2-=，切线方程6x 2y +-=⎩⎨⎧+-=-=6x 2y 3x 4y 得交点⎪⎭⎫⎝⎛3,23 []d x x xx S ⎰-+---=2302)34(34[]d x x xx ⎰-+--+-+3232)34(62⎰⎰+-+=32322302)96(dx x x dx x498989=+=定理2：若平面曲线由参数方程给出，))((),(21t t t t y t x ≤≤==ψφ且)(),(t t ψφ在[21,t t ]连续，0)(>'t φ，则曲线与x=a,x=b 以及x 轴所围的曲边梯形的面积为： ⎰⎰'==bat t dt t t dx x f A 21)(|)(||)(|φψ例1． 求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所为的面积解：22220203)c 1(])s i()[cos 1(a dt t a dt t t a t a A πππ=-='--=⎰⎰二极坐标的情形定理3：设曲线)(θφ=r 且 )(θφ在[βα,]上连续，非负παβ2≤-则有曲线)(θφ=r 与射线βθαθ==,所围区域（称为曲边扇形）的面积为：θθφβαd A ⎰=)(212证明：又微小元素法[θθθd +,]上的面积微元是：θθφd dA )(212=，所以θθφβαd A ⎰=)(212例1、 求双纽线θ2cos 22a r =所围的平面图形的面积。
解：4543,44,02c os ,02πθππθπθ≤≤≤≤-≥≥ r 又由图形的对称性以及公式有：2442442|2sin 212cos 212a a d a A ===--⎰ππππθθθ例2、求由曲线θ=γθ=γ2cos ,sin 22所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π65,22,6,22()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡θθ+θθ=⎰⎰πππ60462d 2cos 21d sin 2212S =θθ-⎰πd )2cos 1(60+⎰ππθθ46d 2cos21362sin 212sin 214660--π=θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ-θ=πππ6．3体积一． 平行截面面积为已知的立体体积定理一：设V 是位于[a,b]间的一空间立体，A(x)（b x a ≤≤）是截面积的函数，且在[a,b]上连续，则立体V 的体积为⎰=badx x A V )(证明：在[x,x+dx]上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：⎰=badx x A V )(例1：求由圆柱面222222,a z x a y x =+=+所围立体的体积 解：由于对称性，我们只要求第一卦限立体体积，过x 点（a x ≤≤0）且垂直于x 轴的平面与该立体的截面为边长为22x a -的正方形，则22)(x a x A -=3032022316|)31(8)(8a x x a dx x a V a a =-=-=⎰二． 旋转体的体积旋转体是一种特殊的空间立体，它是一条平面图形饶平面一直线l 旋转一周所得，特别地，直线为x 轴，一般地，设旋转体由曲线y=f(x),x=a,x=b,以及x 轴所围的曲边梯形饶x 轴旋转一周所得的一个立体，用垂直于x 轴的平面去截立体得到截面面积为A(x)=)(2x f π,则旋转体的体积为：dx x fV ba⎰=)(2π例1例3、过点)0,1(P 作抛物线2x y -=的切线，求该切线与抛物线2x y -=及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为)2x ,x (00-切线方程)1x (2x 21y 0--=切点在切线上， ∴)1x (2x 212x 000--=-3x 0= ，∴切线方程：)1x (21y -=⎰⎰π=-π--π=31322x 6dx )2x (dx )1x (41V 6．4平面曲线的弧唱 一直角坐标系定理1：设y=f(x)在[a,b]上连续，且有一阶连续导数，则 y=f(x) 在[a,b]上的弧长为dx f S ba⎰'+=2][1这由弧微分很容易推导出来。
例1．曲线()2x 1ln y -=相应于21x 0≤≤的一段 解：1. 2x1x 2y --=' 222x1x 1y 1-+='+dx x1x 1s 21022⎰-+=dx x 11x 111210⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=21x1x 1ln 21-++-=3ln 21+-=二参数方程的情形当曲线以参数方程 ()()⎩⎨⎧==t y y t x x βα≤≤t 给出时要求t 由βα变化到时的曲线弧长。
由弧微分容易知道：dt t t S ⎰'+'=βαψφ22)]([)]([例1．摆线⎩⎨⎧-=-=t sin t y tcos 1x π2t 0≤≤的一拱3.()()dt t y t x S⎰'+'=π2022()()dtt t ⎰-+=π2022cos 1sin⎰=π20dt 2tsin2 ⎰=π20dt 2t sin2π202t cos 4⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8=三极坐标的情形定理3：若曲线的极坐标方程为)(θφ=r ,那么相应于βθαθ==,的一段弧长为：θθθβαd r r S ⎰'+=)()(22例1：心形线()θcos 1a r +=的全长 ()0a >()θθsin a r -='，θθθθθπd a d a a ds ⎰+=-++=2022cos 22]sin [)]cos 1([=8a πθ0|2sin=8a(3) ()θr r = βθα≤≤6．5功，压力例子1.一锥形水池,池口直径20m,深15m,池中盛满瞒水,求将全部池水抽到池口外所做的功.解:如图建立坐标系,以x 为积分变量,变化区间为[0,15],重中任意取一子区间,考虑深度[x,x+dx]的一层水量T ∆抽到池口处所做的功W ∆,当dx 很小时,抽出T ∆中的每一体积水所做的功为x T ∆而T ∆的体积约=dx x 2)]15(1510[-π dx x x dW 2)]15(1510[-=πππ1875)]15(1510[1502=-=⎰dx x x W (吨米)例2.边长为a 和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体中,薄片长边a 与液面平行位于深为h 处,而薄片与液面成α角,已知液体的密度为ρ,求薄片所受的压力解:取x 为积分变量,变化区间为[h,h+bsin α]从中取[x,x+dx]知道面积元素αsin dxadS = 压力元素αρsin dxxadP =,则)sin 21(sin 1sin sin sin αραραρααb h ab xdx a dx xa P b h h b h h+===⎰⎰++。
