定积分与微积分基本定理复习讲义

考点13 定积分与微积分基本定理一、定积分 1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. （2）在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 （1）()d baS f x x =⎰； （2）()d baS f x x =-⎰；（3）()()d d cb acS f x x f x x =-⎰⎰； （4）()()()()d d []d b b baaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|b a F x ，即()d baf x x ⎰=()|ba F x =F (b )−F (a )．学.科*网 【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)；（2）11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； （3）sin d cos |bb a a x x x =-⎰； （4）cos d sin |bb a a x x x =⎰；（5）1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； （6）e d e |bx x b a a x =⎰；（7）d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰； （8）322d |(0)3bb a ax x x b a =>≥⎰.1．πcos d x x =⎰A ．1B ．2-C ．0D ．π2．若()π402sin cos d 2x a x x -=-⎰，则实数a 等于 A ．1 B 2 C ．1-D ．33．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．44．定义a b ad bc c d=-，如121423234=⨯-⨯=-，那么21d 312x x =⎰A ．6B ．3C ．32D ．0 5．设实数2log 3a =，131log 2b =，π01sin d c x x=⎰，则A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>6．（2015年高考湖南卷）2(1)d x x -=⎰．7．（2015年高考天津卷）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．8．（2015年高考福建卷）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．。

课题：定积分与微积分基本定理考纲要求：① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 . ② 了解微积分基本定理的含义. 教材复习1.定积分()1积分的定义及相关概念如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，用分点0122n n a x x x x x b -=<<<<<=，将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ(1,2,i =…，n )，作和式1()ni i b af n ξ=-∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰.其中， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间[],a b 叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．()2定积分的性质：①1ba dx =⎰；②()bakf x dx =⎰ (k 为常数)；③[]()()baf xg x dx ±=⎰ ；()b af x dx =⎰()3定积分的几何意义：① 当函数()f x 在区间[],a b 上恒正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积（左图中的阴影部分）即()baS f x dx =⎰； 当()f x ≤0时，()baS f x dx ==⎰()baf x dx ⎰.② 一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲边()f x以及直线x a =，x b =之间的曲边梯形的面积的代数和（右图中的阴影部分），其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.2.微积分基本定理如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()baf x dx =⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3.定积分的应用()1曲边梯形的面积：一般地，设由曲线()y f x =，()y g x =以及直线,x a x b ==所围成的平面图形的面积为S ，则S = （()()f x g x >）.()2匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数()v v t =(()0v t ≥)在时间区间[],a b 上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰.()3简单几何体的体积：若几何体是由曲线()y f x =与直线,x a x b ==以及x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周得到的，则其体积为V =基本知识方法：1.求定积分有两种途径：牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义；当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.2.若()f x 是[],a a -连续的奇函数，则()aaf x dx -=⎰ ；若()f x 是[],a a -连续的偶函数，则()aaf x dx -=⎰()af x dx ⎰典例分析：考向一 定积分的计算（考虑牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义） 问题1．计算下列积分：()1221x dx ⎰； ()20(sin cos )x x dx π-⎰； ()32132xdx -⎰；()41-⎰； ()5()11cos 5sin x x x dx --⎰考向二 利用定积分求面积 问题2．求下图中阴影部分的面积．解：考向三 定积分的应用问题3．()1一物体以()238v t t t =-+()m s 的速度运动，在前30s 的平均速度为()2（2012福建）如图所示，在边长为1 的正方形OABC中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为.A 14 .B 15 .C 16 .D 17课后作业：1.计算定积分：①220sin 2xdx π⎰； ②()0cos x x e dx π-+⎰；③；④⎰2. （2013届高三西工大附中六模）)1x dx ⎰=3. （2013届高三湖北武汉调研）2302cos 12x dx π⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰.A -.B 12-.C 12.D走向高考：1.（2013北京）直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 .A 43 .B 2 .C 83 .D 32.（2013江西）若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231,x S e dx =⎰则123,,S S S 的大小关系为.A 123S S S << .B 213S S S << .C 231S S S << .D 321S S S <<3.（2013湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()73v t t =-251t++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止.在此期间汽车继 续行驶的距离（单位;m ）是.A 125ln5+ .B 11825ln 3+ .C 425ln5+ .D 450ln 2+4.（2013湖南）若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为5.（2012江西）计算定积分()121sin xx dx -+=⎰6.（2010湖南） 421dx x⎰等于 .A 2ln 2- .B 2ln 2 .C ln 2- .D ln 2 7.（2011陕西）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a =。

定积分和微积分基本定理【考纲要求】1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。

2.正确计算定积分，利用定积分求面积。

【知识络】【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=⋅⋅⋅，作和式11()()n nn i i i i b aI f x f nξξ==-=∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作()baf x dx ⎰，即()baf x dx ⎰＝1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.要点诠释：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 要点二、定积分的性质 （1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数），（2）[]1212()()()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰，（3）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中b c a <<），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则()0bb f x dx -=⎰； 若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则0()2()bbbf x dx f x dx -=⎰⎰.定积分的概念定积分的性质微积分基本定理定积分的几何意义及应用要点三、微积分基本定理如果'()()F x f x =，且)(x f 在[]b a ,上连续，则()()()baf x dx F b F a =-⎰,其中()F x 叫做)(x f 的一个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.一般地，原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()baF x .因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰.要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.要点四、定积分的几何意义设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分⎰badx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰badx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正，在x 轴下方的面积积分时，取负.如图（2）所示.要点五、应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]bbaaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰；2. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰；3. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()bb baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）写出定积分表达式； （4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分（1）⎰-π)cos (sin dx x x ； （2）dx xx x ⎰+-212)1(； （3）⎰-+0)(cos πdx e x x .【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ，∴00(sin cos )(cos sin )2-=--=⎰x x dx x x ππ；（2）∵2321(ln )23'-+=-+x x x x x x， ∴232221115()(ln )ln 2236x x x x dx x x -+=-+=-⎰.（3）∵(sin )cos '+=+xxx e x e ，∴01(cos )(sin )1x x x e dx x e e πππ--+=+=-⎰； 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数()F x 。

定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念：在f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质：①kf(x)d x＝kf(x)d x.②[f(x)±f2(x)]d x＝f1(x)d x±f2(x)d x.1③f(x)d x＝f(x)d x＋f(x)d x.[探究] 1.若积分变量为t，则f(x)d x与f(t)d t是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即f(x)d x＝F(x)＝F(b)－F(a)．课前预测：1.d x等于()A．2ln2B．－2ln2C．－ln2 D．ln22．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()A.B.C. D.23．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．4．(教材改编题)d x ＝________.5．由y ＝，直线y ＝－x ＋所围成的封闭图形的面积为________ 考点一利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)(sin x －cos x )d x ；(3)x (x ＋1)d x ；(4)d x ； (5)20π⎰sin 2d x .——————————————————— 求定积分的一般步骤：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．强化训练：1．求下列定积分：(1)|x －1|d x ；(2)20π⎰d x .考点二利用定积分的几何意义求定积分[例2] d x ＝________.变式：在本例中，改变积分上限，求d x 的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．强化训练：2．(2014·福建模拟)已知函数f(x)＝(cos t－sin t)d t(x>0)，则f(x)的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积[例3](2014·山东高考)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.B．4 C. D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．4强化训练：3．(2014·郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为()A. B. C. D.考点四：定积分在物理中的应用[例4]列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v(t)d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v(t)d t.2．变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b 所做的功为F(x)d x.强化训练：4．一物体在力F(x)＝(0≤x≤2),3x＋4(x>2)))(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为() A．44J B．46J C．48J D．50J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负，而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例](2013·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()6A. B. C. D.2．(2014·山东高考)设a>0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.d x＝()A．ln x＋ln2x B.－1 C. D.2．(2012·湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A. B. C. D.3．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)d x＝3f(x0)，则x0等于() A．±1 B.C．±D．24．设f(x)＝x∈[0，1]，,2－x，x∈ 1，2]，))则f(x)d x＝()A. B. C. D．不存在5．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.mB.mC.mD.m6．(2013·青岛模拟)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为()A.B．1 C. D.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)87．设a ＝sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x ＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中，首项a 1＝，a 4＝(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________．9．(2013·孝感模拟)已知a ∈，则当(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．计算下列定积分：(1)20π⎰sin 2x d x ；(2)2d x ；(3)120⎰e 2x d x .11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．备选习题1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在s ～6s 间的运动路程为________．2．计算下列定积分：(1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)d x . 3．求曲线y ＝，y ＝2－x ，y ＝－x 所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝(0≤t ≤10)，,4t ＋60(10<t ≤20)，,140(20<t ≤60).))某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1min 行驶的路程超过7673m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测：1.Ｄ ２.Ａ ３. ４.π ５.－2ln2例１：(1). (2)2. (3). (4)e 4－e 2＋ln2. (5).变式１：解：(1)|x －1|＝x ∈[0，1),x －1，x ∈[1，2]))故|x －1|d x ＝(1－x )d x ＋(x －1)d x ＝＋＝＋＝1.(2)20π⎰d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x )24ππ＝－1＋(－1＋)＝2－2.例２：[自主解答] d x 表示y ＝与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又∵0≤x ≤1，∴y ＝与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为个圆，其面积为. ∴d x ＝.互动：解：d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以 d x ＝.变式２. －1 例３.Ｃ 互动：. 变式３.Ｄ例４：[自主解答]a＝－0.4m/s2，v＝72km/h＝20m/s.设t s后的速度为v，则v＝20－0.4t.令v＝0，即20－0.4t＝0得t ＝50(s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝v d t＝(20－0.4t)d t＝(20t－0.2t2)＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动．变式４.46 典例：[解析]由题意可得f(x)＝所以y＝xf(x)＝与x轴围成图形的面积为12⎰10x2d x＋112⎰错误！未指定书签。