高中数学第一二章综合能力检测题课后强化训练(含详解)新人教A版必修

第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在[答案] A[解析] ∵π2<2<π，∴sin2>0，∵π2<3<π，∴cos3<0，∵π<4<3π2，∴tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.2．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3B ．－4 3C ．±4 3 D. 3 [答案] B[解析] 由条件知，tan600°＝a－4， ∴a ＝－4tan600°＝－4tan60°＝－4 3. 3．(08·全国Ⅰ文)y ＝(sin x －cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 [答案] D[解析] ∵y ＝(sin x －cos x )2－1＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x －1＝－sin2x ， ∴函数y ＝(sin x －cos x )2－1的最小正周期为π，且是奇函数． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π的简图是( )[答案] A[解析] x ＝0时，y <0，排除B 、D ， x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A. 5．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π2＋π3)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，由y ＝sin2x 的图象得到y ＝cos(2x ＋π3)的图象．只需向左平移5π12个长度单位就可以．6．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π[答案] C[解析] 画出函数y ＝|sin x |的图象，如图所示．由函数图象知它的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，所以当k ＝1时，得到y ＝|sin x |的一个单调增区间为⎝⎛⎭⎫π，3π2，故选C. 7．(08·四川)设0≤α≤2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，π2 B.⎝⎛⎭⎫π3，π C.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，3π2[答案] C[解析] ∵sin α>3cos α，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos α>0tan α>3或⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0tan α<3或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0sin α＝1， ∴π3<α<4π3. [点评] ①可取特值检验，α＝π2时，1＝sin π2>3cos π2＝0，排除A ；α＝π时，0＝sinπ>3cosπ＝－3，排除B ；α＝4π3时，sin 4π3＝－32，3cos 4π3＝－32，∴sin 4π3＝3cos 4π3，排除D ，故选C.②学过两角和与差的三角函数后，可化一角一函解决，sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π3>0，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π3>0，∵0≤α≤2π，∴π3<α<4π3. 8．方程sinπx ＝14x 的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] 在同一坐标系中分别作出函数y 1＝sinπx ，y 2＝14x 的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个．9．已知△ABC 是锐角三角形，P ＝sin A ＋sin B ，Q ＝cos A ＋cos B ，则( ) A ．P <QB ．P >QC ．P ＝QD ．P 与Q 的大小不能确定[答案] B[解析] ∵△ABC 是锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，A ＋B >π2，∴A >π2－B ，B >π2－A ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A >cos B ，sin B >cos A ， ∴sin A ＋sin B >cos A ＋cos B ，∴P >Q .10．若函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)对任意的x 都满足f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值是( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0D ．－3或3[答案] D[解析] f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，故f ⎝⎛⎭⎫π3为最大值或最小值． 11．下列函数中，图象的一部分符合下图的是( )A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝cos(4x －π3)D ．y ＝cos(2x －π6)[答案] D[解析] 用三角函数图象所反映的周期确定ω，再由最高点确定函数类型．从而求得解析式．由图象知T ＝4(π12＋π6)＝π，故ω＝2，排除A 、C.又当x ＝π12时，y ＝1，而B 中的y ＝0，故选D.12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R )的最小值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5[答案] C[解析] ∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴y min ＝－1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．若1＋sin 2θ＝3sin θcos θ则tan θ＝________. [答案] 1或12[解析] 由1＋sin 2θ＝3sin θcos θ变形得2sin 2θ＋cos 2θ－3sin θcos θ＝0⇒(2sin θ－cos θ)(sin θ－cos θ)＝0， ∴tan θ＝12或1.14．函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为________． [答案] [－4，－π]∪[0，π][解析] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧16－x 2≥0sin x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤42k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )， ∴－4≤x ≤－π或0≤x ≤π.15．已知集合A ＝{α|30°＋k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }，集合B ＝{β|－45°＋k ·360°<β<45°＋k ·360°，k ∈Z }，则A ∩B ＝________.[答案] {α|30°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z } [解析] 如图可知，A ∩B ＝{α|30°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }．16．若a ＝sin(sin2009°)，b ＝sin(cos2009°)，c ＝cos(sin2009°)，d ＝cos(cos2009°)，则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________．[答案] b <a <d <c[解析] ∵2009°＝5×360°＋180°＋29°， ∴a ＝sin(－sin29°)＝－sin(sin29°)<0， b ＝sin(－cos29°)＝－sin(cos29°)<0， c ＝cos(－sin29°)＝cos(sin29°)>0， d ＝cos(－cos29°)＝cos(cos29°)>0， 又0<sin29°<cos29°<1<π2，∴b <a <d <c .[点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”，考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a，若θ为第二象限角，求实数a 的值． [解析] ∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0. ∴1－a 1＋a >0，3a －11＋a<0，解之得，－1<a <13.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎝⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －11＋a 2＝1，解之，得a ＝19或a ＝1(舍去)．故实数a 的值为19.18．(本题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N . [解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N 和集合M 对应的部分，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二：利用单位圆中的三角函数线确定集合M 、N . 作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示．由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π6≤θ≤5π6， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 19．(本题满分12分)已知cos x ＋sin y ＝12，求sin y －cos 2x 的最值．[解析] ∵cos x ＋sin y ＝12，∴sin y ＝12－cos x ，∴sin y －cos 2x ＝12－cos x －cos 2x＝－⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋34， ∵－1≤sin y ≤1，∴－1≤12－cos x ≤1，解得－12≤cos x ≤1，所以当cos x ＝－12时，(sin y －cos 2x )max ＝34，当cos x ＝1时，(sin y －cos 2x )min ＝－32.[点评] 本题由－1≤sin y ≤1求出－12≤cos x ≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方．20．(本题满分12分)已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最值，并求取得最值时的x ； (2)判断其奇偶性．[解析] (1)∵y ＝a －b cos3x ，b >0，∴⎩⎨⎧y max ＝a ＋b ＝32ymin＝a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1，∴函数y ＝－4a sin(3bx )＝－2sin3x . ∴此函数的周期T ＝2π3，当x ＝2k π3＋π6(k ∈Z )时，函数取得最小值－2；当x ＝2k π3－π6(k ∈Z )时，函数取得最大值2.(2)∵函数解析式f (x )＝－2sin3x ，x ∈R ， ∴f (－x )＝－2sin(－3x )＝2sin3x ＝－f (x )， ∴y ＝－2sin3x 为奇函数．21．(本题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示．试依图推出：(1)f (x )的最小正周期； (2)f (x )的单调递增区间；(3)使f (x )取最小值的x 的取值集合．[解析] (1)由图象可知，T 2＝74π－π4＝32π，∴T ＝3π.(2)由(1)可知当x ＝74π－3π＝－54π时，函数f (x )取最小值，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－54π＋3k π，π4＋3k π(k ∈Z )． (3)由图知x ＝74π时，f (x )取最小值，又∵T ＝3π，∴当x ＝74π＋3k π时，f (x )取最小值，所以f (x )取最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝74π＋3k π，k ∈Z .22．(本题满分14分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R )． (1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．[解析] (1)由f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x ＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x ) ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－a22－2a －1.这里－1≤cos x ≤1. ①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a 2时，f (x )min ＝－a 22－2a －1；②若a2>1，则当cos x ＝1时，f (x )min ＝1－4a ；③若a2<－1，则当cos x ＝－1时，f (x )min ＝1.因此g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a <－2)－a22－2a －1 (－2≤a ≤2)1－4a (a >2).(2)∵g (a )＝12.∴①若a >2，则有1－4a ＝12，得a ＝18，矛盾；②若－2≤a ≤2，则有－a 22－2a －1＝12，即a 2＋4a ＋3＝0，∴a ＝－1或a ＝－3(舍)． ∴g (a )＝12时，a ＝－1.此时f (x )＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋12， 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值为5.。

1．1．2．1一、选择题1．下列关于程序框图的说法中正确的个数是( )①用程序框图表示算法直观、形象，容易理解②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的一图胜万言③在程序框图中，起止框是任何流程不可少的④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析] 由程序框图定义可知，①②③④都正确．2．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的( )A．处理框内B．判断框内C．输入、输出框内D．终端框内[答案] A[解析] 由处理框的意义可知，对变量进行赋值，执行计算语句，处理数据，结果的传送等都可以放在处理框内，∴选A.3．在画程序框图时如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上( )A．流程线B．注释框C．判断框D．连结点[答案] D4．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用( )A．连结点B．判断框C．流程线D．处理框[答案] C[解析] 流程线的意义是流程进行的方向，一个算法步骤到另一个算法步骤表示的是流程进行的方向，故选C.而连结点是当一个框图需要分开来画时，在断开处画上连结点．判断框是根据给定条件进行判断，处理框是赋值、计算、数据处理、结果传送，所以A、B、D都不对．5．下面是求方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的程序框图．则判断框内(1)处应填的条件为( )A．Δ>0? B．Δ≥0?C．Δ<0? D．Δ≤0?[答案] C[解析] 判断框中条件(1)满足时，输出方程无实数解，故判断的条件应为Δ<0.6．(08·宁夏海南文)下面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )A．c>x?B．x>c?C．c>b?D．b>c?[答案] A[解析] x 开始取a 的值，经过第一次判断后，x 取a 与b 中较大的值，又最后输出的是三个数a ，b ，c 中的最大值为x ，故第二次判断的条件应为c >x ？，故选A.7．如图，若f (x )＝x 2，g (x )＝log 2x ，输入x 的值为0.25，则输出结果为( )A ．0.24B ．－2C ．2D ．－0.25[答案] B[解析] 由框图知，h (x )是f (x )与g (x )中的较小值，∵f (0.25)＝0.252＝116，g (0.25)＝log 20.25＝－2，∴h (0.25)＝－2.8．如图所示的程序框图运行后输出结果为12，则输入的x 值为( )A ．－1B.22C.12 D ．－1或22[答案] D[解析] 程序框图表示的是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ≥142xx ≤0log 12x 0<x <14的函数值，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12x ≥14得，x ＝22；由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝12x ≤0得，x ＝－1.又⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ＝120<x <4无解，故选D.二、填空题9．(09·上海理)某算法的程序框图如图所示，则输出量y 与输入量x满足的关系式是______________________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤1)x －2 (x >1)[解析] 由程序框图可知，当x >1时，y ＝x －2；当x ≤1时，y ＝2x， ∴输出量y 与输入量x 满足的关系式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤1)x －2 (x >1).10．读下列流程图填空：(1)流程图(1)的算法功能是________________． (2)流程图(2)的算法功能是________________． (3)流程图(3)的算法功能是________________． (4)流程图(4)的算法功能是________________． [答案] (1)求输入的两个实数a 与b 的和．(2)求以输入的两个正数a ，b 为直角边长的直角三角形斜边的长． (3)求输入两数a ，b 的差的绝对值． (4)求函数f (x )＝|x －3|＋1，即分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 (x >3)4－x (x ≤3)的函数值．11．判断正整数x 的奇偶性的程序框图如下，则①处应为________．[答案] r ＝1?[点评] (1)想一想，若在判断框内的条件改为r ＝0，则上面的程序框图如何修改？(将是与否互换)(2)r 为x 除以2的余数可表示为r ＝x MOD 2.12．(2010·广州市)某算法的程序框如图所示，若输出结果为12，则输入的实数x 的值是________．[答案]2[解析] 当x ≤1时，y ＝x －1≤0，∵输出结果为12，∴x >1，∴log 2x ＝12，∴x ＝ 2.三、解答题13．画出求坐标平面内两点A (a ，b )，B (c ，d )之间距离的程序框图． [解析]14．为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分，每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x 立方米，应交纳水费y 元，请你设计一个输入用水量、输出应交水费额的算法，画出程序框图．[解析] y 与x 之间的函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.2x (0≤x ≤7)1.9x －4.9 (x >7)算法设计如下：S 1 输入每月用水量x ；S 2 判断输入的x 是否超过7；若x >7，则应交水费y ＝1.9x －4.9；否则应交纳水费y ＝1.2x ；S 3 输出应交水费y .程序框图如图所示．15．试描述判断圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)位置关系的算法，画出流程图．[解析] 直线与圆的位置关系有三种，相离、相切、相交．如果圆心到直线的距离d 大于r ，则直线与圆相离；d ＝r ，则直线与圆相切；d <r ，则直线与圆相交．因此，我们可以先求出圆心到直线的距离d ，然后再和r 相比较．因此需用条件分支结构来描述．第一步：输入圆心的坐标a 、b 和半径r ，直线方程的系数A 、B 、C ； 第二步：计算z 1＝Aa ＋Bb ＋C ； 第三步：计算z 2＝A 2＋B 2； 第四步：计算d ＝|z 1|z 2；第五步：如果d >r 则相离；如果d ＝r 则相切；如果d <r 则相交． 程序框图如图所示．。

3.2.1一、选择题1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )A ．45元B ．55元C ．65元D ．70元[答案] D[解析] 设每件商品定价为x 元，则一个月的销量为500－(x －50)×10＝1000－10x 件，故月利润为y ＝(x －40)·(1000－10x )＝－10(x －40)(x －100)， ∵⎩⎨⎧ x >401000－10x >0，∴40<x <100，∴当x ＝70时，y 取最大值，故选D.2．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )A ．B ，A ，CB ．A ，C ，B C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B[答案] B[解析] A 种债券的收益是每100元收益3元；B 种债券的利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100(1＋51.4－5050)≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－97100，100元一年到期的本息和为100(1＋100－9797)≈103.09(元)，收益为3.09元．3．某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b ，则( )A ．a ＝bB ．a >bC ．a <bD ．a 、b 的大小无法确定 [答案] B[解析] 一月份产量为a(1＋10%)，二月份产量b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1%)，∴b<a，故选B.4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点[答案] D[解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(S0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．5．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是( )A．3.5m B．3mC．2.5m D．2m[答案] C[解析] 建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为y＝a(x－1)2＋2.∵抛物线过点A(0,1)∴将(0,1)点代入方程得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋2.令y＝0，得x＝1＋2，x＝1－2(舍)，故落在水面上的最远点B到O点距离为(1＋2)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.6．某市原来民用电价为0.52元/kw·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kw·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h.对于一个平均每月用电量为200kw·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量( )A．至少为82kw·hB．至少为118kw·hC．至多为198kw·hD．至多为118kw·h[答案] D[解析] ①原来电费y1＝0.52×200＝104(元)．②设峰时段用电为x kw·h，电费为y，则y＝x×0.55＋(200－x)×0.35＝0.2x＋70，由题意知0.2x＋70≤(1－10%)y1，∴x≤118.答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kw·h.二、填空题7．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．[答案] 5514.99[解析]根据题意，五年后的本息共5000(1＋1.98%)5＝5514.99(元)．8．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T是时间t的函数：T(t)＝at2＋bt＋c(a≠0)，其中温度的单位是°C，时间的单位是小时，t＝0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C ，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C ，则T (t )＝________.[答案] －3t 2＋t ＋60[解析] 将t ＝－4，T ＝8；t ＝0，T ＝60；t ＝1，T ＝58分别代入函数表达式中即可解出a ＝－3，b ＝1，c ＝60.三、解答题9．某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元，假设该物品的价格年增长率是平均的，那么2010年该物品的价格是多少？(精确到元)[解析] 从1964年开始，设经过x 年后物价为y ，物价增长率为a %，则y ＝100(1＋a %)x ，将x ＝40，y ＝500代入得500＝100(1＋a %)40，解得a ＝4.1，故物价增长模型为y ＝100(1＋4.1%)x .到2010年，x ＝46，代入上式得y ＝100(1＋4.1%)46≈635(元)．10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a 升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y ＝ae －nt ，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲的水只有a 8. [解析] 由题意得ae －5n ＝a －ae －5n ，即e －5n ＝12，设再过t 分钟桶甲中的水只有a8，得ae－n(t＋5)＝a8，所以(12)t＋55＝(e－5n)t＋55＝e－n(t＋5)＝18＝(12)3，∴t＋55＝3，∴t＝10.∴再过10分钟桶甲的水只有a8.11．某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售．请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大．面对问题我们并不能一目了然．于是我们首先作了一个随机调查．把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以．调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？请给予说明．[解析] 在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制．所以这个问题应该有几种情形：(1)若甲商厦确定每组设奖．当参加人数较少时，少于1＋2＋10＋200＝213人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客．(2)若甲商厦的每组营业额较多时，他给顾客的优惠幅度就相应的小．因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共10000＋2000＋1000＋1000＝14000元．假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为14000÷5%＝280000.所以由此可得：(1)当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多．(2)当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于1 4000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是1 4000元，优惠较大．(3)当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的优惠大．12．某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x<20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？[解析] 只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木材量为2Q(1＋20%)5，画出函数y＝(1＋x%)5与y＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故当x<14.87%时就考虑重栽，否则让它继续生长．*13.(湖南长沙同升湖实验学校高一期末)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n 是羊毛衫标价x 的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？[解析] (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则n ＝kx ＋b (k <0)，∴⎩⎨⎧ 0＝300k ＋b 75＝225k ＋b，∴⎩⎨⎧ k ＝－1b ＝300，∴n ＝－x ＋300. y ＝－(x －300)·(x －100)＝－(x －200)2＋10000，x ∈(100,300] ∴x ＝200时，y max ＝10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，－(x －300)·(x －100)＝10000×75%∴x 2－400x ＋30000＝－7500，∴x 2－400x ＋37500＝0，∴(x －250)(x －150)＝0∴x 1＝250，x 2＝150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.14．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？[分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x )名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，∴制作100张课桌所需时间为函数P (x )＝1007x， 制作200把椅子所需时间为函数Q (x )＝20010(30－x )， 完成全部任务所需的时间f (x )为P (x )与Q (x )中的较大值．欲使完成任务最快，须使P (x )与Q (x )尽可能接近(或相等)．令P (x )＝Q (x )，即1007x ＝20010(30－x )， 解得x ＝12.5，∵人数x ∈N ，考察x ＝12和13的情形有P (12)≈1.19，Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176，∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，∵f(12)>f(13)，∴x＝13时，f(x)取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．[点评] 本题有几点需特别注意，人数x必须是自然数，故P(x)与Q(x)不相等，f(x)是P(x)与Q(x)中的较大者，完成任务最快的时间是f(x)的最小值．。

2.2.2.4一、选择题1.12log 612－log 62等于( ) A ．2 2 B ．122C.12D ．3[答案] C[解析] 12log 612－log 62＝12log 612－12log 62＝12log 6122＝12log 66＝12，故选C. 2．以下函数中，在区间(－∞，0)上为单调增函数的是( ) A ．y ＝－log 12(－x )B ．y ＝2＋x1－xC ．y ＝x 2－1D ．y ＝－(x ＋1)2[答案] B[解析] y ＝－log 12(－x )＝log 2(－x )在(－∞，0)上为减函数，否定A；y＝x2－1在(－∞，0)上也为减函数，否定C；y＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，否定D，故选B.3．(09·陕西文)设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为( )A．[0,1) B．(0,1)C．[0,1] D．(－1,0][答案] A[解析] 由题意知M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|－1<x<1}，∴M∩N＝[0,1)，故选A.4．f(x)＝a x，g(x)＝－log b x且lg a＋lg b＝0，a≠1，b≠1，则y＝f(x)与y＝g(x)的图象() A．关于直线x＋y＝0对称B．关于直线x－y＝0对称C．关于y轴对称D．关于原点对称[答案] B[解析] ∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，f(x)＝a x，g(x)＝－log b x＝－log1x＝log a xa∴f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线x－y＝0对称．5．(2010·安徽理，2)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪log12x ≥12，则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ [答案] A[解析] log 12x ≥12，∴0<x ≤22，∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)，故选A.6．(2010年延边州质检)函数y ＝xa x|x |(a >1)的图象的大致形状是( )[答案] C[解析]∵y ＝xa x|x |＝⎩⎨⎧a x (x >0)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(x <0)，∵a >1，∴当x >0时，y ＝a x 单增，排除B 、D ；当x <0时，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x单减，排除A ，故选C. 7．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a[答案] C[解析] ∵x ∈(e －1,1)，y ＝ln x 是增函数，∴－1<ln x <0，∵ln 3x －ln x ＝ln x (ln 2x －1)>0，∴c >a ，∵ln x －2ln x ＝－ln x >0，∴a >b ，∴c >a >b .8．设A ＝{x ∈Z|2≤22－x <8}，B ＝{x ∈R||log 2x |>1}，则A ∩(∁R B )中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由2≤22－x <8得，－1<x ≤1， ∵x ∈Z ，∴x ＝0,1，∴A ＝{0,1}； 由|log 2x |>1，得x >2或0<x <12，∴∁R B ＝{x |x ≤0或12≤x ≤2}，∴A ∩(∁R B )＝{0,1}．9．(09·全国Ⅰ)已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x >0)，则f (1)＋g (1)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析] ∵g (1)＝1，f (x )与g (x )互为反函数， ∴f (1)＝1，∴f (1)＋g (1)＝2.10．对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎨⎧a ，若a ≤b ；b ，若a >b，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[答案] C[解析]∵a *b ＝⎩⎨⎧a ，若a ≤b ，b ，若a >b .而函数f (x )＝log12(3x －2)*log 2x 的大致图象如右图所示的实线部分，∴f (x )的值域为(－∞，0]． 二、填空题11．若正整数m 满足10m －1<2512<10m ，则m ＝______.(其中lg2＝0.3010)[答案] 155[解析] 将已知不等式两边取常用对数，则m －1<512lg2<m ， ∵lg2＝0.3010，m ∈Z ＋，∴m ＝155.12．若a ＝log 3π、b ＝log 76、c ＝log 20.8，则a 、b 、c 按从小到大顺序用“<”连接起来为________．[答案] c <b <a[解析] a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 76<log 77＝1， log 76>log 71＝0，c ＝log 20.8<log 21＝0 ∴c <b <a13．函数f (x )＝|x －2|－1log 2(x －1)的定义域为________．[答案] [3，＋∞)[解析]要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0x －1>0x －1≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3或x ≤1x >1x ≠2，∴x ≥3.14．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是__________．[答案] 0<a <12或a >1[解析] 当a >1时，log a 12<0成立，当0<a <1时，log a 12<log a a ，∴12>a >0.三、解答题15．设A ＝{x ∈R|2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的最大值比最小值大1，求a 的值．[解析] a >1时，y ＝log a x 是增函数，log a π－log a 2＝1，即log a π2＝1，得a ＝π2.0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，log a 2－log a π＝1，即log a 2π＝1，得a ＝2π.综上可知a 的值为π2或2π.16．已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0且a ≠1)，(1)求f (x )的定义域； (2)判断y ＝f (x )的奇偶性； (3)求使f (x )>0的x 的取值范围．[解析] (1)依题意有1＋x 1－x>0，即(1＋x )(1－x )>0，所以－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数．因为函数的定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝log a (1＋x1－x )－1＝－log a 1＋x1－x ＝－f (x )，因此y ＝f (x )为奇函数．(3)由f (x )>0得，log a 1＋x1－x >0(a >0，a ≠1)，①当0<a <1时，由①可得0<1＋x1－x <1，②解得－1<x <0；当a >1时，由①知1＋x1－x >1，③解此不等式得0<x <1.17．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且关于x 的二次方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，判断△ABC 的形状．[解析] ∵方程有等根∴Δ＝4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝4－4lg 10(c 2－b 2)a 2＝0， ∴lg 10(c 2－b 2)a 2＝1，∴10(c 2－b 2)a 2＝10 ∴c 2－b 2＝a 2即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．18．(1)计算： lg 23－lg9＋lg10(lg 27＋lg8－lg 1000)(lg0.3)(lg1.2)(2)设a 、b 满足条件a >b >1,3log a b ＋3log b a ＝10，求式子log a b －log b a 的值．[分析] (1)因9＝32,27＝33,8＝23,12＝22·3，故需将式中的项设法化为与lg2，lg3相关的项求解；(2)题设条件与待求式均为x ＋y ＝c 1，x －y ＝c 2的形式，注意到x ·y ＝log a b ·log b a ＝1，可从x ·y 入手构造方程求解．[解析] (1)lg0.3＝lg 310＝lg3－lg10＝lg3－1， lg1.2＝lg 1210＝lg12－1＝lg(22·3)－1＝2lg2＋lg3－1. lg 23－lg9＋lg10＝lg 23－2lg3＋1＝1－lg3， lg 27＋lg8－lg 1000＝32(lg3＋2lg2－1)，原式＝32·(1－lg3)·(lg3＋2lg2－1)(lg3－1)(lg3＋2lg2－1)＝－32. (2)解法1：∵log b a ·log a b ＝lg a lg b ·lg b lg a＝1， ∴log b a ＝1log a b. 由log a b ＋log b a ＝103，得：log a b ＋1log a b ＝103. 令t ＝log a b ，∴t ＋1t ＝103，化简得3t 2－10t ＋3＝0，由a >b >1，知0<t <1，∴t ＝13. ∴log a b －log b a ＝log a b －1log a b ＝13－3＝－83. 解法2：log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg a lg b＝1， ∵3log a b ＋3log b a ＝10，∴9(log a b ＋log b a )2＝100， ∴log 2a b ＋log 2b a ＝1009－2＝829∴(log a b －log b a )2＝log 2a b ＋log 2b a －2＝649. ∵a >b >1，∴log a b －log b a <0，∴log a b －log b a ＝－83.。

1 / 8高一数学第二次月考模拟试题（必修一+二第一二章）时间：120分钟 分值：150分、选择题（每小题5分，共60分）1•设集合 A = {4,5,7,9} ,B = {3,4,7,8,9}，全集 A . 3 个B.4个C2•下列函数为奇函数的是 ( )A . y = x 2B3.y = xC13.函数y = -+ log 2(x + 3)的定义域是()XA . RB . (— 3,+^) CA. 120B. 150C. 6. 已知f (x 3— 1) = x + 1，贝U f ⑺ 的值，为(A. ^7 — 1B.芋 + 1 C9 7. 已知 log 23 = a , log 25= b ,贝U log 2 等于(52A . a — bB . 2a — b&函数y = x 2 + x ( —1< x < 3)的值域是(1 A . [0,12] B . [ — 4, 12] 9•下列四个图象中，表示函数 f （x ） = x —丄的图象的是（）xU = A U B , .5个则集合?U （A n BI 中的兀素共有（D.6个x.y =2D.y = log 2X(—m，- -3)D.(—3,0) U (0 ,+sABCD 的直观图（斜二测），若 AD 1 // y /轴，AB 」/ x /轴，AQ C 1D 1 32 , A 1D 1 则平面图形ABCD 的面积是（A.5B.10C.)5.2D.10 2180 D. 240) 3D. 22aC.bD.)13 C .[—2, 12] D .[4, 12] 4.梯形AB i C i D i （如图）是一水平放置的平面图形5.已知圆锥的表面积是底面积的 3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（210. 函数y=—x + 8x—16 在区间［3,5］上( )A.没有零点 B .有一个零点 C .有两个零点 D .有无数个零点11. 给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直•其中真命题的个数是()A. 4 B . 3 C. 2 D. 112. 已知f(x)是定义在(0 ,+^)上的增函数，若f(x)>f(2 —x)，则x的取值范围是()A. x>1 B . x<1 C . 0<x<2 D . 1<x<2二、填空题(每小题5分，共20分)13 .已知集合A= {x| x<—1 或2< x<3}, B= {x| —2< x<4}，贝U A U B= ________ .14 .函数y= ―3 —4x 的定义域为 ____________ .15 .据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域S(km2)与时间t(年)可近似看作指数函数关系，已2 2 2 知近两年污染区域由0.16 km 降至0.04 km，则污染区域降至0.01 km 还需要_______________________________________________________________________________________ 年.16 .空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，PR=3、AC = 4、BD = 2. 5,那么AC与BD所成角的度数是__________ .三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17 . (10 分)已知集合A= {x|1 w x<4}, B= {x| x—a<0},(1) 当a= 3 时，求A n B；(2) 若A? B,求实数a的取值范围.⑵ 解方程：log 3(6x - 9) = 3.19. (12分)判断函数f (x ) = a x 丄〒+ x 3 + 2的奇偶性.a — 1 220. 如图，在长方体 ABC —ABGD 中，AB= 2, BB = BC= 1, E 为DC 的中点，连结 ED EC EB 和DB(1) 求证：平面 EDBL 平面EBC (2) 求二面角E — DB- C 的正切值.18. (12 分)(1)计算:(2詁 +(lg5) 0 + (分3 ；fi21. (12分)已知正方体ABCD A1B1C1D1, O是底ABCD对角线的交点求证：(1) C1O //面AB1D1；(2) AC 面AB1D1.22. ( 12分)已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1) = 1, g(1) = 1,(1) 求f(x), g(x)；(2) 判断函数h(x) = f (x) + g(x)的奇偶性；1(3) 证明函数S(x) = xf(x) + gq)在(0，+m)上是增函数.咼 数学期末考试模拟试题(答案)、选择题(每小题5分，共60分)1.解析： U = A U B= {3,4,5,7,8,9}, A n B= {4,7,9} , • ?u (A A B) = {3,5,8}，有 3 个兀素，故选 A.答案：A2.解析： A 为偶函数，C D 均为非奇非偶函数. 答案：B3.解析： 要使函数有意义，自变量 x 的取值须满足x 工0x + 3>0，解得x >- 3且& 0.答案：D4.解析：梯形A 1B 1C 1D 1上底长为2,下底长为3腰梯形AD ,长为1，腰A 1D 1与下底GD ,的夹角为45,可知，平面图形 ABCD 的面积为5.答案: 5.、填空题(每小题5分，共20分) 13. 答案：{x |x <4}J 2 所以梯形 AB 1C 1D 1的高为一兰，所以梯形 215yf2 A 1B 1C 1D 1 的面积为一(2+3)-= 22J 2,根据S 直观=—S 平面 4 4 360 - 解析: 解析: 解析:解析:由 r 2 rl3 r 2知道I 2r 所以圆锥的侧面展图扇形圆心角度数为360 180 令 X 3 — 1 = 7, ，故选C 答案：C得x = 2 ,••• f(7) = 3.答案：C 9 〜log 2 = log 29 — log 25= 2log 23 — log 25= 2a — b .答案：B5 画出函数y = x 2 + x ( — K x < 3)的图象，由图象得值域是 [—1412].答案：B函数y = x , y =— g 在(0 ,+^)上为增函数，所以函数 f (x ) = x — x 在(0,+^)上为增函数,故满足条件的图象为 A.答案：A10.解析：•/ y =— x 2 + 8x — 16=— (x — 4)2,「.函数在[3,5]上只有一个零点4.答案：B 11 •解析：因为①②④正确，故选 B.x >012.解析:由题目的条件可得 2— x >0 x >2 — x，解得1<x <2，故答案应为D.答案：D114. 解析：根据对数函数的性质可得log 2（3 —4x）>0= log 21，解得3- 4x> 1,得x<色，所以定义域1 1为（一R, 2】.答案：（—R，2 t 2 1 1 1 t 2 215. 解析：设S= a,则由题意可得a2= 4，从而a=㊁，于是S=（㊁），设从0.04 km2降至0.01 km 2还1 1需要t年，则（2）t= 4,即t = 2.答案：216、解析:如图，取AD 中点Q，连PQ , RQ,则PQ .5 , RQ 2，而PR=3,所以PQ2 RQ2 PR2, 所以VPQR为直角三角形，PQR 90，即PQ与RQ成90的角，所以AC与BD所成角的度数是90 答案：90三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分）17. （10 分）已知集合A= {x|1 w x<4}, B= {x| x—a<0},(1) 当a= 3 时，求A n B；⑵若A? B,求实数a的取值范围.解：(1)当a= 3 时，B= {x| x—3<0} = {x| x<3}，则有A n B= {x|1 w x<3}.(2) B= {x| x —a<0} = {x| x<a},当A? B时，有a>4,即实数a的取值范围是［4 ,+s）.(2|)1 + (lg5) 0+ (欲3 ；18. (12 分)(1)计算:x⑵解方程：log 3(6 —9) = 3.25 10 3 3 —15 4解：(1)原式=(y)2 + (lg5) + [(才)]3= 3 + 1+ 3 = 4.(2)由方程log 3(6x—9) = 3 得6x—9= 33= 27,二6x= 36 = 62,二x = 2. 经检验，x= 2是原方程的解.1 3 119. (12分)判断函数f(x) =+ x3+的奇偶性.a —1 2解：由a x—1工0,得X M0,•••函数定义域为(—0, 0) U (0,+^), 131 a x 3 1f ( — x ) = —x + ( — x ) + = x — x + —a — 1 2 1 — a 2xa — 1 +1 3 1 x — x + ~ = 1 — a 2• f （x ）为奇函数.20. （12分）如图，在长方体 ABC —ABCD 中，AB= 2, BB = BC = 1, E 为DC 的中点，连结 ED , EQEB 和 DB（1） 求证：平面 EDBL 平面EBQ （2） 求二面角E — DB- C 的正切值.证明：(1)在长方体 ABC — ABCD 中，AB= 2, BB = BC= 1, E 为DC 的中点.•••△ DDE 为等腰直角三 角形，/ DED= 45 ° .同理/ CEC= 45 ° .• DEC 90，即 DEL EC在长方体 ABC — A 1B 1C 1D 1 中，BC L 平面 D 1DCC 1，又 DE 平面 D 1DCC 1 ,⑵ 解：如图，过E 在平面D 1DCC 1中作EO L DC 于 O 在长方体 ABC — ABC 1D 1 中，T 面 ABCD L 面 D 1DCC 1 , • EO L 面 ABCD过O 在平面DBC 中作OF L DB 于F ,连结EF, • EF L BD / EFC 为二面角E — DB- C 的平面角.利用平面几何知识可得 OF = 1,（ 第V520题）又 OE= 1，所以，tan EFO= .5 . 21. （12 分） 已知正方体 ABCDB 1C 1D 1 , O 是底ABCD 对角线的交点求证：（1） C 1O //面 AB 1D 1 ；(2 ) AC 面 AB 1D 1 .证明：（1）连结 A 1C 1，设 AC 1 I B 1D 1 O 1 连结 AO 1 ,• BC L DE 又 EC BC C ,• DEL 平面EBC •••平面 DEB 过DE 二平面 DE L 平面EBCx 3— 2——f (x ).C 1CQ ABCD A B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形A1C1 PAC 且AG AC又O1,O分别是AG,AC的中点，OQ PAO且O1C1 AOAOC1O1是平行四边形C1O PAO1, AO1面AB1D1, C1O 面AB1D1GO P面AB1D1CC1 B1 D!Q CC1面AB1GD1又Q AG B1D1 , B1D1面AC1C即AC B1D1同理可证AC AB1,又D1B1 I AB1 B1AC 面AB1D122. (12分)已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1) = 1, g(1) = 1, ⑴求f (x)，g(x);(2)判断函数h(x) = f (x) + g(x)的奇偶性；1⑶证明函数S(x) = xf (x) + gq在(0，+m)上是增函数.k2解：(1)设f (x) = k1X(k工0), g(x) = 一(k2工0).x1T f (1) = 1, g(1) = 1,- k1= 1, k2= 1. ••• f (x) = x, g(x) = x・z\.1⑵由(1)得h(x)= x + x，则函数h(x)的定义域是z\.(— a, 0) U (0 ,+s),1 1h( —x) = —x+ —- = —(x + 一)=—h(x)，•函数h(x) = f (x) + g(x)是奇函数.x x⑶证明：由(1)得S(x) = x2+ 2. 设X1, X2€ (0 ,+a)，且X1<X2,2 2 2 2则S( X1) —S( X2) =(X1 + 2) —(X2 + 2) = X1 —X2 =(X1 —X2)( X1 + X2).■/ X1, X2 € (0 ,+a)，且X1<X2,「. X1—X2<0, X1 + X2>0. • S(X1) —S( X2)<0. •• S( X1)< S( X2).1•函数S(x) = xf (x) + g(p在(0，+a)上是增函数.。

模块综合能力检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(09·全国Ⅰ文)已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( ) A.711 B ．－711 C.713 D ．－713 [答案] B[解析] ∵tan β＝3，tan α＝4，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4＋31－4×3＝－711.2．(09 广东文)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] 因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π，所以选A . 3．(09·山东文)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1－sin (2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x[答案] A4．(09·浙江文)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 设c ＝(m ，n )，∵c ＋a ＝(m ＋1，n ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴由(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )得：⎩⎪⎨⎪⎧－3(m ＋1)－2(n ＋2)＝03m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.故选D.5．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的大致图象是( )[答案] C[解析] ∵y ＝cos x ·|tan x |＝⎩⎨⎧－sin x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x <π2，故选C.6．在△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值为( )A ．－5665B ．－1665C.1665D.5665 [答案] C[解析] ∵cos B ＝513，∴sin B ＝1213，∵sin B >sin A ，A 、B 为△ABC 的内角， ∴B >A ，∴A 为锐角， ∵sin A ＝35，cos A ＝45，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×513＋35×1213＝1665.7．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 成锐角，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ>－5 B ．λ>－5且λ≠－53C ．λ<－5D ．λ<1且λ≠－53[答案] B[解析] ∵a 与b 夹角为锐角，∴a ·b ＝2＋λ＋3>0，∴λ>－5， 当a 与b 同向时，存在正数k ，使b ＝k a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋λ＝k 1＝3k ，∴⎩⎨⎧k ＝13λ＝－53，因此λ>－5且λ≠－53.8．(09·陕西理)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2 [答案] A[解析] ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴原式＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11－23＝103，故选A.9．若sin 4θ＋cos 4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 [答案] D[解析] 解法一：由sin 4θ＋cos 4θ＝1知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝0cos θ＝±1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝±1cos θ＝0， ∴sin θ＋cos θ＝±1.解法二：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1， ∴sin 2θcos 2θ＝0，∴sin θcos θ＝0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1， ∴sin θ＋cos θ＝±1.10．a 与b 的夹角为120°，|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．13 [答案] D[解析] a ·b ＝2×5×cos120°＝－5， ∴(2a －b )·a ＝2|a |2－a ·b ＝8－(－5)＝13.11．设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为( )A ．－94B ．－49C ．－38D ．不存在 [答案] A[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－k e 1－e 2)＋(3e 1－2k e 2) ＝(3－k )e 1－(1＋2k )e 2， ∵A 、B 、D 共线，∴AB →∥BD →， ∴3－k 3＝－1－2k 2，∴k ＝－94. 12．(09·宁夏、海南理)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心) [答案] C[解析] ∵O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|， ∴O 是△ABC 外接圆的圆心，由NA →＋NB →＋NC →＝0，得N 是△ABC 的重心； 由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →得 PB →·(P A →－PC →)＝PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ，同理可证PC ⊥AB ，P A ⊥BC ， ∴P 为△ABC 的垂心．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________． [答案] 1－ 2[解析] y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∵x ∈R ，∴y min ＝1－ 2.14．在▱ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，用c 、d 表示AB →＝________. [答案] 43d －23c[解析] d ＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →① c ＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →②解①②组成的方程组得AD →＝43c －23d ，AB →＝43d －23c .15．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第二象限，则角α的取值范围是________． [答案] 2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4k ∈Z[解析] ∵点P 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α>0tan α<0，如图可知，α的取值范围是2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4k ∈Z .16．如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.[答案] c ＋a －b[解析] OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BA →＝OC →＋(OA →－OB →)＝c ＋a －b .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(09·湖南文)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.18．(本题满分12分)(09·重庆文)设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．[解析] (1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2 ＝2sin(2ωx ＋π4)＋2，依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋2， 依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －5π4＋2， 由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2 (k ∈Z )解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )， 故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤23k π＋π4，23k π＋7π12 (k ∈Z )． 19．(本题满分12分)(09·陕西文)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值． [解析] (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2， 由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， ∴4π3＋φ＝2k π－π2即φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴k ＝1，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， ∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20．(本题满分12分)(北京通州市09～10高一期末)已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ，(1)若f (x )的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈－π6，π6时，f (x )的最大值为2，求k 的值．[解析] ∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx )．∴f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12＋k . (1)由题意可得：T 2＝2π2×2ω≥π2.∴ω≤1，又ω>0， ∴ω的取值范围是0<ω≤1. (2)∵T ＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12＋k ∵－π6≤x ≤π6，∴－π2≤2x －π6≤π6.∴当2x －π6＝π6，即x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝2. ∴sin π6＋12＋k ＝2.∴k ＝1.21．(本题满分12分)(09·江苏文)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β) (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)∵a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， c ＝(cos β，－4sin β)∵a 与b －2c 垂直，∴a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝4cos αsin β＋4sin αcos β－2(4cos αcos β－4sin αsin β) ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，∴tan(α＋β)＝2. (2)∵b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)∴|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β， 当sin2β＝－1时，最大值为32， ∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β 即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .22．(本题满分14分)(09·福建文)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．[解析] 解法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0. 又|φ|<π2，∴φ＝π4；(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后，所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3(x ＋m )＋π4， g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12.解法二：(1)同解法一． (2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

第一章综合能力检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下面进位制之间转化错误的是( ) A ．101(2)＝5(10) B ．27(8)＝212(3) C ．119(10)＝315(6)D ．31(4)＝62(2)[答案] D[解析] 101(2)＝1×22＋0×2＋1＝5，故A 对；27(8)＝2×8＋7＝23,212(3)＝2×32＋1×3＋2＝23，故B 对；315(6)＝3×62＋1×6＋5＝119，故C 对；31(4)＝3×4＋1＝13,62(2)＝6×2＋2＝14.故D 错．2．下面赋值语句中错误的是( ) A ．x ＝2 B ．a ＋b ＝1 C ．a ＝a ＋bD ．s ＝s －2[答案] B3．利用秦九韶算法公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a nv k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1，2，3，…，n )，计算多项式f (x )＝3x 4－x 2＋2x ＋1，当x ＝2时的函数值，则v 3＝( )A ．11B ．24C ．49D ．14 [答案] B[解析] v 0＝a 4＝3，v 1＝v 0x ＋a 3＝6，v 2＝v 1x ＋a 2＝11，v 3＝v 2x ＋a 1＝24. 4．求使1＋2＋3＋…＋n >100的最小整数n 的值，下面算法语句正确的为( )[答案] B[解析] A中，由于n＝n＋1语句在S＝S＋n前面，故S加上的第一个数为2，不是1，故A错；C中不满足S≤100，跳出循环时，n的值只比符合要求的值大1，但语句n＝n－2却减了2，故C中输出的n值是使1＋2＋…＋n≤100成立的最大n值，故C错；D中条件S>100，由WHILE语句规则知条件不满足时，即跳出循环，故此程序中循环体一次也不执行，因此输出的n值为1，故D错，∴选B.5．下列程序框图表示的算法运行后，输出的结果是( )A．25 B．50 C．125 D．250[答案] C[解析] 由程序框图中的赋值语句S＝S×5知，后一个S是前一个S的5倍，每循环一次S的值扩大为原来的5倍，由a初值为1，步长为1，到a>3结束循环，故循环了3次，∴S＝1×53＝125.6．如图是一个算法的程序框图，若循环体只执行了一次，且输出的结果是1e，则其输入的x 值为( )A.1eB.1e2C ．eD ．e 2[答案] A[分析] 知道输出的结果，求输入的x 值，需要利用逆向思维才能准确解答，要充分利用条件x ≤0.[解析] ∵循环体只执行了一次，∴输入的x >0，且执行赋值语句x ＝ln x 后，应有x ≤0， ∵输出结果为1e ，∴e x＝1e，∴x ＝－1，∴ln x ＝－1，∴x ＝1e .故输出的x 值为1e.我们也可以利用代入检验法排除B ，C ，D 选项，从而得到A.[点评] ∵只循环了一次，且条件为x ≤0，∴x >0且ln x ≤0，因此排除C 、D ，再结合输出结果为1e 知x ＝1e.7．用更相减损术求30和18的最大公约数时，第三次作的减法为( ) A ．18－12＝6 B ．12－6＝6 C ．6－6＝0D ．30－18＝12[答案] B8．下面程序运行时，从键盘输入4，则输出结果为( )A ．4B ．8C ．15D ．2[答案] C[解析] 此程序语句表达的是分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x <3x 2－1 x >32 x ＝3，从键盘输入x 的值x 0求函数值f (x 0)，∴f (4)＝42－1＝15.9．如图所示程序框图所表示的算法的功能是( )A ．计算1＋12＋13＋…＋149的值B ．计算1＋13＋15＋…＋149的值C ．计算1＋13＋15＋…＋199的值D ．计算1＋12＋13＋…＋199的值[答案] C[解析] n 初值为1，由n ＝n ＋2知求的是奇数的倒数的和，由i >50时循环结束知，共加了50项，故最后一项为12×50－1＝199.10．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表： 十六进制 0123456789A B C D E F十进制12345678910 11 12 13 14 15A ．6EB ．72C ．5FD ．B 0[答案] A[解析] 在十进制中，A ×B ＝10×11＝110. ∵110＝16×6＋14，∴在十六进制中A ×B ＝6E .故选A. 11．下列程序运行结束时，i 的值为( ) A ．10 B ．11 C ．12D ．13[答案] D12．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i <4B ．i <5C ．i ≥5D ．i <6[答案] D[解析] 该算法是求11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)的值，因输出结果为56，则56＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6，故填i <6. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．读程序回答问题． INPUT ni ＝1sum ＝0 WHILE i <＝n sum ＝sum ＋i /(i ＋1) i ＝i ＋1 WEND PRINT sum END(1)若输入n ＝3，输出的结果为________． (2)此程序对应的计算式子是________________． [答案] (1)2312 (2)12＋23＋34＋…＋nn ＋114．下面程序框图运行后，(1)若*处表达式为S＝2S＋1，则输出结果为________．(2)若输出结果为8，则处理框*处可填________．[答案] (1)15 (2)S＝2S[解析] (1)∵S＝2S＋1，∴A＝0循环后S＝3；A＝1循环后S＝7；A＝2循环后S＝15，A＝3不满足A<3跳出循环，输出S的值15.(2)A从0变到2循环三次，设表达式为f(S)，则有f(f(f(1)))＝8，∵23＝8，∴可以填S＝2S.(答案不惟一)15．下面的程序框图运行时，循环体执行的次数是______次．[答案] 499[解析] i初值为2，步长为2，依次取值2,4,6,8，…，1000.当i＝1000时跳出循环，故循环了499次．16．(2010·湖南理，12)如下图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的程序框图，则正整数n ＝________.[答案] 100[解析] 因为第一次判断执行后，s ＝12，i ＝2，第二次判断执行后，s ＝12＋22，i ＝3，而题目要求计算12＋22＋32＋…＋1002，故n ＝100.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)某居民小区的物业部门每月向居民收取一定的物业费，收费办法为：住房面积不超过100m 2的每月20元，超过部分每30m 2每月加收10元(不足30m 2以30m 2计算)．若该小区住房面积最大为150m 2，试设计一个程序，求出每户居民应收取的物业费．[解析] 设一户居民的住房面积为a m 2，应收物业费为b 元，则 b ＝⎩⎪⎨⎪⎧20 a ≤10030 100<a ≤13040 130<a ≤150，根据这个函数用条件语句写出程序如下：INPUT aIF a <＝100 THENb ＝20ELSEIF a <＝130 THEN b ＝30 ELSEb ＝40END IF END IFPRINT “b ＝”；b END18．(本题满分12分)画出求下面n 个数的和的程序框图．(n ∈N *)．1 2，23，224，235，…，2n－1n＋1.[解析]19．(本题满分12分)根据下列程序框图写出算法语句：[解析] INPUT “n＝”；ni＝1，S＝0WHILE i<＝n20．(本题满分12分)把区间[0,1]10等分，求函数y＝2x＋1＋|x－2|在各分点的函数值，写出算法语句．[解析] 把区间[0,10]10等分，故步长为0.1，∴用x ＝x ＋0.1表达，y ＝2x ＋1＋|x －2|，用y ＝SQR21．(本题满分12分)画程序框图，求使1＋2＋22＋ (2)<1000成立的最大整数n . [解析][点评] T ＝1＋21＋22＋…＋2i，用T <1000作为判断条件，当条件不成立时，T 对应的i 值已比要求的n 值大1，由于i ＝i ＋1在语句T ＝T ＋2i后，故这时i 的值比要求的n 值大了2，故用n ＝i －2得到符合要求的n 的值后输出．22．(本题满分14分)百钱买百鸡问题：用100元钱买100只鸡，公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡3只1元，问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？[分析] 设买了x 只公鸡，y 只母鸡，则小鸡只数为z ＝100－x －y,100元钱最多买公鸡20只，∴0<x ≤20，最多买母鸡33只，∴0<y ≤33，让x 、y 循环，检验5x ＋3y ＋z3＝100的条件是否满足，如果满足，则输出x ，y ，z .。

2.2.2.3一、选择题1.已知a>0且a≠1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x和y＝log a(－x)的图象可能是( )[答案] D[解析] 若0<a<1，则y＝a－x单调增，只能是A、C，此时，log a(－x)单调增，排除C，x＝1时，log a(－x)无意义，排除A；∴a>1，此时y＝log a(－x)单调减，排除B，故选D.2.若0<a<1，函数y＝log a(x＋5)的图象不通过( )A.第一象限B．第二象限C.第三象限D．第四象限[答案] A[解析] 将y＝log a x的图象向左平移5个单位，得到y＝log a(x＋5)的图象，故不过第一象限，选A.3.设0<x <y <1，则下列结论中错误．．的是( ) ①2x <2y ②⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23y③log x 2<log y 2 ④log 12x >log 12yA ．①②B ．②③C ．①③D ．②④[答案] B[解析] ∵y ＝2u 为增函数，x <y ，∴2x <2y ，∴①正确； ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23u 为减函数，x <y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x >⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23y ，∴②错误；∵y ＝log 2x 为增函数，0<x <y <1，∴log 2x <log 2y <0，∴log x 2>log y 2，∴③错误；∵y ＝log 12u 为减函数0<x <y ，∴log 12x >log 12y ，∴④正确．4．如下图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值分别为3、43、35、110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次是( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35[答案] A[解析] 根据对数函数图象的变化规律即可求得． 5．函数y ＝log 12|x ＋2|的增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由y ＝log 12|x ＋2|∵t ＝－(x ＋2)在x ∈(－∞，－2)上是减函数，y ＝log 12t 为减函数，∴此函数在(－∞，－2)上是增函数．6．设a >0且a ≠1，函数y ＝log a x 的反函数与y ＝log a 1x的反函数的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．原点对称[答案] B7．(08·陕西)设函数f (x )＝2x ＋3的反函数为f －1(x )，若mn ＝16(m 、n ∈R ＋)，则f －1(m )＋f －1(n )的值为( )A ．－2B ．1C．4 D．10[答案] A[解析] 解法一：由y＝2x＋3得x＝－3＋log2y，∴反函数f－1(x)＝－3＋log2x，∵mn＝16，∴f－1(m)＋f－1(n)＝－6＋log2m＋log2n＝－6＋log2(mn)＝－6＋log216＝－2.解法二：设f－1(m)＝a，f－1(n)＝b，则f(a)＝m，f(b)＝n，∴mn＝f(a)·f(b)＝2a＋3·2b＋3＝2a＋b＋6＝16，∴a＋b＋6＝4，∴a＋b＝－2.8．若函数f(x)＝log a|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，则f(x)( )A．在(－∞，0)上是增函数B．在(－∞，0)上是减函数C．在(－∞，－1)上是增函数D．在(－∞，－1)上是减函数[答案] C[解析] 当－1<x<0时，0<x＋1<1，又log a|x＋1|>0，∴0<a<1因此函数f(x)＝log a|x＋1|在(－∞，－1)上递增；在(－1，＋∞)上递减．9．已知函数f(x)＝log a(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数y＝f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是( )A．增函数B．减函数C ．先增后减D ．先减后增[答案] A[解析] 由于y ＝f －1(x )过点(1,7)，因此y ＝f (x )过点(7,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧log a (4－k )＝0log a (7－k )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3a ＝4，∴f (x )＝log 4(x －3)是增函数．10．已知函数f (x )＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是( )A ．－8≤a ≤－6B ．－8<a <－6C ．－8<a ≤－6D ．a ≤－6[答案] C[解析]⎩⎪⎨⎪⎧3－a ×(－1)＋5>0a6≤－1⇒－8<a ≤－6，故选C.[点评] 不要只考虑对称轴，而忽视了定义域的限制作用． 二、填空题11．y ＝log a x 的图象与y ＝log b x 的图象关于x 轴对称，则a 与b 满足的关系式为________．[答案] ab ＝112．方程2x ＋x ＝2，log 2x ＋x ＝2,2x ＝log 2(－x )的根分别为a 、b 、c ，则a 、b、c的大小关系为________．[答案] b>a>c[解析] 在同一坐标系内画出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x，y＝log2(－x)的图象．∴b>a>c.13．方程a－x＝log a x(a>0且a≠1)的解的个数为____．[答案] 1[解析] 当a>1时，在同一坐标系中作出y＝log a x和y＝a－x的图象如图，则两个图象只有一个交点．同理，当0<a<1时，可观察出两个图象也只有一个交点．14．已知c1：y＝log a x，c2：y＝log b x，c3：y＝log c x的图象如图(1)所示．则在图(2)中函数y＝a x、y＝b x、y＝c x的图象依次为图中的曲线__________．[答案] m1，m2，m3[解析] 由图(1)知c>1>a>b>0故在图(2)中m 3：y ＝c x ，m 2：y ＝b x ，m 1：y ＝a x . 15．函数y ＝a x ＋1(0<a ≠1)的反函数图象恒过点______． [答案] (1，－1)[解析] 由于y ＝a x ＋1的图象过(－1,1)点，因此反函数图象必过点(1，－1)． 三、解答题16．已知函数f (x )＝log 1a (2－x )在其定义域内单调递增，求函数g (x )＝log a (1－x 2)的单调递减区间．[解析] 由于f (x )＝log 1a(2－x )在定义域内递增，所以0<1a<1，即a >1，因此g (x )＝log a (1－x 2)的递减区间为[0,1)．17．我们知道，y ＝a x (a >0且a ≠1)与y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．只要把其中一个进行指对互化．就可以得到它的反函数的解析式．任意一个函数y ＝f (x )，将x 用y 表示出来能否得到它的反函数？据函数的定义：对于自变量x 的每一个值y 都有唯一确定的值与之对应．如果存在反函数，应是对于y 的每一个值，x 都有唯一确定的值与之对应，据此探究下列函数是否存在反函数？若是，反函数是什么？若否，为什么？(1)y ＝2x ＋1; (2)y ＝x ；(3)y ＝x 2;(4)y ＝2x －1x ＋1.[解析] (1)∵y ＝2x ＋1是单调增函数，由y ＝2x ＋1解得x ＝12(y －1)这时对任意y ∈R ，都有唯一确定的x 与之对应，也就是x 是y 的函数，按习惯用x 表示自变量，y 表示函数，则y ＝2x ＋1的反函数为y＝12(x－1)．(2)同(1)的道理，∵y＝x单调增，也存在反函数，由y＝x解出x＝y2，∴y＝x的反函数为y＝x2，因为这里的x就是y＝x中的y且y≥0，∴x≥0，即反函数为y＝x2(x≥0)．(3)∵x＝±1时，都有y＝1，反过来对于y＝1，x有两个值与之对应，故y ＝x2不存在反函数．(4)由y＝2x－1x＋1解得x＝y＋12－y，对y的每一个值，x都有唯一值与之对应，故存在反函数，反函数为y＝x＋12－x(x≠2)．。

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

1［答案］C［解析］••• a + 2b= (—5,6), c= (3,2),(a + 2b) c = —5x 3 + 6 x 2 = —3.［答案］D2［解析］由条件知，ab=入一1<0, ••• X1 ,当a与b反向时，假设存在负数k,使b= k a,=k k=—1… ，….11 = —k | ^=—1•• ?<1 且—1.3 ［答案］A［解析］由AB CD = —AB||CD可知AB与CD的夹角为180° • AB// CD. 又由BC AD = AD||BC|知B C与AD的夹角为0°• BC // AD, •四边形ABCD是平行四边形.4 ［答案］B［解析］由a i+ |b|= |a+ b知,a与b同向，故夹角为0°• a b= |a| |b|cos0 = |a| |b|.5 ［答案］A［解析］AD + BE + CF = AB + BD + BC + CE + BF —BC = AB + 3T 1 T T 2 T T 1 T 2 T 1 T 1 T ,AC —§AB —BC = $AB —AC)+ 3BC = §CB + 3BC = —3BC，故选A.6 ［答案］D［解析］设AB = a, AD = b,贝U a + b= AC= (—4,2), b—a= BD = (2, —6), • b= (—1, —2), a = (—3,4),• 2AB+ AD = 2a + b= (—7,6),••• |2AB) + AD|= ' (- 7)2+ 62= 85. 7 ［答案］C -> -> -> 1 -> -> 1 -> -> ［解析］T EF = OF — OE = 2(0C + OD) — 2(0A + OB) 1 1 =2(c + d ) — 2( a + b ), •-辞=i ( c + d — a — b ). 8 ［答案］D ,_ , ~~1 -> 1 -> ［解析］如图，•/ EF = EB + BF = 2AB + qAD =但 0 \ L b L i 自 H =\2，0 广 E ，2.厂 \2，2)-- -- -- -- 1 -- 又•/ DE = DA + AE =— AD + ?AB =(0, — b) + |, 2 ~ I ~- a T EF 丄 DE , •— 4 9 ［答案］A ［解析］设 P(x o,O)，且 AP = (x o — 2, — 2),• • Ap BP = (x o — 2)(x °- 4) + 2=X o — 6x o + 10= (x o — 3) + 1,• X o = 3时，Ap Bp 取最小值.1o ［答案］C2 2［解析］ 由(a — c )(b — c ) = o 得 a b — (a + b ) c + c = o ,即卩 c = (a + b )c ,BP =(x —故|C ||C |W |a + b | •，即 |C |W a + b |= 2,故选 C.11 ［答案］B［解析］••• a = (2,0),2,2 2 2 a + 2b | = a | + 4|b | + 4a b=4 + 4+ 4X 2 X 1 X cos60 °= 12,• |a + 2b |= 2 3, •••选 B.12.［答案］A［解析］■/ BD = BC + CD = — 4e 1 + 6e 2=-2(2e 1 — 3e 2)= — 2AB , • AB // BD ,••• ABWBD 有公共点 B,「. A 、B 、D 三点共线.［解析］•/ a i = 13，•与a 共线的单位向量为±i =±-153,怎14 ［答案］5 -> 1 -> ->［解析］由已知得AD = ^(AB + AC), —————1————BC = AC — AB , • AD BC = §(AB AC) (AC — AB)1 —2 — 2 1 5=2(|AC| — |AB| )= 2(9 — 4) = 2.15 ［答案］—63a +b = 2e 1— 8 e 2［解析］解方程组得,a —b =— 8&+ 16e 2a =— 3 e 1+ 4 e 2b = 5e 1 — 12e 2• a b = (— 3e + 4e 2) (5e 1 — 12e 2)2 2 =—15|e 11 + 56e 1 e 2 — 48|e 2| = — 63.16 ［解析］AB = O )B — O )A = (1 — k,2k — 2),13［答案］ —表,J!和告-背学习必备 欢迎下载•••A 、B 、C 三点共线，••• AB // AC , /. (1 — k) (- — 3) — (2 k — 2)(1 — 2k) = 0, /• k = 1 或一4.1 ••• A 、B 、C 是不同三点，•心1, • — 117 ［解析］•/a 与a + 2b 方向相同，且a 丰0,1•••存在正数 入使a + 2b =扫，• b =只入—1)a .• a b = a • * 入一1)a 1= *「1)|a |2=入一 1>— 1.即a b 的取值范围是(一1,+s ).18 ［解析］(1)k a + b = k x (1,2) + (— 3,2)=(k — 3,2k + 2), a — 3b = (1,2) — 3x (— 3,2)= (10,— 4).当(k a + b ) (a — 3b ) = 0时，这两个向量垂直.由 10(k — 3) + (2k + 2)( — 4) = 0,解得k = 19.即当k = 19时，k a + b 与a — 3b 垂直.⑵当k a + b 与a — 3b 平行时，存在唯一的实数 入使k a + b = ?(a — 3b ).由(k — 3,2k + 2)= X 10,— 4)得，1 一即当k =— 3■时，两向量平行. 1•—尹+ b 与a — 3b 反向.AC = OC -OA = (1 — 2k , —3), k — 3 = 10 X,2k + 2=— 4 人 解得 1 3’1 X =— 319 ［解析］(1)b = (a + b ) - a = i + j,设a 与b 夹角为B,根据两向量夹角公式: a b 3 —4 72 COS 0=' = ------ = —. |a ||b | 如 10 ⑵设存在不为零的常数 a, B 使得《a +旳=0, ［3 a+ 3= 0 ［ a=0 那么 ？| — 4 a+ 3= 0 3= 0所以不存在非零常数 a 3,使得 a +旳=0成立.故a 和b 线性无关. 20.［证明］以A 为原点，AB 、AD 分别为x 轴、y 轴建设正方形边长为1，则AB = (1,0), AD = (0,1). 由已知，可设 AP = (a , a),并可得 EB = (1 — a,0), BF = (0, a), DP = AP — AD = (a , a — 1),立直角坐标系, a), EF = (1— a ,T DP EF = (1 — a , a) (a , a — 1)=(1 — a)a + a(a — 1)= 0.••• DP 丄 EF ，因此 DP 丄 EF.21.［解析］(1)P 与 A 重合时，m x (— 2) + 3 + 2= 0, • m = 54 P 与 B 重合时，3m + 2+ 2= 0, • m = — 3. ⑵P 与A 、B 不重合时，设AP = ?PB ，贝U 40. 设 P(x , y)，则 AP = (x + 2, y — 3), PB = (3 — x,2— y). 3 X — 2 x + 2= ?{3 — x) i y — 3 = X 2 — y) x = X+12m—5把x, y代入mx+ y+ 2= 0可解得k=—,3m+ 42m —5 d 5又:>, ------------------- 0. ••• m<—忘或m>~.3m + 4 3 34 _5 、由(1)(2)知，所求实数m的取值范围是一g,— 3U 2，+ m:2 2 2 222.［解析］(1)|a+1b| = a + 2t a b+ t b3 2 2 = |b|t + 2|a|b Icos B t +|a| .•当t=—创器时，a+1b|有最小值., |a|cos 仁⑵当t=—节时，b (a+ t b) = a b+ t|b|2=|a| | b|cos 0—JaJ cO S^ |b|2= 0.• b± (a+1 b)，即b与a+1 b的夹角为90°。