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1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 410 答案 D2．(2012·天津)在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40 答案 D3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 B解析 x 3＝[2＋(x －2)]3，由二项式定理的通项公式知：T 2＋1＝C 23·2·(x －2)2＝a 2(x －2)2，得a 2＝C 23·2＝6. 4．(2x ＋5y )n 展开式中第k 项的二项式系数为( )A ．C k nB ．C k n 2n －k 5k C ．C k －1nD ．C k －1n 2n ＋1－k 5k －1 答案 C解析 本题考查二项式系数的概念，第k 项二项式系数为C k －1n .5．(2010·辽宁)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________． 答案 －5解析 (1＋x ＋x 2)(x －1x )6＝(1＋x ＋x 2)[C 06x 6·(－1x )0＋C 16x 5(－1x )1＋C 26x 4(－1x )2＋C 36x 3(－1x )3＋C 46x 2(－1x )4＋C 56x (－1x )5＋C 66x 0(－1x )6]＝(1＋x ＋x 2)(x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6)． 所以常数项为1×(－20)＋x 2·15x 2＝－5.6．对于二项式(x 3＋1x )n (n ∈N *)，四位同学作出了四种判断：①存在n ∈N *，使展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项； ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项． 上述判断中正确的是________．答案 ①④7．(2011·山东理)若(x －a x 2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．答案 4解析 二项式(x －a x 2)6展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.。
课时作业(二十三)一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )A ．三角形中有两个内角是直角B ．三角形中有三个内角是直角C ．三角形中至少有两个内角是直角D ．三角形中没有一个内角是直角答案 C2．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12D ．1答案 B3．a ＋b >c ＋d 的一个必要不充分条件是( )A ．a >cB ．b >cC ．a >c 且b >dD ．a >c 或b >d 答案 D4．实数a 、b 、c 不全为0等价于( )A ．a 、b 、c 均不为0B ．a 、b 、c 中至多有一个为0C ．a 、b 、c 中至少有一个为0D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0答案 D5．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C6．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为( )A ．自然数a ，b ，c 都是奇数B ．自然数a ，b ，c 都是偶数C ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数答案 D解析 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．7．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”，反证假设正确的是( )A ．假设三内角都大于60°B ．假设三内角都不大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°答案 B8．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C二、填空题9．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．答案x≠0或y≠010．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________．答案①11．用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．答案a≤b12．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为________．答案x＝a或x＝b解析否定结论时，一定要全面否定，x≠a且x≠b的否定为x ＝a或x＝b.13．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．答案a≤－2或a≥－1解析若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0.∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1.14．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________．答案 ③①②三、解答题15．求证：1、3、2不能为同一等差数列的三项．证明 假设1，3，2是数列{a n }(n ∈N ＋)中某三项，不妨设为a n ＝1，a m ＝3，a p ＝2，(n ，m ，p 互不相等)由等差数列定义可有a m －a n m －n ＝a p －a n p －n， 即3－1m －n ＝1p －n ，则3－1＝m －n p －n. 由于m ，n ，p 是互不相等的正整数， ∴m －n p －n必为有理数，而3－1是无理数，二者不会相等． ∴假设不成立，结论正确．16．实数a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．证明 假设a ，b ，c ，d 中没有负数，即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0，∵1＝(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(bc ＋ad )>1＋(bc ＋ad )，即bc ＋ad <0.这与假设a ，b ，c ，d 中没有负数矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．17．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论． 解析 (1)∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .由已知f (x )的单调性，得f (a )≥f (－b )．又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ，得f (b )≥f (－a )．两式相加，得f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (b )⇒a ＋b ≥0.下面用反证法证明：假设a ＋b <0，那么}a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a )⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 这与已知矛盾，故只有a ＋b ≥0逆命题得证．►重点班·选做题18．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于32.证明 假设a ，b ，c 都小于或等于32，即a ≤32，b ≤32，c ≤32.∵abc ＝1，∴a 、b 、c 三数同为正或一正两负． 又a ＋b ＋c ＝0，∴a 、b 、c 只能是一正两负． 不妨设a >0，b <0，c <0，则b ＋c ＝－a ，bc ＝1a .∴b 、c 为方程x 2＋ax ＋1a ＝0有两根．∴Δ＝a 2－4a ≥0，即a 3≥4.∴a ≥34>3278＝32，这与a ≤32矛盾．∴a 、b 、c 中至少有一个大于32.。
课时作业(十二)一、选择题1．一周长为l 的扇形，当面积达到最大值时，扇形的半径的( ) A.l 3 B.l 6 C.l 4 D.l 8答案 C解析 设半径为r ，则弧长为l －2r . S 扇＝12·弧长·半径＝12(l －2r )·r ＝－r 2＋l 2r . 令S ′扇＝－2r ＋l 2＝0，得r ＝l 4.2．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．50 答案 C3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使体积最大，则其高为( )A.2033 cm B ．100 cm C ．20 cm D.203 cm 答案 A4．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为( )A ．30海里/时B ．25海里/时C ．20海里/时D ．10海里/时答案 C 二、填空题5．如图，两个工厂A 、B 相距0.6 km ，变电站C 距A 、B 都是0.5 km ，计划铺设动力线，先由C 沿AB 的垂线至D ，再与A 、B 相连，D 点选在距AB ________km 处时，动力线最短．答案 310解析 设CD ⊥AB ，垂足为E ，DE 的长为x km. 由AB ＝0.6，AC ＝BC ＝0.5，得AE ＝EB ＝0.3. ∴CE ＝AC 2－AE 2＝0.52－0.32＝0.4. ∴CD ＝0.4－x .∴AD ＝BD ＝AE 2＋DE 2＝0.32＋x 2＝0.09＋x 2. ∴动力线总长l ＝AD ＋BD ＋CD ＝20.09＋x 2＋0.4－x .令l ′＝2·2x20.09＋x 2－1＝2x －0.09＋x 20.09＋x 2＝0，即2x －0.09＋x 2＝0.解得x ＝310.(∵x ＞0) 当x ＜310时，l ′＜0；当x ＞310时，l ′＞0. ∴l 在x ＝310时有最小值．6．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为______．答案233R解析 作轴截面如右图，设圆柱高为2h ，则底面半径为R 2－h 2. 圆柱体体积为V ＝π(R 2－h 2)·2h ＝2πR 2h －2πh 3. 令V ′＝0，得2πR 2－6πh 2＝0.∴h ＝33R ，即当2h ＝233R 时，圆柱体的体积最大． 三、解答题7．当圆柱形金属罐的表面积为定值S 时，应怎样制作，才能使其容积最大？解析 设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S ＝2πRh ＋2πR 2，∴h ＝S －2πR22πR .①∴V ＝πR 2h ＝12R (S －2πR 2)＝12RS －πR 3.∴V ′(R )＝12S －3πR 2.令V ′(R )＝0，得S ＝6πR 2，代入①式中 h ＝6πR 2－2πR 22πR＝2R . ∴h ＝2R 时，圆柱的容积最大．8．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元， 则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x (x ≥10，x ∈N *)， f ′(x )＝48－10 800x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0； 当10<x <15时，f ′(x )<0. 因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000(元)．答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．9．甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解析 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv ，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋b v 2·s v ＝s (a v ＋b v )，∴所求函数及其定义域为y ＝s (av ＋b v )，v ∈(0，c ]． (2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数． 由y ′＝s (b －av 2)＝0，得v ＝ab .但v ∈(0，c ]．①若ab ≤c ，则当v ＝ab 时，全程运输成本y 最小；②若ab >c ，则v ∈(0，c ]，此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数．所以当v ＝c 时，y 最小．综上可知，为使全程运输成本y 最小． 当ab ≤c 时，行驶速度v ＝a b ；当ab >c 时，行驶速度v ＝c .10．(2010·湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解析 设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．。
课时作业(二十四)一、选择题1．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *且n >1)第一步验证n ＝2时，左边计算所得项为( )A ．1B ．1＋12C.13 D ．1＋12＋13答案 D解析 当n ＝2时，左边最后一项为122－1＝13.2．设f (n )＝12＋13＋14＋…＋12n －1，则f (k ＋1)－f (k )等于() A.12k ＋1－1B.12k ＋12k ＋1＋12k ＋1－1C.12k ＋12k ＋1－1D.12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1－1答案 D解析 n ＝k 时，f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1.n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1.∴f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1. 3．如果命题P (n )对n ＝k 成立，那么它对n ＝k ＋2也成立，若P (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．P (n )对所有正整数n 都成立B ．P (n )对所有正偶数n 都成立C ．P (n )对所有正奇数n 都成立D ．P (n )对所有自然数n 都成立答案 B4．用数学归纳法证明恒等式1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，两边应同时加上( )A.12k ＋1B ．－12k ＋1 C.12(k ＋1)D.12k ＋1－12k ＋2答案 D5．若凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2 答案 C二、填空题6．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则S (n )有________项，S (2)＝________.答案 n 2－n ＋1；1312解析 应用等差数列通项公式的变形公式：d ＝a n －a m n －m即得项数； S (2)＝12＋13＋14＝1312.7．用数学归纳法证明3n >n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________． 答案 n ＝3时是否成立解析 n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．8．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．答案 122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3解析 观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 三、解答题9．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2. 当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)(1－1k ＋3) ＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3. 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．10．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋52－…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．解析 (1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)．当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－2k 2－5k －3＝－(k ＋1)(2k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]．即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，等式成立．11．已知x >－1，且x ≠0，n ∈N *，且n ≥2.求证：(1＋x )n >1＋nx .证明 (1)当n ＝2时，左边＝(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x . ∵x 2>0，∴原不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即(1＋x )k >1＋kx . 当n ＝k ＋1时，∵x >－1，∴1＋x >0.于是左边＝(1＋x )k ＋1＝(1＋x )k (1＋x )>(1＋kx )(1＋x )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2，右边＝1＋(k ＋1)x .∵kx 2>0，∴左边>右边，即(1＋x )k ＋1>1＋(k ＋1)x .这就是说，当n ＝k ＋1时原不等式也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数都成立．12．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)．求证：S 2n >1＋n 2(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立．(2)设n ＝k 时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2，当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1 >1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对n ∈N *，n ≥2，S 2n >1＋n 2等式都成立． ►重点班·选做题13．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．分析 这是一个探索性问题，先用归纳法探求a 的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n ，不等式都成立．解析 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24，即2624>a 24， ∴a <26，又a ∈N ，∴取a ＝25，下面用数学归纳法证明： 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)当n ＝1时，已证．(2)假设当n ＝k 时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524成立． 当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋ 13(k ＋1)＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1 >2524＋13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1). ∵13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＝23(k ＋1)(3k ＋2)(3k ＋4)>0， ∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立． 由(1)、(2)可知，对一切正整数n ，都有不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524成立． ∴a 的最大值25.。
课时作业(十五)一、选择题1.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28C .563D ．14答案 C解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563.故选C .2．若⎠⎛01(2x ＋k)d x ＝2，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B3．下列定积分值是0的是( ) A .⎠⎛－22x sin x d xB .⎠⎛－22x 2cos x d xC .⎠⎛－22(x 2＋x 4)d xD .⎠⎛－222(x 3＋5x 5)d x答案 D解析 利用当f(x)是奇函数时，⎠⎛－a a f(x)d x ＝0当f(x)是偶函数时，⎠⎛－aa f(x)d x ＝2⎠⎛0a f(x)d x.4．函数y ＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x答案 A5．⎠⎜⎛－π2π2 (1＋cos x)d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D解析 ⎠⎜⎛－π2π2 (1＋cos x)d x ＝2⎠⎜⎜⎛0π2 (1＋cos x)d x ＝2(x ＋sin x) ⎪⎪⎪π20＝2(π2＋1)＝π＋2.6．若F ′(x)＝x 2，则F(x)的解析式不正确的是( ) A ．F(x)＝13x 3B ．F(x)＝x 3C ．F(x)＝13x 3＋1D ．F(x)＝13x 3＋c(c 为常数) 答案 B 7.⎠⎛222x1＋x2d x ＝( ) A ．4 B ．6 C ．3D ．1答案 A解析 ∵(1＋x 2)′＝12(1＋x 2)12－1·(1＋x 2)′＝2x 21＋x 2＝x1＋x 2， ∴⎠⎛0222x 1＋x 2d x ＝2⎠⎛022x 1－x2d x ＝21＋x 2 |220＝2(1＋8－1)＝4.故选A .8. ⎠⎛35x 2＋1x d x 等于( ) A ．8－ln 53 B ．8＋ln 53 C ．16－ln 53 D ．16＋ln 53答案 B解析 ⎠⎛35x 2＋1x d x ＝⎠⎛35x d x ＋⎠⎛351x d x＝12x 2 |53＋ln x |53＝12(52－32)＋ln 5－ln 3＝8＋ln 53，故选B . 9．m ＝⎠⎛01e x d x 与n ＝⎠⎛1e 1x d x 的大小关系是( )A ．m>nB ．m<nC ．m ＝nD ．无法确定答案 A解析 m ＝⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e －1，n ＝⎠⎛1e 1x d x ＝ln x |e 1＝1，则m>n. 10．(2010·湖南高考) ⎠⎛241x d x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2答案 D解析 ⎠⎛241x d x ＝ln x |42＝ln 2.11.⎠⎛05π(e x －sin x)d x 等于( )A ．e 5π－1B ．e 5π－2C ．e 5π－3D ．e 5π－4答案 C解析 ⎠⎛05π(e x －sin x)d x ＝⎠⎛05πe x d x －⎠⎛05πsin x d x＝e x |5π0＋cos x |5π＝e 5π－e 0＋cos 5π－cos 0 ＝e 5π－1－1－1 ＝e 5π－3.12．(⎠⎛ab sin x d x)′等于( )A ．sin xB ．－cos xC ．cos b －sin aD ．0答案 D13.⎠⎛－22e |x|d x 值等于( )A ．e 2－e －2B ．2e 2C ．2e 2－2D ．e 2＋e －2－2答案 C 二、填空题14．如果⎠⎛01f(x)d x ＝1，⎠⎛02f(x)d x ＝－1，那么⎠⎛12f(x)dx ＝________.答案 －2解析 ∵⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01f(x)d x ＋⎠⎛12f(x)d x ，∴1＋⎠⎛12f(x)d x ＝－1.∴⎠⎛12f(x)d x ＝－2.15．已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.答案 13或－1解析 ∵(x 3＋x 2＋x)′＝3x 2＋2x ＋1，∴⎠⎛－11f(x)d x ＝(x 3＋x 2＋x) |1－1＝(1＋1＋1)－(－1＋1－1)＝4. 又2f(a)＝6a 2＋4a ＋2，∴6a 2＋4a ＋2＝4，即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝13或a ＝－1.16．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则⎠⎛02f(x)d x 等于________．答案 5617．若⎠⎛eb 2x d x ＝6，则b ＝________.答案 e 4 ►重点班·选做题18．(2011·陕西)设f(x)＝⎩⎨⎧lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f[f(1)]＝1，则a ＝________. 答案11．若F(x)满足F ′(x)＝sin x ，则F(x)的解析式一定是( ) A ．F(x)＝cos x B ．F(x)＝－cos xC ．F(x)＝1－cos xD ．F(x)＝－cos x ＋c(c ∈R )答案 D解析 因为(－cos x ＋c )′＝－(cos x )′＋c ′＝sin x ＋0＝sin x ，所以F (x )＝－cos x ＋c (c ∈R )．故选D.2．求⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x|)d x.解析 ∵|2x ＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x (－3≤x<－32)，6 (－32≤x<32)，4x (32≤x ≤3).∴⎠⎛-33 (|2x ＋3|＋|3－2x|)d x。
