高中数学2.4向量的应用2.4.2向量在物理中的应用课后导练新人教B版必修4(含解析)

2.4.2 向量在物理中的应用课后导练基础达标1.设AM 是△ABC 的边BC 上的中线，若=a ,=b ,则等于（ ） A.a -21b B.21b -a C.21a +b D.a +21b 解析：如图,∵BC =b ,M 是BC 的中点, ∴BM =21b , ∴BM AB AM +==a +21b .∴应选D.答案：D2.如右图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OA =a ,OB =b ,OC =c ,则EF 等于（ ）A.a +bB.b -aC.c -bD.b -c 解析：由图知=，又=b-c , ∴=b -c .∴应选D. 答案：D3.向量a 、b 共线的有（ ）①a =2e ,b =-2e ②a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2 ③a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 ④a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2 A.①②③ B.②③④C.①③④D.①②③④ 解析：①a =-b ，∴a 、b 共线.∴①正确. ②b =-2a ,∴a 、b 共线.∴②正确.③a =4(e 1-101e 2)=4b , ∴a 、b 共线.∴③正确. ④a、b 向量显然不共线. ∴应选A. 答案：A 4.设=22（a +5b ),=-2a +8b ,=3(a -b ),则共线的三点是（ ） A.A 、B 、C B.B 、C 、D C.A 、B 、D D.A 、C 、D 解析：∵+==（-2a +8b )+3(a -b )=a +5b , ∴AB =22BD .又AB 与BD 有公共点B ， ∴A、B 、D 三点共线. 答案：C 5.若O 为ABCD 的中心，AB =4e 1，BC =6e 2,则3e 2-2e 1等于（ ）A.AOB.BOC.COD.DO解析：由于=-4e 1,由平行四边形法则知6e 2-4e 1=,∴3e 2-2e 1=.∴应选B. 答案：B6.设OA =a ，OB =b ,OC =c ，当c =λa +μb (λ、μ∈R ,且λ+μ=1）时，点C 在（ ） A.线段AB 上 B.直线AB 上C.直线AB 上，但除去点AD.直线AB 上，但除去点B解析：∵λ+μ=1，∴λ=1-μ,则c =λa +μb =(1-μ)a +μb =a +μ(b -a ). ∵b -a =,∴c =a +μAB ,即c -a =μAB . ∵c -a =, ∴=μ.当≠0时，、又有公共点A.∴A、B 、C 三点共线.∴应选D. 答案：D7.如图，已知两个力F 1、F 2的夹角为直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60°，|F |=10 N ，求F 1和F 2的大小.解:|F 1|=|F |·cos60°=10×21=5 N, |F 2|=|F |·sin60°=10×3523N. ∴F 1的大小为5 N ，F 2的大小为35 N.8.已知两恒力F 1=（3，4），F 2=（6，-5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0）.试求：（1）F 1、F 2分别对质点所做的功； （2）F 1、F 2的合力F 对质点所做的功. 解:=（7，0）-(20,15)=(-13,-15).(1)W 1=F 1·=（3，4）·（-13，-15）=-99（焦耳）， W 2=F 2·=(6,-5)·(-13,-15)=-3(焦耳).(2)W=F ·AB =（F 1+F 2）·AB =［（3,4）+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=-102（焦耳）. 综合运用9.在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O 处出发，沿着水垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里？解:用向量OA 的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用OB 表示船行进的方向，它的长度表示船的速度.以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，连结OC.依题意OC⊥OA，BC=OA=20，OB=40，∴∠BOC=30°，船应沿上游与河岸夹角为60°的方向行进.10.一艘船从A 点出发以v 1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v 2，船实际航行的速度的大小为4 km/h ，方向与水流间的夹角是60°，求v 1和v 2. 解:v 1=v·sin60°=4×3223(km/h),v 2=v·cos60°=4×21=2(km/h).∴v 1的大小为32 km/h ，v 2的大小为2 km/h.11.平面上有两个向量e 1=(1,0),e 2=(0,1),今有动点P 从P 0（-1，2）开始沿着与向量e 1+e 2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e 1+e 2|.另一点Q 从Q 0（-2，1）出发，沿着与向量3e 1+2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e 1+2e 2|.设P 、Q 在t=0秒时分别在P 0、Q 0处，则当PQ⊥P 0Q 0时，求t 的值. 解:∵P 0（-1，2）、Q 0（-2，-1）， ∴00Q P =（-1，-3）. 又∵e 1+ e 2=（1，1）， ∴|e 1+e 2|=2 ∵3e 1+2e 2=(3,2), ∴|3e 1+2e 2|=13.∴当t 时刻时，点P 的位置为（-1+t,2+t ）,点Q 的位置为（-2+3t,-1+2t ）. ∴=(-1+2t,-3+t).∵PQ⊥P 0Q 0,∴(-1)·（-1+2t ）+(-3)·(-3+t)=0. ∴t=2. 拓展探究12.某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到的风速为-a . 设实际风速为v ，那么此时人感到的风速为v -a . 如下图，OA =-a ,OB =-2a .∵+=,∴=v -a . 这就是感到由正北方向吹来的风速.又∵PO+OB=PB，∴=v-2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,可知△POB是等腰直角三角形.∴PO=PB=2a，即|v|=2a.∴实际风速是2a的西北风.。

2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用题．1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形． 答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm ，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0.(4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________． 答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2；(2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立；(3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0.所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0， 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2，|n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22，所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22.所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一 向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设点P 的坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2，同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ．反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE .解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二 向量在解析几何中的应用【例题2】过点A (－2,1)，求：(1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )．∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x －2y ＋4＝0.反思已知直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，则向量(A ，B )与直线l 垂直，即向量(A ，B )为直线l 的法向量；向量(－B ，A )与l 平行，故过点P (x 0，y 0)与直线l 平行的直线方程为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0.【例题3】已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解． 解：(1)由已知，得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)．设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM ∥DE . 又DM ＝(x ＋1，y －1)，DE ＝(－2，－2)，所以(－2)×(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0. (2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上的任意一点，则CN ⊥AB . 所以CN ·AB ＝0.又CN ＝(x ＋6，y －2)，AB ＝(4,4)， 所以4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三 向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d ＝500 m ，一艘船从A 处出发航行到河正对岸的B 处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h ，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？ 分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min.(2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值，即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大．正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值，即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A 4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ，|OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________． 答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰8．如图所示，已知ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，求证：AC⊥BD．证明：证法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0.∴AC⊥BD.∴AC⊥BD．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。

2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用1．向量在几何中的应用(1)直线与向量平行的条件①直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，可得k＝y－y1x－x1＝a2a1＝tan α.②平行条件：如果知道直线l的斜率k＝a2a1，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．③法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．(2)特殊向量设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与l平行．思考1：向量可以解决哪些常见的几何问题？[提示] (1)解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系问题． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．向量在物理中的应用 (1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．思考2：向量可以解决哪些物理问题？[提示] 解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－1或2D [由于11－m＝－m2，得m ＝－1或m ＝2.] 2．下列直线与a ＝(2,1)垂直的是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋2y ＋1＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．2x －y ＋4＝0A [直线2x ＋y ＋1＝0与向量(2,1)垂直．]3．已知力F ＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．1 [由已知位移AB →＝(－4,3)，∴力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1.]的中点，连接BE ，BF ，分别交AC 于R ，T 两点．求证：AR ＝RT ＝TC .[思路探究] 由于R ，T 是对角线AC 上的两点，要证AR ＝RT ＝TC ，只要证AR, RT ，TC 都等于13AC 即可．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b . 由于AR →与AC →共线，所以可设r ＝n (a ＋b )． 因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线，所以可设ER →＝mEB →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因为AR →＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ，所以n (a ＋b )＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ，即(n －m )a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋m －12b ＝0. 由于向量a ，b 不共线，要使上式成立，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝0，n ＋m －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝13.所以AR →＝13AC →. 同理TC →＝13AC →.所以AR ＝RT ＝TC .1．利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．1.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2→－AC 2→＝DB 2→－DC 2→，求证：AD ⊥BC .[证明] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ， ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0， ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .(1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．[思路探究] 在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →∥a 可以得(1)，由AP →⊥b 可以得(2)．[解] 设所求直线上任意一点P (x ，y )， ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)． (1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0，即x －3y ＋5＝0， ∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0. (2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0，即x －2y ＋4＝0， ∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.2．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．[解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )． 由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程.1.向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？[提示] 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．【例3】 两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．[思路探究] 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题．[解] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j . (1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28 J.F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23 J. (2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5 J.1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解．2．如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W ＝|F ||s |cos θ，其中θ是F 与s 的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．3．在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ，水流速度的大小是每分钟20 m ，如果一小船从岸边O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？[解] 如图所示，设向量OA →的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB →的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，连接OC .依题意OC ⊥OA ，BC ＝OA ＝20，OB ＝40， ∴∠BOC ＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．(教师用书独具)1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方向(1)要证明两线段相等，如AB ＝CD ，则可转化为证明AB →2＝CD →2.(2)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明存在实数λ≠0，使AB →2＝λCD→成立，且AB 与CD 无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB ⊥CD ，则只要证明数量积AB →·CD →＝0. (4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →. (5)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可． 2．向量方法研究物理问题的相关知识 (1)力、速度、加速度和位移都是向量．(2)力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法． (3)动量m v 是数乘向量．(4)功是力F 与在力F 的作用下物体所产生的位移s 的数量积.1．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．形状无法确定C [∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，∴CA →2－CB →2＝0，CA →2＝CB →2，∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．]2．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，则AP →⊥a ，又∵AP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.]3．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． 等腰梯形 [由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →， AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形， 所以AB ∥DC ，AB ≠DC .又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形．]4．一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行．设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上，并且A ，C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．[解] 如图所示，设A 地在东西基线和南北基线的交点处，则A (0,0)，B (－1 000cos 30°，1 000sin 30°)＝(－5003，500)，C (－2 000cos 30°，－2 000sin 30°)＝(－1 0003，－1 000)， ∴BC →＝(－5003，－1 500)， ∴|BC →|＝(－5003)2＋(－1 500)2＝1 0003(km)．∴飞机从B 地到C 地的位移大小是1 000 3 km ，方向是南偏西30°.。

2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1.会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题.(重点)2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题.[基础·初探]教材整理1 向量在几何中的应用阅读教材P 117～P 120以上内容，完成下列问题. 1.直线与向量平行的条件 (1)直线的斜率与向量的关系：设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(a 1，a 2)平行于l ，可得k ＝y －y 1x －x 1＝a 2a 1＝tan α.(2)平行条件：如果知道直线l 的斜率k ＝a 2a 1，则向量(a 1，a 2)一定与该直线平行. (3)法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线.这个向量称为这条直线的法向量.2.特殊向量设直线l 的一般方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与l 平行.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行.( )【解析】 (1)错误.因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C为直角.(2)错误.向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB 与CD 重合. 【答案】 (1)× (2)× 教材整理2 向量在物理中的应用阅读教材P 121～P 122以上内容，完成下列问题. 1.力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.2.速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.已知力F ＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则F 对物体所做的功为________焦耳.【解析】 由已知位移AB →＝(－4,3)，∴力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1. 【答案】 1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]如图2­4­1，在正三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的一个三等分点，且AE 与CD 交于点P ，求证：BP ⊥DC .图2­4­1【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积. 【自主解答】 设PD →＝λCD →，并设正三角形ABC 的边长为a ，则有：CD →＝23BA →－BC →，PA →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＋13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →. 又EA →＝BA →－13BC →，PA →∥EA →，∴13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →，于是有⎩⎪⎨⎪⎧13λ＋＝k ，λ＝13k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝17，k ＝37，∴PD →＝17CD →，∴BP →＝BD →＋DP →＝17BC →＋47BA →，从而BP →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17BC →＋47BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0. 由向量垂直的条件知，BP ⊥DC .垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量BP →，CD →由基底BA →，BC →线性表示.当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知.[再练一题]1.如图2­4­2所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2→－AC 2→＝DB 2→－DC 2→，求证：AD ⊥BC .图2­4­2【证明】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ， ∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0， ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .过点A (－2,1)，求：(1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程.【精彩点拨】 在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →∥a 可以得(1)，由AP →⊥b 可以得(2).【自主解答】 设所求直线上任意一点P (x ，y )，∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1).(1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0，∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0. (2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.1.本题求解的关键是在所求直线上任取一点P (x ，y )，从而得到向量AP →的坐标. 2.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.[再练一题]2.已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程.【导学号：72010069】【解】 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)， 则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y ).由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝x －，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程.(1)一个质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角且|F 1|＝2，|F 2|＝4，则|F 3|＝( )A.6B.2C.2 3D.27(2)某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.【精彩点拨】 (1)可利用F 1＋F 2＋F 3＝0分离F 3得F 3＝－F 1－F 2，平方可求|F 3|. (2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解.【自主解答】 (1)因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0，所以F 3＝－(F 1＋F2)，所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝F 1＋F 22＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2 ＝4＋16＋2×2×4×12＝27.【答案】 D(2)设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a ，设实际风速为v ，那么此时人感到的风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v ，因为PO →＋OA →＝PA →，所以PA →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →.由题意：∠PBO ＝45°，PA ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a ，所以实际风速是每小时2a 千米的西北风.向量在物理中的应用：(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题. 再练一题]3.在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ，水流速度的大小是每分钟20 m ，如果一小船从岸边O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？【解】 如图所示，设向量OA →的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB →的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，连接OC .依题意OC ⊥OA ，BC ＝OA ＝20，OB ＝40， ∴∠BOC ＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.[探究共研型]探究【提示】 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.探究2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中.两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量).求(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功.【精彩点拨】 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题.【自主解答】 AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j .(1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28 J. F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23 J. (2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5 J.1.求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解.2.如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W ＝|F ||s |cos θ，其中θ是F 与s 的夹角.由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积.[再练一题]4.如图2­4­3所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ，则力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(|g |＝10 m/s 2)图2­4­3【解】 设木块的位移为s ，则：W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos 30°＝50×20×32＝5003(J).因为F 在竖直方向上的分力的大小为 |F 1|＝|F |·sin 30°＝50×12＝25(N)，所以物体所受的支持力的大小为|F N |＝|m g |－|F 1|＝8×10－25＝55(N). 所以摩擦力的大小为|f |＝|μF N |＝0.02×55＝1.1(N).又f 与s 反向，所以f ·s ＝|f |·|s |cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22(J).即F 与f 所做的功分别是500 3 J 与－22 J.1.过点M (2,3)，且垂直于向量u ＝(2,1)的直线方程为( ) A.2x ＋y －7＝0 B.2x ＋y ＋7＝0 C.x －2y ＋4＝0D.x －2y －4＝0【解析】 设P (x ，y )是所求直线上任一点，则MP →⊥u ，又∵MP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0. 【答案】 A2.若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A.10B.2 5C. 5D.15【解析】 由于F 1＋F 2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)， 所以|F 1＋F 2|＝－2＋－2＝5，故选C. 【答案】 C3.在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.形状无法确定【解析】 ∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，∴CA →2－CB →2＝0，CA →2＝CB →2，∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形.【答案】 C4.若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________. 【解析】 由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →， AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形， 所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形. 【答案】 等腰梯形5.一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上，并且A ，C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移.【导学号：72010070】【解】 如图所示，设A 地在东西基线和南北基线的交点处， 则A (0,0)，B (－1 000cos 30°，1 000sin 30°) ＝(－5003，500)，C (－2 000cos 30°，－2 000sin 30°)＝(－1 0003，－1 000)， ∴BC →＝(－5003，－1 500)， ∴|BC →|＝－50032＋－2＝1 0003(km).我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A.－1B.1C.2D.－1或2【解析】 向量(1－m,1)是直线的方向向量，所以斜率为11－m ，则11－m ＝－m 2，解得m ＝－1或m ＝2.【答案】 D2.已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以ABCD 为顶点的四边形是( )A.梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.两组对边均不平行的四边形【解析】 因为AD →＝(8,0)，BC →＝(8,0)，所以AD →＝BC →，因为BA →＝(4，－3)，所以|BA →|＝5，而|BC →|＝8，故为邻边不相等的平行四边形.【答案】 B3.在△ABC 中，若13(OA →＋OB →＋OC →)＝OG →，则点G 是△ABC 的( ) A.内心B.外心C.垂心D.重心【解析】 因为13(OA →＋OB →＋OC →)＝OG →，所以GA →－GO →＋GB →－GO →＋GC →－GO →＝3OG →，化简得GA →＋GB →＋GC →＝0，故点G 为三角形ABC 的重心.【答案】 D4.在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB →＝a ，AC →＝b ，则下列向量中与AD →同方向的是( )A.a ＋b |a ＋b |B.a |a |＋b |b |C.a －b |a －b |D.a |a |－b |b |【解析】 因为D 为BC 边的中点，则有AB →＋AC →＝2AD →，所以a ＋b 与AD →共线，又因为a ＋b |a ＋b |与a ＋b 共线，所以选项A 正确.【答案】 A5.如图2­4­4所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10 N ，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F 做的功为( )图2­4­4A.100焦耳B.50焦耳C.503焦耳D.200焦耳【解析】 设小车位移为s ，则|s |＝10米，W F ＝F ·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳). 故选B.【答案】 B二、填空题6.在边长为1的正三角形ABC 中，AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________.【导学号：72010071】【解析】 AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝AB →·(BC →＋CA →)＋BC →·CA →＝AB →·BA →－CA →·CB →＝－AB →2－|CA →||CB →|cos 60°＝－12－1×1×12＝－32.【答案】 －327.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2­4­5所示，已知物体的重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________.图2­4­5【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.【答案】 10 N三、解答题8.已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点.(1)求直线DE ，EF ，F D 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程.【解】 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2).设点M (x ，y )是直线DE 上的任意一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)，∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程.同理可得直线EF ，F D 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上的任意一点，则CN →⊥AB →，CN →·AB →＝0，CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)，∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求高线CH 所在直线的方程.9.在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)求AB →和AC →夹角的余弦值；(3)是否存在实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝OA →·OC →，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.【解】 (1)由题意知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42，故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.(2)cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝234×2＝1717， 所以AB →和AC →夹角的余弦值为1717. (3)存在.由题设知：OA →＝(－1，－2)，OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t ).假设存在实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝OA →·OC →，所以(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝4，从而5t ＝－15，所以t ＝－3.[能力提升]1.(2016·德州高一检测)点O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OA →＋OC →)＝0，则点O 为△ABC 的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】 因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0，则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝0，所以OB →2－OC →2＝0，所以|OB →|＝|OC →|.同理可得|OA →|＝|OC →|，即|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以O 为△ABC 的外心.【答案】 B2.如图2­4­6，ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积.图2­4­6【解】 如图，建立直角坐标系，显然EF 是AM 的中垂线，设AM 与EF 交于点N ，则N 是AM 的中点，又正方形边长为8，所以M (8,4)，N (4,2).设点E (e,0)，则AM →＝(8,4)，AN →＝(4,2)，AE →＝(e,0)，EN →＝(4－e,2)，由AM →⊥EN →得AM →·EN →＝0，即(8,4)·(4－e,2)＝0，解得e ＝5，即|AE →|＝5，所以S △AEM ＝12|AE →||BM →|＝12×5×4＝10.。

2.4.2向量在物理中的应用[学习目标] 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力．[知识链接]1．向量在物理中有哪些应用？答(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解上．(3)动量m v是向量的数乘运算．(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．2．向量与力有什么相同点和不同点？答向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量起点平移到同一作用点上．3．向量的运算与速度、加速度及位移有什么联系？答速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加、减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成，向量有丰富的物理背景．向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．[预习导引]1．力与向量力与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑方向．(2)不同点：向量与始点无关，力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是向量．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加也用到向量的合成．(3)动量mν是数乘向量．(4)功是力F与所产生位移s的数量积.要点一 向量的线性运算在物理中的应用例1 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km /h ，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°， 速度为|v 1|＝20(km /h)，水流的方向为正东，速度为|v 2|＝20(km/h)， 设帆船行驶的速度为v ， 则v ＝v 1＋v 2.由题意，可得向量v 1＝(20cos 60°，20sin 60°) ＝(10,103)，向量v 2＝(20,0)， 则帆船的行驶速度v ＝v 1＋v 2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)， 所以|v |＝302＋(103)2＝203(km/h)．因为tan α＝10330＝33(α为v 和v 2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°.所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 3 km/h.跟踪演练1 某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h ，水的流速为4 km/h ，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解 如图所示，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →.∵实际速度＝游速＋水速，∴游速为OB →－OA →＝AB →，在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝42，cos ∠BAO ＝|OA →||AB →|＝ 33.故此人应沿与河岸夹角的余弦值为33，逆着水流的方向前进，实际前进速度的大小为4 2 km/h.要点二 向量的数量积在物理中的应用例2 如图，质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离． (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少？(3)求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系．解 (1)木块共受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F 1，如题图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为： W F ＝F ·s ＝|F ||s |cos α＝20(J)．支持力F 1与位移方向垂直，不做功，即W 1＝F 1·s ＝0. 重力G 对物体所做的功为：W G ＝G ·s ＝|G ||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)． (2)物体所受各力对物体做功的代数和为： W ＝W F ＋W N ＋W G ＝20＋0－19.6＝0.4(J)． (3)物体所受合外力的大小为： |F 合|＝|F |－|G |sin 30°＝0.2(N)． 所以合外力对物体所做的功为： W ＝F 合·s ＝0.2×2＝0.4(J)．所以物体所受合外力对物体所做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等．规律方法 解决力学有关问题，做好正确的受力分析是数学建模的基础．要认真体会用向量解决物理问题和解释物理现象的方法．跟踪演练2 已知两恒力F 1＝(3,4)、F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)，试求：(1)F 1、F 2分别对质点所做的功；(2)F 1，F 2的合力F 为质点所做的功．解 设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s .AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．(1)W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦).1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N ，则每根绳子的拉力大小为______ N. 答案 10解析 设重力为G ，每根绳子的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|.∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ．∴每根绳子的拉力都为10 N.2．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉＝6×100×cos 60°＝300(J)．3．一条河宽为8 000 m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km /h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________分钟．答案30解析v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20，|v2|＝12，∴|v|＝|v1|2－|v2|2＝202－122＝16(km/h)．∴所需时间t＝816＝0.5(小时)＝30(分钟)．∴该船到达B处所需时间为30分钟．4．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 3 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．解如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v.方向由南向北，大小为2 3 km/h，船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，数形结合知v3的方向是北偏西60°，大小是 3 km/h.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．。

1 2.4.
2 向量在物理中的应用
课前导引
情景导入
如图，一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°,并且A 、C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移
.
解：如图所示，设A 在东西基线与南北基线的交点处. 依题意，AB 的方向是北偏西60°,|AB |=1 000 km.
的方向是南偏西60°,||=2 000 km ，
∠BAC=60°.过B 作东西基线的垂线，交AC 于点D,
则△ABD 为正三角形，
∴BD=CD=1 000 km.
∴∠CBD=∠BCD=
21∠BDA=30°. ∴∠ABC=90°. 于是，BC=AC·sin60°=2 000×2
3=31000 km ，||=31000 km. ∴飞机从B 地到C 地的位移大小是31000 km,方向是南偏西30°.
知识预览
1.力学中的向量与前面学过的自由向量有所不同，它不仅包括大小、方向两个要素，还有作用点.
2.速度向量可用有向线段表示.
3.由于力、速度是向量，它的分解与合成与向量的加、减法相类似，可以用向量的方法来解决.。

2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用学习目标：1.会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题．(重点)2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．(难点)[自主预习·探新知]1．向量在几何中的应用(1)直线与向量平行的条件①直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，可得k＝y－y1x－x1＝a2a1＝tan α.②平行条件：如果知道直线l的斜率k＝a2a1，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．③法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．(2)特殊向量设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与l平行．思考1：向量可以解决哪些常见的几何问题？[提示](1)解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系问题．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．向量在物理中的应用(1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算． (2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示． 思考2：向量可以解决哪些物理问题？[提示] 解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )[解析] (1)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角．(2)错误．向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB 与CD 重合． [答案] (1)× (2)×2．下列直线与a ＝(2,1)垂直的是( )【导学号：79402099】A ．2x ＋y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x －y ＋4＝0A [直线2x ＋y ＋1＝0与向量(2,1)垂直．]3．已知力F ＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．[解析] 由已知位移AB →＝(－4,3)，∴力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1. [答案] 1[合 作 探 究·攻 重 难]向量在平面几何中的应用如图2-4-1，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，DC 的中点，连接BE ，BF ，分别交AC 于R ，T 两点． 求证：AR ＝RT ＝TC .图2-4-1[思路探究] 由于R ，T 是对角线AC 上的两点，要证AR ＝RT ＝TC ，只要证AR, RT ，TC 都等于13AC 即可．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b . 由于AR →与AC →共线，所以可设r ＝n (a ＋b )． 因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线，所以可设ER →＝mEB →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b . 因为AR →＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ，所以n (a ＋b )＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ，即(n －m )a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋m －12b ＝0. 由于向量a ，b 不共线，要使上式成立，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝0，n ＋m －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝13.所以AR →＝13AC →. 同理TC →＝13AC →. 所以AR ＝RT ＝TC .1.如图2-4-2所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2→－AC 2→＝DB 2→－DC 2→，求证：AD ⊥BC .图2-4-2[证明] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ， ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0， ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .向量在解析几何中的应用过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．[思路探究] 在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →∥a 可以得(1)，由AP →⊥b 可以得(2)．[解] 设所求直线上任意一点P (x ，y )， ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)． (1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0，即x －3y ＋5＝0， ∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0. (2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0，即x －2y ＋4＝0， ∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.2．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．[解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )． 由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2，①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程．向量在物理中的应用[探究问题]1．向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？[提示] 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)． 求(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．[思路探究] 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题．[解] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j . (1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28 J. F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB → ＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23 J. (2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5 J.3．在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ，水流速度的大小是每分钟20 m ，如果一小船从岸边O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？[解] 如图所示，设向量OA →的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB →的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，连接OC . 依题意OC ⊥OA ，BC ＝OA ＝20，OB ＝40， ∴∠BOC ＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )【导学号：79402100】A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2D [由于11－m＝－m 2，得m ＝－1或m ＝2.]2．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．形状无法确定C [∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，∴CA →2－CB →2＝0，CA →2＝CB →2，∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．]3．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，则AP →⊥a ，又∵AP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.]4．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． [解析] 由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →， AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形， 所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形． [答案] 等腰梯形5．一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行．设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上，并且A ，C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．[解] 如图所示，设A 地在东西基线和南北基线的交点处，则A (0,0)，B (－1 000cos 30°，1 000sin 30°)＝(－5003，500)， C (－2 000cos 30°，－2 000sin 30°)＝(－1 0003，－1 000)， ∴BC →＝(－5003，－1 500)， ∴|BC →|＝(－5003)2＋(－1 500)2＝1 0003(km)．∴飞机从B 地到C 地的位移大小是1 000 3 km ，方向是南偏西30°.。

2016-2017学年高中数学2.4 向量的应用学案新人教B版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学2.4 向量的应用学案新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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2。

4 向量的应用1.会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题.(重点)2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题。

［基础·初探]教材整理1 向量在几何中的应用阅读教材P117～P120以上内容，完成下列问题。

1。

直线与向量平行的条件(1)直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为α，斜率为k,A（x1,y1)∈l，P(x，y）∈l，向量a＝（a1,a2)平行于l,可得k＝错误!＝错误!＝tan α。

(2)平行条件:如果知道直线l的斜率k＝错误!,则向量(a1，a2）一定与该直线平行.（3）法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线。

这个向量称为这条直线的法向量。

2.特殊向量设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0,则向量（A，B)与直线l垂直，向量(－B，A）与l 平行。

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)若△ABC是直角三角形，则有AB，→·错误!＝0.( ）(2)若错误!∥错误!，则直线AB与CD平行.( ）【解析】(1）错误.因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C 为直角。

(2)错误.向量错误!∥错误!时，直线AB∥CD或AB与CD重合。

高中数学２.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用课后导练新人教B 版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学 2.4 向量的应用２.4.1 向量在几何中的应用课后导练新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

4。

1 向量在几何中的应用课后导练基础达标1。

过点P′(１，2)且平行于向量a＝（3,4）的直线方程为( ）A。

3ｘ＋４y—１1=０ B.3x+4y+11=0C。

4x—3y＋2=0 D。

4x—3y—2=0解析：设P(x，y)是直线上一点,则PP'=(x—1,y-2），∵PP'∥a,∴４（ｘ—1)—3(ｙ—2）＝0,整理得4ｘ－３y＋2=０。

答案：C2.过点A(2,3)且垂直于向量a＝（２，１)的直线方程为( ）Ａ。

2x+y-7=0 B。

2x+y+7=0Ｃ.x—2y+4=0 D。

ｘ—2y—４＝０解析:设P(x,ｙ）是直线上一点，则AP=(x-2，y—3）,∵AP⊥ａ,∴AP·a＝0．∴2（x—2)+(y—３)=0。

整理得2x+ｙ-７=０.答案：A３。

已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P且PA+PB+PC＝AB，则点Ｐ与△ABC的位置关系是( ）A.Ｐ在△AＢC内部B。

P在△ABC外部Ｃ.P在ＡB边上或其延长线上D 。

Ｐ在ＡC 边上解析: ∵PA +PB +PC =AB ， ∴PA ＋PC =AB +BP =AP ， 即PC =２AP 。

∴A、Ｃ、P 三点共线,即P 在边AC 上。