(浙江专用)高考数学第三章函数、导数及其应用第十节变化率与导数、导数的运算教案(含解析)

第三章 导数及其应用第1讲 变化率与导数、导数的运算一、选择题1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5解析 因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B. 答案 B2．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x )＋f (x )<0，则对任意正数a ，b ，若a >b ，则必有( )．A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (a )<f (b )D ．bf (b )<f (a )解析 构造函数F (x )＝f (x )x (x >0)，F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，由条件知F ′(x )<0，∴函数F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴f (a )a <f (b )b ，即bf (a )<af (b )． 答案 B3．已知函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋1a x (a >0)，则f (2)的最小值为( )．A ．1232B ．12＋8a ＋1a C ．8＋8a ＋2aD ．16解析 f (2)＝8＋8a ＋2a ，令g (a )＝8＋8a ＋2a ，则g ′(a )＝8－2a 2，由g ′(a )>0得a >12，由g ′(a )<0得0<a <12，∴a ＝12时f (2)有最小值．f (2)的最小值为8＋8×12＋212＝16.故选D. 答案 D4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )． A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B5．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )．A ．26B ．29C ．212D ．215解析 函数f (x )的展开式含x 项的系数为a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝212，故选C. 答案C6．已知函数f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则 ( )． A ．h (1)<h (0)<h (－1) B ．h (1)<h (－1)<h (0) C ．h (0)<h (－1)<h (1) D ．h (0)<h (1)<h (－1)解析 由图象可知f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，则f (x )＝12x 2＋m ，其中m 为常数，g (x )＝13x 3＋n ，其中n 为常数，则h (x )＝12x 2－13x 3＋m －n ，得h (0)<h (1)<h (－1)． 答案 D 二、填空题7．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析 ∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案 y ＝4x －38．若过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 解析 y ′＝e x ，设切点的坐标为(x 0，y 0)则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案 (1，e) e9．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8， ∴f (1)＝1，即点(1,1)，在曲线y ＝f (x )上． 又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8， ∴f ′(1)＝2. 答案 210．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元)与时间t (单位：月)的函数关系为：y ＝2＋t 220－t (1≤t ≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．解析 ∵y ＝2＋t 220－t(1≤t ≤12)，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 220－t ′＝2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 220－t ′＝(t 2)′(20－t )－t 2(20－t )′(20－t )2＝40t －t 2(20－t )2.由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y ′|t ＝10＝40×10－102(20－10)2＝3.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月．答案 3三、解答题11．求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；(2)y＝ln (x＋1＋x2)；(3)y＝e x＋1e x－1；(4)y＝2x sin(2x＋5)．解(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.(2)y′＝1x＋1＋x2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x21＋x2＝11＋x2.(3)∵y＝e x＋1e x－1＝1＋2e x－1∴y′＝－2e x(e x－1)2.(4)y′＝2sin(2x＋5)＋4x cos(2x＋5)．12．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1<x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．解析 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此解得a＝－2，b＝5；切线l的方程为：x－y－2＝0.(2)由(1)得f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x，依题意得：方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相等的根0，x1，x2，故x1，x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0⇒m>－1 4；又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1<－m成立，即0<－m⇒m<0，由韦达定理知：x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0，故0<x1<x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x>0，则f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0；又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，所以函数在x∈[x1，x2]上的最大值为0，于是当m<0时对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上：m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，013．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.14．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b ，为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9xx ＋6.(1)解 由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y′|x＝0＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋12x＋1＋ax＝0＝32＋a，得a＝0.(2)证明当x>0时，2(x＋1)·1<x＋1＋1＝x＋2，故x＋1<x2＋1.记h(x)＝f(x)－9xx＋6，则h′(x)＝1x＋1＋12x＋1－54(x＋6)2＝2＋x＋12(x＋1)－54(x＋6)2<x＋64(x＋1)－54(x＋6)2＝(x＋6)3－216(x＋1)4(x＋1)(x＋6)2.令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.于是当0<x<2时，f(x)<9x x＋6.。

浙江省高中数学教材（人教A版必修+人教A版选修）必修1第—•章集合与函数概念1. 1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本性质第一早基本初寺函数I2.1指数函数2.2对数函数 2.3幕函数第三章函数的应用3.1函数与方程3.2函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面的位置关系22直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4.1圆的方程4.2直线与圆的位置关系 4.3空间直角坐标系必修3第一章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3算法案例第二章统计2.1随机抽样2.2用样本估计总体2.3变量间的相关关系第三章概率3.1随机事件的概率 3.2古典概型3.3几何概型必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质 1.5函数y = As in C 'X •「）的图像1.6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念22平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式 3.2 一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.4基本不等式：'一：b乞皂"b2选修系列11-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用 3.4生活中的优化问题举例1-2第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.1直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念 3.2复数的代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图选修系列22-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算 3.2立体几何中的向量方法2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.2直接证明与间接证明 2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列 2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差 2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一、线性变换与二阶矩阵二、二阶矩阵与平面向量的乘法三、线性变换的基本性质第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一、复合变换与二阶矩阵的乘法二、矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一、逆变换与逆矩阵二、二阶行列式与逆矩阵三、逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一、变换的不变量一一矩阵的特征向量二、特征向量的应用选修4-4坐标系与参数方程第一讲坐标系一、平面直角坐标系二、极坐标系三、简单曲线的极坐标方程四、柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一、曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程三、直线的参数方程四、渐开线与摆线。

浙江专用高考数学一轮复习第三章函数导数及其应用第一节函数及其表示教案含解析第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是( )A．f(x)＝x2，g(x)＝x2B ．f (x )＝x 2x，g (x )＝x x2C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3解析：选B 选项A 中，f (x )＝x 2与g (x )＝x 2的定义域相同，但对应关系不同；选项B 中，二者的定义域都为{x |x ＞0}，对应关系也相同；选项C 中，f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝(x －1)0的定义域为{x |x ≠1}；选项D 中，f (x )＝x 2－9x ＋3的定义域为{x |x ≠－3}，g (x )＝x －3的定义域为R.2．若函数y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤8，x ≠5}，值域为{y |－1≤y ≤2，y ≠0}，则y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B 根据函数的概念，任意一个x 只能有唯一的y 值和它对应，故排除C 项；由定义域为{x |－3≤x ≤8，x ≠5}排除A 、D 两项，故选B.3．函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x ＞1，则f (f (2))＝________.解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1， 所以f (f (2))＝1. 答案：15．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则f (2)＝________. 解析：∵函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝－a ＋2，∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3－2x ， ∴f (2)＝－2×23－2×2＝－20. 答案：－201．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x，x＞0，x2＋x，x≤0，则f⎝⎛⎭⎪⎫f⎝⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f(x)＝2的解为________．解析：f⎝⎛⎭⎪⎫f⎝⎛⎭⎪⎫12＝f⎝⎛⎭⎪⎫log212＝f(－1)＝0.当x＞0时，log2x＝2，得x＝4；当x≤0时，x2＋x＝2，得x＝－2或x＝1(舍去)．所以f(x)＝2的解为－2或4.答案：0 －2或42．已知f⎝⎛⎭⎪⎫1x＝x2＋5x，则f(x)＝________.解析：令t＝1x，∴x＝1t.∴f(t)＝1t2＋5t.∴f(x)＝5x＋1x2(x≠0)．答案：5x＋1x2(x≠0)考点一函数的定义域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．y＝x－12x－log2(4－x2)的定义域是( )A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x－12x≥0，x≠0，4－x2＞0，解得x∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________． 解析：若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ， 则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2， 即实数a 的取值范围为[－2,2]． 答案：[－2,2][谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．考点二 求函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )的解析式．解：(1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ＞1. (3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x，② ①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3. [由题悟法]求函数解析式的4种方法[即时应用]1．已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋1x ＋2 B ．f (x )＝xx ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋2解析：选A 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2， 即f (x )＝x ＋1x ＋2. 2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________. 解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .答案：3x 2－2x3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，①把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2fx ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)考点三 分段函数题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数与方程、不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的函数求值问题1．(2018·浙江五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x ≥0，3x，x ＜0，则f (－2)＋f (4)＝( )A.109 B.19 C ．87D.7309解析：选B 由题意可得，f (－2)＋f (4)＝3－2＋4－4＝19.角度二：分段函数与方程、不等式问题2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ＜1，3x－7，x ≥1，则不等式f (x )＜2的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－2,3)C ．(2,3)D ．(－3，－2)解析：选A 当x ＜1时，f (x )＜2可化为log 2(1－x )＜2，即0＜1－x ＜4，解得－3＜x ＜1；当x ≥1时，f (x )＜2可化为3x－7＜2，即3x＜9，得1≤x ＜2.综上，不等式f (x )＜2的解集为(－3,2)．3．(2019·嘉兴高三基础测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________，若f (f (a ))＝1，则实数a 的值为________．解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f (1)＝2.对f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f a －1，f a ＜1，2f a，f a ≥1，当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1；当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1；当a ≥1时，f (a )＝2a ≥2＞1，∴f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧33a －1－1，a ＜23，23a －1，23≤a ＜1，22a，a ≥1，由f (f (a ))＝1，得3(3a －1)－1＝1，∴a＝59＜23，符合题意；23a －1＝1，a ＝13＜23，舍去；22a＝1不成立，舍去．故所求实数a 的值为59. 答案：2 59[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＋2x －2，x ≥0，f x ＋3，x ＜0，则f (－2 019)＝________.解析：因为当x ＜0时，f (x )＝f (x ＋3)，所以f (－2 019)＝f (－3×673)＝f (0)＝10＋1＋20－2＝0.答案：02．(2018·浙江十校联盟适考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________．解析：当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a＋2＝0，无解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案：－33．(2018·杭州七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，－x －12＋1，x ＜0，作出函数f (x )的大致图象如图所示，由图象可知，函数f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)＞f (|a |)，得2－a 2＞|a |.当a ≥0时，有2－a 2＞a ，即(a ＋2)(a －1)＜0，解得－2＜a ＜1，所以0≤a ＜1；当a ＜0时，有2－a 2＞－a ，即(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2，所以－1＜a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是(－1,1)．答案：(－1,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·杭州调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( ) A ．(2,3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)． 2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．(2018·萧山质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.4．已知f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得x ＝10，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝lg 10＝1. 答案：15．(2018·绍兴模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为____________．解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＜0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝eln 12＝12.∵x ＜0时，0＜e x＜1，x ＝0时，e x＝1，∴当f (x )≤0时，由方程f (f (x ))＝1，可得f (x )＝0， 即ln x ＝0，解得x ＝1.当f (x )＞0时，由方程f (f (x ))＝1， 可得ln f (x )＝1，f (x )＝e ， 即ln x ＝e ，解得x ＝e e. 答案：12{1，e e}二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2，故选B.2．(2019·台州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.3．(2018·金华模拟)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3，∴3＜x ≤4或2＜x ＜3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．4．(2018·金华联考)若函数f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B 由题知，1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，又x ≠1，所以函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．5．(2019·义乌质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12，故选C. 6．(2018·湖州月考)定义在R 上的函数g (x )满足：g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2e x －9，则g (x )＝________.解析：∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2e x －9， ①∴g (－x )＋2g (x )＝e －x＋2e －x －9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x＋1e x －9，②由①②联立解得g (x )＝e x－3.答案：e x－37．(2018·嘉兴高三测试)已知a为实数，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ＜2，log 2x －2，x ≥2，则f (2a ＋2)的值为________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ＜2，log 2x －2，x ≥2，而2a＋2＞2，∴f (2a ＋2)＝log 2(2a＋2－2)＝a . 答案：a8．(2018·稽阳联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x－a ，x ＞0，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，则a ＝________；若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x－a ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋1＝12， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋412－a ＝12＋8－a ＝12，得a ＝8.由y ＝x ＋1，x ≤0，得y ≤1； 由y ＝x ＋4x－a ，x ＞0，得y ≥4－a ，∵f (x )的值域为R ，∴4－a ≤1，解得a ≥3. 答案：8 [3，＋∞)9．记[x ]为不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2[x ]－1，x ≥1，x 2＋1，x ＜1，则f (f (－1.2))＝________，f (x )≤3的解集为________．解析：根据[x ]的定义，得f (f (－1.2))＝f (2.44)＝2[2.44]－1＝3. 当x ≥1时，由f (x )＝2[x ]－1≤3， 得[x ]≤2，所以x ∈[1,3)； 当x ＜1时，由f (x )＝x 2＋1≤3，得－2≤x ＜1.故原不等式的解集为[－2，3)． 答案：3 [－2，3)10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝m x上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a的值为－34，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln －x ，x ＜0，－ln x ，x ＞0，若f (m )＞f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln －x ，x ＜0，－ln x ，x ＞0，当m ＞0时，f (m )＞f (－m )，即－ln m ＞ln m ，即ln m ＜0，解得0＜m ＜1；当m ＜0时，f (m )＞f (－m )，即ln(－m )＞－ln(－m )， 即ln(－m )＞0，解得m ＜－1. 综上可得，m ＜－1或0＜m ＜1. 答案：(－∞，－1)∪(0,1)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，∴y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。

第十节 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′| x ＝x，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝limΔx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (x )＝e 2x，则f ′(x )＝e 2x.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]3．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.]4．曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x ＋y ＋2＝0 [∵y ′＝－5e x，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′| x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.]5．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 【导学号：51062072】1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.](1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝ln(2x －9)．[解](1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .4分(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.6分(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．10分(4)令u ＝2x －9，y ＝ln u ， 则y ′x ＝y ′u ·u ′x . 因此y ′＝12x －9·(2x －9)′＝22x －9.15分 [规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．3．复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理． [变式训练1] (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(1)B (2)3 [(1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]☞角度1已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程. 【导学号：51062073】 [解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4，3分 ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.6分(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.9分∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，12分 ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.15分 ☞角度2 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]☞角度3 求参数的值(1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2(2)(2017·嘉兴检测(一))已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12(1)B (2)A [(1)设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2. (2)由y ′＝－2x －2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A.][规律方法] 1.导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P 处的切线是以点P 为切点，曲线过点P 的切线则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.[思想与方法]1．f ′(x 0)是函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．[易错与防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．课时分层训练(十二) 变化率与导数、导数的计算A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) 【导学号：51062074】 A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)C [∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3，∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．]2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．eB [由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.]3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0C [y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.] 4．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]5．已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254D.132C [∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.]二、填空题6．(2017·湖州二次质量预测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P (1,3)处的切线方程是________. 【导学号：51062075】2x －y ＋1＝0 [由题意得f ′(x )＝3x 2－1，则f ′(1)＝3×12－1＝2，即函数f (x )的图象在点P (1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.]7．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.12 [因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.]8．如图2­10­1，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.图2­10­10 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.] 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋x. 【导学号：51062076】[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.5分(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10分(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x′＝x ＋x －x x ＋x 2＝x ＋2x ＋1·x －x＋x 2＝2x2x ＋1－x ＋x 2＝2x －x ＋x ＋x ＋x 2.15分10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．[解] (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，2分 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，4分 斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0.9分(2)由(1)得k ≥－1，12分所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2； 对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 综上所述，选A.]2．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 【导学号：51062077】y ＝－2x －1 [因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.]3．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a ＞0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．[解] 根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－ax.2分曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a ， 所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.8分 曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，所以y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0.12分 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.15分。