华师一附中高二期中考试题数学(理)试题(含解析)

2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且f（x）=，则这个正态总体的期望与标准差分别是（）A．10与4 B．10与2 C．4与10 D．2与103．函数f（x）=lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C．D．4．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（）A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3…5．设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．6．若复数z=+，则|z|的值为（）A．B．C．D．27．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）8．若z=+i，且（x﹣z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a2等于（）A．﹣+i B．﹣3+3i C．6+3i D．﹣3﹣3i 9．已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P m A．B．C．D．10．设f （x）为可导函数，且满足=﹣1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣211．甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（）A．0.6k﹣1×0.4 B．0.24k﹣1×0.76 C．0.4k﹣1×0.6 D．0.6k﹣1×0.2412．已知f（x）=，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（2）＞0；④f（0）f（2）＜0．其中正确结论的序号为（）A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．|x+2|dx= ．14．已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1z2是实数，则|z1+z2|= ．15．已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题10分共70分．）17．复数z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．19．已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．21．已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设=x，，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设g（x）=x3+3a2x+2a，x∈[0，1]．若对任意x1∈[，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．22．函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（Ⅰ）当x＞0时，求证：；（Ⅱ）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．（Ⅲ）当时，求证：）（n∈N*）．2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先对复数进行整理，再由角的正弦和余弦的符号，判断出此复数对应的点所在的象限．【解答】解：复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）=﹣2sin2016°+2icos2016°，2016°=360°×5+180°+36°，∵sin2016°=﹣sin36°＜0，cos2016°=﹣cos36°＜0，∴复数z在复平面内对应的点为（﹣2sin2016°，2cos2016°）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数与复平面内对应点之间的关系，需要利用三角函数的符号进行判断实部和虚部的符号，是基础题．2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且f（x）=，则这个正态总体的期望与标准差分别是（）A．10与4 B．10与2 C．4与10 D．2与10【分析】根据正态分布函数的式子得出：μ，σ，即可选择答案．【解答】解：∵f（x）=，且该正态曲线是函数f（x）的图象，∴根据正态分布函数的式子f（x）=，∴得出：μ=10，σ=2，故选：B．【点评】本题考察了正态分布曲线的函数解析式，运用公式求解即可，属于基础题．3．函数f（x）=lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由f（x）=lnx﹣x2可知，f′（x）=﹣x=，从而可求得函数f （x）=lnx﹣x2的单调区间与极值，问题即可解决．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣x2，其定义域为（0，+∞）∴f′（x）=﹣x=，由f′（x）＞0得，0＜x＜1；f′（x）＜0得，x＞1；∴f（x）=lnx﹣x2，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；∴x=1时，f（x）取到极大值．又f（1）=﹣＜0，∴函数f（x）=lnx﹣x2的图象在x轴下方，可排除A，C，D．故选B．【点评】本题考查函数的图象，是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用，注重考查学生分析转化解决问题的能力，属于基础题．4．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（）A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3…【分析】利用无放回抽样的性质求解．【解答】解：∵袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，∴ξ的可能值为1，2， (7)故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的可能取值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意无放回抽样的性质的合理运用．5．设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好6．若复数z=+，则|z|的值为（）A．B．C．D．2【分析】先利用复数的除法法则化简，再求模即可．【解答】解：z=+=，∴|z|=，故选B【点评】本题考查复数除法运算，考查复数的模的几何意义，属于基础题．7．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．【点评】本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感．8．若z=+i，且（x﹣z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a2等于（）A．﹣+i B．﹣3+3i C．6+3i D．﹣3﹣3i【分析】根据二项式定理写出展开式的通项，要求的量是二项式的第三项的系数，根据x 的次数求出r，代入式子求出结果，题目包含复数的运算，是一个综合题．【解答】解：∵T r+1=Cx4﹣r（﹣z）r，由4﹣r=2得r=2，∴a2=6×（﹣﹣i）2=﹣3+3i．故选B【点评】本题考查二项式定理和复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．9．已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P mA．B．C．D．【分析】由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案．【解答】解：∵由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，∴根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，∴S==1﹣，∵S+m=1，∴m=，故选C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质，在一个试验中所有的变量的概率之和是1，本题又考查等比数列的和，是一个综合题．10．设f （x）为可导函数，且满足=﹣1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限式进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即得到函数在这一个点的切线的斜率．【解答】解：∵，∴∴∴f′（1）=﹣2即曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是﹣2，故选D．【点评】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式．11．甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（）A．0.6k﹣1×0.4 B．0.24k﹣1×0.76 C．0.4k﹣1×0.6 D．0.6k﹣1×0.24 【分析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为ξ，甲先投，则ξ=k表示甲第k次甲投中篮球，而乙前k﹣1次没有投中，甲k﹣1也没有投中或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球，根据公式写出结果．【解答】解：∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为ξ，甲先投，则ξ=k表示甲第k次投中篮球，而甲与乙前k﹣1次没有投中，或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球．根据相互独立事件同时发生的概率得到0.4k﹣1×0.6k﹣1×0.4=0.24k﹣1×0.4；k次甲不中的情况应是0.4k﹣1×0.6k×0.6，故总的情况是0.24k﹣1×0.4+0.24k﹣1×0.6×0.6=0.24k﹣1×0.76．故选B．【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解ξ=k的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．12．已知f（x）=，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（2）＞0；④f（0）f（2）＜0．其中正确结论的序号为（）A．①③B．①④C．②④D．②③【分析】先求出f′（x），再进行因式分解，求出f′（x）＜0和f′（x）＞0对应x的范围，即求出函数的单调区间和极值，再由条件判断出a、b、c的具体范围和f（1）＞0且f （2）＜0，进行求解得到abc的符号，进行判断出f（0）的符号．【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），∴当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞），减区间是（1，2），∴函数的极大值是f（1）=，函数的极小值是f（2）=2﹣abc，∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，∴a＜1＜b＜2＜c，f（1）＞0且f（2）＜0，解得2＜，∴f（0）=﹣abc＜0，则f（0）f（1）＜0、f（0）f（2）＞0，故选D．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根关系，利用导数求出函数的单调区间和极值等，考查了分析、解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．|x+2|dx= ．【分析】题目给出的是含有绝对值的定积分，计算时根据被积函数的零点分段，所以需要把积分区间分成两段，然后把被积函数去绝对值后再求积分．【解答】解： =====．故答案为．【点评】本题考查了定积分，解答此题时首先要熟练掌握微积分基本定理，同时注意含有绝对值的定积分要分段求解．14．已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1z2是实数，则|z1+z2|= ．【分析】利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出．【解答】解：z1z2=（2+i）（a+3i）=2a﹣3+（6+a）i是实数，∴6+a=0，解得a=﹣6．∴z2=﹣6+3i．∴z1+z2=（2+i）+（﹣6+3i）=﹣4+4i．∴|z1+z2|=|﹣4+4i|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数模的计算公式，属于基础题．15．已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是a．【分析】∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．故答案为：a≥．【点评】本题考查二次函数的性质及利用导数求函数的最值，考查“能成立”问题的处理方法，解决该题的关键是把问题转化为求函数的最值问题解决．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16 ．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题10分共70分．）17．复数z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．【分析】可求得+z2=+（a2+2a﹣15）i，利用其虚部为0即可求得实数a 的值．【解答】解：∵z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，∴+z2是=[+（a2﹣10）i]+[ +（2a﹣5）i]=（+）+（a2﹣10+2a﹣5）i=+（a2+2a﹣15）i，∵+z2是实数，∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3．又分母a+5≠0，∴a≠﹣5，故a=3．【点评】本题考查复数的基本概念，考查转化思想与方程思想，属于中档题．18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列．（Ⅱ）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列．（Ⅲ）五名志愿者中参加A岗位服务的人数ξ可能的取值是1、2，ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果．写出分布列．【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．满足条件的事件数是A33，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么，∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则．∴，ξ的分布列是ξ 1 2P【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点．总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C52混淆为A52，19．已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1则h′（x）=3x2+6x﹣9，令h'（x）=0，解得：x1=﹣3，x2=1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．21．已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设=x，，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设g（x）=x3+3a2x+2a，x∈[0，1]．若对任意x1∈[，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）表示出向量AM，根据P、M、Q三点共线，得到关于x，y的等式，解出y即f （x）的解析式；（2）分别根据f（x），g（x）的单调性，求出f（x），g（x）的值域，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵过点M的直线分别交两边AB、AC于P、Q，∴0＜x≤1，0＜y≤1…（1分），又∵=x， =y，∴==（+）=+…（2分），又∵P、M、Q三点共线，∴+=1，∴y=f（x）=…（3分），由得，∴≤x≤1…（4分），∴y=f（x）=，x∈[，1]…（5分）；（2）∵f（x）==+在[，1]内是减函数，∴[f（x）]min=f（1）=，[f（x）]max=f（）=1，即函数f（x）的值域为[，1]…（7分），∵g'（x）=3x2+3a2≥0，∴g（x）在[0，1]内是增函数，∴[g（x）]min=g（0）=2a，[g（x）]max=g（1）=3a2+2a+1，∴g（x）的值域为[2a，3a2+2a+1]…（9分），由题设得[，1]⊆[2a，3a2+2a+1]，则…（11分）解得a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[0，]…（12分）．【点评】本题考查了向量共线问题，考查求函数的解析式，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22．函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（Ⅰ）当x＞0时，求证：；（Ⅱ）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．（Ⅲ）当时，求证：）（n∈N*）．【分析】（I）通过构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值即可证明；（II）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即，令，利用导数研究函数的单调性、极值及最大值即可；（III）由第一问得知，则，然后利用“累加求和”即可证明．【解答】（ I）证明：设令，则x=1，即φ（x）在x=1处取到最小值，则φ（x）≥φ（1）=0，即原结论成立．（ II）解：由f（x）＞x得alnx+1＞x即，令，令，，则h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e﹣1所以a的取值范围为[e﹣1，+∞）．（ III）证明：由第一问得知，则则===2n﹣=2n﹣2（）=．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及最大值，及恰当构造函数法，“累加求和”等方法．。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()f x 有三个极值点C ．()f x 有一个极大值4．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线()22:20C y px p =>构造了一个类似点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线C 124==PF PQ ，则p =（）二、多选题6．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，有()()20xf x f x '+>恒成立，则（）A ．()()142f f >B ．()()142f f ->-C ．()()4293f f >D ．()()4293f f ->-三、单选题四、多选题五、填空题13．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，若12a =，23a =，122n n n a a S +=+，则10S 的值为______.14．函数()33f x x x =-在区间(2,)a -上有最大值，则a 的取值范围是________．15．已知m 为常数，函数()2ln 2f x x x mx =-有两个极值点，则m 的取值范围是______.16．函数()()22e ,022,0x ax x f x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩，且0a ≠，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为______.六、解答题(1)建立适当的坐标系，设(2)求矩形桌面板的最大面积19．已知函数()(f x =(1)当0a =时，求()f x (2)讨论函数()f x 的单调性20．函数()e cos xf x x =，(1)求数列{}n x 的通项公式，并证明数列(2)若对一切*n ∈N 不等式21．已知椭圆E ：22x a +T 为椭圆E 上任意一点，(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,0P 的直线与椭圆（点B ，C 在直线l 的两侧）别为1S ，2S ，3S ，试问：是否存在常数求出t 的值；若不存在，请说明理由参考答案：9．BCD【分析】利用导数判断函数的单调性可知B 正确；当01x <<时，()0f x <，可知A 错误；求出函数的零点，可知【详解】因为()2ln f x x x =，该函数的定义域为当120e x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当12e x ->时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，所以111221()e e ln e 2e f x f ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值，故当01x <<时，ln 0x <，此时()2ln 0f x x x =<由()2ln 0f x x x ==，可得ln 0x =，解得1x =故选：BCD 10．ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断义以及基本不等式判断D.()ln 1a b ∴=+，(ln a b b -=+构造函数：()()ln 1p x x x =+-递减，当0x ＜时，()()'0,p x p x ＞单调递增，立，所以当0m ＜时，方程1bm a+=对于C ，方程1b m a+=有2个解()()12112eb b +++＞，由A 知：原方程为e am a =有2个解1,a a ()121212e e 2e ,a a a a a a ++≠ ＞，由B 知：0b ＞，(ln 1a b ∴=+只需证明122eea a +＞即可，即a 当01x ＜＜时，()()'0,k x k x ＜函数图象大致如下：()k x m =对应的2个解为1x =只需证明212x x -＞，11,x ∴ ＜所以即证()()212k x k x -＞，由证()()1120k x k x --＞，即证()()2e e 22x xk x k x x x---=--即()22e e 0x xx x ---＞，构造函数()()22e e x n x x x -=--()2'01,e e ,0,x x x n x -∴ ＜＜＜＜()()1120k x k x --＞，命题得证；对于D ，110,222a a b b ++＞＜，()()12ln 111b b b ++-+＜，令构造函数()(12ln ,w t t t t t =-+＞()w t 是减函数，()10,w w =∴故选：ACD.13．65【分析】运用1n n n a S S -=-（n 数列，进而求得{}n a 的通项公式，代入【详解】∵12a =，23a =，n a如图所示，当041m <<，即104m <<时，4y m =，个交点，记为1122(,),(,)A x y B x y .根据图像可知10x x <<时，1ln 41ln 4xm x mx x+>⇔+-1ln 41ln 40xmx mx x+⇔+-，即()0f x '>，说明1x 是()f x '的变号零点.同理可说明意.故答案为：104m <<16．2e 0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】当x ＞0时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当依题意可设抛物线方程为故点P 所在曲线段BC 设()()2,201P x x x ≤<是曲线段则在矩形PMDN 中，PM 桌面板的面积为()S x =）由已知得，BC的斜率存在，且B，C在∴，01x x <<<，。

华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测高二理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若为虚数单位，复数，则表示复数的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可得，故可得该复数对应的点所在的象限. 【详解】，对应的点为，故选D.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题.2.一物体的运动方程是为常数)，则该物体在时的瞬时速度是( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 求出后可得物体在某时刻的瞬时速度.【详解】因，故该物体在时的瞬时速度为，故选C.【点睛】本题考查导数的概念，属于基础题. 3.曲线在点（0,1）处的切线斜率是( )A.B. 1C. 2D.【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数后可得切线的斜率.【详解】，故在处的切线的斜率为，故选C.【点睛】函数在处的导数就是函数对应的曲线在点处切线的斜率，注意解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标.4.已知三个正态分布密度函数（,）的图象如图所示，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二、三两个的均值相等，只能从两个答案中选一个，越小图象越痩长，得到第二个图象的比第三个的要小，故选D.5.设，随机变量的分布列如表所示，则当在内增大时，( )A. 增大B. 减小C. 先增大，后减小D. 先减小，后增大【答案】B【解析】【分析】利用分布列算出后可得正确选项.【详解】，故随的增大而减小，故选B.【点睛】本题考查随机变量的数学期望，是基础题.6.设，，，…，，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】算出，，，后可知，从而可计算.【详解】，，，，因此，故，故C.【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题.7.一次考试中，某班级数学成绩不及格的学生占20％，数学成绩和物理成绩都不及格的学生占15％，已知该班某学生数学成绩不及格，则该生物理成绩也不及格的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】算出、后利用条件概率公式计算.【详解】设为“学生数学不及格”，为“学生物理不及格”，则“学生数学成绩不及格时，则该生物理成绩也不及格”的概率为，故选D.【点睛】条件概率的计算公式为，注意根据题意确定问题中的概率是何种类型.8.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是A. B.C.D.【答案】A【解析】分析】可从原函数的图像中得到函数在附近的单调性，从而得到其导函数在附近的符号，由后者可得函数图像的正确选项.【详解】根据函数的图像可知，在的左侧附近，为减函数；在的右侧附近，为增函数，所以在的左侧附近，；在的右侧附近，，故选A.【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．9.分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立；③事件C与事件A相互独立．以上命题中，正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根据相互独立事件的定义可判断两两独立．【详解】，，，，因为，故相互独立；因为，故相互独立；因为，故相互独立；综上，选D.【点睛】判断两个事件是否相互独立，可以根据实际意义来判断（即一个事件的发生与否不影响另一个事件的发生），也可以根据来确定两个事件是相互独立的.10.若，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构建关于的方程并解这个方程可以得到所求的定积分.【详解】由题设有，故，故选D.【点睛】本题考查定积分的计算，因函数解析式含有定积分，故把该定积分看成常数，构建关于定积分的方程即可，此类问题属于基础题.11.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．12.若函数满足，，则当时，( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值又无极小值【答案】B【解析】【分析】构建函数，则，利用导数考虑的符号可得的极小值点.【详解】，，则且，当时，，故在上是增函数，又，令，则为上的增函数，，故当时，，当时，，所以当时，，当时，，所以在上有极小值，无极大值，故选B.【点睛】对于抽象函数的导数问题，应根据导数与原函数的关系构建新函数，利用新函数性质讨论原函数的导数的符号从而得到其单调性、极值、最值等.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设复数满足，则__________．【答案】 【解析】分析：首先利用题中所给的条件，利用方程的思想，去分母、移项、合并同类项、做除法运算，求得，之后应用复数模的计算公式，求得结果. 详解：由可求得，所以，所以答案为1.点睛：该题考查的是有关复数的概念及运算问题，在解题的过程中，需要我们对复数的运算法则比较熟悉，还可以通过设出，利用复数的运算法则，以及复数相等的条件，求得结果.14.如图，CDEF 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，点H 是劣弧的中点，将一颗豆子随机地扔到圆O 内，用A 表示事件“豆子落在扇形OCFH 内”，B 表示事件“豆子落在正方形CDEF 内”，则________.【答案】 【解析】 【分析】 算出、后利用条件概率公式计算.【详解】，，所以，填.【点睛】本题考查条件概率的计算，属于基础题.15.某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作.设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为__________．【答案】【解析】分析：先求出四个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率都为，再设A={元件1或元件2正常工作}，B={元件3或元件4正常工作},再求P(A),P(B),再求P(AB)得解.详解：由于四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，所以四个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率都为设A={元件1或元件2正常工作}，B={元件3或元件4正常工作},所以所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.故答案为：.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线，考查独立事件同时发生的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即．16.传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为且以每秒等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________．【答案】4【解析】设原来神针的长度为，t秒时神针体积为则，其中。

华中师大一附中2015—2016学年度第一学期期中检测高二年级数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1．直线t t y t x (70sin 70cos 3⎩⎨⎧︒-=︒+=为参数)的倾斜角为A ．︒20B ．︒70C ．︒110D ．︒1602．双曲线12422=-y x 的焦点到渐近线的距离为A ．2B ．2C ．6D ．363．方程)0(02222≠=-++a ay ax y x 表示的圆 A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线0=-y x 对称D ．关于直线0=+y x 对称4．两圆36)3()4(22=++-y x 与10022=+y x 的位置关系是 A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切5．当32<<k 时，曲线13222=-+-k y k x 与曲线12322=+y x 有相同的A ．焦点B ．准线C ．焦距D ．离心率6．若过点)2,32(--P 的直线与圆422=+y x 有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是A ．)6,0(πB ．]3,0[πC ．]6,0[πD ．]3,0(π7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线x y =无公共点，则离心率e 的取值范围是A ．]2,1(B ．)2,1(C ．]2,1(D ．)2,1(8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为)2,0(F ，直线73+=x y 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 A ．1201622=+y xB ．1161222=+y xC ．181222=+y xD ．112822=+y x9．与圆122=+y x 和圆07822=+-+x y x 都相切的圆的圆心轨迹是 A ．椭圆 B ．椭圆和双曲线的一支 C ．双曲线和一条直线（去掉几个点）D ．双曲线的一支和一条直线（去掉几个点）10．过抛物线x y 42=的焦点F 作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，若)1(>=λλFB AF ，则λ等于 A ．12+B ．13+C ．15+D ．322+ 11．若所有满足)0,0(1||||>>=+b a y b x a 的实数x ,y均满足12122222+-+++++y y x y y x22≤，则b a 2+的取值范围为 A ．),2[+∞ B ．]2,1[ C ．),1[+∞ D ．]2,0( 12．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =2AD ，设θ=∠DAB ，)2,0(πθ∈，以A 、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心 率为2e ，则12e e ⋅A ．随着θ角的增大而增大B ．随着θ角的增大而减小C ．为定值1D ．为定值2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．在极坐标系中，经过点)3,4(π且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ．14．在平面直角坐标系中，已知△ABC 顶点)0,4(-A 和)0,4(C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则=+BCA sin sin sin ．15．直角△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线x y 42=上，且斜边AB 和y 轴平行，则△ABC 斜边上的高的长度为 ．16．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．若直线AB 的斜率k 满足330≤<k ，则椭圆离心率e 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分。

华中师大一附中2015—2016学年度第一学期期中检测高二年级数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1．直线t t y t x (70sin 70cos 3⎩⎨⎧︒-=︒+=为参数)的倾斜角为A ．︒20B ．︒70C ．︒110D ．︒1602．双曲线12422=-y x 的焦点到渐近线的距离为A ．2B ．2C ．6D ．363．方程)0(02222≠=-++a ay ax y x 表示的圆 A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线0=-y x 对称D ．关于直线0=+y x 对称4．两圆36)3()4(22=++-y x 与10022=+y x 的位置关系是 A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切5．当32<<k 时，曲线13222=-+-k y k x 与曲线12322=+y x 有相同的A ．焦点B ．准线C ．焦距D ．离心率6．若过点)2,32(--P 的直线与圆422=+y x 有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是A ．)6,0(πB ．]3,0[πC ．]6,0[πD ．]3,0(π7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线x y =无公共点，则离心率e 的取值范围是A ．]2,1(B ．)2,1(C ．]2,1(D ．)2,1(8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为)2,0(F ，直线73+=x y 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 A ．1201622=+y xB ．1161222=+y xC ．181222=+y xD ．112822=+y x9．与圆122=+y x 和圆07822=+-+x y x 都相切的圆的圆心轨迹是 A ．椭圆 B ．椭圆和双曲线的一支 C ．双曲线和一条直线（去掉几个点）D ．双曲线的一支和一条直线（去掉几个点）10．过抛物线x y 42=的焦点F 作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，若)1(>=λλFB AF ，则λ等于 A ．12+B ．13+C ．15+D ．322+ 11．若所有满足)0,0(1||||>>=+b a y b x a 的实数x ,y均满足12122222+-+++++y y x y y x22≤，则b a 2+的取值范围为 A ．),2[+∞ B ．]2,1[ C ．),1[+∞ D ．]2,0( 12．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =2AD ，设θ=∠DAB ，)2,0(πθ∈，以A 、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心 率为2e ，则12e e ⋅A ．随着θ角的增大而增大B ．随着θ角的增大而减小C ．为定值1D ．为定值2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．在极坐标系中，经过点)3,4(π且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ．14．在平面直角坐标系中，已知△ABC 顶点)0,4(-A 和)0,4(C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则=+BCA sin sin sin ．15．直角△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线x y 42=上，且斜边AB 和y 轴平行，则△ABC 斜边上的高的长度为 ．16．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．若直线AB 的斜率k 满足330≤<k ，则椭圆离心率e 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分。

华中师大一附中2023-2024学年度上学期高二期中检测数学试题时限：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c === ，则BM = （ ）A. 1122−+ a b cB. 1122++a b cC. 1122−−+ a b cD. 1122a b c −++【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.【详解】1111111111111()()()22222BM BB B M BB A D A B AA AD AB c b a a b c =+=+−=+−=+−=−++.故选：D2. 平面内到两定点(6,0)A −、(0,8)B 的距离之差等于10的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 以上选项都不对【答案】D 【解析】【分析】根据动点满足的几何性质判断即可.【详解】因为(6,0)A −、(0,8)B ，所以10AB ==，而平面内到两定点(6,0)A −、(0,8)B 的距离之差等于10的点的轨迹为一条射线.故选：D3. “4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++−+=表示圆的方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据()22250x y kx k y +++−+=表示圆得到2k <−或4k >，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】若()22250x y kx k y +++−+=表示圆，则()222450k k +−−×>，解得2k <−或4k >， 4k >可以推出()22250x y kx k y +++−+=表示圆，满足充分性， ()22250x y kx k y +++−+=表示圆不能推出4k >，不满足必要性， 所以4k >是()22250x y kx k y +++−+=表示圆的充分不必要条件. 故选：A.4. 已知椭圆22:141x y C k +=+的离心率为12，则实数k 的值为（ ）A. 2B. 2或7C. 2或133D. 7或133【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆的标准方程、椭圆的离心率公式分析运算即可得解.【详解】由题意，椭圆22:141x y C k +=+，则10k +>，且14k +≠，由离心率12c e a ==，解得：2234b a =，若椭圆的焦点在x 轴上，则221344b k a +==，解得：2k =； 若椭圆的焦点在y 轴上，则224314b a k ==+，解得：133k =； 综上知，2k =或133. 故选：C.5. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上．由椭圆的一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =．若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，且1290F PF ∠=°，则12PF F △的面积为（ ）A. 2B.C.D. 5【答案】D 【解析】【分析】由椭圆定义12||||6PF PF +=，根据1290F PF ∠=°，结合勾股定理可得可得12||||F P P F ⋅的值，则即可求12F PF △的面积．【详解】由112BF F F ⊥，1||F B =12||4F F =，得213||3BF ==， 则椭圆长轴长122||||6a F B F B =+=，由点P 在椭圆上，得12||||26PF PF a +==，又1290F PF ∠=°， 则2222121212121216||||||(||||)2||||362||||F F PF PF PF PF PF PF PF PF =+==+−=−， 因此12||||10PF PF ⋅=，所以12F PF △的面积为121||||52PF PF ⋅=. 故选：D6. 已知圆221:()(3)9C x a y −++=与圆222:()(1)1C x b y +++=外切，则ab 的最大值为（ ）A. 2B.C.52D. 3【答案】D 【解析】【分析】利用两圆外切求出,a b 的关系，再利用基本不等式求解即得.【详解】圆221:()(3)9C x a y −++=的圆心1(,3)C a −，半径13r =，圆222:()(1)1C x b y +++=的圆心2(,1)C b −−，半径21r =，依题意，1212||4C C r r =+=， 于是222()24a b ++=，即22122224a b ab ab ab ab =++≥+=，因此3ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以ab 的最大值为3. 故选：D7. 如图所示，三棱锥A BCD −中，AB ⊥平面π,2BCD BCD ∠=，222BC AB CD ===，点P 为棱AC 的中点，,E F 分别为直线,DP AB 上的动点，则线段EF 的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立EF 的函数关系求解即可. 【详解】三棱锥A BCD −中，过C 作Cz ⊥平面BCD ，由π2BCD ∠=，知BC CD ⊥， 以C 为原点，直线,,CD CB Cz 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，如图，由AB ⊥平面BCD ，得//AB Cz ，则1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(0,1,)2C D B A P ，令1(1,1,)(,,)22t DE tDP t t t ==−=− ，则(1,,)2tE t t −，设(0,2,)F m ，于是||EF ==≥， 当且仅当33,224t tm ===时取等号，所以线段EF. 故选：B8. 已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆E 上存在两点,A B 使得梯形12AF F B 的高为c （c 为该椭圆的半焦距），且124AF BF =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.45C.D.56【答案】C 【解析】【分析】根据124AF BF =，可得12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，所以2PF c =，则可求得1230PF F ∠=°，再结合124AF BF =，建立,,a b c 的关系即可得出答案.【详解】如图，由124AF BF =，得12//AF BF ，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，由梯形12AF F B 的高为c ，得2PF c =，在12Rt F PF 中，122F F c =，则有1230PF F ∠=°，1230AF F ∠=°， 在12AF F △中，设1AF x =，则22AF a x =−，22221121122cos30AF AF F F AF F F =+−°，即()22224a x x c −=+−，解得1AF x ==，在12BF F △中，21150BF F ∠=°，同理2BF =，又124AF BF =，所以4=，即3a =，所以离心率c e a ==. 故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 直线:10l x y −+=与圆22:()2(13)C x a y a ++=−≤≤的公共点的个数可能为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心到直线l 距离的取值范围，即可判断得解.【详解】圆22:()2C x a y ++=的圆心(,0)C a −，半径r =当13a −≤≤时，点(,0)C a −到直线l 的距离d， 因此直线l l 与圆C 的公共点个数为1或2. 故选：BC10. 下列四个命题中正确的是（ ）A. 过点(3,1)，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y −−=B. 过点(1,0)且与圆22(1)(3)4x y ++−=相切的直线方程为51250x y +−=或1x = C. 若直线10kx y k −−−=和以(3,1),(3,2)M N −为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为12k ≤−或32k ≥D. 若三条直线0,0,3x y x y x ay a +=−=+=−不能构成三角形，则实数a 所有可能的取值组成的集合为{1,1}−【答案】BC 【解析】【分析】利用直线截距式方程判断A ；求出圆的切线方程判断B ；求出直线斜率范围判断C ；利用三条直线不能构成三角形的条件求出a 值判断D.【详解】对于A ，过点(3,1)在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为13y x =，A 错误；对于B ，圆:C 22(1)(3)4x y ++−=的圆心(1,3)C −，半径2r =，过点(1,0)斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，当切线斜率存在时，设切线方程为(1)y k x =−2=，解得512k =−，此切线方程为51250x y +−=，所以过点(1,0)且与圆22(1)(3)4x y ++−=相切的直线方程为51250x y +−=或1x =，B 正确； 对于C ，直线10kx y k −−−=恒过定点(1,1)P −，直线,PM PN 的斜率分别为 ()()211131,312312PN PM k k −−−−====−−−−，依题意，PM k k ≤或PN k k ≥，即为12k ≤−或32k ≥，C 正确；对于D ，当直线0,3x y x ay a +=+=−平行时，1a =，当直线0,3x y x ay a −=+=−平行时，1a =−，显然直线0,0x y x y +=−=交于点(0,0)，当点(0,0)在直线3x ay a +=−时，3a =， 所以三条直线0,0,3x y x y x ay a +=−=+=−不能构成三角形，实数a 的取值集合为{}113−,,，D 错误. 故选：BC11. 已知椭圆2225:1092x y C k k+=<<的两个焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(2)(4)2E x y −+−=上任意一点．若2||PQ PF +的最小值为4（ ）A. k =B. 12PF PF ⋅的最大值为5C. 存在点P 使得12π3F PF ∠= D. 2||PQ PF −的最小值为6−【答案】ABC 【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断E 在椭圆外部，在2|||PQ PF PE +≥求出2EF ，即可求出k ，再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B 、C ，根据椭圆的定义判断D.【详解】椭圆2225:1092x y C k k+=<<，则3a =，所以1226PF PF a +==，圆22:(2)(4)2E x y −+−=的圆心为()2,4E ，半径r =所以2222419k+>，所以点E 在椭圆外部，又2|||PQ PF PE +≥，当且仅当E 、P 、2F 三点共线（P 在E 2F 之间）时等号成立，所以24EF ，解得2c =，所以294k −=，解得k =（负值舍去），故A 正确；()()1212PF PF PO OF PO OF ⋅=+⋅+21122PO PO OF PO OF OF OF +⋅+⋅+⋅()21121PO PO OF OF OF OF +⋅+−⋅22214PO OF PO =−=− ，又PO ∈ ，所以[]25,9PO ∈ ，所以[]121,5PF PF ⋅∈ ，即12PF PF ⋅的最大值为5，当且仅当P 在上、下顶点时取最大值，故B 正确；设B 为椭圆的上顶点，则OB =，22OF =，所以2tan OBF ∠> 所以2π6OBF ∠>，所以12π3F BF ∠>，则存在点P 使得12π3F PF ∠=，故C 正确；因为()121||||6||6PQ PF PQ PF PQ PF −=−−=+−11||666PE PF EF ≥+−≥−−，当且仅当E 、Q 、P 、1F 四点共线（且Q 、P 在E 1F 之间）时取等号，故D 错误.故选：ABC12. 在棱台1111ABCD A B C D −中，底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形，侧面11CDD C 和侧面11BCC B 均为直角梯形，且113,CC CC =⊥平面ABCD ，点P 为棱台表面上的一动点，且满足112PD PC =，则下列说法正确的是（ ）A. 二面角1D AD B −−B. 棱台的体积为26C. 若点P 在侧面11DCC D 内运动，则四棱锥11P A BCD −D. 点P 【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量相关公式求出二面角的余弦值；B 选项，利用棱台体积公式求出答案；C 选项，设出(),0,P u v ，求出轨迹方程，得到P 点的轨迹，从而得到点P 到平面11A BCD的最短距离为43PF EF EP =−=−，利用体积公式求出答案；D 选项，考虑点P 在各个面上运算，求出相应的轨迹，求出轨迹长度，相加后得到答案. 【详解】A 选项，因为1CC ⊥平面ABCD ，,BC CD ⊂平面ABCD ， 所以11,CC BC CC CD ⊥⊥，又底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形， 故BC CD ⊥，故1,,CC BC CD 两两垂直，以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系， 则()()()()112,0,3,4,4,0,4,0,0,0,0,3D A D C ，平面ADB 的法向量为()0,0,1n =，设平面1D AD 的法向量为()1,,n x y z =，则()()()()111,,0,4,040,,2,4,32430n AD x y z y n AD x y z x y z ⋅=⋅−=−= ⋅=⋅−−=−−+= ， 解得0y =，令3x =得，2z =，故()13,0,2n =，则111cos ,n n n n n n ⋅==⋅， 又从图形可看出二面角1D AD B −−为锐角， 故二面角1D ADB −−A 正确；B选项，棱台的体积为(221243283V=+×=，B 错误；C 选项，若点P 在侧面11DCCD 内运动，112PD PC =， 设(),0,P u v，整理得()22216339u v ++−=， 故P 点的轨迹为以2,0,33E−为圆心，43为半径的圆在侧面11DCC D 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧QW 即为所求，过点E 作EF ⊥1CD 于点F ，与圆弧QW 交于点P ， 此时点P 到平面11A BCD 的距离最短，由勾股定理得1CD =，因为11128233ED EC CD =+=+=，1111sin C C CD C CD ∠=1118sin 3EF D E CD C =∠=故点P 到平面11A BCD 的最短距离为43PF EF EP =−=−， 因为11A D 与BC 平行，且BC ⊥平面11CDD C ， 又1CD ⊂平面11CDD C ，所以BC ⊥1CD ，故四边形11A BCD 为直角梯形，故面积为()1112A D BC CD +⋅=，则四棱锥11P A BCD −体积的最小值为1433 ×× ，C 正确； D 选项，由C 选项可知，当点P 在侧面11DCC D 内运动时，轨迹为圆弧QW ，设其圆心角为α，则1213cos 423C E EW α===，故π3α=， 所以圆弧QW 的长度为π433⋅当点P 在面1111D C B A 内运动时，112PD PC =， 设(),,3P s t整理得2221639s t ++=，点P 的轨迹为以2,0,33E−为圆心，43为半径的圆在侧面1111D C B A 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧QR 即为所求轨迹，其中1213cos 423C E QER ER ∠===，故π3QER ∠=， 则圆弧QR 长度为π44π339⋅=，若点P 面11BCC B 内运动时，112PD PC =， 设()0,,P k l，整理得()22433k l +−=，点P 的轨迹为以()10,0,3C 11BCC B 内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧GH 即为所求，此时圆心角1π2GC H =， 故圆弧GH长度为π2经检验，当点P 在其他面上运动时，均不合要求， 综上，点P的轨迹长度为π4π29×=，D 正确. 故选：ACD在【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(,4)P m Q m −，且直线PQ 与直线:20+−=l x y 垂直，则实数m 的值为______． 【答案】1 【解析】【分析】首先求出直线l 的斜率，由两直线垂直得到斜率之积为1−，即可求出PQ k ，再由斜率公式计算可得.【详解】因为直线:20+−=l x y 的斜率1k =−， 又直线PQ 与直线:20+−=l x y 垂直，所以1PQ k =，即412m m−=−−，解得1m =.故答案为：114. 以椭圆2251162x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为______．【答案】221916y x −=【解析】【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程.【详解】椭圆2251162x y +=的长轴端点为(0,5),(0,5)−，焦点为(0,3),(0,3)−，因此以(0,3),(0,3)−为顶点，(0,5),(0,5)−4=，方程为221916y x −=. 故答案为：221916y x −=15. 椭圆22:44E x y +=上的点到直线20x y +−=的最远距离为______．【解析】【分析】设出椭圆上任意一点的坐标，再利用点到直线距离公式，结合三角函数性质求解即得.【详解】设椭圆22:14x E y +=上的点(2cos ,sin )(02π)P θθθ≤<，则点P到直线20x y +−=的距离：π2sin 4dθ=−+， 显然当5π4θ=时，max d =， 所以椭圆22:44E x y +=上的点到直线20x y +−=16. 已知点A 的坐标为(0,3)，点,B C 是圆22:25O x y +=上的两个动点，且满足90BAC ∠=°，则ABC 面积的最大值为______．【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 的中点(,)P x y ，由题意求解P 的轨迹方程，得到AP 的最大值，写出三角形ABC 的面积，结合基本不等式求解． 【详解】设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 的中点(,)P x y ，点B ，C 为圆22:25O x y +=上的两动点，且90BAC ∠=°，∴121225y x =+，222225x y +=①，122x x x +=，122y y y +=②，1212(3)(3)0x x y y +−−=③由③得1212123()90x x y y y y +−++=，即121269x x y y y +=−④， 把②中两个等式两边平方得：221122224x x x x x ++=，222121224y y y y y ++=， 即221212502()44x x y y x y ++=+⑤，把④代入⑤，可得2234124x y+−= ，即P 在以30,2为半径的圆上．则AP 的最大值为．所以()22222111244ABC S AB AC AB AC BC AP =≤+==≤ ．当且仅当AB AC =，P 的坐标为 时取等号．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 的顶点(4,1)A ，边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +−=，边AC 上的中线BM 所在的直线方程为310x y −−=． （1）求点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程． 【答案】（1）(1,4)−−；（2）7110x y ++=. 【解析】【分析】（1）由垂直关系求出直线AB 的方程，再求出两直线的交点坐标即得.（2）设出点C 的坐标，利用中点坐标公式求出点C 坐标，再利用两点式求出直线方程. 【小问1详解】由边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +−=，得直线AB 的斜率为1， 直线AB 方程为14y x ，即3y x =−，由3310y x x y =− −−=，解得1,4x y =−=−， 所以点B 的坐标是(1,4)−−.【小问2详解】由点C 在直线10x y +−=上，设点(,1)C a a −，于是边AC 的中点2,122a a M+−在直线310x y −−=上，因此3611022a a+−+−=，解得2a =−，即得点(2,3)C −，直线BC 的斜率4371(2)k −−==−−−−， 所以直线BC 的方程为37(2)y x −=−+，即7110x y ++=. 18. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中底面为正三角形，1114,2,120AA AB A AB A AC ==∠=∠=°．（1）证明：1AA BC ⊥；（2）求异面直线1BC 与1AC 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律及定义得到10AA BC ⋅=，即可得证； （2）取AB 中点M ，连接1AC 交1AC 于点O ，连接CM 、OM ，即可得到COM ∠为异面直线1BC 与1AC 所成角或其补角，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】因为BC AC AB=−，所以()1111AA BC AA AC AB AA AC AA AB ⋅=⋅−=⋅−⋅1111cos ,cos ,0AA AC AA AC AA AB AA AB =⋅−⋅=，所以1AA BC ⊥，即1AA BC ⊥.【小问2详解】取AB 的中点M ，连接1AC 交1AC 于点O ，连接CM 、OM ，则O 为1AC 的中点，所以1//OM BC ，所以COM ∠为异面直线1BC 与1AC 所成角或其补角， 在等边三角形ABC中CM =在平行四边形11ACC A 中()222211112AC AC AA AC AC AA AA =−=−⋅+22122244282−×××−+，所以1A C =，所以OC =，因为1AA BC ⊥，11//AA BB ，所以1BB BC ⊥， 在矩形11BCC B中1BC，所以OM =在OCM中由余弦定理cos COM ∠=的所以异面直线1BC 与1AC.19. 已知圆C 的圆心在x 轴上，其半径为1，直线:8630l x y −−=被圆CC 在直线l 的下方．（1）求圆C 的方程；（2）若P 为直线1:30l x y +−=上的动点，过P 作圆C 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，当||||PC AB ⋅的值最小时，求直线AB 的方程．【答案】（1）()2211x y −+=（2）2x y +=【解析】【分析】（1）设圆心C (),0a ，根据直线l 被圆Ca ，然后写圆的方程即可； （2）根据等面积的思路得到当1PC l ⊥时，PC AB 最小，然后根据直线AB 为以PC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线求直线方程.【小问1详解】设圆心C (),0a 到直线l 的距离为d，则12d =1a =或14−， 因为点C 在直线l 的下方，所以1a =，()1,0C ， 所以圆C 的方程为()2211x y −+=. 【小问2详解】因为12PACB S PC AB PA AC =⋅==，所以PC AB 最小即PC 最小， 当1PC l ⊥时，PC 最小，所以此时1PC k =，PC 的直线方程为：1y x =−，联立130y x x y =− +−= 得21x y = = ，所以()2,1P ，PC 中点31,22 ，PC =所以以PC 为直径的圆的方程为：22311222x y −+−=， 直线AB 为以PC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线，联立()222231122211x y x y −+−=−+= 得2x y +=， 所以直线AB 的方程为2x y +=. 20. 已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，离心率e =，点B 为椭圆上的一动点，且12BF F △面积的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，点(,)P m n 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点Q ，且PAQ △为等边三角形，求点P 的横坐标．【答案】（1）22142x y += （2）25− 【解析】【分析】（1）根据三角形12BF F 的面积、离心率以及222a b c =+列出关于,,ab c 的方程组，由此求解出,a b的值，则椭圆C 的方程可求；（2）表示出AP 的垂直平分线方程，由此确定出Q 点坐标，再根据PAQ △为等边三角形可得AP AQ =，由此列出关于,m n 的等式并结合椭圆方程求解出P 点坐标.【小问1详解】依题意当B 为椭圆的上、下顶点时12BF F △面积的取得最大值，则2221222c ab c a b c = ×= =+，解得2a b = = ， 所以椭圆C 方程为：22142x y +=. 【小问2详解】依题意(,)P m n ，则22142m n +=，且()2,0A −， 若点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点，则4AP =，AQ =， 此时PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以2m ≠±，0n ≠.设线段PA 中点为M ，所以2,22m n M −， 因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ⋅=−， 因为直线PA 的斜率2AP n k m =+，所以直线MQ 的斜率2MQ m k n +=−， 又直线MQ 的方程为2222n m m y x n +− −=−−， 令0x =，得到()()2222Q m m n y n+−=+， 因为22142m n +=，所以2Q n y =−， 因为PAQ △为正三角形，的所以AP AQ =，即， 化简，得到2532120m m ++=， 解得25m =−，6m =−（舍） 故点P 的横坐标为25−.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问关键在于AP 垂直平分线方程的求解以及将PAQ △的结构特点转化为等量关系去求解坐标，在计算的过程中要注意利用P 点坐标符合椭圆方程去简化运算. 21. 如图，在多面体ABCDEF 中，侧面BCDF 为菱形，侧面ACDE 为直角梯形，//,,AC DE AC CD N ⊥为AB 的中点，点M 为线段DF 上一动点，且2,120BC AC DE DCB =∠=°．（1）若点M 为线段DF 的中点，证明：//MN 平面ACDE ；（2）若平面BCDF ⊥平面ACDE ，且2DE=，问：线段DF 上是否存在点M ，使得直线MN 与平面的ABF 所成角的正弦值为310?若存在，求出DM DF的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）存在，1DM DF=−【解析】【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到MN DG ∥，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可.【小问1详解】取AC 中点G ，连接NG ，GD ，因为,N G 分别为,AB AC 中点，所以NG BC ∥，12NG BC =， 因为四边形BCDF 为菱形，M 为DF 中点， 所以DM BC ∥，12DM BC =， 所以NG DM ∥，NG DM =，则四边形NGDM 为平行四边形，所以MN DG ∥，因为MN ⊄平面ACDE ，DG ⊂平面ACDE ，所以MN ∥平面ACDE .【小问2详解】取DF 中点H ，连接CH ，CF因为平面BCDF ⊥平面ACDE ，平面BCDF ∩平面ACDE CD =，AC CD ⊥，AC ⊂平面ACDE ， 所以AC ⊥平面BCDF ，因为CH ⊂平面BCDF ，CB ⊂平面BCDF ，所以AC CH ⊥，AC CB ⊥，因为120DCB ∠=°，四边形BCDF 为菱形，所以三角形DCF 为等边三角形，因为H 为DF 中点，所以CH DF ⊥，CH CB ⊥，所以,,CH CB AC 两两垂直，以C 为原点，分别以,,CA CB CH 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()N ，()4,0,0A，()0,B，()F，()0,D，()0,DF =，()4,AB =−，()AF =−，()2,ND =−− 设DM DF λ=，则()0,,0DM DF λ==，()2,NM ND DM =+=−− ， 设平面ABF 的法向量为(),,m x y z = ，则40430m AB x m AF x z ⋅=−+= ⋅=−++=，令x =2y =，z =，所以m = ，3cos ,10NM m NM m NM m ⋅==，解得1λ=或1+（舍去）， 所以线段DF 上存在点M ，使得直线MN 与平面ABF 所成角的正弦值为310， 此时1DM DF =−22. 已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F ，过点A 且斜率为(0)k k ≠的直线l交椭圆C 于点P ．（1）若||AP =k 的值； （2）若圆F 是以F 为圆心，1为半径的圆，连接PF ，线段PF 交圆F 于点T ，射线AP 上存在一点Q ，使得QT BT ⋅ 为定值，证明：点Q 在定直线上．【答案】（1）1±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设():2l y k x =+，(),P P P x y ，联立直线与椭圆方程，求出P 点坐标，再由两点间的距离公式求出k ；（2）由P 点坐标可求得PF 斜率，进而得到PF 方程，与圆的方程联立可得T 点坐标；设()(),2Q m k m +，利用向量数量积坐标运算表示出()224841k m QT BT k −⋅=+ ，可知若QT BT ⋅ 为定值，则2m =，知()2,4Q k ；当直线PF 斜率不存在时，验证可知2m =满足题意，由此可得定直线方程.【小问1详解】依题意可得()2,0A −，可设():2l y k x =+，(),P P P x y ， 由()222143y k x x y =+ += ，消去y 整理得()2222341616120k x k x k +++−=， ()22Δ483441440k k ∴=+−=>，221612234P k x k −∴−=+， 226834P k x k −∴=+，222681223434P k k y k k k −=+= ++ ， 2226812,3434k k P k k −∴ ++，所以A P=21k =或23132k =−（舍去）， 所以1k =±.【小问2详解】 由（1）知2226812,3434k k P k k − ++，()1,0F ， 若直线PF 斜率存在，则2414PF k k k =−，∴直线214:14k PF x y k−=+，由()222141411k x y k x y −=+ −+= 得222441k y k = + ，又点T 线段PF 上， 所以22241441x k ky k = + = + ，即2224,4141k T k k ++ ，又()2,0B ， 22284,4141k k BT k k ∴=− ++， 设()(),2Q m k m +，则()()322242242,4141m k m k mk m QT k k −++−−+−= ++， ()()()()()()()22422222228421628448414141k mk m m k m k k m k QT BT k k −+−++−−+∴⋅=++ ()224841k m k −=+； 当480m −=时，0QT BT ⋅= 为定值，此时2m =，则()2,4Q k ，此时Q 在定直线2x =上；当480m −≠时，QT BT ⋅ 不为定值，不合题意；若直线PF 斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设31,2P ，从而有()1,1T ，()2,0B ， 此时12AP k =，则直线()1:22AP y x =+， 设()1,22Q m m +，则()11,122QT m m =−−+ ，()1,1BT =− ，112QT BT m ∴⋅=− ， 则2m =时，0QT BT ⋅=，满足题意； 综上所述：当0QT BT ⋅= 为定值，点Q在定直线2x =上.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与向量的综合应用问题，涉及到椭圆中的向量数量积问题的求解；本在题求解点Q 所在定直线的关键是能够根据Q 点横纵坐标之间的关系，结合向量数量积坐标运算化简QT BT ⋅ ，将QT BT ⋅ 化为关于Q 点横坐标和直线斜率的关系式，从而分析确定定值后，再得到Q 点坐标的特征.。

华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测高二年级理科数学试题时限：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若i 为虚数单位，复数=3+i z ，则表示复数1+iz的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．一物体的运动方程是21(2s at a =为常数)，则该物体在0t t =时的瞬时速度是A ．012at B ．02at C ．0at D ．0at -3．曲线sin =+xy x e 在点（0,1）处的切线斜率是 A ．1- B ．1 C ．2 D ．2-4．已知三个正态分布密度函数22()2()i i x i x μσϕ--=（x ∈R ，=1,2,3i ）的图象如图所示，则A ．123μμμ<=，123σσσ=>B ．123μμμ<=，123σσσ=<C ．123μμμ>=，123σσσ=>D ．123μμμ>=，123σσσ=< 5．设01p <<，随机变量X 的分布列是则当p 在(0,1)内增大时， A ．()E X 增大B ．()E X 减小C ．()E X 先增大，后减小D ．()E X 先减小，后增大6．设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2019()f x = A ．sin x -B ．sin xC ．cos x -D ．cos x7．一次考试中，某班级数学成绩不及格的学生占20％，数学成绩和物理成绩都不及格的学生占 15％，已知该班某学生数学成绩不及格，则该生物理成绩也不及格的概率为 A ．0.15B ．0.2C ．0.3D ．0.758．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示， 则导函数()f x '的图象可能是A B C D9．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，有下列三个命题： ①事件A 与事件B 相互独立； ②事件B 与事件C 相互独立； ③事件C 与事件A 相互独立． 以上命题中，正确的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．310．若130()3()d f x x f x x =+⎰，则10()d f x x =⎰A ．1-B ．13-C ．14-D ．18-11．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,1)-∞-12．若函数()f x 满足2()2()e x xf x f x x '-=，2(2)2e f =-，则当0x >时，()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设复数z 满足1i 1zz+=-，则||z = . 14．如图，CDEF 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，点H 是劣弧EF 的中点，将一颗豆子随机地扔到圆O 内，用A 表示事件“豆子落在扇形OCFH 内”，B 表示事件“豆子落在正方形CDEF 内”，则(|)P B A = .15．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作.设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布)50,1000(2N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 的等速率缩短，而长度以每秒20cm 的等速率增长.已知神针之底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为 cm .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知1i z =+，a ，b 为实数． （1）若234z z ω=+-，求||ω；（2）若221i 1z az b z z ++=--+，求a ，b 的值．18．（12分）袋中有20个大小相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n 的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号.求X 的分布列、数学期望和方差.19．（12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+，a ∈R ．求()f x 的单调增区间.20．（12分）Monte-Carlo 方法在解决数学问题中有广泛的应用．下面利用Monte-Carlo 方法来估算定积分140d x x ⎰．考虑到140d x x ⎰等于由曲线4y x =，x 轴，直线1x =所围成的区域M 的面积，如图，在M 外作一个边长为1正方形OABC ．在正方形OABC 内随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mn，此即为定积分140d x x ⎰的估计值．现向正方形OABC 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目．（1）求X 的期望()E X 和方差()D X ；（2）求用以上方法估算定积分140d x x ⎰时，140d x x ⎰的估计值与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率．21．（12分）已知函数2()ln(1)(0)(0)2f x x f x f x '=+--+.（1）求)(x f 的解析式； （2）若2()f x x ax b ≤++，求32b a -+的最小值． 22．（12分）已知函数2()e ln x f x ax b x =+，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为(3e 1)(1)e y x =--+.（e 2.71828=为21.649,e7.389≈，e0.495≈1.640，e-0.703≈0.495）（1）求a，b的值；（2）证明：11 ()10f x>.华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1－5.DCCBB6－10.CDADD11－12.AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．114．2π15.91616.4三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．(1)2(1i)3(1i)41i ω=++--=--，所以||ω=………………………………………………………5分 (2)由条件，得()(2)i1i ia b a +++=-，所以()(2)i 1i a b a +++=+所以121a b a +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩……………………………………………………………………………5分18．X 的分布列为……………………………………………………………………………………………………………………4分 ∴11131()01234 1.522010205E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………………………4分∴2222211131()(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5)22010205D x =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ 2.75=……………………………………………………………………………………………………………………4分19．()f x 的定义域为(0,)+∞，223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=…………………………………2分 当0a ≤时，若(0,1)x ∈，则'()0f x >，()f x 单调递增…………………………………………………2分当0a >时，3(1)'()a x f x x x x ⎛-=-+ ⎝(i)当02a <<1>当(0,1)x ∈或x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，'()0f x >，()f x 单调递增………………………………………2分 (ii)当2a =1=，在(0,)+∞上，'()0f x ≥，()f x 单调递增……………………………………2分 (iii)当2a >时，01<<当x ⎛∈ ⎝或(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增………………………………………2分 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增当02a <<时，()f x 在(0,1)，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增 当2a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时，()f x在x ⎛∈ ⎝，(1,)+∞上单调递增……………………………………………………2分20．(1)依题意，每个点落入M 中的概率为1400.2p x dx ==⎰，~(100000.2)X B ，所以()100000.22000E X =⨯=，()100000.20.81600D X =⨯⨯=……………………………6分 (2)依题意，所求概率为0.010.20.0110000X P ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭2099100001000019010.010.20.01(19002100)0.20.810000tt t t X P P X C -=⎛⎫-<-<=<<=⨯⨯ ⎪⎝⎭∑209919001000010000100001000000.20.80.20.80.99330.00620.9871tt ttt t t t CC --===⨯⨯-⨯⨯=-=∑∑………………………………………………………………………………………………………………………12分21．(1)由已知得(0)2f =，2()ln(1)(0)22f x x f x x '=+--+从而1()2(0)21f x f x x ''=--+，(0)1f '=- 于是2()ln(1)22f x x x x =++-+由于2121()2211x f x x x x -'=+-=++，故当(1,2x ∈--时，()0f x '>；当(22x ∈-时，()0f x '<；当)2x ∈+∞时，()0f x '> 从而()f x的单调增区间为(1,2--和)2+∞单调减区间为(,22-……………………………………………………………………………………6分 (2)由已知条件得ln(1)(2)2b x a x ≥+-++设()ln(1)(2)2g x x a x =+-++，则1()(2)1g x a x '=-++ ①若20a +≤，则()0g x '>，()g x 无最大值 ②若20a +>，则当1(1,1)2x a ∈--+时，()0g x '>；当1(1,)2x a ∈-+∞+时，()0g x '< 从而()g x 在1(1,1)2a --+上单调递增，在1(1,)2a -+∞+上单调递减故()g x 有最大值1(1)3ln(2)2g a a a -=+-++所以2()f x x ax b ≤++等价于3ln(2)b a a ≥+-+ 因此3ln(2)22b a a a a --+≥++ 设ln(2)()2a a h a a -+=+，则21ln(2)()(2)a h a a ++'=+当12,2ea ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0h a '<；当12,e a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭时，()0h a '> 所以()h a 在12,2e⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在12,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 故()h a 有最小值1(2)1e eh -=- 从而31e 2b a -≥-+ 当且仅当12,e 3ln(2),a b a a ⎧=-⎪⎨⎪=+-+⎩即12,e 12,e a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩时，32b a -+的最小值为1e -……………………………………………………………………………………………………12分22.(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()2(1)e x b f x ax x x'=++由题意可得(1)e=e f a =,(1)3e 3e 1f a b '=+=-故1a =，1b =-………………………………………………………………………………………………4分 (2)解法一：由(1)知，2()e ln x f x x x =-，从而11()10f x >等价于152211ln e 10xx x x+>设函数12e ()x g x x=，则321()()e 2x g x x x -'=-所以当1(0,)2x Î时，()0g x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0g x '>故()g x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为121()2g =设函数5211ln 10()x h x x+=，则7275()(ln )42h x x x -'=-+所以当710(0,e )x -Î时，()0h x '>；当710(e,)x -∈+∞时，()0h x '<故()h x 在710(0,e)-单调递增，在710(e ,)-+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为771042(e)e 5h -=因为5625e 4>54e17242e 5> 综上，当0x >时，()()g x h x >，即11()10f x >…………………………………………………………12分………………………………………………………………………………………………………………………１２分。

绝密★启用前华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二上学期期中检测理科数学试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据抛物线标准方程，可求得p，进而求得焦点坐标。

【详解】将抛物线方程化为标准方程为，可知所以焦点坐标为所以选D【点睛】本题考查了抛物线的基本性质，属于基础题。

2．设满足约束条件，则的最大值为A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】利用线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移可得最大值。

【详解】根据约束条件，画出可行域如下图所示：将图中目标函数（红色）平移，可知当平移经过P点（蓝色）时目标函数取得最大值，此时P(1,2)所以最大值为z=-3×1+4×2=5所以选B【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，注意可行域的选择，属于基础题。

3．点M的直角坐标为，则点M的一个极坐标为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据极坐标与直角坐标的转化公式即可求得直角坐标。

【详解】由极坐标与直角坐标转化公式，代入得因为M位于第四象限，所以所以极坐标为【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的转化，注意点所在的象限，属于基础题。

4．已知圆与圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】两个圆相减，可得交点弦所在的直线方程；再由弦的垂直平分线过圆心及斜率关系，求得AB的垂直平分线方程。

【详解】圆与圆相交于A、B两点所以AB所在的直线方程为两个方程相减，得3x-3y+4=0AB垂直平分线的斜率为x+y+b=0圆的圆心为（1,2）将（1,2）代入x+y+b=0解得b=-3所以AB的垂直平分线的方程为所以选A【点睛】本题考查了圆方程的简单应用，注意相关性质的用法，属于基础题。

5．曲线与曲线的A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】C【解析】【分析】先利用椭圆的性质可分别求得两个曲线的长轴，短轴的长、焦距、离心率和准线方程，进而比较可推断出答案．由题可知曲线表示的椭圆焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为；曲线表示的椭圆焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为，所以曲线与曲线的焦距相等．故选C．【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，椭圆的简单性质．考查了学生对椭圆基础知识的掌握．6．过的直线l与圆相交于A，B两点，且，则直线l 的方程为A．B．或C．或D．或【答案】B【解析】【分析】根据题意，画出图形，讨论斜率是否存在时的情况，进而利用点到直线的距离公式求得直线方程。

华中师大一附中2008—2009学年度第二学期期中检测高二年级数学（理科）试题时限：120分钟 满分：150分 命题人：胡敏 审题人：帅建成一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1．若1=ab ，则4)(b a -的展开式中间项的值为 A ．6B ．4C ．2D ．12．5个人站成一排，其中甲与乙相邻，且甲、乙都不与丙相邻的排法总数是 A ．12B ．24C ．48D ．723．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为S 1、S 2、S 3，则三棱锥的体积为 A ．321S S SB ．3321S S S C ．32321S S S D ．6321S S S 4．已知甲、乙两个射手同时向同一目标各射击一次，甲命中率为32，乙命中率为21，且互不影响，则在三次独立射击中（各射击三次），甲恰有1次击中且乙恰有2次击中目标的概率为A ．31B ．91C ．121D ．2415．已知球O 的直径为4，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球间距离均为32π，则球心O 到平面ABC 的距离为 A ．362 B ．332 C ．36 D ．364 6．3名教师和6名学生被安排到A 、B 、C 三个不同地方进行社会调查，每处安排1名教师和2名学生，则不同的安排方案有 A ．90种B ．180种C ．540种D ．3240种7．若5522105)32(x a x a x a a x ++++=- ，则25312420)()(a a a a a a ++-++的值为 A ．1B ．1-C ．32D ．32-8．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为m ，其中正四面体的个数为n ，则n m -的值为 A ．56B ．50C ．58D ．429．在正三棱锥BCD A -中，E 为侧棱AD 上一点，二面角A BC E --与二面角D BC E --的大小分别为α、β，且设△ABC 、△EBC 、△DBC 的面积为S 1、S 2、S 3，则A ．213sin sin )sin(S S S βαβα+=+EBDAB ．132sin sin )sin(S S S βαβα+=+ C ．312sin sin )sin(S S S βαβα+=+ D ．321sin sin )sin(S S S βαβα+=+ 10．将1、2、3、…、9这9个数字全部填入图中9个空格中，要求每行从左到右，每列从上到下，依次地增大，若a 、∈b {3，4，5}A ．12B ．21C ．18D ．15二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．在5)1)(1(ax x ++展开式中，含2x 项的系数为15，则a 的值为 ．12．从5名男生和4名女生中选出4人参加学科小组，若这4人小组中必须既有男生又有女生，则不同选法有 种．（用数字作答）13．若正八面体的棱长都是2，则其内切球（与面相切）的体积为 ． 14．将9个相同的球放入3个编号分别为1，2，3的三个不同盒子中（每盒不空），则放入的球数不小于盒子的编号数的概率为 ．15．将数k n C k )1(+ ∈n (N *, k =0, 1, …, n ) 排成下表：第一行 1 2第二行 1 4 3 第三行 1 6 9 4 第四行 1 8 18 16 5 ………………第n 行 1 12n C 23n C …… nn C n )1(+（ⅰ）当n 为奇数时，第n 行的最大项为第_________项． （ⅱ）第n 行的各数之和为 ．华中师大一附中2008—2009学年度第二学期期中检测 高二年级数学（理科）试题答题卷时限：120分钟 满分：150分 命题人：胡敏 审题人：帅建成一、选择题二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11． 12． 13．14． 15．（ⅰ） （ⅱ） 三、解答题（共6小题，75分）16．（12分）已知n x x )(3-的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512， （1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．（2）求n x x x )1()1()1(43-++-+- 展开式中2x 项的系数．17．（12分）设集合A ={0，2，4，6}，B ={1，3，5，7}，从集合A 、B 中各取2个元素组成没有重复数字的四位数． （1）可组成多少个这样的四位数？（2）有多少个是2的倍数或者是5的倍数？18．（12分）如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为4，M 为A 1B 的中点，F 为A 1C 1中点 （1）求证：AB ⊥平面CMC 1．（2）求异面直线AF 、CM 所成角的余弦． （3）求二面角B MC A --的大小．B CA C 119．（12分）在某地举行的知识竞赛中，甲、乙、丙、丁四人回答同一道题，且互不影响．已知甲答对的概率是43，甲、乙都对的概率是21，乙、丙都错的概率是245，丁答错的概率为32，求： （1）乙、丙两人各自答对这道题的概率．（2）甲、乙、丙三人中至多有1人答对这道题的概率． （3）这四人全答对或全答错的概率．20．（13分）如图，一个多面体是由一个正方体和一个正四棱锥拼成，且各棱长都是3cm ，现知某质点在多面体的表面上行进，其速度为2cm/秒．（1）求质点从O 点到A 点行进所需的最少时间．（2）若质点从O 出发沿棱的路线行进，出发时，沿各棱方向行进的概率相同，当来到交点处时，按各棱方向继续行进（不后退）的概率也相同，求：质点经过4.5秒钟由O 点到达A 点的概率．DBCA 1B 1C 1OA D 121．（14分）在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，F 是棱BC 的中点，M 为线段A 1F 上的一动点（1）当AF M D ⊥1时，求MF MA 1的值．（2）当211=MF M A 时，求点A 1到平面C 1D 1M 的距离． （3）设λ=MFMA 1，当λ为何值时，△DMD 1与△CMC 1的面积之和最小，并求出最小值．高二年级（理科）数学试题参考答案B A 1二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．1，23-12．120 13．π2768 14．145 15．(i)23+n (ii)12)2(-+n n 三、解答题（共6小题，75分）16．（1）912025122===++-n n n C C∴91=-n ，10=n6510321010310101)1()1()()(rrr rr rr r r r r xC x C x x C T -+--+-=-=-= ( r =0, 1, …，10 )∵∈-65rZ ，∴0=r ，6有理项为550101x x C T ==，446107210x x C T ==……………………………… 6分（2）∵r n r n r n C C C 11+-=+，∴rn r n r n C C C -=+-112x 项的系数为)()()(310311343533342102423C C C C C C C C C -++-+-=+++16433311=-=C C …………………………12分17．（1）按先选后排第一类，不含0：有432442423=⋅⋅A C C 个第二类，含0：有324)(33132413=⋅⋅A C C C 个∴由分类计数原理，共有432+324=756个…………………………………5分 （2）是2的倍数，即偶数第一类，不含0： 有216)(33122423=⋅⋅A A C C 个 含0： 选数 有2413C C ⋅种 排数，0在末位，有33A 种0不在末位，有2212A A ⋅种 ∴有180)(2212332413=⋅+A A A C C 个∴共有216+180=396个第二类，是5的倍数，只考虑奇数，即个位为5同理有90个∴是2的倍数或者是5的倍数的无重复数字的四位数共有396+90=486个……………………………………………………12分18．（1）取AB 中点D ，连MD 、CD∵正三棱柱，AA 1⊥底面ABC ，MD ∥A 1A ， ∴MD ⊥面ABC ，∴MC 在面ABC 内射影为CD∵正三角形ABC ，∴AB ⊥CD ，又AB ⊥AA 1，AA 1∥CC 1∴AB ⊥C 1C ，而MC 、C 1C 相交，∴AB ⊥平面CMC 1……………………4分 （2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图则A (0, 0, 0)，A 1(0, 0, 4)，3(B , 1, 0)，C (0, 2, 0)∴点23(M , 21, 2)，F (0, 1, 4)，=AF (0, 1, 4)，=CM 23(, 23-, 2) ∴2138230=+-=⋅CM AF119213717213||||,cos =⋅=⋅>=<CM AF ∴直线AF 、CM 所成角的余弦为119213………………………………8分（3）作BG ⊥MC 于G ，连AG ，由△BMC ≅△AMC ，∴AG ⊥MC∴AGB ∠为二面角B MC A --的平面角在△AGB 中，求得719==BG AG ，又AB =2 ∴1952cos 222=⋅-+=∠BG AG AB BG AG AGB ∴195arccos=∠AGB 即二面角B MC A --的大小为195arccos………………………………12分 19．（1）设甲、乙、丙、丁各自答对的事件为A i (i =1, 2, 3, 4)，由相互独立，得43)(1=A P 21)()()(2121=⋅=A P A P A A P 245)()()(3232=⋅=A P A P A A P ∴32)(2=A P ，83)(3=A P 又32)(4=A P ，∴31)(1)(44=-=A P A P 即乙、丙各自答对的概率分别为32，83………………………………4分 （2）甲、乙、丙三人中至多有1人答对（i ）没有人答对，965)()()()(321321=⋅⋅=⋅⋅A P A P A P A A A P （ii ）恰有1人答对，由互斥，有)()()()(321321321321321321A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A P ++=++ 247833141853241853143=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ∴至少有1人答对的概率为3211247965=+=P …………………………………9分 （3）这四人全答对或全答错概率为7271445161)()()(4321432143214321=+=+=+A A A A P A A A A P A A A A A A A A P …… 12分 20．（1）由表面展开，得O 、A 最短距离为323150cos 33233150cos 222112121+=︒⨯⨯-+=︒⋅⋅-+=A A OA A A OA s∴所需最少时间为4)26(32+==s t 秒……………………………………… 5分 （2）∵由条件知，行进4.5秒，需行9cm ，即经过3条棱，有四种走法若按A B B O ---1，概率为2412131411=⨯⨯=P 按A A B O ---11，概率为3613131412=⨯⨯=P 按A D D O ---1，概率为2412131413=⨯⨯=P 按A A D O ---11，概率为3613131414=⨯⨯=P ∴由互斥，经过4.5秒钟由点O 到达A 的概率为3654321=+++=P P P P P ………………………………………………………13分 21．（1）连AF ，作MG ∥A 1A ，交AF 于G ，则MG ⊥面ABCD ∴D 1M 在面ABCD 内射影为DG∵D 1M ⊥AF ，∴DG ⊥AF ，∴321==GF AG MF M A ……………………………… 3分（2）∵A 1B 1∥平面C 1D 1M ，∴点A 1到面C 1D 1M 的距离即为点B 1到面C 1D 1M 的距离连B 1F ，在△A 1B 1F 中作MN ∥A 1B 1，MN 交B 1F 于N ，连C 1N ∵A 1B 1∥D 1M ，∴MN ∥DG作B 1H ⊥C 1N 于H ，又可得BH ⊥D 1C 1，∴B 1H ⊥面D 1C 1M ，即B 1H 为点B 1到面D 1C 1M 的距离在△B 1C 1N 中，求得a F B N B 653111==，a N C 6291= 又B 1C 1=a ，∴295cos 11=∠N C B ，29292292sin ==θ ∴a C B H B 29292sin 111==θ……………………………………………………6分 （3）GD ⊥D 1D ，GC ⊥C 1C ，∴GD a a GD S DMD 2211=⋅=∆，GC aS CMC 21=∆∴)(211GD GD aS S CMC DMD +=+∆∆ 即求GD +GC 的最小值以A 为原点，AB 、AD 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，∴直线AF ：x y 21= 设D 关于直线AF 对称点E (x , y ), 又D (0, a ), F (a , )21a ，C (a , a ) 则求得E 坐标为54(a, )53a - ∴直线EC ：78-=x y 与AF 交点1514(a G , )157a∴565)53()54()(22a a a a a EC GC GD =++-==+最小， ∴21065)(11a S S CMC DMD =+∆∆最小 此时，141==GFAGMF M A ，即当14=λ时，△DMD 1与△CMC 1面积之和最小 最小值为最小21065a …………………………………………………………14分。

2018-2019学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）若i为虚数单位.复数z=3+i.则表示复数z1+i的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（单选题.5分）一物体的运动方程是s= 12at2（a为常数）.则该物体在t=t0时的瞬时速度是（）A.at0B.-at0C. 12at0D.2at03.（单选题.5分）曲线y=sinx+e x（其中e=2.71828…是自然对数的底数）在点（0.1）处的切线的斜率为（）A.2B.3C. 13D. 124.（单选题.5分）已知三个正态分布密度函数Φi（x）= 1√2πσi e−(x−μi)22σi2(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示的图象如图所示.则（）A.μ1＜μ2=μ3.σ1=σ2＞σ3B.μ1＞μ2=μ3.σ1=σ2＜σ3C.μ1=μ2＜μ3.σ1＜σ2=σ3D.μ1＜μ2=μ3.σ1=σ2＜σ35.（单选题.5分）设0＜p＜1.随机变量X的分布列是X 1 2P p21−p212则当p在（0.1）内增大时.（）A.E（X）增大B.E（X）减小C.E（X）先增大.后减小D.E（X）先减小.后增大6.（单选题.5分）设f0（x）=sinx.f1（x）=f'0（x）.f2（x）=f'1（x）.….f n+1（x）=f'n（x）.n∈N*.则f2019（x）=（）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx7.（单选题.5分）一次考试中.某班级数学成绩不及格的学生占20%.数学成绩和物理成绩都不及格的学生占15%.已知该班某学生数学成绩不及格.则该生物理成绩也不及格的概率为（）A.0.15B.0.2C.0.3D.0.758.（单选题.5分）设函数f（x）在定义域内可导.y=f（x）的图象如图所示.则导函数f'（x）的图象可能是（）A.B.C.D.9.（单选题.5分）分别抛掷2枚质地均匀的硬币.设“第1枚为正面”为事件A.“第2枚为正面”为事件B.“2枚结果相同”为事件C.有下列三个命题： ① 事件A 与事件B 相互独立； ② 事件B 与事件C 相互独立； ③ 事件C 与事件A 相互独立． 以上命题中.正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.310.（单选题.5分）若 f (x )=x 3+3∫f (x )dx 10 .则 ∫f (x )dx =10 （ ） A.-1 B. −13C. −14D. −1811.（单选题.5分）已知函数f（x）=ax3-3x2+1.若f（x）存在唯一的零点x0.且x0＜0.则a的取值范围是（）A.（2.+∞）B.（1.+∞）C.（-∞.-2）D.（-∞.-1）12.（单选题.5分）若函数f（x）满足xf'（x）-2f（x）=x2e x.f（2）=-2e2.则当x＞0时.f（x）（）A.有极大值.无极小值B.有极小值.无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值13.（填空题.5分）复数z满足1+z=i.则|z|=___ ．1−z14.（填空题.5分）如图.CDEF是以O为圆心.半径为1的圆的内接正方形.点H是劣弧EF̂的中点.将一颗豆子随机地扔到圆O内.用A表示事件“豆子落在扇形OCFH内”.B表示事件“豆子落在正方形CDEF内”.则P（B|A）=___ ．15.（填空题.5分）某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成.元件1或元件2正常工作.且元件3或元件4正常工作.则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000.502）.且各个元件能否正常工作相互独立.那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为___ ．16.（填空题.5分）传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体.其底面半径原为12cm且以每秒1cm等速率缩短.而长度以每秒20cm 等速率增长．已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm为止.且知在这段变形过程中.当底面半径为10cm 时其体积最大．假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒.则此时金箍棒的底面半径为___ cm ．17.（问答题.10分）已知z=1+i.a.b 为实数． （1）若 ω=z 2+3z −4 .求|ω|； （2）若 z 2+az+bz 2−z+1=1−i .求a.b 的值．18.（问答题.12分）袋中有20个大小相同的球.其中标号为0的有10个.标号为n 的有n 个（n=1.2.3.4）．现从袋中任取一球.X 表示所取球的标号．求X 的分布列、数学期望和方差．19.（问答题.12分）已知 f (x )=a (x −lnx )+2x−1x 2 .a∈R ．求f （x ）的单调增区间．20.（问答题.12分）Monte-Carlo 方法在解决数学问题中有广泛的应用．下面利用Monte-Carlo 方法来估算定积分 ∫x 410dx ．考虑到 ∫x 410dx 等于由曲线y=x 4.x 轴.直线x=1所围成的区域M 的面积.如图.在M 外作一个边长为1正方形OABC ．在正方形OABC 内随机投掷n 个点.若n 个点中有m 个点落入M 中.则M 的面积的估计值为 mn.此即为定积分 ∫x 410dx 的估计值．现向正方形OABC 中随机投掷10000个点.以X 表示落入M 中的点的数目． （1）求X 的期望E （X ）和方差D （X ）；（2）求用以上方法估算定积分 ∫x 410dx 时. ∫x 410dx 的估计值与 实际值之差在区间（-0.01.0.01）的概率．附表：P （k ）= ∑C 10000t k t=0 ×0.2t ×0.810000-tk 1899 1900 1901 2099 2100 2101 P（k）0.0058 0.0062 0.0067 0.9933 0.9938 0.994221.（问答题.12分）已知函数f（x）=ln（x+1）-f'（0）x2-f（0）x+2．（1）求f（x）的解析式；的最小值．（2）若f（x）≤x2+ax+b.求b−3a+222.（问答题.12分）已知函数f（x）=ax2e x+blnx.曲线y=f（x）在（1.f（1））处的切线方程为y=（3e-1）（x-1）+e．（e=2.71828…为自然对数的底数. √e≈1.649，e2≈7.389 .e0.495≈1.640.e-0.703≈0.495）（1）求a.b的值；．（2）证明：f(x)＞11102018-2019学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）若i为虚数单位.复数z=3+i.则表示复数z1+i的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：D【解析】：把z=3+i代入z1+i.利用复数代数形式的乘除运算化简.求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】：解：∵z=3+i.∴ z1+i = 3+i1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i .∴表示复数z1+i的点的坐标为（2.-1）.在第四象限．故选：D．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的代数表示法及其几何意义.是基础题．2.（单选题.5分）一物体的运动方程是s= 12at2（a为常数）.则该物体在t=t0时的瞬时速度是（）A.at0B.-at0C. 12at0D.2at0【正确答案】：A【解析】：由一物体的运动方程是s= 12at2（a为常数）.我们易求出s′.即质点运动的瞬时速度表达式.将t=t0代入s′的表达式中.即可得到答案．【解答】：解：∵s= 12at2.∴s′=at∵s′（t0）=at0．∴物体在t=t0时的瞬时速度是at0．故选：A．【点评】：本题考查的知识点是变化的快慢与变化率.其中根据质点位移与时间的关系时.求导得到质点瞬时速度的表达式是解答本题的关键．3.（单选题.5分）曲线y=sinx+e x（其中e=2.71828…是自然对数的底数）在点（0.1）处的切线的斜率为（）A.2B.3C. 13D. 12【正确答案】：A【解析】：先求导.根据导数的几何意义.斜率k=k=y′|x=0.解得即可．【解答】：解：∵y′=cosx+e x.k=y′|x=0=cos0+e0=2.故选：A．【点评】：本题考查了导数的几何意义.属于基础题．4.（单选题.5分）已知三个正态分布密度函数Φi（x）= 1√2πσi e−(x−μi)22σi2(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示的图象如图所示.则（）A.μ1＜μ2=μ3.σ1=σ2＞σ3B.μ1＞μ2=μ3.σ1=σ2＜σ3C.μ1=μ2＜μ3.σ1＜σ2=σ3D.μ1＜μ2=μ3.σ1=σ2＜σ3【正确答案】：D【解析】：正态曲线关于x=μ对称.且μ越大图象越靠近右边.第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小.且二.三两个的均值相等.又有σ越小图象越瘦长.得到正确的结果．【解答】：解：∵正态曲线关于x=μ对称.且μ越大图象越靠近右边.∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小.且二.三两个的均值相等.只能从A.D两个答案中选一个.∵σ越小图象越瘦长.得到第二个图象的σ比第三个的σ要小.故选：D．【点评】：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响.是一个基础题．5.（单选题.5分）设0＜p＜1.随机变量X的分布列是A.E（X）增大B.E（X）减小C.E（X）先增大.后减小D.E（X）先减小.后增大【正确答案】：B【解析】：由随机变量X的分布列的性质求出E（X）= 3−p2.由此能求出当p在（0.1）内增大时.E（X）减少．【解答】：解：∵0＜p＜1.∴由随机变量X的分布列的性质得：E（X）=0× p2 +1× 1−p2+2× 12= 3−p2.∴当p在（0.1）内增大时.E（X）减少．故选：B．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查随机变量的分布列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（单选题.5分）设f0（x）=sinx.f1（x）=f'0（x）.f2（x）=f'1（x）.….f n+1（x）=f'n（x）.n∈N*.则f2019（x）=（）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【正确答案】：D【解析】：根据题意.依次求出f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x）的值.分析可得f n+4（x）=f n （x）.据此可得f2019（x）=f3（x）.即可得答案．【解答】：解：根据题意.f0（x）=sinx.f1（x）=f'0（x）=cosx.f2（x）=f'1（x）=-sinx.f3（x）=f'2（x）=-cosx.f4（x）=f'3（x）=sinx.则有f1（x）=f4（x）.f2（x）=f5（x）.……则有f n+4（x）=f n（x）.则f2019（x）=f3（x）=-cosx；故选：D．【点评】：本题考查导数的计算.涉及归纳推理的应用.关键是掌握导数的计算公式．7.（单选题.5分）一次考试中.某班级数学成绩不及格的学生占20%.数学成绩和物理成绩都不及格的学生占15%.已知该班某学生数学成绩不及格.则该生物理成绩也不及格的概率为（）A.0.15B.0.2C.0.3D.0.75【正确答案】：D【解析】：设事件A表示“某班级数学成绩不及格的学生”.事件B表示“某班级物理成绩不及格的学生”.则P（A）=0.2.P（AB）=0.15.该班某学生数学成绩不及格.利用条件概率计算公式能求出该生物理成绩也不及格的概率．【解答】：解：设事件A 表示“某班级数学成绩不及格的学生”. 事件B 表示“某班级物理成绩不及格的学生”. 则P （A ）=0.2.P （AB ）=0.15. ∴该班某学生数学成绩不及格. 则该生物理成绩也不及格的概率为： P （B/A ）= P (AB )P (A ) = 0.150.2 =0.75． 故选：D ．【点评】：本题考查概率的求法.考查条件概率计算公式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．8.（单选题.5分）设函数f （x ）在定义域内可导.y=f （x ）的图象如图所示.则导函数f'（x ）的图象可能是（ ）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据题意.由函数的图象分析函数的单调性.结合函数的导数与单调性的关系分析可得答案．【解答】：解：根据题意.由f（x）的图象分析可得：f（x）为偶函数.则其导数为奇函数.且f（x）先是增函数.接着是减函数.随后是增函数.最后是减函数.则其导数f′（x）开始为正.接着为负.随后为正.最后为负值；故选：A．【点评】：本题考查利用导数分析函数的单调性.关键是掌握函数的导数与单调性的关系.属于基础题．9.（单选题.5分）分别抛掷2枚质地均匀的硬币.设“第1枚为正面”为事件A.“第2枚为正面”为事件B.“2枚结果相同”为事件C.有下列三个命题：① 事件A与事件B相互独立；② 事件B与事件C相互独立；③ 事件C与事件A相互独立．以上命题中.正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：D【解析】：根据相互独立事件的定义直接求解．【解答】：解：分别抛掷2枚质地均匀的硬币.设“第1枚为正面”为事件A. “第2枚为正面”为事件B.“2枚结果相同”为事件C. 则由相互独立事件定义得：在 ① 中.事件A 与事件B 相互独立.故 ① 正确； 在 ② 中.事件B 与事件C 相互独立.故 ② 正确； 在 ③ 中.事件C 与事件A 相互独立.故 ③ 正确． 故选：D ．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查相互独立事件的定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．10.（单选题.5分）若 f (x )=x 3+3∫f (x )dx 10 .则 ∫f (x )dx =10 （ ） A.-1 B. −13 C. −14 D. −18【正确答案】：D【解析】：设 ∫f (x )dx =10 t.则 ∫f (x )dx =10 t= ∫(x 3+3t )10dx .积分后解方程即可．【解答】：解：依题意.设 ∫f (x )dx =10 t.则 ∫f (x )dx =10 t= ∫(x 3+3t )10dx = (14x 4+3tx)|10. 所以t= 14+3t .解得t=- 18 .即 ∫f (x )dx =10 - 18 . 故选：D ．【点评】：本题考查了定积分的求法.解决本题的关键是了解 ∫f 10(x )dx 为一个常数.设出该常数的值后用换元法解决即可.本题属于中档题．11.（单选题.5分）已知函数f （x ）=ax 3-3x 2+1.若f （x ）存在唯一的零点x 0.且x 0＜0.则a 的取值范围是（ ） A.（2.+∞） B.（1.+∞）C.（-∞.-2）D.（-∞.-1） 【正确答案】：A【解析】：由题意判断出a ＞0.再由题意可知f （ 2a ）＞0.从而求出a【解答】：解：∵函数f （x ）=ax 3-3x 2+1.f （0）=1.且f （x ）存在唯一的零点x°.且x°＜0. ∴a ＞0.∴f′（x ）=3ax 2-6x=3x （ax-2）=0时的解为x=0.x= 2a ；∴f （ 2a ）=a （ 2a ）3-3（ 2a ）2+1= a 2−4a 2 ＞0.则a ＞2． 故选：A ．【点评】：本题考查了函数的零点的判断.求导数判断求解即可.12.（单选题.5分）若函数f （x ）满足xf'（x ）-2f （x ）=x 2e x .f （2）=-2e 2.则当x ＞0时.f （x ）（ ）A.有极大值.无极小值B.有极小值.无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值 【正确答案】：B【解析】：xf'（x ）-2f （x ）=x 2e x .设F （x ）= f (x )x 2 .根据已知条件可得F'（x ）= e xx .x ＞0时.F'（x ）＞0.可得F （x ）的单调性．利用f'（x ）=xe x + 2f (x )x=xe x +2xF （x ）=x （e x +2F （x ））．进而判断出结论．【解答】：解：∵xf'（x ）-2f （x ）=x 2e x .设F （x ）= f (x )x 2. ∴F'（x ）=x 2f ′(x )−2xf (x )x 4 = xf′(x )−2f (x )x 3 .又xf'（x ）-2f （x ）=x 2e x .∴F'（x ）= e xx .x ＞0时.F'（x ）＞0． ∴F （x ）在（0.+∞）上单调递增． ∴f'（x ）=xe x +2f (x )x=xe x +2xF （x ）=x （e x +2F （x ））． f′（2）=2（e 2+2F （2））=2（e 2+2×f (2)4）=0.f″（x）=e x（1+x）+2F（x）+2xF′（x）=e x（1+x）+2 f(x)x2+2e x.∴f″（2）=5e2-e2=4e2＞0.∴x=2时.函数f（x）取得极小值．∴当x＞0时.f（x）有极小值.而无极大值．故选：B．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、构造法.考查了推理能力与计算能力.属于难题．13.（填空题.5分）复数z满足1+z1−z=i.则|z|=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：直接由1+z1−z=i利用复数代数形式的乘除运算求出z.则z的模可求．【解答】：解：∵ 1+z1−z=i.∴ z=−1+i1+i =(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2i2=i．则|z|=1．故答案为：1．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查了复数模的求法.是基础题．14.（填空题.5分）如图.CDEF是以O为圆心.半径为1的圆的内接正方形.点H是劣弧EF̂的中点.将一颗豆子随机地扔到圆O内.用A表示事件“豆子落在扇形OCFH内”.B表示事件“豆子落在正方形CDEF内”.则P（B|A）=___ ．【正确答案】：[1]【解析】：由条件概率及几何概型中的面积型得：S扇OCFH= 12 × 3π4×12= 3π8.S阴=(√22+√2)×√222= 34.即P（B|A）= S 阴S扇OCFH =343π8= 2π.得解．【解答】：解：由图可知：∠COH=135°. 则S扇OCFH= 12 × 3π4 ×12= 3π8 .S 阴=(√22+√2)×√222= 34 .即P （B|A ）= S 阴S扇OCFH= 343π8= 2π .故答案为： 2π ．【点评】：本题考查了条件概率及几何概型中的面积型.属中档题．15.（填空题.5分）某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成.元件1或元件2正常工作.且元件3或元件4正常工作.则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000.502）.且各个元件能否正常工作相互独立.那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为___ ．【正确答案】：[1] 916【解析】：先根据正态分布的意义.知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为0.5.而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当超过1000小时时.元件1、元件2至少有一个正常和“超过1000小时.件3或元件4至少有一个正常同时发生.由于其为独立事件.故分别求其概率再相乘即可．【解答】：解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N （1000.502） 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为P=0.5．设A={超过1000小时时.元件1、元件2至少有一个正常}.B={超过1000小时时.元件3、元件4至少有一个正常}.C={该部件的使用寿命超过1000小时} 则P （A ）=1-（1-P ）2.P （B ）=1-（1-P ）2.∵事件A.B为相互独立事件.事件C为A、B同时发生的事件∴P（C）=P（AB）=P（A）P（B）= 34 × 34= 916．故答案为：916．【点评】：本题主要考查了正态分布的意义.独立事件同时发生的概率运算.对立事件的概率运算等基础知识．16.（填空题.5分）传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体.其底面半径原为12cm且以每秒1cm等速率缩短.而长度以每秒20cm 等速率增长．已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm为止.且知在这段变形过程中.当底面半径为10cm时其体积最大．假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒.则此时金箍棒的底面半径为___ cm．【正确答案】：[1]4【解析】：设原来定海神针为acm.t秒时神针体积为V（t）.则V（t）=π（12-t）2•（a+20t）.0≤t≤8.求导.求出a的值.再根据导数和函数的最值的关系即可求出．【解答】：解：设原来定海神针为acm.t秒时神针体积为V（t）.则V（t）=π（12-t）2•（a+20t）.0≤t≤8.则V′（t）=π[（t-12）（a+20t）+20（12-t）2].∵当底面半径为10cm时其体积最大.∴10=12-t.解得t=2.此时V′（2）=0.解得a=60.∴V（t）=π（12-t）2•（60+20t）.0≤t≤8.V′（t）=60π（12-t）（2-t）.当t∈（0.2）时.V（t）＞0.当t∈（2.8）时.V（t）＜0.∴V（t）在（0.2）上递增.在（2.8）上递减.∵V（0）=8640π.V（8）=3520π.∴当t=8时.V（t）有最小值.此时金箍棒的底面半径为4cm.故答案为：4【点评】：本题考查了导数的最值在实际生活中的应用.属于中档题．17.（问答题.10分）已知z=1+i.a.b为实数．（1）若ω=z2+3z−4 .求|ω|；（2）若z 2+az+bz2−z+1=1−i .求a.b的值．【正确答案】：【解析】：（1）直接把z=1+i代入ω=z2+3z−4化简.再由复数求模公式计算得答案；（2）直接把z=1+i代入z 2+az+bz2−z+1化简.再由复数相等的条件计算即可求出a.b的值．【解答】：解：（1）∵z=1+i.∴ z=1−i．∴ ω=z2+3z−4 =（1+i）2+3（1-i）-4=-1-i∴|ω|= √(−1)2+(−1)2=√2；（2）∵z=1+i.∴ z2+az+bz2−z+1=(1+i)2+a(1+i)+b (1+i)2−(1+i)+1= (a+b)+(2+a)ii =−i[(a+b)+(2+a)i]−i2=2+a-（a+b）i=1-i.∴ {2+a=1 a+b=1 .解得{a=−1b=2．∴a.b的值为：-1.2．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算.考查了复数模的求法.是中档题．18.（问答题.12分）袋中有20个大小相同的球.其中标号为0的有10个.标号为n的有n个（n=1.2.3.4）．现从袋中任取一球.X表示所取球的标号．求X的分布列、数学期望和方差．【正确答案】：【解析】：根据古典概型概率公式求得概率.可得分布列、期望和方差．【解答】：解：X的分布列为∴E（X）=0×2 +1×20+2×10+3×20+4×5=1.5∴D（X）=（0-1.5）2× 12 +（1-1.5）2× 120+（2-1.5）2× 1102× 320+（4-1.5）2× 15=2.75．【点评】：本题考查了离散型随机变量的期望与方差.属中档题．19.（问答题.12分）已知f(x)=a(x−lnx)+2x−1x2.a∈R．求f（x）的单调增区间．【正确答案】：【解析】：对函数f(x)=a(x−lnx)+2x−1x2.a∈R．进行求导.在定义域内对a的值进行讨论即可．【解答】：解：已知f(x)=a(x−lnx)+2x−1x2.a∈R．f（x）的定义域为：（0.+∞）.f′（x）=a- ax - 2x2+ 2x3= (ax2−2)(x−1)x3；当a≤0时.若：x∈（0.1）.则：f′（x）＞0.f（x）单调递增；当a＞0时.f′（x）=a (x−1)x3（x- √2a）（x+ √2a）；（i）当0＜a＜2时. √2a＞1.当x∈（0.1）或x∈（√2a.+∞）时.f′（x）＞0.f（x）单调递增；（ii）当a=2时. √2a=1.在x∈（0.+∞）上.f′（x）≥0.f（x）单调递增；（iii）当a＞2时. 0＜√2a＜1当x∈(0，√2a)或x∈（1.+∞）时.f'（x）＞0.f（x）单调递增；综上所述.当a≤0时.f（x）在（0.1）上单调递增当0＜a ＜2时.f （x ）在（0.1）. (√2a，+∞) 上单调递增 当a=2时.f （x ）在（0.+∞）上单调递增当a ＞2时.f （x ）在 x ∈(0，√2a ) .（1.+∞）上单调递增；故答案为：当a≤0时.f （x ）在（0.1）上单调递增 当0＜a ＜2时.f （x ）在（0.1）. (√2a ，+∞) 上单调递增 当a=2时.f （x ）在（0.+∞）上单调递增当a ＞2时.f （x ）在 x ∈(0，√2a ) .（1.+∞）上单调递增．【点评】：本题考查函数的导数应用.函数的单调性以及分类讨论思想的应用.考查计算和对参数讨论能力．20.（问答题.12分）Monte-Carlo 方法在解决数学问题中有广泛的应用．下面利用Monte-Carlo 方法来估算定积分 ∫x 410dx ．考虑到 ∫x 410dx 等于由曲线y=x 4.x 轴.直线x=1所围成的区域M 的面积.如图.在M 外作一个边长为1正方形OABC ．在正方形OABC 内随机投掷n 个点.若n 个点中有m 个点落入M 中.则M 的面积的估计值为 mn.此即为定积分 ∫x 410dx 的估计值．现向正方形OABC 中随机投掷10000个点.以X 表示落入M 中的点的数目． （1）求X 的期望E （X ）和方差D （X ）；（2）求用以上方法估算定积分 ∫x 410dx 时. ∫x 410dx 的估计值与 实际值之差在区间（-0.01.0.01）的概率．附表：P （k ）= ∑C 10000t k t=0 ×0.2t ×0.810000-t k 1899 1900 1901 2099 2100 2101 P （k ） 0.00580.00620.0067 0.9933 0.9938 0.9942【正确答案】：【解析】：（1）依题意利用定积分计算概率p.再求出数学期望和方差；（2）依题意知所求概率为P（-0.01＜X10000-0.2＜0.01）.利用定积分的定义计算即可．【解答】：解：（1）依题意.每个点落入M中的概率为p= ∫1x4dx=0.2.且X～B（10000.0.2）.所以数学期望为E（X）=10000×0.2=2000.方差为D（X）=10000×0.2×0.8=1600；（2）依题意.所求概率为P（-0.01＜X10000-0.2＜0.01）.且P（-0.01＜X10000-0.2＜0.01）=P（1900＜X＜2100）= ∑2099t=1901C10000t ×0.2t×0.810000-t= ∑2099t=0C10000t ×0.2t×0.810000-t- ∑1900t=0C10000t ×0.2t×0.810000-t=0.9933-0.0062=0.9871．【点评】：本题考查了定积分的定义与应用问题.是中档题．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=ln（x+1）-f'（0）x2-f（0）x+2．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）≤x2+ax+b.求b−3a+2的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用函数f（x）求导；在分别求出f（0）和f′（0）可求得函数解析式；（2）将f（x）≤x2+ax+b.进行转换新函数g（x）=ln（x+1）-（a+2）x+2求最值.再等价转换于：b≥a+3-ln（a+2）；因此：b−3a+2≥ a−ln(a+2)a+2；继续令新函数h（a）= a−ln(a+2)a+2；求最值可得b−3a+2的最小值．【解答】：解：（1）函数f （x ）=ln （x+1）-f'（0）x 2-f （0）x+2．定义域：x∈（-1．+∞） 由已知得：f （0）=2.f （x ）=ln （x+1）-f'（0）x 2-2x+2． 从而：f′（x ）=1x+1-2f'（0）x-2．可得：f'（0）=-1； 于是：f （x ）=ln （x+1）+x 2-2x+2．由于：f′（x ）= 1x+1 +2x-2= 2x 2−1x+1 ．故当：x∈（-1.- √22 ）时.f′（x ）＞0；当x∈（- √22 . √22 ）时.f′（x ）＜0；当 x ∈(√22，+∞) 时.f'（x ）＞0；从而f （x ）的单调增区间为 (−1，−√22) 和 (√22，+∞)单调减区间为 (−√22，√22) ； （2）由已知条件f （x ）≤x 2+ax+b 得：b≥ln （x+1）-（a+2）x+2； 设g （x ）=ln （x+1）-（a+2）x+2.则 g′(x )=1x+1−(a +2) ① 若a+2≤0.则g'（x ）＞0.g （x ）无最大值② 若a+2＞0.则当 x ∈(−1，1a+2−1) 时.g'（x ）＞0；当 x ∈(1a+2−1，+∞) 时.g'（x ）＜0 从而g （x ）在 (−1，1a+2−1) 上单调递增.在当 x ∈(1a+2−1，+∞) 上单调递减 故g （x ）有最大值：g （ 1a+2 -1）=a+3-ln （a+2）； 所以：f （x ）≤x 2+ax+b.等价于：b≥a+3-ln （a+2）； 因此： b−3a+2 ≥ a−ln (a+2)a+2； 设h （a ）=a−ln (a+2)a+2；则h′（a ）=1+ln (a+2)(a+2)2； 当a∈（-2. 1e -2）时.h′（a ）＜0；当a∈（ 1e-2.+∞）时.h′（a ）＞0； 所以h （a ）在a∈（-2. 1e -2）上单调递减.在a∈（ 1e -2.+∞）上单调递增； 故h （a ）有最小值h （ 1e -2）=1-e ； 从而b−3a+2≥1-e ； 当且仅当：a= 1e -2.b=a+3-ln （a+2）；即：a= 1e -2.b= 1e +2时. b−3a+2 的最小值为：1-e ；故答案为：（1）求f （x ）的解析式：f （x ）=ln （x+1）+x 2-2x+2．（2）若f （x ）≤x 2+ax+b.求 b−3a+2的最小值为：1-e ；【点评】：本题主要考查函数求导及函数性质.最值的求解.以及不等式恒成立问题.利用导数求出函数的最值是解决本题的关键．22.（问答题.12分）已知函数f （x ）=ax 2e x +blnx.曲线y=f （x ）在（1.f （1））处的切线方程为y=（3e-1）（x-1）+e ．（e=2.71828…为自然对数的底数. √e ≈1.649，e 2≈7.389 .e 0.495≈1.640.e -0.703≈0.495） （1）求a.b 的值； （2）证明： f (x )＞1110 ．【正确答案】：【解析】：（1）求得f （x ）的导数.可得切线的斜率.由切线方程.可得a.b 的方程.解方程可得a.b 的值；（2）方法一、f （x ）＞ 1110 等价于 e xx 12 ＞ lnx+1110x 52.构造不等式两边的两个函数.分别求导数和单调性.可得最值.即可得证；方法二、求得f （x ）=x 2e x -lnx.导数为f′（x ）=x （x+2）e x - 1x .判断导函数的零点和f （x ）的最小值.判断与1.1的大小.即可得证．【解答】：解：（1）函数f （x ）的定义域为（0.+∞）.f′（x ）=ax （x+2）e x + b x. 由题意可得f （1）=ae=e.3ae+b=3e-1. 故a=1.b=-1；（2）解法一：由（1）知.f （x ）=x 2e x -lnx. 从而f （x ）＞ 1110等价于 e xx 12 ＞ lnx+1110x 52.设函数g （x ）= e xx 12 .则g′（x ）=（x- 12 ）x −32 e x .所以当 x ∈(0，12) 时.g′（x ）＜0.g （x ）递减；当x∈（ 12.+∞）时.g′（x ）＞0.g （x ）递增. 从而g （x ）在（0.+∞）的最小值为g （ 12 ）= √2 e 12 ；设函数h （x ）= lnx+1110x 52.则h′（x ）=-（ 74 + 52lnx ）x −72 .所以当x∈（0.e −710）时.h′（x ）＞0.h （x ）递增；当x∈（e −710.+∞）时.h′（x ）＜0.h （x ）递减.从而h （x ）在（0.+∞）的最大值为h （e −710 ）= 25 e 74 ．因为 6254 ＞e5. √2 ＞e 54 .从而 √2 e 12 ＞ 25 e 74 ．综上.当x ＞0时.g （x ）＞h （x ）.即f （x ）＞ 1110 ．解法二、由f （x ）=x 2e x -lnx.导数为f′（x ）=x （x+2）e x - 1x . 可得f′（x ）在（0.+∞）递增.f′（ 1e）=（ 1e2 + 2e）e 1e -e ＜0.f′（0.495）=0.495（0.495+2）e 0.495- 10.495 ＞0.495×2.495×1.64-2.021＞0. 可得f′（x ）在（ 1e .0.495）有且只有一个实根x 0.当0＜x ＜x 0时.f′（x 0）＜0.f （x ）递减；在（x 0.+∞）时.f′（x 0）＞0.f （x ）递增. 可得f （x ）在x 0处取得最小值. f′（x 0）=0即e x 0 = 1x 02(x 0+2) . 则f （x ）≥f （x 0）= 1x 0+2 -lnx 0＞ 10.495+2 -ln0.495＞0.40-（-0.70）= 1110．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值.考查构造函数法.以及转化思想和方程思想.考查化简运算能力.属于难题．。