华中师大《高等数学》练习测试题库及答案

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若f (x )在x 0点可导，则f (x )也在x 0点可导.（）6.若连续函数y =f (x )在x 0点不可导，则曲线y =f (x )在(x 0,f (x 0))点没有切线.（）7.若f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]上连续.（）8.若z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数，且f ''(0)=f '(0)+1,则f (0)为f (x )的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设f (x -1)=x ，则f (x +1)=.22.若f (x )=2-12+11x1x，则lim +=.x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g '(3)=.4.设u =xy +2x,则du =.y35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为.6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=.7.若1x2⎰f (x )0t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=.8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.9.广义积分⎰+∞0e -2x dx =.2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D1+x 5dxdy =.三、计算题（每题5分，共40分）111+Λ+).1.计算lim(2+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在（0，+∞）内的导数.23103.求不定积分⎰1x (1-x )dx .4.计算定积分⎰πsin 3x -sin 5xdx .3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =x ,y =x 围成，计算⎰⎰Dsin ydxdy .y7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.求微分方程y '=y -2x的通解.y四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arc tan x=arcsinx 1+x 2(-∞<x <+∞).2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (x )>0,F (x )=⎰f (t )dt +⎰x xb1dt f (t )证明：方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）21.x +4x +4； 2.1； 3.1/2；4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ；25.2/3；6. 1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）n +1111n +1<++L +<1.解：因为(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2且lim 由迫敛性定理知：lim(n →∞n +1n +1=0lim ，=0n →∞(2n )2n →∞n 2111++Λ+)=0222n (n +1)(2n )2.解：先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10∴y '=(x +1)Λ(x +10)(3.解：原式=21210++Λ+)x +1x +2x +10⎰11-xd x =2⎰11-(x )2d x=2arcsin4.解：原式=x +c⎰πsin 3x cos 2xdxπ32=⎰π2020cos x sin xdx -⎰cos x sin xdx232ππ32=⎰sin xd sin x -⎰ππ2sin xd sin x32222-[sin 2x ]π=[sin 2x ]0π552=4/525.解：f x'=3x -8x -2y =0f y'=2x -2y =05π5故⎨⎧x =0⎧x =2或⎨⎩y =0⎩y =2当⎨⎧x =0''(0,0)=-2，f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8，f yy 时f xx⎩y =0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0∴（0，0）为极大值点且f (0,0)=0当⎨⎧x =2''(2,2)=-2，f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4，f yy 时f xxy =2⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0∴无法判断6.解：D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y{}∴⎰⎰D1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dyy 20y 0y y y =⎰(sin y -y sin y )dy1=[-cos y ]+10⎰1yd cos y 1=1-cos1+[y cos y ]0-⎰cos ydy 01=1-sin17.解：令u =xy ，v =y；则1≤u ≤2，1≤v ≤3x1x uJ =yuxv =2uv y vv-u 2v v =12v u2u v231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰112v D8.解：令y =u ，知(u )'=2u -4x由微分公式知：u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设f (x )=arctan x -arcsinx 1+x 221Θf '(x )=-21+x 1x 1-1+x 221+x -⋅1+x 2x 21+x 2=0∴f (x )=c-∞<x <+∞令x =0Θf (0)=0-0=0∴c =0即：原式成立。

华中师范大学网络教育 《高等数学》练习测试题库 一．选择题 1.函数y=112+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n nn n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/27．设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/68.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （ ）A 、是连续的B 、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)=（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（）A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（ ）A 、-1B 、0C 、л/2D 、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 x x x x sin 1sinlim 20→=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、x x 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的（ ）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=（）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（）A、原点（0，0，0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（）A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面56、设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１A.１－──B.１+ ──C. ────D.ｘｘｘ１－ｘ１57、ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘA.无穷大量B.无穷小量C.有界变量D.无界变量58、方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）A.平行于ｘｏｙ面的平面B.平行于ｏｚ轴的平面C.过ｏｚ轴的平面D.直线59、下列函数中为偶函数的是（）A.ｙ＝ｅ^xB.ｙ＝ｘ^3＋１C.ｙ＝ｘ^3ｃｏｓｘD.ｙ＝ｌｎ│ｘ│60、设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ_1〈ｘ_2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）A.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）B.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）C.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）D.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）61、设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）A.充分必要的条件B.必要非充分的条件C.必要且充分的条件D既非必要又非充分的条件二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ）4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（ ）5、求极限0lim →x (1-x)1/x= （ ）6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ）8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ）11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ）12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ）13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（） 16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ）18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt =（ ）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x xt dt e x 在点x=0连续， 则a=（ ）21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ）22、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ）24、∫01 dx/(4-x2)1/2=（）25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）26、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=( )27、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）46、函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ^2 ＋──────的定义域为_________√１－ｘ^2_______________。

完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。

1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。

A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。

A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。

A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。

A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。

A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。

A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。

A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。

A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。

A）∫π/4^π/2 sinxdxB）∫0^π/2 xarcsinxdxC）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。

A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。

华中师大《高等数学》练习测试题库及答案华中师范大学网络教育《高等数学》练习测试题库及答案一.选择题1.函数y 是()A.偶函数B.奇函数 C 单调函数D 无界函数2.设fsincosx+1,则fx为()A 2x-2B 2-2xC 1+xD 1-x3.下列数列为单调递增数列的有()A.0.9 ,0.99,0.999,0.9999B.,,,C.fn,其中fnD.4.数列有界是数列收敛的()A.充分条件B. 必要条件C.充要条件D 既非充分也非必要5.下列命题正确的是( )A.发散数列必无界B.两无界数列之和必无界C.两发散数列之和必发散D.两收敛数列之和必收敛6.()A.1B.0C.2D.1/27.设e 则kA.1B.2C.6D.1/68.当x1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )A.x-1B. x-1C.x-1D.sinx-19.fx在点xx0处有定义是fx在xx0处连续的()A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|1时,y ()A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f(x)(1-x)cotx要使f(x)在点:x0连续,则应补充定义f(0)为()A、 B、e C、-eD、-e-112、下列有跳跃间断点x0的函数为()A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设fx在点x0连续,gx在点x0不连续,则下列结论成立是( )A、fx+gx在点x0 必不连续B、fx×gx在点x0必不连续须有C、复合函数f[gx]在点x0必不连续D、在点x0必不连续14、设fx 在区间- ∞,+ ∞上连续,且fx0,则a,b满足()A、a>0,b>0B、a>0,b<0C、a<0,b>0D、a<0,b<015、若函数fx在点x0连续,则下列复合函数在x0也连续的有( )A、B、 C、tan[fx]D、f[fx]16、函数fxtanx能取最小最大值的区间是下列区间中的( )A、[0,л]B、(0,л)C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)17、在闭区间[a ,b]上连续是函数fx有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、fafb <0是在[a,b]上连续的函fx数在(a,b)内取零值的( )A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间0,1内取零值的有( )A、fxx+1B、fxx-1C、fxx2-1D、fx5x4-4x+120、曲线yx2在x1处的切线斜率为( )A、k0B、k1C、k2D、-1/221、若直线yx与对数曲线ylogx相切,则( )A、eB、1/eC、exD、e1/e22、曲线ylnx平行于直线x-y+10的法线方程是( )A、x-y-10B、x-y+3e-20C、x-y-3e-20D、-x-y+3e-2023、设直线yx+a与曲线y2arctanx相切,则a( )A、±1B、±л/2C、±л/2+1D、±л/2-124、设fx为可导的奇函数,且f`x0a, 则f`-x0( )A、aB、-aC、|a|D、025、设y? ,则y’|x0( )A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设ycossinx,则y’|x0()A、-1B、0C、1D、不存在27、设yfx ?1+X,yf[fx],则y’|x0( )A、0B、1/ ?2C、1D、 ?228、已知ysinx,则y10( )A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知yx?x,则y10( )A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数fxxsin|x|,则( )A、f``0不存在B、f``00C、f``0 ∞D、 f``0 л31、设函数yyfx在[0,л]内由方程x+cosx+y0所确定,则|dy/dx|x0()A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y2sinθ上相应于θл/4处的切线斜率,K( )A、-1B、0C、1D、 233、函数fx在点x0连续是函数fx在x0可微的( )A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数fx在点x0可导是函数fx在x0可微的( )A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数fx|x|在x0的微分是( )A、0B、-dxC、dxD、不存在36、极限的未定式类型是( )A、0/0型B、∞/∞型C、∞ -∞D、∞型37、极限的未定式类型是()A、00型B、0/0型C、1∞型D、∞0型38、极限( )A、0B、1C、2D、不存在39、xx0时,n阶泰勒公式的余项Rnx是较xx0 的( )A、(n+1)阶无穷小B、n阶无穷小C、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数fx在[0, +∞]内可导,且f`x >0,xf0 <0则fx在[0,+ ∞]内有()A、唯一的零点B、至少存在有一个零点C、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线yx2-4x+3的顶点处的曲率为( )A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y4x-x2在它的顶点处的曲率半径为( ) A、0B、1/2 C、1D、243、若函数fx在(a,b)内存在原函数,则原函数有()A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫fxdx2ex/2+C( )A、2ex/2B、4 ex/2C、ex/2 +CD、ex/245、∫xe-xdx ( D )A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫Pxx-1-ndx( )A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx( )A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y21及x-12/9+y2/41之间所围的平面图形面积等于( )A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线yx2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是( )A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为( )A、B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是( )A、Z4B、Z0C、Z-2D、x252、平面xa截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c21所得截线为( )A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程0所表示的图形为( )A、原点(0,0,0)B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面,但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z20表示旋转曲面,它的旋转轴是( )A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z21所确定的曲面是( )A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面56、设函数f(x)=—— ,g(x)=1-x,则f[g(x)]= ( )x 1 1 1A.1- ——B.1+ ——C. ————D.x x x 1- x 157、x→0 时,xsin——+1 是 ( ) x A.无穷大量 B.无穷小量 C.有界变量D.无界变量58、方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( ) A.平行于xoy面的平面 B.平行于oz轴的平面 C.过oz轴的平面 D.直线59、下列函数中为偶函数的是( ) A.y=e^x B.y=x^3+1C.y=x^3cosxD.y=ln│x│60、设f(x)在(a,b)可导,a〈x_1〈x_2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使( )A.f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)B.f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)C.f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)D.f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)61、设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的 ( ) A.充分必要的条件 B.必要非充分的条件 C.必要且充分的条件 D既非必要又非充分的条件二、填空题1、求极限 x2+2x+5/x2+1( )2、求极限 [x3-3x+1/x-4+1]( )3、求极限x-2/x+21/2( )4、求极限 [x/x+1]x( )5、求极限 1-x1/x ( )6、已知ysinx-cosx,求y`|xл/6()7、已知ρψsinψ+cosψ/2,求dρ/dψ| ψл/6( )8、已知fx3/5x+x2/5,求f`0( )9、设直线yx+a与曲线y2arctanx相切,则a( )10、函数yx2-2x+3的极值是y1()11、函数y2x3极小值与极大值分别是( )12、函数yx2-2x-1的最小值为()13、函数y2x-5x2的最大值为( )14、函数fxx2e-x在[-1,1]上的最小值为( )15、点(0,1)是曲线yax3+bx2+c的拐点,则有b()c()16、∫xx1/2dx ( )17、若F`xfx,则∫dFx ( )18、若∫fxdxx2e2x+c,则fx19、d/dx∫abarctantdt()20、已知函数fx在点x0连续, 则a( )21、∫02x2+1/x4dx( )22、∫49 x1/21+x1/2dx( )23、∫031/2a dx/a2+x2()24、∫01 dx/4-x21/2()25、∫л/3лsinл/3+xdx( )26、∫49 x1/21+x1/2dx27、∫49 x1/21+x1/2dx( )28、∫49 x1/21+x1/2dx( )29、∫49 x1/21+x1/2dx( )30、∫49 x1/21+x1/2dx( )31、∫49 x1/21+x1/2dx( )32、∫49 x1/21+x1/2dx( )33、满足不等式|x-2|<1的X所在区间为34、设fx [x] +1,则f(л+10)()35、函数Y|sinx|的周期是 ()36、ysinx,ycosx直线x0,xл/2所围成的面积是 ()37、 y3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是 ( )38、心形线ra1+cosθ的全长为( )39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为 ( )40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是 ()41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-120平行的平面方程是()42、求三平面x+3y+z1,2x-y-z0,-x+2y+2z0的交点是43、求平行于xoz面且经过(2,-5,3)的平面方程是 ( )44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是 ( )45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是( )46、函数y=arcsin√1-x^2 + ——————的定义域为_________ √1-x^2_______________。

高等数学试题库及答案doc一、选择题1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A2. 曲线 y = x^2 在点 (1,1) 处的切线斜率是多少？A. 0B. 1C. 2D. -2答案：C二、填空题1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是 __________。

答案：12. 函数 f(x) = x + 1 在 x = 2 处的导数是 __________。

答案：1三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x 的导数。

解：f'(x) = 3x^2 - 4x + 32. 计算定积分∫(0 到 1) x^2 dx。

解：∫(0 到 1) x^2 dx = [1/3 * x^3] (从0到1) = 1/3四、证明题1. 证明函数 f(x) = e^x 是严格单调递增的。

证明：设任意 x1 < x2，则 f(x1) - f(x2) = e^x1 - e^x2。

由于e^x 是严格单调递增的，所以当 x1 < x2 时，e^x1 < e^x2，从而f(x1) < f(x2)。

因此，函数 f(x) 是严格单调递增的。

五、应用题1. 一个物体从静止开始，以初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为 2 m/s²。

求物体在前 3 秒内的位移。

解：根据匀加速直线运动的位移公式 s = 1/2 * a * t²，代入 a = 2 m/s²和 t = 3 s，得到 s = 1/2 * 2 * 3² = 9 m。

六、论述题1. 论述微积分在物理学中的应用。

答案：微积分在物理学中有广泛的应用，例如在力学中计算物体的运动轨迹、在电磁学中分析电场和磁场的变化、在热力学中研究温度分布等。

微积分的基本原理—极限和导数，为物理学家提供了一种强大的工具，用以描述和预测物理现象的变化趋势。

高等数学（上）试题及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 2=+→xx x 。

2、当k 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e)(2x k x x x f x 在0=x 处连续．3、设x x y ln +=,则______=dydx4、曲线x e y x-=在点（0，1）处的切线方程是5、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。

二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、若函数xx x f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ）A 、0B 、1-C 、1D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）A. )0(1ln+→x xB. )1(ln →x xC. )0(cosx→x D. )2(422→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）．A ．极大值点B ．极小值点C ．驻点D ．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）A 、⎰+∞sin xdx B 、dx e x ⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞1D 、dx x⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。

则AMB ∠=A 、3π B 、4π C 、2πD 、π 三、 计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限 xx x 2sin 24lim-+→ 。

2、求极限 )111(lim 0--→x x e x 3、求极限 2cos 12limxdt e xt x ⎰-→4、设)1ln(25x x e y +++=，求y '5、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2，求22dx yd 6、求不定积分 dx x x ⎰+)32sin(127、求不定积分x x exd cos ⎰8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=011011)(x xx e x f x， 求⎰-2d )1(x x f四、 应用题（本题7分）求曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。

计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。

接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。

因此，最大值为f(5) = 9。

2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。

因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。

二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。

答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。

将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。

2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。

答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。

三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。

答案：极值点为x = 3。

解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。

计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。

华中师大一附中2024-2025学年度十月月度检测数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一时限：120分钟满分：150分项是符合题目要求的．）1. 已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x====，则A B = （ ） A. {1,1}− B. {(1,1),(1,1)}−C. (0,)+∞D. (0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ==，解得1,1x y = = ，或1,1x y =− = ， 所以{(1,1),(1,1)}A B=− ， 故选：B ．2. 已知函数()*(2),nf x x n =−∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由当21,n k k =+∈N 时，ff ′(xx )≥0，可得()(2)nf x x =−是增函数，即可得到答案.【详解】由()(2)nf x x =−，得()1(2)n f x n x −−′=，则当21,n k k =+∈N 时，ff ′(xx )≥0，()(2)nf x x =−是增函数， 当1n =时，可得()f x 是增函数； 当()f x 是增函数时，21,n k k =+∈N ，故“1n =”是“()f x 是增函数”的充分不必要条件.3. 函数()sin cos f x a x b x =+图像的一条对称轴为π3x =，则a b=（ ）A.B.C.D. 【答案】A 【解析】【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出a b. 【详解】由()()sin cos 0f x a x b x ω=+>的图象关于π3x =对称，可知：2π(0)()3f f =，即sin0cos0=s 3o 2π3i 2πn c s a b a b ++，则a b=故选：A ．4. 已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a x a x +<<−的最小值为（ ） A. 5 B.112C. 203D. 163【答案】D 【解析】a ，利用基本不等式求得正确答案.【详解】根据正态分布的知识得12243a a +=×=⇒=，则03,30x x <−，19119139(3)103333x x x x x a x x x x x −+=+−+=++ −−−1161033 ≥+= ， 当且仅当393x xx x−=−，即34x =时取等.故选：D5. 已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 的图象的对称轴可以为（ ）．A. π12x = B. π6x =C. π3x =D. 5π12x =【解析】【分析】根据题意找到函数的对称点得()π03f x f x+−=，结合特殊值法计算得a =，利用辅助角公式化简得()π2sin 23f x x=−，最后整体替换计算得到结果； 【详解】由题意可得()f x 的图象关于点π,06对称，即对任意x ∈R ，有()π03f x f x+−=，取0x =，可得()π0032af f +=+=，即a =故()πsin22sin 23f x x x x =−=−， 令ππ2π32x k −=+，k ∈Z ，可得()f x 的图象的对称轴为5ππ122k x =+，k ∈Z ． 故选：D ． 6. 设37a =，ln 2b =，3sin 7c =，则（ ）A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()πsin (0)2f x x x x =−<<，利用导数探讨单调性并比较,a c ，再利用对数函数单调性比较大小即得. 【详解】当π02x <<时，令()sin f x x x =−，求导得()1cos 0f x x ′=−>， 则函数()f x 在π(0,)2上单调递增，有()(0)0f x f >=，即有sin x x >，因此33sin 77a c =>=，显然13ln 227b a =>=>=， 所以b ac >>. 故选：D7. 已知函数()222cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=−−>的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3上没有最小值，则ω的值为（ ） A.12B. 1C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】先由三角恒等变换化简解析式，再由对称轴方程解得36,2k k ω=+∈Z ，再由()f x 在π0,3上没有最小值得ω范围，建立不等式求解可得.详解】()()2222cos sin 2sin cos cos f x x x x x xωωωωω=−−+22cos sin21cos2sin2x x x x ωωωω+−=+π24x ω+，因为()f x 的图象关于直线π12x =轴对称，所以πππ1264f ω+故ππππ,642k k ω+=+∈Z ，即36,2k k ω=+∈Z ， 当ππ22π42x m ω+=−+，m ∈Z ，0ω>, 即当3ππ,8m x m ωω=−+∈Z 时，函数()f x 取得最小值， 当1m =时，5π8x ω=为y轴右侧第1条对称轴. 因为()f x 在π0,3上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤， 故由3150628k <+≤，解得11416k −<≤，k ∈Z 故0k =，得32ω=．故选：C.8. 定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x−−+=，()12024e f =．若()()0f x f x ′+−>，则不等式()11e xf x +>的解集是（ ） 【A. ()3,+∞B. (),3−∞C. ()1,+∞D. (),1−∞【答案】C 【解析】【分析】由()f x 是奇函数，可得()f x ′是偶函数，得到()()0f x f x +′>，令()()e xg x f x =，得到()0g x ′>，得出()g x 在R 上单调递增，再由()302f x f x−−+=，求得()f x 的周期为3的周期函数，根据()12024ef =，得到()2e g =，把不等式转化为()()12g x g +>，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为()f x 是奇函数，可得()f x ′是偶函数， 又因为()()0f x f x ′+−>，所以()()0f x f x +′>，令()()e xg x f x =，可得()()()e 0xg x f x f x ′′=+> ，所以()g x 在R 上单调递增，因为()302f x f x−−+=且()f x 奇函数， 可得()()23f x f x f x +=−=−，则()()3333[()]()222f x f x f x f x +=++=−+=， 所以()f x 的周期为3的周期函数，因为()()()12024674322e f f f =×+==，所以()212e e eg =×=， 则不等式()11exf x +>，即为()1e 1e xf x ++>，即()()12g x g +>， 又因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，解得1x >， 所以不等式()11ex f x +>的解集为()1,+∞． 故选：C ．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 下列等式成立的是（ ）是A. ()21sin15cos152°−°=B. 22sin 22.5cos 22.5°−°=C. 1cos28cos32cos62cos582°°−°°=−D. (3tan10cos502°°=− 【答案】AB 【解析】【分析】应用倍角正余弦、和差角正余弦公式及诱导公式化简求值，即可判断各项的正误. 【详解】A ：()21sin15cos1512sin15cos151sin 302°−°=−°°=−°=，成立；B ：22sin 22.5cos 22.5cos 45°−°=−°=C ：cos 28cos32cos 62cos58cos 28cos32sin 28sin 32cos(2832)°°−°°=°°−°°=°+°1cos 602°=，不成立；D ：(2sin 50cos50sin100tan10cos50cos50cos10cos10−°°−°°°°=°°cos101cos10°=−=−°，不成立.故选：AB10. 已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 的焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两点，2AF FB =，则下列结论正确的有（ ）A. 2p =B. 3AF =C. t =或−D. 线段AB 中点的横坐标为54【答案】ABD 【解析】【分析】由直线:1l xty =+，可知焦点FF (1,0)，得p 的值和抛物线方程，可判断A 选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合2AF FB =，求出,A B 两点坐标和t 的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD.【详解】抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 在x 轴上， 过F 作直线:1l xty =+，可知FF (1,0)，则12p=，得2p =，A 选项正确； 抛物线方程为24y x =，直线l 的方程代入抛物线方程，得2440y ty −−=.设AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2,yy 2)，由韦达定理有124y y t +=，124y y =−， 2AF FB =，得122y y =−，解得12y y −12y y ==， 124y y t =+，则t =t =，C 选项错误； 则1212,2x x ==，线段AB 中点的横坐标为121252242x x ++==，D 选项正确； 12192222AB x x p =++=++=，2293332AF AB ==×=，B 选项正确.故选：ABD.11. 已知()00,P x y 是曲线33:C x y y x +=−上的一点，则下列选项中正确的是（ ） A. 曲线C 的图象关于原点对称B. 对任意0x ∈R ，直线0x x =与曲线C 有唯一交点PC. 对任意[]01,1y ∈−，恒有012x <D. 曲线C 在11y −≤≤的部分与y 轴围成图形的面积小于π4【答案】ACD 【解析】【分析】将x ，y 替换为x −，y −计算即可判断A ；取0x =，可判断有三个交点即可判断B ；利用函数3y x x =−的单调性来得出300y y −的取值范围，再结合()3f x x x =+的单调性进行求解即可判断C ；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D ．【详解】A ．对于33x y y x +=−，将x ，y 替换为x −，y −，所得等式与原来等价，故A 正确； B ．取0x =，可以求得0y =，1y =，1y =−均可，故B 错误； C ．由330000x x y y +=−，[]01,1y ∈−，函数3y x x =−，故213y x ′=−，令2130y x ′=−=，解得：1x =，在1,x ∈− ， 时，0′<y ，函数单调递减，在x ∈ 时，0′>y ，函数单调递增，所以300y y −∈ ，又因为()3f x x x =+是增函数，1528f =>，所以有012x <，故C 正确； D ．当[]00,1y ∈时，3300000x x y y +=−≥，又320002x x x +≥， 32000022y y y y −≤−，所以22000x y y ≤−．曲线22x y y =−与y 轴围成半圆，又曲线C 的图象关于原点对称，则曲线C 与y 轴围成图形的面积小于π4，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 若π,02α∈− ，且πcos2cos 4αα =+，则α=__________. 【答案】π12− 【解析】【分析】化简三角函数式，求出1sin 42πα +=，根据π,02α∈− 即可求解.【详解】由πcos2cos 4αα =+，得)22cos sin cos sin αααα−=−.因为π,02α ∈− ，所以cos sin 0αα−≠，则cos sin αα+，则1sin 42πα += . 由π,02α ∈−，得πππ,444α +∈− ，则ππ46α+=，解得π12α=−. 故答案为：π12−.13. 海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为在A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30°，距离为C 处，货轮由A 处向正北航行到D 处时看灯塔B 在东偏南30°，则灯塔C 与D 处之间的距离为______海里．【答案】【解析】【分析】由正弦定理和余弦定理求解即可．【详解】如图：由题意75DAB ∠=°，903060ADB ∠=−°=°， 所以180756045DBA ∠=°−°−°=°，在ABD △中，由正弦定理sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，即sin 45AD =°60AD =， 在ADC △中，30DAC ∠=°，所以CD=.故答案为：．14. 若存在实数m ，使得对于任意的[],x a b ∈，不等式2πsin cos 2sin 4m x x x m+≤−⋅恒成立，则b a −取得最大值时，sin2a b+=__________．【解析】【分析】以m 为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得1sin 22x ≤，解不等式结合题意得[]()7ππ,π,π,1212a b k k k⊆−+∈Z ，由此可得答案. 【详解】因为2πsin cos 2sin 4m x x x m+≤−⋅恒成立， 即2π2sin sin cos 04m x m x x−−⋅+≤恒成立， 若存在实数m ，使得上式成立，则2πΔ4sin 4sin cos 04x x x=−−≥， 则πΔ22cos 22sin 222sin 22sin 224sin 202x x x x x=−−−=−−=−≥， 可得1sin 22x ≤，可得7ππ2π22π,66k x k k −≤≤+∈Z ， 解得7ππππ,1212k x k k −≤≤+∈Z ， 由[]()7ππ,π,π,1212a b k k k⊆−+∈Z ， 则b a −取得最大值时()7πππ,π,1212a k b k k =−=+∈Z ，此时()7ππππ1212sin sin 22k k a b k −+++==∈Z .. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以m 为变量，转化为存在性问题分析求解.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知函数()π4sin cos 6f x x x=+x ∈R . ,（1）求函数()f x 的单调减区间;（2）求函数()f x 在π0,2上的最大值与最小值.【答案】（1）π2ππ,π,63k k k Z++∈（2）()min 2f x =−，()max 1f x = 【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解； （2）由x 的范围求得π26x +的范围，再根据正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】解：()2π14sin cos 4sin sin cos 2sin 62f x x x x x x x x x =+=−=−1πcos212cos212sin 2126x x x x x+−=+−=+−， 令ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π2πππ63k x k +≤≤+， 所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π,63k k k Z++∈； 【小问2详解】 解：因为π02x ≤≤，所以ππ7π2666x +≤≤，所以1πsin 2126x−≤+≤， 于是π12sin 226x−≤+≤，所以()21f x −≤≤， 当且仅当π2x =时，()f x 取最小值()min π22f x f ==−， 当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值()max π16f x f==.16. 已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx −−−在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1−. （1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥−恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1b =（2）证明见解析 （3）(,1]−∞ 【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值； （2）求出导函数1()2ln 2f x x x x′=+−−，再根据导函数求出()(1)10f x f ′′≥=>即可证明单调性； （3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a −≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =−>的单调性得出最值即可求出参数范围. 【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x′+∞=+−−， 故(1)1ln f b ′=−，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =−−， 将点(0,1)−代入得1ln 1b −=，解得1b =．小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x −−−，则1()2ln 2f x x x x′=+−−， 令1()()2ln 2g x f x x x x′==+−−， 则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x−−−+′=−−==， 当01x <<时，()0,()g x g x <′单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >′单调递增，所以()(1)10f x f ′′≥=>， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增． 【小问3详解】【对())1,1(x f x a x ∀≥≥−恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥−−−≥−恒成立， 当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化ln x x a −≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =−>，则11()10x h x x x′−=−=>， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=， 故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]−∞．17. 在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．（1）2b a =+，4c a =+，是否存在正整数a*N ，且ABC 为钝角三角形？若存在，求出a ；若不存在，说明理由．（2）若4,a b c D ===为BC 的中点，E ，F 分别在线段,AB AC 上，且90EDF °∠=，CDF θ∠=()90θ°°<<，求DEF 面积S 的最小值及此时对应的θ的值．【答案】（1）存在,4a = （2）12− 【解析】【分析】（1）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值； （2）由正弦定理可得出DF =，DE =与差的正弦公式化简即可求得结果. 【小问1详解】假设存在正整数a 满足题设．ABC 为钝角三角形，因为a b c <<，所以C 为钝角，根据题设，2b a =+，4c a =+，由余弦定理222cos 2a b c C ab+−=, 所以()222(2)(4)1cos 022a a a Ca a ++−+−<=<+，得24120a a −−<，解得26a −<<．因为**a ∈N N ，所以1a =或4a =，当1a =时，ABC 不存在，故存在4a =满足题设．为所以4a = 【小问2详解】如图，因为()90,090EDF CDF θθ∠=°∠=°<<°，所以90BDE θ∠=°−．在CDF 中，因为()2sin60sin 60DF θ=°+°，所以DF =在BDE 中，因为()2sin 60sin 150DE θ=°°−，所以DE = 所以()()132sin 60sin 150S θθ=×+°°−， 设()()()sin 60sin 150f θθθ=+°°−，()090θ°<<°，所以11()sin cos 22f θθθθθ  =+   2213cos sin 4θθθθ+++ 化简可得：()1sin 22f θθ=+所以1122S =≥− 当45θ=°时，S取得最小值12−18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率e =，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ（1）求椭圆的标准方程；（2）过点(2,0)H −的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程； （3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12−，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=（2）220x y −+−或220x y ++=（3【解析】【分析】（1）根据POQ △的边PQ得PQ ==，再联立222ce a b c a ===+即可求解；（2）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立直线AB 与椭圆方程得1212,x x x x +，再由11AF BF ⊥，即110AF BF ⋅=，最后代入即可求解；（3）设直线1l 的方程为(1)y k x =+,则直线2l 的方程为1(1)2y x k =−+，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =− 整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】由题意，因为(,0),(0,)P a Q b ，POQ △为直角三角形，所以PQ ==.又222ce a b c a ===+，所以1,1a b c ==，所以椭圆的标准方程为2212x y +=. 【小问2详解】由（1）知，1(1,0)F −,显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立2212(2)x y y k x +==+消去y 得，2222(12)8820k x k x k +++−=，所以22222(8)4(12)(82)8(12)0k k k k ∆=−+−=−>，即2102k <<. 且22121222882,1212k k x x x x k k −+=−=++， 因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，所以1122(1,)(1,)0x y x y −−−−−−=，即12121210x x x x y y ++++=， 所以1212121(2)(2)0x x x x k x k x +++++⋅+=， 整理得2221212(12)()(1)140k x x k x x k ++++++=， 即22222228(1)(82)(12)()1401212k k k k k k k+−+−+++=++， 化简得2410k −=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为1(2)2y x =+或1(2)2y x =−+， 即直线AB 的方程为220x y −+=或220x y ++=. 3详解】由题意，2(1,0)F ,设直线1l 的方程为(1)y k x =+,3344(,),(,)C x y D x y ， 则直线2l 的方程为1(1)2y x k=−+，5566(,),(,)E x y F x y ， 联立2212(1)x y y k x +==−消去y 得2222)202142(−=+−+x k x k k ， 所以22343422422,1212k k x x x x k k−+==++ 所以23422,212M x x k x k+==+2(1)12M M k y k x k =−=−+所以2222(,)1212k kM k k −++， 同理联立22121(1)2x y y x k += =−−消去y 得222(12)2140k x x k +−+−=，所以2565622214,1212k x x x x k k−+==++ 所以5621,212N x x x k+==+21(1)212N N ky x k k =−−=+ 所以221(,)1212kN k k++， 即MN 的中点1(,0)2T .所以221121||11||||||1241221222||||OMN M N k k S OT y y k k k k =−==×=×≤+++ ，当且仅当12||||k k =，即k =时取等号， 所以OMN.【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线12,l l 与椭圆方程，求出,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =− 整理后利用基本不等式得到面积的最值. .19. 正整数集{}1,2,3,,3A m m m m n =++++ ，其中,m n +∈∈N N .将集合A 拆分成n 个三元子集，这n 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A 是“三元可拆集”.（1）若1,3m n ==，判断集合A 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；（2）若0,6m n ==，证明：集合A 不是“三元可拆集”； （3）若16n =，是否存在m 使得集合A 是“三元可拆集”，若存在，请求出m 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.【答案】（1）是，拆法见解析 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】【分析】（1）{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､； （2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，A 中所有元素和为19181712×=，与和为偶数矛盾； （3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，利用等差数列求和得到1231616648a a a a m ++++≤+ ，结合1231624588a a a a m ++++=+ ，得到不等式，求出152m ≤，当7m =时写出相应的集合A 以及具体拆法，得到答案. 【小问1详解】是，{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､； 【小问2详解】对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数， 则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而{}1,2,3,4,,18A = ，A 中所有元素和为19181712×=，与和为偶数矛盾， 所以集合A 不是“三元可拆集”； 【小问3详解】{}1,2,3,,48A m m m m =++++ 有48个元素，可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ， 则()()()()1231648474633a a a a m m m m ++++≤++++++++ ()28116166482m m +×=+；另一方面，A 中所有元素和为()249484811762m m +×=+，所以212316481176245882m a a a a m +++++==+ ，所以2458816648m m +≤+，解得152m ≤，即7m ≤； 当7m =时，{}8,9,10,,55A = ，可拆为{}{}55,40,1554,38,16､､{}{}{}{}{}{}53,39,1452,35,1751,31,2050,37,1349,25,2448,26,22､､､､､､ {}{}{}{}{}{}47,29,1846,27,1945,34,1144,23,2143,33,1042,30,12､､､､､､{}{}41,32,9,36,28,8（拆法不唯一）； 综上所述，m 的最大值是7.【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.。

学生填写）： 姓名： 学号： 命题：黄寿生 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）三．计算题（一）（每小题6分，共36分） （计算下列极限）16. xx xx x x sin cos lim--→；17. 0sin 2limsin 5x xx→；18. 221lim n nn ++++∞→Λ；19. x x x cot lim 0→；20. 20tan sin lim.sin x x xx x→-；21. 21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭。

四. 计算题（二）22．求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求极限032lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→-→．23．求函数xx y 1sin =的间断点,并说明间断点所属类型. 如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.24. 设2sin 0() 0 x x x f x a x x <⎧=⎨+≥⎩要使()f x 在(,+)-∞∞内连续,应当怎样选择数a ?班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）五．证明题 25. 证明方程01sin =++x x 在开区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一根.六．应用题26. 试确定b a ,之值，使2111lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x .16. 解：由洛必达法则，0cos 1cos sin limlimsin 1cos x x x x x x x xx x x →→--+=-- 0sin sin cos limsin x x x x xx →++= 3=17. .解：原式=52525sin 522sin lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅→x x xx x 18. . 解：212lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n Λ 19. . 解：1cos sin lim sin cos lim cot lim 00=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x x x 20.解：20tan sin limsin x x x x x →- 20tan (1cos )lim sin x x x x x→-= 20(1cos )lim x x x x x →⋅-=⋅ 12=21. . 解：原式=()[]22/11lim e x x x =+∞→四. 计算题（二）22..求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求极限032lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→-→．解：2(1)(3)()(2)(3)x x f x x x -+=-+，故()f x 在(,3)(3,2)(2,)-∞--+∞U U 内连续22033211(3)18lim ()(0),lim ()lim ,lim ()22325x x x x x f x f f x f x x →→-→-→---=====-=∞--- 23.求函数xx y 1sin =的间断点,并说明间断点所属类型. 如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.解：由于x x y 1sin=在0=x 处没有定义，因此0=x 是间断点，且01lim sin 0x x x→=,故0=x 为第一类可去间断点,若定义0)0(=y ,则y 在0=x 处连续.24. 设2sin 0() 0 x x x f x a x x <⎧=⎨+≥⎩要使()f x 在(,+)-∞∞内连续,应当怎样选择数a ?解：由于函数在()f x 在(,+)-∞∞内连续，故：2lim sin 0,lim()x x x x a x a -+→→=+=当0a =时，00lim ()lim ()0x x f x f x -+→→==则0lim ()(0)x f x f →=，此时()f x 在0x =连续，也在(,+)-∞∞内连续。