2020高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第1讲算法初步学案

专题11不等式、推理与证明、复数、算法初步考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：线性规划问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题高考对本节的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算与不等式是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．考点2：不等式大小判断问题2024年北京高考数学真题考点3：利用基本不等式求最值2022年新高考全国II卷数学真题考点4：解不等式2024年上海高考数学真题考点5：程序框图2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点6：复数加减乘除运算2022年新高考天津数学高考真题2023年天津高考数学真题2024年天津高考数学真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题考点7：模运算2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考北京数学高考真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题考点8：复数相等2024年上海高考数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点9：复数的几何意义2023年北京高考数学真题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题考点1：线性规划问题1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若,x y满足约束条件43302202690x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y=-的最小值为（）A．12B．0C．52-D．72-【答案】D【解析】实数,x y满足4330220 2690 x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y=-可得1155y x z=-，即z的几何意义为1155y x z=-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线1155y x z=-过点A，联立43302690x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A⎛⎫⎪⎝⎭，则min375122z=-⨯=-.故选：D.2．（2022年新高考浙江数学高考真题）若实数x，y满足约束条件20,270,20,xx yx y-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则34z x y=+的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线340x y z +-=过A 时z 有最大值.由2270x x y =⎧⎨+-=⎩可得23x y =⎧⎨=⎩，故()2,3A ，故max 324318z =⨯+⨯=，故选：B.3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为．【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：154．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.5．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A ．2-B ．4C ．8D ．12【答案】C【解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.考点2：不等式大小判断问题6．（2024年北京高考数学真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+【答案】B【解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得1212122222·222x x x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：B.考点3：利用基本不等式求最值7．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥【答案】BC【解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x θθ-==，所以cos ,sin 33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin sin cos 1sin 2cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．考点4：解不等式8．（2024年上海高考数学真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．【答案】{}|13x x -<<【解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.考点5：程序框图9．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）执行下面的程序框图，输出的B =（）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B【解析】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）执行下边的程序框图，输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B考点6：复数加减乘除运算11．（2022年新高考天津数学高考真题）已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为．【答案】15i -/51i -+【解析】()()()()113i 12i 113i 11625i15i 1+2i 1+2i 12i 5-----==--．故答案为：15i -．12．（2023年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，化简514i23i++的结果为．【答案】4i +/4i +【解析】由题意可得()()()()514i 23i 514i 5213i4i 23i 23i 23i 13+-++===+++-.故答案为：4i +.13．（2024年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，复数)()5i 52i ⋅=．【答案】75i 【解析】))5i 52i 55i 25i 275i ⋅-=-+=.故答案为：75i .14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i -B ．i C ．0D ．1【答案】A 【解析】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----===-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．15．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设2i z =，则z z ⋅=（）A ．2-B 2C ．2-D ．2【答案】D【解析】依题意得，2i z =-，故22i 2zz =-=.故选：D16．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2【答案】A【解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A17．（2024年北京高考数学真题）已知1i iz=--，则z =（）．A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】C【解析】由题意得()i 1i i 1z =--=-.故选：C.18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i+【答案】B【解析】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故选：B.20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）()()()351i 2i 2i +=+-（）A ．1-B ．1C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】()()351i 51i 1i (2i)(2i)5+-==-+-故选：C.21．（2022年新高考全国I 卷数学真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D22．（2022年新高考全国II 卷数学真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.23．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若13i z =-，则1zzz =-（）A ．13i -B ．13i-C ．133-+D ．133--【答案】C【解析】13i,(13i)(13i)13 4.z zz =-=--=+=13i 131333z zz -==--故选：C考点7：模运算24．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】若1i z =--，则()()22112z -+-=故选：C.25．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故()()223|54|z -+-==．故选：B ．26．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．45B ．42C ．25D ．22【答案】D【解析】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 34422z z +=+=故选：D.27．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2C 5D ．5【答案】C【解析】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则()22322i 2i 12i 125++=-+-=故选：C.考点8：复数相等28．（2024年上海高考数学真题）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b mb b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m =，故答案为：2.29．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A ．-1B ．0·C ．1D ．2【答案】C【解析】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.30．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.31．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-【答案】A【解析】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.32．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A【解析】12z i=-12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A考点9：复数的几何意义33．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3)-，则z 的共轭复数z =（）A ．13i +B ．13i-C ．13i -D ．13i-【答案】D【解析】z 在复平面对应的点是(3)-，根据复数的几何意义，13i z =-，由共轭复数的定义可知，13i z =-.故选：D34．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.。

第5讲数学归纳法数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝□01k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．1．概念辨析(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．()(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)下列结论能用数学归纳法证明的是()A．x>sin x，x∈(0，π)B．e x≥x＋1(x∈R)C．1＋12＋122＋…＋12n－1＝2－⎝⎛⎭⎪⎫12n－1(n∈N*)D ．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R ) 答案 C解析 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知C 符合题意．(2)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n＝1时，等式左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C解析 验证n ＝1时，等式左边的项是1＋a ＋a 2.(3)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．答案 2k ＋1解析 由于步长为2，所以2k －1后一个奇数应为2k ＋1.题型 一 用数学归纳法证明恒等式设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．用数学归纳法证明：(cos θ＋isin θ)n ＝cos nθ＋isin nθ.证明 ①当n ＝1时，左边＝右边＝cos θ＋isin θ，所以命题成立； ②假设当n ＝k 时，命题成立，即 (cos θ＋isin θ)k ＝cos kθ＋isin kθ， 则当n ＝k ＋1时，(cos θ＋isin θ)k ＋1＝(cos θ＋isin θ)k ·(cos θ＋isin θ) ＝(cos kθ＋isin kθ)(cos θ＋isin θ)＝(cos kθcos θ－sin kθsin θ)＋i(sin kθcos θ＋cos kθsin θ) ＝cos(k ＋1)θ＋isin(k ＋1)θ，所以当n＝k＋1时，命题成立．综上，由①和②可得，(cosθ＋isinθ)n＝cos nθ＋isin nθ.数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.用数学归纳法证明：12 1×3＋223×5＋…＋n2(2n－1)(2n＋1)＝n(n＋1)2(2n＋1)(n∈N*)．证明①当n＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1×(1＋1)2×(2×1＋1)＝13，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立．即121×3＋223×5＋…＋k2(2k－1)(2k＋1)＝k(k＋1)2(2k＋1)，当n＝k＋1时，左边＝121×3＋223×5＋…＋k2(2k－1)(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝k(k＋1)2(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)22(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(2k 2＋5k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，右边＝(k ＋1)(k ＋1＋1)2[2(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，左边＝右边，等式成立．由①②知，对n ∈N *，原等式成立． 题型 二 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立． 证明 ①当n ＝2时， 左边＝1＋13＝43，右边＝52. ∵左边>右边，∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立． 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12.则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②知对于一切大于1的自然数n ，不等式成立．应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.求证：当n ≥1(n ∈N *)时，(1＋2＋…＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n ≥n 2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝右边，命题成立． 当n ＝2时，左边＝(1＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝92>22，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时命题成立，即 (1＋2＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ≥k 2.则当n ＝k ＋1时，有左边＝[(1＋2＋…＋k )＋(k ＋1)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ＋1k ＋1 ＝(1＋2＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ＋(1＋2＋…＋k )·1k ＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ＋1≥k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k . ∵当k ≥2时，1＋12＋…＋1k ≥1＋12＝32，∴左边≥k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)×32＝k 2＋2k ＋1＋32≥(k ＋1)2. 这就是说当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知当n ≥1(n ∈N *)时原命题成立． 题型 三 归纳—猜想—证明如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(0<y 1<y 2<…<y n )是曲线C ：y 2＝3x (y ≥0)上的n 个点，点A i (a i,0)(i ＝1,2,3，…，n )在x 轴的正半轴上，且△A i －1A i P i 是正三角形(A 0是坐标原点)．(1)写出a 1，a 2，a 3；(2)求出点A n (a n,0)(n ∈N *)的横坐标a n 关于n 的表达式． 解 (1)设P 1(x 1，y 1)，A 1(a 1,0)， 则x 1＝a 12，即a 1＝2x 1， 由y 2＝3x 得y 1＝3x 1， 由|A 0P 1|＝|OA 1|得，x 21＋y 21＝a 1，即a 214＋32a 1＝a 21， 即a 1>0，所以a 1＝2， 同理可得a 2＝6，a 3＝12.(2)依题意，得x n ＝a n －1＋a n 2，y n ＝3·a n －a n －12，由此及y 2n ＝3x n 得⎝⎛⎭⎪⎫3·a n －a n －122＝32(a n －1＋a n )， 即(a n －a n －1)2＝2(a n －1＋a n )． 由(1)可猜想：a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． 下面用数学归纳法予以证明： ①当n ＝1时，命题显然成立；②假设当n ＝k 时命题成立，即有a n ＝k (k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，由归纳假设及(a k ＋1－a k )2＝2(a k ＋a k ＋1)得 [a k ＋1－k (k ＋1)]2＝2[k (k ＋1)＋a k ＋1]，即a 2k ＋1－2(k 2＋k ＋1)a k ＋1＋[k (k －1)]·[(k ＋1)(k ＋2)]＝0， 解得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)或a k ＋1＝k (k －1)<a k (不符合题意，舍去)． 即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由①②知，命题成立.归纳—猜想—证明的应用策略一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a n 2＋1a n－1且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． 解 (1)当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0.所以a 1＝3－1(a 1>0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. 所以a 2＝5－3(a 2>0)．同理可得a 3＝7－ 5. 猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明：①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k ，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理，得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(负值舍去)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立． 由①和②，可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．。

第一节算法初步1．算法与流程图（1)算法通常是指对一类问题的机械的、统一的求解方法．(2）流程图是由一些图框和流程线组成的,其中图框表示各种操作的类型,图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．2．三种基本逻辑结构（1）顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为（2）选择结构是先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构．其结构形式为(3)循环结构是指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型和直到型．其结构形式为3．基本算法语句（1）赋值语句、输入语句、输出语句赋值语句用符号“←”表示，其一般格式是变量←表达式(或变量)，其作用是对程序中的变量赋值；输入语句“Read a，b"表示输入的数据依次送给a，b,输出语句“Print x"表示输出的运算结果x。

（2）算法的选择结构由条件语句来表达，条件语句有两种，一种是If—Then-Else语句，其格式是错误!。

(3）算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现．①当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示．“For”语句的一般形式为错误![提醒］上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体，如果省略“Step步长”，那么重复循环时，I每次增加1.②不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现循环结构当型和直到型两种语句结构．当型语句的一般格式是错误!，直到型语句的一般格式是错误!.[小题体验]1．For语句的一般格式为：For I From a To b Step c，其中a的意义是________．解析：根据“For"语句的意义可知，I为循环变量，a为I的初始值，b为I的终值．答案：循环变量初始值2．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．解析：经过第一次循环后得S＝11，n＝3,此时S＞n；进行第二次循环后得S＝8,n＝5，此时S＞n;进行第三次循环后得S＝3,n＝7，此时S＜n，退出循环,故S＝3.答案:31．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．易忽视循环结构中必有选择结构,其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．3．易混淆当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环,后判断,条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环"；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．[小题纠偏］1．执行如图所示的算法流程图,则输出S的值是________．解析：初始值S＝2，n＝1，不满足条件n＞8，第一次循环：S＝错误!，n＝2；第二次循环：S＝－1，n＝3；第三次循环:S＝2，n＝4；第四次循环：S ＝12，n＝5，故此循环的S值呈周期性出现，且周期为3,若n＞8,则需n＝9，应循环8次，故结束循环时应输出S的值为－1。

（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案的全部内容。

第4讲直接证明与间接证明板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1 直接证明考点2 间接证明1．反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾,因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．2．利用反证法证题的步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；(3)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．[必会结论]分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．［考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”）(1）综合法是直接证明，分析法是间接证明．（)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )（3）用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．（)（4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．（)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( ）答案（1)×（2)×(3）×（4)×(5)√2．要证明3＋错误!<2错误!，可选择的方法有以下几种,其中最合理的是（）A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法答案B解析从要证明的结论——比较两个无理数大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小,这正是分析法的证明方法,故选B。

11.5 数学归纳法[知识梳理] 数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： 1．(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；2．(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．[诊断自测] 1．概念思辨(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( )(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( )(3)用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1左边应添加的项为(k ＋1)2.( )(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(选修A2－2P 99B 组T 1)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n ＝3.故选C.(2)(选修A2－2P 96T 1)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立时，其初始值至少应取( )A．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.3．小题热身(1)已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 分母为首项为n ，公差为1的等差数列，故f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，1n ＝12，1n 2＝14，故f (2)＝12＋13＋14.故选D. (2)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．答案 2k ＋1解析 由于步长为2，所以2k －1后一个奇数应为2k ＋1.题型1 用数学归纳法证明恒等式典例 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n ＝k 时等号成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立． 方法技巧数学归纳法证明等式的思路和注意点1．思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．2．注意点：由n ＝k 时等式成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．提醒：归纳假设就是证明n ＝k ＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法．冲关针对训练 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(其中n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝12×4＝18，等式右边＝14(1＋1)＝18，∴等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立． 即12×4＋14×6＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)成立，那么当 n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]，即n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *等式均成立． 题型2 用数学归纳法证明不等式典例 已知数列{a n }，当n ≥2时，a n <－1，又a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ，求证：当n ∈N *时，a n ＋1<a n .证明 (1)当n ＝1时，∵a 2满足a 22＋a 2－1＝0，且a 2<0， ∴a 1>a 2.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1<a k ，∵a 2k ＋1－a 2k ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1<a k ≤0，∴a 2k ＋1－a 2k >0. 又a k ＋2＋a k ＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴a k ＋2－a k ＋1<0， ∴a k ＋2<a k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，当n ∈N *时，a n ＋1<a n . 方法技巧应用数学归纳法证明不等式应注意的问题1．适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．2．关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．冲关针对训练已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x )≥18. (1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1.解 (1)由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a26.又f (x )max ≤16，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a 26≤16.所以a 2≤1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x )≥18，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥18，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≥18，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明：用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立．因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，0<f (x )≤16， 所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13.故n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a k <1k ＋1成立．由(1)知a ＝1，f (x )＝x －32x 2，因为f (x )＝x －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13时，f (x )为增函数． 所以由0<a k <1k ＋1≤13， 得0<f (a k )<f ⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1.于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何n ∈N *，不等式a n <1n ＋1成立．1．(2016·武陵期末)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中两项，但又少了一项1k ＋1 D ．增加了A 中一项，但又少了一项1k ＋1答案 C解析 当n ＝k 时，左端＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 那么当n ＝k ＋1时，左端＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)， 故第二步由k 到k ＋1时不等式左端的变化是增加了两项，同时减少了1k ＋1这一项．故选C.2．(2017·珠海期末)《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，反映这个命题本质的式子是( )A ．1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12nB.12＋122＋…＋12n <1C.12＋122＋…＋12n ＝1 D.12＋122＋…＋12n >1 答案 B解析 根据已知可得每次截取的长度构造一个以12为首项，以12为公比的等比数列，∵12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1， 故反映这个命题本质的式子是12＋122＋…＋12n <1.故选B.3．(2017·北京西城区期末)若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)>a (n ∈N *)恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n， 则f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1)， 则f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0， ∴数列f (n )是关于n (n ∈N *)的递增数列， ∴f (n )≥f (1)＝12，∵不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n >a (n ∈N *)恒成立，∴a <12，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 4．(2016·桥西期末)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是________．答案 4k ＋2解析 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．故答案为4k ＋2.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2016·安庆高三月考)用数学归纳法证明2n >n 2(n ≥5，n ∈N *)，第一步应验证( ) A ．n ＝4 B ．n ＝5 C ．n ＝6 D ．n ＝7 答案 B解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证n 取第一个值时命题成立，又n ≥5，故第一步验证n ＝5.故选B.2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2.故选B.3．(2018·沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故选A.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A．30 B．26 C．36 D．6答案 C解析∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明如下：当n＝1,2时，由以上得证．假设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k ＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k＋1)能被36整除．∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m的值为36.5．(2017·泉州模拟)用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k答案 C解析因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋(3k)＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选C.6．(2018·太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 ( )A．n＋1 B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．故选C.7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ；正方形数N (n,4)＝n 2； 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ；六边形数N (n,6)＝2n 2－n .可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝( ) A ．500 B ．1000 C ．1500 D ．2000 答案 B解析 由已知得，N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，根据归纳推理可得，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n .所以N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选B.8．若数列{a n }满足a n ＋5a n ＋1＝36n ＋18，n ∈N *，且a 1＝4，猜想其通项公式为( ) A ．3n ＋1 B ．4n C ．5n －1 D ．6n －2 答案 D解析 由a 1＝4求得a 2＝10，a 3＝16，经检验a n ＝6n －2.故选D. 二、填空题9．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝______.答案12n＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n解析 S n ＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n . 10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.答案 3n 2－3n ＋1解析 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， 推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f (n )＝3n 2－3n ＋1.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______.答案nn ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.12．(2018·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.三、解答题13．(2017·河南期末)设等差数列{a n }的公差d >0，且a 1>0，记T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1.(1)用a 1，d 分别表示T 1，T 2，T 3，并猜想T n ； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 解 (1)T 1＝1a 1a 2＝1a 1(a 1＋d )；T 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 3＝2a 1a 3＝2a 1(a 1＋2d )；T 3＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 4＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 4＝3a 1a 4＝3a 1(a 1＋3d )；由此可猜想T n ＝na 1(a 1＋nd ).(2)证明：①当n ＝1时，T 1＝1a 1(a 1＋d )，结论成立，②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立， 即T k ＝ka 1(a 1＋kd )，则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝T k ＋1a k ＋1a k ＋2＝ka 1(a 1＋kd )＋1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k [a 1＋(k ＋1)d ]＋a 1a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝(a 1＋kd )(k ＋1)a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k ＋1a 1[a 1＋(k ＋1)d ].即n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，T n ＝1a 1(a 1＋nd )对于一切n ∈N *恒成立．14．(2017·扬州模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3×2n －2(n ∈N *)．(1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n ·n ！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论． 解 (1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3×2n －12－1，∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1>0，∴a n ＋1＝a n ＋12.(2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1>b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3<b 3. 猜想：当n ≥3时，a n <b n ， 下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由上知，a 3<b 3，结论成立． ②假设n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k <b k 成立， 即a k <1－2k ·k ！， 则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋12<2－2k ·k ！2＝1－1k ·k ！，b k ＋1＝1－2(k ＋1)·(k ＋1)！， 要证a k ＋1<b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎫1－1k ·k ！2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1－1k ·k ！<1－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2，即证明1k ·k ！－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，即证明 (k －1)2k (k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，显然成立．∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n <b n 成立．综上可得，当n ＝1时，a 1>b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2； 当n ≥3，n ∈N *时，a n <b n .15．(2018·上饶模拟)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n 且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解 (1)设a n 的首项为a 1，∵a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2·a 5＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.∵n ＝1时，b 1＝T 1＝1－12b 1，∴b 1＝23.n ≥2时，T n ＝1－12b n ①，T n －1＝1－12b n －1②，①－②得b n ＝13b n －1数列是等比数列．∴b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .(2)S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2，以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，1b 4>S 5，猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2，那么，n ＝k ＋1时， 1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1. 综合①②，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.16．(2018·合肥模拟)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．解 (1)证明：用数学归纳法证明2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f (2)－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3. (2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n .设b n ＝x n －3， 则1b n ＋1＝5b n ＋1，即1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1.故数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。

第十一章算法、复数与推理证明第1讲算法初步[考纲解读] 1.了解算法的含义及思想，掌握程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．(重点)2.了解几种算法的基本语句，输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是每年高考的必考内容. 预测2020年将会考查：①框图的直接计算；②根据框图的输出值添加满足的条件. 题型为客观题，试题难度不大，属中、低档题型.1．算法的含义与程序框图(1)□01一定规则解决某一类问题的□02明确和□03有限的步骤．(2)程序框图：程序框图又称□04流程图，是一种用□05程序框、□06流程线及□07文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或n个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．(3)算法框图的图形符号及其功能2．三种基本逻辑结构及相应语句续表1．概念辨析(1)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构(选择结构)和循环结构．()(2)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．()(3)在算法语句中，X＝X＋1是错误的．()(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)根据给出的程序框图(如图)，计算f(－1)＋f(2)＝()A．0 B．1 C．2 D．4答案 A解析f(－1)＝4×(－1)＝－4，f(2)＝22＝4，∴f(－1)＋f(2)＝－4＋4＝0.(2)计算机执行下面的程序段后，输出的结果是()a＝1b＝3a＝a＋bb＝a－bPRINT a，bENDA．1,3 B．4,1 C．0,0 D．6,0答案 B解析读程序可知a＝1＋3＝4，b＝4－3＝1.(3)已知输入实数x＝12，执行如图所示的流程图，则输出的x是()A．25 B．102 C．103 D．51答案 C解析输入x＝12，经过第一次循环得到x＝2×12＋1＝25，n＝2，经过第二循环得到x＝2×25＋1＝51，n＝3，经过第三次循环得到x＝2×51＋1＝103，n＝4，此时输出x，故选C.(4)按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为()A．k≥16 B．k＜8 C．k＜16 D．k≥8答案 A解析程序运行过程中，各变量的值如下表所示：故退出循环的条件应为k≥16，故选A.题型一顺序结构和条件结构1．阅读如图所示程序框图．若输入x为3，则输出的y值为()A．24 B．25 C．30 D．40答案 D解析a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40.2．(2017·江苏高考)下图是一个算法流程图．若输入x的值为116，则输出y的值是________．答案 －2解析 输入x ＝116，116≥1不成立，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.输出y 的值为－2.条件探究 将举例说明2中“输入x ”改为“输出y ”，求输入的x 的值．解 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，2＋log 2x ，x <1，当x ≥1时，2x ≥2，所以若输出y ＝116，则必有x <1,2＋log 2x ＝116，解得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123116.应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.定义运算a ⊗b 的结果为执行如图所示的程序框图输出的S ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 5π3⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－1 答案 A解析 由程序框图可知，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a －b )，a ≥b ，b (a ＋1)，a <b ，因为2cos 5π3＝1,2tan 5π4＝2,1<2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 5π3⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4＝2×(1＋1)＝4. 题型 二 循环结构角度1 由程序框图求输出(输入)结果1．(2019·烟台模拟)执行如图所示的程序框图，输出的n 值为( )A．6 B．7 C．8 D．12 答案 C解析由程序框图可知，第一次循环：S＝13，n＝2；第二次循环：S＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫132，n＝3；第三次循环：S＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133，n＝4；……第六次循环：S＝13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫136＝1－17292<10082017，n＝7；第七次循环：S＝13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫137＝1－121872>10082017，n＝8.故终止循环，输出n＝8.故选C. 角度2完善程序框图2．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入()A．i＝i＋1 B．i＝i＋2 C．i＝i＋3 D．i＝i＋4 答案 B解析由S＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i＝i＋2，选B.角度3逆向求解问题3．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A．5 B．4 C．3 D．2答案 D解析假设N＝2，程序执行过程如下：t＝1，M＝100，S＝0，1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－10010＝－10，t＝2，2≤2，S＝100－10＝90，M＝－－1010＝1，t＝3，3＞2，输出S＝90＜91.符合题意．∴N＝2成立．显然2是最小值．故选D.1．循环结构程序框图求输出结果的方法解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；第二，要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．2．程序框图补全问题的求解方法(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A>1000？和n＝n＋1 B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1 D．A≤1000？和n＝n＋2答案 D解析因为题目要求的是“满足3n－2n＞1000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1000？”．故选D.2．(2018·洛阳三模)定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3，下图的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出a＝()A ．9B ．16C ．23D ．30 答案 C解析 由程序框图得k ＝1，a ＝9，a －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3＝0≠2；k ＝2，a ＝16，a －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3＝1≠2；k ＝3，a ＝23，a －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3＝2，a －5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 5＝3，退出循环体，所以输出a ＝23，故选C.3．(2018·东北三省四市模拟)庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述．如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1516，6364，则输入的n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4答案 C解析 第一次循环得S ＝12，k ＝2；第二次循环得S ＝34，k ＝3；第三次循环得S ＝78，k ＝4；第四次循环得S ＝1516，k ＝5；第五次循环得S ＝3132∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1516，6364，k＝6，此时满足题意，退出循环，所以输入的n 值为5，故选C.题型 三 基本算法语句1．根据如图算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )A ．25B ．30C ．31D ．61 答案 C解析 该语句表示分段函数 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6×(x －50)，x >50， 当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝31. 故输出y 的值为31.2．如图程序执行后输出的结果是________．答案990解析程序反映出的算法过程为i＝11⇒S＝11×1，i＝10；i＝10⇒S＝11×10，i＝9；i＝9⇒S＝11×10×9，i＝8；i＝8<9，退出循环，执行“PRINT S”．故S＝990.1．解决算法语句的三步骤(1)通读全部语句，把它翻译成数学问题；(2)领悟该语句的功能；(3)根据语句的功能运行程序，解决问题．2．算法语句应用的四关注(2018·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.答案7解析S＝1，I＝1；1<8，S＝3，I＝4；4<8，S＝5，I＝7；7<8，S＝7，I＝10；10>8，终止循环，输出S＝7.。

推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模： 复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2.(2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．专门地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一样是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 二、经典例题领会好[例1] (1)(2021·安徽高考)设i 是虚数单位，假设复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，那么a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2021·陕西高考)设z 1，z 2是复数，那么以下命题中的假命题是( ) A ．假设|z 1－z 2|＝0，那么z 1＝z 2 B ．假设z 1＝z 2，那么z 1＝z 2 C ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 1·z 1＝z 2·z 2D ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 21＝z 22[解析] (1)因为a －103－i ＝a －103＋i3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的概念，知a －3＝0，因此a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D (2)D1与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m i m ≠0，利用复数相等去运算较简便.2在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，用待定系数法求解.3熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：1±i2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，那么|(1－z )·z |＝( ) B ．2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________． 解析：z ＝1＋i ，那么z 2z＝1＋i 21－i＝2i 1－i＝2i 1＋i 1－i1＋i＝－1＋i ，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)． 答案：(－1,1)合情推理一、基础知识要记牢 (1)类比推理的一样步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．(2)归纳推理的一样步骤：①通过观看个别事物发觉某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样性命题．一样情形下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推行的一样性结论也就越靠得住．二、经典例题领会好[例2] (2021·陕西高考)观看以劣等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．[解析] 12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，……12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1n n＋12.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋12合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先依照已知的部份个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一样结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理进程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×...×2n . 答案：2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)关于命题：假设O 是线段AB 上一点，那么有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，那么有S △OBC ·OA ＋S △O CA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：假设O 是四面体ABCD 内一点，那么有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，一般是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：假设O 为四面体ABCD 内一点，那么有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0程序框图一、经典例题领会好[例3] (2021·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，若是输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，现在不知足k >10；当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，现在不知足k >10；当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，现在不知足k >10； 当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，现在不知足k >10 ； ……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，现在知足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！. [答案] B1解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.2利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，若是程序运行的结果为S ＝132，那么判定框中可填入( ) A ．k ≤10 B ．k ≥10 C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次积存的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S＝132，k＝10.若是现在输出结果，那么判定框中的k的最大值是10.(2)假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是( ) A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.程序框图与概率的交汇算法是新课标高考中的一大热点，专门体此刻算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，要紧表此刻算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领会好[例] (2021·四川高考节选)某算法的程序框图如下图，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)别离求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同窗依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部份数据．甲的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………2 100 1 027376697乙的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………2 100 1 051696353当n＝2 100时，依照表中的数据，别离写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判定两位同窗中哪一名所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的散布列及数学期望． (1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图 计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式 概率． (2)学审题 频数统计表――→审表 各小组频数―→频率―――――→与1比较 结论．(3)学审题 条件―→确信y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出散布列―→期望值． [解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.因此，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率 甲1 0272 1003762 1006972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同窗所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127， 故ξ的散布列为因此，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.此题要紧考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的散布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方式解决实际问题的能力，考查数据处置能力、应用意识和创新意识.解答此题的易错点为：一是错读程序框图使此题在求解第一步时就显现错误，二是处置频数散布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如下图的长方体ABCD ­EFGH 材料切割成三棱锥H ­ACF .(1)假设点M ，N ，K 别离是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，依照艺术品加工需要，工程师必需求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如下图，那么运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ， ∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ­ACF .∵三棱锥H ­ACF 为将长方体ABCD ­EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ­ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2021·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，应选B.2．(2021·福建质检)执行如下图的程序框图，假设输入的x 值为2，那么输出的x 值为( ) A ．3 B ．126C ．127D ．128解析：选C 假设输入的x ＝2，那么x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，因此输出的x 值为127. 3．(2021·郑州质量预测)假设复数z ＝2－i ，那么z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋102＋i2－i2＋i＝6＋3i.4．(2021·江西高考)阅读如下程序框图，若是输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 ＝2*i －1C ．S ＝2*i ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环； 第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知现在应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (现在S =10＜10不成立).假设填S ＝2*i ＋4，那么在第二次循环中就跳出循环．应选C. 5．(2021·河南洛阳模拟)执行如下图的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，那么能输出数对(x ，y )的概率为( )解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．假设数列{a n }是等差数列，那么数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，假设正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，那么d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 假设{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；假设{c n }是等比数列，那么c 1·c 2·…·c n＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q 12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，应选D.7．已知复数z ＝1－i ，那么z 2－2z z －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i8．(2021·山东高考)执行下面的程序框图，假设输入的ε的值为，那么输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，现在输出， 故输出结果为3. 答案：39．(2021·福建质检)观看以劣等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……那么当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52；………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1知足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．(2021·郑州质量预测)每一年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)依照抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并依照你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(3)假设小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率散布估量整体散布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X的散布列．解：(1)茎叶图如下图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为；④甲种树苗的高度大体上是对称的，而且大多数集中在均值周围，乙种树苗的高度散布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量． S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越良莠不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗取得“良种树苗”的概率为12，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，因此随机变量X 的散布列为12．(2021·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右极点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的极点时，判定四边形OABC 是不是可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右极点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，因此AC 与OB 彼此垂直平分． 因此可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.因此菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的极点，且直线AC 只是原点，因此可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.因此AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，因此直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，因此AC 与OB 不垂直．因此四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．因此当点B 不是W 的极点时，四边形OABC 不可能是菱形．。