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拉普拉斯变换与S域分析

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第六章 拉普拉斯变换及连续系统的s域分析

第六章 拉普拉斯变换及连续系统的s域分析

F (s)

f (t ) e( j )t dt



f (t ) e st dt
对函数 F (s)进行傅立叶反变换:
f (t )e
t
1 2




F (s) e jt d
1 f (t ) 2π


F ( s ) e σt e jωt dω
convergence for Laplace transform)
• 拉氏变换的收敛域：
使 f (t )e t 满足绝对可积条件的 值的范围
• 单边拉氏变换的收敛域
若 f (t ) 为因果函数，若满足条件
lim f (t )e t 0
t
0
则收敛条件为 0
• 双边拉氏变换的收敛域
傅立叶变换的卷积定理：
• 时域卷积定理 若 f (t ) F ( j), f (t ) F ( j) 1 1 2 2 则
f1 (t ) f 2 (t ) F ( j) F2 ( j) 1
频域卷积定理
f1 (t ) F ( j), f 2 (t ) F2 ( j) 1
当 s j 确定时，指数函数 e st 也就确定了， 所以复平面上的点与指数函数相对应。 S的实部 反映指数函数 est e t e jt 的幅度变化速率， 虚部 反映指数函数中因子 作周期变化的频率。 e jt
j —纵轴
2、 拉普拉斯变换的收敛域(The region of
f () lim f (t ) lim sF(s)
t s 0
十一、卷积定理 若 则
{ f 1 (t )} F1 ( s) { f 2 (t )} F2 ( s)

信号与系统4.3拉氏变换的性质

信号与系统4.3拉氏变换的性质

T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

连续系统的S域分析及拉普拉斯变换性质

连续系统的S域分析及拉普拉斯变换性质
t
0
( j ) t
dt
j
b


1 s

b0
不定 无界

b

反因果信号的收敛域为某直线的左半平面
X
第
3、双边信号
8 页
f 3 ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t )
b a时，收敛域如图
Fb 3 ( s ) Fb1 ( s ) Fb 2 ( s )
j
a
b

b a时， Fb1(s)与Fb2(s)没有共同的收敛域，Fb3（s）不存在
双边信号的收敛域为带状区域
X
第
4、时间有限信号 如：
9 页
f 4 ( t ) et
Fb 4 ( s )
T1 t T2
e t e st dt

T2
T1

T2
T1
f 4 ( t )e st dt
F ' (s)

t
s
f ( )d
lim f ( t ) f (0 ) lim SF ( s )
s
终值定理
lim f ( t ) f ( ) lim SF ( s )
t s 0
卷积 定理
f1 ( t ) * f 2 ( t )
f1 ( t ). f 2 ( t )
F1 ( )
t
5 页


s j

f ( t )e ( j ) t dt
象函数 正LT 原函数 逆LT
Fb ( s )



f ( t )e st dt
双边拉氏变换

45用拉普拉斯变换法分析电路S域元件模型(精)

45用拉普拉斯变换法分析电路S域元件模型(精)

第三种情况： 0 R 1 2L LC
p1 p2
0
以上四种情况的波形如下
i t
0
0 0 0
O
t
二、 S域元件模型概念及应用
1. 电阻元件(R) 设线性时不变电阻 R 上电压 u(t) 和电流 i(t) 的参考方 向关联， 则R上电流和电压关系(VAR)的时域形式为
E VC ( s ) s
vC t
2E 1 s RC

t 0
E
O
t
E
思考题
• 1. 用拉氏变换分析电路的基本步骤？
• 2.电阻、电感、电容的S域等效模型？
I c ( s)
1 sc
1 v c (0 ) s
I c ( s)
1 sc
cvc (0 )
+
+
vc ( s)
（a)
-
-
+ vc ( s ) （b)
电容元件的非零状态S (a) 串联模型； (b) 并联模型
把电路中的每个元件都用它的s域模型来 代替，将信号用其变换式代替，于是就得
到该电路的s域模型图。对此模型利用KVL
2 2
（5）求逆变换
E i t e p1t e p2t L p1 p2


设
则
R ＝ , 0 2L
2 2
1 LC
2 2
无损耗的LC回路 第一种情况： 0， 0 第二种情况： 0 即R较小，高Q的LC回路，Q 2 第三种情况 0


E 1 这时有重根的情况， I s 表示式为 I s 2 L s R t E t E i t e te 2 L L L R越大，阻尼大，不能产 生振荡，是临界情况 第四种情况： 0 R较大，低Q，不能振荡

信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.

信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
n
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st



4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面

反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )

§4.05 用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型

§4.05 用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型

电容元件的s 模型

电流源形式
第
二.利用s域模型求响应的步骤 • 求起始状态 (0-状态)；
• 画s域等效模型；
5 页
• 列s域方程（代数方程）；
• 解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)
或 I (s )；
• 拉氏反变换求v(t)或i(t)。
例4-5-1
X
第
电流源形式的s域模型：
6 页
VL ( s) sLI L ( s) LiL (0 )


iC ( t )
vC ( t )
C
1 ( 1 ) 1 0 iC (0 ) iC ( ) d C C vC (0 )
IC ( ) sC s

VC ( s )
1 sC
v (0 ) s
X
4.5 用拉氏变换分析电路
主要内容
• 电路元件的s域模型 • 利用s域模型求电路响应的步骤
第 1 页
X
第
一．电路元件的s域模型(P.211-212)
优点 1. 电阻元件的 s 域模型
2 页
v R (t ) R i R (t )
VR ( s) R I R ( s)
VR ( s ) 或 I R ( s) R


iR (t )
R
v R (t )

I R ( s)
VR ( s )

R
X
第
2.电感元件的s域模型
d i L (t ) v L (t ) L dt
3 页

v L (t )
iL (t )
L
应用原函数微分性质
VL ( s ) LsI L ( s ) i L (0 ) s LI L ( s ) Li L (0 )

拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

若f (t)满足以下条件时，才存在付里叶变换 1 狄氏条件：1) f (t)在有限闭区间连续或有有限个第一类间断点； 2) f (t)在有限闭区间只有有限个极值点。
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j

4拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析讲解


求出k1 , k2 , k3 kn ,即可将F s 展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数 3. 第三种情况：有重根存在 4. F(s)两种特殊情况: 含e s的非有理式 非真分式—— 化为真分式＋多项式
收敛坐标 σ0
O
σ
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
一些常用函数的(单边)拉氏变换:P181表4-1
1.阶跃函数: F ( ) F [ f (t )] u(t )e j t dt [ 1 1 sgn( t )]e j t dt π ( ) 1
f (t )e j0t F 0
f (t ) jF ( )
f (t ) eα t F(s α)
sF ( s ) f (0 )
F ( s ) f 1 (0 ) s s
d F ( s) ds

t

f d
F ( ) πF (0) ( ) j
1 j t F F ( ) f ( t ) F ω e dω 2 以傅里叶变换为基础的频域 分析方法的优点和不足： F f (t ) F ω f (t ) e j t d t • 有清楚的物理意义 • 只能处理符合狄利克雷条件的信号-绝对可积条件： s j f t d t
2)求 e α t cos ω0t的拉氏变换.
3)求f (t ) tu(t 1)的拉氏变换 .
π 4)已知f (t ) ＝ 2 cos(t )u(t ), 求F(s)。 4
§ 4.4 拉普拉斯逆变换 拉氏逆变换的方法： (一)部分分式法 (二)利用留数定理——围线积分法
(三)数值计算方法——利用计算机 拉氏逆变换的过程：部分分式法

信号分析第四章：拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

dt T
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
Tt A ( t T )
20
拉普拉斯变换的性质
例 10 f (t) t e(t2) (t 1)
方法一：因为 (t 1) 1 es
中：a >0
解：
F ( s ) 0 e( sa ) tdt 0 e( a ) te j tdt 1
sa
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 <-a
j
收 敛 a 0 域
9
拉普拉斯变换的收敛区
例3
求双边信号 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。
s s0
令 s0 = 实数， 则
et( t ) s
1
令 s0 = j 虚数， 则 e j t ( t ) s
1 j
12
常用函数的拉普拉斯变换 三个基本函数的拉普拉斯变换
• 单位阶跃函数 (t)
已知 es0 t ( t ) 1
s s0
令上例中s0=0。则
(
t
)
1 s
• 单位冲激函数 (t)
s 1
t
e(
t1 )
(
t
1)
d ds
(
s
1 es 1
)
(
s
1 1 )2
es
s
1 es 1
F(
s
)
(
2 s s 1 )2
e s1

拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法

一、基尔霍夫定律的s域变换
时域中有：i(t) 0, u(t) 0
如果I (s)、U (s)分别为i(t)、u(t)的Laplace变换，则 由Laplace变换的线性性可得：
I (s) 0及U (s) 0。
5
电路的S域模型
二、元件VCR的s域模型
uR (t) RiR (t) U R (s) RI R (s)
动态电路的相量分析法和 s域分析法
第十二章
拉普拉斯变换在电路分析中的应用 （ S域分析法）
1
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
运用拉普拉斯(Laplace)变换，简称拉氏变换进 行动态电路的分析方法称为拉氏变换法或复频 率域(S域)分析法。
2
3
Laplace变换的性质
4
§12-2 电路的S域模型
uR (t) RiR (t) U R (s) RI R (s)
iL (t)

1 L
t
0 uL ( )d

IL (s)

U (s) sL
uC
(t )

1 C
t
0 iC ( )d
UC (s)

I (s) sC
10
零状态分析
定义零状态元件两端电压与电流比值为广义
阻抗：
2)当u(t)
U se-t
(t)时，U(s)

Us
s
sC
i(t) (K1et K2et / RC ) (t)
I (s) H (s)U (s) U s s / R
s s 1/ RC
K1

USC , RC 1
K2

Us
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dt


二、系统概述
离散系统模型（数学表达式、方框图表示）
a0 y(n) a1 y(n 1) b0 x(n) b1 x(n 1) aN 1 y(n N 1) aN y(n N ) bN 1 x(n N 1) bN x(n N )
二、系统概述
线性时不变LTI连续系统 （齐次性、时不变性、微分性、因果性）
ae1 (t ) be2 (t ) ar1 (t ) br2 (t ) 或 T ae1 (t ) be2 (t ) ar1 (t ) br2 (t )
e(t t0 ) r (t t0 ) 或
为整数时 T
2
；
二、系统概述
连续系统模型（数学表达式、方框图表示）
d n r (t ) d n 1r (t ) dr (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m1e(t ) de(t ) E0 E1 Em1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt



f (t ) (t t0 )dt f (t0 )；f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )；
1 (t ) (t )； (at ) (t ) a



f (t ) ' (t t0 )dt f ' (t0 )； ' (t ) ' (t )
k i t k j t rh (t ) Ai e B j t e i 1 j 1 l
基本单元：加法器 e1 ( t ) r ( t ) e1 ( t ) e2 ( t ) e2 (t ) 倍乘器 e (t ) a r (t )ae(t )
积分器 t de ( t ) e (t )或 r ( t ) e ( )d 或 e ( t )
或 T ax1 (n) bx2 (n) ay1 (n) by2 (n) ax1 (n) bx2 (n) ay1 (n) by2 (n)
x(n N ) y(n N ) 或
T x(n N ) y(n N )
r (n0 )仅与n n0时刻激励值有关
一、信号概述 离散序列的重要运算
尺度变换：z(n) x(an)
需按规律去除某些点或补足相应的零值
后向差分 x(n) x(n) x(n 1) 2 x(n) x(n) 2 x(n 1) x(n 2)
能量：E
n
x n

2
一、信号概述
典型序列
T[e(t t0 )] r (t t0 )
d n e(t ) d n r (t ) ( n ) (n) , e ( t ) r (t ) n n dt dt
r (t0 )仅与t t0时刻激励值有关
系统的分析方法（模型建立方法、模型求解方法）
二、系统概述
线性时不变LTI离散系统 （齐次性、时不变性、因果性）
1 n 0 单位样值序列： (n) 0 n 0
1 n 0 单位阶跃序列：u (n) 0 n 0
u ( n) ( n k ) k 0 (n) u (n) u(n 1)

1 0 n N 1 矩形序列：RN (n) 0 n 0, n N
一、信号概述
奇异信号的函数、波形、性质 （斜变信号t、阶跃信号u (t )、矩脉RT (t )、 门函数G (t )、 符号函数 sgn(t )、冲激信号(t )、冲激偶 (t )）
t df (t ) du (t ) u (t )； ( )d u (t )； （t） dt dt
RN (n) u(n) u(n N )
一、信号概述
n n 0 斜变序列：x(n) nu(n) 0 n 0
n a n 0 n 指数序列：x(n) a u (n) 0 n 0
正弦信号：x(n) sin(n0 )
2
0 0 2 2 为有理数时 T 0 0
系统的分析方法（模型建立方法、模型求解方法）
第二章 连续系统的时域分析
一、响应的一般求解
自由响应与强迫响应的求解
（齐次解rh (t )、特解rp (t )、起始条件 r
(k )
(0 ) 初始条件r
(k )
(0 )）
rp (t )根据方程右端0时刻加入激励构成的"自由项"而定
选 如常数E 常数C，t Ci 1t l i， e t Ce t 选 l 选 l i 0
基本单元：加法器 x1 ( n ) y ( n ) x1 ( n ) x2 ( n ) x2 ( n )
倍乘器 x( n) a y ( n )ax ( n)
1 积分器 x ( n ) 或x ( n 1) y ( n ) x ( n 1) 或 x ( n ) E
期中小结
第一章
至 第五章
第一章 绪论
一、信号概述
典型连续时间信号 （指数Ke st、正弦K sin(t )、抽样Sa(t )、钟形Ee
t
2
）
信号的基本运算 （加乘法、移位f (t t0 )、反折f ( t )、
t df (t ) 尺度变换f (at )、微分 、积分 f ( )d） dt