江苏省数学教材《二次函数》单元复习 经典资料

二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 ．a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值0 ．2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值c ．a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c ．3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4.y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ，k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a +，其中h= - ，k=(b2a )24ac - b 24ab2a 4ac - b 24a 五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.b2a (‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)当x < - 时，y 随x 的增大而减小；b2a当x > - 时，y 随x 的增大而增大；b2a 当x =- 时，y 有最小值 .b 2a 4ac ‒ b 24a 2. 当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =- , 顶点坐标为.当b2a(‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)x < -时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - 时,y 随 x 的增大而减小;当x =- 时 , y 有最大值.b2ab 2a b 2a 4ac ‒ b 24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2.顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3.两根式（交点式）： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a ⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当 ∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x 1 ，0)，B (x 2 ，0 ) (x 1 ≠ x 2 ) ，其中的 x 1 ，x 2是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．②当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例 1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得 {3=a ‒b +c 3=a +b +c 6=4a +2b +c {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴ =-8.4a (‒3a )‒(2a)24a又∵a≠0,∴a=2.⎬∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x-x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2).2.二次函数的图象例 2y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上⇒ a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 ⇒ c < 0b ⇒ bc>0.对称轴x = - 2a 在y 轴右侧 ⇒ b < 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标o系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:⎧开口上下决定a 的正负⎪左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号⎪⎨与a 的符号相同;)来判别b 的符号⎪抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定⎪⎩c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3.二次函数的性质例 4对于反比例函数 y=-与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:2x ①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函2数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1.∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.22②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称,∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n 2=m 2+m 2.∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0.∵P 、Q 是抛物上不同的点,∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0.∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y = x 2- 4x - 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y = -2(x +1)2B. y = -2(x -1)2C. y = -2x 2+1D. y = -2x 2-13.函数 y = kx 2- k 和 y = k(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的两个根分别是 x 1 = 1.3和x 2 =（）Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程 2x - x 2= 的正根的个数为（）2xA.0 个B.1 个C.2 个.3个08.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2B. y = -x 2+ x + 2C. y = x 2- x - 2 或 y = -x 2+ x + 2 D. y = -x 2- x - 2 或 y = x 2+ x + 2二、填空题9．二次函数 y = x 2+ bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【课程名称：二次函数复习357019 ：(1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B ；【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a ＞0，又02ba->，∴ b ＜0． 由抛物线与y 轴负半轴相交得c ＜0． ∵ a ＞0，∴ ay x=的图象在第一、三象限． ∵ b+c ＜0，∴ y ＝(b+c)x 的图象在第二、四象限． 同时满足ay x=和()y b c x =+图象的只有B ． 【点评】由图1得到a 、b 、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合3．（2015•陕西模拟）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则： ①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上；④若a=1，则OA •OB=OC 2． 以上说法正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 【思路点拨】①二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），因而将M 、N 两点坐标代入即可消去a 、c 解得b 值．②根据图象的特点及与直线MN 比较，可知当﹣1＜x ＜1时，二次函数图象在直线MN 的下方． ③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA •OB 的值，当x=0时，可得到OC 的值．通过c 建立等量关系求证． 【答案】C ；【解析】①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），∴，解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），∴直线MN的解析式为y﹣2=，即y=﹣2x，根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y=﹣2x的下方，∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．故该选项错误．④当a=1时，c=﹣1，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时，0=x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得x1•x2=c，即OA•OB=|c|，当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴若a=1，则OA•OB=OC2，故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点较多，熟练掌握所学函数的图象性质及特点对于解题很重要；同时也要灵活应对知识点彼此之间的联系．类型四、函数与方程4．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（）A．1 B．C．D．【思路点拨】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【答案】D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键． 举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．（2015•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）+5625，∵5600＜5625，∴5600不是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

【最新整理，下载后即可编辑】二次函数性质二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。

这些内容是中考二次函数重点考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。

一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标例1、对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)， C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，二、求抛物线的对称轴例2、二次函数322-+=x x y 的图象的对称轴是直线 。

三、求二次函数的最值例3、若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2y mx mx =-（ ） A.有最大值4m B.有最大值4m - C.有最小值4m D.有最小值4m- 四、根据图象判断系数的符号例4、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜0五、比较函数值的大小例5、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+- 的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y << 六、二次函数的平移例6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A. 2(1)3y x =---B. 2(1)3y x =-+-C. 2(1)3y x =--+D. 2(1)3y x =-++例7将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）A.1)1(32---=x yB. 1)1(32-+-=x yC.1)1(32+--=x yD. 1)1(32++-=x y例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0).(1) 求该二次函数解析式;(2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.（1）把二次函数2339424y x x =-++代成2()y a x h k =-+的形式． （2）写出抛物线2339424y x x =-++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线2339424y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．七、求代数式的值例9、已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为（ ）A ．2006 B ．2007C ．2008D ．2009八、求与坐标轴的交点坐标例10、抛物线 y=x 2+x-4与y 轴的交点坐标为 ． 例11、如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 。

《二次函数》知识点解读知识点1 二次函数的概念二次函数的概念：形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）的函数是二次函数.若b=0，则y=ax 2+c ；若c=0，则y=ax 2+bx ；若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般式.在二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）中，其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项.为什么要规定二次项的系数a≠0？当a=0时，函数为y=bx+c 是一次函数，由此可见，一次函数是二次函数的特例.1）a≠0是保证y 是x 的二次函数的重要条件，不能缺少.b 、c 可以为0.（2）因为解析式是整式，所以自变量x 的取值范围是全体实数.（3）确定二次函数的解析式就是确定待定系数a ，b ，c ，一般需要三个条件.（4）识别二次函数的条件：必须是整式，自变量的最高次数为2，即必须有二次项.例1 下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=2+5x 2 （2）322+=x y （3）y=3x （x+5） （4）225x y = （5）y=x 2-4（4-x ）2分析：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）是整式函数，二次函数不一定是一般式，通过化简变形可以化成一般式，注意隐含条件a≠0.解：（1）（3）（4）（5）是二次函数；（2）不是.例2 已知，函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数，你能确定k 的值吗？请说明理由.分析：要想确定k 的值，可由二次函数的定义来求解.解：由题意，得{22022=-≠+k k解得k=2. 所以，当k=2时，函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数.知识点2 二次函数在实际问题中的应用例3 某商场第一个月销售额为50万元，第三个月的销售额y （万元）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？解析：函数关系式是y=50（1＋x ）2，即y=50x 2+100x+50.点评 由上例，归纳出函数解析式均为整式（这表明这种函数与一次函数有共同的特征）.自变量的最高次数是2（这与一次函数不同）.例4 篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y （m 2）与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.分析：由矩形面积公式，写出二次函数关系式.解答：篱笆墙长30m ，一边长为x ，则另一边长为（30－x ），面积y （m 2）与长x 之间的函数关系式：y=x （15-x ）=-x 2+15x.其自变量x 的取值范围：0＜x ＜15.。

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2. 抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩ 解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（ ）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤． 故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（ ）A ．1B ．C ．D ．【思路点拨】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可． 【答案】D ． 【解析】解：∵y=﹣x 2+4x ﹣k=﹣（x ﹣2）2+4﹣k ， ∴顶点D （2，4﹣k ），C （0，﹣k ）， ∴OC=k ，∵△ABC 的面积=AB •OC=AB •k ，△ABD 的面积=AB （4﹣k ），△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k=（4﹣k ），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）2+5625，∵x 取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

第13讲二次函数【基础知识】1. 二次函数的解析式：（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）交点式： .2. 二次函数的图像和性质3. 二次函数用配方法可化成的形式，其中＝，＝ .4. 二次函数的图像和图像的关系.5. 二次函数中的符号的确定.6. 顶点式的几种特殊形式.⑴，⑵，⑶，（4） . 7．二次函数通过配方可得，其抛物线关于直线对称，顶点坐标为（，）.⑴ 当时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当时，有最（“大”或“小”）值是；⑵ 当时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当时，有最（“大”或“小”）值是．【典例精析】1．将抛物线向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．2. 如图1所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是．3.二次函数的最小值是（）A.－2 B.2 C.－1 D.14.二次函数的图象的顶点坐标是（）A.（1,3）B.（－1,3）C.（1,－3）D.（－1,－3）5. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.6. 二次函数y＝2x2－4x＋5的对称轴方程是x＝___；当x＝时，y有最小值是 .7. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝x2＋a B．y＝ a（x－1）2 C．y＝a（1－x）2 D．y＝a（l＋x）2例1已知二次函数，(1) 用配方法把该函数化为 (其中a、h、k都是常数且a≠0)形式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.(2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.例2如图，直线和抛物线都经过点A(1，0)，B(3，2)．⑴求m的值和抛物线的解析式；⑵求不等式的解集．(直接写出答案)例1 用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图2所示.⑴观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？⑵当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？二次函数分类一 .选择题1.二次函数的图像的顶点坐标是( )A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）2.抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为( )A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=23.如图，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为( )A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）5.如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．46.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过( )A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限7.下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( )8.把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）（A）（B）（C）（D）9.二次函数的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜－1 B．x＞2 C．－1＜x＜2 D．x＜－1或x＞210.给出下列四个函数：①；②；③；④．时，y随x的增大而减小的函数有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个11.已知二次函数 ()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.412.若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（）A．±B． 4 C．±或4 D．4或－二.填空题1.已知实数的最大值为 .2.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.3.若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解；4.(1)将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ；（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝．5.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为___________。

九数上期《二次函数》单元知识复习提纲 第 1页（共 6页） 第 2页 （共 6页）《二次函数》单元知识点复习注：请同学们先复习后填空、填表 赵化中学 郑宗平第一部分 二次函数的图象及其性质知识点：1.二次函数的定义：形如 （a b c 、、为常数，且a 0≠）的函数. 注意四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）.各项名称. 2.二次函数的图象：二次函数的图象是一条 ；是 对称图形. 3.二次函数的性质： ⑴.特殊形式：①.抛物线()2y ax a 0=≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最 值为 ；当a 0<，x 0=时，y 取最 值为 .②.抛物线()2y ax k a 0=+≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最 值为 ；当a 0<，x 0=时，y 取最 值为 . ③.抛物线()()2y a x h a 0=-≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最 值为 ；当a 0<，x h =时，y 取最 值为 .⑵.配方形式（也称顶点式）：()()2y a x h k a 0=-+≠抛物线()()2y a x h k a 0=-+≠对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上：当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最 值为 ；当a 0<，x h =时，y 取最 值为 .若把抛物线()2y ax a 0=≠进行平移： ①.向 平移k 个单位可以得到()2y ax k a 0=+≠；②.向 平移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h a 0=-≠；③.向 平移()h h 0>个单位，再 移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h k a 0=-+≠.⑶.一般形式：()2y ax bx c a 0=++≠第二部分 求二次函数的解析式问题知识点：1.待定系数法的一般步骤:设出解析式的形式 → 代入 → 解答并求出待定系数的值 → 返回写出解析式. 2.常见的求二次函数解析式的方法和途径：⑴.一般式（常用） ①.设出二次函数的一般式为：()2y ax bx c 0a 0=++=≠；②.代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组；③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑵.顶点式（常用）①.设出二次函数的顶点式为：()()2y a x m n a 0=++≠；九数上期《二次函数》单元知识复习提纲 第 3页（共 6页） 第 4页 （共 6页）②.代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为(),a b ，则,m a n b =-=； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑶.交点式（一般掌握）①.设出二次函数的一般式为：()()()12y a x x x x a 0=--≠；这里的12x x 、是抛物线与x 轴交点的横坐标；②.代入12x x 、和另外一个条件的值； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑷. 特殊式（常用）①.设出二次函数的特殊式：若顶点为原点可设为()2y ax a 0=≠的形式；若顶点在y 轴上可设为()2y ax k a 0=+≠的形式；若顶点在x 轴上可设为()()2y a x h a 0=+≠的形式；②.代入条件构成方程或方程组；③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑸.平移式（常用）平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：①.首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如()()2y a x m n a 0=++≠；②.由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其a 值不变化，其上下左右平移的规律是：若左右平移()k k 0>单位：向右平移则在m 数据上减去()k k 0>，向左平移则在m 数据上加上()k k 0>；若上下平移()h h 0>单位：向上平移则在n 数据上加上()h h 0>，向下平移则在n 数据上减去()h h 0>.对于配方书写式的口诀是：自变量“左加右减”，函数值“上加下减”； 顶点坐标的变化规律是：横坐标“右加左减”，纵坐标是“上加下减”. ⑹.对称式（了解）①.抛物线关于x 轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.②.抛物线关于y 轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. ③.抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.第三部分 二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：1..二次函数与一元二次方程的关系：已知一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠.⑴.△2b 4ac 0->（） ⇔ 一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个不同的交点. ⑵.△2b 4ac 0-=（） ⇔ 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与x 轴有“唯一”的交点，这个交点就是抛物线的顶点. ⑶.△2b 4ac 0-<（） ⇔ 一元二次方程方程无实数根，则抛物线与x 轴无交点. ⑷.△2b 4ac 0-≥（） ⇔ 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与x 轴有交点. 2.二次函数与一元二次不等式的关系（本部分是拓展，作为一般掌握.） 已知一元二次不等式()2ax bx c 0a 0++>≠或()2ax bx c 0a 0++<≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合.⑴.当a 0>时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. ⑵. 当a 0<时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体.第四部分 利用二次函数的解决实际问题利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用.主要有：1.利用二次函数解决面积问题；2.利用二次函数解决利润等代数问题；题目三：利用二次函数解决抛物线形问题.关于二次函数求“最值”的应用题基本环节：找出相关的数量关系 → 构建二次函数 → 利用二次函数的最值解决实际问题.主要题型：1.求最大面积⑴.相关几何图形的面积公式，几何图形之间面积的和差关系； ⑵.注意用同一个未知数（自变量）表示相关线段的长； ⑶.坐标系中特别注意用函数图象上的点的坐标表示长度. 2.求高度、长度的“最值”⑴.直接建立函数关系解决高度、长度的“最值”； ⑵.坐标系中特别注意用函数图象上的点的坐标表示长度 3.求最大利润⑴.总利润=单件利润× 实际件数；⑵.注意因“涨价”、“降价”等引起的单件利润和实际件数的变化2018.10.21整理九数上期《二次函数》单元知识复习提纲第 5页（共 6页）第 6页（共 6页）。

苏教版初三数学下二次函数知识点
知识点
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=axsup2;+bx+c
(a，b，c为常数，ane;0，且a决定函数的开口方向，agt;0时，开口方向向上，alt;0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大)则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式
一般式：y=axsup2;+bx+c(a，b，c为常数，ane;0)
顶点式：y=a(x-h)sup2;+k[抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x#8321;)(x-x#8322;)[仅限于与x轴有交点A(x#8321;，0)和B(x#8322;，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2a k=(4ac-bsup2;)/4a
x#8321;,x#8322;=(-bradic;bsup2;-4ac)/2a
课后练习
1.已知二次函数y=xsup2;+4x+csup2;-5c-3，当x=-4时，
y=3，求c的值?
解：将(-4,3)代入 3=16-16+c-5c-3 c-5c-6=0 (c-6)(c+1)=0 所以c=6 or c=-1
2.已知二次函数y=axsup2;+bx+c，当x=0是，y=7，当x=1时，y=0，当x=-2是y=9，求它的
解：将(0,7)(1,0)(-2,9) 代入求得 a=-2 b=-12 c=7 所以y=-2x-24x+7
二次函数知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家以更好的学习，取得优异的成绩。