正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示

性质2:球心和截面圆心的连线 正方体的内切球, 棱切球,外接球 性质2:球心和截面圆心的连线 二、正方体的棱与球相切（棱切球） 求棱长为a的正四面体的外接球的半径R. 求棱长为a的正四面体的外接球的半径R. 性质2:球心和截面圆心的连线 三、 正方体的外接球 三、 正方体的外接球 二、正方体的棱与球相切（棱切球） 性质2:球心和截面圆心的连线 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。 性质2:球心和截面圆心的连线 一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。 直径：相对两个面中心连线 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
2.求棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.球
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
h
a2 ( 3 a)2 6 a
长方体与球
一、长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a2 b2 c2 2R
？
一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的5个面相切。
如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
二、构造直角三角形
球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；
球的概念
•球的定义
半圆以它的直径为旋 转轴，旋转所成的曲面 叫做球面。球面所围成 的几何体叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2 球体积公式： V 4 R3
3
球半径的求法

举例
若正方体的边长为2，则内切球的半 径为1。
球心位置
• 球心位置：正方体的内切球的球心位于正 方体的中心。
02
正方体的外接球
定义与性质
定义
正方体的外接球是指能够完全容纳正方体的球。
性质
外接球的直径等于正方体的对角线长度，且球心位于正方体中心。
半径计算
半径公式
外接球的半径R可以通过正方体的边长a 计算得出，公式为 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$。
正方体的内切、外接、 棱切球
目录 CONTENT
• 正方体的内切球 • 正方体的外接球 • 正方体的棱切球 • 正方体与球的关系总结
01
正方体的内切球
定义与性质
定义
内切球是与正方体的所有面都相切的球。
性质
内切球的直径等于正方体的边长。
半径计算
半径公式
内切球的半径r = a/2，其中a为正方 体的边长。
VS
举例说明
若正方体的边长为4，则外接球的半径为 4$sqrt{3}$。
球心位置
球心位置
正方体的外接球的球心位于正方体的 中心，即各棱的中点。
证明方法
通过正方体的几何特性，可以证明球 心位于正方体中心是唯一能使球完全 容纳正方体的位置。
03
正方体的棱切球
定义与性质
定义
棱切球是与正方体的各棱都相切的球。
04
正方体与球的关系总结
正方体与内切球的关系总结
内切球
内切球是正方体各面中心到正方体中心的连线段所围成的球，其半径等于正方体边长的 一半。
总结
内切球与正方体的各个面相切，其半径等于正方体边长的一半。
正方体与外接球的关系总结

D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A

A1
C
O
C1
外接球的直径等于正方体的体对角线。
.
5
.
6
.
7
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的
全面积和它的内切球的表面积。
A 解法1： 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
.
11
正四面体的三个球
一个正四面体有一个外接球， 一个内切球和一个与各棱都 相切的球。那么这三个球的 球心及半径与正四面体有何 关系呢？为了研究这些关系， 我们利用正四面体的外接正 方体较为方便。
正四面体的外接球即为正 方体的外接球，与正四面 体各棱都相切的球即是正 方体的内切球，此两球的 球心都在正方体的中心， 在正四面体的高的一个靠 近面的四等分点上，
.
12
.
13
解法1： 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α
则α 截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示,
连 AO 延长交 PD 于 G
6a 3
P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
A
a 2
O G
O1 D

R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E 3a
6
S表

3 2
a2
球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

面积。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
R 3a 2
S 4R2 3a 2
D A
D1 A1
D A
C B
O C1
B1
C B
D1 A1
O C1
B1
练习一
1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
正方体的内切球
正方体的内切球的直径是棱长
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A

A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
正方体的棱切球
正方体的棱切球直径是面对角线长
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D1 A1
D A
D1 A1
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_________.
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。