二元二次多项式的因式分解

举一反三系列01——二元二次多项式的因式分解二元二次多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f(a，b，c不全为零)如何因式分解呢？这里以x^2+4xy-12y^2-x+26y-12为例介绍一种方法——仨十字相乘法，即连续三次运用十字相乘法进行分解。

这种方法的步骤是：第一步，用十字相乘法把二次项x^2+4xy-12y^2分解为(x-2y)(x+6y)；第二步，用十字相乘法把只含x及常数项的二次项式x^2-x-12分解为(x+3)(x-4)。

注意这里对x^2的分解要保持与第一步的分解相同；第三步，用十字相乘法把只含y及常数项的二次项式-12^2+26y-12分解为(-2y+3)(6y-4)。

这里要注意两点：（1）对y^2的分解要保持与第一步的分解相同；（2）对常数项-12的分解要保持与第二步的分解相同；第四，把第二步和第三步常数项相同的因式分别并为一个因式，同时相同的常数项只写一个，即把(x+3)与(-2y+3)并为一个因式，得(x-2y+3)；把(x-4)与(6y-4)并为一个因式，得(x+6y-4).则x^2+4xy-12y^2-x+26y-12=(x-2y+3)(x+6y-4)。

说明：上述第一步、第二步和第三步中，如果某一步不能分解或不能满足条件，则说明该多项式是不能分解的。

上述分解用十字相乘法可表示为如图1：如果把常数项的分解多写一遍，则可以显得更加直观明了(如图2所示)。

例如，分解因式：x^2-3xy+2y^2+11x-17y+30。

解：如图3所示，则原式=(x-2y+5)(x-y+6)。

练习：分解因式：（1）x^2+4xy+3y^2+x+5y-2；（2）2x^2+3xy+y^2-26x-21y+80；（3）x^2-y^2+6x+18y-72.。

二元二次方程组的解法
二元二次方程组是由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组。

二元二次方程组的解法有代入法，因式分解法，配方法，韦达定理法，消除常数等方法。

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在初等代数中，通常把由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。

由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

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1.代入法
由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。

2.因式分解法
在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解。

3.配方法
将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。

4.韦达定理法
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

5.消常数项法
当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。

文章如何利用因式分解法解决二元二次不等式组在数学学科中，因式分解法是一种常见的解决二元二次不等式组的方法。

通过将不等式组中的二次项进行因式分解，可以得到更简洁的表达形式，进而分析不等式的解集。

本文将详细介绍如何利用因式分解法来解决二元二次不等式组的问题。

一、因式分解法简介因式分解法是一种将多项式分解成两个或多个较简单的因子乘积的方法。

在解决二元二次不等式组时，我们需要将其中的二次项分解为两个一次项的乘积，并通过比较各项系数来确定不等式的解集。

二、解决二元二次不等式组的具体步骤以下是解决二元二次不等式组的具体步骤：步骤一：观察等号右边的不等式组是否可以因式分解。

只有在能够因式分解的情况下，我们才能使用因式分解法解决不等式组。

步骤二：对二次项进行因式分解。

将二次项分解为两个一次项的乘积，并且注意保持不等号的方向不变。

例如，对于不等式组x^2 + y^2 < 9和xy < 0，我们可以将第一个不等式进行因式分解得到(x+3)(x-3)+y^2 < 0，而第二个不等式无法进行因式分解。

步骤三：比较各项系数。

根据因式分解后得到的形式，比较各项系数并进行分类讨论。

例如，对于上述的不等式组(x+3)(x-3)+y^2 < 0，我们可以依次比较x^2，x，y^2的系数，并进行分类讨论。

步骤四：确定不等式的解集。

根据比较各项系数的结果，确定不等式的解集。

例如，对于上述的不等式组(x+3)(x-3)+y^2 < 0，我们可以通过研究x^2的系数得知x的取值范围，通过研究y^2的系数得知y的取值范围，进而确定不等式组的解集。

三、实例分析为了更好地理解因式分解法解决二元二次不等式组的过程，我们来看一个具体的实例。

例题：解决不等式组x^2 + y^2 - 4xy < 0和x - y < 0。

解法：首先，我们对第一个不等式进行因式分解，得到(x-y)^2 +2xy - 4xy < 0。

6 二元二次式的分解形如ax 2＋bxy ＋cy 2＋dx ＋ey ＋f 的x 、y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．6．1 欲擒故纵【例1】分解因式：x 2＋2xy －3y 2＋3x ＋y ＋2． 【解】 如果只有二次项x 2＋2xy －3y 2，那么就由算式11132-得 x 2＋2xy －3y 2＝(x －y )(x ＋3y )． 如果没有含y 的项，那么对于多项式x 2＋3x ＋2，由算式 11123得 x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)． 如果没有含x 的项，那么对于多项式－3y 2＋y ＋2，由算式 13-121得 －3y 2＋y ＋2＝(－y ＋1)(3y ＋2)． 把以上三个算式“拼”在一起，写成 1113-12便得到所需要的分解：x 2＋2xy －3y 2＋3x ＋y ＋2 ＝(x －y ＋1)(x ＋3y ＋2)．上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉乘就是上面所说的三次十字相乘（我们省略了横线及横线下面的数）．两次十字相乘就可以确定算是中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下．长十字中的第一行1－1＋1表示因式x －y ＋1，第二行的1＋3＋2表示另一个因式x ＋3y ＋2．为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的结果综合起来，这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．【例2】分解因式：6x 2－5xy －6y 2＋2x ＋23y －20． 【解】 先进行两次十字相乘，由算式()()23x y 325--()(1)23x 452- 得 6x 2－5xy －6y 2＝(2x －3y )(3x ＋2y )，6x 2＋2x －20＝(2x ＋4)(3x －5)．为避免混淆，我们在算式中写上（x ）、（y ）、（1），表示相应的列是x 、y 的系数或常数项．然后把两个算式拼成()()(1)23x y 32-45- 检验一下，正好有 (－3)×(－5)＋2×4＝23， 于是 6x 2－5xy －6y 2＋2x ＋23y －20＝(2x －3y ＋4)(3x ＋2y －5)．6．2 三元齐次长十字相乘对于三个字母x 、y 、z 的二次齐次式ax 2＋bxy ＋cy 2＋dxz ＋3yz ＋fz 2也同样适合．【例3】分解因式：x 2－6xy ＋9y 2－5xz ＋15yz ＋6z 2． 【解】 由算式()()()11x y z 33--23-- 得 x 2－6xy ＋9y 2－5xz ＋15yz ＋6z 2＝(x －3y －2x )(x －3y －3z )．【例4】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0．求证：2b ＝a ＋c ．【证明】由算式()()()11a b c 12--31得 a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝(a －b ＋3c )(a －2b ＋c )．于是，由已知条件，得(a －b ＋3c )(a －2b ＋c )＝0．因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以a－b＋3c≠0，从而a－2b＋c＝0，即2b＝a＋c．6．3 项数不全如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）．【例5】分解因式：x2－y2＋5x＋3y＋4．【解】由算式1 111-14得x2－y2＋5x＋3y＋4＝(x＋y＋1)(x－y＋4)．在例5中，如果仅看x2－y2与x2＋5x＋4，也可能导出不完全正确的算式1 111-41在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的4与1应当交换位置．【例6】分解因式：x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y．【解】由算式1 1212得x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y＝(x＋2y)(x＋y＋2)．6．4 能否分解二元二次式并不是一定能分解的．如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次习题时，应当先拟好答案，即两个一次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式．换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，然后再写出二元二次式．如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的．【例7】m为什么数时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解为两个一次因式的积？【解】对于多项式x2＋7xy－18y2，由算式1 19 27-对于多项式x2－5x－24，由算式1 18 35--这两个算式可以拼成长十字相乘1 192-83-或1 192-38-对第一个长十字相乘，有9×3＋(－2)×(－8)＝43，而对第二个长十字相乘，有9×(－8)＋(－2)×3＝－78，所以，m＝43或m＝－78时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24才可以分解，并且由第一个长十字相乘，得x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋9y－8)(x－2y＋3)，由第二个长十字相乘，得x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋9y＋3)(x－2y－8)．小结x、y的二次式（或x、y、z的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解．长十字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示x、y的二次齐次式、不含x的二次式（或y、z的二次齐次式）与不含y的二次式（或z、x的二次齐次式）的因式分解．习题6将以下各式分解因式：1．x2＋2xy＋y2＋3x＋3y＋2．2．4x2－14xy＋6y2－7x＋y－2．3．x2－y2－3z2－2xz＋4yz．4．2y2－5xy＋2x2－ay－ax－a2．5．a2－3b2－3c2＋10bc－2ca－2ab．6．2a2－7ab－22b2－5a＋35b－3．7．x2－2y2－3z2＋xy＋7yz＋2xz．8．2x2－6y2＋3z2－xy＋7xz＋7yz．9．4x2－9y2＋2z2＋6xz－3yz．10．4x2＋2z2＋xy＋9xz＋2yz．习题6 1．(x＋y＋1)(x＋y＋2)2．(4x－2y＋1)(z－3y－2)3．(x＋y－3z)(x－y＋z)4．(x－2y－a)(2x－y＋a)5．(a＋b－3c)(a－3b＋c)6．(a＋2b－3)(2a－11b＋1)7．(x－y＋3z)(x＋2y－z)8．(x－2y＋3z)(2x＋3y＋z)9．(2x＋3y＋2z)(2x－3y＋z)10．(x＋2z)(4x＋y＋z)。

二元二次多项式的因式分解二元二次多项式是数学中一种最常用的多项式，也称为二次多项式，它由常数项和二次项等组成。

一般地，它可以表示为：（ax+bx+c）。

其中a、b、c都是常数，而x、x则为非常数项，a不能等于0。

二元二次多项式有一种叫做“因式分解”的方法，以ax+bx+c为例，它可以分解为：（ax+m）（bx+n），其中m、n是常数，且有：m×n=bc，a+b=m+n。

若将a=1，则因式分解的总体形式为：（x+m）（x+n）。

因式分解是一种有效的求根法，我们可以通过因式分解求出多项式的根。

具体的步骤如下：（1）令ax+bx+c=0，求解m、n使其满足mn=bc，a+b=m+n。

（2）将ax+bx+c化为x+m与x+n相乘的形式，即：ax+bx+c=(x+m)(x+n)（3）把乘积形式表示为0，即：x+(m+n)x+(mn)=0（4）解该二次方程：x1= -(m+n)/2+√［(m+n)-4mn］/2， x2= -(m+n)/2-√［（m+n）-4mn］/2（5）则x1+m，x2+m求出的两个根分别等于多项式ax+bx+c的根。

因式分解的另外一个重要应用，是可以用它来求解求解两个方程的解，例如：ax+bx+c=0 dx+ex+f=0。

若想要求出这两个方程的解，我们首先要求解因式分解的结果，即：（x+m）（x+n），同时，我们也要求解另外一种分解的结果，即：（x+p）（x+q），其中m、n、p、q是常数，且有：m×n=bc，p×q=ef，a+b=m+n，d+e=p+q。

若将a=d=1，则有：（x+m）（x+n）（x+p）（x+q）=0，我们可以把这四个方程的解列出来：x1=-m-p，x2=-m-q，x3=-n-p，x4=-n-q，根据以上四个解，我们就可以求出这两个方程的解。

总结而言，因式分解是一种简单而实用的方法，它可以用来求解二元二次多项式的根和解，是数学解决复杂问题的重要工具。

也谈二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式二元二次多项式可因式分解是数学中的一类重要问题，它是指在将一个二元二次多项式分解成两个乘积，使得这两个乘积都是一元一次因式的过程。

一般来说，二元二次多项式可因式分解的充要条件有三个：一、二元二次多项式可因式分解的充要条件之一是多项式中的係數a，b，c必须满足a≠0，即二元二次多项式的二次項中必须存在一个不为零的系数。

二、多项式中的係數a，b，c满足a²＝bc，即多项式的二次項中的系数a的平方等于二次項中的两个系数b和c 的乘积。

三、多项式中的係數a，b，c满足Δ＞0，其中Δ＝b²-4ac，即多项式的二次項中的两个系数b和c的平方减去4倍二次項中的系数a和常数项c的乘积的值大于零。

满足上述三个充要条件后，二元二次多项式可因式分解的公式如下：二元二次多项式可因式分解公式：ax²+bx+c=a(x-p)(x-q)其中，p＝-b+√Δ/2a，q＝-b-√Δ/2a根据上述公式可知，将二元二次多项式分解成两个乘积，其中一个乘积为一元一次因式，均可写作a×(x-p)×(x-q)，其中p，q为实数，即二元二次多项式的两个根。

由此可见，二元二次多项式可因式分解的充要条件有三个：多项式中的係數a，b，c必须满足a≠0；多项式中的係數a，b，c满足a²＝bc；多项式中的係數a，b，c满足Δ＞0，其中Δ＝b²-4ac。

满足上述三个充要条件后，二元二次多项式可因式分解的公式为ax²+bx+c=a(x-p)(x-q)，其中p，q为实数，即二元二次多项式的两个根。

因此，总结起来，二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式为：多项式中的係數a，b，c必须满足a≠0，a²＝bc，Δ＞0，其中Δ＝b²-4ac；二元二次多项式可因式分解的公式为ax²+bx+c=a(x-p)(x-q)，其中p，q为实数，即二元二次多项式的两个根。