线性代数第12讲

《高等代数》课 程 教 案(另有电子多媒体制作的课件教案)(一) 课程概况课程名称: 高等代数I，高等代数II课程学时：两学期，课内周４学时，共计128学时。

课外另有讨论课。

课程性质：必修基础课。

讨论交流：每周安排1次讨论课。

考核方法： 多种形式结合。

平时表现 (课堂讨论、作业、思考题)占10%， 期中考试占20%，期末考试(和小论文小答辩)占70%.开课学期：秋季学期、春季学期。

(二) 使用教材：1.《高等代数学》(第一、二版), 张贤科，许甫华编著，清华大学出版社(主教材)2.《高等代数解题方法》，许甫华、张贤科编著，清华大学出版社(辅导教材)3.《Theory and Problems of Linear Algebra》，S. Lipschutz著， McGraw-Hill出版.4.《Linear Algebra》，S.Berberian著，Oxford Univ. 出版5. 《Advanced Linear Algebra》，S. Roman著，Springer出版社。

(以上3本为参考书)(三) 内容合进度安排 (带星号*的是简单介绍性内容)第一部分 基 础 内 容 (第一学期上课)第1章 数与多项式1.1 数的进化与代数系统 (第1大节上课)*1.2 整数的同余与同余类 (第2大节上课)1.3 多项式形式环 (第3大节上课)1.4 带余除法与整除性1.5 最大公因子与辗转相除法 (第4大节上课)1.6 唯一析因定理1.7 根与重根 (第5大节上课)1.8 与 (第6大节上课)1.9 与1.10 多元多项式 (第7大节上课)1.11 对称多项式习题1 (4 次讨论课)第2章 行列式2.1 排列 (第8大节上课)2.2 行列式的定义2.3 行列式的性质2.4 Laplace 展开 (第9大节上课)2.5 Cramer 法则与矩阵乘法 (第10大节上课)2.6 矩阵的乘积与行列式 (第11大节上课)2.7 行列式的计算习题2 (2次讨论课)第3章 线性方程组3.1 Gauss消元法 (第12大节上课)3.2 方程组与矩阵的秩3.3 行向量空间和列向量空间 (第13大节上课)3.4 矩阵的行秩和列秩3.5 线性方程组解的结构 (第14大节上课)3.6 例题*3.7 结式与消去法习题3 (2次讨论课)第4章 矩阵的运算与相抵4.1 矩阵的运算 (第15大节上课)4.2 矩阵的分块运算4.3 矩阵的相抵 (第16大节上课)4.4 矩阵运算举例 (第17大节上课)4.5 矩阵与映射 (第18大节上课)*4.6 矩阵的广义逆*4.7 最小二乘法习题4 (2 次讨论课)-------------------复习, 期中考试 (第19大节)第5章 线性(向量)空间5.1 线性(向量)空间 (第20大节上课)5.2 线性映射与同构 (21大节上课)5.3 基变换与坐标变换 (第22大节上课)5.4 子空间的和与直和 (第23大节上课)*5.5 商空间习题5 (两次讨论课)第6章 线性变换6.1 线性映射及其矩阵表示 (第24大节上课)6.2 线性映射的运算 (第25大节上课)6.3 线性变换 (第26大节上课)*6.4 线性表示介绍6.5 不变子空间 (第27大节上课)6.6 特征值与特征向量 (第28大节上课)6.7 方阵的相似 (第29大节上课)习题6 (两次讨论课)------------------------复习, 期末考试 (第30-32大节)第二部分 深 入 内 容(第二学期上课)第7章 方阵相似标准形与空间分解7.1 引言: 孙子定理 (第1大节上课)7.2 零化多项式与最小多项式 (第2大节上课)7.3 准素分解与根子空间 (第3大节上课)7.4 循环子空间 (第4大节上课)7.5 循环分解与有理标准形 (第5大节上课)7.6 Jordan 标准形 (第6-7大节上课)7.7 矩阵与空间分解 (第8大节上课)7.8 矩阵的相抵与Smith标准形 (第9大节上课)7.9 三种因子与方阵相似标准形 (第10大节上课) *7.10 方阵函数 (第11大节上课)*7.11 与可交换的方阵*7.12 模分解基本定理7.13 若干例题习题7 (讨论课4次)第8章 双线性型、二次型与方阵相合8.1 二次型与对称方阵 (第12大节上课)8.2 对称方阵的相合 (第13大节上课)8.3 正定实对称方阵 (第14大节上课)8.4 交错方阵的相合及例题 (第15大节上课)8.5 线性函数与对偶空间 (第16大节上课)8.6 双线性函数 (第17大节上课)8.7 对称双线性型与二次型 (第18大节上课)*8.8 二次超曲面的仿射分类*8.9 无限维线性空间习题8 (讨论课 3次)-------------------------复习, 期中考试 (第19大节上课)第9章 欧几里得空间与酉空间9.1 标准正交基 (第20大节上课)9.2 方阵的正交相似 (第21大节上课)9.3 欧几里得空间的线性变换 (第22大节上课)9.4 正定性与极分解 (第23大节上课)*9.5 二次超曲面的正交分类 (第24大节上课)9.6 杂例 (第25大节上课)9.7 Hermite型 (第26大节上课)9.8 酉空间和标准正交基 (第27大节上课)9.9 方阵的酉相似与线性变换 (第28大节上课)*9.10 变换族与群表示9.11 型与线性变换 (第29大节上课)习题9 (讨论课 4次)-------------------------复习, 期末考试 (第30-32大节) 第三部分 选 学 内 容(课外阅读材料, 不在课内讲课, 或稍作介绍)第10章 正交几何与辛几何10.1 根与正交补10.2 正交几何与辛几何的结构10.3 等距变换与反射10.4 Witt定理10.5 极大双曲子空间习题10第11章 Hilbert空间11.1 内积与度量空间11.2 内积空间与完备11.3 逼近与正交直和11.4 Fourier展开11.5 等距同构于11.6 有界函数与Riesz表示习题11第12章 张量积与外积12.1 引言与概述12.2 张量积12.3 线性变换及对偶12.4 张量及其分量12.5 外积12.6 交错张量习题12(四)课程的定位和作用《高等代数》是数学的核心基础课程。

线性代数(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n叫做n 维向量空间.()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量√ 行列式的计算：⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m nA a ⨯=或m n A ⨯()1121112222*12n Tn ij nnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A中各个元素的代数余子式.√ 逆矩阵的求法:①1A A A *-=○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号②1()()A E E A -−−−−→初等行变换1111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()()T T T T A X B X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得1零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）⑧ 设√ ④,m n n A B ⨯⨯若 ⑤(r AB ⑥A B 若若⑦若()m n r A ⨯若()n s r B n ⨯=⑨()r A B ±⑩A O r OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭√ 12,,,,n n αβααβα⇒线性相关可由有唯一组解表示法唯一线12),)()A r A ββααββ教材 讲义性无关 不可由 Ax Ax ββ==其导出组有非零解()r A *⎧⎪=⎨⎪⎩1,,,,k k Ax Ax Ax ηηλληβηβ==也是它的解是 的解是的两个解1111,,k Ax Ax βηληλη=的解是 √ 设A ()r A m =⇒)A β⇒√ 判断1,s ηη是Ax ο=的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηη线性无关；② 12,,,s ηηη都是Ax 的解；③ ()sn r A =-=每个解向量中自由未知量的个数√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一,s ξ是Ax 列向量个数相同）① 它们的极大无关组相对应② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；③ 它们有相同的内在线性关系(A r A B βγ⎫=⎪⎭m n A ⨯与l n B ⨯B =（左乘可逆矩阵m n ⨯与l n B ⨯关于公共解的三中处理办法：① 把(I)142c c ηη+都是非齐次线性方程组时，设1c ξ+两方程组有公共解21233)(,r c ηηηξη=+-(II)中，找出(I)的通解中的任的关系式而求出公共解。

向量组的秩怎么求各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢向量组的秩第四章向量与线性方程组§向量组的秩2016年秋季四川大学邓传现等价向量组定义设①若中的每个向量均可由可由向量组与等价. 的等价具有以下性质：与自身等价；等价，则等价，等价.22016年秋季四川大学邓传现为两向量组, 线性表示，则线性表示；称向量组②若向量组组提醒向量组可相互线性表示，称向量与向量组反身性向量组对称性若传递性若则与与与与与等价；等价，定理若示且, 则证明考查方程组由于可由使得可由线性相关.线性表线性表示，则存在数因那么如下齐次线性方程组32016年秋季四川大学邓传现中方程数少于未知变量数，故有非零解我们将证明，满足. 事实上，这表明，方程组组线性相关.也有非零解4，所以向量2016年秋季四川大学邓传现推论1 若表示且可由线性无关，那么.线性推论2 任意个证明因任意基本向量组由定理知，证明设维向量线性相关. 个维向量均可由线性表示且线性相关. 和是两推论3 等价的线性无关向量组含有向量的个数必相同. 个等价的线性无关向量组，由推论1知所以.52016年秋季四川大学邓传现极大无关组及说明定义设的一个部分组，如果①线性无关；②中任一向量都可由线性表示；则称向量组是的一个极大无关组. 向量组的极大无关组与自身是等价的. 一个向量组的极大无关组，就是能表示该向量说明组的个数最少的部分无关向量组. 一个向量组的极大无关组未必只有一个，但同一个向量组的极大无关组之间必然等价.62016年秋季四川大学邓传现是向量组的秩定理同一向量组的任意两个极大无关组是等价的，且包含相同个数的向量. 证明同一向量组的任意两个极大无关组与向量组本身都是等价的，故同一个向量组的两极大无关组等价；再由以上推论知，它们包含的向量个数必相同. 定义向量组的极大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩, 记为规定零向量组的秩为零，即推论设为一向量组，则线性无关线性相关72016年秋季四川大学邓传现推论若则证明设向量组则由于因而可由可由的极大无关组分别为线性表示，线性表示，则与也可由线性表示；又因都是线性无关，所以82016年秋季四川大学邓传现向量组秩求法的依据推论等价向量组的秩相等. 证明由于等价向量组可以相互线性表示，由前一推论知等价向量组的秩相等.注记由以上推论知向量组的秩是唯一的，而极大无关组未必唯一，故秩比极大无关组更为本质地刻画了向量组的内在属性. 定理若组且矩阵换可化为矩阵①②为向量组为向量组9和均为列向量经过一系列初等行变则以下命题等价的极大无关组; 的极大无关组.2016年秋季四川大学邓传现证明设矩阵化为经过一系列初等行变换考虑以下四个向量形式的线性方程组则①与同解，②当则关组有零解, 而与同解. 为的极大无关组时，有解，因可由极大无仅线性表示；从而仅有零解,有解；所以102016年秋季四川大学邓传现线性无关，且对任意的可由向量组向量组极大无关组. ②推论设①同理可证. 为列向量组，若初等行变换则112016年秋季四川大学邓传现线性表示，故为的例题求向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.122016年秋季四川大学邓传现解答令换将其化为阶梯形矩阵，并对作初等行变132016年秋季四川大学邓传现第 3 行改放第 4 行第 4 行除以5 后改放第3 行由于有三行非零，故这是因为的第1, 2, 4 列的前3行所构成的行列式不为零，所以线性无关，而的任意4行所构成的142016年秋季四川大学邓传现行列均为零，故相关，从而进一步用行变换将中任意四个向量线性为它的一个极大无关组. 化为约当阶梯形，得所以152016年秋季四川大学邓传现向量组的秩及极大无关组的求法若为列向量组，令若为行向量组，令一系列初等行变换阶梯形矩阵的非零行的行数则的非零首元所在的列，是无关组，并且对应向量组16的一个列极大的一个列极大无关组，即的一个极大无关组.2016年秋季四川大学邓传现关于向量组的秩和极大无关组的求法的注记在所得的阶梯型矩阵中，阶梯总数或非零行数即为所求列向量组的秩；在阶梯型矩阵的每一阶梯中取一列，则对应的原向量所构成的向量组即为原向量组的一个极大线性无关组. 每一阶梯取一列得原向量组的多个极大无关组，但它们未必是该向量组的全部极大无关组. 因为同一阶梯的向量之间也可能是线性无关的. 如果要把其余向量由极大无关组表示，则将其化为约当阶梯形矩阵，此时的极大无关组必须取每一阶梯的第一列，则可轻易地将其余向量用极大无关组线性表示.172016年秋季四川大学邓传现例题求向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示. 解答令，并对作初等行变换将其化为阶梯形矩阵182016年秋季四川大学邓传现一系列初等行变换故且就是向量组的一个极大无关组，且192016年秋季四川大学邓传现第三节向量组的秩第三节向量组的秩一、最大线性无关向量组二、矩阵与向量组秩的关系三、向量组秩的重要结论一、最大线性无关向量组１、定义设有向量组 A , 如果在A 中能选出r 个向量满足向量组A0 : 线性无关;向量组 A 中任意r + 1 个向量( 如果A 中有r + 1 个向量的话) 都线性相关，则称向量组A0 是向量组A 的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组). 最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩, 记为RA最大无关组的等价定义:(Ⅱ )设有向量组 A , 如果在 A 中能选出r 个向量满足向量组线性无关;向量组 A 中任一向量都能由向量组A0线性表示, 那么A0是A的一个最大无关组.(Ⅰ )向量组线性无关;向量组 A 中任意r + 1 个向量( 如果A 中有r + 1 个向量的话) 都线性相关，1、向量组 A 与它的最大无关组A0是等价的.2、只含零向量的向量组没有最大无关组, 规定它的秩为0 .3、非零向量组的秩R 满足 1 ≤ R ≤ m .二、矩阵与向量组秩的关系定理１矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.证设，R( A) = r , 并设r阶子式Dr ≠ 0.根据定理2由Dr ≠ 0知所在的r列线性无又由A中所有r + 1阶子式均为零，知A中任意关；r + 1个列向量都线性相关.因此Dr 所在的r列是 A所以列向量组的秩的列向量的一个最大无关组，等于r . 类似可证A 的行向量组的秩也等于R( A).例1 设矩阵求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组.解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵初等行变换A~知R( A) = 3，a1 , a2 , a3 为列向量组的一个最大无关组.例2 全体n维向量构成的向量组记作R n，求R n的一个最大无关组及R n的秩.解因为n维单位坐标向量构成的向量组是线性无关的，又根据定理3的结论( 3) 知R n 中的任意n + 1个向量都线性相关，因此向量组 E 是R n的一个最大无关组，且R n的秩等于n.三、向量组秩的重要结论定理3′ 若向量组B能由向量组A 线性表示，则RB ≤ RA .推论等价的向量组的秩相等.证设向量组A与向量组B的秩依次为s和r .故s ≤ r与r ≤ s同时成立, 所以s = r .例3已知9 − 5证明向量组(a1 , a 2 )与(b1 , b2 )等价.3 −5 证明0 − 2初等行变换~∴R(a1 , a2 ) = R(a1 , a2 , b1 , b2 ) = R(b1 , b2 )因此向量组a1 , a2 与b1 , b2 等价.例4 设矩阵求矩阵A的列向量组的一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解因此a1 , a 2 , a4是A的一个最大无关组a 3 = −a1 − a 2 , a5 = 4a1 + 3a 2 − 3a4例 5 设α 1 = (1,1,3,1) , α 2 = ( −1,1,−1,3) , α 3 = (5,−3,8,9)α 4 = ( −1,3,1,1) , 求α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组线性表示.解初等行变换∴a1 , a2 为向量组的一个最大无关组,且3 7 a3 = a1 − a2 , a4 = a1 + 2a2 .2 2例7 向量组A的秩为r , α 1 , α 2 , 为A的r个线性无关的向量,证明为A的最大无关组.线性代数向量组的秩第四节向量组的秩分布图示★引例★定理1★极大线性无关向量组★向量组的秩★矩阵与向量组秩的关系★例1★例3★定理3★例5 ★内容小结★习题3-4★课堂练习★例2 ★例4★例6内容要点一、最大线性无关向量组定义 1 设有向量组若在向量组A中能选出r个向量满足(1) 向量组线性无关;(2) 向量组A中任意个向量(若有的话)都线性相关.则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组(简称为极大无关组).注: (1) 含有零向量的向量组没有极大无关组;(2) 向量组的极大无关组可能不止一个, 但由上节推论6知, 其向量的个数是相同的. 定理1 如果是的线性无关部分组, 它是极大无关组的充分必12r要条件是s中的每一个向量都可由线性表示.12r注: 由定理1知，向量组与其极大线性无关组可相互线性表示, 即向量组与其极大线性无关组等价.二、向量组的秩定义2 向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩, 记为规定: 由零向量组成的向量组的秩为0.三、矩阵与向量组秩的关系定理2 设A为矩阵，则矩阵A的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.推论1 矩阵A的行向量组的秩与列向量组的秩相等.由定理2证明知，若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式, 则Dr所在的r列就是A的列向量组的一个极大无关组; Dr所在的r行即是A的行向量组的一个极大无关组.。

行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。

行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。

本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。

行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。

行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。

掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。

一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。

对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。

二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。

选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。

【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。

考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。

线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。

若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。

于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。

所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。

----图解线性代数----任广千胡翠芳编著2010.06.01《线性代数的几何意义》几何意义名言录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。

-------笛卡尔算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。

--------希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。

”--------拉格朗日不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。

--------柏拉图无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。

学习一条数学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了, 我才认为真正懂了。

--------中国当代数学家徐利治第三章 行列式的几何意义在中国古代，用筹算表示联立一次方程未知量的系数时，就有了行列式的萌芽-----排列的方式。

日本吸收了这种思想，在1683年，日本学者关孝和（Seki Takakusu）对行列式的概念和它的展开已有了清楚的叙述。

到18世纪，瑞士数学家克莱姆（G.Gramer）和法国数学家拉普拉斯（place）建立了行列式理论。

行列式的几何意义具有深刻的含义。

它是指行列式的行向量或列向量所构成的平行多面体的有向体积。

这个有向体积是由许多块更小的有向面积或有向体积的累加。

在我们逐步地讨论这个几何意义之前，先来回顾一下行列式的定义。

3.1. 行列式的定义行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。

当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。

它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。

矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。

行列式分阶，比如二阶行列式、三阶行列式直至n 阶行列式。

反对称矩阵 A = A 。

0 0 0 0 1 0 3 0 (A ) * 0 03 0 01 0 0* * *对称矩阵 A = A 。

考研数学知识点－线性代数第一讲 基本知识二．矩阵和向量1．线性运算与转置① A + B = B + A② (A + B ) + C = A + (B + C )③ c (A + B ) = cA + cB (c + d )A = cA + dA④ c (dA ) = (cd )A⑤ cA = 0 ™ c = 0 或 A = 0 。

向量组的线性组合〈 1 ,〈 2 ,⊄ ,〈 s ，T 三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵 ♣初等行变换 初等变换分 ♦ ♥初等列变换 三类初等行变换 ①交换两行的上下位置 A B ②用非零常数 c 乘某一行。

③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换） 阶梯形矩阵 转置 c 1〈 1 + c 2〈 2 + ⊄ + c s 〈 s 。

A 的转置 A T （或 A 2 ）4 1 0 1 0 2 0 0 25 2 0 0 1 2 1 4 3 T T= A①如果有零行，则都在下面。

②各非零行的第一个非 0 元素的列号自上而下严格 (A ± B )T = A T ± B T单调上升。

或各行左边连续出现的 0 的个数自上而下严格单调 (cA )T = c (A T )。

上升，直到全为 0 。

台角：各非零行第一个非 0 元素所在位置。

简单阶梯形矩阵： 3． n 阶矩阵3．台角位置的元素都为 1 n 行、 n 列的矩阵。

对角线，其上元素的行标、列标相等 a 11 , a 22 ,⊄对角矩阵 0 * 00 0 *4．台角正上方的元素都为 0。

每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单 阶梯形矩阵。

如果 A 是一个 n 阶矩阵 A 是阶梯形矩阵 ® A 是上三角矩阵，反之不一定， 数量矩阵 0 3 0 = 3E0 0 3单位矩阵 0 1 0 E 或I0 0 1如 0 0 1 0 1 0 是上三角，但非阶梯形 0 0 1 四．线性方程组的矩阵消元法 用同解变换化简方程再求解 上（下）三角矩阵 0 * *0 0 *T 1 三种同解变换： ①交换两个方程的上下位置。

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲 行列式一、基本概念定义1 逆序—设是一对不等的正整数，若，则称为一对逆序。

j i ,j i >),(j i 定义2 逆序数—设是的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆n i i i 21n ,,2,1 序数，记为，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排)(21n i i i τ列。

定义3 行列式—称称为阶行列式，规定nnn n nn a a a a a a a a a D212222111211=n。

n nn nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑-=τ定义4 余子式与代数余子式—把行列式中元素所在的行元nnn n nn a a a a a a a a a D 212222111211=ij a i 素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的阶j 1-n 1-n 1-n 行列式，称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。

ij a ij M ij ji ij M A +-=)1(ij a 二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如称为对角行列式，na a a0000021。

n na a a a a a212100000=2、上（下）三角行列式—称及为上（下）三角nn n na a a a a a 00022211211nnn n a a a a a a21222111行列式，，。

nn nnnna a a a a a a a a2211222112110=nn nnn n a a a a a a a a a 221121222111000=3、，，。

||||B A B O O A ⋅=||||B A B O C A ⋅=||||B A BC OA ⋅=4、范得蒙行列式—形如称为阶范得蒙行列式，112112121111),,,(---=n nn n nn a a a a a a a a a Vn 且。

行列式余子式展开公式行列式余子式展开公式，这可是线性代数中的一个重要知识点呢。

咱先来说说啥是行列式。

行列式就像是一个数字方阵里藏着的秘密密码，通过一定的规则和运算，就能揭示出其中的神秘信息。

而余子式，就是在这个方阵中，去掉某一行某一列后剩下的部分。

那余子式展开公式，就是用这些余子式来计算行列式的值。

比如说，有一个 3×3 的行列式：\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\]假设我们要按第一行展开，那它的余子式展开公式就是：\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}\]这里的 \(A_{11}\)，\(A_{12}\)，\(A_{13}\) 就是对应的余子式。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这余子式展开公式到底有啥用啊？”我就跟他们说：“你们想想啊，要是让你们直接去算一个很大的行列式，那得多麻烦。

但是有了这个公式，咱们就可以把大问题分解成小问题，逐步解决，是不是就轻松多啦？”然后我给他们举了个例子。

比如说要计算一个 4×4 的行列式，如果直接算，那得费不少功夫。

但如果我们巧妙地运用余子式展开公式，先选择一行或者一列，把它展开成几个 3×3 的行列式，然后再继续展开，就会简单很多。

在学习这个公式的过程中，同学们可不能偷懒，得多多练习。