集体备课稿三角恒等变换

三角恒等变换【1】（A ，新课标I ，理2）sin 20cos10-cos160sin10=A.2-B.2C.12-D.12【2】（A ，重庆，文6）若11tan,tan()32,则tan = A.17 B.16 C.57 D.56【3】（C ，重庆，理9）若5tan 2tan πα=则=--)5sin()103cos(παπα A.1 B.2 C.3 D.4【4】（A ，四川，理12） 75sin 15sin +的值是___.【5】（B ，四川，文13）已知0cos 2sin =+αα，则ααα2cos cos sin 2-的值是 .【6】（B ，江苏，文理8）已知2tan -=α，71tan =+）（βα，则βtan 的值为 .【7】（A ，广东，文16）已知tan 2α=．(1)求tan()4πα+的值；(2)求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．解三角形【1】（A ，广东，文5）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =cos A =b c <，则b = A.3B. C.2【2】（A ，湖北，文15理13）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.【3】（A ，广东，理11）．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a = 1sin 2B =，6C π=，则b = .【4】（A ，福建，理12）若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC ==，则BC 等于 .【5】（B ，北京，文11）在ABC △中，3=a ，6=b ，3π2=∠A ，则=∠B .【6】（B ，北京，理12）在ABC ∆中，6,5,4===c b a 则=CA sin 2sin . 【7】（B ，天津，理13）在△ABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知△ABC 的面积为153,2=-c b ,41cos -=A ,则a 的值为 . 【8】（B ，重庆，文13）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且2a =,1cos 4C =-，3sin AAB第2题图2sin B =，则c = .【9】（B ，重庆，理13）在ABC ∆中，120B =AB =A 的角平分线,3=AD 则.____=AC【10】（B ，安徽，文12）在ABC ∆中，AB =，A ∠=75，B ∠=45，则=AC .【11】（B ，福建，文14）若ABC ∆中，AC 45A =，75C =，则BC = .【12】（C ，新课标I ，理16）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .【13】（A ，新课标I ，文17）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.(I)若a b =，求cos B ；(II)若90B =，且a = 求ABC ∆的面积. 【14】（A ，新课标Ⅱ，文17）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠,DC BD 2=．(I)求CB∠∠sin sin ；(II)若60BAC ∠=，求B ∠．【15】（A ，新课标Ⅱ，理17）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (I)求sin sin BC∠∠； (II)若1,,2AD DC ==求BD 和AC 的长. DCAB第14、15题图【16】（A ，天津，文16）△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为,c ,b ,a 已知△ABC 的面积为 .cos41-，2==-A c b (I)求a 和C sin 的值； (II)求)cos(62πA +的值.【17】（A ，山东，文17）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且已知,33cos =B 32,96)sin(==+ac B A ,求A sin 和c 的值. 【18】（A ，江苏，文理15）在ABC ∆中，已知2=AB ，3=AC ， 60=A .(1)求BC 的长； (2)求C 2sin 的值.【19】（A ，安徽，理16）在ABC ∆中，A ∠=34π，6AB =，AC =D 在BC 边上，BD AD =，求AD 的长.【20】（A ，湖南，理17）ABC ∆的内角C B A ,, 的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角.(I)证明：2π=-A B ；(II)求C A sin sin +的取值范围.【21】（A ，陕西，文17理17）ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．向量)3,(b a =与)sin ,(cos B A =平行．(I)求A ；(II)若2,7==b a ，求ABC ∆的面积．【22】（B ，上海，文21）如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度是8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地.（1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.【23】（B ，上海，理20）如图，,,A B C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达C 地. (1)求1t 与1()f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.【24】（B ，四川，文19）已知C B A ,,为ABC ∆的内角，B A tan ,tan 是关于x 的方程px x 32+)(01R p p ∈=+-的两个实根.PQO第22题图BCA第23题图（1）求C 的大小；（2）若6,3==AC AB ，求p 的值. 【25】（B ，四川，理19）如图，D C B A ,,,为平面四边形ABCD 的四个内角.（1）证明：AAA sin cos 12tan-=； （2）若,3,6,180===+BC AB C A ,4=CD 5=AD ，求2tan 2tan 2tan 2tanDC B A +++的值.【26】（B ，浙江，文16）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知2)4tan(=+A π.(I)求AA A2cos 2sin 2sin +的值； (II)若3,4==a B π，求ABC ∆的面积.【27】（B ，浙江，理16）在△ABC 中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知4π=A ，22212b ac -=.(I)求C tan 的值；(II)若△ABC 的面积为3，求b 的值．【28】（B ，湖南，文17）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.(I)证明：sin cos B A =；BCDA第25题图(II)若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为锐角，求,,A B C .三角恒等变换【1】（A ，新课标I ，理2）、D解析：原式sin 20cos10=+cos 0sin1021sin302＝＝.错误!未找到引用源。

【2】（A ，重庆，文6）、A解析：)tan(tan a b a b -+= = 71tan )tan(1tan )tan(=++-+a b a a b a 1tan 7b ∴=.【3】（C ，重庆，理9）、C解析：=--)5sin()103cos(παπα5sincos 5cos sin 103sin sin 103cos cos παπαπαπα-+ 5sin 5cos tan 103sin tan 103cos ππαπαπ-+=5sin5cos 5tan 2103sin5tan 2103cos ππππππ-+=.35sin 5sin 3==ππ【4】（A ，四川，理12）、26解析：sin15sin 75sin15cos15+=+2660sin 2== . 【5】（B ，四川，文13）、1-解析：由0cos 2sin =+αα知2tan -=α，所以22sin cos cosααα-=2222sin cos cos sin cos αααα-+.11tan 1tan 22-=+-=αα【6】（B ，江苏，文理8）、3解析：法1 因为tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=-17=，又2tan -=α，所以3tan =β. 法2 ])tan[(tan αβαβ-+=αβααβαtan )tan(1tan )tan(++-+= 3)2(711)2(71=-⨯+--=.【7】（A ，广东，文16）解析：（1）因为tan 2α=，所以321124tantan 14tantan )4tan(-=-+=-+=+παπαπα.2sin 22sin sin cos cos 21ααααα+--（）1)1cos 2(cos sin sin cos sin 222---+=αααααα222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-41422==+-.解三角形【1】（A ，广东，文5）、C解析：由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+=，所以233221242⋅⋅-+=b b ，即0862=+-b b ，解得2=b 或4=b .因为c b <，所以2=b .【2】（A ，湖北，文15理13）、6100解析：由题意知图中⊥DC 面ABC ，DBC ∠=30，CAB ∠=30，ABC ∠=105，因而ACB ∠=45, 在ABC ∆中由正弦定理得sin 45sin 30AB BC=,其中600=AB m, 故2300=BC m ，610033==BC CD m. 【3】（A ，广东，理11）、1解析：因为1sin 2B =且(0,)B π∈, 所以6B π=或23A B C ππ=--=，又a = 由正弦定理sin sin a bA B=，可得1b =. 【4】（A ，福建，理12）、7【解析】：由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==sin 2A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．【5】（B ，北京，文11）、4π解析：由正弦定理，得sin sin a b A B ==sin B =，所以4π=∠B ．【6】（B ，北京，理12）、1解析：436521636252cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A .132432cos 2sin cos sin 2sin 2sin =⨯⨯===A c a C A A C A . 【7】（B ，天津，理13）、8解析：415sin ,153sin 21===∆A A bc S ABC ,24=∴bc 222()252b c b c bc ∴+=-+=22212cos 5248644a b c bc A ∴=+-=+⨯=.8=∴a【8】（B ，重庆，文13）、4解析：由3sin 2sin AB 可得32a b =且2a =所以3b =，又因12,cos ,4a C代入余弦公式可解4c =. 【9】（B ，重庆，理13）、6解析：在ABD ∆中，由正弦定理得︒=∠120sin 3sin 2ADB ，所以,4π=∠ADB 故 ︒=∠15BAD ,又AD 平分角A ，则,30︒=∠BAC 由此可得ABC ∆是底角为︒30等腰三角形，所以在ABC ∆中易得.6=AC【10】（B ，安徽，文12）、2解析:如图所示，在ABC ∆中，由正弦定理可知：sin(1807545)AB--sin 45AC=，所以2=AC . 【11】（B ，福建，文14）解析：由题意得18060B A C =--=，由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC ABCB=，所以BC ==【12】（C ，新课标I，理16）、解析：若D 与C 重合，此时AB 最小：2cos75AB BC =⋅⋅=.若D 与E 重合，此时，A与E 重合，AB 最大：CDEAB第12题图ABC第10题图1cos75AB====. 故AB的取值范围为. 【13】（A ，新课标I ，文17）解析：(I)由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2a b c ==由余弦定理，得2221cos 24a cb B ac +-== (II)由(I)知22b ac =.因为B =o90，由勾股定理得222a cb +=.故222a c ac +=，得a c ==所以△ABC 的面积为1.【14】（A ，新课标Ⅱ，文17）解析：(I)由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠∠，sin sin AD DC C CAD =∠∠, 因为AD 平分∠BAC , BD =2DC ，所以sin sin B C ∠∠DC BD =12=. (II)法1：因为180()C BAC B ∠=-∠+∠60,BAC ∠=所以sin C ∠sin()BAC B =∠+∠1cos sin 22B B =∠+∠, 由(I)知2sin B ∠ sin C =∠,所以tan B ∠=30B ∠=. 法2：由(I)可知AC AB 2=, 在ABC ∆中，由余弦定理可得222BC AB AC =+2cos60AB AC -⋅22242AC AC AC =+- 23AC =,所以AC BC 3=，由余弦定理得cos B ∠2222AB BC AC AB BC +-=⋅222=2=,因为0180B <<，所以30B ∠=. 【15】（A ，新课标Ⅱ，理17）解析：(I)法1：依题意2ABD ADC S S ∆∆=,BAD ∠CAD =∠. 因为1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠, ADC S ∆1sin 2AD AC CAD =⋅∠,所以2AB AC =.由正弦定理得sin 1sin 2B ABC AC ∠==∠. 法2：设ABC ∆的BC 边上的高为h ， 由题设可得22121==⋅⋅=∆∆DC BD DC h BDh S S ADCABD, 由角平分线定理得DC BD AC AB =,由正弦定理得AC AB sin sin BC∠=∠， 所以21sin sin =∠∠C B (II)因为ABD S ∆：ADC S ∆=BD ：DC，所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理知2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠,2AC 222cos AD DC AD DC ADC =+-⋅∠.故2AB22222326AC AD BD DC +=++=.由(I)知AB2AC =，所以1AC =.【16】（A ，天津，文16）解析：(I)在△ABC 中，由，41-=A cos可得sin 4A =由15321==A sin bc S ABC Δ. 得,bc 24=又由,c b 2=-解得.c ,b 46== 由,A cos bc c b a 2222-+=可得.a 8=由，Csin cA sin a =得.sin 815=C (II)626262πA πA πA sin sin cos cos )cos(-=+A A A cos sin )cos (⋅⨯--=22112232.163715-=【17】（A ，山东，文17）解析：在ABC ∆中，由33cos =B ，得 36sin =B 因为π=++C B A , 所以96)sin(sin =+=C B A . 因为B C sin sin <，所以B C <，可知C 为锐角， 所以935cos =C . 322sin cos cos sin )sin(sin =+=+=C B C B C B A 由CcA a sin sin =可得，c CAc a 32sin sin ==又32=ac ，所以1=c . 【18】（A ，江苏，文理15）解析：(1)由余弦定理知，222BC AB AC =+2cos AB AC A -⋅⋅72132294=⨯⨯⨯-+=， 所以7=BC ；(2)由正弦定理知，ABCC AB sin sin =， 所以721760sin 2sin sin ==⋅= A BC AB C . 因为BC AB <，所以C 为锐角， 则772731sin 1cos 2=-=-=C C .因此734cos sin 22sin =⋅=C C C . 【19】（A ，安徽，理16）解析：设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，由余弦定理得：90cos 2222=-+=A bc c b a ，所以103=a ．又由正弦定理得1010sin sin ==a Ab B ， 由题设知40π<<B ，所以10103cos =B ， 在ABD ∆中，由正弦定理得)2sin(sin B BAB AD -=πB B B cos sin 2sin 6=10cos 3==B．【20】（A ，湖南，理17）解析：(I)由A b a tan =及正弦定理，得B Ab a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即 )2sin(sin A B +=π. 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B . (II)由(I)知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A .于是)22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=2sin 12sin A A2192(sin )48A .因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A . 由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(. 【21】（A ，陕西，文17理17）解析：(I)因为n m //，所以-B a sin =A b cos 30，由正弦定理得0cos sin 3sin sin =-A B B A ，又0sin ≠B ，从而3tan =A ，由于π<<A 0，所以3π=A .(II)法1 由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，而2,7==b a ，3π=A ，得c c 2472-+=，即0322=--c c ，因为0>c ，所以3=c .故ABC ∆的面积为233sin 21=A bc . 法2 由正弦定理得Bsin 23sin7=π，从而=B sin 721，又由b a >，知B A >，所以772cos =B ，)3sin()sin(sin π+=+=B B A C +=3cos sin πB 142133sin cos =πB .所以ABC ∆的面积为233sin 21=C ab . 【22】（B ，上海，文21）解析：（1）有已知138t =，设此时甲到A 地，则315588OA =⋅=. 在POA 中，222AP OP OA =+2cos OP OA POQ -⋅⋅⋅∠22151533693()2388564=+-⨯⨯⨯=.所以1()f t =（2）由已知278t =，当12[,]t t t ∈，即37[,]88t ∈时，甲位于A 地，乙位于B 地，则55,78QA t QB t =-=-，()f t AB =====max 3()() 3.88f t f ==<所以()f t 在12[,]t t 上的最大值不超过3. 【23】（B ，上海，理20）解析：(1)138t =，此时甲位于AB 之间与A 距离158千米处，又3cos 5A =，故13()()8f t f ===.(2)当78t =时，乙到达B 处，故当718t ≤≤时，()5(1)f t t =-； 当3788t ≤≤时，设甲位于P 处，乙位于Q 处，则55,78BP t BQ t =-=-，4cos 5B =，此时()f t =故37[,],88()755,(,1].8t f t t t ∈=⎨⎪-∈⎪⎩=故当37[,]88t∈时，3()()388f t f ≤=<；而7[,1]8t ∈时，()f t 单调递减，从而 75()() 3.88f t f <=<综上，()f t 在1[,1]t 上的最大值不超过3. 【24】（B ，四川，文19）解析：（1）由已知，方程0132=+-+p px x的判别式)1(4)3(2+--=p p ∆04432≥-+=p p ，所以2-≤p 或32≥p . 由韦达定理，有,3tan tan p B A -=+p B A -=1tan tan . 于是33tan tan 1tan tan )tan(-=-=-+=+ppB A B A B A ．所以3)tan(tan =+-=B A C ，所以60=C .（2）由正弦定理，sin sin AC CB AB==22=，解得 45=B 或 135=B （舍去）. 于是 75180=--=C B A . 则32)3045tan(75tan tan +=+== A ． 所以)tan (tan 31B A p +-=31)132(31--=++-=．【25】（B ，四川，理19）解析：（1）2cos2sin 22sin 22cos 2sin2tan 2A A AA A A ==AAsin cos 1-=； （2）由题意,B D A C -=-=180,180,由（1）得2tan 2tan 2tan 2tan D C B A +++ 1cos 1cos 1cos(180)sin sin sin(180)A B A A B A ----=++-1cos(180)sin(180)B B --+-BA sin 2sin 2+= 连接BD ，在ABD ∆中，有222BD AB AD =+-A AD AB cos 2⋅，在BCD ∆中，有22BD BC =2CD +2cos BC CD C -⋅. 则)(2cos 2222CD BC AD AB CD BC AD AB A ⋅+⋅--+=73)4356(245362222=⨯+⨯--+=.于是7102cos 1sin 2=-=A A . BCDA第25题图连接AC ，同理可得)(2cos 2222CD AD BC AB CD AD BC AB B ⋅+⋅--+=191)4536(245362222=⨯+⨯--+=.于是19106cos 1sin 2=-=B B . 所以2tan 2tan 2tan 2tanD C B A +++ 310410619210272sin 2sin 2=⨯+⨯=+=B A . 【26】（B ，浙江，文16）解析：(I)由2)2π(t =+A an ，得31t =anA 所以2sin22tan 2sin 2cos 2tan 15A A A A A ==++. (II)由()π，，031t ∈=A anA ，得1010sin =A , 10103cos =A . 又由3,4==a B π及正弦定理BbA a sin sin =， 得53=b ,由)sin(sinB AC +=)4sin(π+=A 得552sin =C . 设ABC ∆的面积为S ，则9sin 21==C ab S . 【27】（B ，浙江，理16）解析：(I)由22221c a b =-及正弦定理得：B 2sin C 2sin 2121=-，所以C B 2sin 2cos =-．又由4π=A ，即π43=+C B ，得 ==-C B 2sin 2cos C C cos sin 2，解得2tan =C .(II)由tan 2C =，()0,C π∈得：552sin =C ，55cos =C .又因为)4sin()sin(sin C C A B +=+=π， 故有10103sin =B ．由正弦定理得b c 322=，又因为4π=A ，3sin 21=A bc ，所以26=bc ，故3=b ．【28】（B ，湖南，文17）解析：(I)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，所以sin cos B A =. (II)sin sin cos C A B -=sin(180())A B -+sin cos A B -sin()sin cos A B A B =+-sin cos cos sin A B A B =+sin cos A B -cos sin A B =，3cos sin 4A B ∴=.由（I ）知sin cos B A =，因此23sin 4B =，又Ｂ为钝角，所以sin B =，故120B =，由cos sin A B ==知30A =，从而180()30C A B =-+=. 综上所述，30A =，120B =，30C =.。