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最优化问题数学模型Ppt讲课文档

建立模型
记工地的位置为(ai，bi)，水泥日用量为di，i=1,…,6;料场位置为(xj ，yj)，日储量为ej，j=1,2；料场j向工地i的运送量为Xij．
26
目标函数为： min f
X ij (x j ai )2 ( y j bi )2
j1 i1
2
X ij di ,
约束条件为： j1 6 X ij e j , i 1
60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证区
域内的飞机不超过架(包括新进入的)。
• 不必考虑飞机离开此区域后的状况。
第二十一页，共116页。
• 个人的想法不同，队友之间争执不下的情况下，若时间允许，都可一一写到论文中去，建立的模型一、模型二……；或者经讨论后，选择一个认为更合理的
第十八页，共116页。
该题比较有意思的一句话是： “使调整弧度最小” 开放性的一句话，没有限制得很死，较灵活，给参赛者的创新空间比较大一些，使得构建模型的目标函数表现形式很多，再加上模型求解方法（算法）的多样性，从而可以呈现出五花八门的论文。
第十九页，共116页。
假设条件：
注：有时需要通过查阅文献、资料给出合理假设
i— — 第 i架机的整后的方向角 , ( i 1 ， 2 ， 6 )
T i— — 第 i架飞机按方向角 i在区域内飞行
时间（可以根据数据算出来）
第二十四页，共116页。
四种情况：
四个象限，易用4个表达式表示
说明：用初等数学的知识即可完成，思考：在哪个时间段某两架飞机可能相撞？
69.6
83.8
自由泳
58.6
53

数学建模～最优化模型(课件)

投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制，通常以等式或不等式形式给出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件下，求一组线性函数的最大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件等，通常以等式或不等式形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线性函数，通常表示为决策变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法

数学建模离散优化模型与算法设计PPT课件

实例均可用贪婪算法求出最优解，则称M为一拟阵。（注：γ被称为独立系统）。
现以矩阵拟阵为例，对定义9.1作一说明。对矩阵拟阵的每一实例，E={e1,…en}为矩阵列向量的集合，γ为E的线性无关子集构成的系统，称为独立系统，其元素被称为独立子集。由于E的任一线性无关子集的子集也是E的线性无关子集，故独立系统γ是封闭的。又由于这一离散优化问题的任一实例都可用贪婪法求解，故构成一拟阵，被称为矩阵拟阵。例9.1被称为图拟阵，例9.3被称为划分拟阵。
现在可以看出，找最大匹配的关键在于找增广路。读者不难用顶点标号的办法（由未盖点出发），作出一个求解两分图匹配的增广路算法。此算法稍加改动，还可以用于非两分图的情况。
三、网络流问题
网络流问题是又一类具有广泛应用前景的P问题，本节将介绍一些有关网络流问题的基本理论与算法。
1、最大流问题（MFP）
得如下的约束条件，i ，有
v 若 is
(i,j) (i,j) 0 若 is.t
(i,j)Ai
(i,j)Ai
v 若 it
其(９中.1是)式A表i 指示As发中出以流顶为点i为，起t点收的入孤的集流，为
A
i
是指A中以 i为终点的孤集, ，其余各点只起中转作用，
既不增加也不消耗流量。根据边容量限止，还应有
（注：| ·|表示元素个数）
（条件2） AE 若I、I‘均为A的两个极大独立集，则|I|=|I’|。
二、两分图匹配问题与增广路算法
在上一小节中我们已经看到，有些P问题可以用极为简单的贪婪法求解。但对绝大多数的P问题来说，这一结果并不成立，只能根据其本身的结构，去寻找求解它的独特算法。下面，我们将介绍几个这样的P问题。
拟阵问题（或称拟阵结构）有一个明显而又本质的特性，其任一极大独立子集中包含着相同个数的元素，从而可以引入基的概念。例如，矩阵列向量的所有线性无关极大组均具有相同的向量个数，这就导出了基——即矩阵列秩的概念。对于图拟阵，每一极大独立集均为一生成树，其边数均为 |V|-1。对于划分拟阵，孤集被划分成个|V|个子集，每一子集由指向同一顶点的孤组成。显然，任一极大独立集应在每一子集中取一条孤，故其基数为顶点个数。

离散最优化模型

华中农业大学李治
离散优化模型装箱问题的分类一维装箱问题更多的是带约束的装箱问题，如二维装箱问题（条形装箱问题、剪裁问题）、三维装箱问题、变容装箱问题、有色装箱问题、对偶装箱问题等。在竞赛中应注意区分和鉴别

华中农业大学李治
一维0/1背包问题
指问题
如求6个人做6项工作的最优指派，收益情况如下表。
人 1 2 3 4 5 6

工作1 20 17 9 12 — —
工作2 15 15 12 8 7 —
工作3 16 33 18 11 10 —
工作4 5 12 16 27 21 6
工作5 4 8 30 19 10 11
x1+
x3 +3*x4+ 2*x6 +3*x7+ 4*x8>100;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4); @gin(x5);@gin(x6);@gin(x7); end

华中农业大学李治
离散优化模型指派问题例2 设有n件工作B1, B2, … Bn,分派给n人A1, A2, … An去做,每人只做一件工作且每件工作只派一个人去做,设Ai完成Bj的工时为cij,问应如何分派才能完成全部工作的总工时最少.
x j 1，否则 x j 0。
背包问题的数学模型描述如下：
max
n
c
j 1
n
jxj
s.t. w j x j W x j {0,1}, j 1,2,, n
j 1
华中农业大学李治
通常引入的决策变量有0-1变量，整数变量等。三、设法用决策变量表示目标函数
在用决策变量表示目标函数时，有时需要引入中间变量，有时要利用取整函数、符号函数、绝对值函数等等。四、仔细分析约束条件决策变量满足的约束主要有两方面：一是自身应有的约束，如非负约束、取整约束等等；二是题目要求及客观实际的约束，这种约束又可分为“硬约束”与“软约束”。

数学建模～最优化模型(课件ppt)

用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8];
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
X= 10.0000
2
建立无约束优化模型为：min y =- ( 3 2 x ) x ， 0< x <1.5
2
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？
解设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（…）（4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…）

数学模型复习-第4章离散优化模型

第4章离散优化模型【内容总结与思考】§1数学规划（最优化模型）概述。

规划模型（最优化模型）的三要素:决策（设计，控制）变量,约束条件和目标函数,最优化模型就是在满足约束条件的集合中（可行集）求目标函数的最优值。

按目标函数分分为多目标规划和单目标规划。

单目标规划模型的一般形式：max （min） Z = f（x）,x = （x{,x2,...,x n）Ts.t.（x） < 0, i = 1.2,...m线性规划:目标函数和约束条件都是线性的称为线性规划。

不是线性规划统称为非线性规划。

二次规划:目标函数是二次的，约束条件是线性的称为二次规划。

整数规划:决策变量均取整数值的规划称为整数规划。

部分决策变量取整数，其它取实数则称为混合整数规划。

只取0,1 的变量称为0-1变量。

实际问题建模（生产计划•线性规划）。

建模.软件计算，结果分析:对偶价格。

敏感性分析结果应用：系数变化范围（目标函数系数,约束右端项系数）例题1最优化模型的三姜素为（）■最优化问题就规划问题,整数规划是（)o§1生产计划建模:决策变量为目标为利润（费用），约束为生产要素限制，一般为线性规划。

例题1 一般的生产规划模型的目标函数是（），决策变量是（）,约束条件为（）。

其一般模型为（）§2运输问题建模（自来水输运与装机）lo 一般运输问题建模。

第，个供应点（源）第丿个需求点（汇）的量为®,则模型为m nmin（ max）i=l j=ln m ms.t. 2L x u -a i»Z x ij -lb j^x ij - ub j»j=l i=l i=l目标为费用最小（或利润最大），约束包括两类，供应约束（源点,始点）需求约束（终点•汇）。

一般运输问题的数据表结构:利润表+右边表示供应点的数据+底边表示各需求点的数据。

2O运输问题编程「水库送水问题Idefine set and variable;sets: gong/1..3/:a;xu/1..4/:bl f bu;link(gon g f xu):x f c;en dsets•evaluate to known variable;data:a=100,120,100;bl 二30,70,10,10;bu=80,140,30,50;c 二290,320,230,280,310,320,260,300,260,250,220,-1000;enddatamax=@sum(link(i,j):c(ij)*x(ij));@for(gong(i):@sum(xu(j):x(ij))<=a(i)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))>=bl(j)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))<=bu(j)); end例题1 一般运输问题的模型( 厂目标函数的形式为( )，约束条件是( )例题2 Lingo编程中重要的三部分是:set段，data段，和砂段。

第6章最优化模型PPT课件

应如何安排这4种产品月生产量，使得该公
司月利润最大？
决策变量
约束条件
目标变量
6.1 概述
➢决策变量每一个规划问题都有一组需要求解的未
知数，称作决策变量。
➢约束条件对于规划问题的决策变量通常情况下都
有一定的限制条件，称作约束条件。
➢目标每一个问题都有一个明确的目标（利润
最大或成本最低等）。目标通常可以用与决策变量有关的函数表示。
6.2 求解线性规划问题
安装 Excel 时选择 “ 完全安装 ” 或 “ 自定义安装”，不能选择“典型安装”。
进入Excel后加载： ➢ 【文件】/【选项】/【Excel加载项】
/【转到】/【加载宏】 “规划求解加载项”
6.2 求解线性规划问题
销量
常见规划问题举例
一、生产计划优化问题
目标函数决策变量
约束条件
6.2 求解线性规划问题
存在的问题：
6.2 求解线性规划问题
解决的办法：月产量>=0
或
6.2 求解线性规划问题
规划求解的结果：
6.2 求解线性规划问题
可用SUM函数和数组公式代替 SUMPRODUCT函数： =SUMPRODUCT(B12:E12, B5:E5)
6.1 概述
求解最优化问题的首要问题是将实际问题数学化、模型化。
即将实际问题通过以下三方面来表示：（1）一组决策变量（2）一组用不等式或等式表示的约束条件（3）目标函数
这是求解规划问题的关键。
6.1 概述
在Excel中，可以这样表示： ➢用一些单元格表示决策变量 ➢用一个单元格代表目标变量
2.不平衡运输问题运量<=产量

最优化-第7章-多目标及离散变量优化方法PPT课件

0.7 满
意区
0.3 间
较满意区
可接受
0.7
满意
区
0.3
可间
接
受
间
区间
0 fi
fi(0) fi(1) fi(2) fi(3) fi
区
0
间
fi(3) fi(2) fi(1) fi(0)fiʹ(0)fiʹ(1) fiʹ(2) fiʹ(3)
fi
目标函数越大越好
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
评价函数: Ufm 1iax q fiX
对该式求优化解就是进行如下形式的极小化
m X iD n U fX m X iD n m 1 a i x l fiX
.
12
f
max {f1(X), f2(X)}
f1(X)
f2(X)
x
.
13
3）理想点法使各个目标尽可能接近各自的理想值
评价函数:
.
28
宽容分层序列法：
1）
m
in X
f1( X D
)
2）XminXf2(fX1()X)f1*1
3）Xm Xinfi(fX 3()X)fi*ii1,2 4） X m X infif(l(X X )) fi* ii 1 ,2 ,l1
.
29
设计人员原本的意图是优化结束后，f1的取值尽量靠近10，f2的取
值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。
第k次迭代时， f1的取值为15， f2的取值为1800，则
F (X k ) 0 .8 1 5 0 .2 1 8 0 0 3 7 2
第k+1次迭代时，为了让整体评价函数F(X)取值更优，无论采用哪种优化方法，优化程序会拼命的降低 f2的取值，升高 f1的取值

离散最优化模型.ppt

背包问题
一旅行者随身携带一个背包，准备在众多的物品中挑选一些最必需的用品装入背包。如果知道各件物品的重量和价值，他该如何选择。显然，他想携带的物品价值最大而又不能超过背包的容许承重。
设第 j 类的物品单重为 wj ，价值为 vj，挑选 xj 件；背包的承重为 b . 这个问题的数学描述为：
C( x1, x2 ,, xk1 ) C( x1, x2 ,, xk1, xk ) 在运用回溯法中，一旦发现一个结点的成本高于至今找到的解的最小成本，就砍掉这个结点以下的分支。如果有更好的解，就要修正这个界限。这就是分支定界的基本思想。
分支定界法
例1 假定我们有四种物件要装包，限重10，各样东西价值为 v = {1,3,5,9}, 单重为w = {2,3,4,7}。
而且x1为满足 b - x1w1 ≥ 540 的整数，若b = 1000，那么x1≥30。要得到背包问题精确的周期解，需要从 b = 0, 1, … 开始计算所有 b 值的θ(b)：
b0 θ0 b 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.2 2.4 1.6 .8 2.0 1.2 0.4 1.6 0.8 2.0 1.2 0.4 1.6 0.8 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
F (y) 的值
此表给出了 Fk(y) 的值，但未给出相应的 xj 的值，还要另外再建 n 行 b 列的表，其中每一项 x(k, y) 是第 k 个阶段，状态 y 时
应该选用到的物品类的最大序号。因此，若 x(k, y) = j，意思是
这个决策中仅选用了第 1 到 j 类物品，即 x j 1，而对任 xq 0。在计算 Fk(y) 的过程中，可以同时记录对应的值 x(k, y)。xk(y) 的边界条件是 x(1, y) = 0 当 F1(y) = 0，x(1, y) = 1 当 F1(y) ≠ 0。一般地，有

优化问题-离散模型(本科)

1 （10，40），） 2 （50，100），）
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
3. （20，80），） 4. （60，20），） 5. （90，70），） 6. （50，10），） 7. （60，40），） 8. （70，70），） 9. （30，10），） 10.（40，90）（，）
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
和分配问题，和分配问题，然后对源的不同数目进行考察，再从中选取最好的，即使这样做，考察，再从中选取最好的，即使这样做，精确求解也很困难，尽管如此，精确求解也很困难，尽管如此，目前有些启发式算法。些启发式算法。建立数学模型在建立模型之前，在建立模型之前，还是以前述例子来说明现在要建m个工厂（仓库）来为10 10个零售点服现在要建m个工厂（仓库）来为10个零售点服为了方便起见，对建模做如下假设：务，为了方便起见，对建模做如下假设：
（2）min f ( x ) s .t . x ∈ D x j 为整数（ j = 1 ,L , n）为整数（
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
0- 规划模型（布尔规划模型） 4. 0-1规划模型（布尔规划模型）（1） min
f ( x ) = ∑cj xj
j =1 n
n a x = b (i = 1,..., m ) i ∑ ij j s .t . j =1 x j ∈ { 0 , 1 } ( j = 1,..., n)
j不管规模多大的单源选址源自题，求解都十分容易。十分容易。
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
4. 多源连续型选址问题

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2*x1 +x2 +x3 + x4 >100; 2*x2 + 3*x3+ 3*x5 + 2*x6+x7> 100;
x1+ x3 +3*x4+ 2*x6 +3*x7+ 4*x8>100; gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4); gin(x5);gin(x6);gin(x7); end
shumo
华中农业大学李治
离散优化模型
指派问题
例2 设有n件工作B1, B2, … Bn,分派给n人A1, A2, … An去做,每人只做一件工作且每件工作只派一个人去做,设Ai完成Bj的工时为cij,问应如何分派才能完成全部工作的总工时最少.
解 :设 xij 1 0n
工B 作 j分派 Ai去给做否则
xj 0, j 1,2,3,4,5,6,7,8;xj取整
写出模型后可以直接用LINGO求解
shumo
华中农业大学李治
model: Title 钢管下料; Min=0.1*x1 + 0.3*x2 + 0.9*x3 + 0*x4 +1.1* x5 +0.2* x6 + 0.8*x7 +1.4*x8;
三、复杂规划问题的拆分
有时可将复杂的问题分成一系列较为简单的子问题求解
shumo
华中农业大学李治
一常见离散优化模型
离散优化研究那些含有有限个可行解的、日常生活中大量存在的问题，一个重要而普遍的应用领域就是考虑如何有效利用稀缺资源来提高生产力等。
涉及整数规划、0-1规划、组合优化和图论等：如竞赛中常涉及的有下料问题；指派问题、选址问题、装箱问题、背包问题、最短路问题、TSP（旅行商）问题等。
决策变量满足的约束主要有两方面：一是自身应有的约束，如非负约束、取整约束等等；二是题目要求及客观实际的约束，这种约束又可分为“硬约束”与“软约束”。
shumo华ຫໍສະໝຸດ 农业大学李治值得注意的技巧：
一、多目标问题的妥协线性加权法；理想点法，极大极小法等
二、非线性规划的线性化
有时通过引入人工变量可将非线性规划问题线性化
二、选择适当的决策变量
需要优化的目标是由哪些因素决定的？适当引入决策变量来表示这些因素。
shumo
华中农业大学李治
通常引入的决策变量有0-1变量，整数变量等。三、设法用决策变量表示目标函数
在用决策变量表示目标函数时，有时需要引入中间变量，有时要利用取整函数、符号函数、绝对值函数等等。
四、仔细分析约束条件
人工作1 工作2 工作3 工作4 工作5 工作6
1
20 15 16 5
4
7
2
17 15 33 12 8
6
3
9 12 18 16 30 13
4
12
8
11 27 19 14
5
—
7 10 21 10 32
6
———
6 11 13
max=sum(assign:c*x); for(flight(i):
人工作1 工作2 工作3 工作4 工作5 工作6
1
20
15
16
5
4
7
2
17
15
33
12
8
6
3
9
12
18
16
30
13
4
12
8
11
27
19
14
5
—
7
10
21
10
32
6
—
—
—
6
11
13
shumo
华中农业大学李治
指派问题
model: title 指派问题; sets: flight/1..6/; assign(flight,flight):c,x; endsets data: c=20 15 16 5 4 7 17 15 33 12 8 6 9 12 18 16 30 13 12 8 11 27 19 14 -99 7 10 21 10 32 -99 -99 -99 6 11 13; enddata
需长度的根
数
ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ
所 2.9m 2 1 1 1 0 0 0 0 需根 2.1m 0 2 1 0 3 2 1 0 长
1.5m 1 0 1 3 0 2 3 4
剩余料头 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
设xi表示按i种第办法下料的原根材数 ,料则问题的线性规为划 : 模型
离散问题是整数规划、组合数学图论、网络流等许多学科讨论和研究的对象，这类问题在生产调度、交通控制、物流、管理科学和社会科学等有着广泛的用途。
在我们历年的数模的竞赛中，离散问题是很重要的一个方面。如“锁具装箱”，“灾情巡视路线”等等，本身就是个典型的离散问题；也有的问题里包含着离散的子问题，如“车辆安排问题”，是个受到整数的约束的优化问题。近几年的“乘公交，看奥运”， “体能测试时间安排”，“地面搜索”,“NBA赛程的分析与评价”, “眼科病床的合理安排”, “会议筹备”等等都属于离散型问题。
shumo
华中农业大学李治
离散优化模型
m f 0 . 1 x 1 0 i . 3 x 2 n 0 . 9 x 3 0 x 4 1 . 1 x 5 0 . 2 x 6 0 . 8 x 7 1 . 4 x 8
2x1 x2 x3 x4 100
s.t.x12xx2333xx3432xx5623xx67x47x8101000
shumo
华中农业大学李治
因此，在准备数模竞赛的过程中，有必要认真的研究如何提高建立离散模型的质量。下面就离散优化问题，介绍一下常见模型、算法及如何进行算法分析等。
shumo
华中农业大学李治
建立规划模型的要点与技巧
要点：
一、准确理解题意
通过仔细读题，弄清楚我们最终要解决的问题是什么?是单目标问题还是多目标问题？已知条件有哪些？为了简化与解决问题，需要做哪些必要的基本假设？
shumo
华中农业大学李治
离散优化模型
下料问题例1 现要做100套钢架,用长为2.9m、2.1m和1.5m的钢各一根,已知原料长7.4m,问如何下料,使用的原材料最省?
分析: 下料方式：
最省： 1.所用刚架根数最少； 2.余料最少
shumo
华中农业大学李治
离散优化模型
原料截成所
下料方法
n
minf
cijxij
i1 j1
每件工作只派1人
n
xij 1
（j 1,2,..., n）
s.t .
i 1 n
x ij
1
j1
（i 1,2,..., n）每个人只做1件工作
shumo
xij 0或1 （i, j 1,2,..., n）
华中农业大学李治
指派问题
❖ 如求6个人做6项工作的最优指派，收益情况如下表。