巧用方程做列式计算

数学复习巧用公式迅速解题数学作为一门理科学科，对于学生来说常常是一个难以逾越的难关。

然而，通过巧妙地运用公式，我们可以在解题过程中事半功倍。

本文将介绍一些数学复习中常用的公式，并探讨如何迅速解题。

一、线性方程线性方程是数学中最基本的方程之一，它的形式如下：ax + by = c其中a、b、c为常数，x、y为变量。

解线性方程的最重要的方法之一是应用两个未知数线性方程组的消元法，通过变换方程将其中一个未知数的系数变为0，从而求得另一个未知数的值。

二、二次方程二次方程可写为：ax² + bx + c = 0其中a、b、c为常数，x为变量。

解二次方程的一种常用方法是利用因式分解法，将方程化为两个一次方程相乘的形式。

三、平面几何公式平面几何公式在解决与图形相关的数学问题时非常有用。

以下是一些常用的平面几何公式：1. 面积公式：根据图形的形状，我们可以使用不同的公式计算面积。

例如，三角形的面积可以通过底边乘以高除以2来计算，矩形的面积可以通过长乘以宽来计算。

2. 周长公式：周长是指图形边界的长度。

对于不同的图形，我们可以使用不同的公式来计算周长。

例如，矩形的周长可以通过将长和宽乘以2并相加来计算。

3. 相似三角形公式：相似的三角形具有相同的形状，但尺寸不同。

对于相似三角形，它们的边长之比与高度之比是相等的。

四、概率与统计公式概率与统计是数学的一个重要分支，它与概率、随机变量和数据分析相关。

以下是一些常用的概率与统计公式：1. 组合公式：组合是从一组对象中选择若干个对象，而不考虑它们的顺序。

组合数可以通过以下公式计算：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)2. 期望值公式：在概率论中，期望值是指一个随机变量的平均值。

对于离散随机变量，期望可以通过将每个取值乘以其概率并相加来计算。

3. 方差公式：方差是描述随机变量扩散程度的一种测量。

方差可以通过计算每个取值与随机变量的期望值之差的平方，并乘以概率后相加来计算。

整体思想就是从整体上考虑题目中的数量关系及性质，突出对问题的整体结构的分析和改造，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

在学习《简易方程》这个单元时，如果能灵活运用整体思想，往往给我们带来意想不到的效果。

■苏有焱（适合五年级）例1：已知a +b +b =18，a +b =14，a 和b 各是多少？【分析】部分同学一看到题中有两个未知数便觉得无从下手。

其实通过仔细观察、分析，可以看出把第二个条件“a +b =14”整体代入到第一个条件“a +b +b =18”中，则可消除一个未知数a ，式子变为“14+b =18”，从而轻松求出b =4，a =10。

在这个问题中，我们选择整体代换的方法，根据问题的条件，选择“a +b =14”，将它们看成一个整体，进行等量代换，达到减少计算量的目的。

例3：小刚和小明两人一起去商店购买同样的光盘，小刚买了8张，小明买了12张，两人一共花了160元。

每张光盘几元？【分析】不少同学习惯利用“小刚买光盘花的钱+小刚买光盘花的钱=160元”的等量关系来列方程。

其实，考虑到每张光盘价钱是一样的，可以先求购买数量，再利用“单价×数量=总价”的等量关系来列方程。

即，设每张光盘元，则有（8+12）x =160，即20x =160，解得x =8。

解决问题时，我们往往习惯于“化整为零”，但有时候若能仔细观察问题的特点和具体要求，从全局出发把握整体则会事半功倍。

例2：3个连续自然数的和是66，那么这3个数分别是多少？【分析】相邻的自然数之间相差“1”，学生习惯上会设第一个数为x ，第二个数是x +1，第三个数是x +2，然后列出的方程为x +x +1+x +2。

其实如果从整体考虑，以中间的数为基础设未知数，即设这三个数分别是x -1，x ，x +1，则有x -1+x +x +1=66，整理得3x =66，进而解得x =22，可知这三个数分别为：21，22，23。

巧用行列式分解因式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：行列式分解因式，作为高中数学中的重要知识点之一，对于解决矩阵方程和方程组具有重要意义。

在实际的应用中，我们常常会遇到需要对行列式进行分解因式的问题。

巧妙地利用行列式分解因式的方法，不仅可以简化计算过程，还可以帮助我们更清晰地理解矩阵的结构和性质。

本文将详细介绍行列式分解因式的基本原理、方法和应用。

一、行列式的定义在介绍行列式分解因式的方法之前，首先我们需要了解行列式的定义。

行列式是矩阵的一个特殊性质，它是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和特征。

一个n阶方阵A的行列式定义为：a_{ij}表示矩阵A的第i行第j列元素，Δ表示行列式的值。

行列式的计算是按照一定的规则进行的，通常采用拉普拉斯展开法或者按行列式性质进行化简。

在实际计算过程中，采用行列式分解因式的方法能够有效简化计算过程。

二、行列式分解因式的基本原理行列式的值可以用若干项的乘积相加表示，这些项通常被称为行列式的因子。

行列式分解因式的基本思想是通过分解行列式的因子，将行列式的计算化简为因子的计算。

分解因式的过程涉及到矩阵的加减乘除运算和行列式的性质，需要灵活应用这些知识点。

1、将行列式分解为若干个子行列式的乘积；2、利用行列式的性质和基本运算规则对子行列式进行化简；3、将化简后的子行列式组合起来计算得到原行列式。

1、公因子法公因子法是行列式分解因式的最基本方法，其思想是将行列式的一个因子提取出来，然后对剩余的部分进行化简。

对于一个3阶行列式|A| = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |a31 a32 a33|，如果能够通过提取某一行或者某一列的公因子，将其化简为一个2阶行列式，则计算过程就会大大简化。

2、线性组合法线性组合法是利用矩阵的性质，将行列式通过线性组合的形式表示为子行列式的乘积。

如果能够将一个4阶行列式表示为两个3阶行列式之和，计算起来会更加方便快捷。

通过巧妙的线性组合方式，我们可以将复杂的行列式拆分为多个简单的子行列式，进而实现分解因式的目的。

试论初中数学列方程解应用题之技巧作者：陆向前来源：《理科考试研究·初中》2014年第04期一、找准等量关系是列方程解应用题的钥匙列方程解应用题的窍门枚不胜举，其中找准等量关系处于核心地位，类似解决价格问题、银行利率问题、溶液浓度问题和工程问题等必须通过找准等量关系才能解决问题.它包括列表分析法、译式分析法、线示分析法、逆推法和图示分析法等.在初中数学中涉及的列方程求解应用题的题型中，前四种方法的使用比较普遍.其一，列表分析法.所谓列表分析法就是将题目中的已知量和未知量表示到表格中，综合利用表格分析出各种量之间的关系，最后列出相应方程的方法.此法操作比较简单，大部分学生容易理解和掌握.其二，译式分析法.顾名思义，译式分析法就是将题目中关键性的词语“翻译”成代数式，把相应的文字“翻译”成代数语言，从而顺利分析出它们之间的内在关系.一般按照三大步骤进行：首先，教师要有的放矢地引导学生设出未知量，也就是“翻译”未知量.其次，让学生明白题目中的主要属性，即：“翻译”属性量，用已知与和未知两个要素组合成的代数式，从而为列式作好准备.第三，我们要积极鼓励学生成功“翻译”等量，即：同时表示一个属性量的两个代数值一定相等.学生只有在分析的基础上正确理解题意，逐项进行“翻译，”才能在完成“翻译”时初步列出方程.例1某县有42万人口，计划一年后农村人口增加1.1%，城镇人口增加0.8%，这样全县人口将增加1%，求这个县现在的农村人口与城镇人口各多少.分析该题有两个未知数，农村人口与城市人口.属性量和关系：①农村人口=总人口-城镇人口，②农村人口×1.1%=总人口×1%-城镇人口×0.8%.变换过程：①设目前该县城镇人口是x万，农村人口则为(42-x)万；②一年后该县的城镇人口增加(0.8%x)万，农村人口增加1.1%(42-x)万，总人口增加42×1%万. ③由上述题意得方程：1.1%(42-x)=1%×42-0.8%x，解方程得x=14，则42-x=28.所以，农村人口是28万，城镇人口是14万.其三，线示分析法.这个方法比较适合相遇问题和追击问题，一般用线示分析法通俗易懂，能促使学生快捷地找到题目中相应的等量关系.其四，逆推法.所谓逆推法，俗称还原法，也就是把问题发生的顺序倒过来，采用逆向思维推算的方法逐步还原来解答一些问题.在平时，不少学生在解应用题时习惯用直接解法，但有些较难的比较适宜使用逆推法，从而达柳暗花明又一村的美妙境界.二、采用总分法是列方程解应用题航灯采用总分法列方程解应用题能使学生方向明确，从而帮助学生按照总量等于各分量之和正确列出方程，但在操作过程中学生千万不能遗漏各分量.例2这里曾经埋葬着丢番图，请你计算一下他一生经过了多少岁月历程，他一生的六分之一是快乐的童年，十二分之一是童趣的少年，再度过七分之一的时光，他建立了美满幸福的小家庭.五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半.晚年丧子的老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年.试测算一下，丢番图的寿命(总年龄)到底多少？分析这是著名的丢番图的“墓志铭”，题目巧妙地把他活的总寿命分割成若干时段，而他各时段的分年龄之和就是他的寿命.解：设丢番图的一生活了x年，据题意得：x=x6+x12+x7+5+x2+4，解之得x＝84，所以，丢番图的寿命是84岁.同时，我们在由此题的解答中，还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁死了儿子，儿子只活42岁.三、驾驭多媒体技术是列方程解应用题的添加剂初中数学知识是比较抽象的，不少学生学习数学时感到力不从心.假如合理驾驭多媒体技术可以扭转枯燥乏味的被动局面，不仅弥补学生的生活经验不足，而且激发学生的学习积极性.例3已知5台A型机器一天生产的合格成品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天生产的合格成品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个成品，试求每箱有多少个成品.由于学生不仅不熟悉车间的生产劳动的情况，而且对这个车间A、B两种型号的机器模糊不清，因此，难于找到问题中蕴含的等量关系，给解答问题造成了障碍.针对类似情况，我们不妨利用现代多媒体技术，播放一些社会、生产片断，让学生在视觉上直观机器生产成品的情况，从而有利于把抽象的应用题形象化，有利于激发学生兴趣，教学效果显著.四、巧用相似思维是列方程解应用题的后盾所谓相似思维就是从一个事物的性质变化规律作为突破口来探究另一有相似性事物的性质和变化规律，从而找到解决问题的正确方法.而相似思维离不开学生的联想，否则，相似思维无法实现.譬如：教师在讲授完行程问题后再讲授工作量问题，可以如此引导学生展开联想性思考：请仔细分析、比较速度与工作效率、时间与工作日、距离与工作总量之作用，并各自写出三个量之间的辩证关系，最终得出列方程解应用题时找出等量关系是否也有相似之处？学生通过讨论、分析后得出：既可以把工作量问题按行程问题进行相同的处理，又可以使工程问题、水流问题都与行程问题达到基本一致.只有如此，才能引导学生掌握行程问题的等量关系，才能通过类比解决工程问题.初中数学改革路途遥远，虽小试牛刀出现了缕缕曙光，但离新课程标准的要求相差甚远.我们必须继续发扬勇于拼搏的创业精神，为构筑启东教育大厦添砖加瓦.。

解方程（一）（1）x＋2.8=5.81 （2）x+0.25=7.5（3）x＋3.6=10.5 （4）x+2.7＋3.6=10.5(5)x＋2.4+8=20 数学乐园！三、解方程。

1.8x＋32=98.6 x＋4=10 x－5×6=90 x＋7×6=132解方程（二）例2、解方程2.8x=11.2x÷1.25=0.80.7x=560.4x=0.64 x÷2.5=15例3、解方程：（1）2x＋2.5x=18（2）0.8x－0.3x=36.5 （3）8.1x＋x=18.2(4) 11x－x＋2x=2.4(5) 1.8x＋x=5.6(6)20.7x＋x－1.7x=0.4例1、（1）6（x－7）=4.2 （2）2（x＋5）=13.55（3）（x＋7）÷0.6=40（5）（15－x）÷1.3=5 （6）12－（x＋3）=4例2：（1）5x＋9=49 （2）6x－7.3=19.7（3）x÷8－6=14 (4)x÷1.2＋0.8=2.3 （6）20－1.5÷x=10（7）0.9÷x－0.1=0.9 （8）7.5÷x＋10=11.5（9）7x＋9×3.6=38 （10）6x－7.5÷15=5.5（11）8.5÷x－0.75×2=0.21.8x＋x=5.620.7x＋x－1.7x=0.4数学乐园！（x＋7）÷0.6=407x＋9×3.6=386x－7.5÷15=5.5（x＋6）÷0.3=105 0.7（x＋2.6）=4.22x＋2.5x=18 0.8x－0.3x=36.58.1x＋x=18.2 11x－x＋2x=2.4解方程（三）例：5.9－x=2.7517－x=7.911.5－7x=6.617.5－2.5x=5 （15－x）÷1.3=512－（x＋3）=4例：9.8÷x=14 128.6÷x=4（3）20－1.5÷x=10（4） 0.9÷x－0.1=0.9（5）7.5÷x＋10=11.5（6）8.5÷x－0.75×2=0.2我会做！2.26－5x=0.1 15－0.15÷x=1011.5÷x－1.5=0.8 （14－x）×0.5=7③8除640的商比28与15的积少多少？④30.25减去1.8与5.72的和，差是多少？⑤13.5减去9.25与0.98的和，差是多少？⑥134与77的和乘86与24的差，积是多少？⑦100除以25的商乘15与32的差，积是多少？⑧9除810的商比28与12的积少多少？⑨223减去143除以11的商，所得的差的5倍是多少？⑩9除1620的商减去15与12的积，差是多少？⑾4600减去160的差，除以40，商是多少？⑿比37的16倍多180的数是多少？列式计算⒂5减去 1.2与 2.06的和，得多少？⒃甲数是6，乙数是8，它们的和的25倍是多少？⒄303个201减去303，差是多少？⒅48与75的积加上32与75的积是多少？⒆480与160的差乘272与138的和，积是多少？⒇342除以27与30的和，再乘6得多少？（21）一个数的2倍加上3，等于这个数加上12，这个数是多少？思考题！1、如果3x＋4=25,那么4x＋3= 。

行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1•行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法定义法2.12.2利用行列式的性质2.3降阶法2.4升阶法（加边法）2.5数学归纳法2.6递推法3•行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1拆行（列）法3.2构造法3.3特征值法4.几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1三角形行列式4.2“爪”字型行列式4.3“么”字型行列式4.4“两线”型行列式4.5“三对角”型行列式4.6范德蒙德行列式5.行列式的计算方法的综合运用5.1降阶法和递推法5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3构造法和套用范德蒙德行列式标准实用=0.1.2行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变•即an a 12 a 1nana 21a n1a 21a 22 a 2na 12a 22a n2a n1a n2a nna 1na 2na nn性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式•即a 11 a 12 a 1 na11a12a1nka i1ka i2 ka ink a i1ai2aina n1a n2a nnan1an2ann性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的 和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列） 一样•即a 12 Ka ina iiMa n1b 2 C 2K b n C n M M a n2Ka nna 11 a 12K a1n M MM M b 1 b 2K b n M MM Ma n1 a n2Ka nna 11 a 12K a1n M M M Mq C2 K C n M MM M a n1 a n2Ka nn性质4 如果行列式中有两行 那么行列式为零•即a 11 a 12 a 1 na 11 a 12 a 1 na i1a i2a ina i 1 a i2a inkka i1 ka i2 ka ina i1 a i2 a ina n1 a n2a nna n1a n2a nn（或列）对应元素相同或成比例，标准实用性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即a11 a12 a1n a11 a12 a1 na ii ca ki a i2 ca k2 a in Ca kn a i1 a i2 a ina ki a k2 a kn a k1 a k2 a kna n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号•即a11 a12 a1n a11 a12 a1 na i1 a i2 a in a k1 a k2 a kna k1 a k2 a kn =-a i1 a i2 a ina n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零•即a1 ,n-1 a1 na11 a120 0 0 0 0a n1 a n2 a n,n-1 a nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.标准实用主对角线下方的元素与第一行元素对应相同， 故用第一行的 1例1计算行列式解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4! 24项,但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少•具体的说，展开式中的项的一般形式是a 1j 1 a 2 j 2 a 3j 3 a 4 j 4•显然，女口果j 14，那么31j 10，从而这个项就等于零.因此只须考虑 j 1 4的项，同理只须考虑j 2 3, j 3 2, j 41的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有a 14a 23a 32a 41，而43216，所以此项取正号•故2.2利用行列式的性质43211 &14&23&32&41 24.即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该方法适用于低阶行列式.2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:a 11 a 12a 13 a 1na 110 0 0 a 22a 23a 2na 21a 220 00 a 33 a 3na 11 a 22a nn,a 31 a 32a 33a nna n1 a n2 a n3a nn例2计算行列式D na 1 a 1b 1 a 2 a n a 1a 2a nb n解析：观察行列式的特点,a 2 a n a 11a 22a nn•倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零•即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3 •••（n 1）行上去，可得2.2.2连加法D n 1这类行列式的特征是行列式某行（或列）a ib iMa2加上其余各行a nb n（或列）后，使该行（或列）均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算•这类计算行列式的方法称为连加法.例3计算行列式D n 解: x1mX1 x2mX2X nX nX n mni 1 nX i m X2 i 1X i m X2 m ni 1 X i m X2X1D nX nX n1 X2 X n 1 X2 X n n 1 X2 m X n n 0 m 0 X i m X i m1 i 11 X2 X n m 0 0 mX nnn 1m X i mi 12.2.3滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，解：从最后一行开始每行减去上一行，有1 2 3 n 1 n1 2 3 n 1 n11 1 1 12 0 0 0 2 D n1 1 1 1 12 2 00 21 11111 1 1111 2 3 1 0 0 2n 21 1 01 1 1 1 02.2.4逐行相加减n 行的和全相同，但却为零•用连加法明显不行，这是我们可以解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:这种方法叫滚动消去法. 122 1例4计算行列式D n 3 23 n 1 n2 n 2 n 11 n 3 n2 n 2n 2 21n n 12n对于有些行列式，虽然前a 1a 1 0a 2 a 2 例5计算行列式D0 0 a s0 0 01110 0 0 0 0a n a n1 1尝试用逐行相加减的方法.2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开例6 解行列式D n解：按最后一行展开，得2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了k 1 k n -1个行.由这k行兀素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D.即D M 1A1 M2A2 M n A n，其中A i是子式M i对应的代数余子式.a ia2a3a n2n n 1 a1a2a n 1n 1 a1a2an .a n a n 2 a2 a1n 1 n 2D n a1x a2x a n 1XB nnC nn2.4升阶法算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子 升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为 其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一 般行列的位置.例7解行列式D nA nn 0C nn B nnA nn ?B nn .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得D nn 1 ab就是把n阶行列式增加一行一列变成 n+1 阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计,那么0,这样就达到简化计算的效果.（n 1） 110 1 00 0 1 D0 0 0 0 0n 11 n 1 .2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法0 1 11 0 1例8 解行列式D=1 1 01 1 11 1 11 1 1 1 1 1 0 1 1 01阶行列式，即1 1 1 0 0 1 0 1 0D1 1 1 1 1 1 0 1 1 0再将第一行的1倍加到其他各行，得:1 1 1 1 1 0 1 0 1D=1 1 0 0 0 0 1 0 0 1从第二列开始，每列乘以1加到第一列，得:1 1 0 0 0 01 0 0 1解：使行列式D 变成n去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.cos 1 0 0 01 2 cos 1 0 0例9计算行列式D n 0 1 2 cos0 00 0 0 2 cos 10 0 0 1 2 cos解:用数学归纳法证明当n 1 时，D i coscos 1 2当n2 时，D2i 2cos 2C0S 1 C0S2猜想，D n cosn由上可知，当n 1，n 2时,结论成立•假设当n k时,结论成立•即：D k cosk .现证当n k 1时，结论也成立cos 1 0 0 01 2 cos 1 0 0当n k 1时，D k 1 0 1 2cos0 00 0 0 2 cos 10 0 0 1 2 cos 将D k i按最后一行展开，得cos 1 0 01 2cos 1 0D k 1k 1 k 11 ?2cos 0 1 2cos 00 0 0 2coscos k1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立.即：D n cosn2.6递推法 技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式aD n bD n 1 cD n 2 0.则作特征方程ax 2 bx c 0.① 若0，则特征方程有两个不等根，则 D n Ax ； 1 Bx ； 1 ② 若0,则特征方程有重根 X 1 X 2，则D n A nB x ； 1在①②中，A ,B 均为待定系数，可令 n 1, n 2求出.因为D k所以cos2cos2cos2 cos D kcoskcos k cos cosk cos sin k sin ,2 cos D k D k 12 cos cosk cosk cos sin k sincosk cossin k sin这就证明了当9 5 °°°°°4 95 °°°°° 4 9 5 °°°例1° 计算行列式D n°°°° 4 9 5°°°°° 49解：按第一列展开，得D n 9D n 1 2°D n 2 •即D n9 D n i 2° D n2 °.作特征方程2x 9x 2°°.解得X i 4, X2 5.则D n A?4n1 B?5n1.当n 1 时，9 A B ;当n 2 时，61 4A 5B .解得A 16,B 25 ,所以D n 5n 14n1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.3.1.2例题解析1 a1a2 0 0 01 1 a2a3 0 0例11 计算行列式D n 0 1 1 a30 00 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得1 a1 a2 0 0 01 0 1 82 a3 0 0D n 0 0 1 1 a30 00 0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 0 1 1 a n3232 1 33333n 113n3n31 0 3232133333n 3n3n上面第一个行列式的值为所以D n 1 31 1 321a3a33n11 31 D n 1 .这个式子在对于任何n n都成立, 因此有D n 1 aQ na11 32D n 2 a1 a〔a2ii1 3j.j 13.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦, 3n3nn 13132 3n这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值.322例题解析1 1 1X1 X2 X n2 2 2 例12 求行列式D nX1 X2 X nn 2 n 2 n 2治X2 X nn n nX1 X2 X n 值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1X1 X2 X n X2 2 2 2X1 X2 X n Xf Xn 2 n 2 n 2 n 2X1 X2 X n Xn 1 n 1 n 1 n 1X1 X2 X n Xn n n nX1 X2 X n X将f x按第n 1列展开，得f x A,n 1 A；n 1其中，x 的系数为A n,n 1 又根据范德蒙德行列式的结果知f x x X-! 由上式可求得x n 1的系数为n 1X A n,n 1X n1A n 1,n 1xn n 1 ——1 D n D n解：虽然D n不是范德蒙德行列式, 但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德行列式来间接求出D n的X x2X X n X i X j .1 j i nx1x2x n x i x j.1 j i n故有D n X i X2 X n X i X j .1 j i n3.3特征值法3.3.1概念及计算方法设1，2，n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式A 1 2 n .故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式.3.3.2例题解析例13 若1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零.证明：因为A 1 2 n,贝UA 可逆A 0 1 2 n 0 i 0 i 1,2 n .即A可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念a 11a 2i a 22 a 3i a 32a 33a n1a n2 a n3 a nn故称为"三角形”行列式.4.1.2计算方法由行列式的定义可知,4.2.2计算方法方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.a i1a i2 a i3 a i na 22a 23 a 2n 形如a 33a 3na nna iia i2a i3a i na ii0 0 a 22a 23 a 2na 2ia 220 0 0 a 33 a 3na ii a 22 a nn，a 3i a 32a 33a nna ni a n2 a n3a nna ii a 22a nn .这样的行列式，形状像个三角形,4.2 “爪”字型行列式 4.2.1 概念形如a 。

高考化学：常用的8种计算题解题方法！一、关系式法关系式法是根据化学方程式计算的巧用，其解题的核心思想是化学反应中质量守恒，各反应物与生成物之间存在着最基本的比例（数量）关系。

例题：某种H2和CO的混合气体，其密度为相同条件下再通入过量O2，最后容器中固体质量增加了（）A. 3.2gB. 4.4gC. 5.6gD. 6.4g【解析】固体增加的质量即为H2的质量。

固体增加的质量即为CO的质量。

所以，最后容器中固体质量增加了3.2g，应选A。

二、方程或方程组法根据质量守恒和比例关系，依据题设条件设立未知数，列方程或方程组求解，是化学计算中最常用的方法，其解题技能也是最重要的计算技能。

例题：有某碱金属M及其相应氧化物的混合物共10 g，跟足量水充分反应后，小心地将溶液蒸干，得到14g无水晶体。

该碱金属M可能是（）（锂、钠、钾、铷的原子量分别为：6.94、23、39、85.47）A. 锂B. 钠C. 钾D. 铷【解析】设M的原子量为x，解得 42.5＞x＞14.5，分析所给锂、钠、钾、铷的原子量，推断符合题意的正确答案是B、C。

三、守恒法化学方程式既然能够表示出反应物与生成物之间物质的量、质量、气体体积之间的数量关系，那么就必然能反映出化学反应前后原子个数、电荷数、得失电子数、总质量等都是守恒的。

巧用守恒规律，常能简化解题步骤、准确快速将题解出，收到事半功倍的效果。

例题：将5.21 g纯铁粉溶于适量稀H2SO4中，加热条件下，用2.53 g KNO3氧化Fe2+，充分反应后还需0.009 mol Cl2才能完全氧化Fe2+，则KNO3的还原产物氮元素的化合价为___。

【解析】0.093＝0.025x＋0.018，x＝3，5－3＝2。

应填：+2。

（得失电子守恒）四、差量法找出化学反应前后某种差量和造成这种差量的实质及其关系，列出比例式求解的方法，即为差量法。

其差量可以是质量差、气体体积差、压强差等。

差量法的实质是根据化学方程式计算的巧用。

小学数学列式计算题型分析及解题技巧（收藏）对于小学生来说，数学中的文字题即是学习中的重点，也是学习中的难点。

不管是平时的学习与练习，还是每次的考试，文字题都占了很大的比例，需要我们去理解作答。

文字题（列式计算）是小学数学中把数学语言转化为符号语言的一种基本题型，也是检测小学生（尤其是中高年级）数学思维和计算能力的一种重要题型，但是，如果对这种题型不够重视，疏忽了解题方法的正确引导，学生没有掌握好解题方法，出错（尤其是列式错误）的情况也不少。

举个简单的例子：（1）3乘15加上22的和减去20，差是多少？（2）3乘15加上22减去20，差是多少？（3）3乘15加上22的和减去20的差，和是多少？（4）3乘15加上22的和减去20的差，积是多少？这四题从表面上看基本相同，但计算的结果却有很大的差别。

第一题的结果是91，第二、三题的结果是47，第四题的结果是51。

第1、2两题只差中间一个“和”字，可结果却差了44；第2、3两题相差好几个字，可是结果却一样；而第3、4题只差一个“和”字结果却也不一样。

从这个简单的例子我们可以发现做列式计算题的关键还是要读清楚题中的每一个字词，字词的顺序不同可能就会导致结果不同。

小学数学语言严密而精炼，叙述灵活而巧妙。

那么，我们要怎样才能做好这类题呢？在做题之前，不要急于列式，而是要求学生先认真审题，看清题中的基本数量关系，然后再确定应该用那一种列式方法或列方程的方法。

下面介绍三种题型及其解法，相信对孩子的正确解题有一定的帮助。

题型一求和、差、积、商的文字题求和、差、积、商的文字题是学生最初接触也是最常见的文字题，这类题的特点是问句一般有“和是多少？”、“差是多少”、“积是多少？”、“商是多少”或“结果是多少？”等字眼。

解题时，要在草稿纸上先用括号表示出整个式子的总体结构，然后再把括号里的式子（或数字）补充完整，比如，求“和是多少？”的文字题，首先可以确定出这道题的总体结构是“（）+（）”，然后，根据题意就可以把括号补充完整，如果括号里只有一个数字，必须把括号去掉，或者去掉括号后不影响计算结果，也可把括号去掉。