《圆周长与弧长》PPT课件

第十四讲 圆的周长和弧长【知识点1】1． 正方形周长公式 正方形周长=4边长 2． 圆周长公式用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么C=πd 或C=2πr ． 本节的学习要求3． 圆周长公式的运用已知圆周长求直径的方法：d=πc【典型例题1】一个正方形的周长和一个圆的周长相等．正方形的边长是12.56厘米,那么圆的直径是多少？ 解析：C 正方形=12.56×4=50.24（厘米） 因为C 圆=πd所以d=πc=50.24÷3.14=16（厘米）答：圆的直径是16厘米．点评：本题主要考查对圆周长计算公式的理解和运用。

要求出圆的直径求必须知道圆的周长，利用圆的周长和正方形的周长相等就能求出圆的周长． 【基本习题限时训练】1．判断题（正确的在括号内填入“√”，错误的在括号内填上“×”）． （1） 圆的半径扩大4倍，圆的周长也扩大4倍． （ ） （2） 如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等． （ ）（3） 一个圆的周长是同圆直径的3.14倍． （ ） （4） 圆的两个半径和在一起就是圆的直径． （ ） （5） 任何两个圆的周长之比等于它们的半径之比． （ ） 2．小华和小军沿着一个直径是500米的圆形湖边同时从同一点相背而行．小华每分钟行81米，小军每分钟行76米．两人经过多少分钟相遇？【拓展题1】小坚和小刚同时从A 出发，以相同的速度步行去B ．小坚走图中大圆弧的路径，小刚走三段小圆弧．AB 是大圆的直径．问谁先到达目的地B ？【拓展题2】将三根直径为a 的圆柱形钢管用铁丝捆扎，现设计了两种方案，如图所示，•请你探索，宜采用哪一种方案．【点评】本题主要考查对圆周长计算公式的理解和运用。

图（1）是有两个半圆，可以拼成完整的一个圆，图（2）是有三个31圆，可以拼成完整的一个圆。

【知识点2】 1、圆周长公式用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么C=πd 或C=2πr ． 2、路程、速度、时间的等量关系 时间=路程÷速度 【典型例题2】一种汽车轮胎的外直径是1米，它每分钟可以转动400周．这辆汽车通过一座长5.652千米的大桥需要多少分钟？解析： C 圆=πd=1×3.14=3.14（米） 3.14×400=1256（米）=1.256（千米） 5.652÷1.256=4.5（分钟）答：这辆汽车通过一座长5.652千米的大桥需要4.5分钟． 点评：本题主要考查对圆周长计算公式的理解和运用。

圆周长、弧长知识点辅导1、圆周长公式：R C π2=，其中C 为圆周长，R 为圆的半径。

把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。

2、弧长公式：180Rn l π=，其中l 为n ︒的圆心角所对弧长，R 为圆的半径。

弧长公式的推导过程为：360︒的圆心角所对的弧长为︒⇒=12R C π的圆心角所对的弧长为 ︒⇒=n nR R 1803602π的圆心角所对的弧长为︒180Rn π。

应当注意的是：公式中的n 表示的1︒的圆心角的倍数，它不带单位。

3、圆面积公式：圆面积S 与半径R 之间的关系如下：2R S π=。

4、扇形面积公式：圆心角为n ︒，半径为R 的扇形面积为：lR R n S 213602=π＝扇形。

其中l 表示n ︒的圆心角所对的弧长。

（1）扇形面积公式的推导：360︒的圆心角的扇形面积为︒⇒12R π的圆心角的扇形面积为︒⇒n R 3602π的圆心角的扇形面积为lR R R n S R n l R n 21·180·211803602==πππ＝，故。

又因扇形。

（2）扇形面积公式与三角形面积公式的比较：如果把扇形的弧看成一个“三角形”的“底”，把扇形的半径看成是“高”，那么扇形面积公式与三角形面积公式是类同的。

5、弓形面积的计算方法。

弓形面积的计算问题可转化为扇形面积和三角形面积的计算来进行。

（1）弧长小于半圆的弓形面积等于一个扇形面积减去一个三角形的面积。

（2）弧长等于半圆的弓形面积等于半圆面积。

（3）弧长大于半圆的弓形面积等于一个扇形面积加上一个三角形面积。

6、对一些没有面积计算公式的几何图形，可采用割补法，转化为有面积计算公式的几何图形的面积的和或差。

知识点讲解例1、如图∠AOB ＝120︒，圆O'的半径为r , 圆O'与、OA 、OB 相切于点C 、D 、E 。

求的长。

分析：要求的长，只需求出所在圆的半径即可。

连结OC ，由圆O'与相切知，C 、O'、O 三点共线，因O'C =r ,故只需求OO'即可。

例 半径为4cm ，50°的圆心角所对应的弧长是多少？ 解：设弧长为l cm ，∵n=50°， R=4，∴l π=⋅π⋅=910180450（cm ）． 说明：弧长公式的简单应用．例 已知：弧长为l ，它所对应的圆心角为120°，求这条弧所对应的弦长． 解：如图，∠AOB=120°，的长=l ，则l R 32180R 120π=⋅π⋅=，∴R=π23l ，作OH ⊥AB 于H ，在Rt △AOH 中，∠A=30°， ∴AH=AO ·cos30°=π433l ，∴AB=2AH=π233 l ． 答：这条弧所对应的弦长为π233 l ． 说明：（1）灵活应用弧长公式、解直角三角形、锐角三角函数；（2）弧长公式l 180Rn π=中三个变量l 、n 、R ，知道其中任两个量，就可求出第三个量，其中n 没有单位，是圆心角的度数，l 与R 的单位一致．例 某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10cm 和30cm 的钢管，需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧．问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长(打结部分不计，结果化简后可用π和根式表示)?解： 设大、小管的轮廓线分别为⊙O l 和⊙O 2，如图所示．依题意，两圆外切，设切点为P ．两圆的外公切线与⊙O l 和⊙O 2分别切于A ，B ，E ，F ．连O l A ，O 2B ，作O 2C ⊥O l A 于点C ，则O l C=O l A-CA=O l A-O 2B=20，O l O 2=30+10=40． 在Rt △O l O 2C 中， 3202040C O O O C O 22212212=-=-=．∴AB=320． 又214020O O C O 211==，∴∠A O l O 2=60°，∠AO l E=120°． ∴的长=π=⋅π⋅4018030240．的长=π=⋅π⋅32018010120．∴钢丝的长=2AB+ 的长+的长=3202⨯π+40)3140340(320π+=π+ ∴扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要)3140340(π+（cm ）． ABO HRO 1O 2A B CmFP说明：本题综合应用圆与圆的有关知识．求公切线的长、弧长等知识． 例 （福州市，2002）如图：四边形ABCD 是正方形，曲线DA l B l C l D l ……叫做“正方形的渐开线”，其中、、、、…的圆心依次按A 、B 、C 、D 循环，它们依次连接．取AB=l ，则曲线DA l B l …C 2D 2的长是 (结果保留π)． 分析：的长=π=⋅π⋅21180190，的长=π，的长=π23，的长=π2，……找出规律，可求．答案：18π．说明：本题不仅应用弧长公式，更重要地是利用了归纳法．典型例题五例 如图，︒=∠120AOB ，⊙O '的半径为r ，⊙O '与、OA 、OB 相切于点C 、D 、E ，求的长.分析：要求的长，只需求出所在圆的半径即可.连结OC ，由⊙O '与相切知，C ，O '，O 三点共线，因r C O ='，故只需求O O '即可.为此连结E O '，则OE O'∆为∆Rt ，且r E O ='，︒='∠60OE O ，故O O '易求.解 连结OC ，E O '.⊙O '与相切于点C O '⇒在OC 上332rO O =' r O O C O OC )1332(+='+'=∴. A 1B 1C 1D 1A 2AB C D∴9)332(2180)1332(120r rππ+=+⋅=典型例题六例 已知如图，⊙O 与⊙O '外切于M 点，它们的外公切线AB 、CD 分别切⊙O '，⊙O 于A 、B 、C 、D ，且公切线AB 、CD 交于E 点，︒=∠120BOD求证：⊙O '的周长等于的长证明 连结E O '、OE 、A O 'EB Θ、ED 分别切⊙O 于B ，D ，切⊙O '于A 、CEO ∴平分BED ∠，O E '平分BED ∠，且EB A O ⊥'，EB OB ⊥，ED OD ⊥ E ∴、O '、O 在一条直线上，︒=∠120BOD Θ，︒=∠∴60BED ，︒=∠30OEB ，O E A O '='∴21，EO OB 21=. Θ⊙O 与⊙O '外切于M ， M ∴在⊙O '上.OM M O O O +'='∴，设r M O ='，则r M O A O ='='. r E O 2='∴，r EM 3=EO OM OB 21==Θ，r EM OM OB 3===∴于是的长r rl ππ21803120=⨯⨯=又⊙O 的周长r C π2= l C =∴.典型例题七例 圆心角60°，所对的弦长为a ，则它所对的弧长为_____. 解 ,302,60︒=︒=aa Θ.318060.,230sin a a l a R R aππ=⨯=∴==︒∴说明：本题考查弧长计算公式，解题关键是依题意计算出弦长与半径的关系.典型例题八例 如图，两皮带轮⊙1O 与⊙2O 外切于H ，它们的半径分别是10和30.（1）求外公切线AB ；（2）求皮带轮长.解 （1）过1O 作B O E O 21⊥于点E ，.401030,2010302221122=+=+==-=-=A O B O O O A O B O E O在Rt 21EO O ∆中，21sin 21221==∠O O E O O EO ， .3202040.60,120,30222121=-==︒=∠︒=∠︒=∠∴CD AB D BO C AO O EO说明：本题考查弧长计算公式，公切线长在实际问题中的应用，解题关键是建立实际问题的几何模型.典型例题九例 （1）如图，ABCD 是正方形，的圆心在B 处，是以AC 为直径的半圆，设a AB =，则月牙形图的周长是（ ）.A ．a π422+ B ．a π212+ C ．a π45D ．a π2221+ （2）如图，两个半径为1的⊙1O 和⊙2O 外切，⊙O 与这两个圆都外切，切点分别是C B A ,,，且︒=∠90O ，则的长为（ ）.A ．π2B ．π22C ．a π4122- D ．π2 解 （1）218090aa ππ==，连结AC ，则由勾股定理得a AC 2=，故的长a a ππ22221=⋅⋅=.选B. （2）设⊙O 的半径为x ，在Rt O O O 21∆中，O O O O 21=，由勾股定理得4)1()1(22=+++x x ，解得12-=x .于是的长ππ212180)12(90-=-=，的长＝的长＝4180145ππ=⨯⨯.选B.说明：本题考查弧长的计算，解题关键在综合应用相关知识（如勾股定理等）求解.填空题1. 周长12πcm 的⊙O ，其内接正六边形的边长是 ．2. 圆心角为30°，半径为R 的弧长为 ．3. 圆周长为6π，则60°圆心角所对应的弧长为 ．4. 在半径为1cm 的圆中，弧长为32π的弧所对应的圆周角为 ． 5. 在⊙O 中，如果120°的圆心角所对应的弧长为34π，则⊙O 的半径为 ．6. 如果⊙O 的半径3cm ，其中一弧长2πcm ，则这弧所对的弦长为 ．7. 已知︒100的圆心角所对的弧长为cm 5π，则该圆的半径为________8. 在半径为R 的圆中，如果圆心角等于π180度，那么这个角所对的弧长为_______9. 有一修路大队要修一段圆弧形便道，它的半径R 是m 36，圆弧所对的圆心角是︒60，则这段弯道约为m ___（精确到.1m 0，14.3=π）10. 扇形的圆心角为︒120，半径为3，那么扇形的弧长为______ 参考答案: 1. 6 cm ; 2. R 6π; 3. π ; 4. 60° ; 5. 2 ; 6. 33cm .7. cm 9 8. R 9. 7.37.π2选择题1．已知一弧的度数为︒36，半径为cm 2，则该弧长度（精确到.1cm 0）为（） A ．.1cm 1 B ．.2cm 1 C ．.3cm 1 D ．.4cm 12．若半径为cm 5的一段弧长等于半径为cm 2的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（） A ．︒18 B ．︒36 C ．︒72 D ．︒1443．在半径为cm 12的圆中，︒150的圆心角所对的弧长等于（） A ．cm 24π B ．cm 12π C ．cm 10π D ．cm 5π4．已知弧长cm 4=l ，它所对的圆心角为︒120，那么它所对的弧长为（） A ．cm 33B ．cm 23C ．cm 36D ．cm 265．在半径为1的⊙O 中，弦1=AB ，则AB 的长是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 参考答案：1．C 2. D 3. C 4. C 5. C.解答题1．计算半径为cm 5，︒60圆心角所对的弧长l 。

圆的周长、弧长一、知识要点1、圆的认识：圆中心的一点叫做圆心，圆心一般用字母“o ”表示；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用字母“r ”表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母“d ”表示。

2、圆的特征：（1）在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径长度是半径长度的2倍，用字母表示是：d =2r 或r =d/2（2）圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。

圆的对称轴是直径所在的直线。

3、圆的周长:围成圆的曲线的长。

周长一般用字母“C ”表示,C=πd=2πr . 圆周率：圆的∏ 3.14）4、弧：联结圆上两点的部分。

弧长即为弧的长度。

弧长公式：..2360360360n l n n l C r C π=⇒==二、典型例题例1、求下面各圆的周长。

（1）r = 4cm （2）d = 10dm （3）C = 18.84m例2、上海外滩海关大钟钟面的直径是5.8米，钟面的面积是多少平方米？时针长2.7米，时针绕一圈时针尖端走过途径的长度是多少米？（得数保留一位小数）例3、如图是个半圆（单位厘米），其阴影部分的周长是多少？练一练：1、计算阴影部分的周长。

（单位：厘米）2、如图，求阴影部分的周长（单位：米）。

例4、小乌龟和小白兔又要比赛了，这一次小白兔沿大圆跑一圈，小乌龟沿两个小圆“∞”跑一圈，谁跑的路程长呢？练一练：1、已知AB之间的距离为10，求4个圆的周长之和为多少？2、现有两根圆木，横截面直径都是2分米，如果把它们用铁丝捆在一起，两端各捆一圈（接头不计），那么应准备多长的铁丝？3、求绳子的长度（每个圆的半径都是2厘米）。

4、有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米?例5、（1）圆形的车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的_________（2）等边三角形的边长为2厘米，如果其滚动一次，请画出A点所经过的路线并求出其长度。