下载文档原格式
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-6离散型随机变量的均值与方差教师用书理苏教1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称V(X)＝μ＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn＝xpi－μ2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根σ＝为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)V(aX＋b)＝a2V(X)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( √ ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( √ )(3)若随机变量X 的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大．( × ) (4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( × ) 1．(教材改编)某射手射击所得环数ξ的概率分布如下：已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y 的值为________． 答案 0.4 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，可得y ＝0.4.2．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝(k ＝2,4,6,8,10)，则V(ξ)＝________. 答案 8解析 E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，V(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B(10,0.6)，则随机变量η的均值E(η)及方差V(η)分别是____________． 答案 2和2.4解析 设随机变量X 的均值及方差分别为E(X)，V(X)， 因为X ～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，V(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，V(η)＝V(8－X)＝V(X)＝2.4.4．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为________．答案1＋a,4解析因为＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.5．(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．答案509解析抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B(10，)，E(X)＝10×＝.题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1 求离散型随机变量的均值、方差例1 (2016·山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的概率分布和均值E(Χ)．解(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E ＝ABCD ＋BCD ＋ACD ＋ABD ＋ABC ， 由事件的独立性与互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×⎝⎛14×23×34×23＋34×13⎭⎪⎫×34×23＝. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意，得随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得P(X ＝0)＝×××＝， P(X ＝1)＝2×＝＝，P(X ＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝， P(X ＝3)＝×××＋×××＝＝， P(X ＝4)＝2×＝＝， P(X ＝6)＝×××＝＝.可得随机变量X 的概率分布为所以均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.命题点2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值例2 (2016·扬州模拟)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c. 解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6， 故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的概率分布为(2)由题意知η的概率分布为所以E(η)＝＋＋＝，V(η)＝2·＋2·＋2·＝，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a∶b∶c＝3∶2∶1.思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．(2015·四川)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的概率分布和均值．解(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的概率分布为因此，X的均值为E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.题型二与二项分布有关的均值与方差例3 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及均值E(ξ)．解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝.(2)由题意，得P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝C×2＝，P(ξ＝2)＝C2×＝，P(ξ＝3)＝3＝.所以，随机变量ξ的概率分布为故随机变量ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(或∵ξ～B(3，)，∴E(ξ)＝3×＝.)思维升华解决与二项分布有关的均值、方差问题关键有二点：一是准确把握概率模型，确认要解决的问题是否属于二项分布问题．二是正确套用概率公式．(2016·盐城模拟)甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球的差的绝对值，求ξ的概率分布和均值E(ξ)．解(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P＝C××()2×()3＋C×()2××C×()3＋()3×C×()3＝.(2)ξ的取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝()3×()3＋C××()2×C×()3＋C×()2××C×()3＋()3×()3＝，P(ξ＝1)＝()3×C×()3＋C××()2×()3＋C××()2×C×()3＋C×()2××C×()3＋C×()2××()3＋()3×C×()3＝，P(ξ＝2)＝()3×C×()3＋C×()2××()3＋C××()2×()3＋()3×C×()3＝，P(ξ＝3)＝()3×()3＋()3×()3＝，所以ξ的概率分布为所以均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.题型三均值与方差在决策中的应用例 4 (2016·全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的概率分布；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的概率分布为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的均值小于n＝20时所需费用的均值，故应选n＝19.思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的概率分布为∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200.若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的概率分布为∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.V(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×29＝35 000，V(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)<V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．8．离散型随机变量的均值与方差问题典例(16分)在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的概率分布，并计算其均值；(2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．规范解答解(1)甲正确回答的题目数ξ可取1,2,3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.[3分]故其概率分布为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.[5分]又乙正确回答的题目数η～B(3，)，其概率分布为∴E(η)＝np＝3×＝2.[8分](2)∵V(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，V(η)＝np(1－p)＝3××＝，[11分]∴V(ξ)<V(η)．∵P(ξ≥2)＝＋＝，P(η≥2)＝＋＝，∴P(ξ≥2)>P(η≥2)．从回答对题数的均值考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确回答2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的通过能力较强．[16分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的概率分布；第四步：求均值和方差；第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论；(适用于均值、方差的应用问题)第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．1．(2016·常州一模)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为________．答案 0.9解析 由题意得X ＝0,1,2，则P(X ＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X ＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5， P(X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.2．(2017·无锡月考)若X ～B(n ，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，则P(X ＝1)的值为________．(用式子作答) 答案 3×2－10解析 由题意知 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，n ＝12.∴P(X＝1)＝C××(1－)11＝＝3×2－10.3．(2016·徐州模拟)随机变量ξ的概率分布如下，其中a 、b 、c 为等差数列，若E(ξ)＝，则V(ξ)的值为________.答案59解析 由概率分布得a ＋b ＋c ＝1， ① 由均值E(ξ)＝得－a ＋c ＝， ② 由a 、b 、c 为等差数列得2b ＝a ＋c ， ③ 由①②③得a ＝，b ＝，c ＝， 所以V(ξ)＝×＋×＋×＝.4．一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为________，________.答案20 2003解析记此人三次射击击中目标次数为X，得分为Y，则X～B(3，)，Y＝10X，∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20，V(Y)＝100V(X)＝100×3××＝.5．(2016·常州模拟)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的均值是________．答案45解析根据题意知X＝0,1,2，而P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.6．甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的概率分布和均值．解(1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x＝10×＝4.(2)由已知，得＝，解得P2＝.(3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，P(ξ＝2)＝×C××＋×2＝，P(ξ＝3)＝×2＝.所以ξ的概率分布为所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.7.乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的概率分布与均值．解(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，则P(A3)＝，P(A1)＝，P(A0)＝1－－＝.记Bj为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”(j＝0,1,3)，则P(B3)＝，P(B1)＝，P(B0)＝1－－＝.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”．由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)＝×＋×＋×＋×＝，所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为. (2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝×＝，P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝×＝，P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝×＋×＝，P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝×＋×＝，P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝×＝.可得随机变量ξ的概率分布为所以均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.8．(2016·南京模拟)假定某射手射击一次命中目标的概率为.现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：(1)X的概率分布；(2)均值E(X)．解(1)耗用子弹数X的所有可能取值为1,2,3,4.当X＝1时，表示射击一次，命中目标，则P(X＝1)＝；当X＝2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，则P(X＝2)＝(1－)×＝；当X＝3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，则P(X＝3)＝(1－)×(1－)×＝；当X＝4时，表示射击四次，前三次均未击中，则P(X＝4)＝(1－)×(1－)×(1－)＝.故X的概率分布为(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.9．(2016·宿迁模拟)已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．(1)求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；(2)若连续摸奖2次，求获奖次数X的概率分布及均值E(X)．解(1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，则P(A)＝＝.(2)设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，则获得一等奖的概率为P1＝＝，获得三等奖的概率为P3＝＝，所以P(B)＝＋＋＝.由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝(1－)2＝，P(X＝1)＝C××(1－)＝，P(X＝2)＝()2＝，所以X的概率分布是所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.*10.为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的概率分布及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝＝，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.②依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，故X的概率分布为所以顾客所获的奖励额的均值为E(X)＝20×＋60×＝40.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找均值为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元．因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析．对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的概率分布为X1的均值为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，X1的方差为V(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的概率分布为X2的均值为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，X2的方差为V(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。
§12.6 随机变量的均值与方差2020高考会这样考 1.考查离散型随机变量的均值与方差的概念；2.利用均值、方差解决一些实际问题．复习备考要这样做 理解随机变量的均值、方差的意义、作用，能解决一些简单的实际问题．1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称V (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根V (X )称为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)V (aX ＋b )＝a 2V (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，V (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，V (X )＝np (1－p )． [难点正本 疑点清源]1．对均值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．(2)E (X )是一个实数，由X 的概率分布唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值取值的平均状态．(3)公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 直接给出了E (X )的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的概率分布． 2．方差的意义V (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，V (X )越大表明平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散，反之V (X )越小，X 的取值越集中，由方差定义知，方差是建立在期望这一概念之上的．在E (X )附近，统计中常用V (X )来描述X 的分散程度．3．求离散型随机变量的期望和方差的关键在于写出随机变量的概率分布．1．若随机变量ξ答案209解析 根据概率之和为1，求出x ＝118，则E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋…＋5x ＝40x ＝209.2．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.答案 53解析 由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.3．某射手射击所得环数ξ已知ξ的数学期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________． 答案 0.4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝17x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，可得y ＝0.4.4．已知X 的概率分布为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为________．答案 73解析 E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.∴E (Y )＝2E (X )＋3＝2×⎝⎛⎭⎫－13＋3＝73. 5．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，V (X )＝1.28，则n ＝________，p ＝________. 答案 8 0.2解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6，V (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8，p ＝0.2.题型一 离散型随机变量的均值、方差例1 (2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7, 0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率．思维启迪：先求出降水量在各范围内的概率，再求对应工期延误天数的概率，列出Y 的概率分布．解 (1)由已知条件和概率的加法公式有 P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300) ＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X <900) ＝P (X <900)－P (X <700) ＝0.9－0.7＝0.2，P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的概率分布为于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；V (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8. (2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300) ＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300) ＝P (300≤X <900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.探究提高 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的概率分布，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)概率与统计的结合是高考的热点，熟练掌握基础知识，理解二者的联系是解题的关键．某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课．对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题： (1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率； (2)某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望． 解 (1)3名学生选择的选修课互不相同的概率：p 1＝A 3443＝38；(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝3343＝2764，P (ξ＝1)＝C 133243＝2764，P (ξ＝2)＝C 23343＝964，P (ξ＝3)＝C 3343＝164.所以ξ的概率分布为数学期望E (ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.题型二 二项分布的均值、方差 例2 某人投弹命中目标的概率p ＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X 的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y 的均值和方差．思维启迪：投弹一次，X 服从两点分布；重复10次，Y 服从二项分布．解 (1)随机变量X 的概率分布为因为X 服从两点分布，故E (X )＝p ＝0.8， V (X )＝p (1－p )＝0.8×0.2＝0.16.(2)由题意知，命中次数Y 服从二项分布， 即Y ～B (10，0.8)， ∴E (Y )＝np ＝10×0.8＝8， V (Y )＝np (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6.探究提高 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差V (ξ)为62.(1)求n ，p 的值并写出ξ的概率分布；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解 (1)由E (ξ)＝np ＝3，V (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的概率分布为(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)，得 P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132或P (A )＝1－P (ξ>3)＝1－15＋6＋164＝2132.题型三 均值与方差的应用例3 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润． (1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围．思维启迪：(1)求概率分布，应先确定X 的取值，再求X 的取值对应的概率； (2)由E (X 1)<E (X 2)，找出关于p 的不等式，即可求出p 的范围． 解 (1)X 1的概率分布为E (X 1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.由题设得X ～B (2，故X 2所以E (X 2)＝1.3×(1－p )2＋1.25×2p (1－p )＋0.2×p 2＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18， 整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0，解得－0.4<p <0.3. 因为0<p <1，所以当E (X 1)<E (X 2)时， p 的取值范围是0<p <0.3.探究提高 (1)解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．A ，B 两个投资项目的利润分别为随机变量X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的概率分布分别为(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差V (Y 1)，V (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．解 (1)由题设可知Y 1和Y 2E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，V (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，V (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f (x )＝V ⎝⎛⎭⎫x 100Y 1＋V ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 100Y 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 1002V (Y 1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 1002V (Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)． 当且仅当x ＝6002×4＝75时，f (x )＝3为最小值．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(14分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P 2的值；(3)设P 2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的概率分布和均值． 审题视角 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球． (2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求概率分布和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率． 规范解答解 (1)设甲袋中红球的个数为x ，依题意得x ＝10×25＝4.[3分](2)由已知，得25m ＋2mP 23m ＝13，解得P 2＝310.[6分](3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝35×45×45＝48125，P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝56125， P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝⎛⎭⎫152＝19125， P (ξ＝3)＝25×⎝⎛⎭⎫152＝2125.[9分]所以ξ[12分]所以E (ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45.[14分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求每一个可能值所对应的概率． 第三步：列出离散型随机变量的概率分布． 第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点 和答题规范．温馨提醒 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的概率分布、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范.方法与技巧1．期望与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便： (1)E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b ；E (ξ＋η)＝E (ξ)＋E (η)； V (a ξ＋b )＝a 2V (ξ)；(2)若ξ～B (n ，p )，则E (ξ)＝np ，V (ξ)＝np (1－p )． 2．基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量ξ的期望 、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解． 失误与防范1．在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知某一随机变量X a 的值为________.答案 7解析 由概率分布性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4. ∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a ＝7. 2．已知X 的概率分布为，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 的值为________．答案 2解析 先求出E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.再由Y ＝aX ＋3得E (Y )＝aE (X )＋3.∴73＝a ×⎝⎛⎭⎫－13＋3.解得a ＝2.3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为________． 答案 2.376解析 X 的所有可能取值为3,2,1,0，其概率分布为∴E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.4．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是_____________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是________． 答案 0.7解析 E (X )＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则V (X )＝________.答案 916解析 由题意知取到次品的概率为14，∴X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14， ∴V (X )＝3×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝916. 7．(2011·上海)请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________. 答案 2解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则 E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2. 二、解答题(共27分)8．(13分)为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A 、B 、C 、D )拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A 能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的概率分布与数学期望．解 (1)设A 通过体能、射击、反应分别记为事件M 、N 、P ，则A 能够入选包含以下几个互斥事件：MN P ，M N P ，M NP ，MNP . ∴P (A )＝P (MN P )＋P (M N P )＋P (M NP )＋P (MNP ) ＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝23. 答 A 能够入选的概率为23.(2)P (没有入选任何人)＝⎝⎛⎭⎫1－234＝181， P (入选了一人)＝C 14⎝⎛⎭⎫23⎝⎛⎭⎫133＝881， P (入选了两人)＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132＝2481， P (入选了三人)＝C 34⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13＝3281， P (入选了四人)＝C 44⎝⎛⎭⎫234＝1681，记ξ E (ξ)＝3 000×881＋6 000×2481＋9 000×3281＋12 000×1681＝8 000(元)所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．9．(14分)(2011·重庆)某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的概率分布与期望．解 (1)方法一 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为 C 24·2234＝827. 方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝13.从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为P 4(2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P (ξ＝1)＝334＝127，P (ξ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 22)34＝1427⎝⎛⎭⎪⎫或P (ξ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427，P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49⎝⎛⎭⎫或P (ξ＝3)＝C 24A 3334＝49. 综上知，ξ的概率分布为从而有E (ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527.B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，V (X )＝29，则x 1＋x 2的值为________． 答案 3解析 分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得： ⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎫x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎨⎧x 1＝53x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，x 2＝2，又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E (ξ)＝______.答案 89解析 ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴－b 2a <0，即ba >0，也就是a ，b 必须同号，∴ξ的概率分布为∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为________．答案 163解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝⎛⎭⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a 2b，即a ＝2b 时取“等号”，又3a＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163.4．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________.答案 125解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，35， 从而有E (ξ)＝np ＝4×35＝125.5．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为________． 答案 5.25解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6，P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25.6．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.答案 47解析 当l 的斜率k 为±22时，直线l 的方程为±22x －y ＋1＝0，此时坐标原点到l 的距离d ＝13；当k 为±3时，d ＝12；当k 为±52时，d ＝23；当k 为0时，d ＝1，由古典概所以E (ξ)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.二、解答题(共28分)7．(14分)(2012·课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的概率分布、数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明 理由．解 (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n <16，80，n ≥16(n ∈N )． (2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的概率分布为X 的数学期望为E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X 的方差为V (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②方法一 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17Y 的概率分布为Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差为V(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，V(X)<V(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)<E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．方法二花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17Y的概率分布为Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．8．(14分)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的概率分布及数学期望．解设A i表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，B j表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4,5.(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.(2)ξ的可能取值为2,3.由于各局比赛结果相互独立，所以P(ξ＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52，P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－0.52＝0.48.故ξ的概率分布为E(ξ)＝2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.。
第6讲 离散型随机变量的均值与方差【2013年高考会这样考】1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题． 【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．基础梳理离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n两个防X在记忆D (aX ＋b )＝a 2D (X )时要注意：D (aX ＋b )≠aD (X )＋b ，D (aX ＋b )≠aD (X )． 三种分布(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )； (2)X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )；(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差称D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均 ，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．数学期平均水平 偏离程度(3)若X 服从超几何分布， 则E (X )＝n M N. 六条性质(1)E (C )＝C (C 为常数)(2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数) (3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2(4)如果X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)E (X 2) (5)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2(6)D (aX ＋b )＝a 2·D (X )双基自测1．(2010·某某)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65 B.65C.2D ．2 解析 由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1.s 2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2.答案 D2．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( A.73B ．4 C ．－1 D ．1 解析 E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.答案 A3．(2010·某某)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ 7 8 9 10Px y已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________． A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4. 答案 A4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p C ．n ＝5，p D ．n ＝7，p解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6，D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8，p ＝0.2.答案 A5．(2010·某某)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：ξ 7 8 9 10 P该随机变量ξ的均值是________．解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.考向一 离散型随机变量的均值和方差【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A 队队员胜的概率A 队队员负的概率A 1和B 12313X ，Y (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事件的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望． 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875， P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P (X ＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875， P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325. X 的分布列为Y 的分布列为(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×5＋0×25＝15；因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315.(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．(2)由X 的期望、方差求aX ＋b 的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解． 【训练1】 (2011·某某)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． 解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.P (ξ＝0)＝14×12＝18； P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516； P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516； P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316； P (ξ＝8)＝14×14＝116.甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ 0 2 4 6 8P18 516 516 316 116所以E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.考向二 均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X 具有分布P (X ＝k )＝15，k ＝1,2,3,4,5，求E (X ＋2)2，D (2X －1)，D X －1.[审题视点] 利用期望与方差的性质求解．解 ∵E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3.E (X 2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11.D (X )＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.∴E (X ＋2)2＝E (X 2＋4X ＋4)＝E (X 2)＋4E (X )＋4＝11＋12＋4＝27.D (2X －1)＝4D (X )＝8，D X －1＝D X ＝ 2.若X 是随机变量，则η＝f (X )一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1212011032015∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求．考向三 均值与方差的实际应用【例3】►(2011·某某)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)＝6(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．[审题视点] (1)利用分布列的性质P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1及E (X 1)＝6求a ，b 值． (2)先求X 2的分布列，再求E (X 2)，(3)利用提示信息判断．解 (1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2. 又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2 3 45 6 7 8 f用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：X 2 3 4 5 6 7 8 P所以E (X 2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为,4)＝1.2. 据此，乙厂的产品更具可购买性．解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，本题第(1)问中充分利用了分布列的性质p 1＋p 2＋...＋p n ＋ (1)【训练3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用X 表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X 的概率分布及E (X )；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值X 围．解 (1)依题意，X 的可能取值为1,0，－1，X 的分布列为X 1 0 －1 P121414E (X )＝12－14＝14.(2)设Y 表示10万元投资乙项目的收益，则Y 的分布列为：Y 2 －2Pα βE (Y )＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥14，∴916≤α≤1.规X 解答23——离散型随机变量的均值与方差的计算【问题研究】 期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征，是高考概率考查的重要知识点，常与排列组合、导数等知识相结合，对考查生的数学应用能力、数学表达能力、创新能力都进行了考查．【解决方案】 (1)掌握好期望与方差的性质．(2)记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等．(3)注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算，运算时注意一些项的合并．【示例】►(本小题满分12分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为23，乙机投弹一次命中目标的概率为12，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响．(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率； (2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重复试验概型，根据至少两次命中分类求解，或使用间接法求解，注意运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式；对于第(2)问，根据题意，随机变量ξ＝0,1,2,3,4，根据独立重复试验概型及事件之间的相互关系，计算其概率即可求出分布列，根据数学期望的计算公式求解数学期望．[解答示X] 设A k 表示甲机命中目标k 次，k ＝0,1,2，B l 表示乙机命中目标l 次，l ＝0,1,2，则A k ，B l 独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P (A k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－k ，P (B l )＝C l 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12l ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－l. 据此算得P (A 0)＝19，P (A 1)＝49，P (A 2)＝49.P (B 0)＝14，P (B 1)＝12，P (B 2)＝14.(2分)(1)所求概率为1－P (A 0B 0＋A 0B 1＋A 1B 0)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫19×14＋19×12＋49×14＝1－736＝2936.(4分)(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝P (A 0)·P (B 0)＝19×14＝136， P (ξ＝1)＝P (A 0B 1)＋P (A 1B 0)＝19×12＋49×14＝16，P (ξ＝2)＝P (A 0B 2)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 0)＝19×14＋49×12＋49×14＝1336，(8分) P (ξ＝3)＝P (A 1B 2)＋P (A 2B 1)＝49×14＋49×12＝13， P (ξ＝4)＝P (A 2B 2)＝49×14＝19.(10分)综上知，ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 3 4 P1361613361319从而ξ的期望为E (ξ)＝0×136＋1×16＋2×1336＋3×13＋4×19＝73.(12分)概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量的分布以及均值等问题，并且都是以概率计算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法．若本题第(2)问是单纯求随机变量ξ的数学期望，则可以直接根据二项分布的数学期望公式和数学期望的性质解答：令ξ1，ξ2分别表示甲、乙两机命中的次数，则ξ1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，ξ2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，故有E (ξ1)＝2×23＝43，E (ξ2)＝2×12＝1，而知E (ξ)＝E (ξ1)＋E (ξ2)＝73.【试一试】 (2011·)(本小题共13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s 2＝14×[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.(2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14；P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为：Y 17 18 19 20 21 P1814141418EY ＝17×P (Y ＝17)＋18×P (Y ＝18)＋19×P (Y ＝19)＋20×P (Y ＝20)＋21×P (Y ＝21)＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19.[尝试解答] 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．故选D.答案 D。
§12.6随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的概率分布表为X x1x2…x nP p1p2…p n(1)均值称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称V(X)＝σ2＝(x1－σ)2p1＋(x2－σ)2p2＋…＋(x n－σ)2p n为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根V X为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)V(aX＋b)＝a2V(X)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( √)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．( √)(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，期望值也增大．( ×)(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ×)1．某射手射击所得环数ξ的概率分布如下：ξ78910P x 0.1 0.3 y已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为 ． 答案 0.4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝17x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9可得y ＝0.4.2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)则V (ξ)＝ .答案 8解析 E (ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，V (ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.3．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是 ． 答案 0.7解析 E (X )＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则V (X )＝ . 答案916解析 由题意知取到次品的概率为14，∴X ～B (3，14)，∴V (X )＝3×14×(1－14)＝916.题型一 离散型随机变量的均值、方差例1 (2013·浙江)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，V (η)＝59，求a ∶b ∶c .思维点拨 利用古典概型概率公式求P (ξ)． 解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的概率分布为ξ2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的概率分布为η1 2 3Paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，V (η)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.思维升华 对于均值、方差的计算要尽可能的运用其性质，从而运算简便．运算性质：E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )．(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的概率分布与均值．解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16.记B j 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0∪A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的概率分布为ξ0 1 2 3 4 6 P13016152151130110所以均值E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.题型二 二项分布的均值、方差例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及均值E (ξ)．思维点拨 对于(1)中p 的值，可利用对立事件概率公式求解． 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，得P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎪⎫1－110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫1－1102×110＝2431 000，P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量ξ的概率分布为ξ0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000故随机变量ξ的均值E (ξ)＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710. (或∵ξ～B (3，910)，∴E (ξ)＝3×910＝2710.)思维升华 求随机变量X 的均值与方差时，可首先分析X 是否服从二项分布，如果X ～B (n ，p )，则用公式E (X )＝np ；V (X )＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．(2013·福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？解 方法一 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E (3X 2)． 由已知可得，X 1～B (2，23)，X 2～B (2，25)，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125，因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．方法二 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为P (X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P (X ＝2)＝23×(1－25)＝25，P (X ＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的概率分布如下：X 1 0 2 4 P194949X 2 0 3 6 P9251225425所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大． 题型三 均值与方差的应用例3 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润．(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围．思维点拨 (1)求概率分布，应先确定X 的取值，再求X 的取值对应的概率； (2)由E (X 1)<E (X 2)，找出关于p 的不等式，即可求出p 的范围． 解 (1)X 1的概率分布为X 1 1.2 1.18 1.17 P161213E (X 1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.由题设得X ～B (2，p )，即X 的概率分布为X 0 1 2P(1－p )22p (1－p )p 2故X 2的概率分布为X 2 1.3 1.25 0.2P(1－p )22p (1－p )p 2所以E (X 2)＝1.3×(1－p )2＋1.25×2p (1－p )＋0.2×p 2＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18， 整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0，解得－0.4<p <0.3. 因为0<p <1，所以当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是0<p <0.3.思维升华 (1)解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．某中学高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为23，且每道题正确完成与否互不影响．(1)求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率．(2)记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布，并求E (ξ)及V (ξ)．(3)试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平．解 (1)因为考生甲要通过实验考查，就必须正确完成所抽3道题中的2道或3道． 所以所求概率为P ＝C 24C 12＋C 34C 36＝45. (2)由已知，ξ＝1,2,3，P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 36＝15.所以考生甲正确完成题数ξ的概率分布为ξ1 2 3 P153515E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.V (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.(3)乙考生正确完成题数η的概率分布为η0 1 2 3 P127 2949827E (η)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2，所以E (ξ)＝E (η)，表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同． 因为V (ξ)＝25，V (η)＝(0－2)2×127＋(1－2)2×29＋(2－2)2×49＋(3－2)2×827＝23.所以V (ξ)<V (η)，这表明ξ的取值比η的取值相对集中于均值2的周围，因此甲生的能力比乙生强．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(14分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P 2的值；(3)设P 2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的概率分布和均值．思维点拨 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求概率分布和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率． 规范解答解 (1)设甲袋中红球的个数为x ， 依题意得x ＝10×25＝4.[3分](2)由已知，得25m ＋2mP 23m ＝13，解得P 2＝310.[6分](3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝35×45×45＝48125，P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝56125，P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝19125， P (ξ＝3)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2125.[10分] 所以ξ的概率分布为ξ0 1 2 3 P4812556125191252125[12分]所以E (ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45.[14分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求每一个可能值所对应的概率． 第三步：列出离散型随机变量的概率分布． 第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的概率分布、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．方法与技巧1．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )(a ，b 为常数)． (2)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，V (X )＝p (1－p )．(3)若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )． 2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解． 失误与防范1．在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k －1，k ＝1,2,3，…，n ，则P (2<ξ≤5)＝ .答案716解析 P (2<ξ≤5)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝14＋18＋116＝716.2．随机变量ξ的概率分布如下，其中a 、b 、c 为等差数列，若E (ξ)＝13，则V (ξ)的值为 .ξ－11Pa b c答案 59解析 由概率分布得a ＋b ＋c ＝1，① 由期望E (ξ)＝13得－a ＋c ＝13，②由a 、b 、c 为等差数列得2b ＝a ＋c ，③ 由①②③得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴V (ξ)＝16×169＋13×19＋12×49＝59.3．(2013·湖北改编)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝ . 答案 65解析 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆， 54个一面涂漆，27个没有涂漆，所以从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.4．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差V (ξ)＝ . 答案 0.4解析 依题意，随机变量ξ服从超几何分布，ξ可能的取值为1,2,3. P (ξ＝k )＝C k 4C 3－k2C 36，k ＝1,2,3.ξ的概率分布为ξ1 2 3 P153515E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.V (ξ)＝15×(1－2)2＋35(2－2)2＋15(3－2)2＝0.4.5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的均值为 ． 答案 2.376解析 X 的所有可能取值为3,2,1,0，其概率分布为X 3 2 1 0 P0.60.240.0960.064∴E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.6．设随机变量ξ～B (5,0.5)，又η＝5ξ，则E (η)和V (η)的值分别是 ． 答案252，1254解析 因为随机变量ξ～B (5,0.5)，所以n ＝5，p ＝0.5，所以E (ξ)＝np ＝5×0.5＝52，所以E (η)＝E (5ξ)＝5E (ξ)＝5×52＝252.因为V (ξ)＝np (1－p )＝5×0.5×(1－0.5)＝54，所以V (η)＝V (5ξ)＝52V (ξ)＝25×54＝1254.7．若p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表，则E (ξ)的最大值为 ，V (ξ)的最大值为 .ξ0 12 P12－p p12答案 321解析 E (ξ)＝p ＋1≤32(0≤p ≤12)；V (ξ)＝－p 2－p ＋1≤1.8．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的均值为 元． 答案 500解析 a 2＋2a 1＋4a 1＝1，∴a 1＝17，E (ξ)＝17×700＋27×560＋47×420＝500(元)．9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的概率分布和均值． 解 (1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A ， “两人都不享受折扣优惠”为事件B ， 则P (A )＝C 212C 236＝11105，P (B )＝C 224C 236＝46105.因为事件A ，B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝11105＋46105＝57105＝1935.故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是1935.(2)据题意，得ξ的可能取值为0,1,2.其中P (ξ＝0)＝P (B )＝46105，P (ξ＝1)＝C 112C 124C 236＝1635，P (ξ＝2)＝P (A )＝11105. 所以ξ的概率分布为ξ0 1 2 P46105163511105所以E (ξ)＝0×46105＋1×1635＋2×11105＝70105＝23.10．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A 、B 、C 、D )拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响． (1)求A 能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的概率分布与均值．解 (1)设A 通过体能、射击、反应检测分别记为事件M 、N 、P ，则A 能够入选包含以下几个互斥事件：MN P ，M N P ，M NP ，MNP .∴P (A )＝P (MN P )＋P (M N P )＋P (M NP )＋P (MNP ) ＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝23. 所以，A 能够入选的概率为23.(2)记ξ表示该训练基地得到的训练经费，则ξ的所有可能值为0,3 000,6 000,9 000,12 000.P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－234＝181，P (ξ＝3 000)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881，P (ξ＝6 000)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2481， P (ξ＝9 000)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝3281， P (ξ＝12 000)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， 所以ξ的概率分布为ξ0 3 000 6 000 9 000 12 000 P181 881 2481 32811681E (ξ)＝0×181＋3 000×881＋6 000×2481＋9 000×3281＋12 000×1681＝8 000(元)．所以，该基地得到训练经费的均值为8 000元．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为 ．答案163解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2， 即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a2b，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163.2．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的均值为 ． 答案 5.25解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由均值的定义可求得E (X )＝5.25.3．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E (ξ)为 ． 答案 23解析 依题意得，ξ的所有可能取值是0,1,2. 且P (ξ＝0)＝C 37C 39＝512，P (ξ＝1)＝C 27·A 22C 39＝12，P (ξ＝2)＝C 17C 39＝112，因此E (ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：x 1 2 3 P (ξ＝x )？！？请小牛同学计算ξ的均值．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝ . 答案 2解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2.5．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的均值为 ． 答案 200解析 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000,0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100， 而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200.6．(2014·重庆)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片． (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的概率分布与均值． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数) 解 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且 P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742， P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112.故X 的概率分布为X 1 2 3 P17424384112从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.。
