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新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)专题训练角的计算类型1 利用角度的和、差关系要求求解的角与已知角之间有和、差关系，可以利用角度和、差来计算。
1.如图，已知 $\angle AOC=\angle BOD=75°$，$\angle BOC=30°$，求 $\angle AOD$ 的度数。
解：因为 $\angle AOC=75°$，$\angle BOC=30°$，所以$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=75°-30°=45°$。
又因为$\angle BOD=75°$，所以 $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD=45°+75°=120°$。
2.将一副三角板的两个顶点重叠放在一起（两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°）。
1) 如图1所示，在此种情形下，当 $\angle DAC=4\angle BAD$ 时，求 $\angle CAE$ 的度数。
2) 如图2所示，在此种情形下，当 $\angle ACE=3\angle BCD$ 时，求 $\angle ACD$ 的度数。
解：(1) 因为 $\angle BAD+\angle DAC=90°$，$\angle DAC=4\angle BAD$，所以 $5\angle BAD=90°$，即 $\angle BAD=18°$。
所以 $\angle DAC=4\times18°=72°$。
因为 $\angle DAE=90°$，所以 $\angle CAE=\angle DAE-\angle DAC=18°$。
2) 因为 $\angle BCE=\angle DCE-\angle BCD=60°-\angle BCD$，$\angle ACE=3\angle BCD$，所以 $\angle ACB=\angle ACE+\angle BCE=3\angle BCD+60°-\angle BCD=90°$。
专题十六：角度的计算（4）——整体思想方法点睛"整体思想"是中学数学中的一种重要思想方法,贯穿于中学学习的始终.在求角度的时候，有些问题若局部求解，往往无法解决；而从全局着眼,整体思考，则会使问题化繁为简。
在需要整体思想求角度的题型中，“设而不求”也是常用且通用的方法：设其中某个关系较多的“关键角”为x，然后以x去计算结论角，往往x能刚好抵消掉。
典例精讲1．已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠DOB，求∠MON的大小．（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，求∠MON的大小．举一反三2．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．（1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由；（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．3．已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠DOB，当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．（2）如图2．若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，当∠COB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．专题过关4．如图，射线OC在∠AOB的外部，∠BOC＝a（a为锐角）且OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）若∠AOB＝90°，求∠MON的度数；（2）若∠AOB＝β（β为锐角）不变，当∠BOC的大小变化时，∠MON的度数是否变化？说明理由；（3）从（1）（2）的结果来看你能看出什么规律．5．如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF、OE平分∠AOC，OF 平分∠DOB（1）若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数（3）从（1）、（2）的结果，你能看出什么规律吗？6．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题A：如图1，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB外部，且∠BOC＝30°，若射线OD 平分∠BOC．求∠AOD的度数．B：如图2，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB的内部，射线OD在∠COB内部，且∠COD＝10°，若射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，求∠MON的度数．7．已知：如图1，OB、OC分别为锐角∠AOD内部的两条动射线，当OB、OC运动到如图的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，（1）求∠BOC的度数；（2）如图2，射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数．（3）如图3，若OE、OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由．8．如图①，∠AOB＝∠COD＝90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）已知∠BOC＝20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；（2）若（1）中∠BOC＝α，其它条件不变，求∠MON的度数；（3）如图②，若∠BOC＝α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON的度数．【参考答案】1．解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠DOB，∴∠MOB=12∠AOB，∠NOB=12∠DOB，∴∠MON＝∠MOB+∠BON=12（∠AOB+∠DOB）=12∠AOD＝80°；（2）OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOB=12∠DOB，∴∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC=12（∠AOC+∠DOB）﹣∠BOC＝70°．2．解：（1）OF与OD的位置关系：互相垂直，理由：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠FOE，∵∠DOE＝∠BOD，∴∠AOF+∠BOD＝∠FOE+∠DOE=12×180°＝90°，∴OF与OD的位置关系：互相垂直；（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∴∠AOC=16×180°＝30°，∴∠BOD＝∠EOD＝30°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF=12∠AOE＝60°．3．解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOD．∴∠MON＝∠MOB+∠BON=12∠AOB+12∠BOD=12（∠AOB+∠BOD）=12×160°＝80°．（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠∠MOC=12∠AOC，∠BON=12∠BOD．∴∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC=12∠AOC+12∠BOD﹣∠BOC=12（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=12×180°﹣20°＝70°4．解：（1）因为ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，所以∠NOC=12∠BOC，∠MOC=12∠AOC，所以∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12（∠AOC﹣∠BOC）=12（∠AOB+∠BOC﹣∠BOC）=12∠AOB=12×90°=45°；（2）由（1）的结论可知∠MON=12∠AOB，所以若∠AOB＝β（β为锐角）不变，当∠BOC的大小变化时，∠MON的度数不变化，即∠MON=12β；（3）从（1）（2）的结果来看，射线OC在∠AOB的外部，∠BOC＝a（a为锐角）且OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若∠AOB＝β（β为锐角）不变，当∠BOC的大小变化时，∠MON的度数不变化，即∠MON=12∠AOB=12β．5．解：（1）∵∠EOF＝∠EOC+∠DOC+∠FOD=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12∠AOB+12∠COD∵∠AOB＝160°，∠DOC＝40°∴∠EOF＝80°+20°＝100°．（2），∵∠EOF＝∠EOC+∠DOC+∠FOD =12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12∠AOB+12∠COD∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∴∠EOF=12α+12β=12(α+β)．（3）若∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF，OE平分∠AOC，OF平分∠DOB，那么∠EOF=12(∠AOB+∠COD)．6．解：A、∵射线OD平分∠BOC，∴∠BOD=12∠BOC=12×30°＝15°，∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∴∠AOD＝90°+15°＝105°；B、∵射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，∴∠MON=12∠AOC，∠NOD=12∠BOD，∵∠MON＝∠MOC+∠NOD+∠COD，∴∠MON=12∠AOC+12∠BOD+∠COD，∴∠MON=12（∠AOC+∠BOD）+∠COD，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOD+∠COD，∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣10°＝80°，∴∠MON=12×80°+10°＝50°．7．解：（1）∵∠AOC+∠BOD＝100°，∴∠AOB+∠BOC+∠BOC+∠COD＝100°，又∵∠AOB+∠COD＝40°，∴2∠BOC＝100°﹣40°＝60°，∴∠BOC＝30°，答：∠BOC的度数为30°；（2）∵OM是∠AOB的平分线，∴∠AOM＝∠BOM=12∠AOB，又∵ON是∠COD的平分线，∴∠CON＝∠DON=12∠COD，∴∠DON+∠BOM=12（∠COD+∠AOB）=12×40°＝20°，∴∠MON＝∠BOM+∠BOC+∠CON＝20°+30°＝50°，答：∠MON的度数为50°；（3）∠POQ的大小不会变化，理由如下：∵∠EOB＝∠COF＝90°，∠BOC＝30°，∴∠EOF＝90°+90°﹣30°＝150°，∵∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°，∴∠AOF+∠DOE＝∠EOF﹣∠AOD＝150°﹣70°＝80°，又∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，∴∠AOQ＝∠FOQ=12∠AOF，∠DOP＝∠EOP=12∠DOE，∴∠AOQ+∠DOP=12（∠AOF+∠DOE）=12×80°＝40°，∴∠POQ＝∠AOQ+∠DOP+∠AOD＝40°+70°＝110°．8．解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝20°，∴∠AOC＝∠BOD＝90°﹣20°＝70°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC＝∠BON＝35°，∴∠MON＝∠MOC+∠COB+∠BON＝35°+20°+35°＝90°；（2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝α，∴∠AOC＝∠BOD＝90°﹣α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC＝∠BON＝45°−12α，∴∠MON＝∠MOC+∠COB+∠BON＝45°−12α+α+45°−12α=90°；（3）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝α，∴∠AOC＝∠BOD＝90°+α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC＝∠BON＝45°+12α，∴∠MON＝∠MOC﹣∠COB+∠BON＝45°+12α﹣α+45°+12α=90°．。
