专题11.7 《反比例函数》全章复习与巩固(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)

初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．知识点二：反比例函数在应用时的注意事项1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．知识点三：综合性题目的类型1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．规律方法指导这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合1．（如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．思路点拨:由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。

根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．解析：（1）∵已知反比例函数经过点，∴，即∴∴A(1，2)∵一次函数的图象经过点A(1，2)，∴∴∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为。

（2）由消去，得。

即,∴或。

∴或。

∴或∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。

由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。

专题11.27反比例函数（最值问题）（巩固篇）（专项练习）反比例函数中最值问题主要包括两方面内容：一个是利用反比例函数的增减性求最值；另一个是利用几何最短路径（垂线段最短、两点之间线段最短）求最值问题，还有就是利用非负性求最值，本专题以基础、巩固、培优三个梯度精选了部分最值问题供大家选择使用。

一、单选题1．设函数y 1＝k x ，y 2＝﹣kx（k ＞0）．当﹣3≤x ≤﹣2时，y 1的最大值为a ，y 2的最小值为a +2，则实数a 与k 的值为（）A ．a ＝3，k ＝1B ．a ＝﹣1，k ＝﹣1C ．a ＝3，k ＝3D ．a ＝﹣1，k ＝32．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数()0ky x x=>的图象与边长是8的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，OMN 的面积为7.5．若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是（）A ．15B CD ．103．如图，Rt ABC 位于第一象限，22AB AC ==，，直角顶点A 在直线y x =上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若函数(0)ky k x=≠的图象与ABC 有交点，则k 的最大值是（）A ．5B ．4C ．3D ．24．如图，点()11,A x y ，()22,B x y 分别是反比例函数11k y x=与22ky x =在第一象限图象上的动点．①21k k >②当12y y =时，21x x >；③OAB 的面积可能是212k k -；④OA OB +的最．以上结论中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知反比例函数5y x=，若5x，则函数y 有（）A ．最大值1B ．最小值1C ．最大值0D ．最小值06．如图，点A （a ，1），B （b ，3）都在双曲线3y x=-上，点P ，Q 分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值为（）A ．42B ．62C ．2102+D ．827．已知反比例函数(0),ky k x=≠当21x -≤≤-时，y 的最大值是3,则当6x ≥时，y 有（）A ．最大值12-B ．最大值1-C ．最小值12-D ．最小值1-8．如图所示，已知A （1，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y 2=x图象上的两点，动点P（x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大值时，点P 的坐标是（）A ．（3，0）B ．（72，0）C ．（53，0）D ．（52，0）9．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx 与双曲线y ＝4x的图象交于A ，B 两点，点P 在x 轴的正半轴上，若PA ⊥PB ，则OP 的最小值是（）A ．4B ．2C ．D ．10．如图，(0,1)A ，(1,5)B 曲线BC 是双曲线(0)ky k x=≠的一部分．曲线AB 与BC 组成图形G ．由点C 开始不断重复图形G 形成一条“波浪线"．若点()2025,P m ，(,)Q x n 在该“波浪线上，则m 的值及n 的最大值为（）A ．1m =，1n =B ．5m =，1n =C ．1m =，5n =D ．1m =，4n =二、填空题11．如图，一次函数6y x =与反比例函数(0)ky k x=>的图象交于点A ，B 两点，点C 在x 轴上运动，连接AC ，点Q 为AC 中点，若点C 运动过程中，OQ 的最小值为2，则k =_______________．12．如图，已知点(1)(31)A m m B m m ++-，，，都在反比例函数1(0)k y x x=>的图象上．将线段AB 沿直线2y k x b =+进行对折得到线段11A B ，且点1A 始终在直线OA 上．当线段11A B 与x 轴有交点时，b 的取值的最大值是____．13．设函数1ky x =，2(0)k y k x-=>，当23x ≤≤时，函数1y 的最大值为a ，函数2y 的最小值为4a -，则=a _____．14．如图，矩形OABC 的面积为4，反比例函数ky x=的图象与矩形的两边AB 、BC 分别交于点E 、F ，则四边形OAEF 的面积最大值为_________．15．观察理解：当a ＞0，b ＞0时，20≥，∴0a b -≥，由此可得结论：a b +≥．即对于正数a ，b ，当且仅当a =b 时，代数式a b +取得最小值问题解决：如图，已知点P 是反比例函数4y x=（x ＞0）图象上一动点，A （1-，1），则△POA 的面积的最小值为________．16．如图，在平面直角线坐标系中，点A ，B 在反比例函数5y x=的图象上运动，且始终保持线段AB =M 为线段AB 的中点，连接OM ，则线段OM 的长度最小值是___________．17．已知直线()0y ax a =>与双曲线2y x=相交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212x x x +的最大值是__________．18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k y x x=>的图象与边长是3的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于D ，E 两点，ODE 的面积为52，若动点P 在y 轴上，则PD PE +的最小值是______．三、解答题19．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形ABFED 木板，它是矩形ABCD 木板用去CEF △后的余料，4=AD ，5AB =，1DE =，F 是BC 边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD 上．(1)[初步探究]当2BF =时．①若截取的矩形有一边是DE ，则截取的矩形面积的最大值是______；②若截取的矩形有一边是BF ，则截取的矩形面积的最大值是______；(2)[问题解决]如图2，陈师傅还有另一块余料，90BAF AFE ∠=∠=︒，1AB EF ==，3CD =，8AF =，CD AF ∥，且CD 和AF 之间的距离为4，若以AF 所在直线为x 轴，AF 中点为原点构建直角坐标系，则曲线DE 是反比例函数ky x=图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNGH 材料，其中一条边在AF 上，所截矩形MNGH 材料面积是736．求GN 的长．20．如图，一次函数y mx n =+()0m ≠的图象与反比例函数ky x=()0k ≠的图象交于第二、四象限内的点(),3A a 和点()6,B b ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC 的面积为3(1)分别求出一次函数y mx n =+()0m ≠与反比例函数ky x=()0k ≠的表达式；(2)结合图象直接写出kmx n x>＋的解集；(3)在x 轴正半轴上取点P ，使PA PB -取得最大值时，求出点P 的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()()0420A B -，、，，交反比例函数y mx=()0x ＞的图象于点()3C a ，，点P 在反比例函数的图象上，横坐标为()03n n PQ y ＜＜，轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD QD 、．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求DPQ 面积的最大值．22．阅读与思考(1)填空：已知0x >，只有当x =______时，4x x+有最小值，最小值为______．(2)如图，P 为双曲线()60y x x=>上的一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ，求PC PD +的最小值．23．某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q (件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（10x ≤）成反比例，且可以得到如下信息：售价x （元/件）58商品的销售量Q （件）580400(1)求Q 与x 的函数关系式．(2)若生产出的商品正好销完，求售价x ．(3)求售价x 为多少时，月销售额最大，最大值是多少？24．如图1，矩形OABC 的顶点A 、C 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，点()4,3B ，反比例函数(0)k y x x=>的图象与AB 、BC 分别交于D 、E 两点，1BD =，点P 是线段OA 上一动点．(1)求反比例函数关系式和点E 的坐标；(2)如图2，连接PE 、PD ，求PD PE +的最小值；(3)如图3，当45PDO ∠=︒时，求线段OP 的长．参考答案1．D【分析】先利用反比例函数的增减性分别用含k 的代数式表示y 1的最大值，y 2的最小值，再解方程组即可.解： 函数y 1＝kx（k ＞0），当﹣3≤x ≤﹣2时，y 1的最大值为a ，∴当3x =-时，1y 最大，此时,3ka =- y 2＝﹣kx（k ＞0），y 2的最小值为a +2，∴当3x =-时，2y 最小，此时2,3k a +=2,33k k∴-+=解得：3,k =31,3a ∴=-=-故选D【点拨】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键.2．B【分析】作点M 关于x 轴的对称点M '，连接M N '，与x 轴的交点为P ，此时PM ＋PN 的值最小，根据正方形的边长为8，表示出M ，N 点坐标，再根据△OM N 的面积即可求出k 的值，进一步求出M ，N ，M '的坐标，即可求出PM ＋PN 的最小值M N '的值．解：如图，作NE ⊥x 轴交OM 于点F ，作点M 关于x 轴的对称点M '，连接M N '，与x 轴的交点为P ，此时PM ＋PN 的值最小，∵正方形OABC 的边长为8，且M ，N 在反比例函数图象上，∴8,8k M ⎛⎫⎪⎝⎭，,88k N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵12OEN OAM S k S ==△△，∴OFN AEFM S S =△四边形，∴OMN OFN FMN FMN AEFM S S S S S =+=+△△△△四边形∴1887.5288OMN AENM k k S S ⎛⎫⎛⎫==⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△梯形，解得：56k =，∴()8,7M ，()7,8N ，∴()8,7M '-，∴()()227887226M N '=-++=，即PM ＋PN 226．故选：B ．【点拨】本题考查了反比例函数与正方形的综合，根据正方形的性质以及反比例函数图象上点的特征求出点M 和N 的坐标是解决本题的关键．3．B【分析】设直线y =x 与BC 交于E 点，分别过A ，E 两点作x 轴的垂线，垂足为D ，F ，EF 交AB 于M ，求出A ，E 点坐标，即可求出k 的取值范围，进一步可知k 的最大值．解：如图，设直线y =x 与BC 交于E 点，分别过A .E 两点作x 轴的垂线，垂足为D ，F ，EF 交AB 于M ，∵A 点的横坐标为1，A 点在直线y =x 上，∴A (1,1)，又∵AB =AC =2，AB x 轴，AC y 轴，∴B (3,1)，C (1,3)，且ABC 为等腰直角三角形，BC 的中点坐标为3113(,)22++，即为(2,2)，∵点(2,2)满足直线y =x ，∴点(2,2)即为E 点坐标，E 点坐标为(2,2)，∴k =OD ×AD =1，或k =OF ×EF =4，当双曲线与△ABC 有交点时，1⩽k ⩽4，即k 的最大值为：4故选：B【点拨】本题考查一次函数与双曲线函数的综合，等腰直角三角形性质，中点坐标表示方法，解题的关键是求出E 点坐标为(2,2)，利用点A ，E 坐标求出k 的取值范围．4．A【分析】由图象可直接判断①；当y 1＝y 2时，作出图形，可直接判断②；在②的基础上可得出△OAB 的面积，进而可判断③；当OA ＋AB 最小时，需要OA 最小且OB 最小时取得，只需要分别求出OA 和OB 的最小值即可判断④．解：当x 1＝x 2＝1时，y 1＝k 1，y 2＝k 2，显然y 2＞y 1，则k 2＞k 1.故①正确；当y 1＝y 2时，x 2＝22k y ，x 1＝11k y ，由k 2＞k 1可得x 2＞x 1.故②正确；当y 1＝y 2时，如图所示，此时△OAB 的面积可能是212k k -，故③正确；当OA ＋AB 最小时，需要OA 最小且OB 最小时取得，设点A 的坐标为（m ，n ），∴OA 2＝m 2＋n 2≥2mn ＝2k 1，当且仅当m ＝n 时，OA 12k 同理可得OB 22k∴OA＋OB，故④正确．综上可得，正确的有：①②③④，共4个，故选：A．【点拨】本题主要考查反比例函数中k的几何意义，关键是知道当OA＋AB最小时，需要OA最小且OB最小时取得．5．A【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的性质解答即可．解：∵k=5＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x=5时，y=1，∴当x＞5时，y＜1；∴函数y有最大值1故选：A．【点拨】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．6．B【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，根据对称的性质得到C点坐标为（1，3），D点坐标为（-3，-1），CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形ABPQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．解：∵点A（a，1），B（b，3）都在双曲线y=-3x上，∴a×1=3b=-3，∴a=-3，b=-1，∴A（-3，1），B（-1，3），作A点关于x轴的对称点D（-3，-1），B点关于y轴的对称点C（1，3），连接CD，分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形ABPQ的周长最小，∵QB=QC，PA=PD，∴四边形ABPQ 周长=AB+BQ+PQ+PA=AB+CD ，∴CD ==，∴四边形ABPQ 周长最小值为，故选：B ．【点拨】此题考查反比例函数的综合题，勾股定理，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．7．C【分析】由函数经过第二象限，可确定k ＜0，则在21x --上，y 值随x 值的增大而增大，即可确定函数的解析式为3y x=-，由此可求解．解：∵当21x --时，y 的最大值是3，∴反比例函数经过第二象限，∴k ＜0，∴在21x --上，y 值随x 值的增大而增大，∴当x =—1时，y 有最大值—k ，∵y 的最大值是3，∴—k =3，∴k =—3，∴3y x=-，当6x 时，3y x=-有最小值12-，故选：C ．【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k ＜0是解题的关键．8．A思路引领：求出A 、B 的坐标，设直线AB 的解析式是y ＝kx +b ，把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP ﹣BP |＜AB ，延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB ＝AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可．解：∵把A （1，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y 2x=得：y 1＝2，y 2＝1，∴A （1，2），B （2，1），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP ﹣BP |＜AB ，∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB ＝AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y ＝kx +b ，把A 、B 的坐标代入得：221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k ＝﹣1，b ＝3，∴直线AB 的解析式是y ＝﹣x +3，当y ＝0时，x ＝3，即P （3，0）．故选：A ．9．D【分析】由图象的对称性可得OA OB =，从而可得OP OA =，设点A 坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而求解．解：如图，直线y kx =与双曲线4y x=的图象关于原点成中心对称，OA OB ∴=，即点O 为AB 中点，PA PB ⊥ ，∴在Rt APB ∆中，12OP AB OA ==，设点A 坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OP OA ===∴当4m m=，即2m =时，OP 取最小值为故选：D ．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握函数与方程的关系，掌握直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半．10．C【分析】根据题意利用点B 的坐标可以求k 的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m 的值和n 的最大值．解：∵点(1,5)B 在双曲线(0)k y k x=≠的图象上，∴5k =，∵(0,1)A ，曲线AB 与BC 组成图形G ．由点C 开始不断重复图形G 形成一线“波浪线”．∴C 的纵坐标为1，∵点C 在5(0)y k x =≠的图象上，点C 的纵坐标为1，∴点C 的横坐标是5，∴点C 的坐标为()5,1，∵20255405÷=，∴()2025,P m 中1m =，∵(,)Q x n 在该“波浪线”上，∴结合图象，可知n 的最大值是5．综上所述，1m =，5n =．故选：C ．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．83【分析】如图（见分析），先根据一次函数与反比例函数的性质可得点O 是AB 的中点，再根据三角形中位线定理可得12OQ BC =，从而可得BC 的最小值为4，然后根据垂线段最短可得当BC x ⊥轴时，BC 取得最小值，从而可得此时点B 的纵坐标为4-，最后代入一次函数的解析式可得点B 的坐标，将其代入反比例函数的解析式即可得．解：如图，连接BC ，由题意得：点O 是AB 的中点，点Q 为AC 的中点，OQ ∴是ABC 的中位线，12OQ BC ∴=， 点C 运动过程中，OQ 的最小值为2，∴点C 运动过程中，BC 的最小值为4，由垂线段最短得：当BC x ⊥轴时，BC 取得最小值，∴此时点B 的纵坐标为4-，将4y =-代入一次函数6y x =得：64x =-，解得23x =-，即2(,4)3B --，将2(,4)3B --代入反比例函数k y x=得：()28433k =-⨯-=，故答案为：83．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．12．7916【分析】由题可得m （m +1）=（m +3）（m -1），解这个方程求出m 的值，由于点A 关于直线y =kx +b 的对称点点A 1始终在直线OA 上，因此直线y =kx +b 必与直线OA 垂直，只需考虑两个临界位置（A 1在x 轴上、B 1在x 轴上）对应的b 的值，就可以求出b 的取值范围，再确定b 的最大值．解：∵点A （m ，m +1），B （m +3，m -1）都在反比例函数y=k x的图象上．∴m（m+1）=（m+3）（m-1）．解得：m=3．①当点B1落到x轴上时，如图1，设直线OA的解析式为y=ax，∵点A的坐标为（3，4），∴3a=4，即a=4 3．∴直线OA的解析式为y=43x．∵点A1始终在直线OA上，∴直线y=kx+b与直线OA垂直．∴43k=-1．∴k=3 4-．∴直线y=34-x+b，由于BB1∥OA，可设直线BB1解析式为y=43x+c．∵点B的坐标为（6，2），∴43×6+c=2，即c=-6．∴直线BB1解析式为y=43x-6．当y=0时，43x-6=0．则有x=92．∴点B1的坐标为（92，0）．∵点C是BB1的中点，∴点C的坐标为（96+22，2+02）即（214，1）．∵点C 在直线y =-34x +b 上，∴34-×214+b =1．解得：b =7916．②当点A 1落到x 轴上时，如图2，此时，点A 1与点O 重合．∵点D 是AA 1的中点，A （3，4），A 1（0，0），∴D （32，2）．∵点D 在直线y =34-x +b 上，∴34-×32+b =2．解得：b =258．综上所述：当线段A 1B 1与x 轴有交点时，则b 的取值范围为258≤b ≤7916．b 的取值的最大值是7916，故答案为：7916．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,中点坐标公式待定系数法求一次函数解析式，等知识，利用线段A 1B 1与x 轴有交点时，分类讨论A 1、B 1在x 轴上的思想方法，是一道好题．13．2【分析】首先根据k 与x 的取值分析函数1k y x=，()20k y k x =->的增减性，根据增减性确定最值，进而求解．解：∵k ＞0，2≤x ≤3，∴y 1随x 的增大而减小，y 2随x 的增大而增大，∴当x ＝2时，y 1取最大值，最大值为2k =a ①；当x ＝2时，y 2取最小值，最小值为−2k ＝a −4②；由①②得a ＝2，k ＝4，故答案为：2．【点拨】本题考查了反比例函数的性质，关键是能根据反比例函数的增减性确定最值．14．52【分析】设B （a ，b ），则ab =4，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得E 点，F 点的坐标，进而可得关于BE ，BF 长度的代数式，根据三角形的面积公式，以及反比例函数系数k 的几何意义，得到关于四边形OAEF 的面积的代数式，利用二次函数的最值求解即可．解：设B （a ，b ），则ab =4，E （k b ，b ），F （a ，k a），则四边形OAEF 的面积为：OCF BEFABOC S S S --△△矩形11=422k k k a b b a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()215282k =--+，故当k =2时，四边形OAEF 的面积最大，最大面积为：52．故答案为：52．【点拨】本题考查反比例函数，以及反比例函数的系数k 的几何意义，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．15．2【分析】将△POA 的面积表示出来，再结合材料所给的信息，即可求解．解：过点P 作y 轴的垂线，与过点A 作的x 轴的垂线交于点B ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点D ，如图，∵点P 是反比例函数4y x=（x ＞0）图象上一动点，设点4()P a a，，其中a >0，∵A （1-，1），∴44111BP a AB BC PD AC CO OD a a a=+=-=====，，，，，∴POA ABP ACO DOPBCDP S S S S S =---△△△△矩形111222BP BC AB BP AC CO OD PD =⋅-⋅-⋅-⋅414114(1)(1)(1)11222a a a a a a=+⋅--+-⨯⨯-⋅22a a =+，∵a >0，∴2002a a >>，，∴222a a +≥=，∴对于正数22a a ，，当且仅当22a a =时，代数式22a a +取得最小值为2．∴△POA 的面积的最小值为2．故答案为：2．【点拨】本题考查了反比例函数与三角形面积的综合应用，解题的关键是读懂材料．16．【分析】如图，当OM AB ⊥时，线段OM 长度的最小．首先证明点A 与点B 关于直线y x =对称，因为点A ，B 在反比例函数5y x =的图象上，AB =，所以可以假设5,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则54,4B m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则()5445m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得254m m =+，推出()1,5A ，()5,1B ，可得()3,3M ，求出OM 即可解决问题．解：如图，因为反比例函数关于直线y x =对称，观察图象可知：当线段AB 与直线y x =垂直时，垂足为M ，此时AM BM =，OM 的值最小，∵M 为线段AB 的中点，∴OA OB =，∵点A ，B 在反比例函数5y x=的图象上，∴点A 与点B 关于直线y x =对称，∵AB =，∴设5,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则54,4B m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴()5445m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得254m m =+，解得：1m =（负值舍去），∴()1,5A ，()5,1B ，∴()3,3M ，∴OM =，∴线段OM 的最小值为故答案为：【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断OM 取得最小值时A ，B 两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键．17．1【分析】由题意易得12x x =-，则有()221211112211x x x x x x +=-+=--+，然后问题可求解．解：由直线y ax =与双曲线b y x=相交于点()()1122,,,P x y Q x y 可得：12x x =-，∴()221211112211x x x x x x +=-+=--+，∵()2110x --≤∴当11x =时，()2111x --+有最大值，最大值为1；故答案为1．【点拨】本题主要考查反比例函数及配方法求最值，熟练掌握反比例函数及完全平方公式进行变形是解题的关键．18【分析】由正方形OABC 的边长是3，得到点D 的横坐标和点E 的纵坐标为6，求得33k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角形的面积列方程得到()32D ，，()23E ，，作E 关于y 轴的对称点E '，连接E D '交y 轴于P ，则E D '的长PD PE =+的最小值，根据勾股定理即可得到结论．解：∵正方形OABC 的边长是3，∴点D 的横坐标和点E 的纵坐标为3，∴33k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴33k BE =-，33k BD =-，∵ODE 的面积为52，∴21115333332323232k k k ⎛⎫⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，∴6k =或6-（舍去），∴()32D ，，()23E ，，作E 关于y 轴的对称点E '，连接E D '交y 轴于P ，则E D '的长PD PE =+的最小值，∵2CE CE '==，∴5BE '=，1BD =，∴DE ='．【点拨】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，轴对称-最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．19．(1)①4；②10；(2)72【分析】（1）①当DE 为矩形一条边，AD 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；②当BF 为矩形一条边，AB 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；（2）由题意可知()4,0A -，()4,0F ，()4,1B -，()4,1E ，再由E 点在函数k y x=图象上，求出反比例函数的解析式为4y x=，再求点()1,4D ，()2,4C -，用待定系数法求出直线BC 的解析式，设4,G t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则214,33H t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由方程421473336S t t ⎛⎫=-+⋅= ⎪⎝⎭，求出t 的值即可求GN 的长．（1）解：①当DE 为矩形一条边，AD 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，4AD = ，1DE =，414S ∴=⨯=，∴截取的矩形面积的最大值4；故答案为：4；②当BF 为矩形一条边，AB 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，5AB = ，2BF =，5210S ∴=⨯=，∴截取的矩形面积的最大值10；故答案为：10；（2）解：8AF = ，()4,0A ∴-，()4,0F ，1AB EF == ，()4,1B ∴-，()4,1E ，E 点在函数k y x=图象上，4k ∴=，∴反比例函数的解析式为4y x =，CD 和AF 之间的距离为4，CD AF ∥，()14D ∴,，3CD = ，()2,4C ∴-，设直线BC 的解析式为y k x b '=+，4124k b k b ''-+=⎧∴⎨-+=⎩，解得327k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩'，372y x ∴=+，设4,G t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则214,33H t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，421473336S t t t ⎛⎫∴=-+⋅= ⎪⎝⎭，解得72t =，GN ∴的长为72．【点拨】本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．20．(1)反比例函数的表达式为6y x =-，一次函数表达式为122y x =-+；(2)2x <－或06x <<；(3)()10,0P 【分析】（1）由AOC 的面积为3，可求出a 的值，确定反比例函数的关系式，把点B 坐标代入可求b 的值．（2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x 的取值范围即可．（3）作对称点B 关于x 的对称点B '，直线AB '与x 轴交点就是所求的点P ，求出直线与x 轴的交点坐标即可．（1）解：根据题意，3AC =，3AOC S = ，∴2OC =，结合图形，可得()2,3A -，将()2,3A -代入k y x=得6k =-，∴反比例函数的表达式为6y x=-．把()6,B b 代入反比例函数得1b =-，∴()6,1B -，将()2,3A -和()6,1B -代入y kx m =+解得：2m =，12k =-，∴一次函数表达式为122y x =-+．（2）由图象可以看出的k mx n x+>解集为<2x -或06x <<．（3）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B '，连接AB '与x 轴交于P ，此时PA PB -最大．()6,1B -，∴()6,1B '，设直线AP 的关系式为y k x b ''=+，将()2,3A -，()6,1B '代入，解得14k '=-，52b '=，∴直线AP 的关系式为1542y x =-+，当0y =时，解得10x =，∴()10,0P ．【点拨】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键．21．(1)24y x =-；6y x=；(2)4【分析】（1）利用点()0,4A -、()2,0B 求解一次函数的解析式，再求C 的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则(),24,Q n n -再表示PQ 的长度，列出三角形面积与n 的函数关系式，利用函数的性质可得答案．（1）解：把()()0420A B -，、，代入一次函数y kx b =+得：420b k b -⎧⎨+⎩＝＝，解得：24k b ⎧⎨-⎩＝＝，∴一次函数的关系式为24y x =-，∴把()3C a ，代入得2a =，∴将()32C ，代入k y x=得326k =⨯=，∴6y x =；（2）∵点P 在反比例函数的图象上，点Q 在一次函数的图象上03n ，＜＜，∴点6,P n n ⎫⎛ ⎪⎝⎭，点Q (),24n n -，∴()624PQ n n=--，∴()()22162423142PDQ S n n n n n n =--ù=-++=-ú-éê犏臌+△，∵10＜-，∴当1n =时，4PDQ S = 最大，所以，DPQ V 面积的最大值是4．【点拨】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．22．(1)2,4；(2)【分析】（1）利用阅读材料的结论、并仿照阅读材料的例题解答即可；（2）设P 的坐标为6,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0x >，可得6,PD x PC x ==，然后根据阅读材料的结论解答即可．（1）解：令a x =，4b x =，由a b +≥44x x +≥=，∴44x x+≥，故当2m =时，4x x +有最小值4．故答案为2,4．（2）解：设P 的坐标为6,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0x >∴6,PD x PC x==∴6PC PD x x +=+≥=∴PC PD +的最小值为【点拨】本题主要考查了反比例函数的性质、完全平方公式的应用等知识点，读懂材料、理解a b +≥23．(1)2400100Q x=+；(2)4.8/元件；(3)当10x =时，月销售额最大，最大值为3400元【分析】（1）设k Q m x =+()m 为基本销售量，将()5580，、()8400，代入求解可得；（2）求出600Q =时x 的值即可得；（3）根据月销售额·1002400Q x x ==+且10x ≤可得．解：（1）设()k Q m m x=+为基本销售量，依题意，得58054008k m k m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1002400m k =⎧⎨=⎩∴()240010010Q x x=+≤（2）当600Q =时2400100600x+=解得 4.8x =（3）依题意，得月销售额·1002400Q x x ==+∵1000>∴Q 随x 的增大而增大则当10x =时，月销售额最大，最大值为3400元【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．24．(1)8y x =，8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)3；(3)103【分析】（1）根据题意求出点D 的坐标，进而求出反比例函数关系式，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点E 的坐标；（2）根据轴对称-最短路径确定点P 的位置，根据勾股定理计算，得到答案；（3）过点P 作PF OD ⊥于F ，根据勾股定理求出OD ，设PA m =，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：（1） 点B 的坐标为()4,3，1BD =，∴点D 的坐标为()4,2，反比例函数k y x=的图象经过点D ，428k ∴=⨯=∴反比例函数的解析式为：8y x =，由题意得：当E 的纵坐标为3，∴点E 的横坐标为83，∴点E 的坐标为8，33⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）如图2，作点D 关于x 轴的对称点D ¢，连接ED '，交OA 于点P '，连接P D '，则P D P E ''+的值最小，由（1）可知，84433BE =-=由勾股定理得：3D E '==，PD PE ∴+的最小值为3；（3）如图3，过点P 作PF OD ⊥于F ，则PFD 为等腰直角三角形，2∴==PF DF4= OA ，2OD =，==OD设PA m =，则4,=-=OP m PD2∴==PF DF ，2∴=OF ，在Rt OPF 中，222=+OP PF OF ，即222(4))-=+m 整理得：2316120m m +-=解得122，63m m ==-（舍去）210433OP ∴=-=【点拨】本题考查的是矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短路径以及勾股定理的应用，作出PD PE +的最小时，点P 的位置是解题的关键．。

反比例函数（基础）【学习目标】1. 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例即xy k =，或表示为kyx =，其中k 是不等于零的常数是不等于零的常数.. 一般地，一般地，形如形如ky x=(k 为常数，0k ¹)的函数称为反比例函数，的函数称为反比例函数，其中其中x 是自变量，y 是函数，定义域是不等于零的一切实数是函数，定义域是不等于零的一切实数. .要点诠释：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ¹.故函数图象与x 轴、y 轴无交点；轴无交点；（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件这一条件. .（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式，从而得到反比例函数的解析式. .要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出即可求出k 的值，从而确定其解析式从而确定其解析式. .用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为：k y x=(0k ¹)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数k 的值；的值； （4）把求得的k 值代回所设的函数关系式ky x= 中. 要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴标轴. .要点诠释：（1）若点）若点((a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点的图象上，则点((a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(k 为常数，0k ¹) ) 中，由于中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．轴．2、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，时，双曲线的两个分支分别位于第二、双曲线的两个分支分别位于第二、双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，四象限，四象限，在每个象限内，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；的符号决定的；反过来，反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号的符号. . 要点四、反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线x ky =(0k ¹) ) 上任意一点作上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线xk y =(0k ¹) ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. . 【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、在下列函数关系式中，哪些函数表示y 是x 的反比例函数？的反比例函数？（1）5xy =； （（2）3y x =； （（3）23y x =； （（4）12xy =； （（5）21y x =-； （6）2y x=-； （（7）12y x -=； （（8）5a y x -=（5a ¹，a 是常数）是常数）【答案与解析】 解：根据反比例函数(0)k y k x=¹的形式及其关系式xy k =，1y kx -=，可知反比例函数有：有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)(2)(3)(4)(6)(7)(8)(2)(3)(4)(6)(7)(8)．．【总结升华】根据反比例函数的概念，必须是形如k y x=(k 为常数，0k ¹)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意ky x=(k 为常数，0k ¹)常见的变化形式，如xy k =，1y kx -=等，所以(4)(7)(4)(7)也是反比例函数．在也是反比例函数．在也是反比例函数．在(5)(5)(5)中，中，y 是()1x -的反比例函数，而不是x 的反比例函数．例函数．(1)(1)(1)中中y 是x 的正比例函数．的正比例函数．类型二、确定反比例函数的解析式2、已知正比例函数y kx =和反比例函数3y x=的图象都过点A(m ，1) 1) ．求此正比．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．例函数的关系式及另一个交点的坐标． 【答案与解析】解：解： 因为3y x=的图象经过点A(m ，1)1)，则，则31m =，所以m ＝3．把A(3A(3，，1)1)代入代入y kx =中，得13k =，所以13k =． 所以正比例函数关系式为13y x =． 由1,33,y x y x ì=ïíï=ïî得得3x =±． 当3x =时，1y =；当3x =-时，1y =-．所以另一个交点的坐标为．所以另一个交点的坐标为((－3，－，－1)1)1)．． 【总结升华】确定解析式的方法是特定系数法，由于正比例函数y kx =中有一个待定系数，因此只需一对对应值即可．因此只需一对对应值即可．举一反三：【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？值为多少？ 【答案】 解：设ky x =，当6x =-时，4y =， 所以46k=-，则k ＝－＝－242424，，所以有24y x-=．当2x =时，24122y -==-． 类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点为常数）的图象上有三点((11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，且1230x x x <<<，则123y y ，y ，的大小关系是（的大小关系是（ ））． A ．231y y y << B B．．321y y y << C C．．123y y y << D D．．312y y y << 【答案】D ； 【解析】解：当0k <时，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．此题中需要注意的是大．此题中需要注意的是((11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)不在同一象限内．因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．【总结升华】已知反比例函数ky x=，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2y x =，当x ＝－＝－11时，y ＝－＝－22，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－，自变量由－11到1，函数值y 由－由－22到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小．的增大而减小．举一反三：【变式】已知2(3)m y m x-=-的图象在第二、四象限，的图象在第二、四象限，(1)(1)求求m 的值．的值．(2)(2)若点若点若点((－2，1y )、(－1，2y )、(1(1，，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：解：(1)(1)(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-ìí-¹î，∴，∴ 1m =.(2)(2)由由(1)(1)得此函数解析式为：得此函数解析式为：2y x=-． ∵ ( (－－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－在第二象限，－22＜－＜－11，∴，∴ 120y y <<． 而(1(1，，3y )在第四象限，30y <． ∴ 312y y y << 类型四、反比例函数综合4、已知点A(0A(0，，2)2)和点和点B(0B(0，－，－，－2)2)2)，点，点P 在函数1y x=-的图象上，如果△的图象上，如果△PAB PAB 的面积是6，求P 点的坐标．点的坐标． 【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P 的坐标为00(,)x y ，过P 作PC PC⊥⊥y 轴于点C．∵ A(0 A(0，，2)2)、、B(0B(0，－，－，－2)2)2)，， ∴ AB AB＝＝4． 又∵又∵ 0||PC x =且6PABS=△，∴01||462x =，∴，∴ 0||3x =，∴，∴ 03x =±． 又∵又∵ 00(,)P x y 在曲线1y x =-上，∴ 当当03x =时，013y =-；当03x =-时，013y =．∴ P 的坐标为113,3P æö-ç÷èø或13,3æö-ç÷èø．【总结升华】通过三角形面积建立关于0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：作AC AC⊥⊥y 轴于C ，连BC BC，则△】解：由双曲线与正比例函数y 1322AOCABCSS ==△△．A 点坐标为点坐标为((A x ，A y )，而于是1113||||2222AOCA A AASAC OC x y xy ===-=△，3A y =-，kx =得A A x y k =，所以所以反比例函数解析式为3y -=．。

反比例函数全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0k y k x=≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0k y k x =≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、反比例函数的概念一般地，形如k y x =(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：在k yx =中，自变量x 的取值范围是，k y x =()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数k y x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数()0k y k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x k y 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x k y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③x k y x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=，当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数k y x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置0k >，一、三象限；0k >，一、三象限0k <，二、四象限0k <，二、四象限增减性0k >，y 随x 的增大而增大0k <，y 随x 的增大而减小0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大（4）反比例函数y＝中k 的意义①过双曲线xk y =(k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .②过双曲线xk y =(k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为k .要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式1、（2020•上城区一模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x ＞0，k ＞0）的图象经过点A （m ，n ），B （2，1），且n ＞1，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，求点A 的坐标．【思路点拨】根据图象和△ABC 的面积求出n 的值，根据B （2，1），求出反比例函数的解析式，把n 代入解析式求出m 即可．【答案与解析】解：∵B （2，1），∴BC=2，∵△ABC 的面积为2，∴×2×（n ﹣1）=2，解得：n=3，∵B （2，1），∴k=2，反比例函数解析式为：y=，∴n=3时，m=，∴点A 的坐标为（，3）．【总结升华】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，用待定系数法求出k 、根据三角形的面积求出n 的值是解题的关键，解答时，注意数形结合思想的准确运用．举一反三：【变式】已知反比例函数k y x=与一次函数y ax b =+的图象都经过点P(2，－1)，且当1x =时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式.【答案】因为双曲线k y x=经过点P(2，－1)，所以2(1)2k xy ==⨯-=-．所以反比例函数的关系式为2y x-=，所以当1x =时，2y =-．当1x =时，由题意知2y ax b =+=，所以直线y ax b =+经过点(2，－1)和(1，2)，所以有21,2,a b a b +=-⎧⎨+=⎩解得3,5.a b =-⎧⎨=⎩所以一次函数解析式为35y x =-+．类型二、反比例函数的图象及性质2、已知反比例函数k y x =(k ＜0)的图象上有两点A(11x y ，)，B(22x y ，)，且12x x <，则12y y -的值是()．A．正数B．负数C．非负数D．不能确定【思路点拨】一定要确定了A 点和B 点所在的象限，才能够判定12y y -的值.【答案】D；【解析】分三种情形作图求解．(1)若120x x <<，如图①，有12y y <，12y y -＜0，即12y y -是负数；(2)若120x x <<，如图②，有12y y >，12y y -＞0，即12y y -是正数；(3)若120x x <<，如图③，有12y y <，12y y -＜0，即12y y -是负数．所以12y y -的值不确定，故选D 项．【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论.举一反三：【变式】已知0a b ⋅<，点P（a b ，）在反比例函数xa y =的图象上，则直线b ax y +=不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C；提示：由0a b ⋅<，点P（a b ，）在反比例函数xa y =的图象上，知反比例函数经过二、四象限，所以00ab <>，，直线b ax y +=经过一、二、四象限.3、（2020•淄博）反比例函数y=（a ＞0，a 为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M 在y=的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交y=的图象于点B ，当点M 在y=的图象上运动时，以下结论：①S △ODB =S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【思路点拨】①由反比例系数的几何意义可得答案；②由四边形OAMB 的面积=矩形OCMD 面积﹣（三角形ODB 面积+面积三角形OCA ），解答可知；③连接OM ，点A 是MC 的中点可得△OAM 和△OAC 的面积相等，根据△ODM 的面积=△OCM 的面积、△ODB 与△OCA 的面积相等解答可得．【答案】D ．【解析】解：①由于A 、B 在同一反比例函数y=图象上，则△ODB 与△OCA 的面积相等，都为×2=1，正确；②由于矩形OCMD 、三角形ODB 、三角形OCA 为定值，则四边形MAOB 的面积不会发生变化，正确；③连接OM ，点A 是MC 的中点，则△OAM 和△OAC 的面积相等，∵△ODM 的面积=△OCM 的面积=，△ODB 与△OCA 的面积相等，∴△OBM 与△OAM 的面积相等，∴△OBD 和△OBM 面积相等，∴点B 一定是MD 的中点．正确；故选：D ．【总结升华】本题考查了反比例函数y=（k ≠0）中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．4、反比例函数xm y =与一次函数)0(≠-=m m mx y 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【答案】C；【解析】一次函数()1y mx m m x =-=-是经过定点（1，0）,排除掉B、D 答案；选项A中m 的符号自相矛盾，选项C 符合要求.【总结升华】还可以按照m ＞0，m ＜0分别画出函数图象，看哪一个选项符合要求.举一反三：【变式】已知＞b a ,且,0,0,0≠+≠≠b a b a 则函数b ax y +=与xb a y +=在同一坐标系中的图象不可能是().【答案】B ；提示：因为从B 的图像上分析，对于直线来说是<0,0a b <，则0a b +<，对于反比例函数来说，0a b +>，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.类型三、反比例函数与一次函数综合5、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+(k ≠0)的图象与反比例函数m y x=(m ≠0)的图象相交于A、B两点．求：(1)根据图象写出A、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．【答案与解析】解：(1)由图象可知：点A 的坐标为(2，12)，点B 的坐标为(－1，－1)．∵反比例函数(0)m y m x =≠的图象经过点A(2，12)，∴m ＝1．∴反比例函数的解析式为：1y x=．∵一次函数y kx b =+的图象经过点A 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B(－1，－1)，∴12,21,k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩解得：1,21.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴一次函数的解析式为1122y x =-．(2)由图象可知：当x ＞2或－l＜x ＜0时一次函数值大于反比例函数值．【总结升华】一次函数值大于反比例函数值从图象上看就是一次函数的图象在反比例函数的图象上方的部分，这部分图象的横坐标的范围为所求.举一反三：【变式】如图所示，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数(0)m y x x=>的图象交于点P，PA⊥x 轴于点A，PB⊥y 轴于点B，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C、点D，且27DBP S =△，12OC CA =．(1)求点D 的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的表达式；(3)根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？【答案】解：(1)由一次函数3y kx =+可知：D(0，3)(2)设P(a ，b )，则OA＝a ，13OC a =，得1,03C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由点C 在直线3y kx =+上，得1303ka +=，ka ＝－9，DB＝3－b＝3－(ka ＋3)＝－ka ＝9，BP＝a ．由1192722DBP S DB BP a === △，∴a ＝6，∴32k =-，b ＝－6，m ＝－36．∴一次函数的表达式为332y x =-+，反比例函数的表达式为36y x=-．(3)根据图象可知：当x ＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．类型四、反比例函数的实际应用6、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y (℃)，从加热开始计算的时间为()min x ．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min 后温度达到60℃．(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？【思路点拨】（1）首先根据题意，材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；（2）把y ＝15代入300y x=中，进一步求解可得答案．【答案与解析】解：依题意知两函数图象的交点为(5，60)(1)设材料加热时，函数解析式为y kx b =+．有15956015b k k b b ==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩∴915y x =+(0≤x ≤5)．设进行制作时函数解析式为1k y x=．则1300k =，∴300y x =(x ≥5)．(2)依题意知300x ＝15，x ＝20．∴从开始加热到停止操作共经历了20min．【总结升华】把握住图象的关键点，根据反比例函数与一次函数的定义，用待定系数法求解析式，并利用解析式解决实际问题.。

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习反比例函数（提高）【学习目标】1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．【要点梳理】【反比例函数知识要点】要点一、反比例函数的定义一般地，形如kyx= (k为常数，0k≠)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：（1）在kyx=中，自变量x是分式kx的分母，当0x=时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y≠.故函数图象与x轴、y轴无交点.（2）kyx= ()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）kyx= ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数kyx=中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x y、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：kyx= (0k≠)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k的值；（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx=中.要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点(a b ，)在反比例函数k y x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.要点四：反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线xk y =(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x k y =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数定义【 反比例函数 例1】1、当k 为何值时22(1)k y k x -=-是反比例函数？【思路点拨】根据反比例函数解析式(0)k y k x=≠，也可以写成1(0)y kx k -=≠的形式，后一种表达方法中x 的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为221k -=-且10k -≠，二者必须同时满足，缺一不可．【答案与解析】解：令221,10,k k ⎧-=-⎨-≠⎩①②由①得，k ＝±1，由②得，k ≠1．综上，k ＝－1，即k ＝－1时，22(1)k y k x -=-是反比例函数．【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：①k y x =；②1y kx -=；③.(0)xy k k =≠． 类型二、确定反比例函数解析式【 反比例函数 例2】2、正比例函数y=2x 与双曲线的一个交点坐标为A （2，m ）．（1）求出点A 的坐标；（2）求反比例函数关系式．【答案与解析】解：（1）将A 点坐标是（2，m ）代入正比例y=2x 中，得：m=4，则A （2，4）；（2）将A （2，4）代入反比例解析式中，得：4=，即k=8，则反比例函数解析式y=．【总结升华】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．举一反三：【 反比例函数 例3】【变式】已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝7；当x ＝2时，y ＝8．(1) y 与x 之间的函数关系式；(2)自变量的取值范围；(3)当x ＝4时，y 的值．【答案】解：(1)∵ 1y 与x 成正比例，∴ 设111(0)y k x k =≠．∵ 2y 与x 成反比例，∴ 设222(0)k y k x=≠． ∴ 2121k y y y k x x =+=+． 把17x y =⎧⎨=⎩与28x y =⎧⎨=⎩分别代入上式，得12217,28.2k k k k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴ 123,4.k k =⎧⎨=⎩所以y 与x 的函数解析式为43y x x =+． (2)自变量的取值范围是x ≠0．(3)当x ＝4时，434134y =⨯+=． 类型三、反比例函数的图象和性质3、（2016•宁夏）正比例函数y 1=k 1x 的图象与反比例函数y 2=的图象相交于A ，B 两点，其中点B 的横坐标为﹣2，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣2或x ＞2B ．x ＜﹣2或0＜x ＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【思路点拨】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．【答案】B．【解析】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，∴点A的横坐标为2．观察函数图象，发现：当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集．举一反三：【变式】已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y随x的增大而减小的有（）个．A.4B. 3C. 2D. 1【答案】D；提示：解：y=﹣x+1中k=﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，正确；y=2x﹣1中k=2＞0，所以y随x的增大而增大，故本选项，错误；y=﹣是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误；y=是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误．故选D．类型四、反比例函数综合=+的图象交于M(2，m)，N(－1，－4)4、如图所示，反比例函数的图象与一次函数y ax b两点.(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的x的取值范围．【思路点拨】(1)由点N的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而求出点M的坐标．再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围．【答案与解析】解：(1)设反比例函数的关系式为k y x =． 由N(－1，－4)，得41k -=-， ∴ k ＝4． ∴ 反比例函数的关系式为4y x=． ∵ 点M(2，m )在双曲线4y x=上， ∴ 422m ==． ∴ 点M(2，2)．设一次函数的关系式为y ax b =+，由M(2，2)、N(－1，－4)，得22,4.a b a b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得2,2.a b =⎧⎨=-⎩ ∴ 一次函数的关系式为22y x =-．(2)由图象可知，当x ＜－1或0＜x ＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力． 举一反三：【变式】如图所示，已知正比例函数y ax =的图象与反比例函数k y x=的图象交于点A(3，2)．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）M(m n ，)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）将A(3，2)分别代入k y x =，y ax =中，得23k =，3a ＝2． ∴ k ＝6，23a =． ∴ 反比例函数的表达式为6y x =，正比例函数的表达式为23y x =． （2）观察图象，在第一象限内，当0＜x ＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．（3）BM ＝DM ．理由：∵ 1||32OMB OAC S S k ==⨯=△△，∴ 63312OMB OAC OBDC OADM S S S S =++=++=△△矩形四边形，即OC ·OB ＝12．∵ OC ＝3，∴ OB ＝4，即n ＝4．∴ 632m n ==．∴ 32MB =，33322MD =-=． ∴ MB ＝MD ．。

[初二数学]反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解人教版第七章、反比例函数 (1)一、反比例函数知识要点点拨 (1)二,、典型例题 (2)三、反比例函数中考考点突破 (8)四、达标训练 (10)(一)、基础.过关 (10)(二)、综合.应用 (11)五、分类解析及培优 (13)(一)、反比例函数k的意义 (13)(二)、反比例函数与三角形合 (14)(三)、反比例函数与相似三角形 (15)(四)、反比例函数与全等三角形 (15)(五)、反比函数图像上四种三角形的面积 (15)(六)、反比例函数与一次函数相交题 (19)1、联手演绎无交点 (20)2、联手演绎已知一个交点的坐标 (20)3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 (20)4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 (20)(七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 (21)(八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧 (23)六、拓展练习 (26)练习(一) (26)练习（二） (28)练习(三) (32)本章参考答案 (35)第七章、反比例函数反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。

由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。

一、反比例函数知识要点点拨1、反比例函数的图象和性质：图象性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠． ②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小．①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠．②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．2、反比例函数与正比例函数(0)y kx k =≠的异同点：函数 正比例函数反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x=≠ 图象 直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围全体实数0x ≠的一切实数图象的位置当0k>时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．性质当0k>时，y 随x 的增大而增大； 当0k<时，y 随x 的增大而减小．当0k >时，y 随x 的增大而减小； 当0k<时，y 随x 的增大而增大．二,、典型例题例 1 下面函数中，哪些是反比例函数？（1）3xy -=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.81=xy xyOxyO解：其中反比例函数有（2），（4），（5）． 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，xk y =)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，（4），（5）就是这两种形式．例 2在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）；(2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）；(3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）； (5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）；(6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）；(8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）；(10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）． 答：说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义． 例 3 已知反比例函数62)2(--=a x a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式．分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题．解 因为62)2(--=a x a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小， 所以⎩⎨⎧>--=-.02,162a a 解得⎩⎨⎧>±=.2,5a a 所以5=a ，解析式为xy 25-=．例4 （1）若函数22)1(--=m x m y 是反比例函数，则m 的值等于（ ）A ．±1B ．1C ．3D ．－1（2）如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数xy 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ．若ABC∆的面积为S ，则：A ．1=SB ．2=SC ．3=SD ．S 的值不确定解：（1）依题意，得⎩⎨⎧-=-≠-,12,012m m 解得1-=m ． 故应选D ．（2）由双曲线x y 1=关于O 点的中心对称性，可知：OBCOBAS S∆∆=．∴12122=⋅=⨯⨯==∆AB OB AB OB SS OBA．故应选A ．例5 已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，当1=x 时，4=y ；当3=x 时，5=y ，求1-=x 时，y 的值．分析 先求出y 与x 之间的关系式，再求1-=x 时，y 的值．解 因为1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，所以)0(,212211≠==k k xk y x k y．所以xk x k yy y 2121+=+=．将1=x ，4=y ；3=x ，5=y 代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.5313,42121k k k k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.821,81121k k所以xx y 821811+=． 所以当1-=x 时，4821811-=--=y ． 说明 不可草率地将21k k 、都写成k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了21k k 、的值．例 6 根据下列表格x 与y 的对应数值．x …… 1 2 3 45 6 …y … 6 3 2 1.5 1.2 1 …（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． 解：（1）图像如右图所示．（2）根据图像，设)0(≠=k xky ，取6,1==y x 代入，得16k =． ∴6=k ． ∴函数解析式为)0(6>=x xy ．说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性． 例 7（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数x y 3=在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）（2）一次函数12--=kkx y 与反比例函数xk y =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）解：1+-=x y 的图像经过第一、二、四象限，故排除B 、C ；又x y 3=的图像两支在第一、三象限，故排除D ．∴答案应选A ． （2）若0>k ，则直线)1(2+-=kkx y 经过第一、三、四象限，双曲线x k y =的图像两支在第一、三象限，而选择支A 、B 、C 、D 中没有一个相符；若0<k ，则直线)1(2+-=k kx y 经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C 正确．应选C ．例8， 已知函数24231-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m xm y 是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，求反比例函数的解析式．解：因为y 是x 的反比例函数，所以1242-=-m，所以21=m 或.21-=m 因为此函数图像在每一象限内，y 随x 的增大而减小 ，所以031>+m ，所以31->m ，所以21=m ，所以反比例函数的解析式为.65x y =说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数xk y = )0(≠k ，当0>k 时，y 随x 增大而减小，当0<k 时，y 随x 增大而增大．例 9 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米． （1）写出用高表示长的函数关系式；（2）写出自变量x 的取值范围；（3）当3=x 厘米时，求y 的值； （4）画出函数的图像．分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式． 解 （1）因为长方体的长为y 厘米，宽为5厘米，高为x 厘米， 所以1005=xy ，所以xy 20=． （2）因为x 是长方体的高．所以0>x ．即自变量x 的取值范围是0>x ．（3）当3=x 时，326320==y （厘米） （4）用描点法画函数图像，列表如下：x … 0.5 2 5 10 15 …y … 40 10 4 2 311 …描点画图如图所示．例 10 已知力F 所作用的功是15焦，则力F 与物体在力的方向通过的距离S 的图象大致是（ ）．说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系．解 据S F W ⋅=，得15=S F ⋅，即SF 15=，所以F 与S 之间是反比例函数关系，故选（B ）． 例11 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.32如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是Pa200，翻过来放，对桌面的压强是多少？解：由物理知识可知，压力F ，压强p 与受力面积S 之间的关系是.SF p =因为是同一物体，F 的数值不变，所以p 与S 成反比例．设下底面是0S ，则由上底面积是032S ，由SF p =，且0S S =时，200=p ，有.20020000S SpS F =⨯==因为是同一物体，所以0200S F =是定值．所以当032S S =时，).Pa (300322000===S S SFp 因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕．说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的．例12 如图，P 是反比例函数x k y =上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式．分析 求反比例函数的解析式，就是求k 的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．解 设P 点坐标为),(y x ．因为P 点在第二象限，所以0,0><y x ． 所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为y x ,-． 又2=-xy ，所以2-=xy ．因为xy k =，所以2-=k ． 所以这个反比例函数的解析式为xy 2-=．说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于xk y =中的k ． 例13. 当n 取什么值时，122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内，y 随x 增大而增大还是减小？分析 根据反比例函数的定义)0(≠=k xk y 可知，122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数，必须且只需022≠+n n且112-=-+n n ．解122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数，则⎪⎩⎪⎨⎧-=-+≠+,11,0222n n n n ∴⎩⎨⎧-==-≠≠.10,20n n n n 或且即 1-=n ．故当1-=n 时，122)2(-++=n nx n ny 表示反比例函数：xy 1-=．01<-=k ，∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．三、反比例函数中考考点突破1、（2010甘肃兰州）已知点（-1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数xk y 12--=的图像上. 下列结论中正确的是A ．321y y y >> B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ． 132y y y >>2、（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线xy 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x yx -的值为( )xy BA oA.-5B.-10C.5D.10 3、（2010四川眉山）如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为A ．12B ．9C ．6D ．4DB AyxO C4、（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(>=x x k y 的图像上。

人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．（三）重点难点1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．答案：（1）D．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

第十七章反比例函数1.形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

反比例函数)0(≠=kxkyK的取值k＞0 k＜0 图像图像位置两支分别位于第一、第三象限两支分别位于第二、第四象限增减性在每个象限内y值随x值的增大而减小在每个象限内y值随x值的增大而增大函数对称性以原点为对称中心的中心对称图形3.正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图像yxyx4.一次函数y=kx+b(k和b都为常数，且k≠0)的图像性质第十八章勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c22.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理(theorem)。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）第十九章四边形面积公式：1．S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. （a 为平行四边形的边，h 为a 边上的高） 3．S 梯形 =21（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线）其他1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n (n . 2．梯形中常见的辅助线：第二十章 数据的分析1.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

2.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。

3.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。

4.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

《反比例函数》讲义一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

例如，在路程 s 一定的情况下，速度 v 和时间 t 之间的关系为 v ＝s/t，当 s 为常数时，v 就是 t 的反比例函数。

需要注意的是，反比例函数中，x 作为分母不能等于 0，所以函数的定义域是x≠0 的一切实数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。

2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0），变形可得 y ＝ k/x。

3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0），这里的 x^（－1)表示 1/x。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2＞0，所以图象的两支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。

再比如，函数 y ＝－3/x，由于 k ＝－3＜0，图象的两支就在第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

为了更准确地画出反比例函数的图象，我们可以采用以下步骤：1、列表：选取一些 x 的值，计算出相应的 y 值，列出表格。

2、描点：根据表格中的数值，在平面直角坐标系中描出对应的点。

3、连线：用平滑的曲线将这些点连接起来。

四、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图象关于原点对称。

这意味着如果点（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（a，b）也在图象上。

它的图象还是关于直线 y ＝ x 和 y ＝ x 对称的。

2、增减性当 k＞0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

《反比例函数》讲义一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

需要注意的是，这里的x 不能为0，因为在分数中，分母不能为0。

例如，当速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系可以表示为 s ＝ vt。

如果路程一定，为常数 s₀，那么时间 t 与速度 v 的关系就可以表示为 t ＝ s₀/v，此时 t 是 v 的反比例函数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x （k 为常数，k≠0）这是最基本的形式，也是我们最常见的形式。

2、 xy ＝ k （k 为常数，k≠0）将 y ＝ k/x 两边同乘 x 就可以得到 xy ＝ k。

3、 y ＝ kx⁻¹（k 为常数，k≠0）因为 x⁻¹＝ 1/x，所以这种形式与 y ＝ k/x 是等价的。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2 ＞ 0，所以它的图象在第一、三象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会减小。

而函数 y ＝－3/x，因为 k ＝－3 ＜ 0，所以它的图象在第二、四象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会增大。

四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。

它的对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x。

其对称中心是坐标原点（0，0）。

2、渐近线当 x 趋向于正无穷大或负无穷大时，反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。

也就是说，x 轴和 y 轴是反比例函数图象的渐近线。

3、增减性在反比例函数 y ＝ k/x 中，当 k ＞ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

八年级数学下册《反比例函数》知识点总结.定义：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式xy=k2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x和y=-x。

对称中心是：原点3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

5.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

、反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成的形式。

自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质反比例函数k的符号k&gt;0k&lt;0图像性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k&gt;0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y随x的增大而减小。

①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k&lt;0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，y随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

反比例函数全章复习与巩固（基础）【学习目标】 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0k y k x=≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0k y k x =≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、反比例函数的概念一般地，形如k y x= (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 要点诠释：在k y x=中，自变量x 的取值范围是，k y x = ()可以写成()的形式，也可以写成的形式. 要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数k y x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数()0k y k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x k y 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线； ②)0(≠=k x k y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③xk y x k y -==和(k ≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=， 当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质 当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.。

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。