2020年辽宁省大连市金州区数学一模(含解析)

2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）﹣6的绝对值等于（）A．6B．C．﹣D．﹣62．（3分）如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000千米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（）A．1 496×105B．1 496×108C．1.496×105D．1.496×108 4．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（）A．（2，3）B．（2，9）C．（﹣1，6）D．（5，6）5．（3分）不等式6x+1≤2x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形7．（3分）计算（﹣3x）3的结果是（）A．﹣27x3B．﹣9x3C．9x3D．27x38．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，折痕为EC，若AB ＝3，BC＝5，则AE的长为（）A．B．1C．D．10．（3分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D 在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3C．2D．2+二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝°．12．（3分）某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为．13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，OB＝2，则BC的长为．14．（3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为．15．（3分）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）16．（3分）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）计算：（3﹣）2++．18．（9分）计算：÷﹣．19．（9分）如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：AE ＝DF．20．（12分）某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为%，成绩等级为“及格”的男生人数为人；（2）被测试男生的总人数为人，成绩等级为“不及格”的男生人数人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．21．（9分）向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？22．（9分）如图，直线y＝3x+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n）（0＜n＜6），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点D，交直线AB于点E，连接BD．若S△BDE＝S△BOC，求n的值．23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线AB、CD交于点E，AD交⊙O于点F．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AF＝7，DC＝2，求AE的长．24．（11分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan A＝2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF．设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC 的重叠部分的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，BC＝kAB，DA⊥AC交BC于点D，点E在BC的延长线上，且∠B ＝∠BAD+∠E，AF平分∠DAE交BE于点F，CG⊥AF垂足为G，探究线段CG与AD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD与∠CAE相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD＝∠EAC；（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明．26．（12分）定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．。

2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷一、选择题1．﹣6的绝对值等于（）A．6B．C．﹣D．﹣62．如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000千米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（）A．1 496×105B．1 496×108C．1.496×105D．1.496×1084．在平面直角坐标系中，将点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（）A．（2，3）B．（2，9）C．（﹣1，6）D．（5，6）5．不等式6x+1≤2x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形7．计算（﹣3x）3的结果是（）A．﹣27x3B．﹣9x3C．9x3D．27x38．不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A．B．C．D．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，折痕为EC，若AB＝3，BC ＝5，则AE的长为（）A．B．1C．D．10．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3C．2D．2+二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝°．12．某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为．13．如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，OB＝2，则BC的长为．14．我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为．15．某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）16．“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．计算：（3﹣）2++．18．计算：÷﹣．19．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：AE＝DF．20．某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为%，成绩等级为“及格”的男生人数为人；（2）被测试男生的总人数为人，成绩等级为“不及格”的男生人数人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．21．向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？22．如图，直线y＝3x+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n）（0＜n＜6），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点D，交直线AB于点E，连接BD．若S△BDE＝S△BOC，求n的值．23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线AB、CD交于点E，AD交⊙O于点F．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AF＝7，DC＝2，求AE的长．24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan A＝2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF．设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC的重叠部分的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．25．阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，BC＝kAB，DA⊥AC交BC于点D，点E在BC的延长线上，且∠B＝∠BAD+∠E，AF平分∠DAE交BE于点F，CG⊥AF垂足为G，探究线段CG与AD的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD与∠CAE相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD＝∠EAC；（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明．26．定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．﹣6的绝对值等于（）A．6B．C．﹣D．﹣6【分析】根据绝对值的性质解答即可．解：根据绝对值的性质，|﹣6|＝6，故选：A．2．如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．解：从左边看是竖着叠放的2个正方形，故选：B．3．“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000千米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（）A．1 496×105B．1 496×108C．1.496×105D．1.496×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：149 600 000这个数用科学记数法表示为1.496×108．故选：D．4．在平面直角坐标系中，将点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（）A．（2，3）B．（2，9）C．（﹣1，6）D．（5，6）【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减计算即可．解：点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（2，6﹣3），即（2，3），故选：A．5．不等式6x+1≤2x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．解：6x+1≤2x﹣3，6x﹣2x≤﹣3﹣1，4x≤﹣4，x≤﹣1，故选：D．6．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．7．计算（﹣3x）3的结果是（）A．﹣27x3B．﹣9x3C．9x3D．27x3【分析】根据积的乘方的性质进行计算即可．解：（﹣3x）3＝﹣27x3，故选：A．8．不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中随机摸出一个，两次都摸到红球的结果数为2，所以随机摸出一个，两次都摸到红球的概率＝＝．故选：B．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，折痕为EC，若AB＝3，BC ＝5，则AE的长为（）A．B．1C．D．【分析】根据折叠的性质得到CF＝BC＝5，EF＝BE，根据勾股定理得到DF＝4，求得AF＝5﹣4＝1，设AE＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，∴CF＝BC＝5，EF＝BE，∵CD＝AB＝3，∠D＝90°，∴DF＝4，∴AF＝5﹣4＝1，设AE＝x，∴BE＝EF＝3﹣x，∵∠A＝90°，∴AE2+AF2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝，故选：C．10．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3C．2D．2+【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C，D的坐标，由点B，D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点F、G的横坐标，进而可求出线段FG的长．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），∴令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则（x+3）（x﹣1）＝0，∴x＝﹣3或1，∴B（1，0），∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为x＝﹣1，∵CD∥AB，∴C、D两点关于x＝﹣1对称，∴D（﹣2，﹣3），设BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，∴，∴BD的解析式为y＝x﹣1，∴E（0，﹣1），令y＝﹣1，则y＝x2+2x﹣3＝﹣1，解得，x＝﹣1，∴F（﹣1﹣，﹣1），G（﹣1+，﹣1），∴FG＝（（﹣1+）﹣（（﹣1﹣）＝2，故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝108°．【分析】先根据AB∥CD求出∠C的度数，再由BC∥DE即可求出∠D的度数．解：∵AB∥CD，∠B＝72°，∴∠C＝180°﹣∠B＝108°，∵BC∥DE，∴∠D＝∠C＝108°．故答案为：108．12．某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为49．【分析】结合表格根据平均数的概念求解即可．解：平均数＝，故答案为：49．13．如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，OB＝2，则BC的长为2．【分析】先判断点O为△ABC的重心，根据重心的性质得到OD＝1，则BD＝3，再根据等边三角形的性质得BD⊥AC，∠BCD＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．解：∵BD和CE为△ABC的中线，∴点O为△ABC的重心，∴OD＝OB＝×2＝1，∴BD＝3，∵△ABC为等边三角形，∴BD⊥AC，∠BCD＝60°，∴CD＝BD＝，∴BC＝2CD＝2．故答案为2．14．我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为．【分析】设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意可得两个等量关系：甜果的个数+苦果的个数＝1000，买甜果所需的钱数+买苦果的所需的钱数＝999，依此列出相应的方程组，从而可以解答本题．解：设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，由题意可得，，故答案为．15．某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为22cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】作DM⊥AB于M，在Rt△BCN中，由三角函数求出BC≈83.3（cm），BN≈66.7（cm），求出AN的长，证出△ADM是等腰直角三角形，得出AM＝DM＝50cm，即可得出CD的长．解：作DM⊥AB于M，如图所示：在Rt△BCN中，BC＝CN÷cos37°＝50÷0.8＝62.5（cm），∴BN＝BC•sin37°＝62.5×0.80≈37.5（cm），∴AN＝AB+BN＝34+37.5＝71.5cm，∵∠DAE＝45°，∠BAE＝90°，∴∠DAM＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝DM＝50cm，∴CD＝MN＝AN﹣AM＝71.5﹣50≈22（cm）；故答案为：22．16．“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为37升．【分析】找准几个关键点进行分析解答即可．解：由图象可知：当用时1小时时，油量剩余45升，行驶了30公里；当用时在1﹣2.5小时之间时，可得：每小时行驶的里程为公里，每小时耗油量为升∴当用时1+1＝2小时时，此时刚好行驶了130公里，此时油箱里的剩油量为：45﹣8×1＝37升，故答案为：37．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．计算：（3﹣）2++．【分析】先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可．解：原式＝9﹣6+2+4+2＝11．18．计算：÷﹣．【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．解：原式＝•﹣＝﹣＝．19．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：AE＝DF．【分析】由AE⊥BC，DF⊥BC，得∠DFC＝∠AEB＝90°，又由CE＝BF，可得CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，AB＝CD，所以△DFC≌△AEB，即可得出AE＝DF【解答】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，又∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，∵AB＝CD，∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），∴AE＝DF．20．某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为30%，成绩等级为“及格”的男生人数为10人；（2）被测试男生的总人数为50人，成绩等级为“不及格”的男生人数5人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．【分析】（1）根据及格的人数和频率求出被测试男生的总人数，用总人数乘以成绩等级为“优秀”的男生人数所占的百分比，求出成绩等级为“优秀”的男生人数，再用成绩等级为“优秀”的男生人数除以总人数，即可得出成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比；根据及格的频数直接得出成绩等级为“及格”的男生人数；（2）根据（1）求出的总人数乘以成绩等级为“不及格”的男生人数的频率即可得出答案；（3）用该校七年级共有的人数乘以成绩等级为“良好”的学生人数所占的百分比即可．解：（1）被测试男生总数有10÷0.2＝50（人），成绩等级为“优秀”的男生人数有50×30%＝15（人），成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为×100%＝30%；成绩等级为“及格”的男生人数为10人；故答案为：30，10；（2）根据（1）可得：被测试男生总数是50（人），成绩等级为“不及格”的男生人数有50×0.1＝5（人），故答案为：50，5；（3）根据题意得：570×（1﹣30%﹣0.2﹣0.1）＝228（人），答：该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数有228人．21．向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？【分析】（1）设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年该村人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2020年该村的人均收入＝2019年该村的人均收入×（1+增长率），即可求出结论．解：（1）设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x，依题意，得：30000（1+x）2＝36300，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）36300×（1+10%）＝39930（元）．答：预测2020年该村的人均收入是39930元．22．如图，直线y＝3x+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n）（0＜n＜6），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点D，交直线AB于点E，连接BD．若S△BDE＝S△BOC，求n的值．【分析】（1）先把A（1，m）代入y＝3x+6求出m得到A（1，9），然后把A点坐标代入y＝中求出得到反比例函数解析式；（2）先利用一次函数解析式确定B（﹣2，0），C（0，6），再用n表示出E（，n），D（，n），根据三角形面积公式，利用S△BDE＝S△BOC得到×n×（﹣）＝××2×6，即方程得到n1＝3+2，n2＝3﹣2，然后利用0＜n＜6可判断n的值不存在．解：（1）把A（1，m）代入y＝3x+6得m＝3+6＝9，∴A（1，9）；把A（1，9）代入y＝得k＝1×9＝9，∴反比例函数解析式为y＝（x＞0；（2）当y＝0时，3x+6＝0，解得x＝﹣2，则B（﹣2，0）；当x＝0时，y＝3x+6＝6，则C（0，6）；∵DP∥x轴，∴D、E点的纵坐标都为n，∴E（，n），D（，n），∵S△BDE＝S△BOC，∴×n×（﹣）＝××2×6，整理得n2﹣6n﹣3＝0，解得n1＝3+2，n2＝3﹣2，∵0＜n＜6，∴n的值不存在．23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线AB、CD交于点E，AD交⊙O于点F．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AF＝7，DC＝2，求AE的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到CD⊥OC，根据平行线的性质得到∠CAD ＝∠ACO，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）如图，连接BC，CF，BF，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠AFB＝90°，根据相似三角形的性质得到＝，求得DF＝1（负值舍去），根据勾股定理得到＝＝＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）如图，连接BC，CF，BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠AFB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，由（1）知，∠DAC＝∠CAO，∴∠CBA＝∠DCA，∵四边形ABCF是圆内接四边形，∴∠AFC+∠CBA＝180°，∵∠AFC+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠CBA＝∠DCA，由（1）知，∠ADC＝∠CDF＝90°，∴△CDF∽△ADC，∴＝＝，∴＝，∴DF2+7DF＝8，∴DF＝1（负值舍去），∴AD＝AF+DF＝7+1＝8，∴AC＝＝＝6，∵∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴，∴，∴AB＝9，∵∠AFB＝90°，∠ADC＝90°，∴∠AFB＝∠ADC，∴BF∥DE，∴＝，＝，∴AE＝．24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan A＝2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF．设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC的重叠部分的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．则∠AHC＝∠CHB＝90°，设AH ＝m．分两种情形：①当0＜t≤1时，如图1中．②当1＜t＜5时，如图2中，分别求解即可．（2）首先确定点E落在BC上的时间，分三种情形：①当0＜t≤时，重叠部分是正方形PDEF，如图1中．②当＜t≤1时，重叠部分是五边形PDMNF，如图4中．③当1＜t＜5时，重叠部分是四边形PDNF，如图2中，分别求解即可解决问题．解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．则∠AHC＝∠CHB＝90°，设AH＝m．在Rt△ACH中，＝tan A＝2，∴CH═2AH＝2m，∵∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝∠ACB＝90°，∴∠BCH＝∠A，在Rt△BCH中，＝tan∠BCH＝2，∴BH＝2CH＝4m，∴AH+HB＝AB，∴5m＝5，∴m＝1，∵四边形PDEF是正方形，∠APD＝∠DPF＝90°，①当0＜t≤1时，如图1中，＝tan A＝2，∴PD＝2PA＝2t．②当1＜t＜5时，如图2中，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠PDB＝90°，∴∠PDB＝∠A，在Rt△DPB中，＝tan∠BDP＝2，∴PD＝PB＝（5﹣t）＝﹣t+．（2）当点E落在BC上时，如图3中，由题意EF＝PF＝PD＝2t，BF＝2EF＝4t，∵AP+PF+BF＝AB，∴t+2t+4t＝5，∴t＝，①当0＜t≤时，重叠部分是正方形PDEF，如图1中，S＝（2t）2＝4t2．②当＜t≤1时，重叠部分是五边形PDMNF，如图4中，EF＝PD＝PF＝2t，在Rt△BNF中，FN＝BF＝（5﹣3t），∴EN＝EF﹣FN＝2t﹣（5﹣3t）＝t﹣，在Rt△EMN中，EM＝2EN＝7t﹣5t，∴S＝S正方形PDEF﹣S△EMN＝4t2﹣（7t﹣5）2＝﹣t2+t﹣．③当1＜t＜5时，重叠部分是四边形PDNF，如图2中，S＝S△BDP﹣S△BNF＝×（5﹣t）×（5﹣t）﹣×（﹣）×（﹣）＝t2﹣t+，综上所述，S＝．25．阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，BC＝kAB，DA⊥AC交BC于点D，点E在BC的延长线上，且∠B＝∠BAD+∠E，AF平分∠DAE交BE于点F，CG⊥AF垂足为G，探究线段CG与AD的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD与∠CAE相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD＝∠EAC；（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质、结合题意证明即可；（2）作AN⊥CD于N，DH⊥AG于H，证明△DFH≌△CFG，根据全等三角形的性质得到CG＝DH，证明△ADH∽△ABN，根据相似三角形的性质列出比例式，计算得到答案．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACB是△ACE的外角，∴∠ACB＝∠CAE+∠E，∵∠B＝∠BAD+∠E，∴∠BAD＝∠EAC；（2）解：CG＝AD，理由如下：作AN⊥CD于N，DH⊥AG于H，设∠BAD＝α，则∠EAC＝α，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF＝∠DAE＝（∠DAC+∠EAC）＝45°+α，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（90°﹣∠BAD）＝45°﹣α，∴∠ADF＝∠B+∠BAD＝45°+α，∴∠ADF＝∠DAF，∴FA＝FD，∵∠DAC＝90°，∴∠FAC＝90°﹣∠DAF，∠FCA＝90°﹣∠ADF，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC，∴DF＝CF，在△DFH和△CFG中，，∴△DFH≌△CFG（AAS），∴CG＝DH，∵AB＝AC，AN⊥BC，∴BN＝BC＝AB，∠ADH＝90°﹣∠DAF＝45°﹣α，∴∠ADH＝∠B，又∠AHD＝∠ANB，∴△ADH∽△ABN，∴＝＝，∴＝，即CG＝AD．26．定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为2m﹣3（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）y＝ax2﹣6ax+5a，令y＝0，则x＝5或1，函数对称轴为直线x＝3，由中点公式得：h+3＝2m，即可求解；（2）分t≤﹣1、﹣1＜t＜0、t≥0三种情况，分别求解即可；（3）分a＞0、a＜0两种情况，分别求解即可．解：（1）y＝ax2﹣6ax+5a，令y＝0，则x＝5或1，函数对称轴为直线x＝3，由中点公式得：h+3＝2m，故h＝2m﹣3，故答案为：2m﹣3；（2）a＝1，C1：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，顶点为（3，﹣4），m＝1时，C2的顶点为（﹣1，4），C2：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，①当t≤﹣1时，y随x的增大而增大，y1﹣y2＝﹣t2﹣2t+3﹣[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]＝3，解得：t＝﹣2；②当t﹣1＜﹣1＜t时，即﹣1＜t＜0时，分两种情况：（Ⅰ）当﹣1﹣（t﹣1）≥t﹣（﹣1）时，即﹣1＜t≤﹣时，y1﹣y2＝[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]﹣t2＝3，解得：t＝（舍去）（Ⅱ）当﹣1﹣（t﹣1）＜t﹣（﹣1）时，即﹣＜t＜0时，y1﹣y2＝3＝4﹣（t2﹣2t+3）＝t2+2t+1，解得：t＝﹣1（舍去）；③当t﹣1≥﹣1时，即t≥0时，y随x的增大而减小，y1﹣y2＝[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]﹣[﹣t2﹣2t+3]＝3，解得：t＝1；综上，t＝﹣2或t＝1；（3）当m＝2时，C1：y＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a，∴C2的表达式为：y＝﹣a（x﹣1）2+4a，当y＝0时，x＝﹣1或3，当x＝0时，y＝3a，∴点A、B、D的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，3a）；∵线段BD绕原点O顺时针旋转90°，∴点B′的坐标为（3，0），点D′的坐标为（3a，0）．①当a＞0时，分两种情况：（Ⅰ）当点D′在点A的右侧（含点A）时，线段B′D′与C2的图象有公共点，如图1，∴3a≥3，解得a≥1；（Ⅱ）当点D′在点A的左侧，且点D在点B′的下方（含点B′）时，线段B′D′与C2的图象有公共点，如图2，∴3a≤1，∴0＜a≤；②当a＜0时，点D′在点B的左侧（含点B）时，线段B′D′与C2的图象有公共点，如图3，∴3a≤﹣1，解得：a≤；综上，a≤﹣或0＜a≤或a≥1；。

2020年大连市金州区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2017的绝对值是()A. 2017B. 12017C. −2017 D. −120172.如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是()A. B. C. D.3.用科学记数法表示602300，应该是()A. 602.3×103B. 6023×102C. 6.023×105D. 6.023×1064.点P(1,3)向下平移2个单位后的坐标是()A. (1,2)B. (0,1)C. (1,5)D. (1,1)5.不等式1+x<0的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.6.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.计算(−ab2)3的结果是()A. −3ab2B. a3b6C. −a3b5D. −a3b68.小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中，轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是()A. 127B. 13C. 19D. 299.如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于()A. 65B. 54C. 76D. 5610.如图，抛物线y=−x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)在1<x<3的范围内有解，则t的取值范围是()A. −5<t≤4B. 3<t≤4C. −5<t<3D. t>−5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如图，若AB//CD，∠1=80°，则∠2=______°.12.某班有40名学生，其中14岁的有16人，15岁的有24人，这个班学生平均年龄是__________岁．13.如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则DC的值为______．GC14.《孙子算经》是中国的重要数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如，那么乙也共有钱48果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是．15. 如图是某小区的一个健身器材，已知BC =0.15 m ，AB =2.70 m ，∠BOD =70°，则端点A 到地面CD 的距离为__________m.(精确到0.1 m ，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)16. 某电视台“走基层”栏目的一位记者赴360km 外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．如果汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：ℎ)之间的关系如图所示，那么汽车在乡村公路上的行驶速度为______km/ℎ．三、解答题（本大题共10小题，共102.0分） 17. 计算：(1)(3+√5)(3−√5)；(2)√18−√50−√1218.计算：1−(1a+3+6a2−9)÷a+3a2−6a+9．19.如图，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．20.为了了解某校九年级男生的身高情况，该校从九年级随机找来50名男生进行了身高测量，根据测量结果(测量结果均为整数，单位：cm)列出了如下频数表：根据表中提供的信息回答下列问题：(1)在表中，数据在164.5～168.5cm范围内的频数是_____________，176.5～180.5cm范围内的频率是______________；(2)在表中，频率最大的一组数据的范围是_________cm；(3)估计该校九年级男生身高在172cm以上(不包含172cm)的约占_________%．21.2019长春国际马拉松于5月26日上午在长春体育中心鸣枪开跑．某公司为赛事赞助了5000瓶矿泉水，计划以后每年逐年增加，到2021年达到7200瓶，若该公司每年赞助矿泉水数量增加的百分率相同．(1)求平均每年增加的百分率；(2)假设2022年该公司赞助矿泉水增加的百分率与前两年相同，请你预测2022年该公司赞助的矿泉水的数量．22.如图，一次函数y=ax+b的图象经过点A(2,0)，与反比例函数y=kx，求一次函数和的图象在第四象限交于点B(4,n)，△OAB的面积为32反比例函数的表达式．23.如图，AB，CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE//CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC．(1)求证：BC平分∠ABP；(2)求证：PC2=PB·PE；(3)若BE−BP=PC=4，求⊙O的半径．24.如图，△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，若动点P从点C开始，以每秒2个单位的速度按C→A→B→C的路径运动一周．设出发的时间为t秒．(1)若t=2秒时，求△ABP的周长．(2)若△BPC是直角三角形，请直接写出时间t的取值范围．(3)是否存在某一时刻t，使得△BCP为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．25.如图，△ABC中，CA=CB(1)当点D为AB上一点，∠A=12∠MDN=α①如图1，若点M、N分别在AC、BC上，AD=BD，问：DM与DN有何数量关系？证明你的结论；②如图2，若ADBD =14，作∠MDN=2α，使点M在AC上，点N在BC的延长线上，完成图2，判断DM与DN的数量关系，并证明；(2)如图3，当点D为AC上的一点，∠A=∠BDN=α，CN//AB，CD=2，AD=1，直接写出AB⋅CN的积．26.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A(−1,0)、B(n,0)两点，一次函数y2=2x+b的图象过点A．(1)若a=12，①求二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)的函数关系式；②设y3=y1−my2，是否存在正整数m，当x≥0时，y3随x的增大而增大？若存在，求出正整数m的值；若不存在，请说明理由；(2)若13<a<25，求证：−5<n<−4．【答案与解析】1.答案：A解析：解：−2017的绝对值是2017．故选：A．根据绝对值的性质解答即可．此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.答案：D解析：此题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体左边看的视图．观察几何体，找出左视图即可．解：如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故选：D．3.答案：C解析：解：将602300用科学记数法表示为6.023×105．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值⩾10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.答案：D解析：解：∵点P(1,3)向下平移2个单位，∴点P的横坐标不变，为1，纵坐标为3−2=1，∴点P平移后的坐标为(1,1)．故选：D．根据向下平移纵坐标减求解即可．本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．5.答案：A解析：解：移项，得：x<−1，故选：A．移项即可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．6.答案：B解析：【试题解析】本题考查了轴对称与中心对称图形．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形进行逐一判断即可．解：前两个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个图是中心对称图形，不是轴对称图形．因此既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．7.答案：D解析：解：(−ab2)3=−a3b6，故选：D．根据积的乘方与幂的乘方计算可得．本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则．8.答案：D解析：本题考查了概率公式，列表法与树状图法求概率.画树状图展示共有27种等可能结果，然后找出三人摸到球的颜色都不相同的情况数，即可利用概率公式得到答案．解：设红、黄、白三种球分别为A、B、C，如图，一共有27种等可能的情况，三人摸到球的颜色都不相同的情况有6种，∴P(三人摸到球的颜色都不相同)=627=29．故选D．9.答案：D解析：解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，{∠AFE=∠CFD ∠E=∠DAE=CD，∴△AEF≌△CDF(AAS)，∴EF=DF，FC=FA，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=3，CD=AB=2，设FA=x，则FC=x，FD=3−x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=22+(3−x)2，解得x=136，则FD=3−136=56．故选：D．根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证△AEF≌△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=3−x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2= 22+(3−x)2，解方程求出x．本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．10.答案：B解析：解：∵抛物线y=−x2+mx的对称轴为直线x=2，∴−m2×(−1)=2，解得m=4，∴抛物线解析式为y=−x2+4x，抛物线的顶点坐标为(2,4)，当x=1时，y=−x2+4x=3；当x=3时，y=−x2+4x=3，∵关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)在1<x<3的范围内有解，∴抛物线y=−x2+4x与直线y=t在1<x<3的范围内有公共点，∴3<t≤4．故选：B．先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y=−x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为(2,4)，再计算出当x=1或3时，y=3，结合函数图象，利用抛物线y=−x2+4x与直线y=t在1<x<3的范围内有公共点可确定t的范围．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11.答案：100解析：解：∵AB//CD ，∠1=80°，∴∠1=∠3=80°，∴∠2=180°−∠3=180°−80°=100°．故答案为：100°．先根据平行线的性质得出∠3的度数，再由两角互补的定义即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．12.答案：14.6解析：本题考查了加权平均数的概念，平均数等于所有数据的和除以数据的个数．根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数，即可得出答案．解：根据题意得： 平均年龄=(14×16+15×24)÷40=(224+360)÷40=584÷40=14.6(岁)．故答案为14.6．13.答案：32 解析：本题考查了三角形的重心，重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 根据三角形重心的性质即可求解．解：∵△ABC 的中线BE 、CD 交于点G ，∴点G 是△ABC 的重心，CG ：DG =2：1，∴DC GC =2+12=32．故答案为：32．14.答案：{x +12y =4823x +y =48解析：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题．解：由题意可得，{x +12y =4823x +y =48， 故答案为：{x +12y =4823x +y =48．15.答案：1.1解析：本题考查了解直角三角形的应用、平行线的性质、锐角三角函数的定义，属于基础题.过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，根据题意可知AE//OD ，根据平行线的性质可得∠A =∠BOD =70°，在Rt △AFB 中根据锐角三角函数的定义可得AF =2.7cos70°，进而求出答案．如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ．∵OD ⊥CD ，∠BOD =70°，∴AE//OD ，∴∠A =∠BOD =70°．在Rt △AFB 中，AB =2.7 m ，∴AF =2.7cos70°≈2.7×0.34=0.918(m)，∴AE =AF +BC =0.918+0.15=1.068≈1.1(m)．故答案为1.1．16.答案：60解析：解：汽车在乡村公路上的行驶速度为(270−180)÷(3.5−2)=90÷1.5=60(km/ℎ)，故答案为：60根据函数的图象和已知条件解答即可．本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．17.答案：解：(1)原式=9−5=4；(2)原式=3√2−5√2−√22=−5√22．解析：(1)利用平方差公式计算；(2)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18.答案：解：原式=1−a+3a2−9⋅(a−3)2a+3=1−a−3a+3=a+3a+3−a−3a+3=6a+3．解析：根据分式的混合运算法则计算即可．本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则是解题的关键．19.答案：证明：如图所示，连接AC，AD，在△ABC与△AED中，{AB=AE ∠B=∠E BC=ED，∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC=AD，在△ACF与△ADF中，{AC=AD CF=DF AF=AF，∴△AFC≌△AFD(SSS)，∴∠CFA=∠DFA，∴AF⊥CD．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.利用SAS得到三角形ABC与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AD，再由三边对应相等的两个三角形全等，可得∠CFA=∠DFA，进而可得AF⊥CD．20.答案：解：(1)12；0.08；(2)168.5～172.5；(3)36．解析：本题考查作频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点：频数=频率×总数，频率=频数÷总数．(1)根据频率和频数之间的关系计算，即可解答(2)在表中，各组频率最大是0.26，可知频率最大的一组数据的范围；(3)将该校初三男生身高在172cm以上的三组的频率相加即可．解：(1)在表中，数据在164.5～168.5范围”内的频数是50×0.24=12；176.5～180.5cm范围内的频率是4÷50=0.08；故答案为12；0.08；(2)在表中，频率最大的一组数据的范围是168.5～172.5；故答案为168.5～172.5；(3)该校初三男生身高在172cm以上的约占0.24+0.08+0.04=0.36=36%．故答案为36．21.答案：解：(1)设平均每年增加的百分率为x，依题意，得：5000(1+x)2=7200，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(舍去)．答：平均每年增加的百分率为20%．(2)7200×(1+20%)=8640(瓶)．答：预测2022年该公司赞助矿泉水8640瓶．解析：(1)设平均每年增加的百分率为x，根据该公式2019年及2021年赞助矿泉水的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)根据2022年该公司赞助的矿泉水数量=2021年该公司赞助的矿泉水数量×(1+增长率)，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.答案：解：∵点A(2,0)，点B(4,n)，∴S△AOB=12×2×(−n)=32，解得n=−32，∴B(4,−32)， 把(4,−32)代入y =k x ，可得k =−6，∴反比例函数的表达式为y =−6x ．把A(2,0)，B(4,−32)代入y =ax +b ，可得{2a +b =04a +b =−32，解得{a =−34b =32， ∴一次函数表达式为y =−34x +32．解析：本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．依据△OAB 的面积为32，可得B(4,−32)，利用待定系数法，即可得到一次函数和反比例函数的表达式． 23.答案：解：(1)∵BE//CD ，∴∠1=∠3，又∵OB =OC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，即BC 平分∠ABP ；(2)如图，连接EC 、AC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠PCD =90°，又∵BE//DC，∴∠P=90°，∴∠1+∠4=90°，∵AB为⊙O直径，∴∠A+∠2=90°，又∠A=∠5，∴∠5+∠2=90°，∵∠1=∠2，∴∠5=∠4，∵∠P=∠P，∴△PBC∽△PCE，∴PCPE =PBPC，即PC2=PB⋅PE；(3)∵BE−BP=PC=4，∴BE=4+BP，∵PC2=PB⋅PE=PB⋅(PB+BE)，∴42=PB⋅(PB+4+PB)，即PB2+2PB−8=0，解得：PB=2，则BE=4+PB=6，∴PE=PB+BE=8，作EF⊥CD于点F，∵∠P=∠PCF=90°，∴四边形PCFE为矩形，∴PC=FE=4，FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°，∵BE//CD，∴D̂E=B̂C，∴DE=BC，在Rt△DEF和Rt△BCP中，∵{DE=BCEF=CP，∴Rt△DEF≌Rt△BCP(HL)，∴DF=BP=2，则CD=DF+CF=10，∴⊙O的半径为5．解析：(1)由BE//CD知∠1=∠3，根据∠2=∠3即可得∠1=∠2；(2)连接EC、AC，由PC是⊙O的切线且BE//DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根据∠1=∠2得∠4=∠5，从而证得△PBC∽△PCE即可；(3)由PC2=PB⋅PE、BE−BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC= PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，据此得出CD的长即可．本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．24.答案：解：(1)∵AB=10，BC=6，AC=8，∴由勾股定理逆定理得∠C=90°，∵动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2个单位，∴出发2秒后，P在AC上，且CP=4，则AP=4，∵∠C=90°，∴由勾股定理得PB=2√13，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=4+10+2√13=14+2√13；(2)如图，作CP⊥AB于P．∵12⋅AB⋅CP=12⋅AC⋅BC，∴CP=AC⋅BCAB =6×810=245，∴AP=√AC2−PC2=325，∴当∠CPB =90°时，t =(8+325)÷2=365，当点P 在线段AC 上(不包括C)时，∠PCB =90°，此时0<2t ≤8，解得0<t ≤4，∴当0<t ≤4或t =365s 时，△PCB 是直角三角形．(3)△BCP 为等腰三角形时，分三种情况：①如果CP =CB ，点P 在AC 上，CP =6cm ，此时t =6÷2=3(秒)；如果CP =CB ，点P 在AB 上，CP =6cm ，此时，作AB 边上的高CD ，利用等面积法求得CD =4.8，再利用勾股定理求得DP =3.6，所以BP =7.2，AP =2.8，所以t =(8+2.8)÷2=5.4(秒)；②如果BC =BP ，那么点P 在AB 上，BP =6cm ，CA +AP =8+10−6=12(cm)，此时t =12÷2=6(秒)；③如果PB =PC ，那么点P 在BC 的垂直平分线与AB 的交点处，即在AB 的中点，此时CA +AP =8+5=13(cm)，t =13÷2=6.5(秒)；综上可知，当t =3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP 为等腰三角形．解析：本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．(1)由t =2可知点P 在线段AC 上，利用勾股定理可求得BP 的长，则可求得△ABP 的周长；(2)过C 作CP ⊥AB 于点P ，可求得CP 的长，则可求得AP 的长，当点P 在线段AC 上时，可知满足条件，当CP ⊥AB 时也满足条件，从而可求得t 的取值范围；(3)△BCP 为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP =CB ；②BC =BP ；③PB =PC ． 25.答案：解：(1)①DM =DN ，理由如下：当DM⊥AC，DN⊥BC时，∵CA=CB，∴∠A=∠B，在△ADM和△BDN中，{∠A=∠B∠AMD=∠BND AD=BD，∴△ADM≌△BDN(AAS)，∴DM=DN；当DM、AC不垂直，DN、BC不垂直时，如图1，过D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，则DP=DQ，在四边形CPDQ中，∠DPC=∠DQC=90°，∴∠PDQ+∠PCQ=180°；∵∠PCQ+2∠A=180°，∴∠PDQ=∠MDN=2∠A；∴∠PDM=∠QDN，在△PDM和△QDN中，{∠PDM=∠QDN DP=DQ∠DPM=∠DQN，∴△PDM≌△QDN(ASA)，∴DM=DN；②完成图2，如图2所示，过D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，∴∠A+∠ADP=90°，∠B+∠QDB=90°，∴∠A+∠ADP+∠B+∠QDB=180°，∴2∠A=180°−∠ADP−∠QDB，∴∠PDQ=2∠A，又∠MDN=2∠A，∴∠PDQ=∠MDN，∴∠PDM=∠NDQ，又∠DPM=∠DQN=90°，∴△DPM∽△DQN，∴DMDN =DPDQ，∵∠A=∠B，∠DPA=∠DQB=90°，∴△APD∽△BQD，DP DQ =ADDB，∴DMDN =ADDB=14，∴DN=4DM；(2)连接BN，∵∠CDB=∠A+∠ABD=∠CDN+∠BDN，∠BDN=∠A，∴∠CDN=∠ABD，∵CN//AB，∴∠BCN=∠ABC，又∠CAB=∠CBA，∴∠BCN=∠BDN=∠A，∴点C、D、B、N四点共圆，∴∠CDN=∠CBN，∴∠CBN=∠ABD，∠BCN=∠A，∴△ABD∽△CBN，∴ADCN =ABBC，∴AB⋅CN=AD⋅BC=3．解析：(1)①分DM⊥AC，DN⊥BC和DM、AC不垂直，DN、BC不垂直两种情况，根据全等三角形的性质证明结论；②过D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，分别证明△DPM∽△DQN和△APD∽△BQD，根据相似三角形的性质解答；(2)连接BN，证明△ABD∽△CBN，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26.答案：解：∵y1=ax2+bx+c(a>0)过点A，∴a−b+c=0，∵y 2=2x +b 的图象过点A ，∴b =2，∴c =2−a ；(1)①∵a =12∴c =2−12=32，∴y 1=12x 2+2x +32， ②y 3=12x 2+2x +32−m(2x +2) =12x 2+(2−2m)x +(32−2m)， ∵在x ≥0时，y 3随x 的增大而增大，∴对称轴x =−2−2m 2×12=2m −2≤0，∴m ≤1，∵m 是正整数，∴m =1；(2)∵y 1=ax 2+2x +(2−a)的对称轴为x =−22a =−1a ，又∵13<a <25，∴−3<−1a <−52，又∵A(−1,0)、B(n,0)两点关于对称轴对称，∴|−1−(−1a )|=|−1a −n|，∴n =−2a +1或n =−1(舍)，∴−5<n <−4．解析：(1)①a =12，c =2−12=32，即可求解；②y 3=12x 2+2x +32−m(2x +2)=12x 2+(2−2m)x +(32−2m)，即可求解；(2)y 1=ax 2+2x +(2−a)的对称轴为x =−22a =−1a ，而13<a <25，即：−3<−1a <−52，又A(−1,0)、B(n,0)两点关于对称轴对称，则：|−1−(−1a )|=|−1a −n|，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到不等式的解法，重点确定对称轴的表达式及其范围．。

2020届辽宁省大连市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各数中最小的数是()A. −3B. 3C. 0D. −132.下列几何体中，主视图是长方形的是()A. B.C. D.3.点P的坐标是(−2,a2+1)，则点P一定在第()象限．A. 一B. 二C. 三D. 四4.经专家测算，北京的4G网络速度基本上能够保证在80 000 000bps左右，最高峰值时曾达到106 000 000bps，将106 000 000用科学记数法表示应为()A. 106×106B. 1.06×106C. 1.06×108D. 1.06×1095.如图，AB//CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=68°，则∠B的度数为()A. 22°B. 32°C. 44°D. 68°6.下列运算不正确的是()A. x3+x3=x6B. x6÷x3=x3C. x2⋅x3=x5D. (−x3)4=x127.如图，AC是▱ABCD的对角线，点E是AB的延长线上的一点，连接DE，分别交BC，AC于点F，G，则下列式子一定正确的是()A. CFAD =CGACB. ABAE =CGAGC. EFFD =BFBCD. EBCD =BFFD8. 5.随机掷两枚硬币，落地后朝上一面是一正一反的概率是A. B. C. D.9.如图，点A，B的坐标分别为(1,4)和(4,4)，抛物线y=a(x−m)2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为−3，则点D的横坐标最大值为()A. 13B. 7C. 5D. 810.如图，已知AB是的切线，点A为切点，连接OB交于点C，，点D是上一点，连接，.则等于()A. 76°B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.分解因式：2xy2+4xy+2x=______．12.一副去掉大小王的扑克牌(共52张)，洗匀后，摸到红桃的机会______ 摸到J，Q，K的机会(填“<，>或=”)13.n边形的每个外角都等于15°，则n=______ ．14.小明和小刚每天坚持跑步，小明每秒跑6米，小刚每秒跑4米，如果他们同时从相距2000米的两地相向起跑，____________秒后两人相遇．15.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，且交线段BC于点E，连结DE，若∠C=50°，设∠ABC=x°，∠CDE=y°，则y关于x的函数表达式为______．16.如图，△ABC中，DE//FG//BC，且S△ADE=S梯形DFGE=S梯形FBCG，DE：FG：BC=______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.(1)计算：|−5|−2cos60°−√9+(12)−1(2)解分式方程：32x−4−xx−2=12．四、解答题（本大题共9小题，共74.0分）18.已知2a−1的平方根是±3，b−3的立方根是2，求√5a+b的值．19.如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE．(1)如图1，过F作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA．(2)如图2，连接BF交AC于D，若AD=3CD，求证：E点为BC中点．20.“元旦晚会”是重庆一中庆祝节日的校级传统活动，初三年级某班班委为了更好的组织这次晚会，调查了同学们最期盼的节日类型(全班每位同学都必须且只能从曲艺类、语言类、歌曲类、舞蹈类这四类节目中选一类)，并根据统计结果绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：(1)该班共有学生______人，扇形统计图中语言类对应的圆心角是______度，并补全条形统计图．(2)已知最期盼语言类的学生中，有4人擅长主持，其中有2名男生和2名女生，班委决定从这4名同学中随机选择2名担当本次元且晚会的主持人，请利用画树状图或列表的方法求出恰好选中1名男生和1名女生的概率．21.2013年10月6日，台风“菲特“影响宁波，11个县(市)区受到了不同程度的影响，现有一批救灾物资n件要运往三个县《市)区A，B，C，三地(三地不一定都送)，要求运往C地的件数是运A地件数的2倍，运往A地运费为30元/件．运往B地运费为12元/件．运往C地运费为18元/件．设把x件物资运往A地(1)当n=500时．根据信息填好下表：A地B地C地合计物资件数n(件)X______ 2x500运费(元)30x______ ______ ______(2)在(1)的条件一下，运往A地的件数不少于100件，且总费用不超过为9060元，则有哪几种运输方案？(3)若总费用为7128元，求n的最小值．22. 温度与我们的生活息息相关，如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度(℃)，右边的刻度是华氏温度(℉).设摄氏温度为x(℃)，华氏温度为y(℉)，则y是x的一次函数，通过观察我们发现，温度计上的摄氏温度为0℃时，华氏温度为32℉；摄氏温度为−20℃时，华氏温度为−4℉请根据以上信息，解答下列问题(1)仔细观察图中数据，试求出y与x的函数关系式；(2)当摄氏温度为−5℃时，华氏温度为多少？(3)当华氏温度为59℉时，摄氏温度为多少？23. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交⊙O于点F，连结AD，AF．(1)求证：∠BAF=∠DAC．(2)当AF=8，AD=6，CD=3时，求⊙O的直径．24. 如图1，菱形ABCD是边长为2，∠BAD=60°，对角线AC、BD交于点O．(1)操作发现：小芳同学将△CBD绕点O旋转得△CEF，当CF落在AD上时(如图2)，连接ED，请直接写出ED与AC的位置关系和数量关系；(2)问题解决：小芳同学继续旋转△CEF(A,C不重合)，如图3，连接ED、AC，她认为(1)中的结论仍然成立．你同意吗？说明理由．(3)深入思考：若直线ED与直线AC的交点为H，请直接写出BH的最大值．25. 如图在△CDE中，∠DCE=90°，DC=CE，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，试判断AB与AD，BE之间的数量关系，并证明．26. 我们定义：把y2=ax叫做函数y=ax2的伴随函数.比如：y2=x就是y=x2的伴随函数.数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数y=ax2(a≠0的常数)，若点(m,n)在函数y=ax2的图象上，则点(−m,n)也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于y轴对称.解答下列问题：(1)y2=x的图象关于______ 轴对称；(2)①直接写出函数y=4x2的伴随函数的表达式______ ；②在如图①所示的平面直角坐标系中画y=4x2的伴随函数的大致图象；(3)若直线y=kx−3k(k≠0)与y=4x2的伴随函数图象交于A、B两点(点A在点B的上方)，连接OA、OB，且△ABO的面积为12，求k的值；(4)若直线AB(AB不平行于y轴)与y=ax2(a>0的常数)的伴随函数图象交于A、B两点(点A、B分别在第一、四象限)，且∠AOB=90°，试AB两点的纵坐标的积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．解：如图所示，，由图可知，最小的数是−3．故选A．2.答案：A解析：解：圆柱体的主视图是长方形，圆锥的主视图是等腰三角形，球的主视图是圆形，四面体的主视图是三角形，故选：A．根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，主视图就是从正面看该物体所得到的图形．3.答案：B解析：解：−2<0，a2+1>0，的坐标是(−2,a2+1)，则点P一定在第二象限，故选：B．根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．本题考查了点的坐标，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零．4.答案：C解析：解：将106 000 000用科学记数法表示为1.06×108．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.答案：C解析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠C的度数，再由平行线的性质即可求出∠B 的度数．解：∵CD=CE，∠D=68°，∴∠CED=∠D=68°，∴∠C=180°−∠CED−∠D=180°−68°−68°=44°．∵AB//CD，∴∠B=∠C=44°．故选C．6.答案：A解析：解：A、x3+x3=2x3，本选项错误；B、x6÷x3=x3，本选项正确；C、x2⋅x3=x5，本选项正确；D、(−x3)4=x12，本选项正确；故选：A．结合选项分别进行同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法和积的乘方等运算，然后选择正确选项．本题主要考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法和积的乘方等运算，解题的关键是熟记同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法和积的乘方等运算法则．7.答案：B解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB=CD，CD//AB，∴△CFG∽△ADG，∴CFAD =CGAG，故A不正确；∵CD//AE，∴△CDG∽△AEG，∴CDAE =CGAG，∵AB=DC，∴ABAE =CGAG，故B正确；∵△BEF∽△CDF，∴EFDF =BFCF=BECD，故C，D不正确；故选：B．根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB=CD，CD//AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．8.答案：B解析：解析：朝上一面发生的结果总数有4种，即(正，正)、(反，反)(正，反)、(反，正)，所以朝上一面恰好出现一正一反的概率是24=12．故选择B9.答案：D解析：解：当点C横坐标为−3时，抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B(4,4)时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C(0,0)，D(8,0)；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．故选：D．当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1,4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；。

2020年辽宁大连市高三第一次模拟考试数学(理科)本试卷共6页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，其中第II卷第22题～第23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)设集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{－1，0，1，2，3}，则集合A∩B为(A){－2，－1，0，1，2}(B){－1，0，1，2}(C){－1，0，1，2，3}(D){－2，－1，0，1，2，3}(2)若复数z满足z(1＋i)＝2，则z的虚部为(A)－1(B)1(C)－i(D)i(3)下列函数中是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数的是(A)y＝ln|x|(B)y＝cosx(C)y＝－x2(D)y＝x3(4)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4＋a5＝12，则S8的值为(A)14(B)28(C)36(D)48(5)PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35µg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m'空气质量为二级，超过7Sµg/m3为超标。

如图是某地1月1日至10日的PM2.5(单位：µg/m3)的日均值，则下列说法正确的是(A)10天中PM2.5日均值最低的是1月3日(B)从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高(C)这10天中恰有5天空气质量不超标(D)这10天中PM2.5日均值的中位数是43(6)已知抛物线y 2＝4x.上点B(在第一象限)到焦点F 距离为5，则点B 坐标为(A)(1，1)(B)(2，3)(C)(4，4)(D)(43)(7)设非零向量m ，n ，则“m ⊥n ”是“|m ＋2n|＝|m －2n|”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)如图是函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的部分图象，则ω，φ的值分别为(A)1，3π(B)1，－6π(C)2，－6π(D)2，6π(9)设数列{a n }的前n 项和为S n 。

2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤1}B. {x|x≥−1}C. {x|x>2}D. {x|1≤x<2}2.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=()．A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3.若f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A. f(−2)>f(0)>f(1)B. f(−2)>f(1)>f(0)C. f(1)>f(0)>f(−2)D. f(1)>f(−2)>f(0)4.等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a3+a9=()A. 8B. 16C. 24D. 325.如图是2020年1月到10月的某公司利润(单位：千元)的折线图，利润在35千元以下为亏损，在35∼75千元为盈利，超过75千元可投资扩大生产，则下列说法错误的是()A. 这10个月中利润最低的是1月份B. 从1月份到6月份利润逐渐升高C. 这10个月中有2个月可投资扩大生产D. 这10个月中利润的中位数是436.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是()A. (6,6√2)或(6,−6√2)B. (4,4√3)或(4,−4√3)C. (3,6)或(3,−6)D. (9,6√3)或(9,−6√3)7.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=−sin(ωx +φ)(|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示，则φ=( )A. π3 B. −π3 C. −2π3 D. π3或−2π39. 已知数列{a n }的前项和S n =2n 2+1,n ∈N ∗，则a 5−a 1=( )A. 13B. 14C. 15D. 1610. 已知m >2，n >0，m +n =3，则1m−2+1n 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 下列命题正确的是( )①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②若③如果直线a,b 和平面α满足④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β, 则α //β.A. ①③B. ②④C. ③D. ① ④12. 已知P (AB )=310，P (A )=35，则P (B|A )等于( )A. 950B. 12C. 910D. 14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为________．14. 设双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______．15. 已知函数f(x)={log 3x,x >02x,x ≤0，则f(f(19))=_________．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A−D1C1−C的值为_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=cosxcos(x−π3)−14,x∈R．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，求a的值．18.在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及数学期望．19.如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2正方形．(Ⅰ)求侧视图的面积；(Ⅱ)求直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．21. 已知函数f (x )=2x −sinx −cosx ．(Ⅰ)求曲线y =f (x )在x =0处的切线方程；(Ⅱ)当x ∈[−π,π]时，求函数f (x )的值域．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2+cosα,sinα)(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． (1)求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+1|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)=f(x)+f(x−1)的最小值为m，且a+b=m(a,b>0)，求4a +1b的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题．根据复数的四则运算计算即可．+1=2−i，由已知得z=1+ii故选C．3.答案：B解析：∵f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，∵f(−2)=f(2))，且2>1>0，∴f(2)> f(1)>f(0)，即f(−2)>f(1)>f(0)．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的求和，属于基础题．根据等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可．解：∵等差数列{a n}的前11项和S11=88，=88，∴S11=11(a1+a11)2∴a1+a11=16，根据等差数列性质：a3+a9=a1+a11=16．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查了统计中折线图的应用，属于基础题．根据折线图中的数据判断A、B、C；由给出的数值和中位数的概念判断D．解：根据折线图知，这10个月中利润最低的是1月份的30千元，所以A正确；从1月到6月的利润是先升高后降低，再升高，所以B错误；这10个月中第6个月和第7个月利润超过75千元，可投资扩大生产，所以C正确；×(41+45)=这10个月中利润从小到大排列为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，其中中位数是1243，所以D正确．故选B．6.答案：A解析：解：∵抛物线方程为y2=12x，∴抛物线的焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3．设所求点为P(m,n)，∵P到焦点F的距离为9，P到准线的距离为m+3，∴根据抛物线的定义，得m+3=9，解得m=6，将点P(6,n)代入抛物线方程，得n2=12×6=72，解之得n=±6√2，∴满足条件的点的坐标为(6,±6√2).故选A．求出抛物线焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3.设所求点为P(m,n)，根据题意利用抛物线的定义建立关于m的等式，解出m的值后利用抛物线的方程求出n的值，即可得到满足条件的点P的坐标．本题求抛物线上满足指定条件的点P的坐标，着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．8.答案：C解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．由函数f(x)的部分图象，即可求得T、ω和φ的值．解：由函数f(x)=−sin(ωx+φ)的部分图象知，T=4×(7π12−π3)=π，又ω>0，∴ω=2πT=2，当x=7π12时，f(7π12)=−sin(2×7π12+φ)=−1，即7π6+φ=π2+2kπ，，解得φ=−2π3+2kπ，，又|φ|<π，∴φ=−2π3．故选C．9.答案：C解析：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2的灵活运用． 根据数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+1(n ∈N ∗)，由a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2能够求出a 5和a 1的值．解：a 5=S 5−S 4=(2×25+1)−(2×16+1)=18． a 1=S 1=3，所以a 5−a 1=18−3=15 故选C ．10.答案：B解析：本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 利用“乘1法”进行转化，然后利用基本不等式求最值． 解：因为m >2，n >0，m +n =3， 所以m −2+n =1，m −2>0，则1m−2+1n =(1m−2+1n )(m −2+n)=2+nm−2+m−2n ≥2+2=4，当且仅当nm−2=m−2n且m +n =3，即m =52，n =12时取等号，故选：B ．11.答案：C解析：本题主要考查空间平面与直线的位置关系和命题的真假判断，属于基础题． 解：①如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；故错误； ②若α与β相交时，a ，b 可能相交，可能平行，可能重合，可能异面，故错误； ③如果直线a,b 和平面α，满足正确；④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β,则α //β或相交；故错误； 故选C ．12.答案：B解析：本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题． 利用P(B|A)=P(AB)P(A)进行求解即可．解：P(AB)=310，P(A)=35， 则P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12． 故选B ．13.答案：10解析：本题考查线性规划求最值，属较易题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：作出可行域，化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，当直线z =2x +y 经过可行域内的点A 时，z 取得最大值． 由{x +y =4y =−2解得{x =6y =−2，即A(6,−2)，故z max =2×6−2=10． 故答案为10．14.答案：x ±2√2y =0解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属基础题． 利用双曲线的离心率，先求出a ，b 的关系式，然后求渐近线方程． 解：双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，可得 ca =3， 则 ab =√a 2c 2−a 2=√1c 2a 2−1=12√2． 则其渐近线的方程为y =±ab x 即x ±2√2y =0． 故答案为：x ±2√2y =0．15.答案：14解析：本题考查了分段函数和函数求值，先求内函数则f(19)的值，然后再依次求出其外函数f[f(19)]的函数值，注意函数自变量的取值范围，属于基础题． 解：∵19>0，，由已知得：；∵−2<0， ∴f(x)=2x ,x ≤0； ∴f[f(19)]=2−2=14． 故答案为14．16.答案：解析：本题主要考查了二面角，考查了利用空间向量求夹角问题，属于基础题； 如图，连接AD 1，BC 1，得到∠BC 1C 为二面角A −D 1C 1−C 的平面角，即可得解． 解：如图，连接AD 1，BC 1，因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，，C1C,C1B⊂平面BCC1B1，所以D1C1⊥C1C，D1C1⊥C1B，则∠BC1C为二面角A−D1C1−C的平面角，等于；故答案为．17.答案：解：，由，解得，所以函数f(x)的单调递增区间．，又因为A∈(0,π)，所以，所以，所以，又，，所以b=√32由余弦定理得，所以a=√7．2解析：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，余弦定理，属于中档题．(1)利用两角和与差的三角函数公式化简得，再根据正弦函数性质即可；(2)由，解得，再根据，解得b ，再根据余弦定理即可．18.答案：解：(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，∵x −=10×0.15+20×0.25+30×0.3+40×0.2+50×0.1=28.5， ∴估计三镇基层干部平均每人走访28.5家贫困户．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为0.3+0.2+0.1=35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P8125361255412527125∴数学期望EX =3×35=95．解析：本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了计算能力，属于中档题．(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，进而得出x −．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，即可得出P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，及其数学期望EX ．19.答案：解：(Ⅰ)∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1， ∴等边三角形的高为√3，由题意知左视图是一个高为2，宽为√3的矩形，∴左视图的面积为2√3；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．∵AO =√3，AC 1=2√2， ∴sin∠AC 1O =AO AC 1=√32√2=√64．解析：(Ⅰ)分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．20.答案：解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ，∴k ⋅32k 2−6k+1=−1， 整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．解析：本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据题意可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程；(Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．21.答案：解：(Ⅰ)由f (x )=2x −sinx −cosx 得f′(x )=2−cosx +sinx ，所以，f (0)=−1，f′(0)=1．所以曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为y +1=x ，即y =x −1； (Ⅱ)因为f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0， 所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，故有f (−π)≤f (x )≤f (π)，即1−2π≤f (x )≤1+2π． 因此，当x ∈[−π,π]时，函数y =f (x )的值域为[1−2π,1+2π]．解析：本题考查了导数的几何意义和利用导数研究闭区间上函数的最值，是基础题． (Ⅰ)先求导，代入切点横坐标可得切线斜率，即可得出切线方程；(Ⅱ)由f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0，所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，可得函数f (x )的值域． 22.答案：解：(1)设点P(x,y)，所以{x =2+cosαy =sinα,(α为参数)， 消去参数，得(x −2)2+y 2=1，即P点的轨迹C的方程为(x−2)2+y2=1直线l：ρsin(θ+π4)=2√2，展开得：ρcosθ+ρsinθ=4⇒x+y=4，所以直线l的直角坐标方程为x+y−4=0．(2)由(1)，可知P点的轨迹C是圆心为(2,0)，半径为1的圆，则圆心C到直线l的距离为d=√2=√2>r=1．所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为√2+1．解析：(1)利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．23.答案：解：(1)f(x)≤1，即|2x+1|≤1,−1≤2x+1≤1，解得x∈[−1,0]，∴不等式f(x)≤1的解集为[−1,0]；(2)g(x)=f(x)+f(x−1)=|2x+1|+|2x−1|≥|2x+1−(2x−1)|=2，∴a+b=2(a,b>0)，∴4a +1b=12(a+b)(4a+1b)=12(5+4ba+ab)≥12(5+2√4ba⋅ab)=92，当且仅当4ba =ab(a,b>0)，即a=2b，又a+b=2，即a=43,b=23时等号成立，综上：4a +1b的范围为[92,+∞)．解析：本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及基本不等式求最值，属中档题．(1)去掉绝对值可解得；(2)先根据绝对值不等式求出g(x)的最小值，然后根据基本不等式求出最小值，从而得值域．。

2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，0，1，2，，则集合为A. 0，1，B. 0，1，C. 0，1，2，D. 0，1，2，2.若复数z满足，则z的虚部为A. B. C. i D. 13.下列函数中是偶函数，且在是增函数的是A. B. C. D.4.设为等差数列的前n项和，若，则的值为A. 14B. 28C. 36D. 485.是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均值在以下空气质量为一级，在空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的单位：的日均值，则下列说法正确的是A. 10天中日均值最低的是12月3日B. 从1日到6日日均值逐渐升高C. 这10天中恰有5天空气质量不超标D. 这10天中日均值的中位数是436.已知抛物线上点在第一象限到焦点F距离为5，则点B坐标为A. B. C. D.7.设，是非零向量，则“”是“的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件8.如图是函数的部分图象，则，的值分别为A. 1，B.C.D.9.设数列的前n项和为若，，，则值为A. 363B. 121C. 80D. 4010.已知，，，则的最小值为A. B. C. 2 D. 411.已知a，b是两条直线，，，是三个平面，则下列命题正确的是A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，则12.某人5次上班途中所花的时间单位：分钟分别为x，y，10，11，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件则的最大值为______．14.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______．15.定义在上的函数满足下列两个条件：对任意的恒有成立；当时，则的值是______．16.已知矩形ABCD中，点，，沿对角线BD折叠成空间四边形ABCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设函数Ⅰ求的单调递增区间；Ⅱ在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求b．18.某中学高三班有学生50人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如图频率分布直方图，其中数据的分组区间为：，，，，，．Ⅰ从每周平均体育锻炼时间在的学生中，随机抽取2人进行调查，求这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率；Ⅱ现全班学生中有是女生，其中3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时，若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有没有的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？附：19.如图所示，三棱柱中，侧面为菱形，，A在侧面上的投影恰为的中点O，E为AB的中点．证明：平面；若AC与平面所成角为，且，求E到平面的距离．20.已知过点的曲线C的方程为．Ⅰ求曲线C的标准方程：Ⅱ已知点，A为直线上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D．证明：OA平分线段其中O为坐标原点；求最大值．21.已知函数，曲线在函数零点处的切线方程为．Ⅰ求k，b的值；Ⅱ当时，若有成立，求证：．22.在直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为．Ⅰ求C和l的直角坐标方程；Ⅱ求C上的点到1距离的最小值．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，0，1，2，，集合0，1，．故选：B．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：复数z满足，，，，则z的虚部为．故选：A．利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．本题考查了共轭复数的定义、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为，关于原点对称，有，是偶函数，且在上，，为增函数，符合题意，对于B，，是余弦函数，在上不是单调函数，不符合题意；对于C，，为二次函数，在上是单调减函数，不符合题意；对于D，，为奇函数，不符合题意；故选：A．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.答案：D解析：解：为等差数列的前n项和，，．故选：D．可得，由此能求出结果．本题考查等差数列的求和，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：D解析：【分析】本题考查折线图，中位数，属于基础题．由折线图逐一分析数据，即可得到结果．【解答】解：由折线图可知，10天中日均值最低的是12月1日，故A错误；因为2日到3日是下降的，故B错误；因为10天中有8天空气质量不超标，故C错误；由数据分析可得日均值的中位数是43，故D正确，故选：D．6.答案：C解析：解：设，由抛物线的方程可得准线方程为：，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以，代入抛物线的方程可得，由B在第一象限，所以，即B的坐标，故选：C．由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．本题考查抛物线的性质，属于基础题．7.答案：C解析：解：若“，则平方得，即，得，即，则“”是“的充要条件，故选：C．根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用利用平方法是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：由函数图象可知，，时，函数取得最大值2，可得：，可得：，即，，，．故选：D．结合函数的图象，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，属于基础题．解析：解：数列的前n项和为若，，，可得，，，，则．故选：B．通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10.答案：D解析：解：，，当且仅当时等号成立，的最小值为4．故选：D．根据，可以得到，展开后再运用基本不等式可求得最小值．本题主要考查基本不等式的应用．在基本不等式中要注意1的灵活运用，属于基础题．11.答案：C解析：解：若，，，则，不正确，可能相交；B.若，，则或，因此不正确；C.若，，，则，正确；证明：设，，取，过点P分别作，，则，，，，又，．D.若，，则或．故选：C．A.由于，或相交，即可判断出正误；B.由已知可得或，即可判断出正误；C.正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D.由已知可得或，即可判断出正误．本题考查了直线面面面垂直与平行的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：D解析：解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：，，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设，，由得；，由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，利用换元法来解出结果．本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．13.答案：4解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得．由图可知，使目标函数取得最大值最大值的最优解为点A的坐标，的最大值为：4．故答案为：4．由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数的最优解，代入坐标求得的最小值．本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．14.答案：解析：解：双曲线的渐近线方程为，可得，则，所以双曲线的离心率为：．故答案为：．利用双曲线的渐近线方程，得到a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．15.答案：2解析：解：定义在上的函数满足下列两个条件：对任意的恒有成立；当时，．．故答案为：2．直接根据定义把转化到用来表示即可求解．本题主要考查抽象函数的求值，属于基础题．16.答案：解析：解：因为将矩形ABCD中，沿对角线BD折叠成空间四边形ABCD后，始终满足：，，且BD是公共斜边，所以BD的中点O到A，B，C，D的距离相等，所以O就是外接球的球心，所以半径，空间四边形ABCD的外接球的表面积．故答案为：．因为折起来后，得到的空间四边形始终满足，，且BD是公共斜边，所以BD 的中点O到A，B，C，D的距离相等，则O即为外接球的球心．问题可解．本题考查球的性质和球的表面积的计算．抓住球心到球面上任意一点的距离相等，找到球心O是本题的关键．属于基础题．17.答案：解：．由，解得：，的单调递增区间为：．Ⅱ由，可得，B为锐角，．又，，由余弦定理可得：，解得．解析：利用倍角公式、诱导公式可得：再利用正弦函数的单调性可得：的单调递增区间．Ⅱ由，可得，B为锐角，可得B再利用余弦定理即可得出．本题考查了倍角公式、诱导公式、正弦函数的单调性、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ由已知，锻炼时间在，中的人数分别是人，人，分别记中的2人为，，中的3人为，，，则随机抽取2人调查的所有基本事件空间为：，，，，，，，，，，共10个，这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率为．Ⅱ由已知可知，不超过4小时的人数为人，其中女生有3人，男生有2人，经常锻炼的女生有人，男生有人，补充完整的列联表如下所示，男生女生合计经常锻炼 28 17 45不经常锻炼 2 3 5合计 30 20 50，故没有的把握说明经常锻炼与否与性别有关．解析：Ⅰ由频率分布直方图中的数据先分别算出锻炼时间在，中的人数，并分别记为，和，，，然后用列举法得出随机抽取2人调查的所有基本事件空间数，最后用古典概型求概率即可；Ⅱ不超过4小时的人数为人，其中女生有3人，男生有2人，所以经常锻炼的女生有人，男生有人，然后补充完整列联表，并根据的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断．本题考查古典概型求概率、独立性检验，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．19.答案：解：证明：连接，，因为O，E分别是，AB的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，所以．因为，，所以，，，．设O到平面的距离为d，因为，．，．平面，E到平面的距离为．解析：根据中位线定理，只需证出OE与平面内的直线平行即可；等积法，利用将所求的距离转化为O到平面的距离即可．本题考查空间距离的计算和线面平行的判定，利用等积法求空间距离是考查此类问题的常见思路．同时强调转化思想在立体几何证明中的应用．属于中档题．20.答案：解Ⅰ将P的坐标代入方程可得：，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以，为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：；Ⅱ设，，BD的中点坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：，则直线AF的方程为：，A在直线上，所以，即，将直线BD与椭圆联立，整理可得，所以，，所以，所以中点，因为，所以OA平分线段BD；，，所以，令，所以，当且仅当时取等号，所以最大值为1．解析：Ⅰ将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；Ⅱ设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；求出，，进而求出的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．本题考查求轨迹方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式和均值不等式的应用，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，定义域为R，则，，在R上为减函数，，，由零点存在性定理可知，在上必存在，使得，且当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，，故至多有两个零点，又，，故，是的两个零点，由，，易得两切线方程为或，或．Ⅱ证明：由Ⅰ易知，，设，，，在R上为增函数，，当时，，即在上为减函数，当时，，即在上为增函数，，即，，得证．解析：Ⅰ求导得，，进而可知存在，使得，且在上单调递增，在上单调递减，进一步可得，是的两个零点，再求得，，由此求得所求切线方程；Ⅱ先构造函数，，，可知，可证．本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题．22.答案：解：Ⅰ已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为．整理得，化简得：．直线1的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．Ⅱ把方程转换为为参数，且．所以点到直线的距离，当，所以．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。

2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} 2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．13．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．y＝ln|x|B．y＝cosx C．y＝﹣x2D．y＝x3 4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（）A．14B．28C．36D．485．（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A．10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B．从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C．这10天中恰有5天空气质量不超标D．这10天中PM2.5 日均值的中位数是436．（5分）已知抛物线y2＝4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A．（1，1）B．（2，3）C．（4，4）D．7．（5分）设，是非零向量，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（5分）如图是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，则ω，φ的值分别为（）A．1，B．C．D．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则S5值为（）A．363B．121C．80D．4010．（5分）已知a＞0，b＞0，，则a+b的最小值为（）A．B．C．2D．411．（5分）已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β12．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）已知x，y满足约束条件则z＝x+y的最大值为．14．（5分）双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，则该双曲线的离心率e＝．15．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．则f（6）的值是．16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD 的中点．设点P在线段CC1上，二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为，sinα的最小值是．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，c＝1，求b．18．（12分）某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2＝≈11.95；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）＝0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：OE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若，在线段C1A1上是否存在点F （F不与（C1，A1重合）使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知过点的曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF 的垂线交曲线C于点B，D．（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣x2+2πx﹣a．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：a．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．记M的轨迹为曲线C．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．（Ⅰ）求C和l的直角坐标方程；（Ⅱ）求C上的点到1距离的最小值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b的最小值．2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）答案与解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2，∴（1﹣i）（1+i）z＝2（1﹣i），∴2z＝2（1﹣i），∴z＝1﹣i，则z的虚部为﹣1．故选：A．3．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，有f（﹣x）＝ln|x|＝f（x），是偶函数，且在（0，+∞）上，f（x）＝lnx，为增函数，符合题意，对于B，y＝cosx，是余弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝﹣x2，为二次函数，在（0，+∞）上是单调减函数，不符合题意；对于D，y＝x3，为奇函数，不符合题意；故选：A．4．【分析】由等差数列的性质得S8＝＝，由此能求出结果．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝12，∴S8＝＝＝4×12＝48．故选：D．5．【分析】由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果．【解答】解：由折线图可知A错，因为10天中PM2.5日均值最低的是12月1日；B错，因为2日到3日是下降的；C错，因为10天中有8天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是43，故选：D．6．【分析】由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．【解答】解：设B（x，y），由抛物线的方程可得准线方程为：x ＝﹣1，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离x+1＝5，所以x＝4，代入抛物线的方程可得y＝±4，由B在第一象限，所以y＝4，即B的坐标（4，4），故选：C．7．【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“|+2|＝|﹣2|，则平方得||2+4||2+4•＝||2+4||2﹣4•，即4•＝﹣4•，得•＝0，即⊥，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的充要条件，故选：C．8．【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．【解答】解：∵由函数图象可知T＝2×（﹣）＝π，∴ω＝2，∵x＝时，函数取得最大值2，∴可得：2sin（2×+φ）＝2，可得：2×+φ＝2kπ+，即φ＝2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝．故选：D．9．【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2s n+1，n∈N*，可得a2＝3，a3＝9，a4＝27，a5＝81，则S5＝1+3+9+27+81＝121．故选：B．10．【分析】根据，可以得到a+b＝（a+b）×（），展开后再运用基本不等式可求得最小值．【解答】解：∵，∴a+b＝（a+b）×（）＝1+1+≥2+2＝4，当且仅当时等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：D．11．【分析】A．由于α∥β，或相交，即可判断出正误；B．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误；C．正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误．【解答】解：A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β，不正确，可能相交；B．若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，因此不正确；C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α，正确；证明：设α∩β＝b，α∩γ＝c，取P∈α，过点P分别作m⊥b，n⊥c，则m⊥β，n⊥γ，∴m⊥a，n⊥a，又m∩n＝P，∴a⊥α．D．若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β．故选：C．12．【分析】先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论．【解答】解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有：+＝18；再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有：＝3种；故P（A|B）＝＝；故选：B．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z＝x+y的最优解，代入坐标求得z＝x+y的最小值．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2）．由图可知，使目标函数z＝x+y取得最大值最大值的最优解为点A 的坐标，∴z＝x+y的最大值为：4．故答案为：4．14．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到ab关系式，然后求解离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程为y ＝x，可得a＝b，则c＝，∴e＝．故答案为：．15．【分析】直接根据定义把f（6）转化到用f（）来表示即可求解．【解答】解：∵定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．∴f（6）＝2f（3）＝4f（）＝4×（2﹣）＝2．故答案为：2．16．【分析】判断平面A1BD与平面ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断P的位置，求解最小值即可．【解答】解：连接AC交BD与O，连接A1C1，由题意可知：BD ⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OPS，所以点P在线段CC1上二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为：∠A1OP，设正方体的列出为2，则A1O＝，OC＝，A1C＝2，由题意可知P在C处时，cos∠A1OP＝＝﹣，此时sin∠A1OP＝，是最小值．故答案为：∠A1OP；．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（Ⅰ）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）＝2sin2x﹣1，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，结合B为锐角，可得B＝，进而根据余弦定理即可求解b的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：＝sin2x ﹣[1+cos（2x+）]＝2sin2x﹣1，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，由题意可得B为锐角，可得B＝，又a＝1，c＝1，又余弦定理可得b＝＝＝1．18．【分析】（Ⅰ）写出频率分布直方图中的a，写出s12，s22的大小即可．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．求出P（A），P（B），通过P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）求解即可．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），推出X∽B（10，0.6825），求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a＝0.015．s12＞s22．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．则：P（A）＝0.2+0.1＝0.30，P（B）＝0.1+0.2＝0.30，P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）＝0.42．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），从而P（26.5﹣11.9＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826，∴从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826．根据题意得：X∽B（10，0.6825），∴EX＝10×0.6826＝6.826．19．【分析】（I）连接BC1，AC1，利用三角形中位线定理可得：OE ∥AC1，利用线面平行的判定定理即可证明结论．（II）由AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，可以建立空间直角坐标系．设BC＝2，由∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1，可得cos∠ACO＝，AO＝1．设＝λ（0＜λ＜1），可得F（﹣，λ，λ），＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），可得•＝•＝0．利用＝，解得λ．即可得出．【解答】（I）证明：连接BC1，AC1，∵O为B1C的中点，E为AB的中点，∴OE∥AC1，∵OE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1．∴OE⊄平面ACC1A1．（II）解：∵AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，∴AO⊥OB，AO⊥OB1，OB⊥OB1．∴以点O为坐标原点，OB，OB1，OA为x，y，z轴，可以建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设BC＝2，∵∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1∴cos∠ACO＝，∴AO＝1．∴B（，0，0），C（0，﹣1，0），C1（﹣，0，0），A（0，0，1），A1（﹣，1，1），∴E（，0，），设＝λ（0＜λ＜1），∴F（﹣，λ，λ），∴＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），∵＝（0，1，1），＝（﹣，1，0）．∴•＝•＝0．∴y+z＝0，﹣x+y＝0．取＝（1，，﹣）．∴＝＝，解得λ＝．∴＝．20．【分析】（Ⅰ）将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；（Ⅱ）（i）设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF 的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；（ii）求出|AF|，|BD|，进而求出的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．【解答】解（Ⅰ）将P的坐标代入方程可得：a＝2，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：+＝1；（Ⅱ）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），BD的中点坐标M（x0，y0），由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：x＝my+1，则直线AF的方程为：y＝﹣m（x﹣1），A在直线x＝4上，所以y A＝﹣3m，即A（4，﹣3m），将直线BD与椭圆联立，整理可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以x1+x2＝m（y1+y2）+2＝，所以中点M（，），因为k OA＝＝k OM，所以OA平分线段BD；（ii）|AF|＝3，|BD|＝＝，所以＝，令t＝≥1，所以＝＝≤1，当且仅当t＝1时取等号，所以最大值为1．21．【分析】（Ⅰ）将a＝0带入，求导得f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，进而可知存在x0，使得f′（x0）＝0，且f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，在x∈（x0，+∞）上单调递减，进一步可得x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，再求得f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，由此求得所求切线方程；（Ⅱ）先构造函数F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，可得；设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y ＝a的交点横坐标为x4，可得，由此即可得证．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝2sinx﹣x2+2πx，定义域为R，则f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，∴y＝f′（x）在R上为减函数，∵f′（0）＝2+2π＞0，f′（π）＝﹣2π＜0，∴由零点存在性定理可知，f′（x）在x∈（0，π）上必存在x0，使得f′（x0）＝0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（x0，+∞）上单调递减，∴f（x）max＝f（x0），故f（x）至多有两个零点，又∵f（0）＝0，f（2π）＝0，故x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，∴由f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，易得两切线方程为y ＝（2+2π）x或y＝（2﹣2π）x﹣4π+4π2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，x1＜x0＜x2，设F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝F′（x）在R上为增函数，∵F′（0）＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上为增函数，∴F（x）≥F（0）＝0，即（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，则，∵y＝（2+2π）x为增函数，∴；同理设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，则G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝G′（x）在R上为增函数，又G′（2π）＝0，∴当x∈（﹣∞，2π）时，G′（x）＜0，即G（x）在（﹣∞，2π）上单调递减，当x∈（2π，+∞）时，G′（x）＞0，即G（x）在（2π，+∞）上单调递增，∴G（x）≥g（2π）＝0，即（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y＝a的交点横坐标为x4，则，又y＝（2﹣2π）（x﹣2π）为减函数，则，故，∴a，得证．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．整理得，化简得：（x＝±1）．直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）把方程（x＝±1）转换为（θ为参数，且﹣π＜θ＜π）．所以点C（cosθ，2sinθ）到直线的距离d＝，当，所以．[选修4--5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．【解答】解：（1）由题意得：∵f（x）≤g（x）在x∈R上恒成立，∴m≤|x+3|+|x﹣2|恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣2|）min又∵|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5∴m≤5，即m∈（﹣∞，5]（2）令f（x）≥0，∴m≥||若m≤0，则解集为∅，不合题意；若m＞0，则有﹣m≤x﹣2≤m，即x∈[2﹣m，2+m]又∵解集为x∈[1，3]，∴m＝1∴ab﹣2a﹣b＝2∴b＝∵，解得a＞1∴a+b＝a++3∴a+b≥2+3＝7当且仅当a﹣1＝，即a＝3时，等号成立，此时b ＝4∴a＝3，b＝4时a+b的最小值为7。

2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）﹣6的绝对值等于（）A．6B．C．﹣D．﹣62．（3分）如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000千米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（）A．1 496×105B．1 496×108C．1.496×105D．1.496×108 4．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（）A．（2，3）B．（2，9）C．（﹣1，6）D．（5，6）5．（3分）不等式6x+1≤2x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形7．（3分）计算（﹣3x）3的结果是（）A．﹣27x3B．﹣9x3C．9x3D．27x38．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，折痕为EC，若AB ＝3，BC＝5，则AE的长为（）A．B．1C．D．10．（3分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D 在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3C．2D．2+二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝°．12．（3分）某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为．13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，OB＝2，则BC的长为．14．（3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为．15．（3分）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）16．（3分）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）计算：（3﹣）2++．18．（9分）计算：÷﹣．19．（9分）如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：AE ＝DF．20．（12分）某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为%，成绩等级为“及格”的男生人数为人；（2）被测试男生的总人数为人，成绩等级为“不及格”的男生人数人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．21．（9分）向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？22．（9分）如图，直线y＝3x+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n）（0＜n＜6），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点D，交直线AB于点E，连接BD．若S△BDE＝S△BOC，求n的值．23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线AB、CD交于点E，AD交⊙O于点F．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AF＝7，DC＝2，求AE的长．24．（11分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan A＝2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF．设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC 的重叠部分的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，BC＝kAB，DA⊥AC交BC于点D，点E在BC的延长线上，且∠B ＝∠BAD+∠E，AF平分∠DAE交BE于点F，CG⊥AF垂足为G，探究线段CG与AD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD与∠CAE相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD＝∠EAC；（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明．26．（12分）定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）﹣6的绝对值等于（）A．6B．C．﹣D．﹣6【分析】根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：根据绝对值的性质，|﹣6|＝6，故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，难度适中．2．（3分）如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【解答】解：从左边看是竖着叠放的2个正方形，故选：B．【点评】本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，解题的关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．3．（3分）“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000千米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（）A．1 496×105B．1 496×108C．1.496×105D．1.496×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：149 600 000这个数用科学记数法表示为1.496×108．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（）A．（2，3）B．（2，9）C．（﹣1，6）D．（5，6）【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减计算即可．【解答】解：点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（2，6﹣3），即（2，3），故选：A．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．5．（3分）不等式6x+1≤2x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：6x+1≤2x﹣3，6x﹣2x≤﹣3﹣1，4x≤﹣4，x≤﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．6．（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．（3分）计算（﹣3x）3的结果是（）A．﹣27x3B．﹣9x3C．9x3D．27x3【分析】根据积的乘方的性质进行计算即可．【解答】解：（﹣3x）3＝﹣27x3，故选：A．【点评】本题考查了积的乘方．解题的关键是掌握积的乘方的运算方法，要注意理符号的变化．8．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中随机摸出一个，两次都摸到红球的结果数为2，所以随机摸出一个，两次都摸到红球的概率＝＝．故选：B．【点评】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．9．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，折痕为EC，若AB ＝3，BC＝5，则AE的长为（）A．B．1C．D．【分析】根据折叠的性质得到CF＝BC＝5，EF＝BE，根据勾股定理得到DF＝4，求得AF＝5﹣4＝1，设AE＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，∴CF＝BC＝5，EF＝BE，∵CD＝AB＝3，∠D＝90°，∴DF＝4，∴AF＝5﹣4＝1，设AE＝x，∴BE＝EF＝3﹣x，∵∠A＝90°，∴AE2+AF2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．10．（3分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D 在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3C．2D．2+【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C，D的坐标，由点B，D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点F、G的横坐标，进而可求出线段FG的长．【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），∴令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则（x+3）（x﹣1）＝0，∴x＝﹣3或1，∴B（1，0），∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为x＝﹣1，∵CD∥AB，∴C、D两点关于x＝﹣1对称，∴D（﹣2，﹣3），设BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，∴，∴BD的解析式为y＝x﹣1，∴E（0，﹣1），令y＝﹣1，则y＝x2+2x﹣3＝﹣1，解得，x＝﹣1，∴F（﹣1﹣，﹣1），G（﹣1+，﹣1），∴FG＝（（﹣1+）﹣（（﹣1﹣）＝2，故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F、G的横坐标是解题的关键．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝108°．【分析】先根据AB∥CD求出∠C的度数，再由BC∥DE即可求出∠D的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝72°，∴∠C＝180°﹣∠B＝108°，∵BC∥DE，∴∠D＝∠C＝108°．故答案为：108．【点评】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．12．（3分）某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为49．【分析】结合表格根据平均数的概念求解即可．【解答】解：平均数＝，故答案为：49．【点评】本题考查了平均数的知识，掌握平均数的概念是解答本题的关键．13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，OB＝2，则BC的长为2．【分析】先判断点O为△ABC的重心，根据重心的性质得到OD＝1，则BD＝3，再根据等边三角形的性质得BD⊥AC，∠BCD＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．【解答】解：∵BD和CE为△ABC的中线，∴点O为△ABC的重心，∴OD＝OB＝×2＝1，∴BD＝3，∵△ABC为等边三角形，∴BD⊥AC，∠BCD＝60°，∴CD＝BD＝，∴BC＝2CD＝2．故答案为2．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等边三角形的性质．14．（3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为．【分析】设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意可得两个等量关系：甜果的个数+苦果的个数＝1000，买甜果所需的钱数+买苦果的所需的钱数＝999，依此列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，由题意可得，，故答案为．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．15．（3分）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为22cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】作DM⊥AB于M，在Rt△BCN中，由三角函数求出BC≈83.3（cm），BN≈66.7（cm），求出AN的长，证出△ADM是等腰直角三角形，得出AM＝DM＝50cm，即可得出CD的长．【解答】解：作DM⊥AB于M，如图所示：在Rt△BCN中，BC＝CN÷cos37°＝50÷0.8＝62.5（cm），∴BN＝BC•sin37°＝62.5×0.80≈37.5（cm），∴AN＝AB+BN＝34+37.5＝71.5cm，∵∠DAE＝45°，∠BAE＝90°，∴∠DAM＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝DM＝50cm，∴CD＝MN＝AN﹣AM＝71.5﹣50≈22（cm）；故答案为：22．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、三角函数、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握解直角三角形的方法，求出BN是解决问题的关键．16．（3分）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为37升．【分析】找准几个关键点进行分析解答即可．【解答】解：由图象可知：当用时1小时时，油量剩余45升，行驶了30公里；当用时在1﹣2.5小时之间时，可得：每小时行驶的里程为公里，每小时耗油量为升∴当用时1+1＝2小时时，此时刚好行驶了130公里，此时油箱里的剩油量为：45﹣8×1＝37升，故答案为：37．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）计算：（3﹣）2++．【分析】先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式＝9﹣6+2+4+2＝11．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（9分）计算：÷﹣．【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则19．（9分）如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：AE ＝DF．【分析】由AE⊥BC，DF⊥BC，得∠DFC＝∠AEB＝90°，又由CE＝BF，可得CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，AB＝CD，所以△DFC≌△AEB，即可得出AE＝DF【解答】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，又∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，∵AB＝CD，∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），∴AE＝DF．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在两直角三角形中，当斜边和一条直角边对应相等时，两直角三角形全等．20．（12分）某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为30%，成绩等级为“及格”的男生人数为10人；（2）被测试男生的总人数为50人，成绩等级为“不及格”的男生人数5人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．【分析】（1）根据及格的人数和频率求出被测试男生的总人数，用总人数乘以成绩等级为“优秀”的男生人数所占的百分比，求出成绩等级为“优秀”的男生人数，再用成绩等级为“优秀”的男生人数除以总人数，即可得出成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比；根据及格的频数直接得出成绩等级为“及格”的男生人数；（2）根据（1）求出的总人数乘以成绩等级为“不及格”的男生人数的频率即可得出答案；（3）用该校七年级共有的人数乘以成绩等级为“良好”的学生人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）被测试男生总数有10÷0.2＝50（人），成绩等级为“优秀”的男生人数有50×30%＝15（人），成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为×100%＝30%；成绩等级为“及格”的男生人数为10人；故答案为：30，10；（2）根据（1）可得：被测试男生总数是50（人），成绩等级为“不及格”的男生人数有50×0.1＝5（人），故答案为：50，5；（3）根据题意得：570×（1﹣30%﹣0.2﹣0.1）＝228（人），答：该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数有228人．【点评】本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（9分）向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？【分析】（1）设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年该村人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2020年该村的人均收入＝2019年该村的人均收入×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x，依题意，得：30000（1+x）2＝36300，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）36300×（1+10%）＝39930（元）．答：预测2020年该村的人均收入是39930元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．（9分）如图，直线y＝3x+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n）（0＜n＜6），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点D，交直线AB于点E，连接BD．若S△BDE＝S△BOC，求n的值．【分析】（1）先把A（1，m）代入y＝3x+6求出m得到A（1，9），然后把A点坐标代入y＝中求出得到反比例函数解析式；（2）先利用一次函数解析式确定B（﹣2，0），C（0，6），再用n表示出E（，n），D（，n），根据三角形面积公式，利用S△BDE＝S△BOC得到×n×（﹣）＝××2×6，即方程得到n1＝3+2，n2＝3﹣2，然后利用0＜n＜6可判断n的值不存在．【解答】解：（1）把A（1，m）代入y＝3x+6得m＝3+6＝9，∴A（1，9）；把A（1，9）代入y＝得k＝1×9＝9，∴反比例函数解析式为y＝（x＞0；（2）当y＝0时，3x+6＝0，解得x＝﹣2，则B（﹣2，0）；当x＝0时，y＝3x+6＝6，则C（0，6）；∵DP∥x轴，∴D、E点的纵坐标都为n，∴E（，n），D（，n），∵S△BDE＝S△BOC，∴×n×（﹣）＝××2×6，整理得n2﹣6n﹣3＝0，解得n1＝3+2，n2＝3﹣2，∵0＜n＜6，∴n的值不存在．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也得考查了待定系数法求函数解析式．23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线AB、CD交于点E，AD交⊙O于点F．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AF＝7，DC＝2，求AE的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到CD⊥OC，根据平行线的性质得到∠CAD ＝∠ACO，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）如图，连接BC，CF，BF，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠AFB＝90°，根据相似三角形的性质得到＝，求得DF＝1（负值舍去），根据勾股定理得到＝＝＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）如图，连接BC，CF，BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠AFB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，由（1）知，∠DAC＝∠CAO，∴∠CBA＝∠DCA，∵四边形ABCF是圆内接四边形，∴∠AFC+∠CBA＝180°，∵∠AFC+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠CBA＝∠DCA，由（1）知，∠ADC＝∠CDF＝90°，∴△CDF∽△ADC，∴＝＝，∴＝，∴DF2+7DF＝8，∴DF＝1（负值舍去），∴AD＝AF+DF＝7+1＝8，∴AC＝＝＝6，∵∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴，∴，∴AB＝9，∵∠AFB＝90°，∠ADC＝90°，∴∠AFB＝∠ADC，∴BF∥DE，∴＝，＝，∴AE＝．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（11分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan A＝2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF．设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC 的重叠部分的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．则∠AHC＝∠CHB＝90°，设AH＝m．分两种情形：①当0＜t≤1时，如图1中．②当1＜t＜5时，如图2中，分别求解即可．（2）首先确定点E落在BC上的时间，分三种情形：①当0＜t≤时，重叠部分是正方形PDEF，如图1中．②当＜t≤1时，重叠部分是五边形PDMNF，如图4中．③当1＜t＜5时，重叠部分是四边形PDNF，如图2中，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．则∠AHC＝∠CHB＝90°，设AH ＝m．在Rt△ACH中，＝tan A＝2，∴CH═2AH＝2m，∵∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝∠ACB＝90°，∴∠BCH＝∠A，在Rt△BCH中，＝tan∠BCH＝2，∴BH＝2CH＝4m，∴AH+HB＝AB，∴5m＝5，∴m＝1，∵四边形PDEF是正方形，∠APD＝∠DPF＝90°，①当0＜t≤1时，如图1中，＝tan A＝2，∴PD＝2P A＝2t．②当1＜t＜5时，如图2中，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠PDB＝90°，∴∠PDB＝∠A，在Rt△DPB中，＝tan∠BDP＝2，∴PD＝PB＝（5﹣t）＝﹣t+．（2）当点E落在BC上时，如图3中，由题意EF＝PF＝PD＝2t，BF＝2EF＝4t，∵AP+PF+BF＝AB，∴t+2t+4t＝5，∴t＝，①当0＜t≤时，重叠部分是正方形PDEF，如图1中，S＝（2t）2＝4t2．②当＜t≤1时，重叠部分是五边形PDMNF，如图4中，EF＝PD＝PF＝2t，在Rt△BNF中，FN＝BF＝（5﹣3t），∴EN＝EF﹣FN＝2t﹣（5﹣3t）＝t﹣，在Rt△EMN中，EM＝2EN＝7t﹣5t，∴S＝S正方形PDEF﹣S△EMN＝4t2﹣（7t﹣5）2＝﹣t2+t﹣．③当1＜t＜5时，重叠部分是四边形PDNF，如图2中，S＝S△BDP﹣S△BNF＝×（5﹣t）×（5﹣t）﹣×（﹣）×（﹣）＝t2﹣t+，综上所述，S＝．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，BC＝kAB，DA⊥AC交BC于点D，点E在BC的延长线上，且∠B ＝∠BAD+∠E，AF平分∠DAE交BE于点F，CG⊥AF垂足为G，探究线段CG与AD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD与∠CAE相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD＝∠EAC；（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质、结合题意证明即可；（2）作AN⊥CD于N，DH⊥AG于H，证明△DFH≌△CFG，根据全等三角形的性质得到CG＝DH，证明△ADH∽△ABN，根据相似三角形的性质列出比例式，计算得到答案．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACB是△ACE的外角，∴∠ACB＝∠CAE+∠E，∵∠B＝∠BAD+∠E，∴∠BAD＝∠EAC；（2）解：CG＝AD，理由如下：作AN⊥CD于N，DH⊥AG于H，设∠BAD＝α，则∠EAC＝α，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF＝∠DAE＝（∠DAC+∠EAC）＝45°+α，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（90°﹣∠BAD）＝45°﹣α，∴∠ADF＝∠B+∠BAD＝45°+α，∴∠ADF＝∠DAF，∴F A＝FD，∵∠DAC＝90°，∴∠F AC＝90°﹣∠DAF，∠FCA＝90°﹣∠ADF，∴∠F AC＝∠FCA，∴F A＝FC，∴DF＝CF，在△DFH和△CFG中，，∴△DFH≌△CFG（AAS），∴CG＝DH，∵AB＝AC，AN⊥BC，∴BN＝BC＝AB，∠ADH＝90°﹣∠DAF＝45°﹣α，∴∠ADH＝∠B，又∠AHD＝∠ANB，∴△ADH∽△ABN，∴＝＝，∴＝，即CG＝AD．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．（12分）定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为2m﹣3（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）y＝ax2﹣6ax+5a，令y＝0，则x＝5或1，函数对称轴为直线x＝3，由中点公式得：h+3＝2m，即可求解；（2）分t≤﹣1、﹣1＜t＜0、t≥0三种情况，分别求解即可；（3）分a＞0、a＜0两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）y＝ax2﹣6ax+5a，令y＝0，则x＝5或1，函数对称轴为直线x＝3，由中点公式得：h+3＝2m，故h＝2m﹣3，故答案为：2m﹣3；（2）a＝1，C1：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，顶点为（3，﹣4），m＝1时，C2的顶点为（﹣1，4），C2：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，①当t≤﹣1时，y随x的增大而增大，y1﹣y2＝﹣t2﹣2t+3﹣[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]＝3，解得：t＝﹣2；②当t﹣1＜﹣1＜t时，即﹣1＜t＜0时，分两种情况：（Ⅰ）当﹣1﹣（t﹣1）≥t﹣（﹣1）时，即﹣1＜t≤﹣时，y1﹣y2＝[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]﹣t2＝3，解得：t＝（舍去）（Ⅱ）当﹣1﹣（t﹣1）＜t﹣（﹣1）时，即﹣＜t＜0时，y1﹣y2＝3＝4﹣（t2﹣2t+3）＝t2+2t+1，解得：t＝﹣1（舍去）；③当t﹣1≥﹣1时，即t≥0时，y随x的增大而减小，y1﹣y2＝[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]﹣[﹣t2﹣2t+3]＝3，解得：t＝1；综上，t＝﹣2或t＝1；（3）当m＝2时，C1：y＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a，∴C2的表达式为：y＝﹣a（x﹣1）2+4a，当y＝0时，x＝﹣1或3，当x＝0时，y＝3a，。

辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}|23A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-，则集合A B 为（ ）A. {}2,1,0,1,2--B.1,0,1,2C. {}1,0,1,2,3-D.{}2,1,0,1,2,3--【答案】B 【解析】 【分析】直接判断集合B 有哪些元素在集合A 中即可.【详解】因为集合{}|23A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-，所以集合{}1012A B ⋂=-，，， 故选：B【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于容易题. 2.已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】B 【解析】设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（） ，2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩1b ⇒=- ，故选B. 3.下列函数中是偶函数，且在()0,∞+是增函数的是（ ） A. ln y x =B. cos y x =C. 2y x =-D. 3y x =【解析】 【分析】对于A 选项：函数ln y x =是偶函数且函数ln y x =为增函数；对于B 选项：函数cos y x=是偶函数但当()0,x ∈+∞时不是增函数；对于C 选项：函数2y x =-是偶函数，但当()0,x ∈+∞时为减函数；对于D 选项：函数3y x =是奇函数.【详解】对于A 选项：因为函数ln y x =中自变量x 含有绝对值，所以是偶函数， 当0x >时，函数ln ln y x x ==为增函数，故正确； 对于B 选项：根据函数cos y x =的图像可知它是一个偶函数， 但当()0,x ∈+∞时有增有减，故错误；对于C 选项：函数2y x =-是开口向下的二次函数是偶函数， 但当()0,x ∈+∞时为减函数，故错误； 对于D 选项：函数3y x =是奇函数，故错误； 故选：A【点睛】本题考查了对函数的奇偶性以及在区间的单调性进行判断，属于较易题. 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4512a a +=，则8S 的值为（ ） A. 14 B. 28C. 36D. 48【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质即可求出. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和， 所以()()18818842a a S a a +==+ ()45448a a =+=【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题. 5.PM 2．5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM 2．5日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在33575/g m μ-空气质量为二级，超过375/g m μ为超标，如图是某地1月1日至10日的PM 2．5（单位：3/g m μ）的日均值，则下列说法正确的是（ ）A. 10天中PM 2．5日均值最低的是1月3日B. 从1日到6日PM 2．5日均值逐渐升高C. 这10天中恰有5天空气质量不超标D. 这10天中PM 2．5日均值的中位数是43 【答案】D 【解析】 【分析】根据给的图，列出对应的数据，即可得到.【详解】对于A 选项：10天中PM 2．5日均值最低的是1月1日，故A 选项不正确； 对于B 选项：前两天的均值到前三天的均值是减少的，故B 选项不正确； 对于C 选项：不超过375/g m μ有8天，故C 选项不正确； 对于D 选项：因为这十天的数据从小到大排列后为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，可得到它的中位数为43，故D 选项正确 故选：D【点睛】本题考查了根据折线图像得到数据，解决一些数据有关问题，属于较易题. 6.已知抛物线24y x =上点B （在第一象限）到焦点F 距离为5，则点B 坐标为（ ）A. ()1,1B. ()2,3C. ()4,4D. (3【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线定义可得到B 点的横坐标，再代入抛物线方程即可. 【详解】设()()000,,0B x y y >， 因为点B 到焦点F 距离为5即5BF =, 根据抛物线定义：00152pBF x x =+=+=， 解得：04x =，代入抛物线方程24y x =， 得04y =即()4,4B 故选：C【点睛】本题考查了利用抛物线定义求抛物线上点的坐标，属于较易题. 7.设非零向量m ，n 则“m n ⊥”是“22m n m n +=-”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据m n ⊥可得0m n ⋅=，由22m n m n +=-也可得0m n ⋅=，再根据充分条件和必要条件的定义来判断即可. 【详解】因为m n ⊥， 所以0m n ⋅=，因为22m n m n +=-，两边平方可得：22222424m m n n m m n n ++=-+即0m n ⋅=，由充分条件和必要条件可判断出m n ⊥是22m n m n +=-的充分必要条件 故选：C【点睛】本题考查了向量垂直的充要条件数量积为零，向量的运算以及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.8.如图是函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象，则ω，ϕ的值分别为（ ）A. 1，3πB. 1，6π-C. 2，6π-D. 2，6π 【答案】D 【解析】 【分析】 根据图像由6π到23π是半个周期即22362T πππ=-=，可得到周期2T ππω==，从而可求出ω的值，再由最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入计算即可. 【详解】由题意可得22362T πππ=-=， 即2T ππω==，解得：2ω=，因为函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><图象的最高点为,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以有：sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即()2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得：()2,6k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ故选：D【点睛】本题考查了利用函数的部分图像求函数的解析式，属于较易题.9.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，121n n a S +=+，*n ∈N ，则5S 值为（ ） A .363B. 121C. 80D. 40【答案】B 【解析】 【分析】根据n a 与n S 的关系可得1121n n n n a S S S ++=+=-，利用构造法可判断出数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可求出5S 的值. 【详解】因为1121n n n n a S S S ++=+=-， 所以有：111322n n S S +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即得到数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以公比为3的等比数列，所以有：1111133222n n n S S -⎛⎫+=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 即11313222n n n S -=⋅-=，当5n =时有5531243112122S --===故选：B【点睛】本题考查了n a 与n S 的关系求通项公式，利用构造法求通项公式，属于较难题. 10.已知0a >，0b >，111a b+=，则+a b 的最小值为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，用+a b 乘以1，可得()11a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，再展开利用基本不等式即可. 【详解】因为111a b+=， 所以()()111a b a b a b ⎛⎫+⋅=+⋅+⎪⎝⎭11224a b a b a bb a b a b a=+++=++≥+⋅=， 当且仅当a bb a=即2a b ==时等号成立 故选：D【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，巧用了“1”的乘积，属于一般题. 11.已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若a ∥α，b ∥β，a ∥b 则α∥β B. 若αβ⊥，a α⊥，则a ∥β C. 若αβ⊥，αγ⊥，a βγ=，则a α⊥D. 若α∥β，a ∥α，则a ∥β【答案】C 【解析】 【分析】对于A 选项：当//,//,//a b a b αβ，则//αβ或αβ⋂；对于B 选项：当,a αβα⊥⊥，则//a β或a β⊂；对于C 选项：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知若αβ⊥，αγ⊥，a βγ=，则a α⊥；对于D 选项：当//,//a αβα，则//a β或a β⊂.【详解】对于A 选项：当//,//,//a b a b αβ，则//αβ或αβ⋂，故A 选项不正确； 对于B 选项：当,a αβα⊥⊥，则//a β或a β⊂，故B 选项不正确； 对于C 选项：根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知C 选项正确； 对于D 选项：当//,//a αβα，则//a β或a β⊂，故D 选项不正确； 故选：C【点睛】本题考查了线面之间的平行与垂直关系，考查了学生的逻辑推理能力，属于一般题. 12.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件A =“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B =“有一卦恰有一根阳线”，则()|P A B =（ ）,A.15B.16C.17D.314【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件分别求出()2328328C P A B C ⋂==和()25289114C P B C =-=，再代入条件概率的公式即可.【详解】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个， 两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，而事件A 所包含的情况可分为两种， 即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴； 第二种是两卦中均为一阳两阴；而事件AB 中只包含后者，即：()2328328C P A B C ⋂==,事件B的概率()25289114C P B C =-=，所以()31289614P A B ==故选：B【点睛】本题考查了条件概率的计算，关键是计算出事件AB 的概率，属于一般题.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答｡二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13.已知x ，y 满足约束条件0,0,2x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩则z x y=+最大值为__________．【答案】4； 【解析】 【分析】根据已知条件画出约束条件的可行域，再平移目标函数直线即可求出目标函数的最大值.【详解】因为x ，y 满足约束条件0,0,2x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，所以得到可行域（如图）当目标直线过()2,2B 时目标函数z x y =+有最大值4 故答案为：4【点睛】本题考查了线性规划，利用数形结合求目标函数的最值，属于较易题.14.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为y x =±，则双曲线的离心率为_______．2【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，根据题意知1b a ±=±，所以1ba=. 双曲线的离心率2222222e 12c c a b b a a a a+====+=2点睛：在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中，（1）离心率为c a， （2）焦点为()c,0，其中222a b c +=； （3）渐近线为：b y x a=±.15.定义在()1,+∞上的函数()f x 满足下列两个条件（1）对任意的()1,x ∈+∞恒有()()22f x f x =成立；（2）当(]1,2x ∈时，()2f x x =-．则()6f 的值是__________．【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件把()6f 化成342f ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据当(]1,2x ∈时，()2f x x =-代入即可. 【详解】因为对任意的()1,x ∈+∞恒有()()22f x f x =成立， 所以有：()()()336232322422f f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为当(]1,2x ∈时，()2f x x =-， 所以3312222f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以()36422f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：2【点睛】本题考查了求抽象函数的函数值，属于较易题.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上二面角1A BD P --的平面角为α，用图中字母表示角α为__________，sin α的最小值是__________．【答案】 (1). 1A OP ∠6 【解析】【分析】根据题意：连结1,A O OP和1PA，因为11A B A D=则1AO BD⊥，因为PB PD=则OP BD⊥即可得1A OP∠为二面角1A BD P--的平面角，利用直线与平面的位置关系，从而判断sinα的最小值.【详解】连结1,A O OP和1PA，如图因为11A B A D=则1AO BD⊥，因为PB PD=则OP BD⊥，即可得1A OP∠为二面角1A BD P--的平面角，设正方体1111ABCD A B C D-的边长为2，当P点与1C重合时，则1116,22AO OP AC===由余弦定理可得：22211111cos023AO OP ACAO OPα+-==>⋅，则1A OP∠为锐角且22sinα=，当P点与C重合时，则116,2,23AO OP AC===由余弦定理可得：2221113cos02AO OP ACAO OPα+-==<⋅则1A OP∠为钝角且6sin3α=，由此可判断当P 点从1C 运动到C 时，1A OP ∠从锐角到钝角， 则sin α先增大后减小， 所以sin α6 6【点睛】本题考查了二面角的平面角定义以及求二面角的三角函数值，考查了学生的推理和计算能力，属于较难题.三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设函数2()2sin cos 2cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，若02B f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3a =1c =，求b ．【答案】（Ⅰ）(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）17【解析】 【分析】(I)利用正弦，余弦的二倍角公式对函数()f x 进行化简得到：()2sin 21f x x =-，再利用整体代入法即可求出函数的单调递增区间；(II)由(I)得到的()2sin 21f x x =-可计算出()02Bf =中角B 的值，结合条件中,a c 的值，利用余弦定理即可求出b . 【详解】解：（Ⅰ）由题意可知()22sin cos 2cos 2sin cos cos 2144f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos 21sin 2sin 212sin212x x x x x π⎛⎫=-+-=+-=- ⎪⎝⎭，由()22222k x k k z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）由2sin 102B f B ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，可得1sin 2B =， 由题意知()0,B π∈故6B π=,或56B π=由余弦定理22222231b a c accosB a c ac =+-=+-=，1b ∴=或7【点睛】本题考查了利用二倍角公式对三角函数进行化简，利用余弦定理求三角形边长的大小，属于较易题.18.某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a 的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为21s ，22s ，试比较21s ，22s 的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率； （Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z 服从正态分布()2,N μσ．其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X 表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于()14.55,38.45的人数，求X 的数学期望． 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得2142.7511.95s =≈ ②若()2,Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=【答案】（Ⅰ）0.015a =，2212s s >；（Ⅱ）0.42（Ⅲ）6.826 【解析】 【分析】(I)根据图中的数据即可判断方差的大小，利用频率总和为1即可求出a 的值；(II)先设设事件A ：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，事件B ：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，根据图形数据可得到它们的概率，而恰有一人的锻炼时间大于20分钟分两种情况：一种是这个人在高一；另一种是这个人在高二；再不出它们的概率和即可；(III)利用所给的数据分别求出样本平均数x 和样本方差，代入公式即可求出概率和数学期望.【详解】解：（Ⅰ）0.015a =，2212s s >；（Ⅱ）设事件A ：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟， 事件B ：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，事件C ：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间大于20分钟，且另一个不大于20分钟，则()0.200.100.30P A =+=，()0.100.200.30P B =+=，()()()()()0.42P C P A P B P A P B ∴=+=．（Ⅲ）26.5x =，由条件得()26.5,142.75Z N ~， 从而()26.511.9526.511.950.6826P Z -<<+=，∴从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于()14.55,38.45的概率是0．6826，根据题意得()10,0.6826X B~，100.6826 6.826EX∴=⨯=．【点睛】本题考查了概率的计算及正态分布期望值的计算，考查了学生对数据的处理能力和计算能力，属于一般题.19.如图，三棱柱111ABC A B C-中，侧面11BB C C为菱形，A在侧面11BB C C上的投影恰为1B C 的中点O，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：OE∥平面11ACC A；（Ⅱ）若160CBB∠=︒，12cos4ACC∠=在线段11C A上是否存在点F（F不与1C，1A重合）使得直线EF与平面11ACC A3若存在，求出111C FC A的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在，11112C FC A=【解析】【分析】(I)根据已知条件先连接1BC，1AC，因为O，E分别为1BC，AB中点，所以根据中位线的性质即可得到1//OE AC,再利用线面平行的判定定理即可.(II) 因为AO⊥平面11BB C C，11BB C C为菱形，如图建立空间直角坐标系O xyz-，写出相关点的坐标，并设()11101CF C Aλλ=<<，求出平面11AA CC的法向量n，结合已知条件即可求出111C FC A的值.【详解】解：（Ⅰ）证明：连接1BC，1AC，因为O，E分别为1BC，AB中点，所以1//OE AC,因为OE⊄平面11ACC A，1AC⊂平面11ACC A，所以//OE平面11ACC A．（Ⅱ）因为AO⊥平面11BB C C，11BB C C为菱形，如图建立空间直角坐标系O xyz-，设2BC=，因为160CBB∠=︒，11cos cos cosACC ACO OCC∠=∠⋅∠，所以2cos ACO∠=1AO=，所以)3,0,0B，()0,1,0C-，()13,0,0C，()0,0,1A，()13,1,1A-，所以3122E⎛⎫⎪⎪⎝⎭，设()11101CF C Aλλ=<<，所以()3,,Fλλ-，所以331,2EFλλ⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=,设平面11AA CC的法向量(),,n x y z=，因为()0,1,1CA=，()13,1,0CC=-，所以30y zx y+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以n的一组解为(1,3,3n=-，因为直线EF与平面11ACC A3所以2233sin271742nnEFEFθλλ⋅===⎛⎫++-⎪⎝⎭，解得12λ=，0λ=（舍），所以11112C FC A=．【点睛】本题考查了线面平行的证明方法，考查了利用空间向量方法求线面角的正弦值，属于一般题.20.已知过点31,2P⎛⎫⎪⎝⎭的曲线C2222(1)(1)2x y x y a-+++=．（Ⅰ）求曲线C的标准方程:（Ⅱ）已知点()1,0F，A为直线4x=上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D．（ⅰ）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ⅱ）求||||BDAF最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y+=（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）1【解析】【分析】(I)由题意把点31,2P⎛⎫⎪⎝⎭代入方程可得a的值，利用椭圆的定义可求出曲线C的标准方程；(II)(i)先设()11,B x y，()22,D x y，BD的中点()00,M x y，和直线BD的方程为1x my=+和直线AF的方程为()1y m x=--，联解椭圆方程可得到M的坐标，证明OA OMk k=即,,O A M三点共线，即证明出OA平分线段BD；(ii)利用两点间距离公式和椭圆弦长公式分别求出,AF BD ，利用基本不等式求最值. 【详解】解：（Ⅰ）将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C ()()2222112x y x y a -+++=，()()222233351111422222a ⎛⎫⎛⎫-+++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2a =；由椭圆定义可知曲线C 的轨迹为以()1,0-，()1,0为焦点的椭圆， 即1c =，2223b a c =-=，所以C 的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）（ⅰ）设()11,B x y ，()22,D x y ，BD 的中点()00,M x y 设BD 的方程为1x my =+， 则AF的方程为()1y m x =--，所以()4,3A m -．将直线BD 与椭圆C 的方程联立22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2234690m y my ++-=． 则122634m y y m -+=+，122934y y m -⋅=+， ()1212122811234x x my my m y y m +=+++=++=+，2243,3434m M m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭，34OA OM mk k =-=， OA ∴平分线段BD ．（ⅱ）231AF m =+()()222121221211434m BD m y y y y m +=++-⋅=+241BDm AF +∴=，令211t m =+≥，即221m t =-， 2441313BD t AFt t t∴==++令1()3,(1)f t t t t =+≥， 则21()30f t t '=+>，1()3f t t t∴=+在[)1,t ∈+∞上为增函数，即1()3(1)4f t t f t=+≥=，24411313BD t AFt t t∴==≤++（当且仅当“1t =”时取等号） BD AF∴的最大值为1．【点睛】本题考查了证明三点共线弦长的计算，利用导数求最值，考查了学生的计算能力，属于较难题.21.已知函数2()2sin 2f x x x x a π=-+-． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 零点处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 有两个零点1212,()x x x x <，求证：2211(2)x x a πππ---≥．【答案】（Ⅰ）()22y x π=+或()22244y x πππ=--+（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】(I)先把0a =代入得到()22sin 2f x x x x π=-+，根据零点存在性原理判断函数的零点坐标原点()0,0O 和()2,0π，代入求出切线斜率即可求出切线方程；(II)先构造一个函数()()2222sin 2F x x x x x ππ=+-+-，利用这个函数可得到()2222sin 2x x x x ππ+≥-+，从而有()()211113222sin 222x x x x a x πππ+≥-+==+，再构造()()()22222sin 2G x x x x x πππ=---+-，得到()()22222sin 2x x x x πππ--≥-+，有()()()()2222242222sin 2222x x x x a x πππππ--≥-+==--，再根据2143x x x x -≤-即可证明.【详解】解：（Ⅰ）由题意得：0a =，()22sin 2f x x x x π∴=-+，定义域为x R ∈， ()2cos 22f x x x π=-+'，()2sin 20f x x ''=--<，()f x ∴'在x R ∈上为减函数．()0220f π=+'>，()20f ππ=-<'∴由零点存在定理可知，()f x '在()0,x π∈上必存在一点0x 使()00f x '=∴当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，即()f x 在()0,x x ∈-∞上为增函数，当[)0,x x ∈+∞时，()0f x '≤，即()f x 在[)0,x x ∈+∞上为减函数， ()f x ∴极大值()0f x =，故()f x 至多有两个零点，又()00f =，()20f π=，故0x =，2x π=是()f x 的两个零点，∴由()022f π'=+，()222f ππ=-'， 易得出两切线方程为：()22y x π=+或()22244y x πππ=--+ （Ⅱ）由（Ⅰ）易知102x x x <<，设()()2222sin 2F x x x x x ππ=+-+-， ()22cos 2F x x x =-+'，()2sin 20F x x ='+'≥，()22cos 2F x x x ∴=-+'在x R ∈上为增函数，()00F '=∴当(),0x ∈-∞时，()0F x '<，即()F x 在(),0x ∈-∞上为减函数，当[)0,x ∈+∞时，()0F x '≥，即()F x 在[)0,x ∈+∞上为增函数，()()00F x F ∴≥=，即()2222sin 2x x x x ππ+≥-+，设()22y x π=+与y a =的交点横坐标为3x ，()()211113222sin 222x x x x a x πππ+≥-+==+，()22y x π=+为增函数，()3122a x x π∴=≤+， 同理设()()()22222sin 2G x x x x x πππ=---+-，()242cos 2G x x x π=--+'，()2sin 20G x x ='+'≥，()242cos 2G x x x π∴=--+'在x R ∈上为增函数，()20G π'=，∴当[)2,x π∈+∞时，()0G x '≥，即()G x 在[)2,x π∈+∞上为增函数，当(),2x π∈-∞时，()0G x '<，即()G x 在(),2x π∈-∞上为减函数，()()20G x G π∴≥=，即()()22222sin 2x x x x πππ--≥-+，设()()222y x ππ=--与y a =的交点横坐标为4x ，()()()()2222242222sin 2222x x x x a x πππππ--≥-+==--，()()222y x ππ=--为减函数，42222a x x ππ∴=+≥-， 故：()()2143242222221a a x x x x πππππππ-≤-=+=+-+-， ()22112x x a πππ-∴--≥得证．【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，利用构造函数以及函数的单调性来证明不等式，属于困难题.请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:23110l x ++=；（27 【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+ ()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ 整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈- 又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：23110x y ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l 的距离4sin 112cos 23sin 11677d πθθθ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭== 当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min 7d =【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.选修4—5：不等式选讲23.已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，()3g x x =+． （Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值．【答案】（Ⅰ）(],5m ∈-∞（Ⅱ）()min 7a b += 【解析】【分析】(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；(II)由不等式()0f x ≥的解集为[]1,3可求出m 的值，代入231ab a b m --=-并用a 表示b ，再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值.【详解】解：（Ⅰ）由题意得：()()f x g x ≤在x R ∈上恒成立，23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立．()min 32m x x ∴≤++-， 又()()32235x x x x ++-≥--+=，当且仅当()()230x x -+≤，即[]3,2x ∈-时等号成立． 5m ∴≤，即(],5m ∈-∞．（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤，若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]1,3x ∈，1m ∴=，∴综上所述：1m =，22ab a b ∴--=，221a b a +∴=- 00a b >⎧⎨>⎩，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--， ()421371a b a a ⎛⎫∴+≥-⋅= ⎪-⎝⎭，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立， 此时2241a b a +==-．∴当3a =，4b =时，()min 7a b +=． 【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.。

2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（）A. {-1，0，1，2}B. {-1，0，1}C. {0，1，2}D. {0，1}2.若的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列各点中,可以作为函数图象对称中心的是( )A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 7205.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S5=（）A. 0B. 10C. 15D. 306.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，可以作为α∥β的充分条件的是（）A. m∥n，m⊂α，n⊂βB. m∥n，m⊥α，n⊥βC. m⊥n，m∥α，n∥βD. m⊥n，m⊥α，n⊥β7.科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B. 2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C. 该企业连续12年来研发投入逐年增加D. 该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加8.若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.9.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 010.函数f（x）=的部分图象大致是（）A. B.C. D.11.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|=4，则p的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 612.已如函数f（x）=，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（）A. [2，+∞）B. （-∞，2]C. （2，+∞）D. （-∞，2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，则a+4b的最小值为______14.已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为______．15.已知，的是两个单位向量，且夹角为，t∈R，则+t与t+数量积的最小值为______．16.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=（n∈N*），则=______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，AB=6，AC=4．（Ⅰ）若sin B=，求△ABC的面积；（Ⅱ）若=2，AD=3，求BC的长．18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．分组频数[55，65）2[65，75）4[75，85）10[85，95]4合计20第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．19.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）当四棱锥P-ABCE体积最大时，求点C到平面PAB的距离．20.椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B1，B2是椭圆C的短轴端点，且|B1B2|=6，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形MB2NB1面积的最大值．21.已知函数f（x）=+a ln x（a＞0）．（Ⅰ）若函数y=f（x）图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2有解，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ=3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|=12，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求++的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合A={-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B={0，1}，故选：D．找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．【解答】解：∵=的实部与虚部相等，∴a+1=1-a，即a=0．故选A．3.答案：A解析：【分析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，对函数的解析式进行化简是解题的关键，属于基础题．根据题意化函数为一个正弦型函数，根据正弦函数的对称性，即可求出图象的对称中心．【解答】解：y=sin x-cos x=2sin（x-），令x-=kπ，k∈Z，求得x=kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数y=sin x-cos x图象对称中心的是：（，0）．故选A．4.答案：B解析：解：由已知中N=4，第一次进入循环时，p=1，此时k=1不满足退出循环的条件，则k=2第二次进入循环时，p=2，此时k=2不满足退出循环的条件，则k=3第三次进入循环时，p=6，此时k=3不满足退出循环的条件，则k=4第四次进入循环时，p=24，此时k=4满足退出循环的条件，故输出的p值是24故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算p值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．5.答案：C解析：解：数列{a n}为等差数列，且a2=4，a4=2，所以由a2+a4=2a3，得a3=3，∴S5==5a3=5×3=15，故选：C．由a2+a4=2a3，再根据S5于a3的关系，可得．本题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，为基础题．6.答案：B解析：解：由题意知，m∥n，且m⊥α，n⊥β，则α∥β．故选：B．根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了面面垂直的判断问题，是基础题．7.答案：D解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．由折线图和条形图可得答案【解答】解：由折线图和条形图可得2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大，2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小，该企业连续12年来研发投入逐年增加，该企业连续12年来研发投入占营收比，有增有减故选：D．8.答案：C解析：解：∵a=log2＜log21=0，0＜b=0.43＜0.41=0.4，c=ln2＞ln=，∴a，b，c的大小关系是a＜b＜c．故选：C．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为，故②正确；由已知可得，PB=，，PD=，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为，其表面积为，故④正确．∴其中正确的个数为3．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD 为矩形，AB=2，BC=4，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查由三视图还原原几何体，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于常规题.先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞），f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A；分别取x=1，x=2，得f（2）＜f(1)，故排除D；当x=1时，f（1）=＜0，故排除C；综上所述，只有B符合.故选B．11.答案：D解析：解：解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），过F且倾斜角为120°的直线方程设为y=-（x-），联立抛物线的方程可得y2+2py-p2=0，设A的纵坐标为y1，B的纵坐标为y2，M，N的纵坐标为y1，y2，可得y1+y2=-，y1y2=-p2，则|y1-y2|=4，可得（y1+y2）2-4y1y2=192，即为+4p2=192，解得p=6，故选：D．求得抛物线的焦点坐标，以及直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得p．本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时＞1．因为当x1和x2都＞1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意，∴x1，x2不可能同时＞1．而x1≠x2，∴x1＜1＜x2，∴f（x1）+f（x2）=3x1-2+1+ln x2=3x1+ln x2-1，∵f（x1）+f（x2）=2，∴3x1+ln x2-1=2，∴，∴=，（x2＞1）．构造函数，（x＞1）．则．∵x＞1，∴3x＞3，∴，∴，∴．∴g′（x）＞0．∴g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数．∴g（x）min=g（1）=2．∴g（x）＞2．∴x1+x2＞2．故选：C．本题可现根据题意及画出的分段函数的图象确定出x1＜1＜x2，然后可将f（x1）和f（x2）代入到确定的表达式，得到x1和x2的关系式，再用x2表示x1，则可只用x2表达x1+x2，再构造函数g（x）与x1+x2的表达式一致，通过求导方法判断出g（x）的值域即可得到x1+x2的取值范围．本题主要考查函数与导数的相关知识，以及通过构造函数并求导确定该函数的单调性求二元函数的函数取值问题．本题属中档题．13.答案：8解析：解：a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，故ab=4，所以a+4b≥2=8，当且仅当a=4b时取得等号，即a=4，b=1时取得最小值8．故填：8．a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，故ab=4，再根据基本不等式处理即可，本题考查了等比中项的性质，基本不等式，属基础题．14.答案：2解析：解：由题意可得点OA=OB=2，AC=5设双曲线的标准方程是．则2c=4，c=2则2a=AC-BC=5-3=2，所以a=1．所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．由题意可得点A，B，C的坐标，设出双曲线的标准方程，根据题意知2a=AC-BC，求得a，进而求得c，则双曲线的离心率可得．本题主要考查了双曲线的性质的简单应用，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题．15.答案：解析：解：由题意知，（+t）•（t+）=t+t+（t2+1）•=t+t+（t2+1）=t2+2t+=（t+2）2-，当t=-2时数量积取得最小值为-．故答案为：-．由题意计算（+t）•（t+），利用二次函数的性质求出最小值．本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了利用二次函数求最值的应用问题，是基础题．16.答案：n2解析：解：由a n+1=，得，即，∴数列{}是以为首项，以2为公差的等差数列，则=．故答案为：．把已知数列递推式变形，可得，则数列{}是以为首项，以2为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．17.答案：解：（Ⅰ）∵b=4＜6=c，∴B为锐角．∵sin B=，∴cos B==．∴=62+a2-12a×，化为：a2-4a+4=0，解得a=2．∴△ABC的面积S==4．（Ⅱ）=2，AD=3，设CD=x，则BD=2x．在△ABD与△ABC中，分别利用余弦定理可得：cos B==，解得x=．∴BC=．解析：（Ⅰ）由b=4＜6=c，可得B为锐角．可得cos B=．利用余弦定理可得a．利用面积计算公式即可得出．（Ⅱ）=2，AD=3，设CD=x，可得BD=2x．在△ABD与△ABC中，分别利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的人数为200×=60（人），……..（2分）估计第二车间生产时间小于75min的人数为400×（0.025+0.05）×10=300（人）；……………………．（4分）（II）第一车间生产时间平均值约为=×（60×2+70×4+80×10+90×4）=78（min），……………………………．（5分）第二车间生产时间平均值约为=60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05=70.5（min）；…………………………..（6分）∵＞，∴第二车间工人生产效率更高；………………………………..（8分）（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，分别用A1、A2代表生产时间小于65min的工人，用B1、B2、B3、B4代表生产时间大于或等于65min，且小于75min的工人；抽取2人基本事件空间为Ω={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}共15个基本事件；……………………………………………..（9分）设事件A=“2人中至少1人生产时间小于65min”，则事件A={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）}共9个基本事件；………………………………………………（10分）∴P（A）==．……………………………………………………（12分）解析：（I）根据频率分布直方图和频率分布表计算第一、第二车间生产时间小于75min 的人数；（II）分别计算第一、第二车间生产时间平均值，比较大小即可；（III）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．19.答案：（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，∵AB∥CE，AB=CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C=∠ADE=，∠DAB=∠ABC=，∴在等腰ADB中，∠ADB=∠ABD=，∴∠DBC=-=，即BD⊥BC，∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB=O，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（Ⅱ）设点C到平面PAB的距离为d，由题意得，OP⊥平面ABCE时，四棱锥P-ABCE体积最大，∵OP=OB=，∴PB=，∵AP=AB=1，∴S△PAB==，S△ABC==，∴V P-ABC==，又V P-ABC=V C-PAB==，∴d=．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中连接BD，交AE于点O，证明BD⊥AE即可得出翻折后AE⊥平面POB，从而AE⊥PB；（Ⅱ）根据V P-ABC=V C-PAB列方程求出点C到平面PAB的距离．20.答案：解：（I）∵e=，∴a=c，又2b=6，且a2=b2+c2，∴a2=18，b2=9，因此椭圆C的方程为+=1．（II）：设M（x0，y0），N（x1，y1），∵NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．∴直线NB1：y+3=-x……①直线NB2：y-3=-x……②由①，②解得：x1=，又∵+=1，∴x1=-，四边形MB2NB1的面积S=|B2B1|（|x1|+|x0|）=|x0|，∵0＜x02≤18，∴当x02=18时，S的最大值为．解析：（Ⅰ）利用离心率为，2b=6且a2=b2+c2，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M（x0，y0），N（x1，y1），分别求出直线NB1和直线NB2的方程，即可求出x1和x0的关系，表示四边形ABF2F1面积，即可求出面积的最大值本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查面积的计算，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（0，+），f′（x）==，∵a＞0,∴当时，f′（x）取最大值，∴，∵a＞0，∴a=4，∴f′（x）=，当（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极小值点为x=，无极大值点．（Ⅱ）∵f′（x）=，其中x＞0且a＞0，∴当（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）≥f（）=a+a ln．∵关于x的不等式f（x）＜2有解，∴a+a ln＜2，∵a＞0，∴＜0，令g（x）=ln x+1-x，∴g′（x）=，当（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，∴＜0等价于＞0且．∴a的取值范围是a＞0且a≠2．解析：本题考查利用导数求函数的单调性与极值，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是较难题．（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到当时，f′（x）取最大值，由求得a值，代入函数解析式，分析单调性，进一步得到极值点．（Ⅱ）求出原函数的导函数，分析单调性，得到f（x）≥f（）=a+a ln，把关于x的不等式f（x）＜2有解转化为a+a ln＜2，即＜0，再由g（x）=ln x+1-x的单调性得到g（x）≤g（1）=0，则＜0等价于＞0且，由此求得a的取值范围．22.答案：解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为，即（t为参数）．………………………………………（2分）设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）．……………………………………………（5分）（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，……………………………（7分）即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-3，………………（9分）∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．………………………………………（10分）解析：（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ=4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.答案：解：（Ⅰ）f（x）≤4⇔或或，解得-≤x≤2，故不等式f（x）≤4的解集为{x|-≤x≤2}（Ⅱ）∵f（x）=，∴f（x）min=，即m=，又a，b，c∈R+且a+b+c=，z则2a+2b+2c=1，设x=，y=，z=，∵x2+y2≥2xy，2xy≤x2+y2=2a+1+2b+1=2a+2b+2，同理：2yz≤2a+2c+2，2xz≤2c+2a+2，∴2xy+2yz+2xz≤2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2=8，∴（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz≤2a+1+2b+1+2c+1+8=12，∴x+y+z≤2，即++≤2，当且仅当a=b=c=时，取得最大值2．解析：（Ⅰ）分3段去绝对值解不等式，在相并；（Ⅱ）先求得m=，再设x=，y=，z=，然后利用重要不等式以及不要等式的性质可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。