【三年级数学答案及解析】2017年秋学而思期中诊断

2017-2018学年北师大版三年级（下）期中数学试卷一、看谁填得好．（24分）1．（1分）利用大自然辨别东、南、西、北四个方向．早晨，太阳从升起的．2．（5分）体育馆在学校的面，商店在学校的面，邮局在学校的面，电影院在学校的面，少年宫在学校的面．3．（2分）25里最多有个2．15个40的积里有0．4．（2分）一位数除三位数商可能是位数，也可能是位数．5．（4分）你是年月日出生的，到今年是岁．6．（8分）写出相对应的节日日期教师节：月日国际劳动节：月日国庆节：月日植树节：月日．7．（3分）2004年是年，2月有天，全年有天．8．（3分）取信．第二次取信时间是下午时．第二次取信到第三次取信间隔时分．二、我是小法官，能准确判断对错（对的在括号里打√，错的在括号里打╳）9．（1分）0除以任何不是0的数都得0．（判断对错）10．（1分）有余数的除法，余数只要不大于除数就对了．．11．（1分）最大的两位数与最小的两位数的积是990．．（判断对错）12．（1分）被除数中间有0，商的中间也一定有0．（判断对错）13．（1分）甲数除以乙数的商是9，表示甲数是乙数的9倍．．（判断对错）三、计算题，我最棒．（10分）14．（6分）比比谁连得正确．15．（12分）看谁算得又对又快？50×80＝420×7＝600÷2＝45×10＝360÷6＝100×50＝16．（6分）竖式计算，后两小题并验算．37×82918÷9566÷7四、生活问题，我来解决．17．（7分）生活问题，我来解决．18．（6分）同学们去划船，男同学有28人，女同学也有28人，每4人坐一条船，一共需租多少条船？19．（6分）六•一”儿童节，同学们一共做了527朵花．如果每5朵为一束，一共有多少束？还多几朵？20．（6分）有30名学生游园，他们每人想喝1瓶矿泉水，只需买多少瓶矿泉水？21．（6分）军周日去儿童乐园游玩，在过山车那排队等候，每辆过山车能坐8人，小军排在第59位，他应该坐第几辆车？22．（6分）我帮阿姨卖苹果．共有24箱苹果，每箱38元．这些苹果一共可以卖多少元？23．（6分）妈妈下岗后办个售报亭，从周一到周五售出报纸的情况如下表：（1）哪天售出的报纸最少？哪天售出的报纸最多？相差多少？（2）这五天平均每天售出多少份报纸？（3）你认为周六进多少报纸比较合适？说出你的理由？2017-2018学年北师大版三年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、看谁填得好．（24分）1．（1分）利用大自然辨别东、南、西、北四个方向．早晨，太阳从东方升起的．【解答】解：早晨，太阳是从东方升起的，故答案为：东方．2．（5分）体育馆在学校的东面，商店在学校的北面，邮局在学校的南面，电影院在学校的西面，少年宫在学校的西北面．【解答】解：体育馆在学校的东面，商店在学校的北面，邮局在学校的南面，电影院在学校的西面，少年宫在学校的西北面．故答案为：东，北，南，西，西北．3．（2分）25里最多有12个2．15个40的积里有2个0．【解答】解：（1）25÷2＝12…1；所以25里面最多有12个2．（2）15×40＝600；所以15个40的积里面有2个0．故答案为：12；2个．4．（2分）一位数除三位数商可能是三位数，也可能是两位数．【解答】解：当被除数最大是999，除数最小是1时：999÷1＝999，商是999，是三位数；当被除数最小100，除数最大是9时：100÷9＝11…1；商是11，是两位数；商在11﹣999之间，可能是三位数，也可能是两位数；故答案为：三，两．5．（4分）你是2001年5月8日出生的，到今年是11岁．【解答】解：你是2001年5月8日出生的，到今年2012年是：2012﹣2001＝11（岁）；故答案为：2001，5，8，11．6．（8分）写出相对应的节日日期教师节：9月10日国际劳动节：5月1日国庆节：10月1日植树节：3月12日．【解答】解：教师节：9月10日国际劳动节：5月1日国庆节：10月1日植树节：3月12日故答案为：9，10，5，1，10，1，3，12．7．（3分）2004年是闰年，2月有29天，全年有366天．【解答】解：2004÷4＝501；2004年是闰年，2月份有29天，全年有366天．故答案为：闰，29，366．8．（3分）取信．第二次取信时间是下午2时．第二次取信到第三次取信间隔4时30分．【解答】解：（1）14：00即下午14时﹣12时＝2时；（2）18时30分﹣14时＝4时30分．故答案为：2，4，30．二、我是小法官，能准确判断对错（对的在括号里打√，错的在括号里打╳）9．（1分）0除以任何不是0的数都得0．√（判断对错）【解答】解：由于0表示没有，0除以任何不是0的数都得0；原题说法正确．故答案为：√．10．（1分）有余数的除法，余数只要不大于除数就对了．错误．【解答】解：有余数的除法，余数只要不大于除数就对了，说法错误；因为不大于的含义是小于除数或等于除数，但在有余数的除法中，余数一定比除数小；故答案为：错误．11．（1分）最大的两位数与最小的两位数的积是990．√．（判断对错）【解答】解：99×10＝990，答：最大的两位数与最小的两位数的积是990．故答案为：√．12．（1分）被除数中间有0，商的中间也一定有0．×（判断对错）【解答】解：被除数中间有0时，商的中间可能有0，也可能没有0；如：404÷4＝101，商的中间有0；105÷5＝21；商的中间没有0．所以被除数中间有0，商的中间也一定有0的说法是错误的．故答案为：×．13．（1分）甲数除以乙数的商是9，表示甲数是乙数的9倍．√．（判断对错）【解答】解：甲数除以乙数的商是9，表示甲数是乙数的9倍，原题说法正确．故答案为：√．三、计算题，我最棒．（10分）14．（6分）比比谁连得正确．【解答】解：15．（12分）50×80＝420×7＝看谁算得又对又快？600÷2＝45×10＝360÷6＝100×50＝【解答】解：600÷2＝30050×80＝4000420×7＝2940 45×10＝450360÷6＝60100×50＝5000故答案为：300；4000；2940；450；60；5000．16．（6分）竖式计算，后两小题并验算．37×82918÷9566÷7【解答】解：（1）37×82＝3034；（2）918÷9＝102；（3）566÷7＝80…6．四、生活问题，我来解决．17．（7分）生活问题，我来解决．【解答】解：如图小红上学路线是：从家先向正东方向走，过大桥后再向东北方向走，到果园后再向西北方向走即可到达学校．18．（6分）同学们去划船，男同学有28人，女同学也有28人，每4人坐一条船，一共需租多少条船？【解答】解：（28+28）÷4＝56÷4＝14（条）答：一共需租14条船．19．（6分）六•一”儿童节，同学们一共做了527朵花．如果每5朵为一束，一共有多少束？还多几朵？【解答】解：527÷5＝105（束）…2（朵）；答：一共有105束，还多2朵．20．（6分）有30名学生游园，他们每人想喝1瓶矿泉水，只需买多少瓶矿泉水？【解答】解：30÷（5+1）＝30÷6＝5（次）5×5＝25（瓶）；30÷（6+1）＝30÷7＝4（次）…2（瓶）4×6+2＝24+2＝26（瓶）25＜26，答：只需买25瓶．21．（6分）军周日去儿童乐园游玩，在过山车那排队等候，每辆过山车能坐8人，小军排在第59位，他应该坐第几辆车？【解答】解：59÷8＝7（辆）…3人7+1＝8（辆）答：他应该坐第8辆车．22．（6分）我帮阿姨卖苹果．共有24箱苹果，每箱38元．这些苹果一共可以卖多少元？【解答】解：38×24＝912（元）答：这些苹果一共可以卖912元．23．（6分）妈妈下岗后办个售报亭，从周一到周五售出报纸的情况如下表：（1）哪天售出的报纸最少？哪天售出的报纸最多？相差多少？（2）这五天平均每天售出多少份报纸？（3）你认为周六进多少报纸比较合适？说出你的理由？【解答】解：（1）100＞96＞95＞92＞87，100﹣87＝13（份），答：周二售出的报纸最少，周三售出的报纸最多，相差13份；（2）（95+87+100+92+96）÷5，＝470÷5，＝94（份）；答：这五天平均每天售出94份报纸；（3）答：周六进94份左右份报纸比较合适，因为前五天平均每天卖出94份，所以周六进94份左右是比较合适的．。

2016-2017第二学期期中小学三年级检测题 2017、4、28第一部分基础题一、选择题。

（1）下面月份中，（）是小月。

A.2月B.8月C.11月（2）乐乐今年12岁，他的体重大约是40（）。

A.克B.千克C.吨（3）一张双人床的面积大约是3（）。

A.平方米B.平方分米C.平方厘米（4）下面算式中（）的积，末尾正好有3个0。

A.60×40B.500×3C.25×40（5）一张床长2米，宽1米，买面积是（）的床单最合适。

A.3m2B.4m2C.5m2(6)一个边长为4cm的正方形硬纸板，可以剪成（）个面积为4cm2的小正方形。

A.1B.4C.8二、填空题。

（7）3000kg=( )t 15m2=( )cm22t500kg=( )kg 600cm2=( )dm2(8)一袋大米重100克，（）袋水泥重1吨。

(9)边长是1米的正方形，它的面积是（）平方分米。

(10)2015年女子世界杯足球赛于2015年6月6日到7月5日在加拿大举行，这次女子世界杯足球赛历时（）天。

2015年是（）年。

(11)一个没有关紧的水龙头1分钟滴水50克。

1小时滴水（）千克，1天滴水（）千克。

三、计算题。

（12）直接写出得数。

160÷4×20= （500+50）÷5= 27×11=9×1000÷5= 100×（38-19）= 40×13=（13）竖式计算。

33×23= 45×60= 78×45=四、操作题。

（14）在下面的方格中画三个图形：一个周长是8厘米的长方形、一个面积是12厘米2的长方形、一个面积是16厘米2的正方形。

（图中每个小正方形的边长都是1厘米）五、解答题。

（15）一辆卡车的载重量是8吨，3辆这样的卡车6次能运完140吨钢材吗？（16）一所教学楼共5层，每层都有8个教室，每个教室最多摆35套桌椅。

专业 .专注2016-2017学年北京市旭日区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．已知全集U=R ，会合 A={x|x 2﹣ 2x＜ 0}， B={x|x ﹣ 1≥0}，那么 A∩ ? U B= （）A． {x|0＜ x＜ 1}B． {x|x＜ 0} C． {x|x＞ 2}D． {x|1＜ x＜ 2}2．以下函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单一递减的是（）A． y=x 2B． y=x+1C． y= ﹣ lg|x| D ． y= ﹣ 2 x3．若 a=log 2.10.6， b=2.1 0.6， c=log 0.50.6，则 a ，b ， c 的大小关系是（）A． a＞ b ＞ c B． b ＞c＞ a C．c＞ b＞ a D． b ＞a＞c4．已知函数f（ x） =ax 2﹣ x，若对随意x1， x2∈[2 ， + ∞），且 x1≠x2，不等式＞ 0 恒建立，则实数 a 的取值范围是（）A．B．C．D．5．设 m∈ R 且 m ≠0，“不等式 m+＞4”建立的一个充足不用要条件是（）A． m ＞ 0B． m ＞ 1C．m ＞ 2D． m ≥26．已知三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1（ O 为圆心），且 2 ++=0 ， | |=2||，则?等于（）A．B．C．D．7．已知函数f（ x） =则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4B．3C．2D．18． 5 个黑球和 4 个白球从左到右随意排成一排，以下说法正确的选项是（）A．总存在一个黑球，它右边的白球和黑球同样多B．总存在一个白球，它右边的白球和黑球同样多C．总存在一个黑球，它右边的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右边的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．9．设平面向量= （ 1， 2）， = （﹣2 ， y），若∥，则 y= ．10 ．函数 f （ x） =cos 2x﹣ sin2x 的单一递减区间为．11 ．各项均为正数的等比数列 {{a n}的前 n 项和为 S n，若 a3 =2 ，S4=5S 2，则 a1的值为， S4的值为．12 ．已知角 A 为三角形的一个内角，且，则 tanA= ， tan （ A+ ） =．13 ．已知函数 f（x）= 在（﹣∞，+ ∞）上是拥有单一性，则实数 m 的取值范围．14 ．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有以下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相遇．”其粗心为：“此刻有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000 里，良马第一天行193 里，之后每天比前一天多行13 里，驽马第一天行 97 里，以后每天比前一天少行0.5 里．良马到齐后，马上返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确立走开长安后的第天，两马相遇．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15 ．已知数列 {a n }（ n ∈N *）是公差不为0 的等差数列， a1=1 ，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列 {a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列 {}的前 n 项和为 T n，求证： T n＜ 1．16 ．已知函数f（x）=asinx ﹣cosx （ a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）若 x∈[，] ，求 f （ x）的取值范围．17 ．如图，已知 A ， B， C，D 四点共面，且 CD=1 ， BC=2 ， AB=4 ，∠ABC=120 °cos，∠BDC=．（Ⅰ）求 sin ∠DBC ；（Ⅱ）求 AD．18 ．已知函数f（x）=﹣ax+cosx（a∈ R），x∈[﹣，] ．（Ⅰ）若函数 f （ x）是偶函数，试求 a 的值；（Ⅱ）当 a＞ 0 时，求证：函数 f（ x）在（ 0，）上单一递减．19 ．已知函数f（x）=e x（ x2﹣ a）， a∈R．（Ⅰ）当 a=1 时，求曲线 y=f （ x）在点（ 0 ， f （0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数 f （ x）在（﹣3 ， 0）上单一递减，试求 a 的取值范围；（Ⅲ）若函数 f （ x）的最小值为﹣2e，试求 a 的值．20 ． 设 a ，b 是正奇数 ，数列 {c n }（ n ∈ N *）定义以下 ：c 1=a ， c 2=b ，对随意 n ≥3 ， c n 是 c n﹣1+c n ﹣2 的最大奇约数 ．数列 {c n }中的全部项组成会合A ．（Ⅰ） 若 a=9 ， b=15 ，写出会合 A ；（Ⅱ） 对 k ≥1，令 d k =max{c 2k ，c 2k ﹣1}（ max{p ， q} 表示 p ， q 中的较大值 ）， 求证： d k+1≤d k ；（Ⅲ） 证明会合 A 是有限集 ，并写出会合 A 中的最小数 ．2016-2017学年北京市旭日区高三（上）期中数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．已知全集U=R ，会合 A={x|x 2﹣ 2x＜ 0}， B={x|x ﹣ 1≥0}，那么 A∩ ? U B= （）A． {x|0＜ x＜ 1}B． {x|x＜ 0} C． {x|x＞ 2}D． {x|1＜ x＜ 2}【考点】交、并、补集的混淆运算．【剖析】分别求出A 与 B 中不等式的解集，确立出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由 A 中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得： 0＜x＜2 ，即 A={x|0 ＜ x＜ 2} ，由 B 中的不等式解得： x≥1，即 B={x|x ≥1}，∵全集 U=R ，∴? U B={x|x ＜ 1}，则 A∩（ ? U B）={x|0 ＜ x＜ 1}．应选：A．2．以下函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单一递减的是（）A． y=x 2B． y=x+1C． y= ﹣ lg|x| D ． y= ﹣ 2 x【考点】函数单一性的判断与证明；函数奇偶性的判断．2选项 B ：代入特别值 x= ±1 ，可知 f （ ﹣1）≠f （ 1）， 且 f （﹣ 1 ）≠﹣f （ 1 ），故 y=x+1 是非奇非偶函数 ，不切合条件 ；选项 C ：先求出定义域 ，再依据奇偶性的定义，确立 y= ﹣ lg|x| 是偶函数 ， x ＞ 0 时， y= ﹣lg|x|= ﹣ lgx 单一递减 ，故切合条件 ；选项 D ：代入特别值 x= ±1 ，可知 f （ ﹣ 1）≠f （ 1）， 且 f （﹣ 1 ）≠﹣ f （ 1 ），故 y=x+1 是非奇非偶函数 ，不切合条件 ；【解答】解：选项 A ： f （x ）=x 2 的定义域为 R ，又∵f （ ﹣x ）= （ ﹣ x ） 2=x 2，∴f （ ﹣ x ） =f（x ），即 f （ x ）是偶函数 ．但 y=x 2在（0 ， + ∞）上单一递加 ，故 A 不正确 ；选项 B ：记 f （ x ）=x+1 ，则 f （ 1 ）=2 ， f （ ﹣ 1） =0 ，∵f （ ﹣ 1）≠f （ 1）， 且 f （ ﹣ 1）≠﹣f （1），∴y=x+1 是非奇非偶函数 ，故 B 不正确 ；选项 C ：定义域为 （ ﹣∞，0）∪（ 0， + ∞）， 记 f （ x ）= ﹣ lg|x| ，∵f （ ﹣ x ） = ﹣ lg| ﹣x|= ﹣ lg|x| ，∴f （ ﹣x ）=f （ x ），即 f （ x ）是偶函数当 x ∈（ 0 ， + ∞）时 ，y= ﹣ lgx ．∵y=lgx 在（ 0， + ∞） 上单一递加 ，∴y= ﹣ lgx 在（ 0，+ ∞）上单一递减故 C 正确 ；选项 D ：记 f （x ） = ﹣ 2x，则 f （ 1）= ﹣， f （﹣ 1） = ﹣ 2 ，∵f （﹣ 1）≠f （ 1）， 且 f （﹣1）≠﹣ f （ 1），∴y= ﹣ 2x是非奇非偶函数 ，故 D 不正确 ．应选：C ．3． 若 a=log 2.10.6， b=2.10.6， c=log 0.50.6，则 a ，b ， c 的大小关系是（ ）A ． a ＞ b ＞ cB ． b ＞c ＞ aC ．c ＞ b ＞ aD ． b ＞a ＞c 【考点】对数值大小的比较 ．【剖析】直接利用中间量 “ 0 ”，判“断三1”个数的大小即可．【解答】解： a=log 2.10.6 ＜0 ， b=2.1 0.6＞ 1， 0＜ c=log 0.50.6＜ 1∴b ＞c ＞ a ，应选：B ．4． 已知函数 f （ x ） =ax 2﹣ x ，若对随意 x 1， x 2∈[2 ， + ∞）， 且 x 1≠x 2 ，不等式＞ 0 恒建立 ，则实数 a 的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数单一性的判断与证明 ．【剖析】对进行化简 ，转变为 a （ x 1+x 2）﹣ 1 ＞0 恒建立 ，再将不等式变形，获得 a ＞，从而将恒建立问题转变为求 的最大值 ，即可求出 a 的取值范围【解答】解：不如设 x 2 ＞ x 1 ≥2，= = ==a （ x 1+x 2） ﹣ 1，∵对随意 x 1， x 2 ∈[2， + ∞）， 且 x 1≠x 2，＞ 0 恒建立 ，∴x 2＞ x 1≥2 时， a （ x 1+x 2 ）﹣ 1 ＞ 0，即 a ＞ 恒建立∵x 2＞ x 1≥2 ∴∴a，即 a 的取值范围为 [ ， + ∞）故此题选 D5．设 m∈ R 且 m ≠0，“不等式 m+ ＞ 4 ”建立的一个充足不用要条件是（）A． m ＞ 0 B． m ＞ 1 C．m ＞ 2D． m ≥2【考点】必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】依据基本不等式的性质，联合充足不用要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当 m ＜0 时，不等式 m+ ＞ 4 不建立，当 m ＞ 0 时， m+ ≥2 =4 ，当且仅当 m= ，即 m=2 时，取等号，A．当 m=2 时，知足 m ＞0 ，但不等式 m+ ＞ 4 不建立，不是充足条件，B．当 m=2 时，知足 m ＞1 ，但不等式 m+ ＞ 4 不建立，不是充足条件，C．当 m ＞ 2 时，不等式 m+＞4建立，反之不必定建立，是充足不用要条件，知足条件．D．当 m=2 时，知足 m ≥2，但不等式m+＞4不建立，不是充足条件，应选：C．6．已知三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1（ O 为圆心），且 2 ++=0 ， | |=2||，则?等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】由题意可得三角形是以角 A 为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数目积公式得答案．【解答】解：三角形 ABC 外接圆 O 的半径为1（O 为圆心）， 2++=0 ，∴O 为 BC 的中点，故△ ABC 是直角三角形，∠A为直角．又| |=2||，∴| |=，||=2 ，∴| |=，∴cosC===，∴? =﹣? =﹣×2×=﹣应选：A7．已知函数f（ x） =则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4B．3C．2D．1【考点】函数零点的判断定理．【剖析】作出函数的图象，先求出f（x）=的根，而后利用数形联合转变为两个函数的交点个数即可．【解答】解：作出函数f（ x）的图象如图：当 x≤0 时，由 f（ x） =得x+1=，即x=﹣1=﹣，当 x＞ 0 时，由 f（ x） =得log2x=，即x==，由 g （ x） =f （ f（ x））﹣则 f（ x） = ﹣或f（x）=若 f（ x） = ﹣，此时方程若 f（ x） = ，此时方程=0 得 f （ f（ x）） =，，f（ x） = ﹣有两个交点，f （ x） =只有一个交点，则数 g （x）=f （ f（ x））﹣的零点个数是 3 个，应选：B8． 5 个黑球和 4 个白球从左到右随意排成一排，以下说法正确的选项是（）A．总存在一个黑球，它右边的白球和黑球同样多B．总存在一个白球，它右边的白球和黑球同样多C．总存在一个黑球，它右边的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右边的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理．【剖析】5 个黑球和 4 个白球， 5 为奇数， 4 为偶数，剖析即可获得答案．【解答】解： 5 为奇数， 4 为偶数，故总存在一个黑球，它右边的白球和黑球同样多，应选：A二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．9．设平面向量= （ 1， 2），= （﹣2 ， y），若∥ ，则y=﹣4．【考点】平行向量与共线向量．【剖析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算【解答】解：∵ = （ 1， 2）， = （﹣ 2 ， y），∥ ，∴1 ×y=2 ×（﹣ 2）∴y= ﹣ 4故答案为：﹣ 410 ．函数 f （ x） =cos 2x﹣ sin2x 的单一递减区间为．【考点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．【剖析】由条件利用二倍角的余弦函数公式化简函数的分析式，再依据余弦函数的单一性求得函数的单一递减区间．【解答】解：对于函数y=cos 2x﹣ sin2x=cos2x ，令 2k π≤2x ≤ 2k +ππ，k∈Z，求得： k π≤x≤ k π+，k∈ Z，可得函数的单一递减区间是：．故答案为：．11 ．各项均为正数的等比数列{{a n}的前 n 项和为 S n，若 a3 =2 ，S4=5S 2，则 a1的值为，S4的值为．【考点】等比数列的前n 项和．【剖析】经剖析等比数列为特别数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1 和 q 的值，则 S4的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由 a3=2 ，则 S4=4a 3=4 ×2=8 ， 5S2 =5 ×2S3 =5 ×2 ×2=20 ，与题意不符．设等比数列的公比为q （ q≠1 ），由 a3=2 ， S4 =5S 2，得：，整理得，解得，q=±2．由于数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．12 ．已知角 A 为三角形的一个内角，且，则tanA=，tan（A+）=﹣7．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【剖析】利用同角三角函数的基本关系求得sinA 的值，可得 tanA 的值，再利用两角和的正切公式求得tan （ A+）的值．【解答】解：已知角 A 为三角形的一个内角，且，则sinA=，∴tanA==．∴tan （ A+）=== ﹣ 7 ，故答案为，﹣7．13 ．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是拥有单一性，则实数m 的取值范围（1，]．【考点】函数单一性的性质．【剖析】函数 f （ x）在（﹣∞，+ ∞）上是拥有单一性，需要对m分类议论，当m＞1，m＜﹣1 ， m= ±1、 0，﹣ 1＜ m ＜ 0， 0 ＜m ＜ 1 分别判断分段函数的单一性．【解答】解：令 h（ x） =mx 2+1 ， x≥0 ； g（ x） = （ m2﹣ 1 ）2x，x＜ 0；①当 m ＞ 1 时，要使得 f （ x）在（﹣∞，+ ∞）上是拥有单一性，即要知足m 2﹣ 1≤1? ﹣≤m≤故： 1＜ m≤；②当 m ＜﹣1 时， h（x）在 x≥0 上递减， g （x）在 x＜ 0 上递加，所以， f（ x）在 R 上不拥有单一性，不切合题意；③当 m= ±1 时， g （x）=0 ；当 m=0 时， h（x）=1 ；所以， f（ x）在 R 上不拥有单一性，不切合题意；④当﹣ 1＜m ＜ 0 时， h （ x）在 x≥0 上递减， g （ x）在 x＜ 0 上递减，对于随意的x≥0， g （x）＜ 0 ；当 x →0时， h （ x）＞ 0；所以， f（ x）在 R 上不拥有单一性，不切合题意；⑤当 0 ＜ m＜ 1 时， h （ x）在 x≥0 上递加， g（ x）在 x＜ 0 上递减；所以， f（ x）在 R 上不拥有单一性，不切合题意；故答案为：（ 1，]14 ．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有以下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相遇．”其粗心为：“此刻有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000 里，良马第一天行193 里，之后每天比前一天多行13 里，驽马第一天行 97 里，以后每天比前一天少行0.5 里．良马到齐后，马上返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确立走开长安后的第20天，两马相逢．【考点】等差数列的前n 项和．【剖析】利用等差数列的乞降公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每天行的距离成等差数列，记为 {a n}，此中 a1=103 ， d=13 ；驽马每天行的距离成等差数列，记为 {b n}，此中 b 1=97 ， d= ﹣ 0.5 ；设第 m 天相遇，则 a1+a 2+ +a m +b 1 +b 2 ++b m=103m+ +97m+=200m+ ×12.5 ≥2×3000 ，化为 m 2+31m ﹣ 960 ≥0，解得 m ，取 m=20 ．故答案为： 20．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15 ．已知数列 {a n }（ n ∈N *）是公差不为0 的等差数列， a1=1 ，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列 {a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列 {}的前 n 项和为 T n，求证： T n＜ 1．【考点】数列的乞降；数列递推式．【剖析】（Ⅰ）利用已知列出对于工程师了公差方程求出公差；获得通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，将通项公式代入，利用裂项乞降证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设 {a n}的公差为d．由于成等比数列，所以．即．化简得，即 d 2=a 1d ．又 a1=1 ，且 d ≠0 ，解得 d=1 ．所以有 a n=a 1+ （ n ﹣ 1） d=n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：．所以．所以， T n＜ 1 ．16 ．已知函数 f（x）=asinx ﹣cosx （ a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）若 x∈[ ，] ，求 f （ x）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【剖析】（Ⅰ）依据函数 f（ x）的图象过点，代入函数分析式求出 a 的值，从而写出函数分析式并求出最小正周期；（Ⅱ）依据 x 的取值范围，计算 f（x）的最值，从而求出它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于函数的图象经过点，所以，解得 a=1 ；所以，所以 f（ x）最小正周期为 T=2 π；（Ⅱ）由于，所以；所以当，即时，f（x）获得最大值，最大值是2；当，即时，f（x）获得最小值，最小值是﹣1；所以 f（ x）的取值范围是 [﹣ 1 ，2] ．17 ．如图，已知 A ， B， C，D 四点共面，且 CD=1 ， BC=2 ， AB=4 ，∠ABC=120 °cos，∠BDC=．（Ⅰ）求 sin ∠DBC ；（Ⅱ）求 AD．【考点】余弦定理；正弦定理．【剖析】（Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求，从而利用正弦定理即可求得sin ∠DBC 的值．（Ⅱ）在△ BDC 中，由余弦定理可求DB 的值，利用同角三角函数基本关系式可求，从而利用两角差的余弦函数公式可求cos ∠ABD 的值，在△ ABD 中，由余弦定理可求AD 的值．【解答】（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）在△ BDC 中，由于，所以．由正弦定理得，．222得，．所以．解得或（舍）．由已知得∠DBC 是锐角，又，所以．所以 cos ∠ ABD=cos=cos120 ° ?cosDBC+∠sin120 ° ?sin ∠DBC= = ．在△ ABD 中，由于 AD 2=AB2+BD2﹣ 2AB?BDcos ∠ABD= ，所以．18 ．已知函数f（x）=﹣ax+cosx（a∈ R），x∈[﹣，] ．（Ⅰ）若函数 f （ x）是偶函数，试求 a 的值；（Ⅱ）当 a＞ 0 时，求证：函数 f（ x）在（ 0，）上单一递减．【考点】函数单一性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【剖析】（Ⅰ）依据偶函数的定义，f（﹣x）=f（x）恒建立，求出a的值；（Ⅱ）利用导数大于0 或小于 0，判断函数 f （ x）是单一增函数单一减函数即可．【解答】解：（Ⅰ）由于函数f （ x）是偶函数，所以 f（﹣ x） =﹣a（﹣x）+cos（﹣x）=+ax+cosx=f （ x）= ﹣ ax+cosx 恒建立，所以 a=0 ；（Ⅱ）由题意可知，设，则；注意到， a＞ 0；由 g' （ x）＜ 0，即，解得；由 g' （ x）＞ 0，即，解得；所以 g （x）在上单一递减，上单一递加；所以当，g （ x）＜ g （ 0） =0 ﹣ a＜ 0，所以 f（ x）在单一递减，当，，所以 f（ x）在单一递减，所以当 a＞ 0 时，函数 f（ x）在上单一递减．19 ．已知函数f（x）=e x（ x2﹣ a）， a∈R．（Ⅰ）当 a=1 时，求曲线 y=f （ x）在点（ 0 ， f （0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数 f （ x）在（﹣3 ， 0）上单一递减，试求 a 的取值范围；（Ⅲ）若函数 f （ x）的最小值为﹣2e，试求 a 的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单一性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【剖析】（ 1 ）利用导数求出 x=0 处的切线斜率 ，依据点斜式写出切线方程；（2 ）函数 f （ x ）在（ ﹣3 ， 0）上单一递减 ，即当 x ∈（﹣ 3 ， 0）时，x 2+2x ﹣ a ≤0 恒成立．要使得 “当 x ∈（ ﹣ 3， 0）时，x 2+2x ﹣ a ≤0 恒建立 ”，等价于即 所以 a ≥3．（3 ）依据函数的单一性 ，得出函数 f （x ）的最小值只好在处获得 ．【解答】解：由题意可知 f' （ x ） =e x （ x 2+2x ﹣ a ）．（Ⅰ） 由于 a=1 ，则 f （ 0） = ﹣ 1， f' （ 0） = ﹣ 1 ，所以函数 f （x ）在点 （ 0， f （ 0 ））处的切线方程为 y ﹣ （ ﹣ 1） = ﹣ （x ﹣ 0）．即 x+y+1=0 ．（Ⅱ） 由于函数 f （ x ）在（﹣ 3 ， 0）上单一递减 ，所以当 x ∈（﹣ 3， 0）时， f' （ x ）=e x （x 2+2x ﹣ a ）≤0 恒建立 ．即当 x ∈（ ﹣ 3， 0）时， x 2+2x ﹣ a ≤0 恒建立 ．明显 ，当 x ∈（﹣3 ， ﹣ 1）时，函数 g （x ）=x 2+2x ﹣ a 单一递减 ，当 x ∈（﹣ 1， 0）时，函数 g （ x ） =x 2+2x ﹣ a 单一递加 ．所以要使得 “当 x ∈（ ﹣ 3， 0）时，x 2+2x ﹣ a ≤0 恒建立 ”，等价于即所以 a ≥3．（Ⅲ） 设 g （ x ） =x 2+2x ﹣ a ，则 △ =4+4a ．①当 △ =4+4a ≤0，即 a ≤﹣ 1 时， g （ x ）≥0 ，所以 f' （x ）≥0．所以函数 f （x ）在（ ﹣ ∞，+ ∞）单增 ，所以函数 f （ x ）没有最小值 ．②当 △ =4+4a ＞0 ，即 a ＞﹣ 1 时，令 f' （x ） =e x （ x 2+2x ﹣ a ） =0 得 x 2+2x ﹣ a=0 ，解得跟着 x 变化时， f （ x）和 f' （ x）的变化状况以下：xf' + 0 ﹣0 + （ x）f ↗极大值↘极小值↗（ x）当 x∈时，．所以．所以 f（ x） =e x（ x2﹣ a）＞ 0 ．又由于函数 f （ x）的最小值为﹣2e ＜ 0，所以函数 f （x）的最小值只好在处获得．所以．所以．易得．解得 a=3 ．以下证明解的独一性，仅供参照：设由于 a＞ 0，所以，．设，则．设 h （ x ）= ﹣ xe x ，则 h' （x ）= ﹣ e x （ x+1 ）．当 x ＞ 0 时， h' （ x ）＜ 0，从而易知 g （a ）为减函数 ．当 a ∈（ 0， 3）， g （ a ）＞ 0；当 a ∈（ 3， + ∞）， g （a ）＜ 0．所以方程只有独一解 a=3 ．20 ． 设 a ，b 是正奇数 ，数列 {c n }（ n ∈ N * ）定义以下 ：c 1=a ， c 2=b ，对随意 n ≥3 ， c n 是 c n﹣1+c n ﹣2 的最大奇约数 ．数列 {c n }中的全部项组成会合 A ．（Ⅰ） 若 a=9 ， b=15 ，写出会合 A ；（Ⅱ） 对 k ≥1，令 d k =max{c 2k ，c 2k ﹣1}（ max{p ， q} 表示 p ， q 中的较大值 ）， 求证： d k+1≤d k ；（Ⅲ） 证明会合 A 是有限集 ，并写出会合 A 中的最小数 ．【考点】会合的表示法 ．【剖析】（Ⅰ） 利用列举法写出数列 {c n }，易得会合 A ；（Ⅱ） 由题设 ，对 n ≥3， c n ﹣2， c n ﹣1 都是奇数 ，所以 c n ﹣1+c n ﹣2 是偶数 ． 从而 c n ﹣1+c n ﹣2的最大奇约数 ，联合不等式的性质进行解答；（Ⅲ） 有限集是指元素的个数是有限个的会合，从而确立答案 ．【解答】解：（Ⅰ） 数列 {c n }为： 9， 15， 3 ，9， 3，3 ， 3， ．故会合 A={9 ， 15， 3}．（Ⅱ） 证明 ：由题设 ，对 n ≥3， c n ﹣2 ，c n ﹣1 都是奇数 ，所以 c n ﹣1+c n ﹣2 是偶数 ．从而 c n ﹣1+c n ﹣ 2 的最大奇约数 ，所以 c n ≤max{c n ﹣1 ，c n ﹣2}，当且仅当 c n ﹣1 =c n ﹣2 时等号建立 ．所以 ，对 k ≥1 有 c 2k+1 ≤max{c 2k ， c 2k ﹣ 1}=d k ，且 c2k+2≤max{c 2k+1， c2k }≤max{d k， d k}=d k．所以 d k+1 =max{c 2k+2， c2k+1 }≤d k，当且仅当c2k =c 2k﹣1时等号建立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 n ≥3 时，有 c n≤max{c n﹣1， c n﹣2}．所以对 n ≥3 ，有 c n≤max{c 1， c2}=max{a ， b} ．又 c n是正奇数，且不超出 max{a ，b} 的正奇数是有限的，所以数列 {c n}中的不一样项是有限的．所以会合 A 是有限集．会合 A 中的最小数是 a， b 的最大条约数．2016 年11月25日。

三年级数学试卷一、填空题Ⅰ1. 艾迪用1个文具盒可以换薇儿的5支铅笔，薇儿用1支铅笔可以换大宽的5块橡皮，那么艾迪用1个文具盒可以换大宽的________块橡皮. 【考点】等量代换 【难度】☆ 【答案】25【分析】由题意可知：1个文具盒=5支铅笔，1支铅笔=5块橡皮，所以5支铅笔=25块橡皮.所以1个文具盒=5支铅笔=25块橡皮.2. 如图所示，在一个小鱼的图形中，鱼身与鱼尾处线段EC 与线段BD 相交于点O ，鱼身处75EOB ∠=︒，那么鱼尾处DOC ∠=________度.【考点】角度计算 【难度】☆ 【答案】75【分析】由图可知，线段EC 与线段BD 相交于点O ，所以EOB ∠与DOC ∠互为对顶角，根据对顶角相等可知75DOC EOB ∠=∠=︒.3. 四只小松鼠去采松子，第一只小松鼠采了7颗，第二只小松鼠采了12颗，第三只小松鼠采了13颗，第四只小松鼠采了8颗，那么平均每只小松鼠采了________颗松子． 【考点】平均数问题 【难度】☆ 【答案】10【分析】平均每只小松鼠采(7+12+13+8)÷4=10（颗）松子.ABE4. 下图是由四个正方形组成的图形，这四个正方形的边长分别为4厘米、3厘米、2厘米和1厘米，那么这个图形的面积是________平方厘米.【考点】正方形面积 【难度】☆ 【答案】30【分析】这个图形的面积是443322111694130⨯+⨯+⨯+⨯=+++=（平方厘米）.二、填空题Ⅱ5. 如图所示，将平行四边形ABCD 分割成形状、大小完全相同的两个直角梯形，其中5AE =厘米，10BF =厘米，10EF =厘米，那么平行四边形ABCD 的面积是________平方厘米．【考点】平行四边形与梯形 【难度】☆ 【答案】150【分析】方法一：根据梯形面积公式可以得梯形ABFE 的面积是1(020)5517+⨯÷=（平方厘米），因为梯形ABFE 和梯形EFCD 是形状、大小完全相同的两个直角梯形，所以平行四边形ABCD 的面积是752150⨯=（平方厘米）.方法二：由于梯形ABFE 和梯形EFCD 是形状、大小完全相同的两个直角梯形，所以5FC AE ==厘米，所以10515BC =+=厘米. 因为两个梯形均为直角梯形，所以平行四边形底边上高的长度即为EF 的长度. 根据平行四边形面积公式可得平行四边形ABCD 的面积是1051510⨯=平方厘米.F A BCDE6.一位探险家带着一袋金币在森林中探险．他先遇到一位魔法师，神奇的魔法让探险家的金币数量增加了一倍. 之后又遇到一个宝箱，他向宝箱前的小盒子投了50枚金币，宝箱打开后突然出现了一个魔鬼，魔鬼抢走了他钱袋中一半的金币. 在躲避魔鬼追击的过程中又丢失了70枚金币. 最后发现只剩下5枚金币. 请问探险家最开始有________枚金币.【考点】还原问题【难度】☆【答案】100【分析】从结果入手倒推：2502+(枚)，2⨯+=0)0(570÷=(枚).2001007.下图是在一张点格纸上画成的数字“4”和数字“2”. 图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离均为1厘米. 那么下图中数字“4”的周长比数字“2”的周长小________厘米.【考点】巧求周长【难度】☆☆【答案】6【分析】图形最外周的部分如下图所示，最外周的长度即为图形的周长.运用平移法将不规则图形转化为规则图形，图中两图形实线部分的长度之和分别为各自原图形的周长：⨯=(厘米).对比两图形周长可知，数字“4”比数字“2”的周长小3268.一队士兵排成了一个实心方阵，后来又增加了19人，使行、列各增加一排，仍然是一个实心方阵. 那么原方阵共有________名士兵．【考点】方阵【难度】☆☆【答案】81【分析】行、列各增加一排共增加19人，意味着行、列各增加9人、10人．所以，原来的实心方阵有士兵9×9=81（名）.三、填空题Ⅲ9.在下面形如“蜘蛛网”的图中共有________个三角形.【考点】图形计数【难度】☆☆【答案】18【分析】分类枚举，从外向内数. 外侧大三角形有6个，内部正方形中包含的三角形有三种大小：最小的三角形有4个，正方形面积四分之一大小的三角形有4个，由正方形面积一半大小的三角形有4个. 共有三角形644418+++=(个).10.在下图的数字谜中，A、B、C、D、E分别代表数字0~5中的5个数字，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，那么四位数ABCD是________.A B C D+A B C EB C D E【考点】数字谜【难度】☆☆【答案】1250D=.【分析】从个位入手分析，由D E E+=可知0十位上C C D +=且C 与D 不相等，因此10C C +=，5C =. 百位上15B B ++=，2B =. 千位2A A +=，1A =. 所以四位数1250ABCD =.11. 商人需要用骆驼驮着货物穿越沙漠，如果其中2只骆驼每只驮4箱，其余每只骆驼驮2箱，还剩4箱货物；如果其中1只骆驼驮6箱货物，其余每只骆驼驮4箱，就会有3只骆驼没有货物可驮. 请问一共有________只骆驼. 【考点】盈亏问题 【难度】☆☆☆ 【答案】9【分析】将非平均分配转化成平均分配. 其中2只骆驼每只驮4箱，其余每只骆驼驮2箱，还剩4箱货物,可转化为每只骆驼驮2箱，还剩4228+⨯=箱货物；其中1只骆驼驮6箱货物，其余每只骆驼驮4箱，就会有3只骆驼没有货物可驮，转化为每只骆驼驮4箱，少34210⨯-=（箱）货物.整理条件：每只2箱 多8箱 每只4箱 少10箱所以，共有骆驼((4102)89)÷-=+(只).12. 在空格内填入数字1~5，使得每行、每列数字不重复，圆圈格内数字大于相邻上下左右格内的数字. 请问第四行的五个数字从左到右依次组成的五位数是________.【考点】数独 【难度】☆☆☆ 【答案】32541【分析】四、填空题Ⅳ13. 老师给同学们发放七巧板和九连环作为新年礼物. 一班女生每人可以领取2套七巧板和3个九连环，一班男生每人可以领取4套七巧板和3个九连环，二班女生每人可以领取2套七巧板和4个九连环，二班男生每人可以领取3套七巧板和4个九连环. 已知二班男生的数量是二班女生的2倍，老师一共发出去128套七巧板和156个九连环. 那么一班的男生有________人.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】☆☆☆☆ 【答案】12【分析】方法一：根据已知条件整理信息：七巧板 九连环 一班女生 2 3 一班男生 4 3 二班女生 2 4 二班男生34二班男生的数量是二班女生的2倍，所以，1个二班女生对应2个二班男生. 有一个二班女生领取2套七巧板和4个九连环，就会有二班男生领取326⨯=套七巧板和428⨯=个九连环. 将1个二班女生和2个二班男生进行组合，领取礼物的数量进行加和，二班学生3人可领取8套七巧板和12个九连环. 组合后改组领取的数量相当于4个一班女生领取的礼物数量，将二班学生进行组合转化成和一班女生领取礼物数量相同的情况. 这样就将领取礼物的数量转化成两种情况：领取2套七巧板和3个九连环；领取4套七巧板和3个九连环. 即只有一班女生和一班男生的情况.在这种情况下，每个人领取的九连环的数量是相同的，所以可以求出组合和转化后的人数是156352÷=（人）.在这种情况下，假设全部都是一班女生，那么应该领取七巧板252104⨯=（套），比实际发放的七巧板少12810424-=（套），所以一班男生共有(424122)÷-=（人）.方法二：设一班女生有x 人，一班男生有y 人，二班女生有z 人，二班男生有2z 人. 所以24261283348156x y z z x y z z =+++=⎧⎨+++⎩ ，整理得2481283315612x y z x y z ++=⎧⎨+=+⎩，整理得2464524x y z x y z ++=⎧⎨+=+⎩，观察两个等式，根据“设而不求”的思想，将4x z +看做一个整体，可以同时消去x 和z ，求得12y =，所以一班男生有12人.14. 某个等差数列第8项是50，前10项的和是325. 那么，在这个数列前99项中有________个奇数.【考点】等差数列 奇偶性 【难度】☆☆☆☆ 【答案】50【分析】方法一：由题意可得该数列第8项与第3项的和为325565÷=，即8365a a +=,所以3655015a =-=,所以数列第8项与第3项的差为：835501535a a d -==-=.第8项与第3项的差为835-=个公差，即535d =，7d =，所以13212715a a d =-=⨯=-.故该数列是首项为1，公差为7的等差数列. 首项为奇数，公差为奇数. 则该数列中奇数项为奇数，偶数项为偶数，前99项中共有奇数(991)250+÷=(个).方法二：根据题意：111750(9)5325a d a a d ⨯==+⎧⎨++⎩ ，整理得：117565029a d a d +=⎧⎨+=⎩ ， 可以解得：117a d =⎧⎨=⎩ .所以该数列首项为奇数，公差为奇数，故数列中奇数项为奇数，偶数项为偶数，前99项中共有奇数(991)250+÷=(个).15. 兔子、松鼠和狐狸一起去参加动物王国举行的派对，三只小动物一共带了226块巧克力．如果兔子给松鼠2块巧克力，则兔子和松鼠的巧克力数量相同．这时候，如果狐狸再给松鼠5块巧克力，那么狐狸的巧克力数量比松鼠的2倍还多3块．则狐狸原来有________块巧克力.【考点】和差倍问题 【难度】☆☆☆☆ 【答案】122【分析】如果兔子给松鼠2块巧克力，则兔子和松鼠的巧克力数量相同，说明原来兔子比松鼠多224+=(块)，在兔子和松鼠的巧克力数量相同的情况下，如果这时狐狸给松鼠5块巧克力，狐狸的巧克力比松鼠的2倍还多3块，说明狐狸原来的巧克力数量比松鼠原来的2倍还多()2523522+⨯++=(块)，所以松鼠原来有(22642(112)502)÷++=--(块)，狐狸原来有50222122⨯+=(块).16. 在一次数学小组活动中，老师写下了六个连续的自然数，每个自然数写在一张卡片上，老师把这六张卡片分发给甲、乙、丙三人，其中，甲获得一张卡片，乙获得两张卡片，丙获得三张卡片.老师将最大的数发给了乙，并且三个人只知道自己手中卡片上的数字. 甲：“我能猜到丙手中的三数之和与乙手中的两数之和的差是个偶数.” 乙：“那我知道了，我手中两数之和是甲手中数的2倍.”丙：“我算了一下，乙手中两数的乘积，加上甲手中的数，再加上我手中最小数的平方，其和恰好是2018.”那么甲拿到的数是________. 【考点】逻辑推理 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】33【分析】根据甲说的话，丙手中三个数的和减去乙手中两个数的和所得的差是偶数，根据和差同奇偶可以推断，丙手中的三个数与乙手中的两个数，即这5个数的和是偶数. 说明这5个数中有偶数个奇数. 而甲、乙、丙三个所拿卡片上的6个数为连续自然数，所以其中必然是3个奇数和3个偶数. 因此乙和丙所拿的5个数中有2个奇数. 由此可以推出甲手中卡片上的数字一定是奇数.根据乙所说的话，乙推断出甲是奇数后就知道自己手中两个卡片上的数字之和是甲手中卡片的数的2倍，说明乙手中卡片上的两个数一定是一个小于甲卡片上的数，一个大于甲卡片上的数，所以乙要么是和甲相邻的两个偶数，要么是小于甲的奇数和大于甲的一个奇数。

2016-2017学年市区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R ，集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={x|x ﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（ ）A ．{x|0＜x ＜1}B ．{x|x ＜0}C ．{x|x ＞2}D ．{x|1＜x ＜2}2．以下函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）A ．y=x 2B ．y=x+1C ．y=﹣lg|x|D ．y=﹣2x3．若a=log 2.10.6，b=2.10.6，c=log 0.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c4．已知函数f （x ）=ax 2﹣x ，若对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式＞0恒成立，则实数a 的取值围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设m ∈R 且m ≠0，“不等式m+＞4”成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．m ＞0B ．m ＞1C ．m ＞2D ．m ≥26．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2++=0，||=2||，则•等于（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知函数f （x ）=则函数g （x ）=f （f （x ））﹣的零点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，以下说确的是（ ）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y ），若∥，则y=．10．函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x 的单调递减区间为．11．各项均为正数的等比数列{{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=2，S 4=5S 2，则a 1的值为，S 4的值为．12．已知角A 为三角形的一个角，且，则tanA=，tan （A+）=．13．已知函数f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m 的取值围． 14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．已知数列{a n }（n ∈N *）是公差不为0的等差数列，a 1=1，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n 项和为T n ，求证：T n ＜1．16．已知函数f （x ）=asinx ﹣cosx （a ∈R ）的图象经过点（，0）． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若x ∈[，]，求f （x ）的取值围．17．如图，已知A ，B ，C ，D 四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos ∠BDC=． （Ⅰ）求sin ∠DBC ；（Ⅱ）求AD ．18．已知函数f （x ）=﹣ax+cosx （a ∈R ），x ∈[﹣，]．（Ⅰ）若函数f （x ）是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当a ＞0时，求证：函数f （x ）在（0，）上单调递减．19．已知函数f （x ）=e x （x 2﹣a ），a ∈R ．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）在（﹣3，0）上单调递减，试求a 的取值围；（Ⅲ）若函数f （x ）的最小值为﹣2e ，试求a 的值．20．设a ，b 是正奇数，数列{c n }（n ∈N *）定义如下：c 1=a ，c 2=b ，对任意n ≥3，c n 是c n ﹣1+c n ﹣2的最大奇约数．数列{c n }中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若a=9，b=15，写出集合A ；（Ⅱ）对k ≥1，令d k =max{c 2k ，c 2k ﹣1}（max{p ，q}表示p ，q 中的较大值），求证：d k+1≤d k ； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．2016-2017学年市区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R ，集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={x|x ﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（ ）A ．{x|0＜x ＜1}B ．{x|x ＜0}C ．{x|x ＞2}D ．{x|1＜x ＜2}[考点]交、并、补集的混合运算．[分析]分别求出A 与B 中不等式的解集，确定出A 与B ，找出A 与B 补集的交集即可．[解答]解：由A 中的不等式变形得：x （x ﹣2）＜0，解得：0＜x ＜2，即A={x|0＜x ＜2}，由B 中的不等式解得：x ≥1，即B={x|x ≥1}，∵全集U=R ，∴∁U B={x|x ＜1}，则A∩（∁U B ）={x|0＜x ＜1}．应选：A ．2．以下函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）A ．y=x 2B ．y=x+1C ．y=﹣lg|x|D ．y=﹣2x[考点]函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．[分析]选项A ：y=x 2在（0，+∞）上单调递增，不符合条件；选项B ：代入特殊值x=±1，可知f （﹣1）≠f （1），且f （﹣1）≠﹣f （1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；选项C ：先求出定义域，再根据奇偶性的定义，确定y=﹣lg|x|是偶函数，x ＞0时，y=﹣lg|x|=﹣lgx 单调递减，故符合条件；选项D ：代入特殊值x=±1，可知f （﹣1）≠f （1），且f （﹣1）≠﹣f （1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；[解答]解：选项A ：f （x ）=x 2的定义域为R ，又∵f （﹣x ）=（﹣x ）2=x 2，∴f （﹣x ）=f （x ），即f （x ）是偶函数．但y=x 2在（0，+∞）上单调递增，故A 不正确；选项B ：记f （x ）=x+1，则f （1）=2，f （﹣1）=0，∵f （﹣1）≠f （1），且f （﹣1）≠﹣f （1），∴y=x+1是非奇非偶函数，故B 不正确；选项C ：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），记f （x ）=﹣lg|x|，∵f （﹣x ）=﹣lg|﹣x|=﹣lg|x|，∴f （﹣x ）=f （x ），即f （x ）是偶函数当x ∈（0，+∞）时，y=﹣lgx ．∵y=lgx 在（0，+∞）上单调递增，∴y=﹣lgx 在（0，+∞）上单调递减故C 正确；选项D ：记f （x ）=﹣2x ，则f （1）=﹣，f （﹣1）=﹣2，∵f （﹣1）≠f （1），且f （﹣1）≠﹣f （1），∴y=﹣2x 是非奇非偶函数，故D 不正确．应选：C ．3．若a=log 2.10.6，b=2.10.6，c=log 0.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c[考点]对数值大小的比较．[分析]直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可．[解答]解：a=log 2.10.6＜0，b=2.10.6＞1，0＜c=log 0.50.6＜1∴b ＞c ＞a ， 应选：B ．4．已知函数f （x ）=ax 2﹣x ，若对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式＞0恒成立，则实数a 的取值围是（ ）A ．B ．C ．D ．[考点]函数单调性的判断与证明．[分析]对进行化简，转化为a （x 1+x 2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a ＞，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a 的取值围[解答]解：不妨设x 2＞x 1≥2，====a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞恒成立∵x 2＞x 1≥2∴∴a ，即a 的取值围为[，+∞） 故此题选D5．设m ∈R 且m ≠0，“不等式m+＞4”成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．m ＞0B ．m ＞1C ．m ＞2D ．m ≥2[考点]必要条件、充分条件与充要条件的判断．[分析]根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．[解答]解：当m＜0时，不等式m+＞4不成立，当m＞0时，m+≥2=4，当且仅当m=，即m=2时，取等号，A．当m=2时，满足m＞0，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，B．当m=2时，满足m＞1，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，C．当m＞2时，不等式m+＞4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件．D．当m=2时，满足m≥2，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，应选：C．6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2++=0，||=2||，则•等于（）A．B．C．D．[考点]平面向量数量积的运算．[分析]由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案．[解答]解：三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），2++=0，∴O为BC的中点，故△ABC是直角三角形，∠A为直角．又||=2||，∴||=，||=2，∴||=，∴cosC===，∴•=﹣•=﹣×2×=﹣应选：A7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1[考点]函数零点的判定定理．[分析]作出函数的图象，先求出f（x）=的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可．[解答]解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0时，由f（x）=得x+1=，即x=﹣1=﹣，x=，即x==，当x＞0时，由f（x）=得log2由g（x）=f（f（x））﹣=0得f（f（x））=，则f（x）=﹣或f（x）=，若f（x）=﹣，此时方程f（x）=﹣有两个交点，若f（x）=，此时方程f（x）=只有一个交点，则数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是3个，应选：B8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，以下说确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个[考点]进行简单的合情推理．[分析]5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案．[解答]解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，应选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y= ﹣4 ．[考点]平行向量与共线向量．[分析]直接利用向量共线的坐标表示列式计算[解答]解：∵=（1，2），=（﹣2，y），∥，∴1×y=2×（﹣2）∴y=﹣4故答案为：﹣410．函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x 的单调递减区间为．[考点]二倍角的余弦；余弦函数的图象．[分析]由条件利用二倍角的余弦函数公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调递减区间．[解答]解：对于函数y=cos 2x ﹣sin 2x=cos2x ，令2kπ≤2x ≤2kπ+π，k ∈Z ，求得：kπ≤x ≤kπ+，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间是：．故答案为：．11．各项均为正数的等比数列{{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=2，S 4=5S 2，则a 1的值为，S 4的值为．[考点]等比数列的前n 项和．[分析]经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a 1和q 的值，则S 4的值可求．[解答]解：若等比数列的公比等于1，由a 3=2，则S 4=4a 3=4×2=8，5S 2=5×2S 3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q （q ≠1），由a 3=2，S 4=5S 2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n }的各项均为正数，所以q=2． 则．故答案为；．12．已知角A 为三角形的一个角，且，则tanA=，tan （A+）= ﹣7 ．[考点]两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．[分析]利用同角三角函数的基本关系求得sinA 的值，可得tanA 的值，再利用两角和的正切公式求得tan （A+）的值．[解答]解：已知角A 为三角形的一个角，且，则sinA=，∴tanA==． ∴tan （A+）===﹣7，故答案为，﹣7．13．已知函数f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m 的取值围 （1，]．[考点]函数单调性的性质．[分析]函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，需要对m 分类讨论，当m ＞1，m ＜﹣1，m=±1、0，﹣1＜m ＜0，0＜m ＜1分别判断分段函数的单调性．[解答]解：令 h （x ）=mx 2+1，x ≥0；g （x ）=（m 2﹣1）2x ，x ＜0；①当 m ＞1时，要使得f （x ）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，即要满足m 2﹣1≤1⇒﹣≤m ≤故：1＜m ≤；②当 m ＜﹣1时，h （x ）在x ≥0上递减，g （x ）在x ＜0上递增，所以，f （x ）在R 上不具有单调性，不符合题意；③当 m=±1时，g （x ）=0；当m=0时，h （x ）=1；所以，f （x ）在R 上不具有单调性，不符合题意；④当﹣1＜m ＜0 时，h （x ）在x ≥0上递减，g （x ）在x ＜0上递减，对于任意的x ≥0，g （x ）＜0；当x →0时，h （x ）＞0；所以，f （x ）在R 上不具有单调性，不符合题意；⑤当0＜m ＜1时，h （x ）在x ≥0上递增，g （x ）在x ＜0上递减；所以，f （x ）在R 上不具有单调性，不符合题意；故答案为：（1，]14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 20 天，两马相逢．[考点]等差数列的前n 项和．[分析]利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．[解答]解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1=97，d=﹣0.5；设第m 天相逢，则a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+…+b m=103m++97m+=200m+×12.5≥2×3000， 化为m 2+31m ﹣960≥0， 解得m ，取m=20．故答案为：20．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n }（n ∈N *）是公差不为0的等差数列，a 1=1，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n 项和为T n ，求证：T n ＜1． [考点]数列的求和；数列递推式．[分析]（Ⅰ）利用已知列出关于工程师了公差方程求出公差；得到通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，将通项公式代入，利用裂项求和证明即可．[解答]解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ．因为成等比数列，所以． 即． 化简得，即d 2=a 1d ． 又a 1=1，且d ≠0，解得d=1．所以有a n =a 1+（n ﹣1）d=n ． …（Ⅱ）由（Ⅰ）得：． 所以．因此，T n ＜1． …16．已知函数f （x ）=asinx ﹣cosx （a ∈R ）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若x ∈[，]，求f （x ）的取值围．[考点]三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．[分析]（Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点，代入函数解析式求出a的值，从而写出函数解析式并求出最小正周期；（Ⅱ）根据x的取值围，计算f（x）的最值，从而求出它的取值围．[解答]解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，所以，解得 a=1；…所以，所以f（x）最小正周期为T=2π；…（Ⅱ）因为，所以；所以当，即时，f（x）取得最大值，最大值是2；当，即时，f（x）取得最小值，最小值是﹣1；所以f（x）的取值围是[﹣1，2]．…17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．[考点]余弦定理；正弦定理．[分析]（Ⅰ）利用已知与同角三角函数基本关系式可求，进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（Ⅱ）在△BDC中，由余弦定理可求DB的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．[解答]（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中，因为，所以．由正弦定理得，．…（Ⅱ）在△BDC中，由BC2=DC2+DB2﹣2DC•DBcos∠BDC，得，．所以．解得或（舍）．由已知得∠DBC是锐角，又，所以．所以cos∠ABD=cos=cos120°•cos∠DBC+sin120°•sin∠DBC==．在△ABD中，因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABD=，所以．…18．已知函数f（x）=﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣，]．（Ⅰ）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，）上单调递减．[考点]函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．[分析]（Ⅰ）根据偶函数的定义，f（﹣x）=f（x）恒成立，求出a的值；（Ⅱ）利用导数大于0或小于0，判断函数f（x）是单调增函数单调减函数即可．[解答]解：（Ⅰ）因为函数f（x）是偶函数，所以f（﹣x）=﹣a（﹣x）+cos（﹣x）=+ax+cosx=f（x）=﹣ax+cosx恒成立，所以a=0；…（Ⅱ）由题意可知，设，则；注意到，a＞0；由g'（x）＜0，即，解得；由g'（x）＞0，即，解得；所以g（x）在上单调递减，上单调递增；所以当，g（x）＜g（0）=0﹣a＜0，所以f（x）在单调递减，当，，所以f（x）在单调递减，所以当a＞0时，函数f（x）在上单调递减．…19．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．[考点]利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．[分析]（1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a ≥3．（3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在处取得．[解答]解：由题意可知f'（x）=e x（x2+2x﹣a）．（Ⅰ）因为a=1，则f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．即x+y+1=0．（Ⅱ）因为函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，所以当x∈（﹣3，0）时，f'（x）=e x（x2+2x﹣a）≤0恒成立．即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．显然，当x∈（﹣3，﹣1）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递减，当x∈（﹣1，0）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递增．所以要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（Ⅲ）设g（x）=x2+2x﹣a，则△=4+4a．①当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）单增，所以函数f（x）没有最小值．②当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，令f'（x）=e x （x2+2x ﹣a）=0得x2+2x ﹣a=0，解得随着x变化时，f（x）和f'（x ）的变化情况如下：xf'+ 0 ﹣0 +（x）f↗极大值↘极小值↗（x）当x∈时，．所以．所以f（x）=e x（x2﹣a）＞0．又因为函数f（x）的最小值为﹣2e＜0，所以函数f（x ）的最小值只能在处取得．所以．所以．易得．解得a=3．以下证明解的唯一性，仅供参考：设因为a＞0，所以，．设，则．设h（x）=﹣xe x，则h'（x）=﹣e x（x+1）．当x＞0时，h'（x）＜0，从而易知g（a）为减函数．当a∈（0，3），g（a）＞0；当a∈（3，+∞），g（a）＜0．所以方程只有唯一解a=3．20．设a ，b 是正奇数，数列{c n }（n ∈N *）定义如下：c 1=a ，c 2=b ，对任意n ≥3，c n 是c n ﹣1+c n ﹣2的最大奇约数．数列{c n }中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若a=9，b=15，写出集合A ；（Ⅱ）对k ≥1，令d k =max{c 2k ，c 2k ﹣1}（max{p ，q}表示p ，q 中的较大值），求证：d k+1≤d k ； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数． [考点]集合的表示法．[分析]（Ⅰ）利用列举法写出数列{c n }，易得集合A ；（Ⅱ）由题设，对n ≥3，c n ﹣2，c n ﹣1都是奇数，所以c n ﹣1+c n ﹣2是偶数．从而c n ﹣1+c n ﹣2的最大奇约数，结合不等式的性质进行解答；（Ⅲ）有限集是指元素的个数是有限个的集合，从而确定答案． [解答]解：（Ⅰ）数列{c n }为：9，15，3，9，3，3，3，…． 故集合A={9，15，3}．（Ⅱ）证明：由题设，对n ≥3，c n ﹣2，c n ﹣1都是奇数，所以c n ﹣1+c n ﹣2是偶数． 从而c n ﹣1+c n ﹣2的最大奇约数，所以c n ≤max{c n ﹣1，c n ﹣2}，当且仅当c n ﹣1=c n ﹣2时等号成立． 所以，对k ≥1有c 2k+1≤max{c 2k ，c 2k ﹣1}=d k ， 且c 2k+2≤max{c 2k+1，c 2k }≤max{d k ，d k }=d k ．所以d k+1=max{c 2k+2，c 2k+1}≤d k ，当且仅当c 2k =c 2k ﹣1时等号成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n ≥3时，有c n ≤max{c n ﹣1，c n ﹣2}． 所以对n ≥3，有c n ≤max{c 1，c 2}=max{a ，b}．又c n 是正奇数，且不超过max{a ，b}的正奇数是有限的， 所以数列{c n }中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是a ，b 的最大公约数．。