北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在》优质课教案_10

4.1.1利用函数性质判定方程解的存在

一、 教材中的地位与作用

1.方程的根与函数的零点是新课程中新增的内容，选自北师版《普通高中课程标准实验教科书》必修1第四章第一节。

2. 学生已经比较系统的学习了函数的概念，性质，图像及相关的初等函数模型，本节内容能把函数的图像与方程的根能更好的结合来,使数学中的数与形联系在一起。

3.为“二分法求方程的近似解”以及之后知识的学习做好一个铺垫作用。

二、 教学目标

1.知识与技能

(1) 结合二次函数的图像，掌握零点的概念，会求简单函数的零点。

(2) 理解方程的根和函数零点的关系。

(3) 理解函数零点存在的判定条件。

2.过程与方法

(1) 观察能力：观察熟悉的一元二次方程与相应的二次函数图像得出零点定义。以及观察函数图像来得出函数零点的存在的判定条件。

(2) 归纳能力：从具体的例子中归纳一般的，共性的性质定理。

3.情感态度与价值观

(1) 从易到难，顺应学生的学习心理，学生能体会到学习数学的成功感。

(2) 以学生为主体，营造学习氛围，学生产生热爱学习数学的积极心理。

三、 教学重点与难点

重点：函数零点与方程根之间的联系。

难点 ：（1）理解函数的零点就是方程的根。

（2）理解函数零点存在的判定条件。

四、学情分析

本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生,刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位。

五、教法与学法

新课程中强调以学生为主体，教师起引导作用， “将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。通过引导学生积极思考，热情参与，独立自主地解决问题。同时对学生的回答进行一定的总结，把特殊的现象提升到理论的高度，让学生能更好的理解和掌握。

六、教学过程的设计

1 引入课题

通过古诗“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中”

和两个图片，引导学生从不同的角度看问题，得到的结果也不一样，引入今天的课题

知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系

引例1

(1) 求方程 x-1=0 的根。

(2) 求函数 与x轴交点的横坐标。

(3) 两者之间有何关系？

设计意图：从熟悉的一次函数入手，对函数图像与方程的根的关系有初步的认识，从简单入手顺应学生的认知结构,调动学生的知识储备 。

引例2 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的

简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标。

方程

x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0

方程的实数根

x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实数根

相应函数

y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3

函数的图像

xy0－132112－1－2－3－4.....

.....yx0－12112

.....3xy0－13211254 函数图像与x轴的交点 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点

设计意图： 1 比较全面的把一元二次方程的根与二次函数图像联系起来。

2 为进一步的推广和探究做好铺垫。

顺水推舟，得出概念

函数的零点定义：

对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

设问：零点是一个点吗?

等价关系

方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点  函数y=f(x)有零点

设计意图 ：

1引导学生得出零点的三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想。2强调求函数零点的方法。

f(x)x1=-

即兴练习

1、函数y=x2-5x+6的零点是（ ）

A（3，0）,（2，0）； B x=2 ；

C x=3 ； D 2和3．

设计意图：

1. 会判断函数是否有零点；

2.会用解方程的方法求简单的函数零点;

3.体会方程与函数的联系；

4.明确函数的零点是一个实数。

问题3

函数 有零点吗？

设计意图：学生不能解的前提下，引发认知冲突，为了引出下面的新内容

知识探究（二）：函数零点存在性定理

生活实例探究——小马过河

Ⅰ

Ⅱ 221111fxxxaaAaBaCaDa2、若函数没有零点，则实数的取值范围是、、、、()326xfxx

将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图像与x轴一定会有交点？

让学生自己动手画图：

ab xab x

ab xab

xab xab x

设计意图：

将函数的零点转化到图象上来，使抽象的问题直观化，更利于学生理解定理的本质.

探索定理的过程中，通过正看、逆看、换条件看，培养学生缜密思考的良好习惯。

形成结论：

如果函数()yfx在区间[,]ab上的图像是连续不断的一条曲线，

并且有()()0fafb，那么函数()yfx在区间(,)ab内有零点。即存在(,)cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。

定理的发现过程体现了数形结合的思想和转化的思想。

判断正误:

（1） 若f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。

（2） 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)<0。

（3） 若函数y=f(x)的图像在[a,b]内连续不间断且f(a)·f(b)<0， 则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。

注意：

1 函数图象是连续的曲线。

2 结论不可逆。

3 至少只存在一个零点。

设计意图：强调函数零点存在定理的三个注意点：

1 函数是连续的。

2 定理不可逆。

3 至少只存在一个零点。

练习2：已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x,f(x)对应值表：

x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 23 9 -7 11 -5 -12 -26

那么该函数在区间[1，6]上有且（ ）零点.

A、只有3个 B、至少有3个

C、至多有3个 D、无法确定

设计意图：

通过反馈练习,使学生初步运用定理找出函数零点所在区间．

例1

函数 有零点吗？

若有零点，有几个？

引导学生用定理解决问题，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识

• 思考函数 的图像与x轴为什么有一个交点？

•

• 函数 在(-∞,+∞)内是单调递增的。

• 到此我们可以进一步地刻画函数零点的存在性定理：

• 若函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图像是连续的，满足f(a)f(b)<0 且函数y=f(x)

在区间 (a,b)上是单调的，则函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 上只有一个零点。

注意：

（1）定理的条件有： 连续和异号， 两点都具备，就能断定有零点，而少了任何一个就不能肯定有无零点了！要作进一步判断！

（2）定理的结论只交待了存在性，至于有几个也

要作进一步判断！

方法提炼：

对于不能用公式法求根的方程 f(x)=0来说，我 练习1：在下列哪个区间内,函数f(x)= x3＋x－2

一定有零点（ ）

A、(－1,0） B、(0,2）

C、(1,2） D、(2,3）

()326xfxx()326xfxx()326xfxx们可以将它与函数 y=f(x)联系起来，利用函数的性

质找出零点.（可以用函数图象、定理等）

小结提高

（1）一个定义： 函数的零点

一个定理：零点存在定理

（2）判断函数零点是否存在可以考虑用：函数图象、零点存在定理等

（3）渗透了等价转化、函数与方程、数形结合的思想

设计意图：

优化学生的认知结构，把课堂所学内容内化为学生的自己的知识和能力.

作业：课本P116

1、2、3

课后探究:

我们知道函数

有一个零点,那么该如何进一步求此零点的近似值呢？

设计意图：

巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维,以及探究新知识的欲望，同时为下节课做好准备。

板书设计

课题：方程的根与函数的零点

1、函数零点的定义三种解法 (1)求几个整数对应的函数值；

2、强调求函数零点的方法 (2)直接作图象，并结合单调性;

3、函数零点有且只有一个的条件 (3)转化为两个函数的交点问题。

教学反思：

1、通过古诗词引入课题，引导学生从不同的角度看问题，同时培养学生的爱国之情。

2、 逐层铺垫，降低难度

本节课实际上是《数学分析》中的介值定理下放中学课程，如何把理论性很强的内容深入浅出地让学生理解是这节课的着力点，因此设计符合学生认知规律，从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和有兴趣的问题开始，通过设疑迁疑让学生逐步理解本课程及一些高等数学思想方法。如反例、条件的变换与结论的关系等等，对学生今后学习和分析数学问题很有帮助。

3、 恰当使用信息技术

恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程.

4、采用“启发引导—讨论探究—概括归纳”教学模式

精心设置问题链，要给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会。以提高学生的学习兴趣，体会、掌握基本数学思想方法，掌握“三基”，提高初步探究能力为主，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。

()326xfxx