2017届黑龙江省大庆第一中学高三上学期期末考试试题 数学(理)
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2017届上学期黑龙江省大庆第一中学高三年级期末考试试卷理科数学第I 卷：选择题共60分一 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．如果复数mi im -+12是实数，则实数=m （ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．22．集合}2|1||{<-=x x A ，}9391|{<<=x x B ，则A B = （ ） A ．)3,1(- B ．)2,1(-C ．)2,2(-D ．)3,2(-3．已知向量),3,()3,(-==x b x a ， 若b b a ⊥+)2(，则=||a （ ） A ．1B ．2C ．3D ．24．已知,31tan ,21tan -==βα 则=+-βαβααββαsin sin 2cos cos cos sin cos sin 3（ ） A ．87B ．811 C ．47D ．411 5．要得到函数x y 2cos 2=的图象，只需将函数)44sin(2π+=x y 的图象上所有点的（ ） A ．横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度6．已知等比数列}{n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则=++7698a a a a （ ）A ．223+B ．223-C ．21+D ．21-7．曲线12+=-x e y 在点)2,0(处的切线与直线0=y 和x y =围成的三角形的面积为（ ）A ．31B ．21 C ．32 D ．18．给出下列说法，其中正确的个数是（ ）①命题“∀x ∈R ，x 2+x +1＞0”的否定是：“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0”； ②命题“若x = y ，则sinx = siny ”的否命题是：“若x = y ，则sinx ≠siny ”；③“7＜k ＜9”是“方程110422=-+-ky k x 表示焦点在x 轴上的椭圆”的充分不必要条件；④“2=m ”是“04)1(21=+++y m x l ：与0232=-+y mx l ：平行”的充要条件． A ．1B ．2C ．3D ．49．已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的焦点F 1、F 2，点P 是C 1与C 2的一个公共点，21F PF ∆是一个以1PF 为底边的等腰三角形，4||1=PF ， 椭圆C 1的离心率为73，则双曲线C 2的离心率是（ ） A ．2B ．3C ．32D ．610．已知A B 、是单位圆O 上的两点（O 为圆心），120AOB ∠= ，点C 是线段AB 上不与A B 、重合的动点．MN 是圆O 的一条直径，则CN CM ⋅的取值范围是（ ）A ．)0,43[- B ．]0,43[- C ．）1,21[- D ．]1,21[-11．函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数21x x ，，都有0)()(212112>--x x x f x x f x ，记)5.0(4)1()2(log 3log 2312f c f b f a ==⋅-=，，，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<12．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．]3,1(B ．)3,1(C ．),3(∞+D ．),3[∞+第II 卷：非选择题共90分二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数⎩⎨⎧≤<-≤-=20,40,4)(2x x x x x f ，则⎰-22)(dx x f 的值为_________． 14．已知M 是抛物线y x 42=上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：1)5()1(22=-++y x 上，则||||MF MA +的最小值为_________．15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足,3)2(),()23(-=-=-f x f x f 数列}{n a 前n 项和为n S ，且)(2,11*∈+=-=N n n a S a n n ，则)()(65a f a f +=_________．16．函数⎩⎨⎧≥+--<-=1,2)2(1|,)1(log |)(25x x x x x f ，关于x 的方程1))((=x f f 的实根个数为______个． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知向量()sin ,1a x =-，1,2b x ⎫=-⎪⎭ ，函数2)()(-⋅+=a b a x f ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角C B A 、、的对边，其中A为锐角，1a c ==，且()1f A =，求ABC ∆的面积S ．18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{a n }满足022121=-⋅-++n n n n a a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若n n n a a b 21log ⋅=，且n S 是数列{b n }的前n 项和，求使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 的值．19．（本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且12PA AB AD CD ===，//AB CD ，90ADC ∠=︒． （1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）若M 为线段PC 上一点，且MC PM 2=，求线段AM 与平面PBC 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知21F F 、 分别是椭圆C ：）（1,1222>=+a y ax 的左、右焦点，P 在椭圆上且到两个焦点21F F 、 的距离之和为22．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，动直线m kx y l +=:与椭圆C 有且仅有一个公共点，作,,21l N F l M F ⊥⊥ 分别交直线l 于M 、N 两点，求四边形21MNF F 的面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln (0)f x ax x x x a =+->．（1）若函数满足(1)2f =，且在定义域内2()2f x bx x ≥+恒成立，求实数b 的取值范围； （2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；（3）当11x y e <<<时，试比较y x 与1ln 1ln yx++的大小．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点)2,1(-P ，直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx l 222221：(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 2sin 2=，直线l 和曲线C 的交点为A 、B ．（1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）求||||PB PA +的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数2||)(--=a x x f ．（1）若a =1，求不等式0|32|)(>-+x x f 的解集；（2）若关于x 的不等式|3|)(-<x x f 恒成立，求实数a 的取值范围．2017届上学期黑龙江省大庆第一中学高三年级期末考试试卷理科数学答案一 选择题第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．π+1014．515．316．10三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．解析：（1）2)()(-⋅+=a b a x f 221cos sin 31sin 2-+++=x x x 212sin 2322cos 1-+-=x x x x 2cos 212sin 23-=)62sin(π-=x 周期为T=π,令Z k k x k ∈+≤-≤+,2236222πππππ，解得Z k k x k ∈+≤≤+,653ππππ所以f(x)的单调递减区间为：)(],65,3[Z k k k ∈++ππππ（2）()sin 216f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为50,,2,2666A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2,623A A πππ-==， 又由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，则2b =， 从而1sin 2S bc A ==18．解析：解：(1)∵a n +12-a n +1a n -2a n 2=0，∴(a n +1+a n )(a n +1-2a n )=0，∵数列{a n }的各项均为正数， ∴a n +1+a n ＞0， ∴a n +1-2a n =0， 即a n +1=2a n ，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列． ∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项， ∴a 2+a 4=2a 3+4， ∴2a 1+8a 1=8a 1+4， ∴a 1=2，∴数列{a n }的通项公式a n =2n ．(2)由(1)及n n n a a b 21log ⋅=得，b n =—n •2n ，n n b b b S +++= 21n n n S 223222132⋅---⋅-⋅-⋅-=∴ ；① 143222)1(2322212+⋅-⋅---⋅-⋅-⋅-=n n n n n S ；②①-②得，S n =2+22+23+24+25++2n -n •2n +1即22)1(221)21(211-⋅-=⋅---=++n n n n n n S 要使S n +n •2n +1＞50成立，只需2n +1-2＞50成立，即2n +1＞52，即61≥+n ∴使S n +n •2n +1＞50成立的正整数n 的最小值为5． 19．证明：（1）取Q 为侧棱PC 中点 如图，取PD 的中点E ，连AE 、EQ 、BQ的中点、分别为、PD PC E Q ，∴EQ 为PCD ∆的中位线，∴//EQ AB 且EQ AB =，∴四边形ABQE 为平行四边形，则//BQ AE ． 只需证⊥AE 平面PCD∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA CD ⊥．又∵AD CD ⊥，PA AD A = ，∴CD ⊥平面PAD ． ∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥ ①∵PA AD =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥ ② ∵CD PD D = ，∴由①②得AE ⊥平面PCD ． ∵//BQ AE ，∴BQ ⊥平面PCD ．∵BQ ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD ．（2） 如图所示建立空间直角坐标系， 设1,2PA AB AD CD ====，则(0,0,0)A ，B(0，1，0)，C(1，2，0)，P(0，0，1)则)011()110(，，，，，=-=BC PB ，．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则y)(),,0(≥'+∞∈∀xfxxxaln2≥aafxfxfxax21ln1)21()()()(21min-='=''=∴有最小值，且有最小值，即时，当ϕxaxxxaxxfxea12)()0(,ln2)()(210-='>-='=<<ϕϕ则，设若)(),,21()(),21,0(>'+∞∈<'∈xaxxaxϕϕ当；当142ln4)2(,021ln1)21(21022>+>-='<-='<<aaaafaafea且时，而当由⎪⎩⎪⎨⎧⇒=⋅=⋅BCnPBn⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒=+=-111zyxyxzy，)1,1,1(-=∴n．由=，有M)31,34,32()31,34,32(=∴AM设所求线面角为θ，则7739211||||sin=⋅=⋅=nAMθ．∴所求线面角的正弦值为77．20．解析：(1)由2,222||||21===+aaPFPF得1222=+∴yxC的方程为：椭圆（2）联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222yxmkxy，得0224)12(222=-+++mkmxxk直线l和椭圆C有且仅有一个公共点，0)22)(12(4162222=-+-=∆∴mkmk即1222+=km设1||||1||||222211++==++-==kmkNFdkmkMFd；①当k=0时，四边形F1F2NM为矩形，此时S=2②当0≠k时，过F2作F1M的垂线，垂足为P，则221212212)(4||||||||ddPFFFPFMN--=-==||)(2121MNddS⋅+=∴则])(4[)(41||)(4122122122212ddddMNddS--⋅+=⋅+=1||21)(1)()(2222222221+-+++++-=+kkmkmkkkmdd22212kkm>+=又14121)(1)()(222222222221+=+-+++++-=+∴kmkkmkmkkkmdd同理：14121)(1)()(222222222221+=+--++++-=-kkkkmkmkkkmdd2222212212)1(4])(4[)(41+=--⋅+=∴kmddddS11222>+=km2222222)11(16)1(16)1(4mmmmkmS+=+=+=∴)4,0(2∈∴S即)2,0(∈∴S综上所述，]2,0(∈S，即S的最大值为221．解析：(1) 由f(1)=2 可知a=1；若xbxxf2)(2+≥恒成立，则bxxx≥--ln11恒成立．令min)(,ln11)(xgbxxxxg≤--=只需令，2ln)(xxxg='，∴可得)(xg在(0，1)上递减，在),1(+∞上递增，所以0)1()(min==gxg即0≤b（2）)0(,ln2)(>-='xxaxxf若f(x)在定义域内单增，则恒成立，即恒成立)(),()(),0(.ln1)(,ln)(2<'+∞∈>'∈∴-='=xhexxhexxxxhxxxh时，；时，则设）上单调递增，在（时，即可只需∞+≥∴≥∴==∴0)(21.121)()(minxfeaeaeehxh.0)()21,()(),0(.0)(),21,2(<'∈>'∈='∈∃∴xfaxxxfxxxfaax时，时且使得.)(在定义域内不单调即xfea21≥综述所述，（3）由(I)知xxxgln11)(+-=在(0，1)上单调递减∴当11<<<yxe时，)()(ygxg>即yyxx ln1ln1+<+xyxyyxyxyxe ln1ln1ln1ln1,ln1ln111++<∴⎩⎨⎧>+>+∴⎩⎨⎧<<-<<-<<<时，而22．解析：（1）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=tytxl222221:（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程为x﹣y﹣3=0；曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即为ρ2sin2θ=2ρcosθ，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（2）将直线l 的标准参数方程代入曲线C ：y 2=2x 中， 可得t 2﹣26t+4=0，即有t 1+t 2=26，t 1t 2=4，由于t 1>0， t 2>0 则|PA|+|PB|= |t 1|+|t 2| = t 1+t 2 =26．23．解析：（1）当a=1时，不等式f （x ）+|2x-3|＞0，化为：|x-1|+|2x-3|＞2．当x≥23时，3x ＞6．解得x ＞2；当x ∈（1，23）时，可得-x+2＞2，不等式无解；当x≤1时，不等式化为：4-3x ＞2，解得x<32．则不等式的解集为：),2()32,(+∞-∞（2）关于x 的不等式f （x ）＜|x-3|恒成立，可得|x-a|-2＜|x-3|设g （x ）=|x-a|-|x-3|，即g(x)<2恒成立， 只需令g(x)的最大值小于2即可|x-a|-|x-3|≤|a -3|，∴g （x ）max =|a-3| 即令：|a-3|＜2 ∴a 的取值范围为（1，5）。
