2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二(上)期末数学试卷(理科)
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第1页（共25页）
2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题目要求）
1．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
2．（5分）把38化为二进制数为（ ）
A．100110（2） B．101010（2） C．110010（2） D．110100（2）
3．（5分）若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（ ）
A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．A、C都有可能
4．（5分）已知空间向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）
6．（5分）对具有线性相关关系的两个变量x和y，测得一组数据如下表所示：
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 m 第2页（共25页）
根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则m=（ ）
A．85.5 B．80 C．85 D．90
7．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
8．（5分）执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．﹣1 B． C．2 D．1
9．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设命题p：x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0，命题q：lg（2x﹣1）≤1，若p是q的第3页（共25页）
充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．﹣1 B．2﹣ C． D．
12．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程为 ．
14．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于 ．
15．（5分）从双曲线﹣=1的左焦点F1引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点，设M为线段F1P的中点，O为原点坐标，则|MO|﹣|MT|= ．
16．（5分）下列说法正确的有 第4页（共25页）
①函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）；
②在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=4；
③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；
④定义min{a，b}=，已知f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的最大值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=2Sn+1+1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令cn=log3a2n，bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
18．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．
（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；
（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取2人，求两人中恰有1人醉酒驾车的概率．
19．（12分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． 第5页（共25页）
（1）求∠B的大小；
（2）若，且，求△ABC面积的最大值．
20．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（2）求四棱锥F﹣ABCD的体积．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．
（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．
（2）求B点到平面PCD的距离．
（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N． 第6页（共25页）
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．
第7页（共25页）
2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题目要求）
1．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．
故选：D．
2．（5分）把38化为二进制数为（ ）
A．100110（2） B．101010（2） C．110010（2） D．110100（2）
【解答】解：38÷2=19…0
19÷2=9…1
9÷2=4…1
4÷2=2…0
2÷2=1…0
1÷2=0…1 第8页（共25页）
故38（10）=100110（2）
故选：A．
3．（5分）若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（ ）
A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．A、C都有可能
【解答】解：∵直线l的一个方向向量，
平面α的一个法向量为，
则=2，∴l⊥α．
故选：B．
4．（5分）已知空间向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵=（1，n，2），=（﹣2，1，2），
∴2﹣=（4，2n﹣1，2），
∵2﹣与垂直，
∴（2﹣）•=0，
∴﹣8+2n﹣1+4=0，
解得，n=，
∴=（1，，2）
∴||==． 第9页（共25页）
故选：B．
5．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）
【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．
对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．
∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），
故选：B．
6．（5分）对具有线性相关关系的两个变量x和y，测得一组数据如下表所示：
x 2 4 5 6
8
y 20
40 60 70 m
根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则m=（ ）
A．85.5 B．80 C．85 D．90
【解答】解：∵=5，回归直线方程为y=10.5x+1.5，
∴=54，
∴55×4=20+40+60+70+m，
∴m=80，
故选：B． 第10页（共25页）
7．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，
故乙组数据的中位数也为65，
即y=5，
则乙组数据的平均数为：66，
故x=3，
故选：A．
8．（5分）执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）
