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人教B版高中数学选修4-5课时训练柯西不等式

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课堂练习(八) 柯西不等式

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为( )

A．1 B．2

C．2 D．4

[解析] ∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，

∴ax＋by≤2.

[答案] C

2．若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为( )

A．3 B．1

C．33 D．3

[解析] ∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得

(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)，

∴a2＋b2＋c2≥3.

当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，

∴a2＋b2＋c2的最小值为3.

[答案] D

3．已知x＋y＝1，且x>0，y>0，那么2x2＋3y2的最小值是( )

A.56 B.65

C.2536 D.3625

[解析] 2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)12＋13·65≥652x·22＋3y·332

＝65(x＋y)2＝65，

当且仅当2x·13＝3y·12，即x＝35，y＝25时等号成立，

∴2x2＋3y2的最小值为65.

[答案] B

4．若a21＋a22＋…＋a2n＝1，b21＋b22＋…＋b2n＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为( )

A．1 B．－1

C．2 D．－2

[解析] ∵(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)，

≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，

∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，故a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2.因此a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为2.

[答案] C

5．已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，则t的取值范围为( )

A．(0,1) B．(－1,1)

C．(0，－1) D．[－1,1]

[解析] 设α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z)．

∵|α|＝a2＋b2＋c2＝1，|β|＝x2＋y2＋z2＝1，

由|α||β|≥|α·β|，得|t|≤1.

∴t的取值范围是[－1,1]．

[答案] D

二、填空题

6．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．

[解析] ∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6，

∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当1a＝12b＝13c，即a＝2，b＝1，c＝23时取等号．

[答案] 12

7．若a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________．

[解析] 由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2，

当且仅当向量a与b共线时“＝”成立，

∴5×16≥(x－2z)2，

∴－45≤x－2z≤45，

即－45≤a·b≤45.

故a·b的最大值为45.

[答案] 45

8．已知a1－b2＋b1－a2＝1，则a2＋b2＝________.

[解析] 由柯西不等式得

(a1－b2＋b1－a2)2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，

当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，

∴ab＝1－a2·1－b2，a2b2＝(1－a2)(1－b2)，

于是a2＋b2＝1.

[答案] 1

三、解答题

9．已知θ为锐角，a，b均为正数．求证：(a＋b)2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.

[证明] 设m＝acos θ，bsin θ，n＝(cos θ，sin θ)，

则|a＋b|＝acos θ·cos θ＋bsin θ·sin θ

＝|m·n|≤|m||n|＝ acos θ2＋bsin θ2·1

＝a2cos2θ＋b2sin2θ，

∴(a＋b)2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.

10．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形．

[解] 如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为4R2－x2，于是 ABCD的周长l＝2(x＋4R2－x2)

＝2(1·x＋1×4R2－x2)．

由柯西不等式得

l≤2[x2＋(4R2－x2)2]12(12＋12) 12＝22·2R

＝42R.

当且仅当x1＝4R2－x21，即x＝2R时等号成立．

此时，宽＝4R2－2R2＝2R，即ABCD为正方形，

故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R.

[能力提升练]

1．函数y＝x2－2x＋3＋x2－6x＋14的最小值是( )

A．10 B．210

C．11＋210 D．10＋1

[解析] y＝x－12＋2＋3－x2＋5.

根据柯西不等式，得y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[x－12＋2][3－x2＋5]

≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[(x－1)(3－x)＋10]

＝[(x－1)＋(3－x)]2＋2＋5＋210

＝11＋210，

当且仅当x－13－x＝25，即x＝210－13时等号成立．

此时，ymin＝11＋210＝10＋1.

[答案] D

2．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则a＋b＋cx＋y＋z＝________.

[解析] 由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，

当且仅当ax＝by＝cz＝k时取“＝”．

由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝56，

所以a＋b＋cx＋y＋z＝k＝56.

[答案] 56

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(必考题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试卷(含答案解析)

(必考题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试卷(含答案解析)

一、选择题

1．若实数231xyz，则222xyz的最小值为（ ）

A．14 B．114 C．29 D．129

2．已知a，bR，224ab，求32ab的取值范围为（ ）

A．324ab B．21332213ab

C．324ab D．不确定

3．用数学归纳法证明不等式11111312324nnnnn＞的过程中，由nk推导1nk时，不等式的左边增加的式子是（ ）

A．12121kk B．12122kk

C．12223kk D．12324kk

4．已知,,xyzR，2221xyz，则22xyz的最大值为（ ）

A．9 B．3 C．1 D．27

5．若函数()fx在其图象上存在不同的两点11,Axy，22,Bxy，其坐标满足条件：

222212121122|]xxyyxyxy的最大值为0，则称()fx为“柯西函数”，则下列函数：①1()fxxx(0)x：②()ln(0)fxxxe：③()cosfxx:④2()4fxx.

其中为“柯西函数”的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．在平面内，已知向量(1,0)a，(0,1)b，(1,1)c，若非负实数,,xyz满足1xyz，且23pxaybzc，则（ ）

A．p的最小值为255 B．p的最大值为23

C．p的最小值为55 D．p的最大值为33

7．已知a，b，c均为正数，若1abc，则111abc的最小值为

A．9 B．8

C．3 D．13

8．已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为( ) A．5105,,396

B．203040

,,292929

C．111,,23 D．11,49

9．若a，bR，且1ab，则2214ab的最小值为

教学设计：选修4-5+第三讲+柯西不等式与排序不等式(4课时)

教学设计：选修4-5+第三讲+柯西不等式与排序不等式(4课时)

教学后记： 板书设计： 第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）

教学要求：1、认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义；

2、并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.

教学难点：理解几何意义.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：(0,0)2ababab及几种变式.

2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd

证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc

二、讲授新课：

1. 教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？

② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？

证法二：（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd

222()()()acbdadbcacbd. （要点：展开→配方）

证法三：（向量法）设向量(,)mab，(,)ncd，则22||mab，22||ncd.

∵ mnacbd，且||||cos,mnmnmn，则||||||mnmn. ∴ …..

证法四：（函数法）设22222()()2()fxabxacbdxcd，则

22()()()fxaxcbxd≥0恒成立.

∴ 22222[2()]4()()acbdabcd≤0，即…..

③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

变式：2222||abcdacbd 或 2222||||abcdacbd

【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业：选修4-5-2 不等式的证明与柯西不等式]

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课时作业(七十九)

1．(2013·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．

答案 2

解析 (am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝m＝2时等号成立)．

2．(2014·沧州七校联考)若logxy＝－2，则x＋y的最小值为________．

答案 3322

解析 由logxy＝－2，得y＝1x2.

而x＋y＝x＋1x2＝x2＋x2＋1x2≥33x2·x2·1x2＝3314＝3322，当且仅当x2＝1x2即x＝32时取等号．所以x＋y的最小值为3322.

3．已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．

答案

32

解析 2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥22x－a2x－a＋2a＝2a＋4≥7，∴a≥32.

4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为________．

答案 3

解析 方法一：(a＋b＋c)2＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3.

当且仅当a＝b＝c时取等号成立．

方法二：柯西不等式：(a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.

5．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x，y，z恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案 a≥4或a≤－2

解析 由柯西不等式，得(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，由题意|a－1|≥3，∴a≥4或a≤－2.

6．把一条长是m的绳子裁成三段，各围成一个正方形，则这三个正方形的面积和的最小值为________．

(易错题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(包含答案解析)(1)

(易错题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(包含答案解析)(1)

一、选择题

1．实数m，n，x，y满足22mna，22()xybab，那么mxny的最大值为（ ）．

A．2ab B．ab C．222ab D．222ab

2．已知,,xyzR,且1xyz，则222xyz的最小值是（ ）

A．1 B．13 C．12 D．3

3．若222x4y9z4，则xy+3z的最大值（ ）

A．9 B．3 C．1 D．27

4．若函数fx在其图象上存在不同的两点11Ax,y，22Bx,y，其坐标满足条件：222212121122xxyyxyxy的最大值为0，则称fx为“柯西函数”，

则下列函数：

1fxx(x0)x①；

fxlnx(0x3)②；

fxcosx③；

2fxx1④．

其中为“柯西函数”的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

5．函数122fxxx的最大值为（ ）

A．5 B．5 C．1 D．2

6．已知实数x，y，z满足321xyz，则22223xyz的最小值为

A．114 B．1

C．334 D．734

7．已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则 222abbcac 的最小值为( )

A．1 B．3 C．6 D．9

8．若实数a ，b ，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则 222abc 的最小值为( )

A．3 B．1 C．33 D．3 9．设实数,,,,abcde满足关系：8abcde，2222216abcde，则实数e的最大值为（ ）

A．2 B．165 C．3 D．25

10．证明：2111111(1)22342nnnn，当2n时，中间式子等于（ ）

A．1 B．112 C．11123

D．1111234

11．不等式2313xxaa有解的实数a的取值范围是（ ）