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结构动力学第七章

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结构动力学

结构动力学

§1.3 体系振动的自由度
象静力计算一样，在动力计算时，首先需要选取一个 合理的计算简图。但由于需要考虑惯性力，因此在动力计 算的简图中，多了一项关于质量分布的处理问题。当体系 振动时，它的惯性力与质量的运动情况有关，所以确定质 量在运动中的位置具有重要的意义。 振动的自由度：我们把确定体系上全部质量位置所需 的独立几何参变数的数目，称为该体系的振动自由度。 例1.1 如图(a)所示跨中置一质量为m电动机的简支梁，当 梁自身的质量远小于电动机的质量时，梁的质量可忽略不 计。其计算简图如图(b)所示。
Fp
如：具有偏心质量的回旋机器它所传递 给结构上的横向力就是时间 t 的函数。
t
这类荷载称为动力荷载
图(a)
显然，结构在动力荷载作用下的计 算与静力荷载作用下的计算将有很大的 的区别，而且要复杂的多。
Fpsin t
图(b)
这是因为，在进行动力计算时，除了需要考虑惯 性力外，还需取时间作为自变量。在动力问题中，内 力与荷载不能构成静力平衡，但根据达朗伯原理，可 以将动力问题转化为静力问题，方法是任一时刻在结 构上加入假想的惯性力作为外力。即结构在形式上处 于“平衡状态”，这样，就可以应用静力学的有关原 理和方法计算在给定时刻的内力和位移等。 在实际工程中，大多数荷载都是随时间的改变而 变化的，但有一些荷载使结构产生很小的振动，以至 于其上的惯性力可以忽略不计，此时为了简化计算， 可将其视为静力荷载。仅将那些随时间变化，且使结 构产生较大的振动的荷载才作为动力荷载来考虑。
dmy Fp t dt
1 2
t m y 1 3
当质量m不随时间变化时，有 Fp
0 即：Fp t m y
因此，如果把惯性力(-mÿ)加到原来受力的质量上，则动 力学问题就可以按静力平衡来处理，这种列运动方程的 方法常称为动静法。这种方法较为方便，因此得到广泛 应用。 （2）拉格朗日(Lagrange)方程 应用虚位移原理，作用在任意质量mi上的所有力 （包括惯性力），对任意的虚位移所作的虚功总和应 等于零，得

结构动力学课后习题答案

结构动力学课后习题答案

结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。

它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。

课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。

以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。

系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。

习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。

特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。

习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。

结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。

冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。

习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。

结构动力学

结构动力学

一、绪论
1.1 阪神地震
首先请大家看日本阪 神地震录像，希望能从 中体会到学习结构动力 学的重要性。 更希望大家能学好结 构动力学（三要素），且作用
结果使受荷物体质量的加速度（惯性力与外荷比）不
可忽视，这种荷载称动力荷载，简称动荷。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小， 分析时仍视作静荷载。 静荷只与作用位臵有关，而动荷是坐标和时间的函 数。
二、体系的运动方程建立
2.1 建立运动方程的基本步骤 2.2 运动方程建立举例
2.3 体系运动方程的一般形式
2.4 应注意的几个问题
2.5 刚度法、柔度法列方程的步骤
2.6 运动方程建立总结
2.1 建立运动方程的基本步骤
作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列 平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论 列平衡方程称刚度法 中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 确定体系的自由度——质量独立位移数； 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力 （注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）； 5) 取质量为隔离体并作受力图； 6) 根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方 程，此方程就是运动（微分）方程。
1.6 建立结构运动方程的一般方法
3) 利用哈密顿原理来建立运动方程——变分法 分析力学中学过哈密顿原理。通过建立系统动能、 势能和耗能（分别记作 T、EP、V），获得如下哈密 顿泛函
H (T E P V )dt
t1
t2
根据哈密顿原理，可由令哈密顿泛函的一阶变分等于 零来建立“动平衡方程”——运动方程。 当没有耗能时，所得到的是无阻尼的方程。否则， 是有阻尼情况。 用哈密顿原理时和上两方法不同，不再考虑惯性力、 阻尼例和弹性恢复力等，它们通过能量变分来得到。

结构动力学

结构动力学

第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。

确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。

根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。

根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。

2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。

广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。

有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。

①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。

②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。

5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。

飞行器结构力学基础电子教学教案

飞行器结构力学基础电子教学教案

飞行器结构力学基础电子教学教案第一章：飞行器结构力学概述1.1 教学目标让学生了解飞行器结构力学的定义和研究对象。

让学生理解飞行器结构力学在航空航天工程中的重要性。

让学生掌握飞行器结构力学的基本概念和原理。

1.2 教学内容飞行器结构力学的定义和研究对象。

飞行器结构力学的重要性。

飞行器结构力学的基本概念和原理。

1.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方式进行教学。

通过多媒体演示和动画视频帮助学生形象理解飞行器结构力学的基本概念和原理。

1.4 教学评估进行课堂讨论和提问，检查学生对飞行器结构力学的基本概念和原理的理解程度。

布置课后作业，要求学生运用所学的知识分析和解决实际问题。

第二章：飞行器结构元件2.1 教学目标让学生了解飞行器结构元件的分类和特点。

让学生掌握梁、板、壳等基本结构元件的受力分析和设计方法。

2.2 教学内容飞行器结构元件的分类和特点。

梁的受力分析和设计方法。

板的受力分析和设计方法。

壳的受力分析和设计方法。

2.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方式进行教学。

通过多媒体演示和动画视频帮助学生形象理解飞行器结构元件的受力分析和设计方法。

2.4 教学评估进行课堂讨论和提问，检查学生对飞行器结构元件的受力分析和设计方法的理解程度。

布置课后作业，要求学生运用所学的知识分析和解决实际问题。

第三章：飞行器结构力学分析方法3.1 教学目标让学生了解飞行器结构力学分析方法的分类和特点。

让学生掌握静态分析和动态分析的方法和应用。

3.2 教学内容飞行器结构力学分析方法的分类和特点。

静态分析的方法和应用。

动态分析的方法和应用。

3.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方式进行教学。

通过多媒体演示和动画视频帮助学生形象理解飞行器结构力学分析方法的特点和应用。

3.4 教学评估进行课堂讨论和提问，检查学生对飞行器结构力学分析方法的特点和应用的理解程度。

布置课后作业，要求学生运用所学的知识分析和解决实际问题。

第四章：飞行器结构强度和稳定性分析4.1 教学目标让学生了解飞行器结构强度和稳定性分析的定义和目的。

结构动力学基础全文

结构动力学基础全文

2
目
录
第一章 结构动力学简述...............................................................................................................1 第二章 动力学原理.......................................................................................................................3 §2-1 约束 ....................................................................................................................................3 2-1-1 完整约束 .................................................................................... 错误！未定义书签。 2-1-2 非完整约束 ................................................................................ 错误！未定义书签。 §2-2 广义力 ................................................................................................................................3 §2-3 达朗贝（D′ALEMBERT）原理 ........................

[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解

[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解

前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。

结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。

1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。

二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。

2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。

克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。

之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。

为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。

本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。

所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。

达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。

以下黑体字是注释，其它为原书文字。

[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。

为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。

结构动力学(课用ppt)

结构动力学(课用ppt)

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注意！ 注意！
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关，如下图所示的体系。
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2、广义坐标法
广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标
变形曲线可用三角级数的和来表示：
n πx = u ( x, t ) = bn sin L n =1
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（4）一般任意荷载 荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷 载。 由环境振动引起的地脉动、地震引起的地震动， 以及脉动风引起的结构表面的风压时程等。
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1.5 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义 结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响 结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力 惯性力的产生是由结构的质量引起的 动力自由度（数目）：在动力计算中，一个体系的动力自由度是指为了确定 运动过程中任一时刻全部质体位置所需的独立的几何参数数目。 独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
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结构动力问题的基本特征： 1、动力问题随时间而变化，必须建立反应时程中感兴趣的全部时间点 上的一系列解。 2、与静力问题相比，由于动力反应中结构的位移随时间迅速变化，从 而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要影响。
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动力反应的特点： 在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等） 都随时间变化，它的除与动荷载的变化规律有关外，还与结 构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。 不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则 在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能 确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。

结构动力学7

结构动力学7

7.1 多自由度体系的自振振型和自振频率
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n2M n 0
{φ}n={φ1n，φ2n ，…，φNn }T—体系的n阶振型 。
◆由于特征方程的齐次性（线性方程组是线性相关的）， 振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值， 例如令φ1n=1，◆实际求解时就是令振型向量中的某才 能确定其余的值。
算例1 运动方程的特征方程：
2.0 0 0
M
0
1.5
0
0 0 1.0
3000 1200 0
K 1200 1800 600
0 600 600
3000 2 2
(K
2
M
)
1200
0
1200
1800 1.5 2
600
0
600
600
2
B 2 600
5 2B 2
0 0
7.1 多自由度体系的自振振型和自振频率
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率
相应于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N个自振频率和振型后，可以把振型和自振 频率分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
0
0
N
其中，ωn— n阶自振频率，{φ}n— n阶振型。
7.1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 结构的质量阵、刚度阵：
2.0 0 0
M
0
1.5
0
0 0 1.0
k11 k12 k13 3000 1200 0
K k21
k 22
k 23
1200
1800

结构动力学-1

结构动力学-1

例3.
P(t )
l
EI
m
EI1 = ∞
EI
P(t )
− mɺɺ(t ) y y (t )
1
k11
k11
12 EI / l 3 12 EI / l 3
24 EI y (t ) = P(t ) k11 y (t ) = P(t ) − mɺɺ(t ) y k11 = 24 EI / l 3 l y (t ) R(t ) y (t ) − mɺɺ(t ) − mɺɺ(t ) y m y 例4.
P(t )
=1
δ 11
l Pl/4
l/2
2l 3 δ 11 = 3EI
∆1P =
Pl 16 EI
3
2l 3 l3 y (t ) = δ 11[−mɺɺ(t )] + ∆1P = y [−mɺɺ(t )] + y P(t ) 3EI 16EI
柔度法步骤： 柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
三、例题 例1. m
y (t )
P(t )
=1
δ 11
P(t )
l
y (t )
− mɺɺ(t ) y
l
EI EI
2l 3 δ 11 = 3EI 3EI ɺɺ(t ) + 3 y (t ) = P(t ) my 2l
∆1P
P(t)
l 例2. l
EI
m y (t )
P(t )
l/2
EI
y (t ) − mɺɺ(t ) y
刚度法步骤： 刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。

7《结构动力学》-第七章

7《结构动力学》-第七章
λ1＝
~ 1
~
+
~
ω12
~ ≈ tr S
[]
1
1
2 ω2
ω12
+⋯+
~ = tr S
[]
可用此式估算系统基频，且为下限估值。 可用此式估算系统基频，且为下限估值。 若质量矩阵为对角阵，则 若质量矩阵为对角阵，
a11 a ~ S = [ A][M ] 21 ＝ ⋯ a n1 a12 a 22 ⋯ an2 ⋯ a1n m1 ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ a nn 的迹为： ⋱ mn
{x}T [K ]{x} = {α }T [u ]T [K ][u ]{α } RI ({x}) = {x}T [M ]{x} {α }T [u ]T [M ][u ]{α }
[K 记： ] = [u ] [K ][u ]
T
[M ] = [u ] [M ][u ]
T
{α }T [K ]{α } 则： RI = {α }T [M ]{α }
[]
迹法
k k /2 k /3 2 2 ω 22 = ω 33 = m m m
1 1 1 1 6m ~ tr S ＝∑ 2 = + + = k k k ω ii k m 2m 3m
[]
邓克利法
里茨法(Ritz)(或瑞利－里茨法 或瑞利－ §7-3 里茨法 或瑞利 里茨法)
求较低几阶频率与振型 思路： 思路：先假设若干个振型并按这些振型进行最佳线性 组合，再用瑞利法求前几阶模态(固有频率与振型 固有频率与振型) 组合，再用瑞利法求前几阶模态 固有频率与振型
1 1 T T Tmax = ω 2 {x} [M ]{x} U max = {x} [K ]{x} 2 2

结构动力学-7

结构动力学-7
{X}i
X1i X = 2i M Xni
m2ωi2 X2i mω X1i 1
2 i
mNωi2 X Ni
m m 1 2
X1i
mN
XNi
i振型
j振型
{X}j
X1 j X 2j = M Xnj
X2i
m m 1 2
体系按特解振动时有如下特点 各质点同频同步; ① 各质点同频同步; 任意时刻, ② 任意时刻,各质点位移的比 值保持不变 y1(t) X11 sin( ω1t +α1) X11 = = = 常数 y2 (t) X21 sin( ω1t +α1) X21 m2 m1
y2 (t )
y1 (t )
定义: 定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时振动形状 称作体系的主振型（主模态) 称作体系的主振型（主模态)。记作
X 11 {X }1 = , X 21
{X }2
X 12 = X 22
y11 = X11 sin( ω1t +α1) y12 = X12 sin( ω2t +α2 ) 特解2 特解2 特解1 特解1 y21 = X21 sin( ω1t +α1) y22 = X22 sin( ω2t +α2 )
1 第二振型
对称体系的振型分成两组: 对称体系的振型分成两组: 一组为对称振型 一组为反对称振型 ⑦ 利用对称性可减小振型和频率的计算工作量
按对称振型振动 m
l /3 l /6
=1 l/3
5 l3 δ11 = 162 EI 1 2 ω = mδ11
ω1 = 5.692 EI / ml3
ω2 = 22.045 EI / ml3

结构动力学(课用ppt)

结构动力学(课用ppt)
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（4）一般任意荷载 荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷 载。 由环境振动引起的地脉动、地震引起的地震动， 以及脉动风引起的结构表面的风压时程等。
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1.5 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力 惯性力的产生是由结构的质量引起的 动力自由度（数目）：在动力计算中，一个体系的动力自由度是指为了确定 运动过程中任一时刻全部质体位置所需的独立的几何参数数目。
独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
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二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有：
张亚辉 林家浩 编著, 结构动力学基础，大连理工大学出版社，2007. 刘晶波等编著，结构动力学，机械工业出版社，2005. 张子明等编著，结构动力学，河海大学出版社，2001.
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第一章 绪论
1.1 动力问题的基本特征 1.2 结构动力分析的目的
1.3 结构动力学研究的内容
1.4 动力荷载类型
注意！
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关，如下图所示的体系。
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2、广义坐标法
广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标
变形曲线可用三角级数的和来表示：
nx nx u( x, t ) bn sin bn (t ) sin L L n 1 n 1

结构动力学第七章

结构动力学第七章

7.1 Rayleigh 法
• Rayleigh法的基本原理是能量守衡定律。 • 对任意的保守系统，其振动频率可以根据Rayleigh法由振动过程 中的最大应变能与最大动能相等而求得。 • 对于具有任意自由度的结构体系，用Rayleigh法求其基频有两种 处理方式，一种是把结构看成连续体系，通过假设结构在基本模 态中的变形形状和运动幅值（广义坐标）变化规律，将连续的结 构体系化为单自由度体系，利用振动过程中最大应变能与最大动 能相等的原则求结构基频；另一种处理方式则是在多自由度离散 坐标系中应用同样的方法求解结构基频。本节重点介绍Rayleigh 法在多自由度离散坐标系中的原理和应用。
0 0 i =1
n
n n l ⎡ ⎤ ∂ ⎧ l ⎤⎫ 2 2 2 2 ⎡ 2 2 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎥ ⋅ ⎨ ∫0 EI [U ′′( x)] dx −ω ⎢ ∫0 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎥ ⎬ = 0 i i ⎢ i =1 i =1 ⎣ ⎦ ∂ai ⎩ ⎣ ⎦⎭
ω =
2
∫
l 0
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
2
∫ m( x)U
( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) i
i =1
n
n ⎡ ⎤ 2 EI [U ′′( x)] dx = ω ⎢ m( x)U ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) ⎥ i ∫0 i =1 ⎣ ⎦ l 2 2
代入上式，得
式中：U(x) —振型函数。
l 1 l 1 2 2 2 & 体系的动能为 T (t ) = ∫ m( x)[u ( x, t )] dx = ω cos (ωt + φ ) ∫ m( x)U 2 ( x)dx 0 0 2 2 体系最大动能为 T = 1 ω 2 l m( x)U 2 ( x)dx max 2 ∫0

第七章 固有模态理论

第七章 固有模态理论

第七章 固有模态理论§7.1 离散有限元模型的振动基本方程7.1.1 模型抽象化结构动力学的理论基础是弹性动力学。

主要的研究内容是结构系统的有限元建模理论和动力学分析方法，包括振动特性分析与动响应分析。

结构系统的建模过程可分为两个过程。

首先是从工程实际出发，对实际结构系统作力学抽象。

取出实际结构的力学内容，包括它的几何构形、运动与变形、载荷与内力，以及材料性能等，构造一个力学模型。

这个过程是个重要的定性过程。

然后是对构造力学模型进一步作数学的描述，根据力学原理给定各力学量之间的数量关系，建立起数学模型。

这是个定量过程。

建立有限元模型采用的是离散化概念。

在第四章至第六章介绍了动力学有限元的基本理论和有限元特性矩阵的生成方法。

在定性建模过程中，对构形进行离散化，将作为连续介质的结构系统进行网格划分，划分成有限元。

在变形与受力分析的基础上确定有限元类型，选取节点并进行编号，生成结构系统的节点位移向量{x }，确定结构系统的自由度数。

在定量建模过程中，首先对有限元的力学量场变量进行离散化，在力学分析或能量分析基础上确定有限元的特性，包括刚度特性、惯性特性，以及阻尼特性，生成有限元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵等特性矩阵。

最后进行装配集成生成结构系统的数学模型，通俗的说法是将有限元特性矩阵按其节点编号对号入座来形成结构系统的特性矩阵，再根据力学原理推导出结构系统有限元模型的动力学基本方程，生成在位移空间内的数学模型，其基本形式是}{}]{[}]{[}]{[f x K x C x M =++ (7.1) 其中[K ]是结构系统的刚度矩阵，[M ]是其质量矩阵，[C ]是其阻尼矩阵。

7.1.2 数学模型的分类对一个实际的工程结构，可以从不同角度进行数学描述，构造出不同形式的数学模型。

结构系统的动力学现象是在时、空域内发生，它的描述是在一定的空间域和时间域内给出。

选取不同的空间域和不同的时间域，将给出不同的数学模型。

(完整版)结构动力学基础

(完整版)结构动力学基础

my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
x a
作用时间： 恒载 活载 作用位置： 固定荷载 移动荷载 对结构产生的动力效应： 静荷载 动荷载
静荷载： 动荷载：
大小、方向和作用点不随时间变 化或变化很缓慢的荷载。
大小、方向或作用点随时间变化 很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度
显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力 与荷载相比是否可以忽略
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
其中各力的大小：
惯性力： FI my 弹性力Fs=Fs1+Fs2： 位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力
1
12i
l2
柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：
EI
12 EI FS1 l13 y
12EI
FS 2
l
3 2
y
l
等效粘滞阻尼力： FD cy
大型桥梁结构 的有限元模型
第二章 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
▪ 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
▪ 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 ▪ 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
8
比较：
c k

(完整版)结构动力学-习题解答

(完整版)结构动力学-习题解答
7-1（a)试求图示体系的自振频率与周期。
解
11
5 48
l3 EI
;
3.098
EI ml 3
;
l/2
ml 3 T 2.027 ;
EI
m
EI y1(t)
l
l/2 l/2
l/4
7-1（b)试求图示体系的自振频率与周期。
解: 求柔度系数: 用位移法或力矩分配法 求单位力作用引起的弯矩图（图a); 将其与图b图乘，得
48EI 2k
T 2 ( 1 l3 1 )m
48 EI 2k
m
k EI
k
l/2
l/2
7-3 试求图示体系质点的位移幅值和最大弯矩值。
已知 0.6
l
解:
yst
FPl 3 EI
m
y1(t)
1
1
2
/
2
1.5625
位移幅值
A
yst
1.5625
FPl 3 EI
2l
yst
11
5 3
l3 EI
1 11
l
X11 0.4612 ; X12 4.336
X 21
X 22
12 7.965 EI / ml 3
2 2
65.53EI
/
ml 3
1 2.822 EI / ml3
8-6.试求图示刚架的自振频率和振型。设楼面质量分别为m1=120t和m2=100t,
柱的质量已集中于楼面, 柱的线刚度分别为i1=20MN.m和i2=14MN.m,横梁
m 2 A 0.3375 FP
l/2
EI=常数
FP sin t
2l
FP
FPl

飞行器结构力学基础电子教学教案

飞行器结构力学基础电子教学教案

飞行器结构力学基础电子教学教案第一章：飞行器结构力学概述1.1 飞行器结构力学的定义1.2 飞行器结构力学的研究内容1.3 飞行器结构力学的重要性1.4 飞行器结构力学的发展历程第二章：飞行器结构的基本类型2.1 飞行器结构的基本组成2.2 飞行器结构的主要类型2.3 不同类型结构的特点与应用2.4 飞行器结构的选择原则第三章：飞行器结构力学分析方法3.1 飞行器结构力学的分析方法概述3.2 弹性力学的分析方法3.3 塑性力学的分析方法3.4 动力学分析方法第四章：飞行器结构强度与稳定性分析4.1 飞行器结构强度分析4.2 飞行器结构稳定性分析4.3 强度与稳定性的关系4.4 强度与稳定性分析的工程应用第五章：飞行器结构优化设计5.1 结构优化设计的基本概念5.2 结构优化设计的方法5.3 结构优化设计的原则与步骤5.4 结构优化设计的工程应用实例第六章：飞行器结构动力学6.1 飞行器结构动力学基本理论6.2 飞行器结构的自振特性6.3 飞行器结构的动力响应分析6.4 飞行器结构动力学在设计中的应用第七章：飞行器结构疲劳与断裂力学7.1 疲劳现象的基本概念7.2 疲劳寿命的预测方法7.3 断裂力学的基本理论7.4 飞行器结构疲劳与断裂的检测与控制第八章：飞行器结构的环境适应性8.1 飞行器结构环境适应性的概念8.2 飞行器结构在各种环境力作用下的响应8.3 环境适应性设计原则与方法8.4 提高飞行器结构环境适应性的措施第九章：飞行器结构材料力学性能9.1 飞行器结构常用材料9.2 材料的力学性能指标9.3 材料力学性能的测试方法9.4 材料力学性能在结构设计中的应用第十章：飞行器结构力学数值分析方法10.1 数值分析方法概述10.2 有限元法的基本原理10.3 有限元法的应用实例10.4 其他结构力学数值分析方法简介第十一章：飞行器结构力学实验与测试技术11.1 结构力学实验概述11.2 材料力学性能实验11.3 结构强度与稳定性实验11.4 结构动力学实验与测试技术第十二章：飞行器结构力学计算软件与应用12.1 结构力学计算软件概述12.2 常见结构力学计算软件介绍12.3 结构力学计算软件的应用流程12.4 结构力学计算软件在工程实践中的应用实例第十三章：飞行器结构力学在航空航天领域的应用13.1 航空航天领域结构力学问题概述13.2 飞行器结构设计中的应用13.3 飞行器结构分析与优化13.4 航空航天领域结构力学发展趋势第十四章：飞行器结构力学在其他工程领域的应用14.1 结构力学在建筑工程中的应用14.2 结构力学在机械工程中的应用14.3 结构力学在交通运输工程中的应用14.4 结构力学在其他工程领域的应用前景第十五章：飞行器结构力学发展趋势与展望15.1 飞行器结构力学发展历程回顾15.2 当前飞行器结构力学面临的挑战与机遇15.3 飞行器结构力学未来发展趋势15.4 飞行器结构力学发展展望与建议重点和难点解析本文主要介绍了飞行器结构力学的基础知识，包括飞行器结构力学的定义、研究内容、重要性、发展历程，以及飞行器结构的基本类型、力学分析方法、强度与稳定性分析、优化设计等方面。

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，其误差为 +0.4%。
由以上结果可以看出 • 所选的两种曲线，大部分或者全部满足边界条件（位移、内 力），因此所得结果误差都很小； • 所选的第二种曲线所得的结果误差更小，因为它更接近第一振 型。（考察曲线的边界条件） • 所得结果与精确值比较都偏大，这是能量法的特点。
– 因为假设某一特定的曲线作为振型曲线，即相当于在体系上增加某 些约束，从而增大了体系的刚度，因此所得的频率值将偏大。
第7章 实用振动分析
概述
• 振型叠加法是求解线弹性多自由度体系动力反应的行之有效方法，在 定前若干阶振型和自振频率之后，任何线性结构动力反应的近似解都 容易求得。 • 我们实际所面临的结构范围十分广泛，从只有几个自由度的高度简化 数学模型、只需要考虑一、二阶模态就能求得动力反应的近似解，一 到包含几百甚至数万个自由度的高度复杂的有限单元模型，其中可能 50或100阶模态对结构动力反应有重要影响。 • 要求解大型结构至要求阶数的振型和频率，完全利用行列式方程的解 是困难的。从数学观点来看，求解各类结构的振型和自振频率属于矩 特征值问题，自然地，可以利用矩阵特征值的求解技术来处理结构振 和自振频率的求解问题。
•
通常可取结构在某种静荷载（如集中荷载Pi或均布荷载q(x) ）作用下的 挠曲线作为振型曲线。
•
体系的最大应变能可用相应的外力功代替，即
Vmax = Wmax
1 l 1 n = ∫ q ( x)U ( x)dx + ∑ PU i i 2 0 2 i =1
式中，q(x)和Pi为引起所设曲线U(x)的静力荷载。 频
j =1 m
(i = 1, 2,L, m)
式中 Aij = Aji = ∫ EIφi′′(x)φ ′′( x)dx j
0
l
(i, j = 1, 2, L , m)
(1) (2) Bij = B ji = Bij + Bij = B (1) + B ji(2) ji
(i, j = 1, 2,L, m)
实用振动分析的内容
• 7.1 Rayleigh法 • 7.2 Rayleigh-Ritz法 • 7.3 矩阵迭代法（基本模态的迭代法；高阶模态的迭代法） • 7.4 Jacobi （雅可比）迭代法 • 7.5 子空间迭代法 • 课堂教学中主要介绍 Rayleigh 法和 Rayleigh-Ritz 法。
0 0 i =1
n
n n l ⎡ ⎤ ∂ ⎧ l ⎤⎫ 2 2 2 2 ⎡ 2 2 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎥ ⋅ ⎨ ∫0 EI [U ′′( x)] dx −ω ⎢ ∫0 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎥ ⎬ = 0 i i ⎢ i =1 i =1 ⎣ ⎦ ∂ai ⎩ ⎣ ⎦⎭
展开上式，并 令分子等于0，有
[ ∫ m( x) U ( x)dx + ∑ miU 2 ( xi )] ⋅
l 2 0 i =1 l 2 n
∂ l {∫ EI [U ′′( x)]2 dx} − ∂ai 0
n ∂ l 2 {∫ EI [U ′′( x)] dx} ⋅ [ ∫ m( x) U ( x)dx + ∑ miU 2 ( xi )] = 0 0 ∂ai 0 i =1
B
(1) ij
(2) ij
=B
(1) ji
(2) ji
= ∫ m( x)φi ( x)φ j ( x)dx
0
l
B
=B
= ∑ mkφi ( xk )φ j ( xk )
k =1
n
∑(A
j =1
m
ij
− ω 2 Bij )ai = 0
(i = 1, 2,L, m)
令上式的系数行列式等于零，即得频率方程为
π = ∫ EI [U ′′( x)] dx} − ω
2 0
l
2
∫ m( x ) U
0
l
2
( x)dx + ∑ miU 2 ( xi )]
i =1
n
可
∂π =0 ∂ai
(i = 1, 2, L , m)
得到一组关于 ai (i = 1, 2, L , m) 的线性齐次方程
( Aij − ω 2 Bij )ai = 0 ∑
式中：U(x) —振型函数。
l 1 l 1 2 2 2 & 体系的动能为 T (t ) = ∫ m( x)[u ( x, t )] dx = ω cos (ωt + φ ) ∫ m( x)U 2 ( x)dx 0 0 2 2 体系最大动能为 T = 1 ω 2 l m( x)U 2 ( x)dx max 2 ∫0
l
EI [U ′′( x)] dx
2 2
ω =
2
∫
l 0
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
2
( x)dx
∫ m( x)U
( x)dx + ∑ mU ( xi ) i
2 i =1
n
ω2
∫ =
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
∑ mU
i =1 i
n
2
( xi )
• 若假设振型与结构自振振型一致，则用Rayleigh法求得的频率为 结构自振频率的精确值。 • 若假设振型与结构基本振型一致，则用Rayleigh法求得的频率为 结构基频的精确值。 • 理论上已证明：采用一个不太精确的假设振型通过Raleigh法得 到的频率是一较为精确的基频近似值。 • 不论什么样的初始振型，用Raleigh商所求得的近似频率将是基 频的上限。 • 一般情况下，最接近基本振型的假设振型是最易确定的。
ω =
2
∫
l 0
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
2
∫ m( x)U
( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) i
i =1
n
n ⎡ ⎤ 2 EI [U ′′( x)] dx = ω ⎢ m( x)U ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) ⎥ i ∫0 i =1 ⎣ ⎦ l 2 2
代入上式，得
Tmax
1 l 1 2 l 2 = ω ∫ m( x)U ( x)dx Vmax = ∫ EI [U ′′( x)]2 dx 0 2 0 2
Tmax = Vmax
由此可求得结构的振动频率为
ω2 =
∫ ∫ m( x)U
0 l 0
l
EI [U ′′( x)]2 dx
2
( x)dx
如果体系上还有n个集中质量m，
ω2 =
∫ q( x)U ( x)dx + ∑ PU
l 0 i =1 i
n
i
∫
l
0
m( x)U 2 ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) i
i =1
n
例7.1 用能量法计算图示两端固定梁的第一频率。设EI=常数，单位长度 质量为 m 。
A m B 解：用两种方法求解。 (1) 设振型曲线为 l
7.2 Rayleigh-Ritz 法
• 虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的近似解， 在动力分析中，为得到足够精确的结果，常常需要使用一 阶以上的振型和频率。Rayleigh法的Ritz扩展可以求得结构 前若干阶固有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的 振型。 • Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其Rayleigh熵 取极值，从而获得一低阶的特征方程组，由此低阶方程组 可以获得体系的一组自振频率和自振振型。
•
设振型函数（挠度函数）可用预先选定的m个独立函数φi (x)（坐标函 数）的线性组合来表示，即
U ( x) = ∑ aiφi ( x)
i =1
m
式中：ai—待定常数。
φi ( x) 的选取原则：满足体系的全部或部分边界条件，至少满足几何边
界条件，且接近于第i振型函数Ui(x)。 代入
ω2 =
∫ ∫
7.1 Rayleigh 法
• Rayleigh法的基本原理是能量守衡定律。 • 对任意的保守系统，其振动频率可以根据Rayleigh法由振动过程 中的最大应变能与最大动能相等而求得。 • 对于具有任意自由度的结构体系，用Rayleigh法求其基频有两种 处理方式，一种是把结构看成连续体系，通过假设结构在基本模 态中的变形形状和运动幅值（广义坐标）变化规律，将连续的结 构体系化为单自由度体系，利用振动过程中最大应变能与最大动 能相等的原则求结构基频；另一种处理方式则是在多自由度离散 坐标系中应用同样的方法求解结构基频。本节重点介绍Rayleigh 法在多自由度离散坐标系中的原理和应用。
ql 4 x 4 x3 x 2 U ( x) = ( 4 −2 3 + 2 ) l l 24 EI l
该式满足梁的全部边界条件。
504 EI ω = = 4 l m m ∫ U 2 ( x)dx
2 0 l 0
q ∫ U ( x)dx
l
ω=
22.45 EI l2 m
精确值为 ω = 22.37 EI l2 m
n l ∂ l 2 2 2 [ ∫ m( x) U ( x)dx + ∑ miU ( xi )] ⋅ {∫ EI [U ′′( x)] dx} − ω ∫ m( x) U ( x)dx + ∑ miU 2 ( xi ) = 0 0 0 ∂ai 0 i =1 i =1 l n 2 2
令 π = l EI [U ′′( x)]2 dx} − ω 2 l m( x) U 2 ( x)dx + m U 2 ( x )] ∑ i i ∫ ∫
Aij − ω 2 Bij = 0